Специальная теория относительности

Начальный

Бросьте камешек с лодки, плывущей по спокойному озеру. Круги расходятся по воде со своей собственной скоростью, что бы ни делала лодка, поэтому с лодки кажется, что волны впереди уползают медленно, а позади убегают быстро. Волны на воде или в воздухе бегут в среде, и измеренная скорость зависит от того, как вы сами движетесь относительно неё.

Физики долго считали, что и свет устроен так же: это волна в невидимом «эфире», заполняющем пространство. Земля летит вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, значит, в одном направлении свет должен казаться чуть быстрее, чем в другом. В 1887 году Майкельсон и Морли сравнили два луча, пущенных под прямым углом, поворачивали прибор — и не нашли никакой разницы. Свету не нужна среда, и его скорость, около 300 000 км в секунду, одинакова для всех наблюдателей.

В 1905 году Эйнштейн отнёсся к этому факту всерьёз, и оказалось, что он меняет само время. В анимации вспышка света бегает между двумя зеркалами, один тик за каждый пролёт. В покоящихся часах свет идёт прямо вверх и вниз. Другие часы мчатся вбок, и с земли видно, что их свет идёт по более длинным косым зигзагам. Ускориться, чтобы наверстать путь, свет не может, поэтому каждый тик длится дольше: четыре тика против пяти. Всё на борту, включая сердцебиение, замедляется одинаково, и путешественник ничего не замечает. Мюоны — быстрые частицы, которые космические лучи рождают высоко в воздухе, — долетают до земли только потому, что их время идёт медленнее. Движущиеся тела к тому же оказываются короче вдоль движения, и никаким толчком тело с массой не разогнать до скорости света.

Проверьте себя: если движущиеся часы помчатся быстрее, их зигзаг станет длиннее или короче, а тики — чаще или реже? (Длиннее, значит, реже.)

Средний

Системы отсчёта, события и два постулата

Наблюдатель в теории относительности — это целая инерциальная система отсчёта: линейки и синхронизированные часы, которые движутся с постоянной скоростью, как плавно идущий поезд. Событие происходит в одном месте и в один момент, например вспышка света или тик часов, поэтому каждая система отсчёта приписывает ему координату $x$ и время $t$.

Теория опирается на два постулата. Первый: законы физики имеют один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта, поэтому никакой опыт внутри закрытой кабины не покажет, движется она или нет. Второй: свет в вакууме движется с одной и той же скоростью $c\approx 3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ во всех инерциальных системах отсчёта, как бы ни двигались его источник или наблюдатель. Вместе они вынуждают промежутки времени и длины зависеть от системы отсчёта.

Как читать треугольник световых часов

В световых часах вспышка отражается между двумя зеркалами, расположенными на расстоянии $d$ друг от друга, и каждый пролёт — это один тик. В системе отсчёта, где часы покоятся, свет идёт прямо поперёк, поэтому тик длится $\Delta t_0=d/c$. Это собственное время: время между двумя событиями, измеренное одними часами, которые присутствуют при обоих.

В системе отсчёта, где часы движутся вбок со скоростью $v$ (синяя стрелка), тик длится $\Delta t$, зеркала за это время смещаются на $v\Delta t$, и свет идёт по наклонной. Анимация рисует этот прямоугольный треугольник поверх первого тика: пунктирный зелёный катет $c\Delta t_0$ — расстояние между зеркалами, синий катет $v\Delta t$ — смещение часов, а золотая гипотенуза $c\Delta t$ — путь света, который по-прежнему проходится со скоростью $c$. Теорема Пифагора даёт $(c\Delta t{)}^2=(c\Delta t_0{)}^2+(v\Delta t{)}^2$, откуда
$\Delta t=\gamma \Delta t_0$
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Лоренц-фактор $\gamma$ равен 1 в покое и неограниченно растёт, когда $v$ приближается к $c$: он равен 1,005 при $0,1c$, 1,25 при $0,6c$ и 7,09 при $0,99c$. Любой процесс на борту, в том числе сердцебиение пассажира, замедляется в одно и то же число раз; иначе, сравнив их, можно было бы обнаружить движение.

Сокращение длины и одновременность

Длины тоже меняются. Длина предмета в его собственной системе отсчёта — это его собственная длина $L_0$, а система, в которой предмет движется, измеряет вдоль движения меньшую длину:
$L=\frac{L_0}{\gamma }$
поперёк же движения длина не меняется. Поэтому движущиеся часы нарисованы шириной 24 единицы вместо 30, но той же высоты, и расстояние между их зеркалами $d$ в обеих системах одинаково, как и предполагал треугольник.

Оба эффекта взаимны: пассажир, едущий вместе с движущимися часами, находит, что земные часы идут медленно, а земные линейки стали короче. Противоречия здесь нет, потому что две системы отсчёта расходятся в понимании одновременности. Две вспышки, одновременные на двух концах платформы, не одновременны для пассажира проезжающего поезда: по его измерениям первой происходит вспышка впереди по ходу поезда. Чтобы засечь время движущихся часов, нужны двое ваших собственных часов в тех местах, мимо которых они проходят, а движущийся наблюдатель скажет, что эти двое часов не синхронизированы.

