Relatividad especial

Principiante

Lanza una piedra desde una barca que se desliza por un lago en calma. Las ondas se extienden por el agua a su propio ritmo, haga lo que haga la barca, así que desde la barca las ondas de delante parecen alejarse despacio y las de detrás salir disparadas. Las ondas en el agua o en el aire viajan por un medio, y la velocidad que mides depende de cómo te mueves a través de él.

Durante mucho tiempo se pensó que la luz funcionaba igual, como una onda en un «éter» invisible que llenaba el espacio. La Tierra gira alrededor del Sol a 30 km/s, así que la luz debería parecer un poco más rápida en una dirección que en otra. En 1887 Michelson y Morley compararon dos haces enviados en ángulo recto, giraron el aparato y no encontraron ninguna diferencia. La luz no necesita medio, y su velocidad, unos 300 000 km cada segundo, es la misma para todos los observadores.

Einstein se tomó este hecho en serio en 1905, y resulta que cambia el propio tiempo. En la animación un destello rebota entre dos espejos, un tic por viaje. En el reloj en reposo la luz sube y baja en línea recta. El otro reloj avanza de lado, así que, visto desde el suelo, su luz sigue zigzags inclinados y más largos. La luz no puede acelerar para recuperar la distancia, de modo que cada tic dura más: cuatro tics frente a cinco. Todo lo que va a bordo, latidos incluidos, se ralentiza igual, y el viajero no nota nada. Los muones, partículas rápidas creadas en lo alto de la atmósfera por los rayos cósmicos, llegan al suelo solo porque su tiempo va más lento. Los objetos en movimiento también se miden más cortos en la dirección del movimiento, y ningún empujón lleva un cuerpo con masa hasta la velocidad de la luz.

Compruébalo: si el reloj en movimiento fuera más rápido, ¿su zigzag sería más largo o más corto, y sus tics más rápidos o más lentos? (Más largo, luego más lentos.)

Intermedio

Sistemas de referencia, sucesos y los dos postulados

En relatividad, un observador representa todo un sistema de referencia inercial: reglas y relojes sincronizados que se mueven con velocidad constante, como un tren que avanza sin sacudidas. Un suceso ocurre en un lugar y en un instante, como un destello o el tic de un reloj, así que cada sistema le asigna una posición $x$ y un tiempo $t$.

La teoría descansa en dos postulados. El primero dice que las leyes de la física tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales, de modo que ningún experimento hecho dentro de una cabina cerrada puede revelar si esta se mueve. El segundo, que la luz en el vacío se propaga con la misma rapidez en todos los sistemas inerciales, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, se muevan como se muevan su fuente o el observador. Juntos obligan a que los intervalos de tiempo y las longitudes dependan del sistema.

Cómo leer el triángulo del reloj de luz

En un reloj de luz, un destello rebota entre dos espejos separados una distancia $d$, y cada travesía es un tic. En el sistema de reposo del reloj la luz cruza en línea recta, así que un tic dura $\Delta t_0=d/c$. Es un tiempo propio: el tiempo entre dos sucesos medido por un único reloj presente en ambos.

En un sistema donde el reloj se mueve de lado con rapidez $v$ (la flecha azul), un tic dura $\Delta t$ y los espejos avanzan $v\Delta t$, de modo que la luz sigue un camino oblicuo. La animación dibuja este triángulo rectángulo sobre el primer tic: el cateto verde discontinuo $c\Delta t_0$ es la separación entre espejos, la base azul $v\Delta t$ el desplazamiento del reloj, y la hipotenusa dorada $c\Delta t$ el camino de la luz, recorrido siempre con rapidez $c$. El teorema de Pitágoras da $(c\Delta t{)}^2=(c\Delta t_0{)}^2+(v\Delta t{)}^2$, de donde
$\Delta t=\gamma \Delta t_0$
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

El factor de Lorentz $\gamma$ vale 1 en reposo y crece sin límite cuando $v$ se acerca a $c$: es 1,005 a $0,1c$, 1,25 a $0,6c$ y 7,09 a $0,99c$. Todo proceso a bordo, incluido el latido del corazón de un pasajero, se ralentiza en el mismo factor; si no, al compararlos se descubriría el movimiento.

Contracción de longitudes y simultaneidad

Las longitudes también cambian. La longitud de un objeto en su propio sistema de reposo es su longitud propia $L_0$, y un sistema en el que el objeto se mueve la mide más corta en la dirección del movimiento,
$L=\frac{L_0}{\gamma }$
pero no de través. Por eso el reloj en movimiento se dibuja con 24 unidades de ancho en vez de 30, pero igual de alto, y su separación entre espejos $d$ es la misma en ambos sistemas, como suponía el triángulo.

Ambos efectos son mutuos: una pasajera que viaja con el reloj en movimiento encuentra que los relojes del suelo atrasan y que las reglas del suelo se acortan. No hay contradicción, porque los dos sistemas discrepan sobre la simultaneidad. Dos destellos que se producen a la vez en los dos extremos de un andén no son simultáneos para una pasajera de un tren que pasa: para ella, ocurre primero el destello situado delante del tren. Para cronometrar un reloj en movimiento hacen falta dos relojes tuyos en los lugares por donde pasa, y el observador en movimiento sostiene que esos dos no están sincronizados.

