Работа, энергия и мощность

Начальный

В обычной речи держать тяжёлый чемодан десять минут — тяжёлая работа. В физике это вообще не работа, потому что у слова точный смысл: сила совершает работу, когда перемещает что-то в ту сторону, куда она толкает или тянет. Работа = сила × расстояние, её измеряют в джоулях (Дж). Толкните тележку с силой 10 Н на 3 м — вы совершите работу 30 Дж.

Совершая над телом работу, мы передаём ему энергию — способность, в свою очередь, совершить работу. Здесь важны два вида энергии. Поднятое тело обладает энергией высоты (потенциальной энергией): вес × высота. Поставьте мешок муки весом 20 Н на полку высотой 1,5 м — в нём запасено 30 Дж. Движущееся тело обладает энергией движения (кинетической энергией) $\frac{1}{2}m{v}^2$. Скорость входит в квадрате, поэтому машина, едущая вдвое быстрее, несёт вчетверо больше энергии — вот почему скорость так важна при аварии.

Энергия не возникает и не исчезает, она лишь переходит из одной формы в другую. Отпустите мяч: он теряет энергию высоты и получает ровно столько же энергии движения. При ударе энергия движения на мгновение сжимает мяч и пол, и часть её превращается в тепло и звук, поэтому мяч никогда не подпрыгивает до исходной высоты.

Мощность показывает, как быстро совершается работа; её измеряют в ваттах: один ватт — это один джоуль в секунду. Два человека, поднимающие одинаковые коробки по одной и той же лестнице, совершают одинаковую работу; тот, кто быстрее, развивает большую мощность.

Проверьте себя: вы несёте коробку через комнату с ровным полом с постоянной скоростью. Какую работу над коробкой совершает ваша сила, направленная вверх? (Никакой: коробка движется горизонтально, под прямым углом к этой силе.)

В анимации синий столбик «высота» уменьшается, а золотой столбик «движение» растёт по мере падения мяча, тогда как зелёная сумма остаётся прежней.

Средний

Работа: сила вдоль перемещения

В физике сила совершает работу, только если тело перемещается, пока сила действует, и в счёт идёт лишь та составляющая силы, которая направлена вдоль движения. Для постоянной силы $F$ и прямолинейного перемещения $d$, направленного под углом $\theta$ к силе,
$W=Fd\cos \theta$

Работу измеряют в джоулях, $1\mathrm{Дж}=1\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$: примерно столько нужно, чтобы поднять яблоко массой 100 г на один метр. Работа — скаляр: у неё нет направления, но есть знак.

Знак работы задаёт угол между силой и перемещением:

• Сила направлена вдоль движения: $\theta =0^{\circ }$, $W=Fd$, и сила передаёт телу энергию.
• Сила перпендикулярна движению: $\theta =90^{\circ }$, и работы она не совершает — как сила, с которой пол действует на скользящий ящик, или натяжение нити, раскручивающей камень по окружности.
• Сила направлена против движения: $\theta =180^{\circ }$, $W=-Fd$, и трение с тормозами отбирают энергию у движения.

Когда действует несколько сил, каждая совершает свою работу, а полная работа равна их сумме.

Кинетическая энергия и теорема о кинетической энергии

Будем толкать тележку массой $m$ постоянной равнодействующей силой $F$ на расстояние $d$. Поскольку $a=F/m$, уравнение кинематики $v^2=v_0^2+2ad$, умноженное на $m/2$, принимает вид $Fd=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Работа изменяет кинетическую энергию,
$E_{\mathrm{к}}=\frac{1}{2}m{v}^2$
а полная работа всех сил равна её изменению. Это теорема о кинетической энергии:
$W_{\mathrm{полн}}=\Delta E_{\mathrm{к}}$

Положительная полная работа разгоняет тело, отрицательная — тормозит. Кинетическая энергия никогда не бывает отрицательной, не зависит от направления движения и растёт пропорционально квадрату скорости.

Потенциальная энергия и закон сохранения энергии

Когда мяч массой $m$ опускается с высоты $h_1$ на высоту $h_2$, сила тяжести $mg$ совершает работу $mg(h_1-h_2)$ при любой траектории: с направлением силы тяжести совпадает лишь вертикальная составляющая каждого малого шага. Работу, которая зависит лишь от начальной и конечной точек, можно запасти и вернуть, поэтому её записывают как потенциальную энергию:
$E_{\mathrm{п}}=mgh$

Высоту $h$ отсчитывают от уровня, который вы выбираете сами, ведь значение имеют только изменения $E_{\mathrm{п}}$. Работа силы тяжести положительна при движении вниз, где $E_{\mathrm{п}}$ убывает, и отрицательна при движении вверх.

