Гравитация как искривление пространства-времени

Начальный

Отпустите молоток и перо там, где нет воздуха, — так однажды сделал астронавт на Луне, — и они упадут одновременно. Любое тело падает с одним и тем же ускорением, какими бы ни были его масса и вещество. Эйнштейн в 1915 году увидел в этом подсказку: если всё падает одинаково, то, может быть, падение — не то, что делают с телами, а свойство самих пространства и времени.

Подумайте о корабле на орбите. Он не вырвался из-под власти тяготения: он всё время падает вокруг Земли, а экипаж и его карандаши падают вместе с ним, поэтому и парят. Теперь представьте закрытую кабину. Если она свободно падает, вы парите, словно тяжесть исчезла. Если это ракета, разгоняющаяся вдали от планет, вас прижимает к полу, словно тяжестью. Изнутри разницы не заметить: это принцип эквивалентности.

Ответ Эйнштейна — общая теория относительности: масса и энергия искривляют пространство и время, а тело, предоставленное самому себе, движется по самому прямому пути в этом искривлённом пространстве-времени. Резиновая плёнка в анимации показывает это наглядно: звезда продавливает сетку, синий шарик кружит вокруг впадины, а золотой луч света отклоняется от пунктирной прямой.

Искривлено и время. Медленные часы на звезде делают три оборота, пока быстрые далёкие часы делают четыре. На Земле эффект крошечный, но спутники GPS обязаны его учитывать, иначе координаты уплывали бы примерно на 10 км в сутки. В предельных случаях теория предсказывает чёрные дыры, из которых не вырывается даже свет, и гравитационные волны, впервые зарегистрированные в 2015 году.

Проверьте себя: космонавт парит внутри космической станции. Значит, там нет тяготения? (Есть, почти такое же, как у земли: он парит потому, что падает вместе со станцией.)

Средний

Что меняется и что мы измеряем

Любое тело падает с одним и тем же ускорением, какими бы ни были его масса и вещество: опыты подтверждают это с точностью около одной части из $10^{15}$. Общая теория относительности Эйнштейна (1915) принимает этот факт всерьёз: если движение не зависит от тела, оно принадлежит самим пространству и времени. Масса и энергия искривляют пространство-время, а свободно падающее тело, не ощущая никакой силы, движется в нём по самому прямому из возможных путей. Стоя на земле, вы — исключение: пол выталкивает вас с траектории свободного падения, и этот толчок вы ощущаете как вес.

В формулах встречаются два вида времени. Собственное время $\tau$ — это то, что показывают часы в том месте, где они находятся, и все процессы там идут в такт с ними. Время вдали $t$ — показание часов, покоящихся далеко от всех масс; это общий эталон для сравнения. Расстояние $r$ от центра массы $M$ определяют по длине окружности, $r=C/2\pi$, потому что в искривлённом пространстве линейка, приложенная от центра, даёт чуть большее значение. Постоянные $G$ и $c$ входят через комбинацию $GM/c^2$ — это длина.

Гравитационный радиус задаёт масштаб

Вдвое большая длина — это гравитационный радиус, или радиус Шварцшильда:
$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

Он равен 2,95 км для Солнца и 8,9 мм для Земли и растёт пропорционально массе: 29,5 км для чёрной дыры в 10 солнечных масс. Тело, сжатое внутрь собственного $r_s$, уже ничего не выпускает наружу, даже свет, и $r_s$ становится радиусом его горизонта событий. У Солнца, радиус которого 696 000 км, эти 2,95 км — лишь масштаб, а не поверхность.

Отношение $r_s/r$ показывает, насколько сильно тяготение на расстоянии $r$: $1,4\times 10^{-9}$ у поверхности Земли, $4,2\times 10^{-6}$ у поверхности Солнца, около 0,34 на нейтронной звезде и 1 на горизонте. Все релятивистские поправки имеют такой порядок, поэтому теория Ньютона так хорошо работает в Солнечной системе.