В любой задаче сначала найдите систему отсчёта, в которой часы или предмет покоятся: собственные время и длина принадлежат ей.

Энергия, импульс и предельная скорость

Если бы ньютоновский импульс $mv$ сохранялся при столкновении, рассмотренном в одной системе отсчёта, то в системе, движущейся со скоростью, составляющей заметную долю $c$, он бы уже не сохранялся. Релятивистские импульс, энергия и кинетическая энергия содержат множитель $\gamma$:

• $p=\gamma mv$
• $E=\gamma m{c}^2$
• $K=(\gamma -1)m{c}^2$

Здесь $m$ — обычная масса, одинаковая во всех системах отсчёта, а $E$ — полная энергия. Даже в покое тело обладает энергией покоя $m{c}^2$; $K$ — то, что добавляет движение. У электрона $m{c}^2=511\mathrm{кэВ}$, поэтому при $0,6c$ его энергия равна $E=1,25\cdot 511\approx 639\mathrm{кэВ}$, а $K\approx 128\mathrm{кэВ}$, тогда как ньютоновское $\frac{1}{2}m{v}^2$ даёт всего 92 кэВ. Поскольку $\gamma$ не ограничен сверху, не ограничена и $K$: при $0,99c$ она уже равна $6,1m{c}^2$, и никакая конечная энергия не разгонит тело с массой до скорости $c$.

Пример: часы из анимации

На экране свет замедлен до 50 единиц в секунду, а зеркала находятся на расстоянии 76 единиц, поэтому покоящиеся часы тикают каждые $\Delta t_0=76/50=1,52\mathrm{с}$. Другие часы движутся со скоростью $v=0,6c$, то есть 30 единиц в секунду:
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-0,6^2}}=\frac{1}{\sqrt{0,64}}=\frac{1}{0,8}=1,25$
$\Delta t=1,25\cdot 1,52\mathrm{с}=1,90\mathrm{с}$

Это значения в строке «1 тик: 1,52 с → 1,90 с». Треугольник их подтверждает: за один тик движущиеся часы смещаются на $30\cdot 1,90=57$ единиц, а свет проходит $50\cdot 1,90=95$ единиц, и $57^2+76^2=95^2$ — это треугольник 3-4-5. Через 7,6 с зелёный счётчик покоящихся часов показывает $7,6/1,52=5$ тиков, а красный счётчик над движущимися часами — $7,6/1,90=4$: отношение 5 : 4 равно $\gamma$.

Синяя стрелка $v$ не меняет длины, потому что скорость постоянна, а движущаяся коробка нарисована шириной $30/1,25=24$ единицы. Для самих движущихся часов всё в порядке: их четыре тика заняли $4\cdot 1,52=6,08\mathrm{с}$ собственного времени.

Пример: мюоны из верхних слоёв атмосферы

Космические лучи, попадая в верхнюю атмосферу, рождают мюоны — нестабильные частицы, которые в покое живут в среднем $\Delta t_0=2,2\mathrm{мкс}$. Долетят ли до земли мюоны, рождённые на высоте 10 км и летящие вниз со скоростью $v=0,995c$?

Без учёта относительности мюон за среднее время жизни прошёл бы всего $0,995\cdot 3,00\times 10^8\cdot 2,2\times 10^{-6}\approx 660\mathrm{м}$. Путь в 10 км занимает $10000/(2,985\times 10^8)\approx 33,5\mathrm{мкс}$, около 15 времён жизни, а так как после $n$ времён жизни остаётся доля $e^{-n}$, до земли добрался бы лишь один мюон из четырёх миллионов.

С учётом относительности $\gamma =1/\sqrt{1-0,995^2}\approx 10,0$: в системе отсчёта Земли среднее время жизни равно примерно $22\mathrm{мкс}$, полёт занимает всего 1,5 времени жизни, и доля $e^{-1,52}\approx 0,22$, то есть примерно один мюон из пяти, выживает.

В системе отсчёта мюона его часы идут нормально, но атмосфера мчится мимо, сокращённая до $10\mathrm{км}/10,0\approx 1,0\mathrm{км}$, и пролетает она примерно за $3,35\mathrm{мкс}$: снова 1,5 времени жизни. То, что одна система отсчёта называет замедлением времени, другая называет сокращением длины.

