狭义相对论

为什么运动的时钟走得慢， $Δ t = γ Δ t_{0}$ ，运动的尺子会缩短， $L = L_{0} / γ$ ，而任何有质量的物体都无法达到光速 $c$ ：洛伦兹因子 $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ 会无限增大。

两个相同的光钟：静止的那个，光沿直线上下往返；运动的那个，光沿更长的之字形路径前进，因此落后。

学习本主题之前: 矢量与相对运动, 动量与碰撞, 功、能与功率

入门

核心概念

光不需要介质：无论观察者运动多快，光速（约每秒 30 万千米）对所有人都相同。
运动光钟中的光以相同速度走更长的之字形路径，所以运动的时钟走得更慢。
随时钟一起运动的一切都会以同样的方式变慢：旅行者察觉不到异样，但高空的μ子寿命足够长，能够到达地面。
运动物体沿运动方向测得的长度更短，垂直于运动方向的尺寸则不变。
任何有质量的物体都无法达到光速：每次推动增加的速度都比前一次少。

在平静湖面上，从缓缓滑行的小船上扔一块石子。无论小船在做什么，涟漪都以自己的速度在水中扩散，所以从船上看，前方的涟漪似乎慢慢爬开，而后方的涟漪则飞快散开。水波和声波都要依靠介质传播，你测得的速度取决于你相对于介质如何运动。

物理学家长期以来认为光的传播方式与此相同，即光是充满空间的、看不见的“以太”中的一种波动。地球以 30 km/s 绕太阳运动，因此光在不同方向上的速度似乎应略有不同。1887 年，迈克耳孙和莫雷比较了沿互相垂直方向发出的两束光，把仪器转了个方向，结果什么差别也没有发现。光不需要介质，其速度约为每秒 30 万千米，对每位观察者都相同。

1905 年，爱因斯坦认真对待了这一结论，它改变了时间本身。动画中，闪光在两面镜子之间来回反射，每往返一次就滴答一次。静止的时钟中，光沿直线上下走。另一个时钟向侧面快速运动，所以从地面看，它的光沿着更长的斜向之字形路径前进。光无法加速来弥补这段距离，因此每次滴答都更久：四次对五次。船上的一切，包括心跳，都以同样的方式变慢，所以旅行者察觉不到任何异样。μ子是宇宙射线在高空产生的快速粒子，它们之所以能到达地面，正是因为它们的时间变慢了。运动的物体沿运动方向也会测得更短，而且没有任何推动能让有质量的物体达到光速。

自我检验：如果运动的时钟速度更快，它的之字形路径会更长还是更短？它的滴答会更快还是更慢？（更长，因此更慢。）

中级

核心概念

洛伦兹因子 $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ 永远不小于 1；当 $v = 0.6 c$ 时， $γ = 1.25$ 。
时间膨胀： $Δ t = γ Δ t_{0}$ ，其中 $Δ t_{0}$ 是固有时，即时钟在自身静止参考系中显示的时间。
长度收缩： $L = L_{0} / γ$ ，仅沿运动方向发生。
寿命为 $2.2 μ s$ 的μ子能到达地面：在 $0.995 c$ （ $γ \approx 10$ ）时，地球参考系中它们的寿命约为 $22 μ s$ 。
这一效应是对称的：每位观察者都测得对方的时钟走得慢。

参考系、事件与两条假设

相对论中的观察者代表一个完整的惯性参考系：以恒定速度运动的尺子和同步时钟，就像平稳匀速行驶的火车。事件发生在某一地点、某一瞬间，例如一次闪光或时钟的一次滴答，因此每个参考系都给它一个位置 $x$ 和一个时刻 $t$ 。

这一理论建立在两条假设之上。第一，物理定律在每个惯性参考系中形式相同，因此在封闭的船舱内无法通过任何实验判断自己是否在运动。第二，真空中的光在每个惯性参考系中速度都相同，即 $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ ，无论光源或观察者如何运动。这两条假设共同导致时间间隔和长度依赖于参考系。

读懂光钟三角形

在光钟中，闪光在相距 $d$ 的两面镜子之间反射，每次经过算一次滴答。在时钟的静止参考系中，光沿直线往返，因此一次滴答持续 $Δ t_{0} = d / c$ 。这是固有时：在同一只时钟上、于两个事件处读取的两个时刻之差。

在某个参考系中，若时钟以速度 $v$ 向侧面运动（蓝色箭头），一次滴答持续 $Δ t$ ，镜子在这段时间内移动了 $v Δ t$ ，因此光沿斜线前进。动画在第一次滴答上画出了这个直角三角形：虚线绿边 $c Δ t_{0}$ 是镜面间距，蓝色底边 $v Δ t$ 是时钟的位移，金色斜边 $c Δ t$ 是光走过的路径，光始终以速度 $c$ 前进。由勾股定理， $(c Δ t)^{2} = (c Δ t_{0})^{2} + (v Δ t)^{2}$ ，于是
$Δ t = γ Δ t_{0}$
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$

洛伦兹因子 $γ$ 在静止时为 1，并随 $v$ 趋近 $c$ 而无限增大：在 $0.1 c$ 时为 1.005，在 $0.6 c$ 时为 1.25，在 $0.99 c$ 时为 7.09。船上的一切过程，包括乘客的心跳，都以同样的倍数变慢；否则，比较它们就能揭示运动的存在。

长度收缩与同时性

长度也会改变。物体在自身静止参考系中的长度是固有长度 $L_{0}$ ；在物体运动的参考系中，它沿运动方向测得的长度更短，
$L = \frac{L _{0}}{γ}$
而垂直于运动方向的尺寸不变。因此，运动的时钟在图中画成宽 24 个单位而非 30 个单位，但高度相同；它的镜面间距 $d$ 在两个参考系中相同，正如三角形分析所假设的那样。

两种效应是相互的：与运动时钟同行的乘客会发现，地面的时钟走得慢，地面的尺子变短。这并不矛盾，因为两个参考系对同时性的判断不同。站台两端同一时刻发出的两次闪光，对经过的列车上的乘客而言并不同时：在她看来，列车前方的闪光先发生。要测量运动的时钟，需要在它经过的两个地点各放一只自己的时钟，而运动的观察者会说这两只钟并未同步。