En cada problema, localiza primero el sistema de reposo del reloj o del objeto: a él pertenecen los tiempos y las longitudes propios.

Energía, cantidad de movimiento y el límite de velocidad

Si la cantidad de movimiento de Newton, $mv$, se conservara en un choque visto desde un sistema, no se conservaría en otro que se mueva a una fracción grande de $c$. La cantidad de movimiento relativista, la energía y la energía cinética llevan todas el factor $\gamma$:

• $p=\gamma mv$
• $E=\gamma m{c}^2$
• $K=(\gamma -1)m{c}^2$

Aquí $m$ es la masa ordinaria, la misma en todos los sistemas, y $E$ es la energía total. Aun en reposo, un cuerpo tiene la energía en reposo $m{c}^2$; $K$ es lo que añade el movimiento. Un electrón tiene $m{c}^2=511\mathrm{keV}$, así que a $0,6c$ su energía es $E=1,25\cdot 511\approx 639\mathrm{keV}$ y $K\approx 128\mathrm{keV}$, mientras que el $\frac{1}{2}m{v}^2$ de Newton da solo 92 keV. Como $\gamma$ no tiene cota superior, tampoco la tiene $K$: a $0,99c$ ya es $6,1m{c}^2$, y ninguna energía finita lleva un cuerpo con masa hasta $c$.

Ejemplo resuelto: los relojes de la animación

En la pantalla la luz se ralentiza hasta 50 unidades por segundo y los espejos están separados 76 unidades, así que el reloj en reposo da un tic cada $\Delta t_0=76/50=1,52\mathrm{s}$. El otro reloj se mueve a $v=0,6c$, es decir, 30 unidades por segundo:
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-0,6^2}}=\frac{1}{\sqrt{0,64}}=\frac{1}{0,8}=1,25$
$\Delta t=1,25\cdot 1,52\mathrm{s}=1,90\mathrm{s}$

Son los valores de la línea «1 tic: 1,52 s → 1,90 s». El triángulo los comprueba: en un tic del reloj en movimiento, este avanza $30\cdot 1,90=57$ unidades y la luz recorre $50\cdot 1,90=95$ unidades, y $57^2+76^2=95^2$, un triángulo 3-4-5. A los 7,6 s el contador verde del reloj en reposo llega a $7,6/1,52=5$ tics y el contador rojo situado sobre el reloj en movimiento a $7,6/1,90=4$: la razón 5 : 4 es $\gamma$.

La flecha azul $v$ conserva su longitud porque la rapidez es constante, y la caja en movimiento se dibuja con $30/1,25=24$ unidades de ancho. Para el reloj en movimiento no ocurre nada anormal: sus cuatro tics duraron $4\cdot 1,52=6,08\mathrm{s}$ de su propio tiempo.

Ejemplo resuelto: muones de la alta atmósfera

Los rayos cósmicos que chocan con la alta atmósfera producen muones, partículas inestables que en reposo viven por término medio $\Delta t_0=2,2\mu \mathrm{s}$. ¿Llegan al suelo los muones creados a 10 km de altura que caen a $v=0,995c$?

Sin relatividad, un muon recorrería solo $0,995\cdot 3,00\times 10^8\cdot 2,2\times 10^{-6}\approx 660\mathrm{m}$ en una vida media. El viaje de 10 km dura $10000/(2,985\times 10^8)\approx 33,5\mu \mathrm{s}$, unas 15 vidas medias, y como tras $n$ vidas medias queda una fracción $e^{-n}$, solo llegaría un muon de cada cuatro millones.

Con relatividad, $\gamma =1/\sqrt{1-0,995^2}\approx 10,0$: en el sistema de la Tierra la vida media es de unos $22\mu \mathrm{s}$, el viaje dura solo 1,5 vidas medias, y sobrevive una fracción $e^{-1,52}\approx 0,22$, más o menos un muon de cada cinco.

En el sistema del muon, su reloj marcha con normalidad, pero la atmósfera pasa a toda velocidad, contraída a $10\mathrm{km}/10,0\approx 1,0\mathrm{km}$, y tarda unos $3,35\mu \mathrm{s}$ en pasar: de nuevo 1,5 vidas medias. Lo que un sistema llama dilatación del tiempo, el otro lo llama contracción de longitudes.

Errores frecuentes

• El reloj en movimiento no está estropeado: en su propio sistema da un tic cada 1,52 s; los 1,90 s se miden desde un sistema en el que se mueve.
• El tiempo propio es el intervalo más corto, así que se multiplica por $\gamma$, nunca se divide: 2,0 s de tiempo propio a $0,6c$ se convierten en 2,5 s, no en 1,6 s.
• No confundas $\gamma$ con la raíz que contiene: a $0,6c$ la raíz $\sqrt{1-v^2/c^2}$ vale 0,8, y $\gamma$, su inverso, vale 1,25.
• La contracción actúa solo en la dirección del movimiento: la separación entre espejos sigue siendo de 76 unidades mientras que la anchura baja de 30 a 24 unidades.
• Las velocidades no se suman sin más: una sonda lanzada hacia delante a $0,6c$ desde una nave que se mueve a $0,6c$ viaja a $1,2/1,36\approx 0,88c$, no a $1,2c$.