Частые ошибки

• Движущиеся часы не испорчены: в собственной системе отсчёта они тикают каждые 1,52 с, а 1,90 с — результат измерения из системы, в которой они движутся.
• Собственное время — самый короткий промежуток, поэтому его нужно умножать на $\gamma$, а не делить: 2,0 с собственного времени при $0,6c$ превращаются в 2,5 с, а не в 1,6 с.
• Не путайте $\gamma$ с корнем, который в нём стоит: при $0,6c$ корень $\sqrt{1-v^2/c^2}$ равен 0,8, а $\gamma$, обратная ему величина, равна 1,25.
• Сокращение действует только вдоль движения: расстояние между зеркалами остаётся равным 76 единицам, а ширина уменьшается с 30 до 24 единиц.
• Скорости не складываются просто так: зонд, выпущенный вперёд со скоростью $0,6c$ с корабля, летящего со скоростью $0,6c$, движется со скоростью $1,2/1,36\approx 0,88c$, а не $1,2c$.

Где это встречается

Спутники GPS движутся со скоростью около 3,9 км/с, поэтому их часы из-за движения отстают примерно на 7 микросекунд в сутки, а более слабая гравитация на их высоте заставляет их уходить вперёд, причём сильнее, чем они отстают; без поправки координаты уходили бы на километры в сутки. Магниты ускорителей рассчитывают по $p=\gamma mv$: у протонов $\gamma$ достигает тысяч. Электронные микроскопы разгоняют электроны напряжением 300 кВ до $0,78c$ ($\gamma \approx 1,59$), а больничные ПЭТ-сканеры регистрируют пары фотонов с энергией 511 кэВ, рождающиеся при аннигиляции электрона и позитрона.

Энергия покоя возвращается в уроке «Деление, синтез и E = mc²», а гравитационная часть поправки для GPS — в уроке «Гравитация как искривление пространства-времени».

Продвинутый

От двух постулатов к преобразованию Лоренца

В этом разделе рассматривается один вопрос: если две инерциальные системы отсчёта видят, что световой импульс движется с одной и той же скоростью $c$, как связаны координаты события в одной системе с его координатами в другой? Ответ — преобразование Лоренца — содержит все эффекты специальной теории относительности, поэтому его стоит вывести шаг за шагом.

Возьмите систему $S^{\prime }$, которая движется со скоростью $v$ вдоль оси $x$ системы $S$, и обнулите часы в обеих системах в тот момент, когда начала координат проходят друг мимо друга: для этого события $t=t^{\prime }=0$. Правило Галилея, $x^{\prime }=x-vt$ при $t^{\prime }=t$, верным быть не может. Оно вычитает скорости: световой импульс с $x=ct$ имел бы $x^{\prime }=(c-v)t$, то есть двигался бы в $S^{\prime }$ со скоростью $c-v$, что противоречит второму постулату.

Правильное правило определяют три факта. Во-первых, оно должно быть линейным: пространство и время одинаковы везде, поэтому правило не может выделять никакое место или момент, а тело, равномерно движущееся в одной системе, должно равномерно двигаться и в другой.

Во-вторых, расстояния поперёк движения не меняются: $y^{\prime }=y$ и $z^{\prime }=z$. Представьте два одинаковых кольца, пролетающих одно сквозь другое вдоль общей оси. Если бы движение сжимало кольцо, каждая система нашла бы другое кольцо меньше и увидела бы, как оно проходит внутри её собственного; оба утверждения верны быть не могут, ведь то, какое из колец проходит внутри другого, — простой факт.

В-третьих, начало $S^{\prime }$, где $x^{\prime }=0$, находится в точке $x=vt$. Линейное правило, дающее $x^{\prime }=0$ именно там, должно быть пропорционально $x-vt$:
$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$
Здесь $\gamma$ — множитель, который может зависеть от $v$, но не от $x$ и не от $t$. В $S^{\prime }$ система $S$ движется со скоростью $-v$, а по первому постулату ни одна из систем не выделена, поэтому обратное правило имеет ту же форму, с тем же множителем и противоположной скоростью:
$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

Второй постулат теперь определяет $\gamma$. Пошлите световой импульс из общего начала при $t=t^{\prime }=0$. В $S$ он подчиняется равенству $x=ct$, а в $S^{\prime }$ — равенству $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$. Подставив их в оба уравнения, получим $c{t}^{\prime }=\gamma (c-v)t$ и $ct=\gamma (c+v)t^{\prime }$. Перемножив их и сократив на $t{t}^{\prime }$, получим $c^2={\gamma }^2(c^2-v^2)$, откуда
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
— это тот самый лоренц-фактор, который дали световые часы для замедления времени.

Правило для времени получается исключением $x^{\prime }$. Подставьте $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ в $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ и решите относительно $t^{\prime }$; с учётом $1-1/{\gamma }^2=v^2/c^2$ результат упрощается, и полное преобразование выглядит так:
$x^{\prime }=\gamma (x-vt),t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$
При $v\ll c$ имеем $\gamma \approx 1$, и слагаемое $vx/c^2$ пренебрежимо мало, так что правило Галилея возвращается. Это новое слагаемое — суть дела: время события в $S^{\prime }$ зависит не только от того, когда оно происходит в $S$, но и от того, где.

