Spezielle Relativitätstheorie

Einsteiger

Wirf einen Stein von einem Boot, das über einen ruhigen See gleitet. Die Wellen breiten sich mit ihrer eigenen Geschwindigkeit durchs Wasser aus, was auch immer das Boot tut; vom Boot aus scheinen die Wellen vorn langsam wegzukriechen, während die hinten schnell davonjagen. Wellen in Wasser oder Luft laufen durch ein Medium, und die Geschwindigkeit, die du misst, hängt davon ab, wie du dich durch dieses Medium bewegst.

Physiker dachten lange, Licht funktioniere genauso, als Welle in einem unsichtbaren „Äther“, der den Raum füllt. Die Erde umkreist die Sonne mit 30 km/s, deshalb müsste Licht in der einen Richtung etwas schneller erscheinen als in der anderen. 1887 verglichen Michelson und Morley zwei Lichtstrahlen, die im rechten Winkel ausgesandt wurden, drehten ihr Gerät und fanden überhaupt keinen Unterschied. Licht braucht kein Medium, und seine Geschwindigkeit, etwa 300.000 km pro Sekunde, ist für jeden Beobachter gleich.

Einstein nahm das 1905 ernst, und es verändert die Zeit selbst. In der Animation hüpft ein Blitz zwischen zwei Spiegeln hin und her, ein Tick pro Hin- und Rückweg. Bei der ruhenden Uhr läuft das Licht senkrecht auf und ab. Die andere Uhr rast seitwärts, daher folgt ihr Licht vom Boden aus gesehen längeren, schrägen Zickzacklinien. Licht kann nicht schneller werden, um die Strecke auszugleichen, also dauert jeder Tick länger: vier Ticks gegen fünf. Alles an Bord, auch Herzschläge, verlangsamt sich gleich, deshalb merkt der Reisende nichts. Myonen, schnelle Teilchen, die hoch in der Luft durch die kosmische Strahlung entstehen, erreichen den Boden nur, weil ihre Zeit langsamer läuft. Bewegte Objekte werden außerdem in Bewegungsrichtung kürzer gemessen, und kein Schub kann etwas mit Masse auf Lichtgeschwindigkeit bringen.

Prüfe dich selbst: Wenn sich die bewegte Uhr schneller bewegte, würde ihr Zickzack dann länger oder kürzer und ihre Ticks schneller oder langsamer? (Länger, also langsamer.)

Mittelstufe

Bezugssysteme, Ereignisse und die beiden Postulate

Ein Beobachter steht in der Relativitätstheorie für ein ganzes Inertialsystem: Maßstäbe und synchronisierte Uhren, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, wie ein gleichmäßig fahrender Zug. Ein Ereignis passiert an einem Ort zu einem Zeitpunkt, etwa ein Blitz oder der Tick einer Uhr, daher gibt jedes System ihm eine Position $x$ und eine Zeit $t$.

Die Theorie beruht auf zwei Postulaten. Erstens haben die Naturgesetze in jedem Inertialsystem dieselbe Form, sodass kein Experiment in einer geschlossenen Kabine zeigen kann, ob sie sich bewegt. Zweitens bewegt sich Licht im Vakuum in jedem Inertialsystem mit derselben Geschwindigkeit, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, egal wie sich Quelle oder Beobachter bewegen. Zusammen erzwingen sie, dass Zeitintervalle und Längen vom Bezugssystem abhängen.

Das Dreieck der Lichtuhr lesen

In einer Lichtuhr hüpft ein Blitz zwischen zwei Spiegeln im Abstand $d$, und jeder Durchgang ist ein Tick. Im Ruhesystem der Uhr läuft das Licht geradeaus, also dauert ein Tick $\Delta t_0=d/c$. Das ist eine Eigenzeit: die Zeit zwischen zwei Ereignissen, gemessen mit einer einzigen Uhr, die bei beiden anwesend ist.

In einem System, in dem sich die Uhr mit $v$ seitwärts bewegt (der blaue Pfeil), dauert ein Tick $\Delta t$, und die Spiegel wandern um $v\Delta t$ weiter, sodass das Licht schräg läuft. Die Animation zeichnet dieses rechtwinklige Dreieck über den ersten Tick: Die gestrichelte grüne Seite $c\Delta t_0$ ist der Spiegelabstand, die blaue Basis $v\Delta t$ die Verschiebung der Uhr und die goldene Hypotenuse $c\Delta t$ der Weg des Lichts, den es weiterhin mit $c$ zurücklegt. Pythagoras ergibt $(c\Delta t{)}^2=(c\Delta t_0{)}^2+(v\Delta t{)}^2$, also
$\Delta t=\gamma \Delta t_0$
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Der Lorentz-Faktor $\gamma$ ist im Ruhezustand 1 und wächst ohne Grenze, wenn sich $v$ der Geschwindigkeit $c$ nähert: Er beträgt 1,005 bei $0,1c$, 1,25 bei $0,6c$ und 7,09 bei $0,99c$. Jeder Vorgang an Bord, auch der Herzschlag eines Passagiers, verlangsamt sich um denselben Faktor; sonst würde ein Vergleich die Bewegung verraten.

Längenkontraktion und Gleichzeitigkeit

Auch Längen ändern sich. Die Länge eines Objekts in seinem eigenen Ruhesystem ist die Eigenlänge $L_0$, und ein System, in dem es sich bewegt, misst es in Bewegungsrichtung kürzer,
$L=\frac{L_0}{\gamma }$
aber quer dazu nicht. Deshalb wird die bewegte Uhr 24 Einheiten breit statt 30 gezeichnet, aber genauso hoch, und ihr Spiegelabstand $d$ ist in beiden Systemen gleich, wie das Dreieck voraussetzt.