Dónde aparece

Los satélites GPS se mueven a unos 3,9 km/s, así que sus relojes pierden unos 7 microsegundos al día por el movimiento, mientras que la gravedad más débil a su altura les hace ganar más; sin corrección, las posiciones calculadas se desviarían kilómetros cada día. Los imanes de los aceleradores se diseñan para $p=\gamma mv$, con protones cuyo $\gamma$ llega a miles. Los microscopios electrónicos aceleran electrones con 300 kV hasta $0,78c$ ($\gamma \approx 1,59$), y los escáneres PET de los hospitales detectan pares de fotones de 511 keV procedentes de la aniquilación electrón–positrón.

La energía en reposo vuelve en Fisión, fusión y E = mc², y la parte gravitatoria de la corrección del GPS, en La gravedad como curvatura del espacio-tiempo.

Avanzado

De los dos postulados a la transformación de Lorentz

Esta sección responde a una sola pregunta: si dos sistemas de referencia inerciales ven que un pulso de luz se mueve con la misma rapidez $c$, ¿cómo se relacionan las coordenadas de un suceso en uno con sus coordenadas en el otro? La respuesta, la transformación de Lorentz, contiene todos los efectos de la relatividad especial, así que merece la pena deducirla paso a paso.

Toma un sistema $S^{\prime }$ que se mueve con velocidad $v$ a lo largo del eje $x$ de un sistema $S$, y pon a cero los dos conjuntos de relojes cuando los dos orígenes se cruzan, de modo que ese suceso tiene $t=t^{\prime }=0$. La regla de Galileo, $x^{\prime }=x-vt$ con $t^{\prime }=t$, no puede ser correcta. Resta velocidades: un pulso de luz con $x=ct$ tendría $x^{\prime }=(c-v)t$ y se movería por tanto a $c-v$ en $S^{\prime }$, en contra del segundo postulado.

Tres hechos fijan la regla correcta. Primero, tiene que ser lineal: el espacio y el tiempo son iguales en todas partes, así que la regla no puede singularizar ningún lugar ni instante, y un cuerpo que se mueve uniformemente en un sistema debe moverse uniformemente en el otro.

Segundo, las distancias perpendiculares al movimiento no cambian: $y^{\prime }=y$ y $z^{\prime }=z$. Imagina dos anillos idénticos que se cruzan volando uno a través del otro a lo largo de su eje común. Si el movimiento encogiera un anillo, cada sistema encontraría más pequeño al otro anillo y lo vería pasar por dentro del suyo; ambas cosas no pueden ser ciertas, porque saber cuál de los anillos pasa por dentro del otro es un hecho simple.

Tercero, el origen de $S^{\prime }$, donde $x^{\prime }=0$, está en $x=vt$. Una regla lineal que dé $x^{\prime }=0$ justo ahí tiene que ser proporcional a $x-vt$:
$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$
Aquí $\gamma$ es un factor que puede depender de $v$ pero no de $x$ ni de $t$. En $S^{\prime }$ el sistema $S$ se mueve a $-v$ y, por el primer postulado, ningún sistema es especial; la inversa tiene por tanto la misma forma, con el mismo factor y la velocidad opuesta:
$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

El segundo postulado fija ahora $\gamma$. Envía un pulso de luz desde el origen común en $t=t^{\prime }=0$. En $S$ cumple $x=ct$, y en $S^{\prime }$ cumple $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$. Al sustituir en las dos ecuaciones resulta $c{t}^{\prime }=\gamma (c-v)t$ y $ct=\gamma (c+v)t^{\prime }$. Multiplicándolas y simplificando $t{t}^{\prime }$ queda $c^2={\gamma }^2(c^2-v^2)$, de modo que
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
que es el factor de Lorentz que dio el reloj de luz para la dilatación del tiempo.

La regla para el tiempo sale al eliminar $x^{\prime }$. Sustituye $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ en $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ y despeja $t^{\prime }$; con $1-1/{\gamma }^2=v^2/c^2$ el resultado se simplifica, y la transformación completa es
$x^{\prime }=\gamma (x-vt),t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$
Cuando $v\ll c$, $\gamma \approx 1$ y el término $vx/c^2$ es despreciable, así que reaparece la regla de Galileo. Ese término nuevo es el núcleo del asunto: el tiempo de un suceso en $S^{\prime }$ depende no solo de cuándo ocurre en $S$, sino también de dónde.