Наклонные оси: диаграмма пространства-времени

Обозначения

$x$	Положение в $S$: горизонтальная ось, прямая $ct=0$.	$\mathrm{м}$
$ct$	Время в $S$, умноженное на $c$: вертикальная ось; так время и расстояние имеют одну единицу.	$\mathrm{м}$
$x^{\prime }$	Ось положения системы $S^{\prime }$: прямая событий с $t^{\prime }=0$.	$\mathrm{м}$
$c{t}^{\prime }$	Ось времени системы $S^{\prime }$, время, умноженное на $c$: мировая линия начала $S^{\prime }$, где $x^{\prime }=0$.	$\mathrm{м}$
$x=ct$	Мировая линия светового импульса, вышедшего из $A$; для него тоже выполняется $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$.
$A$	Событие в начале обеих систем.
$B$	Событие на оси $x$, одновременное с $A$ в $S$.
$\Delta x$	Расстояние между $A$ и $B$ в $S$.	$\mathrm{м}$
$c\Delta t^{\prime }$	Время между $A$ и $B$ в $S^{\prime }$, умноженное на $c$ и прочитанное по оси $c{t}^{\prime }$. Оно отрицательно: $B$ происходит первым.	$\mathrm{м}$

Диаграмма пространства-времени рисует преобразование Лоренца вместо того, чтобы его записывать, и сразу показывает, почему две системы расходятся во мнениях о том, какие далёкие события происходят одновременно. Рисунок 1 нарисован в системе $S$ для $v=0,6c$.

Время откладывается вверх как $ct$ — время, умноженное на $c$, — так что обе оси системы $S$ измеряют длину в одних и тех же единицах. Световой импульс, вышедший из начала, тогда идёт по пунктирной линии под углом 45°, $x=ct$.

У системы $S^{\prime }$ есть две собственные оси. Её ось времени $c{t}^{\prime }$ — это множество событий с $x^{\prime }=0$: мировая линия $x=vt$ её начала, наклонённая вправо от оси $ct$. Её ось положения $x^{\prime }$ — множество событий с $t^{\prime }=0$; положив $t^{\prime }=0$ в $t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2)$, получим $ct=(v/c)x$ — прямую, поднимающуюся от оси $x$ под наклоном. Обе оси $S^{\prime }$ наклонены на один и тот же угол, каждая к световой линии со своей стороны, так что световая линия по-прежнему проходит ровно посередине между ними. Поэтому импульс подчиняется и равенству $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$: второй постулат заложен в самом рисунке.

Теперь посмотрите на события $A$ и $B$. Оба лежат на оси $x$, поэтому в $S$ они происходят одновременно, при $t=0$, на расстоянии $\Delta x$ друг от друга. В $S^{\prime }$ события с одинаковым $t^{\prime }$ лежат на прямых, параллельных оси $x^{\prime }$, так же как события с одинаковым $t$ лежат на горизонталях в $S$. Чтобы прочитать время $B$ в $S^{\prime }$, идите по пунктирной линии через $B$, параллельной $x^{\prime }$, пока она не встретит ось $c{t}^{\prime }$. Она встречает эту ось ниже $A$, в точке $c\Delta t^{\prime }$: по часам $S^{\prime }$ событие $B$ происходит первым. Подставив $\Delta t=0$ в преобразование, получим величину разрыва:
$\Delta t^{\prime }=-\frac{\gamma v\Delta x}{c^2}$
Знак минус означает, что $B$ — событие, лежащее дальше по ходу движения, — происходит первым. При скорости, взятой на рисунке, $\gamma =1,25$, поэтому $\gamma v/c=0,75$: две лабораторные вспышки в один и тот же момент на расстоянии одной световой секунды друг от друга разделены 0,75 с для движущихся часов. Одновременны ли два далёких события, зависит от системы отсчёта.

Замедление времени, сокращение длины, сложение скоростей

Теперь преобразование даёт ранее встреченные эффекты в несколько строк на каждый и показывает, что они верны для любых часов и любого стержня, а не только для световых часов.

Замедление времени. Возьмите часы, покоящиеся в начале $S^{\prime }$. В $S$ они движутся по закону $x=vt$, поэтому их показание равно $t^{\prime }=\gamma (t-v^{2}t/c^2)=\gamma t(1-v^2/c^2)=t/\gamma$. Пока в $S$ проходит время $\Delta t$, движущиеся часы продвигаются лишь на $\Delta t_0=\Delta t/\gamma$; иначе говоря, $\Delta t=\gamma \Delta t_0$.

Сокращение длины. Стержень собственной длины $L_0$ покоится в $S^{\prime }$, поэтому его концы находятся на расстоянии $\Delta x^{\prime }=L_0$. Чтобы измерить движущийся стержень, система $S$ должна отметить оба его конца в один и тот же момент, $\Delta t=0$, и тогда преобразование даёт $\Delta x^{\prime }=\gamma \Delta x$. Длина в $S$ поэтому равна $L=\Delta x=L_0/\gamma$.