Рабочие формулы

Большинство практических вопросов решают четыре формулы. Первая точная; остальные три верны лишь в слабом поле, а третья — лишь при скоростях, много меньших $c$:

• $\tau =t\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx \frac{gh}{c^2}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx -\frac{v^2}{2c^2}$
• $\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}$

Первая формула даёт темп часов, покоящихся на расстоянии $r$, по сравнению со временем вдали; на горизонте он обращается в нуль. При малом $r_s/r$ квадратный корень близок к $1-GM/(r{c}^2)$, поэтому вблизи планеты часы на высоте $r+h$ уходят вперёд относительно часов на радиусе $r$ на долю $GMh/(r^2{c}^2)=gh/c^2$ — это вторая формула. Часы на 1 м выше идут быстрее на долю $1,1\times 10^{-16}$; на 1 км выше — уходят вперёд на 9,4 нс в сутки.

Третья формула — замедление движущихся часов из специальной теории относительности. Относительные изменения темпа складываются с учётом знаков: высота заставляет часы уходить вперёд, скорость — отставать. Четвёртая даёт отклонение луча, который без отклонения прошёл бы на расстоянии $b$ от центра (оно называется прицельным расстоянием); через $r_s$ она записывается как $\delta =2r_s/b$, в радианах. Для луча, скользящего по краю Солнца, это 1,75″, что и измерили во время затмения 1919 года. Закон Ньютона, применённый к частице со скоростью $c$, даёт вдвое меньше; вторая половина происходит от искривления пространства.

Пример: часы и луч из анимации

Анимация преувеличивает: радиус её звезды всего $1,8r_s$. Часы на звезде стоят на расстоянии $r_1=2,16r_s$, а далёкие часы — на $r_2=22r_s$, поэтому их темп равен
$\sqrt{1-1/2,16}=\sqrt{0,537}\approx 0,733$
$\sqrt{1-1/22}=\sqrt{0,955}\approx 0,977$

Отношение равно $0,733/0,977=0,750$, ровно 3/4. За один цикл время вдали продвигается на $12,0/0,977=12,28\mathrm{с}$, поэтому далёкие часы показывают ${\tau }_2=12,0\mathrm{с}$, а часы на звезде — ${\tau }_1=0,733\cdot 12,28=9,0\mathrm{с}$: это конечные значения красного ${\tau }_1$ и зелёного ${\tau }_2$ на табло. Каждая стрелка делает один оборот за 3 с собственного времени: три оборота на звезде и четыре вдали.

Золотой луч проходит на расстоянии $b=8r_s$. Формула слабого поля даёт $\delta \approx 2/8=0,25\mathrm{рад}$, то есть 14,3°, но нарисованный точный путь изгибается на 17,8°: так близко к звезде формула занижает отклонение. Синий шарик обращается на расстоянии $r=10,4r_s$. Поскольку $GM=r_s{c}^2/2$, его скорость $\sqrt{GM/r}$ равна $c/\sqrt{20,8}\approx 0,22c$ — ньютоновскому значению для круговой орбиты, которое здесь оказывается точным, если время считать в секундах вдали.

Пример: часы GPS

Навигационные спутники обращаются на высоте 20 200 км над землёй, то есть на расстоянии $r=6371+20200=26571\mathrm{км}$ от центра Земли (часы на земле находятся на радиусе Земли $R=6371\mathrm{км}$). Для Земли $GM/c^2=4,435\mathrm{мм}$. Сравнивая темп на двух радиусах, получаем, что часы спутника уходят вперёд относительно часов на земле на долю
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=4,435\mathrm{мм}\times \left(\frac{1}{6371\mathrm{км}}-\frac{1}{26571\mathrm{км}}\right)\approx 5,29\times 10^{-10}$
которая за сутки, то есть за 86 400 с, накапливается до $+45,7\mathrm{мкс}$.

Спутник к тому же движется со скоростью $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{3,986\times 10^{14}/(2,657\times 10^7)}\approx 3,87\mathrm{км}/\mathrm{с}$, и это замедляет его часы на $v^2/(2c^2)\approx 8,3\times 10^{-11}$, то есть на $-7,2\mathrm{мкс}$ в сутки. Итоговый эффект равен $+45,7-7,2=+38,5\mathrm{мкс}$ в сутки. Координаты вычисляют по времени прохождения сигналов, а свет за это время проходит $c\cdot 38,5\mathrm{мкс}\approx 11,5\mathrm{км}$, так что без поправок определение положения уходило бы на километры уже за сутки. Поэтому часы спутников специально делают идущими медленнее примерно на $4,5\times 10^{-10}$.