在每个问题中，先找到时钟或物体的静止参考系：固有时和固有长度都属于该参考系。

能量、动量与速度上限

如果从某一参考系看，碰撞中牛顿动量 $m v$ 守恒，那么在以接近 $c$ 的大速度运动的参考系中，它就不再守恒。相对论动量、能量和动能都带有因子 $γ$ ：

$p = γm v$
$E = γm c^{2}$
$K = (γ - 1) m c^{2}$

这里 $m$ 是普通质量，在每个参考系中都相同，而 $E$ 是总能量。即使物体静止，它也具有静能 $m c^{2}$ ； $K$ 是运动所增加的能量。电子的 $m c^{2} = 511 keV$ ，因此在 $0.6 c$ 时，它的能量为 $E = 1.25 \cdot 511 \approx 639 keV$ ，动能 $K \approx 128 keV$ ，而牛顿公式 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 只给出 92 keV。由于 $γ$ 没有上限， $K$ 也没有上限：在 $0.99 c$ 时，它已是 $6.1 m c^{2}$ ，任何有限的能量都无法使有质量的物体达到 $c$ 。

例题：动画中的时钟

在屏幕上，光的速度为每秒 50 个单位，镜面相距 76 个单位，因此静止的时钟每 $Δ t_{0} = 76/50 = 1.52 s$ 滴答一次。另一只时钟以 $v = 0.6 c$ 运动，即每秒 30 个单位：
$γ = \frac{1}{1 - 0. 6 ^{2}} = \frac{1}{0.64} = \frac{1}{0.8} = 1.25$
$Δ t = 1.25 \cdot 1.52 s = 1.90 s$

这就是“1 次滴答：1.52 s → 1.90 s”一行中的数值。三角形可以验证：运动时钟的一次滴答中，它前进 $30 \cdot 1.90 = 57$ 个单位，光走过 $50 \cdot 1.90 = 95$ 个单位，且 $5 7^{2} + 7 6^{2} = 9 5^{2}$ ，这是一个 3-4-5 三角形。经过 7.6 s 后，静止时钟的绿色计数器达到 $7.6/1.52 = 5$ 次滴答，运动时钟上方的红色计数器为 $7.6/1.90 = 4$ 次：比例 5 : 4 即为 $γ$ 。

蓝色箭头 $v$ 的长度保持不变，因为速度是恒定的；运动的箱子画成宽 $30/1.25 = 24$ 个单位。对运动的时钟而言，一切正常：它的四次滴答用掉了自身时间 $4 \cdot 1.52 = 6.08 s$ 。

例题：高空的μ子

宇宙射线撞击高层大气时会产生μ子，这是一种不稳定粒子，静止时的平均寿命为 $Δ t_{0} = 2.2 μ s$ 。在高空 10 km 处产生的μ子，以 $v = 0.995 c$ 下落，能否到达地面？

若不考虑相对论，μ子在一个平均寿命内只能飞行 $0.995 \cdot 3.00 \times 1 0^{8} \cdot 2.2 \times 1 0^{- 6} \approx 660 m$ 。而 10 km 的路程需要 $10 000/ (2.985 \times 1 0^{8}) \approx 33.5 μ s$ ，约为 15 个平均寿命；经过 $n$ 个寿命后剩下的比例为 $e^{- n}$ ，因此只有约四百万分之一的μ子能到达地面。

考虑相对论后， $γ = 1/ 1 - 0.99 5^{2} \approx 10.0$ ：在地球参考系中，平均寿命约为 $22 μ s$ ，飞行只需约 1.5 个寿命，剩余比例为 $e^{- 1.52} \approx 0.22$ ，即约五分之一的μ子能存活到达。

在μ子的参考系中，它的时钟正常走动，但大气飞速掠过，并收缩为 $10 km /10.0 \approx 1.0 km$ ，经过它约需 $3.35 μ s$ ：同样是约 1.5 个寿命。一个参考系所说的时间膨胀，在另一个参考系中就是长度收缩。

常见错误

运动的时钟并没有故障：在它自己的参考系中，每 1.52 s 滴答一次；1.90 s 是在它运动的参考系中测得的。
固有时是最短的时间间隔，所以应乘以 $γ$ ，而不是除以：在 $0.6 c$ 时，2.0 s 的固有时变为 2.5 s，而不是 1.6 s。
不要把 $γ$ 与其中的根式混淆：在 $0.6 c$ 时，根式 $1 - v^{2} / c^{2}$ 为 0.8，而它的倒数 $γ$ 为 1.25。
收缩只沿运动方向发生：镜面间距仍为 76 个单位，而宽度从 30 缩短为 24 个单位。
速度不能简单相加：从以 $0.6 c$ 运动的飞船上，向前发射一个相对飞船速度为 $0.6 c$ 的探测器，其速度为 $1.2/1.36 \approx 0.88 c$ ，而不是 $1.2 c$ 。

应用实例

GPS 卫星以约 3.9 km/s 的速度运动，因此它们的时钟每天因运动损失约 7 微秒；而卫星所在高度较弱的引力则使它们走得更快。如果不加修正，定位结果每天会漂移数公里。加速器的磁铁是按 $p = γm v$ 设计的，质子的 $γ$ 可达数千。电子显微镜将电子经 300 kV 加速至 $0.78 c$ （ $γ \approx 1.59$ ），医院的 PET 扫描仪则探测电子与正电子湮灭产生的成对 511 keV 光子。

静止能量会在“裂变、聚变与 E = mc²”中再次出现，而 GPS 修正中的引力部分则出现在“引力即时空弯曲”中。

高级

核心概念

洛伦兹变换像旋转一样混合 $x$ 与 $t$ ，但保持间隔 $s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2}$ 不变。
固有时 $τ = \int d t / γ$ 在直线世界线上最大：掉头返回的那位孪生兄弟回家时更年轻。
$(E / c, p)$ 是四维矢量：在每个参考系中都有 $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ ；光子（ $m = 0$ ）满足 $E = p c$ 。
$E = γm c^{2} \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}$ ：牛顿动能是一阶修正，而 $m c^{2}$ 是真实的能量。

从两条假设到洛伦兹变换

本节回答一个问题：若两个惯性参考系都看到光脉冲以相同速度 $c$ 传播，那么一个事件在其中一个参考系中的坐标与另一参考系中的坐标如何关联？答案即洛伦兹变换，它包含了狭义相对论的全部效应，因此值得一步步推导。

取一个参考系 $S^{'}$ ，它沿参考系 $S$ 的 $x$ 轴以速度 $v$ 运动；当两个原点相遇时，把两组时钟都调到零，使该事件有 $t = t^{'} = 0$ 。伽利略法则 $x^{'} = x - v t$ 、 $t^{'} = t$ 不能成立。它做的是速度相减：若光脉冲满足 $x = c t$ ，则 $x^{'} = (c - v) t$ ，因而它在 $S^{'}$ 中的速度为 $c - v$ ，与第二条假设相矛盾。