Сложение скоростей. Обратное преобразование — то же правило с $-v$: $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ и $t=\gamma (t^{\prime }+v{x}^{\prime }/c^2)$. Тело, движущееся в $S^{\prime }$ со скоростью $u^{\prime }$ вдоль $x$, проходит $d{x}^{\prime }=u^{\prime }d{t}^{\prime }$, откуда $dx=\gamma (u^{\prime }+v)d{t}^{\prime }$ и $dt=\gamma (1+u^{\prime }v/c^2)d{t}^{\prime }$. Их отношение — скорость тела в $S$:
$u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$
При $u^{\prime }=c$ получаем $u=c$, как требует второй постулат. Две скорости по $0,6c$ складываются не в $1,2c$, а в $1,2/1,36=15/17\approx 0,88c$.

Размер всех этих эффектов задаёт $\gamma$; график в анимации показывает его зависимость от $v/c$ до 0,95, где $\gamma =3,20$. Возле начала кривая плоская, $\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{v}^2/c^2$: при $0,1c$ она лишь на 0,5 % выше 1; поэтому теория относительности не бросается в глаза в повседневной жизни. В отмеченной точке, $0,6c$, эта парабола даёт всего 1,18 при истинных 1,25, а наклон $d\gamma /d(v/c)=(v/c){\gamma }^3$ уже равен 1,17. У правого края наклон равен 31, и кривая устремляется к вертикальной асимптоте при $v=c$.

Инвариантный интервал и быстрота

Обозначения

$x$	Положение в $S$: горизонтальная ось.	$\mathrm{м}$
$ct$	Время в $S$, умноженное на $c$: вертикальная ось, мировая линия покоящихся часов.	$\mathrm{м}$
$x^{\prime }$	Ось положения системы $S^{\prime }$.	$\mathrm{м}$
$c{t}^{\prime }$	Ось времени системы $S^{\prime }$, время, умноженное на $c$: мировая линия движущихся часов.	$\mathrm{м}$
$x=ct$	Мировая линия света из $O$: пунктирная линия, к которой приближается гипербола.
$O$	Событие, в котором часы встречаются и начинают отсчёт.
$Q$	Тик покоящихся часов по истечении собственного времени $\tau$.
$P$	Тик движущихся часов по истечении того же собственного времени $\tau$.
$c\tau$	Собственное время между $O$ и тиком, умноженное на $c$: высота $Q$ и координата $c{t}^{\prime }$ точки $P$.	$\mathrm{м}$
$\gamma c\tau$	Время точки $P$ в $S$, умноженное на $c$: больше $c\tau$ в $\gamma$ раз.	$\mathrm{м}$
$s$	Интервал от $O$, одинаковый для всех точек гиперболы; здесь $s=c\tau$.	$\mathrm{м}$
$\alpha$	Наклон осей $S^{\prime }$ относительно осей $S$: $\mathrm{tg}\alpha =v/c$.	$\mathrm{рад}$

Времена и длины по отдельности меняются от системы к системе, но одна их комбинация не меняется. Этот инвариант — интервал — играет в пространстве-времени ту роль, которую в обычном пространстве играет расстояние, а рисунок 2 показывает, как прочитать его на диаграмме.

Двое одинаковых часов стартуют вместе в событии $O$. Одни покоятся в $S$ и поднимаются по оси $ct$; другие движутся вместе с $S^{\prime }$ и поднимаются по оси $c{t}^{\prime }$. Каждые делают один тик по истечении собственного времени $\tau$ — времени, которое показывают они сами. Покоящиеся часы тикают в событии $Q$ на высоте $c\tau$. Движущиеся часы тикают в событии $P$, где их собственная ось показывает $c{t}^{\prime }=c\tau$. Пунктирная линия от $P$ к оси $ct$ показывает, когда $S$ датирует этот тик: при $ct=\gamma c\tau$, позже, чем $Q$. Это снова замедление времени.

Обратите внимание на парадокс на бумаге: отрезок $OP$ нарисован длиннее $OQ$, а между тем оба изображают один и тот же $c\tau$. Кривая $s$ разрешает его. И $P$, и $Q$ лежат на этой гиперболе — множестве всех событий с одним и тем же интервалом $s=c\tau$ от $O$. На диаграмме пространства-времени равные интервалы читают вдоль таких гипербол, а не линейкой.

Интервал между двумя событиями определяется так:
$s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$
Подставьте преобразование в правую часть, возведите в квадрат и вычтите: перекрёстные члены сокращаются, множитель ${\gamma }^2(1-v^2/c^2)$ равен 1, и в $S^{\prime }$ получается тот же $s^2$. Поворот в плоскости оставляет $x^2+y^2$ неизменным точно так же.