Beide Effekte sind gegenseitig: Ein Passagier, der mit der bewegten Uhr fährt, findet die Bodenuhren langsam und die Bodenmaßstäbe kurz. Das ist kein Widerspruch, denn die beiden Systeme sind sich über die Gleichzeitigkeit uneinig. Zwei Blitze zur selben Zeit an den beiden Enden eines Bahnsteigs sind für eine Passagierin im vorbeifahrenden Zug nicht gleichzeitig: Für sie kommt der Blitz vor dem Zug zuerst. Um eine bewegte Uhr zu messen, braucht man zwei eigene Uhren an den Orten, an denen sie vorbeikommt, und der bewegte Beobachter sagt, dass diese beiden nicht synchron sind.

Bei jeder Aufgabe finde zuerst das Ruhesystem der Uhr oder des Objekts: Eigenzeiten und Eigenlängen gehören zu ihm.

Energie, Impuls und die Grenze der Geschwindigkeit

Wenn der newtonsche Impuls $mv$ bei einem Stoß aus einem System erhalten bliebe, wäre er in einem System, das sich mit einem großen Bruchteil von $c$ bewegt, nicht erhalten. Relativistischer Impuls, Energie und kinetische Energie tragen alle den Faktor $\gamma$:

• $p=\gamma mv$
• $E=\gamma m{c}^2$
• $K=(\gamma -1)m{c}^2$

Hier ist $m$ die gewöhnliche Masse, in jedem System dieselbe, und $E$ ist die Gesamtenergie. Auch im Ruhezustand hat ein Körper die Ruheenergie $m{c}^2$; $K$ ist das, was die Bewegung hinzufügt. Ein Elektron hat $m{c}^2=511\mathrm{keV}$, daher beträgt seine Energie bei $0,6c$ $E=1,25\cdot 511\approx 639\mathrm{keV}$ und $K\approx 128\mathrm{keV}$, während Newtons $\frac{1}{2}m{v}^2$ nur 92 keV liefert. Da $\gamma$ keine obere Grenze hat, auch $K$ nicht: Bei $0,99c$ ist es bereits $6,1m{c}^2$, und keine endliche Energie bringt einen Körper mit Masse auf $c$.

Rechenbeispiel: die Uhren aus der Animation

Auf dem Bildschirm wird Licht auf 50 Einheiten pro Sekunde verlangsamt, und die Spiegel liegen 76 Einheiten auseinander, also tickt die ruhende Uhr alle $\Delta t_0=76/50=1,52\mathrm{s}$. Die andere Uhr bewegt sich mit $v=0,6c$, das sind 30 Einheiten pro Sekunde:
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-0,6^2}}=\frac{1}{\sqrt{0,64}}=\frac{1}{0,8}=1,25$
$\Delta t=1,25\cdot 1,52\mathrm{s}=1,90\mathrm{s}$

Das sind die Werte in der Zeile „1 Tick: 1,52 s → 1,90 s“. Das Dreieck prüft sie: In einem bewegten Tick legt die Uhr $30\cdot 1,90=57$ Einheiten zurück, das Licht läuft $50\cdot 1,90=95$ Einheiten, und $57^2+76^2=95^2$, ein 3-4-5-Dreieck. Nach 7,6 s erreicht der grüne Zähler der ruhenden Uhr $7,6/1,52=5$ Ticks, der rote Zähler über der bewegten Uhr $7,6/1,90=4$: Das Verhältnis 5 : 4 ist $\gamma$.

Der blaue Pfeil $v$ behält seine Länge, weil die Geschwindigkeit konstant ist, und die bewegte Box wird als $30/1,25=24$ Einheiten breit gezeichnet. Für die bewegte Uhr ist nichts falsch: Ihre vier Ticks dauerten $4\cdot 1,52=6,08\mathrm{s}$ ihrer eigenen Zeit.

Rechenbeispiel: Myonen aus der oberen Luft

Kosmische Strahlung, die auf die obere Atmosphäre trifft, erzeugt Myonen, instabile Teilchen, die im Ruhezustand im Mittel $\Delta t_0=2,2\mu \mathrm{s}$ leben. Erreichen Myonen, die 10 km hoch entstehen und mit $v=0,995c$ fallen, den Boden?

Ohne Relativitätstheorie würde ein Myon in einer mittleren Lebensdauer nur $0,995\cdot 3,00\times 10^8\cdot 2,2\times 10^{-6}\approx 660\mathrm{m}$ zurücklegen. Die 10 km dauern $10000/(2,985\times 10^8)\approx 33,5\mu \mathrm{s}$, etwa 15 Lebensdauern, und da nach $n$ Lebensdauern ein Anteil $e^{-n}$ übrig bleibt, käme nur eines von vier Millionen an.

Mit Relativitätstheorie gilt $\gamma =1/\sqrt{1-0,995^2}\approx 10,0$: Im Erdsystem beträgt die mittlere Lebensdauer etwa $22\mu \mathrm{s}$, die Reise dauert nur 1,5 Lebensdauern, und ein Anteil $e^{-1,52}\approx 0,22$, also etwa eines von fünf Myonen, kommt an.

Im Ruhesystem des Myons läuft seine Uhr normal, aber die Atmosphäre rast vorbei, auf $10\mathrm{km}/10,0\approx 1,0\mathrm{km}$ verkürzt, und das dauert etwa $3,35\mu \mathrm{s}$: wieder 1,5 Lebensdauern. Was das eine System Zeitdilatation nennt, nennt das andere Längenkontraktion.