Ejes inclinados: el diagrama espacio-temporal

Leyenda

$x$	Posición en $S$: el eje horizontal, la recta $ct=0$.	$\mathrm{m}$
$ct$	Tiempo en $S$ multiplicado por $c$: el eje vertical, para que tiempo y distancia compartan una unidad.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Eje de posiciones de $S^{\prime }$: la recta de los sucesos con $t^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Eje del tiempo de $S^{\prime }$, el tiempo multiplicado por $c$: la línea de universo del origen de $S^{\prime }$, donde $x^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Línea de universo de un pulso de luz que sale de $A$; cumple también $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$.
$A$	Suceso en el origen de ambos sistemas.
$B$	Suceso en el eje $x$, simultáneo con $A$ en $S$.
$\Delta x$	Distancia entre $A$ y $B$ en $S$.	$\mathrm{m}$
$c\Delta t^{\prime }$	Tiempo entre $A$ y $B$ en $S^{\prime }$, multiplicado por $c$ y leído sobre el eje $c{t}^{\prime }$. Es negativo: $B$ ocurre primero.	$\mathrm{m}$

Un diagrama espacio-temporal dibuja la transformación de Lorentz en lugar de escribirla, y muestra de un vistazo por qué dos sistemas discrepan sobre qué sucesos lejanos ocurren a la vez. La figura 1 está dibujada en el sistema $S$, para $v=0,6c$.

El tiempo se representa hacia arriba como $ct$, el tiempo multiplicado por $c$, para que los dos ejes de $S$ midan longitud en la misma unidad. Un pulso de luz que sale del origen sigue entonces la recta discontinua de 45°, $x=ct$.

El sistema $S^{\prime }$ aporta dos ejes propios. Su eje del tiempo $c{t}^{\prime }$ es el conjunto de sucesos con $x^{\prime }=0$: la línea de universo $x=vt$ de su origen, que se inclina a la derecha del eje $ct$. Su eje de posiciones $x^{\prime }$ es el conjunto de sucesos con $t^{\prime }=0$; al poner $t^{\prime }=0$ en $t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2)$ resulta $ct=(v/c)x$, una recta que sube inclinada desde el eje $x$. Los dos ejes de $S^{\prime }$ se inclinan el mismo ángulo, cada uno hacia la recta de la luz desde su lado, así que esta sigue quedando a medio camino entre ellos. El pulso cumple por tanto también $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$: el segundo postulado está incorporado a la figura.

Fíjate ahora en los sucesos $A$ y $B$. Ambos están en el eje $x$, así que en $S$ ocurren a la vez, en $t=0$, a una distancia $\Delta x$ uno de otro. En $S^{\prime }$, los sucesos con el mismo $t^{\prime }$ están sobre rectas paralelas al eje $x^{\prime }$, igual que los sucesos con el mismo $t$ están sobre horizontales en $S$. Para leer el tiempo de $B$ en $S^{\prime }$, sigue la recta discontinua que pasa por $B$, paralela a $x^{\prime }$, hasta que corte el eje $c{t}^{\prime }$. Lo corta por debajo de $A$, en $c\Delta t^{\prime }$: según los relojes de $S^{\prime }$, el suceso $B$ ocurre primero. Al poner $\Delta t=0$ en la transformación se obtiene el tamaño de la diferencia:
$\Delta t^{\prime }=-\frac{\gamma v\Delta x}{c^2}$
El signo menos dice que $B$, el suceso situado más adelante en el sentido del movimiento, ocurre primero. A la velocidad de la figura $\gamma =1,25$, así que $\gamma v/c=0,75$: dos destellos de laboratorio simultáneos, separados un segundo luz, distan 0,75 s para los relojes en movimiento. Que dos sucesos lejanos sean simultáneos depende del sistema.

Dilatación, contracción y suma de velocidades

La transformación da ahora, en pocas líneas para cada uno, los efectos ya vistos, y muestra que valen para cualquier reloj y cualquier regla, no solo para el reloj de luz.

Dilatación del tiempo. Toma un reloj en reposo en el origen de $S^{\prime }$. En $S$ se mueve a lo largo de $x=vt$, así que su lectura es $t^{\prime }=\gamma (t-v^{2}t/c^2)=\gamma t(1-v^2/c^2)=t/\gamma$. Mientras en $S$ pasa un tiempo $\Delta t$, el reloj en movimiento avanza solo $\Delta t_0=\Delta t/\gamma$; es decir, $\Delta t=\gamma \Delta t_0$.

Contracción de longitudes. Una regla de longitud propia $L_0$ está en reposo en $S^{\prime }$, así que sus extremos distan $\Delta x^{\prime }=L_0$. Para medir una regla en movimiento, $S$ debe marcar los dos extremos a la vez, $\Delta t=0$, y entonces la transformación da $\Delta x^{\prime }=\gamma \Delta x$. La longitud en $S$ es, por tanto, $L=\Delta x=L_0/\gamma$.