Если работу совершают только сила тяжести или идеальная пружина, каждый джоуль, ушедший из $E_{\mathrm{п}}$, оказывается в $E_{\mathrm{к}}$, и механическая энергия не меняется:
$E_{\mathrm{к}}+E_{\mathrm{п}}=\mathrm{const}\text{(без трения и сопротивления)}$

Поэтому тело, упавшее с высоты $h$, приземляется со скоростью $v=\sqrt{2gh}$: это следует из $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$. Масса сокращается, а на горке без трения не важна и её форма: горка давит на тело под прямым углом к движению и работы не совершает.

Пример: падающий мяч из анимации

Мяч массой 2 кг отпускают без начальной скорости с высоты $h_0=18\mathrm{м}$. Если принять землю за $h=0$, вся его энергия вначале потенциальная:
$E=mg{h}_0=2\cdot 9,81\cdot 18\approx 353\mathrm{Дж}$

На полпути, при $h=9\mathrm{м}$, половина энергии уже сменила форму: $E_{\mathrm{п}}\approx 177\mathrm{Дж}$ и $E_{\mathrm{к}}\approx 177\mathrm{Дж}$, откуда $v=\sqrt{2E_{\mathrm{к}}/m}\approx 13,3\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Перед самым приземлением $E_{\mathrm{п}}=0$ и $E_{\mathrm{к}}=E$:
$v=\sqrt{2g{h}_0}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 18}\approx 18,8\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Именно эти значения показывают числовые индикаторы $E_{\mathrm{п}}$, $E_{\mathrm{к}}$ и $v$, а в последнем кадре, за мгновение до приземления, видно $E_{\mathrm{к}}=E$ и $E_{\mathrm{п}}=0$. Всё время падения синий столбик $E_{\mathrm{п}}$ и золотой столбик $E_{\mathrm{к}}$ в сумме дают зелёный столбик $E$, а стрелка скорости $v$ растёт.

Падение длится $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{с}$, но середина по высоте пройдена лишь на 1,35 с. Через половину времени падения, на 0,96 с, мяч опустился всего на 4,5 м, и лишь четверть энергии, 88 Дж, сменила форму. Энергия делится по высоте, а не по времени, и с каждой секундой мяч проходит всё больше высоты: его бледные отпечатки через каждые 0,4 с расходятся всё дальше.

Пример: санки с грузом

Ребёнок тянет санки массой 25 кг из состояния покоя на 20 м по ровному снегу. Верёвка составляет с землёй угол $30^{\circ }$, её натяжение равно 60 Н, а сила трения полозьев о снег — 30 Н. С какой скоростью санки движутся в конце пути?

Верёвка совершает работу $60\cdot 20\cdot \cos 30^{\circ }\approx 1039\mathrm{Дж}$, а трение, направленное назад, — $30\cdot 20\cdot \cos 180^{\circ }=-600\mathrm{Дж}$. Сила тяжести и реакция снега вертикальны, то есть перпендикулярны движению, и работы не совершают. Полная работа равна 439 Дж, и из состояния покоя теорема о кинетической энергии даёт
$v=\sqrt{\frac{2W_{\mathrm{полн}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 439}{25}}\approx 5,9\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Законы Ньютона дают тот же результат: горизонтальная составляющая тяги, $60\cos 30^{\circ }\approx 52\mathrm{Н}$, оставляет равнодействующую 22 Н, так что $a\approx 0,88\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, а $v^2=2\cdot 0,88\cdot 20\approx 35{\mathrm{м}}^2/{\mathrm{с}}^2$. Энергетическому подходу не понадобились ни ускорение, ни время.

Мощность и чтение графиков энергии

Мощность — это скорость совершения работы; её измеряют в ваттах, $1\mathrm{Вт}=1\mathrm{Дж}/\mathrm{с}$:
$P=\frac{W}{t}$
Для силы, направленной вдоль движения, при скорости $v$ работа за малое время $\Delta t$ равна $Fv\Delta t$, поэтому $P=Fv$. В конце пути верёвка развивает мощность $52\cdot 5,93\approx 308\mathrm{Вт}$, но в среднем за 6,7 с — только 154 Вт, потому что санки начинали с места.