Häufige Fehler

• Die bewegte Uhr ist nicht defekt: In ihrem eigenen System tickt sie alle 1,52 s; die 1,90 s werden aus einem System gemessen, in dem sie sich bewegt.
• Eigenzeit ist das kürzeste Intervall, also wird sie mit $\gamma$ multipliziert, nie dividiert: 2,0 s Eigenzeit bei $0,6c$ werden zu 2,5 s, nicht zu 1,6 s.
• Verwechsle $\gamma$ nicht mit der Wurzel darin: Bei $0,6c$ ist die Wurzel $\sqrt{1-v^2/c^2}$ gleich 0,8, und $\gamma$, ihr Kehrwert, ist 1,25.
• Kontraktion wirkt nur in Bewegungsrichtung: Der Spiegelabstand bleibt 76 Einheiten, während die Breite von 30 auf 24 Einheiten schrumpft.
• Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach: Eine Sonde, die vorwärts mit $0,6c$ von einem Schiff abgeschossen wird, das sich mit $0,6c$ bewegt, fliegt mit $1,2/1,36\approx 0,88c$, nicht mit $1,2c$.

Wo es vorkommt

GPS-Satelliten bewegen sich mit etwa 3,9 km/s, daher verlieren ihre Uhren durch die Bewegung etwa 7 Mikrosekunden pro Tag, während die schwächere Schwerkraft in ihrer Höhe sie schneller gehen lässt; ohne Korrektur würden Positionsbestimmungen pro Tag um Kilometer abdriften. Beschleunigermagnete sind für $p=\gamma mv$ ausgelegt, mit Protonen bei $\gamma$ in den Tausenden. Elektronenmikroskope beschleunigen Elektronen mit 300 kV auf $0,78c$ ($\gamma \approx 1,59$), und PET-Scanner in Kliniken erfassen Paare von 511-keV-Photonen aus der Vernichtung von Elektron und Positron.

Die Ruheenergie kehrt in „Kernspaltung, Kernfusion und E = mc²“ zurück, der Gravitationsanteil der GPS-Korrektur in „Gravitation als gekrümmte Raumzeit“.

Fortgeschritten

Von den zwei Postulaten zur Lorentz-Transformation

Dieser Abschnitt beantwortet eine Frage: Wenn zwei Inertialsysteme beide sehen, dass sich ein Lichtpuls mit der Geschwindigkeit $c$ bewegt, wie hängen dann die Koordinaten eines Ereignisses in dem einen System mit seinen Koordinaten im anderen zusammen? Die Antwort, die Lorentz-Transformation, enthält alle Effekte der speziellen Relativitätstheorie, daher lohnt es sich, sie Schritt für Schritt herzuleiten.

Nimm ein System $S^{\prime }$, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ entlang der $x$-Achse eines Systems $S$ bewegt, und setze die Uhren beider Systeme auf null, wenn sich die beiden Ursprünge passieren, sodass dieses Ereignis $t=t^{\prime }=0$ hat. Galileis Regel, $x^{\prime }=x-vt$ mit $t^{\prime }=t$, kann nicht stimmen. Sie zieht Geschwindigkeiten voneinander ab: Ein Lichtpuls mit $x=ct$ hätte $x^{\prime }=(c-v)t$ und würde sich in $S^{\prime }$ mit $c-v$ bewegen, im Widerspruch zum zweiten Postulat.

Drei Tatsachen legen die richtige Regel fest. Erstens muss sie linear sein: Raum und Zeit sind überall gleich, daher darf die Regel weder einen Ort noch einen Augenblick auszeichnen, und ein Körper, der sich in einem System gleichförmig bewegt, muss sich im anderen gleichförmig bewegen.

Zweitens ändern sich Abstände quer zur Bewegung nicht: $y^{\prime }=y$ und $z^{\prime }=z$. Stell dir zwei identische Ringe vor, die entlang ihrer gemeinsamen Achse aneinander vorbeifliegen. Würde Bewegung einen Ring verkürzen, würde jedes System den anderen Ring kleiner finden und sehen, wie er innerhalb des eigenen Rings vorbeigleitet; beides kann nicht stimmen, denn welcher Ring durch welchen gleitet, ist eine schlichte Tatsache.

Drittens liegt der Ursprung von $S^{\prime }$, wo $x^{\prime }=0$ ist, bei $x=vt$. Eine lineare Regel, die dort genau $x^{\prime }=0$ ergibt, muss proportional zu $x-vt$ sein:
$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$
Hier ist $\gamma$ ein Faktor, der von $v$, aber nicht von $x$ oder $t$ abhängen darf. In $S^{\prime }$ bewegt sich $S$ mit $-v$, und nach dem ersten Postulat ist keines der beiden Systeme ausgezeichnet; die Umkehrung hat deshalb dieselbe Form, mit demselben Faktor und der entgegengesetzten Geschwindigkeit:
$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

Das zweite Postulat legt nun $\gamma$ fest. Schicke einen Lichtpuls vom gemeinsamen Ursprung bei $t=t^{\prime }=0$ aus. In $S$ gilt $x=ct$, in $S^{\prime }$ gilt $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$. Setzt man das in die beiden Gleichungen ein, folgt $c{t}^{\prime }=\gamma (c-v)t$ und $ct=\gamma (c+v)t^{\prime }$. Multipliziert man beide und kürzt $t{t}^{\prime }$, bleibt $c^2={\gamma }^2(c^2-v^2)$, also
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
das ist derselbe Lorentz-Faktor, den die Lichtuhr für die Zeitdilatation ergab.

Die Regel für die Zeit folgt durch Eliminieren von $x^{\prime }$. Setze $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ in $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ ein und löse nach $t^{\prime }$ auf; mit $1-1/{\gamma }^2=v^2/c^2$ vereinfacht sich das Ergebnis, und die vollständige Transformation lautet
$x^{\prime }=\gamma (x-vt),t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$
Für $v\ll c$ ist $\gamma \approx 1$ und der Term $vx/c^2$ vernachlässigbar, und Galileis Regel kehrt zurück. Dieser neue Term ist das Herz der Sache: Die Zeit eines Ereignisses in $S^{\prime }$ hängt nicht nur davon ab, wann es in $S$ passiert, sondern auch davon, wo.