Suma de velocidades. La transformación inversa es la misma regla con $-v$: $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ y $t=\gamma (t^{\prime }+v{x}^{\prime }/c^2)$. Un cuerpo que se mueve a $u^{\prime }$ a lo largo de $x$ en $S^{\prime }$ recorre $d{x}^{\prime }=u^{\prime }d{t}^{\prime }$, así que $dx=\gamma (u^{\prime }+v)d{t}^{\prime }$ y $dt=\gamma (1+u^{\prime }v/c^2)d{t}^{\prime }$. Su cociente es su velocidad en $S$:
$u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$
Para $u^{\prime }=c$ resulta $u=c$, como exige el segundo postulado. Dos velocidades de $0,6c$ no se componen en $1,2c$ sino en $1,2/1,36=15/17\approx 0,88c$.

El tamaño de todos estos efectos lo fija $\gamma$, y la gráfica de la animación lo representa frente a $v/c$ hasta 0,95, donde $\gamma =3,20$. Cerca del origen la curva es plana, $\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, solo un 0,5 % por encima de 1 a $0,1c$; por eso la relatividad pasa inadvertida en la vida diaria. En el punto marcado, $0,6c$, esta parábola da solo 1,18 frente al 1,25 verdadero, y la pendiente $d\gamma /d(v/c)=(v/c){\gamma }^3$ ya vale 1,17. En el borde derecho la pendiente vale 31, y la curva sube hacia una asíntota vertical en $v=c$.

El intervalo invariante y el ángulo hiperbólico

Leyenda

$x$	Posición en $S$: el eje horizontal.	$\mathrm{m}$
$ct$	Tiempo en $S$ multiplicado por $c$: el eje vertical, la línea de universo del reloj en reposo.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Eje de posiciones de $S^{\prime }$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Eje del tiempo de $S^{\prime }$, el tiempo multiplicado por $c$: la línea de universo del reloj en movimiento.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Línea de universo de la luz que sale de $O$: la recta discontinua a la que se acerca la hipérbola.
$O$	Suceso en el que los dos relojes se encuentran y arrancan.
$Q$	Tic del reloj en reposo, tras el tiempo propio $\tau$.
$P$	Tic del reloj en movimiento, tras el mismo tiempo propio $\tau$.
$c\tau$	Tiempo propio entre $O$ y el tic, multiplicado por $c$: la altura de $Q$ y la coordenada $c{t}^{\prime }$ de $P$.	$\mathrm{m}$
$\gamma c\tau$	Tiempo de $P$ en $S$, multiplicado por $c$: mayor que $c\tau$ en el factor $\gamma$.	$\mathrm{m}$
$s$	Intervalo desde $O$, el mismo para todos los puntos de la hipérbola; aquí $s=c\tau$.	$\mathrm{m}$
$\alpha$	Inclinación de los ejes de $S^{\prime }$ respecto de los de $S$: $\mathrm{tg}\alpha =v/c$.	$\mathrm{rad}$

Los tiempos y las longitudes cambian cada uno de un sistema a otro, pero una combinación de ellos no cambia. Este invariante, el intervalo, hace en el espacio-tiempo el papel que hace la distancia en el espacio ordinario, y la figura 2 muestra cómo leerlo en un diagrama.

Dos relojes idénticos parten juntos del suceso $O$. Uno permanece en reposo en $S$ y sube por el eje $ct$; el otro se mueve con $S^{\prime }$ y sube por el eje $c{t}^{\prime }$. Cada uno da un tic tras el tiempo propio $\tau$, el tiempo que él mismo lee. El reloj en reposo da su tic en el suceso $Q$, a la altura $c\tau$. El reloj en movimiento da su tic en el suceso $P$, donde su propio eje marca $c{t}^{\prime }=c\tau$. La recta discontinua que va de $P$ al eje $ct$ muestra cuándo data $S$ ese tic: en $ct=\gamma c\tau$, después que $Q$. Es de nuevo la dilatación del tiempo.

Fíjate en el rompecabezas sobre el papel: el segmento $OP$ está dibujado más largo que $OQ$, y sin embargo ambos representan el mismo $c\tau$. La curva $s$ lo resuelve. Tanto $P$ como $Q$ están en esta hipérbola, el conjunto de todos los sucesos situados al mismo intervalo $s=c\tau$ de $O$. En un diagrama espacio-temporal los intervalos iguales se leen a lo largo de estas hipérbolas, no con una regla.

El intervalo entre dos sucesos se define por
$s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$
Sustituye la transformación en el segundo miembro, eleva al cuadrado y resta: los términos cruzados se anulan, el factor ${\gamma }^2(1-v^2/c^2)$ vale 1, y sale el mismo $s^2$ en $S^{\prime }$. Un giro en un plano deja inalterado $x^2+y^2$ exactamente del mismo modo.