На графике зависимости силы от расстояния площадь под линией — это работа: прямоугольник $Fd$ для постоянной силы и треугольник $\frac{1}{2}k{x}^2$ для пружины, сила которой растёт с растяжением, $F=kx$. На графике зависимости энергии от времени наклон — это мощность. Мощность силы тяжести, действующей на падающий мяч, $mgv$, растёт от нуля до $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{Вт}$ в момент приземления, поэтому золотой столбик сначала заполняется медленно, а затем всё быстрее.

Частые ошибки

• Работа — это не усилие. Если десять минут неподвижно держать чемодан массой 20 кг, над ним не совершается никакой работы; мышцы расходуют химическую энергию лишь на то, чтобы оставаться напряжёнными.
• Кинетическая энергия не пропорциональна скорости. При росте скорости с 15 до 30 м/с $E_{\mathrm{к}}$ автомобиля массой 1200 кг увеличивается со 135 кДж до 540 кДж, поэтому при той же силе торможения тормозной путь становится вчетверо длиннее.
• Работа может быть отрицательной. Трение совершило над санками работу $-600\mathrm{Дж}$: эта энергия ушла из движения и вновь появилась в виде тепла в полозьях и снегу.
• Одно значение $E_{\mathrm{п}}$ без нулевого уровня ничего не означает. Относительно земли у мяча 353 Дж, а относительно начальной точки — 0 Дж, но падение высвобождает 353 Дж в любом случае.
• Более тяжёлые тела не приземляются быстрее, если работает только сила тяжести. Мяч массой 4 кг, отпущенный с высоты 18 м, несёт 706 Дж, вдвое больше, но всё равно приземляется со скоростью 18,8 м/с: масса сокращается.

Где это встречается

Проектировщики американских горок исходят из суммы $E_{\mathrm{к}}+E_{\mathrm{п}}$: вагонетка, отпущенная без начальной скорости на 40 м выше самой низкой точки, может достичь самое большее $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 40}\approx 28\mathrm{м}/\mathrm{с}$, то есть около 100 км/ч. Гидроэлектростанции превращают потенциальную энергию воды в электричество: около 0,98 МДж на каждую тонну воды, падающую со 100 м.

Следующие уроки опираются на тот же учёт энергии: «Простые механизмы: рычаги, блоки и зубчатые передачи» (ни один механизм не выдаёт больше работы, чем получает), «Упругость: закон Гука, напряжение и деформация» (энергия растянутой пружины), «Гармонические колебания», «Уравнение Бернулли», «Электрическое поле и потенциал» и «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели», где в баланс добавляется тепло.

Продвинутый

Работа как криволинейный интеграл

Правило $W=Fd\cos \theta$ требует постоянной силы и прямолинейного пути. Реальные силы меняются от точки к точке, а реальные пути изгибаются, поэтому нужно такое определение работы, которое справляется и с тем, и с другим. На нём построено всё остальное в этом уроке.

Обозначения

$A$	Начало пути.
$B$	Конец пути.
$d\vec{r}$	Один короткий шаг вдоль пути длиной $dr$.	$\mathrm{м}$
$\vec{F}$	Сила, действующая на частицу в начале шага.	$\mathrm{Н}$
$\theta$	Угол между $\vec{F}$ и шагом.	$\mathrm{рад}$
$F\cos \theta$	Составляющая $\vec{F}$ вдоль шага: единственная часть, совершающая работу.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 1 частица движется по криволинейному пути от $A$ к $B$, а действующая на неё сила меняется от точки к точке. Идея в том, чтобы разрезать путь на шаги настолько короткие, что каждый практически прямолинеен, а сила на нём почти не меняется. На таком шаге снова действует простое правило.

Посмотрите на увеличенный шаг $d\vec{r}$: это стрелка длиной $dr$, направленная вдоль пути. В его начале сила равна $\vec{F}$ и составляет с шагом угол $\theta$. Маленькие точки на кривой отмечают начала других шагов; у каждого своя сила и свой угол.