Schiefe Achsen: das Raumzeit-Diagramm

Legende

$x$	Ort in $S$: die horizontale Achse, die Linie $ct=0$.	$\mathrm{m}$
$ct$	Zeit in $S$ mal $c$: die vertikale Achse, damit Zeit und Länge dieselbe Einheit haben.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Ortsachse von $S^{\prime }$: die Linie der Ereignisse mit $t^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Zeitachse von $S^{\prime }$, Zeit mal $c$: die Weltlinie des Ursprungs von $S^{\prime }$, wo $x^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Weltlinie eines Lichtpulses, der von $A$ ausgeht; er gehorcht ebenfalls $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$.
$A$	Ereignis im Ursprung beider Systeme.
$B$	Ereignis auf der $x$-Achse, gleichzeitig mit $A$ in $S$.
$\Delta x$	Abstand zwischen $A$ und $B$ in $S$.	$\mathrm{m}$
$c\Delta t^{\prime }$	Zeit zwischen $A$ und $B$ in $S^{\prime }$, mal $c$, entlang der $c{t}^{\prime }$-Achse abgelesen. Sie ist negativ: $B$ kommt zuerst.	$\mathrm{m}$

Ein Raumzeit-Diagramm zeichnet die Lorentz-Transformation, statt sie aufzuschreiben, und zeigt auf einen Blick, warum zwei Systeme darüber uneinig sind, welche weit entfernten Ereignisse gleichzeitig passieren. Abbildung 1 ist im System $S$ für $v=0,6c$ gezeichnet.

Die Zeit wird nach oben als $ct$ aufgetragen, also die Zeit mal $c$, damit beide Achsen von $S$ Längen in derselben Einheit messen. Ein Lichtpuls, der im Ursprung startet, folgt dann der gestrichelten 45°-Linie $x=ct$.

Das System $S^{\prime }$ bringt zwei eigene Achsen mit. Seine Zeitachse $c{t}^{\prime }$ ist die Menge der Ereignisse mit $x^{\prime }=0$: die Weltlinie $x=vt$ seines Ursprungs, die nach rechts gegenüber der $ct$-Achse geneigt ist. Seine Ortsachse $x^{\prime }$ ist die Menge der Ereignisse mit $t^{\prime }=0$; setzt man $t^{\prime }=0$ in $t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2)$, folgt $ct=(v/c)x$, eine Linie, die von der $x$-Achse nach oben geneigt ist. Beide Achsen von $S^{\prime }$ sind um denselben Winkel geneigt, zur Lichtlinie hin von beiden Seiten, daher liegt die Lichtlinie immer noch genau zwischen ihnen. Der Puls gehorcht also auch $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$: Das zweite Postulat steckt im Bild.

Nun die Ereignisse $A$ und $B$. Beide liegen auf der $x$-Achse, also finden sie in $S$ zur selben Zeit statt, $t=0$, im Abstand $\Delta x$. In $S^{\prime }$ liegen Ereignisse mit gleichem $t^{\prime }$ auf Linien parallel zur $x^{\prime }$-Achse, so wie Ereignisse mit gleichem $t$ in $S$ auf horizontalen Linien liegen. Um die Zeit von $B$ in $S^{\prime }$ abzulesen, folge der gestrichelten Linie durch $B$, parallel zu $x^{\prime }$, bis sie die $c{t}^{\prime }$-Achse trifft. Sie trifft diese Achse unterhalb von $A$, bei $c\Delta t^{\prime }$: Nach den Uhren von $S^{\prime }$ passiert das Ereignis $B$ zuerst. Setzt man $\Delta t=0$ in die Transformation ein, erhält man die Größe der Lücke:
$\Delta t^{\prime }=-\frac{\gamma v\Delta x}{c^2}$
Das Minuszeichen sagt, dass $B$, das Ereignis weiter in Bewegungsrichtung, zuerst kommt. Bei der Geschwindigkeit der Abbildung ist $\gamma =1,25$, also $\gamma v/c=0,75$: Zwei Blitze im Laborsystem, zur selben Zeit und eine Lichtsekunde voneinander entfernt, liegen für die bewegten Uhren 0,75 s auseinander. Ob zwei entfernte Ereignisse gleichzeitig sind, hängt vom Bezugssystem ab.

Zeitdilatation, Längenkontraktion, Geschwindigkeiten

Die Transformation liefert nun die früher genannten Effekte in wenigen Zeilen und zeigt, dass sie für jede Uhr und jeden Stab gelten, nicht nur für die Lichtuhr.

Zeitdilatation. Nimm eine Uhr, die im Ursprung von $S^{\prime }$ ruht. In $S$ bewegt sie sich entlang $x=vt$, also ist ihre Anzeige $t^{\prime }=\gamma (t-v^{2}t/c^2)=\gamma t(1-v^2/c^2)=t/\gamma$. Während in $S$ eine Zeit $\Delta t$ vergeht, schreitet die bewegte Uhr nur um $\Delta t_0=\Delta t/\gamma$ voran; also $\Delta t=\gamma \Delta t_0$.

Längenkontraktion. Ein Stab mit der Eigenlänge $L_0$ ruht in $S^{\prime }$, daher sind seine Enden $\Delta x^{\prime }=L_0$ voneinander entfernt. Um einen bewegten Stab zu messen, muss $S$ beide Enden zur selben Zeit markieren, $\Delta t=0$, und dann ergibt die Transformation $\Delta x^{\prime }=\gamma \Delta x$. Die Länge in $S$ ist also $L=\Delta x=L_0/\gamma$.