La analogía con el giro es exacta. Define el ángulo hiperbólico $\phi$ por $v/c=\tanh \phi$. Entonces $\gamma =\cosh \phi$ y $\gamma v/c=\sinh \phi$, y la transformación queda $c{t}^{\prime }=ct\cosh \phi -x\sinh \phi$ y $x^{\prime }=x\cosh \phi -ct\sinh \phi$. Es un giro en el plano $(x,ct)$ de ángulo $\phi$, con funciones hiperbólicas en lugar de circulares. La figura 2 muestra el mismo cambio de sistema medido con una regla: los ejes de $S^{\prime }$ se inclinan el ángulo $\alpha$, con $\mathrm{tg}\alpha =v/c=\tanh \phi$. Los ángulos hiperbólicos de cambios sucesivos a lo largo de una misma recta simplemente se suman, que es la ley de suma de velocidades disfrazada. En la animación $\phi =\mathrm{artanh}0,6=\ln 2$, así que $\gamma =\cosh (\ln 2)=(2+\frac{1}{2})/2=1,25$, y dos cambios así dan $\tanh (2\ln 2)=\tanh (\ln 4)=15/17$, la velocidad hallada arriba.

El reloj de luz mide un intervalo. Un tic del reloj en movimiento abarca $\Delta t=1,90\mathrm{s}$ y $\Delta x=57$ unidades en $S$, con la luz a 50 unidades por segundo, así que $c\Delta t=95$ unidades y $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=95^2-57^2=76^2$. El intervalo es la separación entre espejos, 76 unidades, la misma en todos los sistemas; dividido por $c$, es el tiempo propio de un tic, 1,52 s.

A lo largo de una línea de universo que se curva, suma el tiempo propio de cada tramo recto corto: $\tau =\int dt/\gamma$. A causa de los signos menos de $s^2$, el movimiento por el espacio reduce el tiempo propio en lugar de sumarse a él. Entre todas las líneas de universo que unen dos sucesos, la recta, la inercial, tiene por tanto el mayor tiempo propio, lo contrario que en la geometría de Euclides, donde la recta es la más corta. Un gemelo que se aleja y da la vuelta envejece menos, como muestra el problema resuelto de más abajo.

Energía y cantidad de movimiento como un cuadrivector

Leyenda

$m{c}^2$	Energía en reposo: un cateto del triángulo, copiado sobre la hipotenusa por el arco.	$\mathrm{J}$
$pc$	Cantidad de movimiento multiplicada por $c$: el otro cateto.	$\mathrm{J}$
$E$	Energía total, $\gamma m{c}^2$: la hipotenusa.	$\mathrm{J}$
$K$	Energía cinética, $E-m{c}^2$: la parte de la hipotenusa que sobrepasa el cateto girado.	$\mathrm{J}$
$\theta$	Ángulo entre el cateto $m{c}^2$ y la hipotenusa: $\mathrm{sen}\theta =pc/E=v/c$.	$\mathrm{rad}$

Si la cantidad de movimiento ha de conservarse en todo sistema inercial, la energía y la cantidad de movimiento deben transformarse juntas, igual que $t$ y $x$. Esta sección reúne ese par en un solo cuadrivector y termina con la relación que la figura 3 dibuja como un triángulo rectángulo.

Lee primero el triángulo. Sus catetos son la energía en reposo $m{c}^2$ y $pc$, la cantidad de movimiento multiplicada por $c$; su hipotenusa es la energía total $E$, y el ángulo recto está arriba, de modo que $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$. Gira el cateto $m{c}^2$ alrededor del vértice izquierdo hacia abajo, sobre la hipotenusa, a lo largo del arco discontinuo: el trozo de hipotenusa que sobra en el extremo derecho es $K=E-m{c}^2$, la energía cinética. En el vértice izquierdo el ángulo $\theta$ cumple $\mathrm{sen}\theta =pc/E$, que es igual a $v/c$, como se muestra más abajo.

Ahora la deducción. El paso $(cdt,d\vec{x})$ entre dos sucesos próximos de la línea de universo de un cuerpo se transforma como $(ct,\vec{x})$. Al dividirlo por el tiempo propio $d\tau =dt/\gamma$, que es el mismo en todos los sistemas, conserva esa propiedad; el resultado es la cuadrivelocidad $\gamma (c,\vec{v})$. Multiplicada por la masa $m$, da el cuadrimomento
$(E/c,\vec{p})=(\gamma mc,\gamma m\vec{v})$
Su parte espacial, $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, es la cantidad de movimiento que se conserva en las colisiones. Su parte temporal es $E/c$, y un cambio de sistema mezcla ambas, igual que mezcla $ct$ y $x$: la cantidad de movimiento vista en $S^{\prime }$ contiene energía de $S$. Así, la cantidad de movimiento solo puede conservarse en todos los sistemas si también se conserva la energía, y las dos leyes se convierten en una.

Como el intervalo, este cuadrivector tiene una longitud en la que coinciden todos los sistemas: $(E/c{)}^2-p^2={\gamma }^2{m}^2{c}^2(1-v^2/c^2)=m^2{c}^2$. Multiplicada por $c^2$, se lee
$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$
Dividir la parte espacial por la temporal da $pc/E=v/c$, de modo que $v=p{c}^2/E$, y este es el $\mathrm{sen}\theta$ de la figura 3. Una partícula sin masa tiene $E=pc$ y por eso se mueve a $c$.