有三条事实确定了正确的规则。第一，它必须是线性的：空间和时间处处相同，因此规则不能特别偏爱某个地点或某一时刻；而且在一个参考系中做匀速运动的物体，在另一个参考系中也必须做匀速运动。

第二，垂直于运动方向的距离不变： $y^{'} = y$ 且 $z^{'} = z$ 。设想两个相同的圆环沿共同轴线互相穿过。如果运动会使圆环缩短，那么每个参考系都会发现对方的圆环更小，并看到它从自己的圆环内部穿过；这两种说法不可能同时成立，因为哪个圆环穿过了哪个，是一个确定的事实。

第三， $S^{'}$ 的原点（即 $x^{'} = 0$ 处）位于 $x = v t$ 。一个线性规则若要在该处恰好给出 $x^{'} = 0$ ，就必须与 $x - v t$ 成正比：
$x^{'} = γ (x - v t)$
这里 $γ$ 是一个可能依赖于 $v$ 、但不依赖于 $x$ 或 $t$ 的因子。在 $S^{'}$ 中，参考系 $S$ 以 $- v$ 运动；根据第一条假设，两个参考系地位平等，因此逆变换具有相同形式，同一因子，速度反号：
$x = γ (x^{'} + v t^{'})$

第二条假设现在确定了 $γ$ 。从共同原点在 $t = t^{'} = 0$ 时发出一个光脉冲。在 $S$ 中它满足 $x = c t$ ，在 $S^{'}$ 中满足 $x^{'} = c t^{'}$ 。把这些代入上面两个方程，得到 $c t^{'} = γ (c - v) t$ 和 $c t = γ (c + v) t^{'}$ 。两式相乘并约去 $t t^{'}$ ，得到 $c^{2} = γ^{2} (c^{2} - v^{2})$ ，因此
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$
这正是光钟讨论时间膨胀时所给出的洛伦兹因子。

时间的规则可通过消去 $x^{'}$ 得到。将 $x^{'} = γ (x - v t)$ 代入 $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ ，然后解出 $t^{'}$ ；利用 $1 - 1/ γ^{2} = v^{2} / c^{2}$ ，结果得以化简，完整的变换为
$x^{'} = γ (x - v t), t^{'} = γ (t - \frac{vx}{c ^{2}})$
当 $v ≪ c$ 时， $γ \approx 1$ ，项 $vx / c^{2}$ 可以忽略，伽利略法则便重新出现。这个新增的项正是问题的关键：一个事件在 $S^{'}$ 中的时刻，不仅取决于它在 $S$ 中何时发生，也取决于它在何处发生。

倾斜的坐标轴：时空图

时空图用图形代替方程来表示洛伦兹变换，一眼就能看出为什么两个参考系对于远处哪些事件同时发生意见不一。图 1 是在参考系 $S$ 中绘制的，取 $v = 0.6 c$ 。

时间沿纵向用 $c t$ 表示，即时间乘以 $c$ ，这样 $S$ 的两个坐标轴都以相同的长度单位计量。从原点发出的光脉冲则沿着虚线所示的 45° 直线 $x = c t$ 前进。

参考系 $S^{'}$ 自带两条坐标轴。它的时间轴 $c t^{'}$ 是 $x^{'} = 0$ 的事件集合，即其原点的世界线 $x = v t$ ，它向 $c t$ 轴的右侧倾斜。它的位置轴 $x^{'}$ 是 $t^{'} = 0$ 的事件集合；在 $t^{'} = γ (t - vx / c^{2})$ 中令 $t^{'} = 0$ ，得到 $c t = (v / c) x$ ，这是一条从 $x$ 轴向上倾斜的直线。 $S^{'}$ 的两条轴以相同角度倾斜，分别从两侧向光线靠拢，因此光线仍位于它们的正中间。于是该脉冲同样满足 $x^{'} = c t^{'}$ ：第二条假设已内置于这张图中。

现在看事件 $A$ 和 $B$ 。两者都位于 $x$ 轴上，因此在 $S$ 中它们同时发生，即 $t = 0$ ，相距 $Δ x$ 。在 $S^{'}$ 中， $t^{'}$ 相等的事件位于与 $x^{'}$ 轴平行的直线上，正如在 $S$ 中 $t$ 相等的事件位于水平线上。要读出 $B$ 在 $S^{'}$ 中的时刻，沿过 $B$ 且平行于 $x^{'}$ 的虚线走，直到它与 $c t^{'}$ 轴相交。它在 $A$ 的下方与该轴相交，位置为 $c Δ t^{'}$ ：按照 $S^{'}$ 的时钟，事件 $B$ 先发生。在变换中令 $Δ t = 0$ ，即可得到这一间隔的大小：
$Δ t^{'} = - \frac{γ v Δ x}{c ^{2}}$
负号表示，沿运动方向更远的事件 $B$ 先发生。图中的速度下 $γ = 1.25$ ，因此 $γ v / c = 0.75$ ：实验室中同一时刻发生、相距一光秒的两次闪光，对运动的时钟而言相隔 0.75 s。两个相距遥远的事件是否同时，取决于参考系。

时间膨胀、长度收缩与速度相加

现在，变换可以用几行推导出前面遇到的各种效应，并表明它们对任何时钟和任何杆都成立，而不仅仅适用于光钟。

时间膨胀。取一只静止于 $S^{'}$ 原点的时钟。在 $S$ 中，它沿 $x = v t$ 运动，因此它的读数为 $t^{'} = γ (t - v^{2} t / c^{2}) = γ t (1 - v^{2} / c^{2}) = t / γ$ 。当 $S$ 中经过时间 $Δ t$ 时，运动的时钟只前进 $Δ t_{0} = Δ t / γ$ ；也就是说， $Δ t = γ Δ t_{0}$ 。

长度收缩。固有长度为 $L_{0}$ 的杆静止于 $S^{'}$ 中，因此它两端相距 $Δ x^{'} = L_{0}$ 。要测量一根运动的杆， $S$ 必须在同一时刻标记两端，即 $Δ t = 0$ ，此时变换给出 $Δ x^{'} = γ Δ x$ 。因此，在 $S$ 中的长度为 $L = Δ x = L_{0} / γ$ 。

速度相加。逆变换是同样的规则，只需代入 $- v$ ： $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ 且 $t = γ (t^{'} + v x^{'} / c^{2})$ 。在 $S^{'}$ 中沿 $x$ 方向以 $u^{'}$ 运动的物体经过 $d x^{'} = u^{'} d t^{'}$ ，因此 $d x = γ (u^{'} + v) d t^{'}$ ， $d t = γ (1 + u^{'} v / c^{2}) d t^{'}$ 。二者之比即为它在 $S$ 中的速度：
$u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$
当 $u^{'} = c$ 时，它给出 $u = c$ ，符合第二条假设。两个 $0.6 c$ 的速度合成的结果不是 $1.2 c$ ，而是 $1.2/1.36 = 15/17 \approx 0.88 c$ 。