Вдоль шага частицу толкает только составляющая $\vec{F}$, направленная вдоль этого шага; перпендикулярная составляющая лишь толкает её вбок. Чтобы найти составляющую вдоль шага, опустите из конца $\vec{F}$ штриховой перпендикуляр на прямую шага: зелёный отрезок, который он отсекает, имеет длину $F\cos \theta$. Работа на этом одном шаге равна этой составляющей, умноженной на длину шага:
$dW=F\cos \theta dr=\vec{F}\cdot d\vec{r}$

Скалярное произведение появляется именно потому, что оно и есть это: составляющая одного вектора вдоль другого, умноженная на длину другого. Полная работа от $A$ до $B$ — сумма по всем шагам. Когда шаги становятся всё короче, сумма превращается в криволинейный интеграл
$W={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^B\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)$
Во второй записи скалярное произведение расписано по компонентам — так интеграл обычно и вычисляют.

Отсюда сразу следуют два результата. Для постоянной силы на прямолинейном пути $\vec{F}$ выносится из-под интеграла, а шаги складываются в перемещение, и снова получается $W=Fd\cos \theta$. А если разделить $dW$ на время $dt$, за которое сделан шаг, и учесть, что $d\vec{r}/dt=\vec{v}$, получится мощность, которую сила развивает в каждый момент, $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$.

Работа — не то, чем обладает тело. Она описывает процесс: количество энергии, переданное от того, что действует силой, телу, на которое эта сила действует.

Вывод теоремы о кинетической энергии

Криволинейный интеграл становится полезным, когда его связывают с движением. Эту связь даёт второй закон Ньютона, а результат — теорема о кинетической энергии — гласит: полная работа сил, действующих на частицу, равна изменению её кинетической энергии $E_{\mathrm{к}}=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Начнём с того, как $E_{\mathrm{к}}$ меняется со временем. Квадрат скорости — это скалярное произведение скорости на саму себя, $v^2=\vec{v}\cdot \vec{v}$, и по правилу дифференцирования произведения его производная равна $2\vec{v}\cdot d\vec{v}/dt$. Поэтому для частицы постоянной массы $m$
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=m\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}=\sum \vec{F}\cdot \vec{v}$
Последний шаг — второй закон Ньютона, $md\vec{v}/dt=\sum \vec{F}$: скорость изменения $E_{\mathrm{к}}$ равна мощности равнодействующей силы.

Теперь проинтегрируем по времени от начала до конца. За время $dt$ частица делает шаг $d\vec{r}=\vec{v}dt$, поэтому интеграл по времени от $\sum \vec{F}\cdot \vec{v}$ превращается в криволинейный интеграл вдоль пути:
$\Delta E_{\mathrm{к}}=\int \sum \vec{F}\cdot d\vec{r}=W_{\mathrm{полн}}$

В этом выводе ничего не предполагалось ни о силе, ни о пути. Поэтому теорема верна для равнодействующей силы, действующей на частицу, независимо от того, есть ли у этой силы потенциальная энергия.

Силы, не совершающие работы

Некоторые силы всё время действуют на тело, но никогда не меняют модуль его скорости. Умение их замечать упрощает задачи на энергию: такие силы выпадают из баланса.

Обозначения

$h$	Начальная высота над полом: на сколько опускается мяч.	$\mathrm{м}$
$m\vec{g}$	Сила тяжести, действующая на мяч, направлена вертикально вниз.	$\mathrm{Н}$
$\vec{N}$	Сила реакции опоры, действующая на мяч перпендикулярно горке.	$\mathrm{Н}$
$\vec{v}$	Скорость мяча, направленная вдоль горки.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

На рисунке 2 мяч без начальной скорости соскальзывает по гладкой горке произвольной формы, стартуя на высоте $h$ над полом. На него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $\vec{N}$. Гладкая опора может давить только перпендикулярно своей поверхности. Мяч движется вдоль этой поверхности, поэтому его скорость $\vec{v}$ направлена вдоль горки. Маленький квадратик отмечает прямой угол между $\vec{N}$ и $\vec{v}$: в каждый момент $\vec{N}\cdot \vec{v}=0$, поэтому мощность $\vec{N}$ равна нулю, и сила реакции опоры не совершает работы, как бы ни изгибалась горка.

Так же обстоит дело и в общем случае. Разложите любую силу на составляющую вдоль скорости и составляющую поперёк неё. Модуль скорости меняет только составляющая вдоль $\vec{v}$; поперечная лишь искривляет путь. Сила реакции гладкой опоры, натяжение нити маятника и магнитная сила, действующая на движущийся заряд, перпендикулярны $\vec{v}$, поэтому ни одна из них работы не совершает. Значит, на рисунке 2 кинетическую энергию меняет одна лишь сила тяжести.