Para velocidades pequeñas, desarrolla $\gamma$ en potencias de $v^2/c^2$:
$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}$
La energía cinética de Newton es la primera corrección, y $K=(\gamma -1)m{c}^2$ es la forma exacta. La energía en reposo $m{c}^2$ que queda en $v=0$ es real: un cuerpo caliente tiene una masa mayor en $\Delta E/c^2$, y un núcleo es más ligero que sus partes por separado. La masa $m$ es la misma en todos los sistemas; lo que crece con la velocidad es $\gamma$.

A la velocidad de la animación, $0,6c$, el triángulo de la figura 3 es un triángulo 3-4-5: $pc=\gamma mvc=0,75m{c}^2$ y $E=1,25m{c}^2$, y en efecto $0,75^2+1^2=1,25^2$. La energía cinética es $K=0,25m{c}^2$, mientras que el $\frac{1}{2}m{v}^2$ de Newton, que vale $0,18m{c}^2$, se queda un 28 % corto.

Efecto Doppler, campos y aceleración

Tres aplicaciones breves muestran hasta dónde llega la transformación: a la luz de fuentes en movimiento, a los campos eléctrico y magnético, y a los cuerpos que aceleran.

Efecto Doppler. La luz no necesita medio, así que su desplazamiento Doppler solo puede depender de la velocidad relativa entre la fuente y el observador. Supón que una fuente se aleja a $v$ y emite una cresta cada $T$ en su propio sistema. En nuestro sistema las crestas salen cada $\gamma T$, por la dilatación del tiempo, y entre dos crestas la fuente se aleja $v\gamma T$, lo que añade $v\gamma T/c$ al tiempo de viaje de la cresta siguiente. El periodo recibido es por tanto
$\gamma T(1+v/c)=T\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$
A $0,6c$ el factor es exactamente 2, que es $e^{\phi }$ para el ángulo hiperbólico $\phi =\ln 2$: una línea espectral de 500 nm llega como 1000 nm desde una fuente que se aleja y como 250 nm desde una que se acerca. Para la luz recibida en ángulo recto con el movimiento la distancia no cambia, así que solo queda la dilatación del tiempo, que reduce la frecuencia en el factor $\gamma$.

Campos. Una carga en reposo tiene solo campo eléctrico. En un sistema donde se mueve, es una corriente y tiene también campo magnético, y la fuerza magnética sobre una carga en movimiento es una fuerza eléctrica en el sistema de reposo de la carga: un cambio de sistema mezcla los campos eléctrico y magnético igual que mezcla $t$ y $x$. Las ecuaciones de Maxwell ya cumplen la transformación de Lorentz, así que lo que tuvo que cambiar fue la mecánica, no el electromagnetismo.

Aceleración. Los cuerpos acelerados no necesitan una teoría nueva mientras el espacio-tiempo sea plano: en cada instante, usa el sistema inercial que se mueve con el cuerpo. Supón que una nave mantiene una aceleración propia constante $a$, la que sienten los pasajeros. En cada tramo corto $d\tau$ del tiempo de la nave gana el mismo pequeño ángulo hiperbólico $ad\tau /c$, y los ángulos hiperbólicos se suman, de modo que $\phi =a\tau /c$ crece de manera uniforme y $v=c\tanh (a\tau /c)$ nunca llega a $c$. Un año de tiempo de la nave a $9,81m/{\mathrm{s}}^2$ da $a\tau /c\approx 1,03$ y $v\approx 0,77c$.

Problema resuelto: ida y vuelta a una estrella cercana

Leyenda

$t$	Tiempo en el sistema de la Tierra, dibujado en años: el eje horizontal, que es también la línea de universo de la Tierra.	$\mathrm{s}$
$x$	Distancia a la Tierra a lo largo del viaje, dibujada en años luz.	$\mathrm{m}$
$L_0$	Distancia a la estrella en el sistema de la Tierra: 3,00 años luz.	$\mathrm{m}$

Este problema pone toda la lección a trabajar en la paradoja de los gemelos: una viajera vuela a una estrella y vuelve más joven que su gemela de la Tierra. La figura 4 dibuja el viaje en el sistema de la Tierra, con el tiempo $t$ en años a lo ancho y la distancia $x$ en años luz hacia arriba, de modo que la luz va a 45°. La Tierra permanece en el eje $t$, y la estrella, a la distancia $L_0$, es la horizontal discontinua. La línea quebrada es la línea de universo de la viajera, que sube hasta la estrella y vuelve a bajar. Los números son lecturas de relojes: cuando ella da la vuelta, el reloj de la Tierra marca 5 y el suyo 4; cuando aterriza, 10 y 8.

Envía el reloj de la animación a $0,6c$ hasta una estrella situada a 3,00 años luz en el sistema de la Tierra y de vuelta en línea recta, ignorando el breve giro. En la Tierra cada tramo dura $3,00/0,6=5,00$ años, 10 en total. El reloj de la viajera atrasa en el factor $\gamma =1,25$, así que marca 4,00 años por tramo, 8 en total.