Addition von Geschwindigkeiten. Die Umkehrtransformation ist dieselbe Regel mit $-v$: $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ und $t=\gamma (t^{\prime }+v{x}^{\prime }/c^2)$. Ein Körper, der sich in $S^{\prime }$ mit $u^{\prime }$ entlang $x$ bewegt, legt $d{x}^{\prime }=u^{\prime }d{t}^{\prime }$ zurück, also $dx=\gamma (u^{\prime }+v)d{t}^{\prime }$ und $dt=\gamma (1+u^{\prime }v/c^2)d{t}^{\prime }$. Ihr Verhältnis ist seine Geschwindigkeit in $S$:
$u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$
Für $u^{\prime }=c$ ergibt sich $u=c$, wie das zweite Postulat verlangt. Zwei Geschwindigkeiten von $0,6c$ ergeben nicht $1,2c$, sondern $1,2/1,36=15/17\approx 0,88c$.

Die Größe all dieser Effekte wird durch $\gamma$ bestimmt, und der Graph in der Animation trägt ihn gegen $v/c$ bis 0,95 auf, wo $\gamma =3,20$ ist. Nahe dem Ursprung ist die Kurve flach, $\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, bei $0,1c$ nur 0,5 % über 1; deshalb fällt die Relativität im Alltag kaum auf. Am Punkt, $0,6c$, liefert diese Parabel nur 1,18 statt der wahren 1,25, und die Steigung $d\gamma /d(v/c)=(v/c){\gamma }^3$ beträgt dort schon 1,17. Am rechten Rand ist die Steigung 31, und die Kurve steigt auf eine senkrechte Asymptote bei $v=c$ zu.

Das invariante Intervall und die Rapidität

Legende

$x$	Ort in $S$: die horizontale Achse.	$\mathrm{m}$
$ct$	Zeit in $S$ mal $c$: die vertikale Achse, die Weltlinie der ruhenden Uhr.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Ortsachse von $S^{\prime }$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Zeitachse von $S^{\prime }$, Zeit mal $c$: die Weltlinie der bewegten Uhr.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Weltlinie des Lichts von $O$: die gestrichelte Linie, der sich die Hyperbel nähert.
$O$	Ereignis, an dem sich beide Uhren treffen und starten.
$Q$	Tick der ruhenden Uhr nach der Eigenzeit $\tau$.
$P$	Tick der bewegten Uhr nach derselben Eigenzeit $\tau$.
$c\tau$	Eigenzeit zwischen $O$ und dem Tick, mal $c$: die Höhe von $Q$ und die $c{t}^{\prime }$-Koordinate von $P$.	$\mathrm{m}$
$\gamma c\tau$	Zeit von $P$ in $S$, mal $c$: um den Faktor $\gamma$ länger als $c\tau$.	$\mathrm{m}$
$s$	Intervall von $O$, für jeden Punkt der Hyperbel gleich; hier $s=c\tau$.	$\mathrm{m}$
$\alpha$	Neigung der Achsen von $S^{\prime }$ gegenüber denen von $S$: $\tan \alpha =v/c$.	$\mathrm{rad}$

Zeiten und Längen ändern sich von System zu System, aber eine Kombination davon nicht. Diese Invariante, das Intervall, spielt in der Raumzeit die Rolle, die der Abstand im gewöhnlichen Raum spielt, und Abbildung 2 zeigt, wie man es im Diagramm abliest.

Zwei identische Uhren starten gemeinsam im Ereignis $O$. Eine bleibt in $S$ in Ruhe und steigt auf der $ct$-Achse; die andere bewegt sich mit $S^{\prime }$ und steigt auf der $c{t}^{\prime }$-Achse. Jede tickt einmal nach der Eigenzeit $\tau$, der Zeit, die sie selbst anzeigt. Die ruhende Uhr tickt im Ereignis $Q$, in der Höhe $c\tau$. Die bewegte Uhr tickt im Ereignis $P$, wo ihre eigene Achse $c{t}^{\prime }=c\tau$ anzeigt. Die gestrichelte Linie von $P$ zur $ct$-Achse zeigt, wann $S$ diesen Tick datiert: bei $ct=\gamma c\tau$, später als $Q$. Das ist wieder die Zeitdilatation.

Beachte das Rätsel auf dem Papier: Die Strecke $OP$ ist länger gezeichnet als $OQ$, obwohl beide dasselbe $c\tau$ bedeuten. Die Kurve $s$ löst es auf. Sowohl $P$ als auch $Q$ liegen auf dieser Hyperbel, der Menge aller Ereignisse mit demselben Intervall $s=c\tau$ von $O$. Im Raumzeit-Diagramm werden gleiche Intervalle entlang solcher Hyperbeln abgelesen, nicht mit einem Lineal.

Das Intervall zwischen zwei Ereignissen ist definiert durch
$s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$
Setzt man die Transformation auf der rechten Seite ein, quadriert und subtrahiert, heben sich die gemischten Terme auf, der Faktor ${\gamma }^2(1-v^2/c^2)$ ist gleich 1, und in $S^{\prime }$ kommt dasselbe $s^2$ heraus. Eine Drehung in einer Ebene lässt $x^2+y^2$ genauso unverändert.