Чтобы найти работу силы тяжести, обозначим через $y$ высоту мяча над полом в произвольный момент: $y=h$ в начале и $y=0$ в конце. Сила тяжести направлена вертикально вниз, поэтому учитывается только вертикальная составляющая $\vec{v}$, равная $dy/dt$:
$m\vec{g}\cdot \vec{v}=-mg\frac{dy}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(mgy\right)$
Знак минус появляется потому, что сила тяжести направлена вниз, а $y$ отсчитывается вверх. Значит, за весь спуск сила тяжести совершает работу $mgh$, которая зависит только от перепада высоты, а не от формы горки. Теорема даёт $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$: гладкая горка любой формы сообщает внизу одну и ту же скорость, $v=\sqrt{2gh}$.

Прочитайте уравнение для мощности в обратную сторону: скорость роста $E_{\mathrm{к}}$ в точности равна скорости убывания $mgy$. Поэтому, если другие силы работы не совершают, сумма $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy$ остаётся постоянной на любом пути. Сохранение энергии здесь — не дополнительное допущение: оно следует из второго закона Ньютона и вида силы.

Что показывает график энергии

На уровне «Продвинутый» анимация строит эти энергии в зависимости от времени для падающего мяча из этого урока, так что за учётом энергии можно следить прямо по ходу движения.

Мяч массой $m=2\mathrm{кг}$ отпускают без начальной скорости с высоты $h_0=18\mathrm{м}$, и он свободно падает. Через время $t$ его высота равна $h=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$, а скорость $v=gt$. Подставив это в $E_{\mathrm{к}}=\frac{1}{2}m{v}^2$ и $E_{\mathrm{п}}=mgh$, получаем
$E_{\mathrm{к}}(t)=\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2,E_{\mathrm{п}}(t)=mg{h}_0-\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2$
Коэффициент равен $\frac{1}{2}m{g}^2\approx 96,2\mathrm{Дж}/{\mathrm{с}}^2$. Золотая парабола $E_{\mathrm{к}}$ раскрыта вверх, а синяя парабола $E_{\mathrm{п}}$ — её зеркальное отражение. В сумме слагаемые с $t^2$ сокращаются, поэтому зелёная полная энергия остаётся ровной на уровне $mg{h}_0\approx 353\mathrm{Дж}$: $dE/dt=0$.

Наклон графика $E_{\mathrm{к}}$ — это мощность, которую развивает сила тяжести, $d{E}_{\mathrm{к}}/dt=m{g}^{2}t=mgv$, то есть $\vec{F}\cdot \vec{v}$ для силы тяжести. В момент отпускания она равна нулю, в середине времени падения — около 184 Вт, а при приземлении — $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{Вт}$. Падение длится $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{с}$, так что средняя мощность равна $353/1,92\approx 184\mathrm{Вт}$ — половине конечного значения, потому что $v$ растёт пропорционально времени. Наклон графика $E_{\mathrm{п}}(t)$ в точности противоположен, и так график выражает равенство $W=-\Delta E_{\mathrm{п}}$.

Если строить энергии не по времени, а по высоте, обе будут прямыми, $E_{\mathrm{п}}=mgh$ и $E_{\mathrm{к}}=mg(h_0-h)$. Кривизна графиков по времени отражает лишь то, что по мере разгона мяч за секунду проходит всё больше высоты.

Консервативные силы и потенциальная энергия

Работа силы тяжести зависела только от того, где мяч начал движение и где закончил. Силы с таким свойством особые: их работу можно запасти и затем вернуть, и этот запас — потенциальная энергия.

Сила консервативна, если её работа от точки $A$ до точки $B$ одинакова на любом пути между ними. Равносильная формулировка: её работа по любому замкнутому контуру равна нулю — пройдите туда по одному пути, а обратно по другому, и два вклада взаимно уничтожатся. Сила тяжести, идеальные пружины и электростатические силы консервативны. Поскольку их работа зависит только от концов пути, её можно записать как убыль функции координат — потенциальной энергии $U$:
$W_{A\to B}=-(U_B-U_A)$
Входят только разности $U$, поэтому $U$ определена с точностью до аддитивной постоянной: где она равна нулю, мы выбираем сами.