Аналогия с поворотом точная. Определите быстроту $\phi$ равенством $v/c=\mathrm{th}\phi$. Тогда $\gamma =\mathrm{ch}\phi$ и $\gamma v/c=\mathrm{sh}\phi$, а преобразование принимает вид $c{t}^{\prime }=ct\mathrm{ch}\phi -x\mathrm{sh}\phi$ и $x^{\prime }=x\mathrm{ch}\phi -ct\mathrm{sh}\phi$. Это поворот в плоскости $(x,ct)$ на угол $\phi$, только вместо круговых функций стоят гиперболические. Рисунок 2 показывает тот же переход, измеренный линейкой: оси $S^{\prime }$ наклонены на угол $\alpha$, где $\mathrm{tg}\alpha =v/c=\mathrm{th}\phi$. Быстроты последовательных переходов вдоль одной прямой просто складываются — это закон сложения скоростей в другой одежде. В анимации $\phi =\mathrm{arth}0,6=\ln 2$, поэтому $\gamma =\mathrm{ch}(\ln 2)=(2+\frac{1}{2})/2=1,25$, а два таких перехода дают $\mathrm{th}(2\ln 2)=\mathrm{th}(\ln 4)=15/17$ — скорость, найденную выше.

Световые часы измеряют интервал. Один тик движущихся часов занимает в $S$ время $\Delta t=1,90\mathrm{с}$ и путь $\Delta x=57$ единиц, при скорости света 50 единиц в секунду; значит, $c\Delta t=95$ единиц и $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=95^2-57^2=76^2$. Интервал равен расстоянию между зеркалами, 76 единиц, одинаковому во всех системах; делённый на $c$, он равен собственному времени одного тика, 1,52 с.

Вдоль изгибающейся мировой линии складывайте собственное время каждого короткого прямого участка: $\tau =\int dt/\gamma$. Из-за знаков минус в $s^2$ движение в пространстве не прибавляет собственное время, а уменьшает его. Поэтому из всех мировых линий между двумя событиями прямая, то есть инерциальная, имеет наибольшее собственное время — наоборот, чем в геометрии Евклида, где прямая кратчайшая. Близнец, который улетает и возвращается, стареет меньше, как показывает разобранная ниже задача.

Энергия и импульс как один четырёхвектор

Обозначения

$m{c}^2$	Энергия покоя: один катет треугольника, перенесённый дугой на гипотенузу.	$\mathrm{Дж}$
$pc$	Импульс, умноженный на $c$: другой катет.	$\mathrm{Дж}$
$E$	Полная энергия $\gamma m{c}^2$: гипотенуза.	$\mathrm{Дж}$
$K$	Кинетическая энергия $E-m{c}^2$: часть гипотенузы за повёрнутым катетом.	$\mathrm{Дж}$
$\theta$	Угол между катетом $m{c}^2$ и гипотенузой: $\sin \theta =pc/E=v/c$.	$\mathrm{рад}$

Чтобы импульс сохранялся в любой инерциальной системе, энергия и импульс должны преобразовываться вместе, как $t$ и $x$. В этом разделе такая пара собирается в один четырёхвектор, и раздел заканчивается соотношением, которое рисунок 3 изображает прямоугольным треугольником.

Сначала прочитайте треугольник. Его катеты — энергия покоя $m{c}^2$ и $pc$, импульс, умноженный на $c$; гипотенуза — полная энергия $E$, а прямой угол находится вверху, поэтому $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$. Поверните катет $m{c}^2$ вокруг левой вершины вниз, на гипотенузу, вдоль пунктирной дуги: оставшийся у правого конца кусок гипотенузы равен $K=E-m{c}^2$ — кинетической энергии. В левой вершине угол $\theta$ удовлетворяет условию $\sin \theta =pc/E$, что равно $v/c$, как показано ниже.

Теперь вывод. Шаг $(cdt,d\vec{x})$ между двумя близкими событиями на мировой линии тела преобразуется как $(ct,\vec{x})$. Если разделить его на собственное время $d\tau =dt/\gamma$, одинаковое во всех системах, это свойство сохранится; получится четырёхскорость $\gamma (c,\vec{v})$. Умножив её на массу $m$, получим четырёхимпульс
$(E/c,\vec{p})=(\gamma mc,\gamma m\vec{v})$
Его пространственная часть, $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, — это импульс, сохраняющийся при столкновениях. Его временная часть — $E/c$, и переход в другую систему смешивает их, так же как смешивает $ct$ и $x$: импульс, видимый в $S^{\prime }$, содержит энергию из $S$. Значит, импульс может сохраняться во всех системах только в том случае, если сохраняется и энергия, и два закона становятся одним.

Как и у интервала, у этого четырёхвектора есть длина, с которой согласны все системы: $(E/c{)}^2-p^2={\gamma }^2{m}^2{c}^2(1-v^2/c^2)=m^2{c}^2$. Умноженная на $c^2$, она записывается так:
$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$
Деление пространственной части на временную даёт $pc/E=v/c$, откуда $v=p{c}^2/E$, и это $\sin \theta$ с рисунка 3. У безмассовой частицы $E=pc$, и поэтому она движется со скоростью $c$.