Die Analogie zur Drehung ist exakt. Definiere die Rapidität $\phi$ durch $v/c=\tanh \phi$. Dann ist $\gamma =\cosh \phi$ und $\gamma v/c=\sinh \phi$, und die Transformation wird zu $c{t}^{\prime }=ct\cosh \phi -x\sinh \phi$ und $x^{\prime }=x\cosh \phi -ct\sinh \phi$. Das ist eine Drehung in der $(x,ct)$-Ebene um den Winkel $\phi$, mit Hyperbelfunktionen statt Kreisfunktionen. Abbildung 2 zeigt denselben Boost mit einem Lineal: Die Achsen von $S^{\prime }$ sind um den Winkel $\alpha$ geneigt, mit $\tan \alpha =v/c=\tanh \phi$. Die Rapiditäten aufeinanderfolgender Boosts entlang einer Geraden addieren sich einfach, das ist das Additionsgesetz für Geschwindigkeiten in verkleideter Form. In der Animation ist $\phi =\mathrm{artanh}0,6=\ln 2$, also $\gamma =\cosh (\ln 2)=(2+\frac{1}{2})/2=1,25$, und zwei solche Boosts ergeben $\tanh (2\ln 2)=\tanh (\ln 4)=15/17$, die oben gefundene Geschwindigkeit.

Die Lichtuhr misst ein Intervall. Ein Tick der bewegten Uhr umspannt $\Delta t=1,90\mathrm{s}$ und $\Delta x=57$ Einheiten in $S$, mit Licht bei 50 Einheiten pro Sekunde; also ist $c\Delta t=95$ Einheiten und $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=95^2-57^2=76^2$. Das Intervall ist der Spiegelabstand, 76 Einheiten, in jedem System gleich; geteilt durch $c$ ist es die Eigenzeit eines Ticks, 1,52 s.

Entlang einer gekrümmten Weltlinie addiert man die Eigenzeit jedes kurzen geraden Stücks: $\tau =\int dt/\gamma$. Wegen der Minuszeichen in $s^2$ verkleinert Bewegung durch den Raum die Eigenzeit, statt sie zu vergrößern. Unter allen Weltlinien zwischen zwei Ereignissen hat daher die gerade, inertiale die längste Eigenzeit, das Gegenteil der euklidischen Geometrie, in der die Gerade die kürzeste ist. Ein Zwilling, der wegreist und umkehrt, altert weniger, wie die unten stehende Aufgabe zeigt.

Energie und Impuls als ein Vierervektor

Legende

$m{c}^2$	Ruheenergie: eine Kathete des Dreiecks, die durch den Bogen auf die Hypotenuse kopiert wird.	$\mathrm{J}$
$pc$	Impuls mal $c$: die andere Kathete.	$\mathrm{J}$
$E$	Gesamtenergie, $\gamma m{c}^2$: die Hypotenuse.	$\mathrm{J}$
$K$	Kinetische Energie, $E-m{c}^2$: der Teil der Hypotenuse jenseits der geschwenkten Kathete.	$\mathrm{J}$
$\theta$	Winkel zwischen der Kathete $m{c}^2$ und der Hypotenuse: $\sin \theta =pc/E=v/c$.	$\mathrm{rad}$

Soll der Impuls in jedem Inertialsystem erhalten sein, müssen Energie und Impuls sich zusammen transformieren, genau wie $t$ und $x$. Dieser Abschnitt baut dieses Paar zu einem Vierervektor zusammen und endet mit der Beziehung, die Abbildung 3 als rechtwinkliges Dreieck zeichnet.

Lies zuerst das Dreieck. Seine Katheten sind die Ruheenergie $m{c}^2$ und $pc$, der Impuls mal $c$; seine Hypotenuse ist die Gesamtenergie $E$, und der rechte Winkel sitzt oben, also gilt $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$. Schwenke die Kathete $m{c}^2$ um die linke Ecke auf die Hypotenuse, entlang des gestrichelten Bogens: Das Stück der Hypotenuse, das am rechten Ende übrig bleibt, ist $K=E-m{c}^2$, die kinetische Energie. An der linken Ecke hat der Winkel $\theta$ den Wert $\sin \theta =pc/E$, der gleich $v/c$ ist, wie unten gezeigt.

Nun die Herleitung. Der Schritt $(cdt,d\vec{x})$ zwischen zwei nahen Ereignissen auf der Weltlinie eines Körpers transformiert sich wie $(ct,\vec{x})$. Teilt man ihn durch die Eigenzeit $d\tau =dt/\gamma$, die in allen Systemen gleich ist, bleibt diese Eigenschaft erhalten; das Ergebnis ist die Vierergeschwindigkeit $\gamma (c,\vec{v})$. Multipliziert man mit der Masse $m$, erhält man den Viererimpuls
$(E/c,\vec{p})=(\gamma mc,\gamma m\vec{v})$
Sein Raumanteil $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$ ist der Impuls, der bei Stößen erhalten bleibt. Sein Zeitanteil ist $E/c$, und ein Boost mischt beide, genau wie er $ct$ und $x$ mischt: Der in $S^{\prime }$ gesehene Impuls enthält Energie aus $S$. Der Impuls kann also nur dann in jedem System erhalten sein, wenn auch die Energie erhalten ist, und die beiden Erhaltungssätze werden zu einem.

Wie das Intervall hat dieser Vierervektor eine Länge, auf die sich alle Systeme einigen: $(E/c{)}^2-p^2={\gamma }^2{m}^2{c}^2(1-v^2/c^2)=m^2{c}^2$. Mit $c^2$ multipliziert lautet sie
$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$
Teilt man den Raumanteil durch den Zeitanteil, folgt $pc/E=v/c$, also $v=p{c}^2/E$; das ist der $\sin \theta$ aus Abbildung 3. Ein masseloses Teilchen hat $E=pc$ und bewegt sich daher mit $c$.

Für kleine Geschwindigkeiten entwickelt man $\gamma$ nach Potenzen von $v^2/c^2$:
$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}$
Newtons kinetische Energie ist die erste Korrektur, und $K=(\gamma -1)m{c}^2$ ist die exakte Form. Die Ruheenergie $m{c}^2$, die bei $v=0$ bleibt, ist real: Ein heißer Körper ist um $\Delta E/c^2$ schwerer, und ein Atomkern ist leichter als seine getrennten Teile. Die Masse $m$ ist in jedem System dieselbe; mit der Geschwindigkeit wächst $\gamma$.