所有这些效应的大小都由 $γ$ 决定，动画中的图像展示了它随 $v / c$ 变化的情况，范围至 0.95，此时 $γ = 3.20$ 。在原点附近曲线近乎平坦， $γ \approx 1 + \frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ ，在 $0.1 c$ 时仅比 1 高出 0.5 %；这就是相对论效应难以被日常察觉的原因。在圆点处，即 $0.6 c$ ，这条抛物线只给出 1.18，而真实值为 1.25；斜率 $d γ / d (v / c) = (v / c) γ^{3}$ 已达 1.17。在右端，斜率为 31，曲线向 $v = c$ 处的竖直渐近线急剧攀升。

不变间隔与快度

时间和长度都会随参考系而改变，但它们的一种组合却不会。这个不变量即间隔，在时空中所起的作用相当于普通空间中的距离；图 2 展示了如何在图上读取它。

两只相同的时钟在事件 $O$ 处同时启动。一只在 $S$ 中保持静止，沿 $c t$ 轴向上；另一只随 $S^{'}$ 运动，沿 $c t^{'}$ 轴向上。每只时钟在其自身读数的固有时 $τ$ 之后滴答一次。静止的时钟在事件 $Q$ 处滴答，高度为 $c τ$ 。运动的时钟在事件 $P$ 处滴答，此处其自身轴的读数为 $c t^{'} = c τ$ 。从 $P$ 向 $c t$ 轴所作的虚线，显示了 $S$ 所记录的这次滴答的时刻： $c t = γ c τ$ ，晚于 $Q$ 。这再次体现了时间膨胀。

图上有一个看似矛盾的地方：线段 $OP$ 画得比 $OQ$ 更长，但两者表示的都是同一个 $c τ$ 。曲线 $s$ 解开了这个疑问。 $P$ 和 $Q$ 都位于这条双曲线上，它是与 $O$ 的间隔都等于 $s = c τ$ 的所有事件的集合。在时空图上，相等的间隔要沿这样的双曲线读取，而不能用尺子量。

两个事件之间的间隔定义为
$s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$
把变换代入右侧，平方后相减：交叉项相消，因子 $γ^{2} (1 - v^{2} / c^{2})$ 等于 1，于是在 $S^{'}$ 中得到同样的 $s^{2}$ 。平面内的旋转也以完全相同的方式保持 $x^{2} + y^{2}$ 不变。

与旋转的类比是精确的。定义快度 $φ$ ，使 $v / c = tanh φ$ 。于是 $γ = cosh φ$ ， $γ v / c = sinh φ$ ，变换化为 $c t^{'} = c t cosh φ - x sinh φ$ ， $x^{'} = x cosh φ - c t sinh φ$ 。这是在 $(x, c t)$ 平面内转过角度 $φ$ 的旋转，只是用双曲函数代替了圆函数。图 2 用尺子展示了同一次洛伦兹推进（boost）： $S^{'}$ 的坐标轴倾斜角度为 $α$ ，且 $tan α = v / c = tanh φ$ 。沿同一直线连续进行的推进，其快度直接相加，这其实就是速度相加法则的另一种形式。在动画中， $φ = artanh 0.6 = ln 2$ ，因此 $γ = cosh (ln 2) = (2 + \frac{1}{2}) /2 = 1.25$ ；两次这样的推进给出 $tanh (2 ln 2) = tanh (ln 4) = 15/17$ ，即上面得到的速度。

光钟测量的正是一个间隔。运动时钟的一次滴答在 $S$ 中持续 $Δ t = 1.90 s$ ， $Δ x = 57$ 个单位，而光的速度为每秒 50 个单位，因此 $c Δ t = 95$ 个单位，且 $(c Δ t)^{2} - Δ x^{2} = 9 5^{2} - 5 7^{2} = 7 6^{2}$ 。该间隔即镜面间距 76 个单位，在每个参考系中都相同；除以 $c$ 后，就是一次滴答的固有时 1.52 s。

沿弯曲的世界线，把每一小段直线的固有时加起来： $τ = \int d t / γ$ 。由于 $s^{2}$ 中的负号，在空间中的运动反而会减少固有时，而不是增加。因此，在两个事件之间的所有世界线中，直线形的惯性世界线具有最长的固有时，这与欧几里得几何中直线最短恰好相反。正如下面的例题所示，远行后掉头返回的孪生兄弟年纪增长得更少。

能量与动量作为一个四维矢量

若动量要在每个惯性参考系中都守恒，能量与动量就必须像 $t$ 和 $x$ 一样一起变换。本节把这一对量组合成一个四维矢量，并以图 3 中画成直角三角形的关系式作结。

先读懂这个三角形。它的两条直角边分别是静能 $m c^{2}$ 和 $p c$ （即动量乘以 $c$ ）；斜边是总能量 $E$ ，直角位于顶部，因此 $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ 。沿虚线弧，绕左顶点把直角边 $m c^{2}$ 摆下，使其落到斜边上：斜边在右端剩下的那段即为动能 $K = E - m c^{2}$ 。在左顶点处，角 $θ$ 满足 $sin θ = p c / E$ ，它等于 $v / c$ ，下文将予以说明。

现在进行推导。物体世界线上两个邻近事件之间的位移 $(c d t, d x)$ 的变换方式与 $(c t, x)$ 相同。除以在所有参考系中都相同的固有时 $d τ = d t / γ$ ，仍保持这一性质；结果是四维速度 $γ (c, v)$ 。乘以质量 $m$ 即得四维动量
$(E / c, p) = (γm c, γm v)$
其空间分量 $p = γm v$ 即碰撞中守恒的动量。其时间分量为 $E / c$ ，洛伦兹推进（boost）像混合 $c t$ 与 $x$ 一样混合这两者：在 $S^{'}$ 中看到的动量包含了来自 $S$ 的能量。因此，只有能量也守恒，动量才能在每个参考系中守恒，两条定律合二为一。

与间隔一样，这个四维矢量的“长度”在每个参考系中都相同： $(E / c)^{2} - p^{2} = γ^{2} m^{2} c^{2} (1 - v^{2} / c^{2}) = m^{2} c^{2}$ 。乘以 $c^{2}$ ，得
$E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$
空间分量除以时间分量，得 $p c / E = v / c$ ，因此 $v = p c^{2} / E$ ，这就是图 3 中的 $sin θ$ 。无质量粒子满足 $E = p c$ ，因此以速度 $c$ 运动。