При малых скоростях разложите $\gamma$ по степеням $v^2/c^2$:
$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}$
Ньютоновская кинетическая энергия — первая поправка, а $K=(\gamma -1)m{c}^2$ — её точная форма. Энергия покоя $m{c}^2$, остающаяся при $v=0$, реальна: горячее тело тяжелее на $\Delta E/c^2$, а ядро легче своих отдельных частей. Масса $m$ одинакова во всех системах; со скоростью растёт $\gamma$.

При скорости анимации, $0,6c$, треугольник на рисунке 3 — это треугольник 3-4-5: $pc=\gamma mvc=0,75m{c}^2$ и $E=1,25m{c}^2$, и действительно $0,75^2+1^2=1,25^2$. Кинетическая энергия равна $K=0,25m{c}^2$, тогда как ньютоновское $\frac{1}{2}m{v}^2=0,18m{c}^2$ занижено на 28 %.

Эффект Доплера, поля и ускорение

Три коротких применения показывают, как далеко простирается преобразование: на свет от движущихся источников, на электрические и магнитные поля и на тела, которые разгоняются.

Эффект Доплера. Свету среда не нужна, поэтому его доплеровский сдвиг может зависеть только от относительной скорости источника и наблюдателя. Пусть источник удаляется со скоростью $v$ и испускает гребень каждые $T$ в собственной системе. В нашей системе гребни уходят каждые $\gamma T$ из-за замедления времени, а между двумя гребнями источник удаляется на $v\gamma T$, что добавляет $v\gamma T/c$ ко времени пути следующего гребня. Принимаемый период поэтому равен
$\gamma T(1+v/c)=T\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$
При $0,6c$ множитель равен ровно 2, то есть $e^{\phi }$ при быстроте $\phi =\ln 2$: спектральная линия 500 нм приходит как 1000 нм от удаляющегося источника и как 250 нм от приближающегося. Для света, принимаемого под прямым углом к движению, расстояние не меняется, поэтому остаётся только замедление времени, понижающее частоту в $\gamma$ раз.

Поля. Покоящийся заряд создаёт только электрическое поле. В системе, где он движется, он является током и создаёт ещё и магнитное поле, а магнитная сила, действующая на движущийся заряд, — это электрическая сила в системе покоя заряда: переход в другую систему смешивает электрические и магнитные поля, как смешивает $t$ и $x$. Уравнения Максвелла уже подчиняются преобразованию Лоренца, так что менять пришлось механику, а не электромагнетизм.

Ускорение. Ускоряющимся телам не нужна новая теория, пока пространство-время плоское: в каждый момент используйте инерциальную систему, движущуюся вместе с телом. Пусть корабль сохраняет постоянное собственное ускорение $a$, то, которое ощущают пассажиры. За каждый короткий отрезок $d\tau$ времени корабля он приобретает одну и ту же малую быстроту $ad\tau /c$, а быстроты складываются, поэтому $\phi =a\tau /c$ растёт равномерно, и $v=c\mathrm{th}(a\tau /c)$ никогда не достигает $c$. Один год корабельного времени при $9,81\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ даёт $a\tau /c\approx 1,03$ и $v\approx 0,77c$.

Задача: полёт к ближней звезде и обратно

Обозначения

$t$	Время в системе Земли, отложенное в годах: горизонтальная ось, она же мировая линия Земли.	$\mathrm{с}$
$x$	Расстояние от Земли вдоль полёта, отложенное в световых годах.	$\mathrm{м}$
$L_0$	Расстояние до звезды в системе Земли: 3,00 светового года.	$\mathrm{м}$

В этой задаче весь урок применяется к парадоксу близнецов: путешественница летит к звезде и обратно и возвращается моложе своей сестры-близнеца на Земле. Рисунок 4 изображает полёт в системе Земли: время $t$ в годах отложено вправо, а расстояние $x$ в световых годах — вверх, так что свет идёт под углом 45°. Земля остаётся на оси $t$, а звезда, находящаяся на расстоянии $L_0$, — это пунктирная горизонталь. Ломаная линия — мировая линия путешественницы, поднимающаяся к звезде и опускающаяся обратно. Числа — показания часов: когда она разворачивается, часы Земли показывают 5, а её часы — 4; когда она приземляется, 10 и 8.

Пошлите часы из анимации со скоростью $0,6c$ к звезде, находящейся в системе Земли на расстоянии 3,00 светового года, и сразу обратно, не учитывая краткий разворот. На Земле каждый перелёт занимает $3,00/0,6=5,00$ года, всего 10. Часы путешественницы идут медленнее в $\gamma =1,25$ раза, поэтому они показывают 4,00 года за перелёт, всего 8.