Для силы тяжести есть ещё и довод, вовсе не использующий динамику, который объясняет, почему именно произведение веса на высоту — та величина, которую стоит отслеживать. Представьте идеальные механизмы (рычаги, блоки), которые опускают один груз, чтобы поднять другой, и назовите механизм обратимым, если, пущенный в обратную сторону, он в точности отменяет то, что сделал. Допустим, какой-то механизм поднимает груз выше обратимого при том же опускании ведущего груза. Пустите его вперёд, а обратимый — назад: ведущий груз вернётся туда, откуда начал, а поднимаемый окажется выше — задаром. Повторяя это, мы получили бы вечный двигатель, а его никогда не наблюдали. Значит, ни один механизм не превосходит обратимый, и все обратимые механизмы делают в точности одно и то же. Уравновешенный рычаг обменивает вес на высоту в строгой пропорции, поэтому у всех них неизменной остаётся сумма произведений веса на высоту.

Как читать график потенциальной энергии

График $U$ в зависимости от координаты сразу показывает, куда тело может попасть, где оно поворачивает назад и в какую сторону его толкает, — без решения уравнений движения.

Обозначения

$x$	Координата тела на прямой.	$\mathrm{м}$
$U$	Потенциальная энергия тела в точке $x$.	$\mathrm{Дж}$
$E$	Полная энергия $E_{\mathrm{к}}+U$: постоянна, изображена горизонтальной линией.	$\mathrm{Дж}$
$KE$	Кинетическая энергия $E_{\mathrm{к}}$: зазор между уровнем $E$ и кривой $U$.	$\mathrm{Дж}$
$F$	Сила $-dU/dx$, действующая на тело в отмеченной точке: направлена «под гору» и тем больше, чем круче склон. Равна нулю в двух точках, отмеченных $F=0$.	$\mathrm{Н}$
$x_1$	Левая точка поворота, где $U=E$.	$\mathrm{м}$
$x_2$	Правая точка поворота, где $U=E$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 3 показана потенциальная энергия $U(x)$ тела, движущегося вдоль прямой; $x$ — его координата. Горизонтальная линия — его полная энергия $E=E_{\mathrm{к}}+U$, которая остаётся постоянной, пока работу совершают только консервативные силы. Поскольку $E_{\mathrm{к}}=E-U$, кинетическая энергия в каждой точке $x$ — это высота золотого зазора (на рисунке он обозначен $KE$) между уровнем $E$ и кривой под ним.

Кинетическая энергия не может быть отрицательной, поэтому тело может находиться только там, где кривая лежит на уровне $E$ или ниже. Зазор смыкается в точках поворота $x_1$ и $x_2$, где $U=E$: там тело на мгновение останавливается и поворачивает назад, так что оно ходит между ними туда и обратно, как шарик в чаше. Горка справа поднимается выше $E$, поэтому тело с такой энергией перебраться через неё не может.

График даёт и силу. Когда тело смещается на $dx$, сила совершает работу $Fdx$, а для консервативной силы эта работа равна убыли потенциальной энергии, $-dU$. Приравняв $Fdx=-dU$, получаем
$F=-\frac{dU}{dx}$
а в трёх измерениях $\vec{F}=-\nabla U$. Из-за знака минус на любом графике $U(x)$ сила направлена «под гору». На рисунке 3 стрелка $F$, нарисованная на склоне между дном ямы и $x_2$, указывает обратно ко дну; где кривая круче, там и сила больше. Где наклон равен нулю, сила обращается в нуль — в двух точках, отмеченных $F=0$.

Эти две точки — положения равновесия, но разного рода. Дно ямы — минимум $U$: при малом смещении в любую сторону возникает сила, возвращающая тело назад, поэтому равновесие устойчиво. Вершина горки — максимум: при малом смещении возникает сила, уводящая тело ещё дальше, поэтому равновесие неустойчиво. Для проверки: потенциальная энергия пружины $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ возвращает закон Гука, $F=-kx$.

Трение, тепло и полный баланс энергии

Не все силы консервативны. Трение — повседневное исключение, и, учтя его, мы завершаем баланс энергии.

Работа силы трения скольжения растёт с длиной пути и отрицательна, в какую бы сторону ни скользило тело, потому что трение всегда препятствует скольжению. Поэтому путь туда и обратно даёт не нулевую, а отрицательную работу, и никакая потенциальная энергия её описать не может. Разделим полную работу на часть, совершаемую консервативными силами, которая равна $-\Delta U$, и остальную, $W_{\mathrm{нк}}$ (неконсервативную). Теорема о кинетической энергии, $\Delta E_{\mathrm{к}}=-\Delta U+W_{\mathrm{нк}}$, тогда принимает вид
$\Delta E_{\mathrm{к}}+\Delta U=W_{\mathrm{нк}}$
В $W_{\mathrm{нк}}$ входят трение и сопротивление среды, делающие её отрицательной, а также положительные вклады, например толчок двигателя или мышц.