在低速情形下，将 $γ$ 按 $v^{2} / c^{2}$ 的幂次展开：
$E = γm c^{2} \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{3}{8} m \frac{v ^{4}}{c ^{2}}$
牛顿动能是一阶修正，而 $K = (γ - 1) m c^{2}$ 是精确形式。 $v = 0$ 时残留的静能 $m c^{2}$ 是真实的：一个升温的物体会增重 $Δ E / c^{2}$ ，而原子核比其各个组成部分的总和更轻。质量 $m$ 在每个参考系中都相同；随速度增长的是 $γ$ 。

在动画的速度 $0.6 c$ 下，图 3 的三角形是一个 3-4-5 三角形： $p c = γm v c = 0.75 m c^{2}$ ， $E = 1.25 m c^{2}$ ，且确实有 $0.7 5^{2} + 1^{2} = 1.2 5^{2}$ 。动能为 $K = 0.25 m c^{2}$ ，而牛顿的 $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.18 m c^{2}$ 偏低了 28 %。

多普勒频移、场与加速度

下面三个简短的应用显示了这一变换的适用范围：它可用于运动光源发出的光、电场与磁场，以及加速运动的物体。

多普勒频移。光不需要介质，因此其多普勒频移只能取决于光源与观察者的相对速度。设光源以 $v$ 远离，并在其自身参考系中每隔 $T$ 发出一个波峰。在我们的参考系中，由于时间膨胀，波峰每隔 $γ T$ 发出一次；两个波峰之间，光源又远离了 $v γ T$ ，这使下一个波峰的行程增加了 $v γ T / c$ 。因此接收到的周期为
$γ T (1 + v / c) = T \frac{1 + v / c}{1 - v / c}$
在 $0.6 c$ 时，该因子恰好为 2，即快度 $φ = ln 2$ 对应的 $e^{φ}$ ：一条 500 nm 的谱线，若光源远离，则接收到的是 1000 nm；若光源靠近，则为 250 nm。对于在与运动方向垂直的方向上接收的光，距离不变，因此只剩下时间膨胀，使频率除以 $γ$ 。

电场与磁场。静止的电荷只有电场。在它运动的参考系中，它构成电流，因此也具有磁场；而运动电荷所受的磁力，在电荷自身的静止参考系中则是电力：推进变换把电场与磁场混合起来，正如它混合 $t$ 与 $x$ 一样。麦克斯韦方程组本身已经满足洛伦兹变换，因此需要改变的是力学，而不是电磁学。

加速运动。在时空平坦的前提下，加速运动的物体无需新理论：在每一瞬间，都使用与物体同速运动的惯性参考系。设一艘飞船保持恒定的固有加速度 $a$ ，即乘客所感受到的加速度。在飞船时间的每一个短暂间隔 $d τ$ 内，它获得相同的微小快度 $a d τ / c$ ，而快度可以相加，因此 $φ = a τ / c$ 均匀增长，而 $v = c tanh (a τ / c)$ 永远不会达到 $c$ 。以 $9.81 m/ s^{2}$ 加速一年飞船时间，得 $a τ / c \approx 1.03$ ， $v \approx 0.77 c$ 。

例题：前往近邻恒星的往返旅行

这个例题把整课内容应用于双生子佯谬：一名旅行者飞往某颗恒星再飞回，回到地球时比留在地球上的孪生兄弟更年轻。图 4 在地球参考系中绘出这次旅行：横轴为时间 $t$ （单位为年），纵轴为距离 $x$ （单位为光年），因此光线与水平方向成 45°。地球停留在 $t$ 轴上，而距离为 $L_{0}$ 的恒星是一条虚线水平线。弯折的线是旅行者的世界线，先上升到恒星，再折返下降。图中数字为时钟读数：她掉头时，地球时钟显示 5，她的时钟显示 4；她降落时，分别为 10 和 8。

设动画中的时钟以 $0.6 c$ 在地球参考系中飞往 3.00 光年外的恒星，然后直接返回，忽略短暂的掉头过程。在地球上，每段航程需要 $3.00/0.6 = 5.00$ 年，共 10 年。旅行者的时钟慢了 $γ = 1.25$ 倍，因此每段显示 4.00 年，共 8 年。

她自己的看法也一致。在她的参考系中，到恒星的距离收缩为 $L_{0} / γ = 3.00/1.25 = 2.40$ 光年，她以 $0.6 c$ 在同样的 4.00 年内走完。间隔也一致：以年和光年计，每段都有 $(c Δ t)^{2} - Δ x^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 4^{2}$ ，即固有时为 4 年。10 : 8 的比例就是动画中计数器的 5 : 4。

既然在去程中，每个孪生兄弟都发现对方的时钟更慢，那为什么这次旅行并不对称呢？为了看清这一点，让每位孪生兄弟按自己的时钟每年发出一个光信号，并统计接收到的信号。 $0.6 c$ 时的多普勒因子为 2：在两人相互远离时，信号每 2 年到达一次；在两人相互靠近时，每半年到达一次。

图 4 中的细线是地球每年发出的信号，它们从 $t$ 轴以 45° 向上延伸，直到与她的世界线相遇，圆点标出信号到达的位置。去程中，她每自身 2 年接收到一个信号，她的 4 年内共接收 2 个；第 2 年发出的信号恰在她掉头时到达。回程中，她每半年接收到一个，又收到 8 个；第 10 年发出的信号在她降落时到达。因此，掉头之后的圆点变得密集，而她接收到的 10 个信号表明，地球已经过了 10 年。

地球看到的则是另一面。在她掉头的光到达地球之前，地球每 2 年接收到一次她的信号。她在第 5 年于 3 光年外掉头，因此地球要到第 8 年才看到这次掉头，比该事件晚了三年：8 年内接收 4 个信号。在最后 2 年里，她的信号每半年到达一次，又有 4 个：共 8 个，因此她自己已经过了 8 年。

这种不对称源于参考系的改变。她接收到的信号在旅途中途、也就是只有她自己才感受到的掉头时刻变密；而地球接收到的信号，则只在她回来前 2 年才变密。用间隔的语言来说，她那条弯折的世界线具有更短的固有时。

适用范围的界限

狭义相对论假定时空是平坦的，并且惯性参考系可以延伸至任何地方。本节说明这一假定在何处失效，理论也随之止步。

引力首先打破了这一假定。处于引力场较低位置的时钟会变慢，其相对变化等于引力势差除以 $c^{2}$ ：在地球表面与远离地球的空间之间约为 $7 \times 1 0^{- 10}$ 。GPS 时钟因运动每天损失约 7 µs，而因高度每天获得约 46 µs，因此它们在发射前被调整为略慢地走动。若所研究区域内引力随位置变化，时空即为弯曲，广义相对论便取而代之；但在任何小型、自由下落的实验室中，狭义相对论仍然成立。