Bei der Geschwindigkeit der Animation, $0,6c$, ist das Dreieck aus Abbildung 3 ein 3-4-5-Dreieck: $pc=\gamma mvc=0,75m{c}^2$ und $E=1,25m{c}^2$, und tatsächlich gilt $0,75^2+1^2=1,25^2$. Die kinetische Energie ist $K=0,25m{c}^2$, während Newtons $\frac{1}{2}m{v}^2=0,18m{c}^2$ um 28 % zu klein ist.

Dopplereffekt, Felder und Beschleunigung

Drei kurze Anwendungen zeigen, wie weit die Transformation reicht: auf Licht von bewegten Quellen, auf elektrische und magnetische Felder und auf beschleunigte Körper.

Dopplereffekt. Licht braucht kein Medium, daher kann seine Dopplerverschiebung nur von der Relativgeschwindigkeit von Quelle und Beobachter abhängen. Eine Quelle entferne sich mit $v$ und sende in ihrem eigenen System alle $T$ einen Wellenberg aus. In unserem System kommen die Wellenberge alle $\gamma T$ an, wegen der Zeitdilatation, und zwischen zwei Wellenbergen entfernt sich die Quelle um $v\gamma T$, was der Laufzeit des nächsten Wellenbergs $v\gamma T/c$ hinzufügt. Die empfangene Periode ist daher
$\gamma T(1+v/c)=T\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$
Bei $0,6c$ ist der Faktor genau 2, das ist $e^{\phi }$ für die Rapidität $\phi =\ln 2$: Eine 500-nm-Spektrallinie kommt von einer sich entfernenden Quelle bei 1000 nm an und von einer sich nähernden bei 250 nm. Für Licht, das im rechten Winkel zur Bewegung empfangen wird, ändert sich die Entfernung nicht, daher bleibt nur die Zeitdilatation, die die Frequenz um den Faktor $\gamma$ senkt.

Felder. Eine ruhende Ladung hat nur ein elektrisches Feld. In einem System, in dem sie sich bewegt, ist sie ein Strom und hat auch ein Magnetfeld, und die magnetische Kraft auf eine bewegte Ladung ist im Ruhesystem der Ladung eine elektrische Kraft: Ein Boost mischt elektrische und magnetische Felder, wie er $t$ und $x$ mischt. Die maxwellschen Gleichungen gehorchen der Lorentz-Transformation bereits, daher musste sich die Mechanik ändern, nicht der Elektromagnetismus.

Beschleunigung. Beschleunigte Körper brauchen keine neue Theorie, solange die Raumzeit flach ist: Zu jedem Augenblick benutze das Inertialsystem, das sich mit dem Körper bewegt. Angenommen, ein Schiff behält eine konstante Eigenbeschleunigung $a$ bei, die die Passagiere spüren. In jedem kurzen Stück $d\tau$ der Schiffszeit gewinnt es dieselbe kleine Rapidität $ad\tau /c$, und Rapiditäten addieren sich, daher wächst $\phi =a\tau /c$ gleichmäßig, und $v=c\tanh (a\tau /c)$ erreicht $c$ nie. Ein Jahr Schiffszeit bei $9,81m/{\mathrm{s}}^2$ ergibt $a\tau /c\approx 1,03$ und $v\approx 0,77c$.

Rechenbeispiel: Hin- und Rückreise zu einem nahen Stern

Legende

$t$	Zeit im Erdsystem, in Jahren gezeichnet: die horizontale Achse, zugleich die Weltlinie der Erde.	$\mathrm{s}$
$x$	Entfernung von der Erde entlang der Reise, in Lichtjahren gezeichnet.	$\mathrm{m}$
$L_0$	Entfernung zum Stern im Erdsystem: 3,00 Lichtjahre.	$\mathrm{m}$

Diese Aufgabe wendet die ganze Lektion auf das Zwillingsparadoxon an: Eine Reisende fliegt zu einem Stern und zurück und kommt jünger zurück als ihr Zwilling auf der Erde. Abbildung 4 zeigt die Reise im Erdsystem, mit der Zeit $t$ in Jahren nach rechts und der Entfernung $x$ in Lichtjahren nach oben, sodass Licht unter 45° läuft. Die Erde bleibt auf der $t$-Achse, und der Stern in der Entfernung $L_0$ ist die gestrichelte Waagerechte. Die geknickte Linie ist die Weltlinie der Reisenden, die zum Stern hinaufsteigt und zurückfällt. Die Zahlen sind Uhrenstände: Wenn sie umkehrt, zeigt die Erdenuhr 5 und ihre 4; wenn sie landet, 10 und 8.

Schicke die Uhr der Animation mit $0,6c$ zu einem Stern, der im Erdsystem 3,00 Lichtjahre entfernt ist, und wieder zurück, wobei die kurze Umkehrphase vernachlässigt wird. Auf der Erde dauert jeder Abschnitt $3,00/0,6=5,00$ Jahre, insgesamt 10. Die Uhr der Reisenden geht um $\gamma =1,25$ langsamer, sie zeigt also 4,00 Jahre pro Abschnitt, insgesamt 8.

Ihre eigene Sicht stimmt damit überein. In ihrem System ist die Entfernung zum Stern auf $L_0/\gamma =3,00/1,25=2,40$ Lichtjahre verkürzt, die sie mit $0,6c$ in denselben 4,00 Jahren zurücklegt. Auch das Intervall stimmt: In Jahren und Lichtjahren hat jeder Abschnitt $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=5^2-3^2=4^2$, also eine Eigenzeit von 4 Jahren. Das Verhältnis 10 : 8 ist das 5 : 4 der Zählwerke aus der Animation.