Её собственный взгляд согласуется с этим. В её системе расстояние до звезды сокращено до $L_0/\gamma =3,00/1,25=2,40$ светового года, и это расстояние она проходит со скоростью $0,6c$ за те же 4,00 года. Интервал тоже согласуется: в годах и световых годах каждый перелёт даёт $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=5^2-3^2=4^2$, то есть собственное время 4 года. Отношение 10 : 8 — это 5 : 4 счётчиков тиков в анимации.

Почему полёт несимметричен, если на пути туда каждая из сестёр находит часы другой замедленными? Чтобы это понять, пусть каждая из них посылает по световому сигналу раз в год по своим часам, а вы посчитайте приходящие сигналы. Доплеровский множитель при $0,6c$ равен 2: пока сёстры удаляются друг от друга, сигналы приходят раз в 2 года; пока приближаются — раз в полгода.

Тонкие линии на рисунке 4 — ежегодные сигналы Земли, поднимающиеся под углом 45° от оси $t$, пока не встретят мировую линию путешественницы, а точки отмечают, где они приходят. На пути туда она принимает по одному сигналу за 2 года своего времени, то есть 2 сигнала за свои 4 года; сигнал 2-го года настигает её как раз в момент разворота. На обратном пути она принимает по одному за полгода, ещё 8; сигнал 10-го года приходит в момент её посадки. Поэтому точки сгущаются после разворота, а её счёт в 10 сигналов говорит, что Земля постарела на 10 лет.

С Земли всё выглядит иначе. Она принимает сигналы путешественницы раз в 2 года, пока свет от её разворота не дойдёт до Земли. Путешественница развернулась на расстоянии 3 световых лет в 5-м году, поэтому Земля видит разворот лишь в 8-м году, через три года после события: 4 сигнала за 8 лет. За последние 2 года сигналы приходят раз в полгода, ещё 4: всего 8, так что путешественница постарела на 8 лет.

Асимметрия — это смена системы отсчёта. Сигналы, которые принимает она, учащаются на полпути, при развороте, который чувствует только она, а сигналы, которые принимает Земля, учащаются лишь за 2 года до её возвращения. На языке интервала у её ломаной мировой линии собственное время короче.

Пределы применимости

Специальная теория относительности предполагает плоское пространство-время с инерциальными системами, простирающимися всюду. Этот раздел показывает, где это предположение, а с ним и теория, перестаёт работать.

Первой его нарушает гравитация. Часы, находящиеся ниже в поле тяжести, идут медленнее на долю, равную разности гравитационных потенциалов, делённой на $c^2$: около $7\times 10^{-10}$ между поверхностью Земли и дальним космосом. Часы GPS теряют около 7 мкс в сутки из-за движения и выигрывают около 46 мкс в сутки из-за высоты, поэтому перед запуском их настраивают так, чтобы они шли чуть медленнее. Там, где гравитация меняется в изучаемой области, пространство-время искривлено, и вступает в силу общая теория относительности; специальная теория остаётся верной в любой малой свободно падающей лаборатории.

При обычных скоростях поправки порядка $\frac{1}{2}{v}^2/c^2$ крошечные: $5\times 10^{-15}$ для автомобиля при 30 м/с и $3,5\times 10^{-13}$ для авиалайнера при 250 м/с. И всё же атомные часы, облетевшие земной шар в 1971 году, ушли вперёд или отстали на десятки–сотни наносекунд, как и предсказывалось с учётом гравитации.

На другом краю шкалы теория нигде не подвела: протоны с энергией 6,8 ТэВ в Большом адронном коллайдере имеют $\gamma \approx 7250$ и отстают от света менее чем на 3 м/с, а мюоны, циркулирующие в накопительном кольце при $\gamma \approx 29$, живут в 29 раз дольше, чем в покое.

Последний предел задаёт квантовая механика. При энергии столкновения выше $2m{c}^2$ в системе центра масс, 1,02 МэВ для электронов, могут появиться частица и её античастица. Описать это способно только объединение теории относительности и квантовой механики, и это объединение предсказало антиматерию до её открытия в 1932 году.

К чему это ведёт

Урок «Гравитация как искривление пространства-времени» сохраняет интервал, но позволяет пространству-времени искривляться: свободное падение идёт по самым прямым мировым линиям, а ход часов зависит от высоты. Урок «Деление, синтез и E = mc²» превращает энергию покоя в мощность реакторов и звёзд: при слиянии водорода в гелий высвобождается 0,7 % массы. Уроки «Фотоэффект» и «Корпускулярно-волновой дуализм» наделяют свет энергией $E=hf$ и импульсом $p=E/c=h/\lambda$ — безмассовым случаем четырёхимпульса. В уроке «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» сохранение четырёхимпульса помогает находить частицы, не оставляющие следа. Оглядываясь назад, уроки «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» и «Электромагнитные волны» содержат поля, которые смешиваются, и скорость $c$, с которой всё началось.