在日常速度下，修正量为 $\frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ 的量级，非常微小：对于以 30 m/s 行驶的汽车为 $5 \times 1 0^{- 15}$ ，对于以 250 m/s 飞行的客机为 $3.5 \times 1 0^{- 13}$ 。然而，1971 年被带上飞机环绕地球飞行的原子钟，其偏差达数十到数百纳秒，而这正是计入引力后所预言的结果。

在另一个极端，并没有任何理论失效：大型强子对撞机中能量为 6.8 TeV 的质子，其 $γ \approx 7250$ ，落后于光速不到 3 m/s；而在储存环中以 $γ \approx 29$ 环绕运动的μ子，其寿命是静止时的 29 倍。

量子力学设定了最后的界限。在质心参考系中，碰撞能量超过 $2 m c^{2}$ （对电子而言为 1.02 MeV）时，一个粒子与其反粒子便可能产生。只有相对论与量子力学的结合才能描述这一现象，而正是这种结合，在反物质于 1932 年被发现之前就预言了它的存在。

延伸与联系

“引力即时空弯曲”保留了间隔，但允许时空弯曲，于是自由下落沿最直的世界线运动，时钟的快慢则取决于高度。“裂变、聚变与 E = mc²”把静止能量变成反应堆与恒星的动力：将氢聚变为氦时，释放的能量相当于质量的 0.7 %。“光电效应”与“波粒二象性”赋予光能量 $E = h f$ 和动量 $p = E / c = h / λ$ ，这是四维动量在无质量情形下的特例。“粒子与相互作用：标准模型”利用四维动量守恒，去寻找那些不留下径迹的粒子。回头看，“运动电荷受到的磁场力”与“电磁波”则涵盖了相互混合的场，以及引发这一切的速度 $c$ 。

核心公式

洛伦兹因子

γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}

洛伦兹因子来自对光钟应用勾股定理：运动光钟中倾斜的光路，比镜面间距长恰好这个因子倍。它在静止时为 1，起初增长缓慢， $γ \approx 1 + \frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ ，然后随 $v$ 趋近 $c$ 而无限增大。狭义相对论的每一种效应，从时间膨胀到运动的能量，都由它决定。

符号
$γ$	洛伦兹因子
$v$	运动的时钟、物体或参考系的速度	$m/s$
$c$	真空中的光速	$m/s$

适用条件: 定义于 $v < c$ ，所有有质量的物体都满足此条件；在 $v = c$ 处没有有限值。只有速度的大小进入其中，与方向无关。

示例: 当 $v = 0.6 c$ 时： $γ = 1/ 1 - 0.36 = 1/0.8 = 1.25$ ，即动画中的数值。

时间膨胀

Δ t = γ Δ t_{0}

$Δ t_{0}$ 是固有时，即在两个事件处都存在的同一只时钟上读取的时间，例如随运动物体一起运动的时钟。任何使该时钟运动的参考系，测得的同样两个事件之间的时间都会更长，长出的倍数为 $γ$ 。这一效应是真实的，并且是相互的：每位惯性观察者都发现对方的时钟变慢了。

符号
$Δ t$	在时钟运动的参考系中，两个事件之间的时间	$s$
$γ$	洛伦兹因子
$Δ t_{0}$	固有时，即在两个事件处都存在的时钟所测得的时间	$s$

适用条件: 适用于在平坦时空中以恒定速度运动的时钟。若其速度发生变化，则沿其路径累加 $d τ = d t / γ$ 的各段；在引力场中，时钟速率还取决于高度。

示例: 动画中运动时钟的一次滴答： $Δ t = 1.25 \cdot 1.52 = 1.90 s$ 。

长度收缩

L = \frac{L _{0}}{γ}

长度通过在同一瞬间确定物体两端的位置来测量；物体在其中运动的参考系测得它更短。物体在其静止参考系中测得的固有长度 $L_{0}$ 最长；其他参考系则测得沿运动方向为 $L_{0} / γ$ ，而垂直于运动方向的尺寸不变。这与时间膨胀是同一种物理：μ子所见的大气收缩，正对应于我们所见的μ子时钟变慢。

符号
$L$	在物体运动的参考系中测得的长度	$m$
$L_{0}$	固有长度，在物体静止的参考系中测得	$m$
$γ$	洛伦兹因子

适用条件: 只有沿运动方向的长度会收缩。该公式针对同一时刻的测量；照片收集的是不同时刻、不同点发出的光，因此拍到的运动物体是旋转的，而不是被压扁的。

示例: 动画中的时钟静止时宽 30 个单位，以 $0.6 c$ 运动时画成 $30/1.25 = 24$ 个单位宽。

总能量

E = γm c^{2}

物体的能量随速度增长，增长的倍数与使其时钟变慢的因子 $γ$ 相同。物体静止时能量也不会消失： $E = m c^{2}$ ，即静能，这表明质量是能量的一种形式。连同 $p = γm v$ ，这一能量在每个惯性参考系中的每次碰撞中都守恒。

符号
$E$	总能量，包括静能	$J$
$γ$	洛伦兹因子
$m$	质量，在每个参考系中都相同	$kg$
$c$	真空中的光速	$m/s$

适用条件: 适用于有质量的自由物体；对光子则用 $E = p c$ 。来自场或束缚的势能需另外加上，原子核的结合能则表现为质量亏损。

示例: 一个电子（ $m c^{2} = 511 keV$ ）以 $0.6 c$ 运动： $E = 1.25 \cdot 511 \approx 639 keV$ 。

动能

K = (γ - 1) m c^{2}

动能是运动在静能 $E - m c^{2}$ 之上增加的部分。在低速时 $γ - 1 \approx \frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ ，牛顿的 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 随之回归。当 $v \to c$ 时它无限增大，这就是为什么任何有限的功都无法使有质量的物体达到光速。

符号
$K$	动能	$J$
$γ$	洛伦兹因子
$m$	质量	$kg$
$c$	真空中的光速	$m/s$

适用条件: 在任何低于 $c$ 的速度下都精确成立。经典的 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 只有在低于约 $0.1 c$ 时才与之相差不到 1 %，而在 $0.6 c$ 时则偏低 28 %。

示例: 电子以 $0.6 c$ 运动： $K = 0.25 \cdot 511 \approx 128 keV$ ，而 $\frac{1}{2} m v^{2} \approx 92 keV$ 。