Вот как это выглядит в числах. Брусок массой 2 кг отпускают с той же высоты 18 м, что и в анимации, и он соскальзывает по прямой наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом; коэффициент трения скольжения $\mu =0,2$. Сила нормальной реакции опоры равна $mg\cos \alpha$, поэтому сила трения равна $\mu mg\cos \alpha$, и она действует на всей длине плоскости, равной $h_0/\sin \alpha$. Их произведение и есть работа трения:
$W_{\mathrm{нк}}=-\mu mg\cos \alpha \cdot \frac{h_0}{\sin \alpha }=-\frac{\mu mg{h}_0}{\mathrm{tg}\alpha }$
При угле $30^{\circ }$ это $-122\mathrm{Дж}$, так что остаётся $353-122=231\mathrm{Дж}$ кинетической энергии, и внизу брусок имеет скорость 15,2 м/с. При угле $60^{\circ }$ — всего $-41\mathrm{Дж}$, и брусок приходит со скоростью 17,7 м/с. Тот же перепад высоты, разные пути, разная работа — признак неконсервативной силы.

Энергия не уничтожается. Трение заставляет атомы обеих поверхностей беспорядочно колебаться, и это хаотическое движение и есть тепловая энергия. На уровне атомов силы консервативны; трение лишь превращает упорядоченное движение в неупорядоченное. Брусок, который проскользил расстояние $d$ по горизонтальному полу, прижатый к нему силой нормальной реакции $N$, выделяет $\mu Nd$ тепловой энергии. Если учитывать и её, энергия сохраняется точно: это первое начало термодинамики с точки зрения механики. Тепло само никогда не собирается обратно в движение бруска — это улица с односторонним движением, которую описывает второе начало термодинамики.

Задача: мяч падает на пружину

В этой задаче сила тяжести и пружина входят в один баланс энергии; она показывает, насколько большая сила нужна, чтобы остановить падающее тело на коротком расстоянии.

Обозначения

$m$	Масса мяча.	$\mathrm{кг}$
$k$	Жёсткость пружины.	$\mathrm{Н}/\mathrm{м}$
$h_0$	Высота точки отпускания над верхним концом пружины.	$\mathrm{м}$
$x$	Сжатие пружины в нижней точке падения.	$\mathrm{м}$
$h_0+x$	Полное расстояние, пройденное при падении от точки отпускания до нижней точки.	$\mathrm{м}$

Условие задачи показано на рисунке 4. Мяч из анимации массой $m=2\mathrm{кг}$ отпускают без начальной скорости на высоте $h_0=18\mathrm{м}$ над лёгкой пружиной жёсткостью $k=5000\mathrm{Н}/\mathrm{м}$, которая стоит вертикально, а её верхний конец находится на уровне земли. На сколько, $x$, сожмётся пружина, когда мяч остановится? Справа на рисунке видно, что мяч пролетает $h_0$ до пружины и ещё $x$, пока сжимает её, так что всего он опускается на $h_0+x$. Рисунок не в масштабе: на самом деле $x$ примерно в пятьдесят раз меньше $h_0$.

Мяч начинает и заканчивает движение в покое, поэтому $\Delta E_{\mathrm{к}}=0$. Без потерь вся работа силы тяжести за всё падение должна оказаться запасённой в пружине: исходные 353 Дж плюс дополнительные $mgx$, высвобождающиеся, когда мяч опускается ниже уровня земли. Итак,
$mg(h_0+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
С числами это квадратное уравнение относительно $x$, и ответ — его положительный корень:
$2500x^2-19,62x-353,16=0,x\approx 0,380\mathrm{м}$

Дополнительное слагаемое меняет ответ всего на 1 %: без него $x=\sqrt{2\cdot 353/5000}\approx 0,376\mathrm{м}$. Наибольшая сила, действующая на мяч, $kx\approx 1900\mathrm{Н}$, примерно в 97 раз больше действующей на него силы тяжести. Спортивные маты и зоны деформации кузова работают наоборот: они поглощают энергию на большем расстоянии, а вдвое большее расстояние означает вдвое меньшую среднюю силу.