Su propio punto de vista coincide. En su sistema la distancia a la estrella está contraída a $L_0/\gamma =3,00/1,25=2,40$ años luz, que ella recorre a $0,6c$ en esos mismos 4,00 años. El intervalo también coincide: en años y años luz, cada tramo tiene $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=5^2-3^2=4^2$, un tiempo propio de 4 años. La razón 10 : 8 es la 5 : 4 de los contadores de tics de la animación.

¿Por qué el viaje no es simétrico, si en el tramo de ida cada gemela encuentra lento el reloj de la otra? Para verlo, haz que cada gemela envíe una señal luminosa cada año según su propio reloj, y cuenta las señales que llegan. El factor Doppler a $0,6c$ es 2: mientras las gemelas se alejan, las señales llegan cada 2 años; mientras se acercan, cada medio año.

Las líneas finas de la figura 4 son las señales anuales de la Tierra, que suben a 45° desde el eje $t$ hasta encontrar la línea de universo de la viajera, y los puntos marcan dónde llegan. A la ida recibe una cada 2 años de su tiempo, es decir, 2 señales en sus 4 años; la señal del año 2 la alcanza justo cuando da la vuelta. A la vuelta recibe una cada medio año, 8 más; la señal del año 10 llega cuando aterriza. Así, los puntos se agolpan tras el giro, y su cuenta de 10 señales dice que la Tierra ha envejecido 10 años.

Desde la Tierra, el cuadro es distinto. Recibe las señales de la viajera cada 2 años hasta que la luz de su giro llega a la Tierra. Ella giró a 3 años luz en el año 5, así que la Tierra ve el giro solo en el año 8, tres años después del suceso, con 4 señales en 8 años. En los últimos 2 años las señales llegan cada medio año, 4 más: 8 en total, así que la viajera ha envejecido 8 años.

La asimetría es el cambio de sistema. Las señales que ella recibe se aceleran a mitad de su viaje, en el giro que solo ella siente, mientras que las que recibe la Tierra se aceleran solo 2 años antes de que vuelva. En el lenguaje del intervalo, su línea de universo quebrada tiene el menor tiempo propio.

Límites de validez

La relatividad especial supone un espacio-tiempo plano, con sistemas inerciales que se extienden por todas partes. Esta sección muestra dónde se acaba esa suposición, y con ella la teoría.

La gravedad la rompe primero. Un reloj más bajo en un campo gravitatorio atrasa en una fracción igual a la diferencia de potencial gravitatorio dividida por $c^2$: unos $7\times 10^{-10}$ entre la superficie de la Tierra y el espacio lejano. Los relojes del GPS pierden unos 7 µs al día por su movimiento y ganan unos 46 µs al día por su altura, así que antes del lanzamiento se ajustan para que marchen algo más despacio. Donde la gravedad varía a lo largo de la región estudiada, el espacio-tiempo es curvo y toma el relevo la relatividad general; la relatividad especial sigue valiendo en cualquier laboratorio pequeño en caída libre.

A velocidades cotidianas las correcciones, del orden de $\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, son diminutas: $5\times 10^{-15}$ para un coche a 30 m/s y $3,5\times 10^{-13}$ para un avión de línea a 250 m/s. Aun así, los relojes atómicos llevados alrededor del mundo en 1971 adelantaron o atrasaron de decenas a cientos de nanosegundos, como se había predicho una vez incluida la gravedad.

En el otro extremo nada ha fallado: los protones de 6,8 TeV del Gran Colisionador de Hadrones tienen $\gamma \approx 7250$ y van por detrás de la luz en menos de 3 m/s, y los muones que giran en un anillo de almacenamiento con $\gamma \approx 29$ viven 29 veces más que en reposo.

La mecánica cuántica fija el último límite. Por encima de una energía de colisión de $2m{c}^2$ en el sistema del centro de masas, 1,02 MeV para electrones, pueden aparecer una partícula y su antipartícula. Solo la unión de la relatividad y la mecánica cuántica puede describirlo, y esa unión predijo la antimateria antes de su descubrimiento en 1932.

Hacia dónde lleva esto

La lección La gravedad como curvatura del espacio-tiempo conserva el intervalo pero deja que el espacio-tiempo se curve, de modo que la caída libre sigue las líneas de universo más rectas posibles y los relojes dependen de la altura. La lección Fisión, fusión y E = mc² convierte la energía en reposo en la potencia de los reactores y las estrellas: fusionar hidrógeno en helio libera el 0,7 % de la masa. Las lecciones Efecto fotoeléctrico y Dualidad onda-corpúsculo dan a la luz la energía $E=hf$ y la cantidad de movimiento $p=E/c=h/\lambda$, el caso sin masa del cuadrimomento. En la lección Partículas y fuerzas: el modelo estándar la conservación del cuadrimomento sirve para hallar partículas que no dejan rastro. Mirando atrás, las lecciones Fuerza magnética sobre cargas en movimiento y Ondas electromagnéticas contienen los campos que se mezclan y la velocidad $c$ con la que empezó todo.