动量

p = γm v

在高速情形下，牛顿的 $m v$ 并非在每个参考系中都守恒，但 $γm v$ 是守恒的。它随 $v \to c$ 无限增大，因此恒定的力会不断增加动量，而速度只会缓慢逼近 $c$ 。它的方向沿速度方向。

符号
$p$	动量	$kg \cdot m/s$
$γ$	洛伦兹因子
$m$	质量	$kg$
$v$	速度	$m/s$

适用条件: 适用于有质量的物体；光没有质量，但携带 $p = E / c$ 。力仍是动量的变化率， $F = d p / d t$ ，但不再是 $ma$ 。

示例: 在 $0.6 c$ 时： $p = 1.25 \cdot 0.6 m c = 0.75 m c$ ，比 $m v$ 多 25 %。

能量–动量关系

E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}

能量与动量构成一个四维矢量 $(E / c, p)$ ，而该关系式是它的不变“长度”： $E$ 与 $p$ 随参考系变化，但 $E^{2} - (p c)^{2}$ 不变，并且始终等于静能的平方。它在不涉及速度的情况下把能量与动量联系起来，速度可由 $v = p c^{2} / E$ 导出。

符号
$E$	总能量	$J$
$p$	动量	$kg \cdot m/s$
$c$	真空中的光速	$m/s$
$m$	质量	$kg$

适用条件: 适用于每个自由粒子，包括无质量粒子：当 $m = 0$ 时给出 $E = p c$ ，此时 $v = c$ 。

示例: 在 $0.6 c$ 时： $p c = 0.75 m c^{2}$ ， $E = 1.25 m c^{2}$ ，且 $0.7 5^{2} + 1^{2} = 1.2 5^{2}$ ，与光钟中的三角形一样是 3-4-5 三角形。

词汇表

惯性参考系: 以恒定速度运动的参考系，其中不受力的物体保持匀速直线运动。平稳匀速行驶的火车是很好的近似；刹车或转弯的火车则不是。
相对性原理: 第一条假设：物理定律在每个惯性参考系中形式相同。在封闭的实验室内部，无法通过实验揭示其匀速运动；只有相对于其他物体的运动才有意义。
光速不变原理: 第二条假设：真空中的光在每个惯性参考系中都以 $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ 传播，无论其光源或观察者如何运动。光不需要介质：1887 年的迈克耳孙–莫雷实验没有发现介质存在的任何迹象。
事件: 在某一地点、某一瞬间发生的事情，例如一次闪光或一次时钟滴答，在每个参考系中以 $(x, t)$ 标记。不同参考系给同一事件的坐标不同。
固有时: 在两个事件处都存在的同一只时钟上读取的两个事件之间的时间，例如随μ子从产生到衰变一起运动的时钟所测得的时间。其他每个惯性参考系测得的同样两个事件之间的时间都更长。
时间膨胀: 相对观察者运动的时钟，被测得以 $γ$ 倍变慢， $Δ t = γ Δ t_{0}$ 。它影响一切过程，从原子钟到心跳，并且两个惯性观察者之间是相互的。
长度收缩: 运动物体沿其运动方向测得更短， $L = L_{0} / γ$ ，但垂直方向不变。在 $0.6 c$ 时，动画中宽 30 个单位的箱子画成 24 个单位宽。
同时的相对性: 在一个参考系中同时发生的两个不同地点的事件，在沿其连线运动的参考系中并不同时。因此每位观察者都会发现对方的时钟变慢，而不产生矛盾。
洛伦兹变换: 将事件坐标转换到沿 $x$ 方向以 $v$ 运动的参考系的规则： $x^{'} = γ (x - v t)$ ， $t^{'} = γ (t - vx / c^{2})$ 。它取代了伽利略规则 $x^{'} = x - v t$ 、 $t^{'} = t$ ，并在 $v ≪ c$ 时退化为伽利略规则。
时空间隔: 两个事件的组合 $s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$ ，其值在每个惯性参考系中都相同。当 $s^{2} > 0$ 时， $s / c$ 即为两事件之间的固有时。
双生子佯谬: 这一佯谬是：双生子中远行后返回的一方回来时更年轻，而每一方却都看到对方的时钟变慢。只有旅行者改变了参考系：以 $0.6 c$ 前往 3 光年外的恒星再返回，地球上过了 10 年，而她只过了 8 年。
质能等价: 质量是能量的一种形式：静止的物体具有静能 $m c^{2}$ 。1 克对应 $9 \times 1 0^{13} J$ ，核反应释放的只是其中的一小部分。

物理量
$v$	相对运动速度	$m/s$	运动的时钟、物体或参考系相对于观察者的速度：动画中为 $0.6 c$ 。
$c$	真空中的光速	$m/s$	精确值为 $299792458 m/s$ ，由米的定义给出，在每个惯性参考系中都相同。没有任何有质量的物体能达到它，也没有任何信号能比它更快。
$γ$	洛伦兹因子		$1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ ：静止时为 1， $0.6 c$ 时为 1.25， $0.995 c$ 时约为 10，并随 $v \to c$ 无限增大。它决定了每一种相对论效应的大小。
$Δ t_{0}$	固有时间间隔	$s$	在两个事件处都存在的同一只时钟上测得的两个事件之间的时间，例如其自身静止参考系中的一次滴答：动画中为 1.52 s。
$Δ t$	膨胀时间间隔	$s$	在时钟运动的参考系中测得的同样两个事件之间的时间，即 $γ Δ t_{0}$ ：动画中运动时钟的一次滴答为 1.90 s。
$L_{0}$	固有长度	$m$	物体在其自身静止参考系中的长度。在其运动的参考系中，沿运动方向测得的是较短的 $L = L_{0} / γ$ 。
$m$	质量	$kg$	静止时测得的质量，在每个参考系中都相同。能量和动量随速度的增长由 $γ$ 体现，而不是由 $m$ 体现。
$E$	总能量	$J$	$γm c^{2}$ ，即静能 $m c^{2}$ 加上动能。粒子物理中常以电子伏特表示：静止电子为 511 keV。
$K$	动能	$J$	运动的能量， $E - m c^{2} = (γ - 1) m c^{2}$ 。只有当 $v ≪ c$ 时，它才接近 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 。
$p$	动量	$kg \cdot m/s$	$γm v$ ，即在任何速度下碰撞中守恒的动量；随 $v \to c$ 无限增大。光没有质量，但携带 $p = E / c$ 。