Ту же задачу можно прочитать по графику потенциальной энергии. Запишем потенциальную энергию как функцию сжатия $x$ в произвольный момент, пока мяч касается пружины (ответ выше — наибольшее значение $x$), приняв $U=0$ у верхнего конца пружины:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$
Слагаемое пружины растёт по мере сжатия, слагаемое силы тяжести убывает по мере того, как мяч опускается. Минимум $U$, где $dU/dx=kx-mg=0$, лежит при $x=mg/k\approx 3,9\mathrm{мм}$: здесь сила упругости уравновешивает силу тяжести, и мяч мог бы покоиться на пружине. Нижняя точка падения — не этот минимум, а точка поворота, где $U=E$, как на рисунке 3. Без потерь мяч отскочил бы, покинул пружину со скоростью 18,8 м/с и поднялся бы обратно на 18 м.

Границы применимости

Обе формулы энергии из этого урока приближённые, а сама теорема относится к частицам. Вот где каждая из них перестаёт работать.

Формула $mgh$ — приповерхностная форма гравитационной потенциальной энергии $U=-GMm/r$, где $M$ — масса Земли, а $r$ — расстояние до её центра. Точный расчёт: подъём тела с поверхности, то есть с радиуса $R\approx 6371\mathrm{км}$, на высоту $h$ требует $mghR/(R+h)$. Поэтому $mgh$ завышает результат на долю порядка $h/R$: $3\times 10^{-6}$ для падения с 18 м, но 6 % для подъёма на 400 км, на высоту космической станции. Если неограниченно увеличивать $h$, получится энергия, необходимая, чтобы вообще покинуть Землю, $mgR$, — около 62,5 МДж на килограмм, чему соответствует вторая космическая скорость 11,2 км/с.

Выражение $\frac{1}{2}m{v}^2$ — форма релятивистской кинетической энергии $(\gamma -1)m{c}^2$ для малых скоростей, где $c$ — скорость света, а $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. Первая поправка добавляет к энергии долю $\frac{3}{4}{v}^2/c^2$: около $3\times 10^{-15}$ для мяча при 18,8 м/с, а при половине скорости света классическая формула занижает энергию на 19 %. У энергии есть и масса: 353 Дж мяча соответствуют $353/c^2\approx 4\times 10^{-15}\mathrm{кг}$.

Теорема относится к частице. Для тела, которое вращается, деформируется или имеет собственные запасы энергии, интеграл $\int \sum \vec{F}\cdot d{\vec{r}}_{\mathrm{цм}}$, взятый вдоль пути центра масс, даёт лишь изменение кинетической энергии движения центра масс. Когда вы подпрыгиваете, пол толкает вас вверх, но точка, в которой он толкает, не перемещается, поэтому пол работы не совершает: ваша кинетическая энергия берётся из химической энергии мышц. Сплошной шар, скатывающийся без проскальзывания с высоты 18 м, отдаёт вращению две седьмых своей кинетической энергии и приходит со скоростью 15,9 м/с вместо 18,8 м/с. В масштабе атомов вступает в силу квантовая механика: энергия по-прежнему сохраняется, но энергии связанных состояний образуют дискретные уровни, а частицу можно даже обнаружить там, где $U>E$, что классическая механика запрещает.

Что дальше

Эмми Нётер показала в 1918 году, что сохранение энергии вытекает из симметрии: законы физики сегодня те же, что и завтра. Внутри механики тот же учёт энергии проходит через другие уроки: «Импульс и столкновения» делит столкновения по тому, сохраняется ли кинетическая энергия, «Динамика вращения и момент силы» добавляет энергию вращения, а «Тяготение и орбиты» использует $U=-GMm/r$ для орбит и второй космической скорости. На $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ опираются «Упругость: закон Гука, напряжение и деформация» и «Гармонические колебания».

За пределами механики «Электрическое поле и потенциал» превращает $U$ в энергию на единицу заряда, «Уравнение Бернулли» применяет баланс энергии к текущей жидкости, а «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели» делает тепло полноправным участником баланса. «Специальная теория относительности» заменяет $\frac{1}{2}m{v}^2$ на $(\gamma -1)m{c}^2$, «Деление, синтез и E = mc²» взвешивает энергию, запасённую в ядрах, а «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» показывает, что происходит там, где классическому движению потребовалась бы отрицательная кинетическая энергия.