Warum ist die Reise nicht symmetrisch, wenn auf dem Hinweg jeder Zwilling die Uhr des anderen langsam findet? Dazu lass jeden Zwilling mit seiner eigenen Uhr jedes Jahr ein Lichtsignal senden und zähle die ankommenden Signale. Der Dopplerfaktor bei $0,6c$ ist 2: Solange sich die Zwillinge voneinander entfernen, kommen die Signale alle 2 Jahre an; solange sie sich annähern, jedes halbe Jahr.

Die dünnen Linien in Abbildung 4 sind die jährlichen Signale der Erde, die unter 45° von der $t$-Achse aufsteigen, bis sie ihre Weltlinie treffen, und die Punkte markieren, wo sie bei ihr ankommen. Auf dem Hinweg empfängt sie eines alle 2 Jahre ihrer Zeit, also 2 Signale in ihren 4 Jahren; das Signal aus Jahr 2 erreicht sie gerade, als sie umkehrt. Auf dem Rückweg empfängt sie eines jedes halbe Jahr, 8 weitere; das Signal aus Jahr 10 kommt an, als sie landet. Die Punkte drängen sich also nach der Wende zusammen, und ihre Zählung von 10 Signalen sagt, dass die Erde 10 Jahre gealtert ist.

Die Erde sieht die andere Seite. Sie empfängt die Signale der Reisenden alle 2 Jahre, bis das Licht von ihrer Wende die Erde erreicht. Sie hat in Jahr 5 bei 3 Lichtjahren umgedreht, also sieht die Erde die Wende erst im Jahr 8, drei Jahre nach dem Ereignis: 4 Signale in 8 Jahren. In den letzten 2 Jahren kommen ihre Signale jedes halbe Jahr, 4 weitere: insgesamt 8, also ist sie 8 Jahre gealtert.

Die Asymmetrie ist der Wechsel des Systems. Die Signale, die sie empfängt, werden auf der Hälfte ihrer Reise schneller, bei der Wende, die nur sie spürt, während die Signale, die die Erde empfängt, erst 2 Jahre vor ihrer Rückkehr schneller werden. In der Sprache des Intervalls hat ihre geknickte Weltlinie die kürzere Eigenzeit.

Grenzen der Gültigkeit

Die spezielle Relativitätstheorie setzt eine flache Raumzeit voraus, mit Inertialsystemen, die überall gelten. Dieser Abschnitt zeigt, wo diese Voraussetzung und mit ihr die Theorie endet.

Die Schwerkraft zerstört sie zuerst. Eine Uhr, die tiefer im Gravitationsfeld steht, geht langsam, um einen Bruchteil gleich der Differenz des Gravitationspotentials geteilt durch $c^2$: etwa $7\times 10^{-10}$ zwischen der Erdoberfläche und dem fernen Weltraum. GPS-Uhren verlieren durch ihre Bewegung etwa 7 µs pro Tag und gewinnen durch ihre Höhe etwa 46 µs pro Tag, daher werden sie vor dem Start so eingestellt, dass sie etwas langsam ticken. Wo die Schwerkraft im untersuchten Gebiet variiert, ist die Raumzeit gekrümmt, und die allgemeine Relativitätstheorie übernimmt; die spezielle gilt weiterhin in jedem kleinen, frei fallenden Labor.

Bei Alltagsgeschwindigkeiten sind die Korrekturen, von der Größenordnung $\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, winzig: $5\times 10^{-15}$ für ein Auto mit 30 m/s und $3,5\times 10^{-13}$ für ein Flugzeug mit 250 m/s. Dennoch gewannen oder verloren Atomuhren, die 1971 um die Welt geflogen wurden, zehn bis hunderte Nanosekunden, wie vorhergesagt, sobald die Schwerkraft einbezogen war.

Am anderen Ende ist nichts gescheitert: 6,8 TeV schnelle Protonen im Large Hadron Collider haben $\gamma \approx 7250$ und liegen dem Licht um weniger als 3 m/s zurück, und Myonen, die in einem Speicherring mit $\gamma \approx 29$ kreisen, leben 29-mal länger als im Ruhezustand.

Die Quantenmechanik setzt die letzte Grenze. Oberhalb einer Stoßenergie von $2m{c}^2$ im Schwerpunktsystem, 1,02 MeV für Elektronen, können ein Teilchen und sein Antiteilchen entstehen. Nur die Verbindung von Relativitätstheorie und Quantenmechanik kann das beschreiben, und diese Verbindung sagte die Antimaterie vor ihrer Entdeckung 1932 voraus.

Wohin das führt

„Gravitation als gekrümmte Raumzeit“ behält das Intervall, lässt aber die Raumzeit sich krümmen, sodass freier Fall den geradesten Weltlinien folgt und Uhren von der Höhe abhängen. „Kernspaltung, Kernfusion und E = mc²“ verwandelt die Ruheenergie in die Leistung von Reaktoren und Sternen: Die Fusion von Wasserstoff zu Helium setzt 0,7 % der Masse frei. „Der photoelektrische Effekt“ und „Welle-Teilchen-Dualismus“ geben dem Licht die Energie $E=hf$ und den Impuls $p=E/c=h/\lambda$, den masselosen Fall des Viererimpulses. „Teilchen und Kräfte: das Standardmodell“ nutzt die Erhaltung des Viererimpulses, um Teilchen zu finden, die keine Spur hinterlassen. Ein Blick zurück: „Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen“ und „Elektromagnetische Wellen“ enthalten die Felder, die sich mischen, und die Geschwindigkeit $c$, mit der alles begann.