练习

入门根据狭义相对论，无论观察者运动多快，哪一项都是相同的？
1. 两个事件之间的时间
2. 真空中的光速
3. 一列运动火车的长度
4. 两个遥远事件是否同时
显示答案
答案: B. 真空中的光速
爱因斯坦第二条假设：对所有惯性观察者而言，真空中的光速都是 c。时间、长度和同时性都依赖于观察者。
入门在光钟中，为什么运动的时钟走得更慢？
1. 它的镜面相距更远
2. 运动使它的光变慢
3. 它的光在相同速度下走更长的斜线路径
4. 它随运动而损失能量
显示答案
答案: C. 它的光在相同速度下走更长的斜线路径
从地面看，光沿斜线之字前进，长于镜面间距。其速度仍为 c，因此每次滴答都花费更长的时间。
入门一位宇航员以很高且恒定的速度飞过地球。她会注意到自己的手表有什么现象？
1. 走得慢
2. 走得快
3. 停了
4. 走得正常
显示答案
答案: D. 走得正常
在她自己的参考系中，她是静止的，因此她的手表、心跳及其他一切都正常运行。只有相对她运动的观察者才会测得她的手表变慢。
中级一艘飞船以 v = 0.6·c 运动。它的洛伦兹因子 γ 是多少？
1. 0.8
2. 1.25
3. 1.6
4. 0.6
显示答案
答案: B. 1.25
γ = 1/√(1 − 0.6²) = 1/√0.64 = 1/0.8 = 1.25。0.8 是 √(1 − v²/c²) 本身，而不是它的倒数。
中级一艘以 0.8·c 运动的飞船上，时钟测得船上两个事件之间经过了 3 s（固有时）。从地球上测量，这段时间间隔是多少？
1. 1.8 s
2. 3 s
3. 5 s
4. 2.4 s
显示答案
答案: C. 5 s
γ = 1/√(1 − 0.64) = 1/0.6 ≈ 1.67，因此 Δt = γ·Δt₀ = 1.67 × 3 s = 5 s。若改为乘以 0.6 或 0.8，时间会缩短，方向就错了。
中级在高空 10 km 处产生的μ子，在自身参考系中只能存活 2.2 µs，但仍有许多到达地面。原因何在？
1. 在地球参考系中，它们的寿命会因因子 γ 而被拉长
2. 它们的速度超过光速
3. 重力在下落途中使它们加速
4. 随着空气变稠，它们的寿命增长
显示答案
答案: A. 在地球参考系中，它们的寿命会因因子 γ 而被拉长
当 v ≈ 0.995·c 时，γ ≈ 10，因此在地球参考系中它们可存活约 22 µs，并能飞行数公里。在μ子的参考系中，同样的结果表现为大气收缩。
高级一个电子的总能量是其静能的两倍（E = 2·m·c² ≈ 1.02 MeV）。它的运动速度是多少？
1. 0.50·c
2. 0.71·c
3. 0.87·c
4. 1.41·c
显示答案
答案: C. 0.87·c
γ = E/(m·c²) = 2，因此 v/c = √(1 − 1/γ²) = √0.75 ≈ 0.87。若令动能 K = E − m·c² = m·c² 等于经典的 ½·m·v²，则得 v = √2·c ≈ 1.41·c，超过光速：经典公式在这些速度下失效。0.50·c 是 1/γ，而 0.71·c 来自 √(1 − 1/γ)。
高级哪一个量在所有惯性参考系中都具有相同的值？
1. 两个事件之间的时间
2. 两个事件之间的距离
3. 两个事件是否同时
4. 间隔 c²·Δt² − Δx² − Δy² − Δz²
显示答案
答案: D. 间隔 c²·Δt² − Δx² − Δy² − Δz²
洛伦兹变换混合了空间与时间，但保持间隔 s² 不变。时间差、距离与同时性都依赖于参考系。

$x$	$S$ 中的位置：水平轴，即 $c t = 0$ 的直线。	$m$
$c t$	$S$ 中的时间乘以 $c$ ：纵轴，使时间与距离具有相同的单位。	$m$
$x^{'}$	$S^{'}$ 的位置轴： $t^{'} = 0$ 的事件构成的直线。	$m$
$c t^{'}$	$S^{'}$ 的时间轴，时间乘以 $c$ ： $S^{'}$ 原点的世界线，即 $x^{'} = 0$ 处。	$m$
$x = c t$	从 $A$ 发出的光脉冲的世界线；它同样满足 $x^{'} = c t^{'}$ 。
$A$	两个参考系原点处的事件。
$B$	$x$ 轴上的事件，在 $S$ 中与 $A$ 同时。
$Δ x$	$S$ 中 $A$ 与 $B$ 之间的距离。	$m$
$c Δ t^{'}$	$S^{'}$ 中 $A$ 与 $B$ 之间的时间乘以 $c$ ，沿 $c t^{'}$ 轴读取。它为负值： $B$ 先发生。	$m$

$x$	$S$ 中的位置：水平轴。	$m$
$c t$	$S$ 中的时间乘以 $c$ ：纵轴，即静止时钟的世界线。	$m$
$x^{'}$	$S^{'}$ 的位置轴。	$m$
$c t^{'}$	$S^{'}$ 的时间轴，时间乘以 $c$ ：运动时钟的世界线。	$m$
$x = c t$	从 $O$ 发出的光的世界线：双曲线所趋近的虚线。
$O$	两只时钟相遇并开始计时的事件。
$Q$	静止时钟在固有时 $τ$ 之后的滴答。
$P$	运动时钟在相同固有时 $τ$ 之后的滴答。
$c τ$	$O$ 与该滴答之间的固有时乘以 $c$ ：即 $Q$ 的高度，以及 $P$ 的 $c t^{'}$ 坐标。	$m$
$γ c τ$	$P$ 在 $S$ 中的时刻乘以 $c$ ：比 $c τ$ 长 $γ$ 倍。	$m$
$s$	与 $O$ 的间隔，对双曲线上每一点都相同；此处 $s = c τ$ 。	$m$
$α$	$S^{'}$ 的坐标轴相对于 $S$ 的倾斜角： $tan α = v / c$ 。	$rad$

$m c^{2}$	静能：三角形的一条直角边，经弧线复制到斜边上。	$J$
$p c$	动量乘以 $c$ ：另一条直角边。	$J$
$E$	总能量， $γm c^{2}$ ：斜边。	$J$
$K$	动能， $E - m c^{2}$ ：斜边中超出被摆过去的那条直角边的部分。	$J$
$θ$	$m c^{2}$ 直角边与斜边之间的夹角： $sin θ = p c / E = v / c$ 。	$rad$

$t$	地球参考系中的时间，以年为单位绘制：水平轴，同时也是地球自身的世界线。	$s$
$x$	旅行中距地球的距离，以光年为单位绘制。	$m$
$L_{0}$	在地球参考系中到恒星的距离：3.00 光年。	$m$