Как читать картинку с резиновой плёнкой

Сетка — это плоскость орбиты, а глубина впадины нарисована пропорционально ньютоновскому потенциалу $\Phi =-GM/r$ (сглаженному вблизи звезды). Глубина показывает и то, насколько замедляются часы, ведь в слабых полях $d\tau /dt\approx 1+\Phi /c^2$. Серый пунктир — путь света без звезды, чёрная планка отмечает $b$, а $\delta$ обозначает угол между этой линией и золотым лучом. В экспертном слое добавляется предсказание Ньютона в виде фиолетового пунктирного пути.

Воспринимайте плёнку как картинку, а не как теорию. Шарик скатывается в настоящую впадину лишь потому, что его тянет вниз земная сила тяжести, так что аналогия объясняет тяготение с помощью самого тяготения. К тому же она показывает только искривление пространства, тогда как для медленных тел почти всё тяготение создаёт искривление времени; искривление пространства важно в основном для быстрых тел, таких как свет.

Частые ошибки

• Думать, что медленные часы чувствуют себя медленными. Рядом с часами на звезде, на расстоянии $2,16r_s$, ваши часы, сердце и атомы идут как обычно; только сравнение покажет, что вы состарились на 9 лет, пока далёкий наблюдатель — на 12.
• Путать знаки в задаче про GPS. Более слабое тяготение заставляет часы спутника уходить вперёд на 45,7 мкс в сутки, а скорость — отставать на 7,2 мкс, поэтому итог равен +38,5 мкс, а не 52,9 мкс.
• Применять $gh/c^2$ для больших высот. Для GPS эта формула даёт $9,81\cdot 2,02\times 10^7/c^2\approx 2,2\times 10^{-9}$, вчетверо больше правильного значения, потому что $g$ с высотой ослабевает; используйте вместо неё $GM/c^2(1/R-1/r)$.
• Принимать $r_s$ за размер тела, а чёрную дыру — за пылесос. Эти 2,95 км Солнца лежат глубоко внутри него, а чёрная дыра солнечной массы оставила бы орбиту Земли прежней, потому что снаружи от массы важна только $M$.

Где это встречается

Каждое определение координат спутниковым навигатором зависит от этих поправок, а оптические атомные часы сегодня замечают подъём всего на несколько сантиметров. Гравитационное линзирование увеличивает далёкие галактики и позволяет картографировать невидимую тёмную материю. Тени чёрных дыр снимают с 2019 года, а гравитационные волны от слияния чёрных дыр регистрируют с 2015 года.

Здесь сходятся два урока: «Специальная теория относительности» даёт собственное время и член со скоростью, а «Тяготение и орбиты» — это предел слабого поля общей теории относительности. А поскольку у энергии есть масса, как показывает урок «Деление, синтез и E = mc²», пространство-время искривляет любая форма энергии, включая свет и давление.

Продвинутый

Измерить кривизну изнутри

Как существа, живущие внутри пространства, могут узнать, что оно искривлено, не выходя за его пределы? Они могут измерять. Проведите сферу вокруг какого-нибудь вещества и измерьте площадь её поверхности $A$. В плоском пространстве площадь определяет радиус: $A=4\pi r^2$, поэтому радиус должен быть равен $\sqrt{A/4\pi }$. Теперь измерьте радиус напрямую, выкладывая линейки одну за другой от центра до сферы. Если линейки покажут больше, чем $\sqrt{A/4\pi }$, пространство искривлено, а разность, называемая избытком радиуса, показывает, насколько.

Обозначения

$M$	Масса внутри сферы.	$\mathrm{кг}$
$A$	Площадь сферы, которую изображает кольцо.	${\mathrm{м}}^2$
$\sqrt{A/4\pi }$	Радиус, который дало бы плоское пространство для площади $A$.	$\mathrm{м}$
$r$	Радиус, измеренный линейками, положенными от $M$ по листу до кольца.	$\mathrm{м}$
$\Delta r$	Избыток радиуса, $r-\sqrt{A/4\pi }$; для вещества примерно постоянной плотности он равен $GM/(3c^2)$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 1 показан тот же опыт, но на одно измерение ниже, чтобы его можно было нарисовать. Изогнутый лист — это пространство, кольцо изображает сферу площадью $A$, а масса $M$ лежит на дне ямы. Лист нарисован как часть сферы, потому что именно такую форму принимает пространство внутри вещества равномерной плотности. Сначала посмотрите на штриховую линию: это горизонтальное расстояние от оси до кольца, тот радиус $\sqrt{A/4\pi }$, который дало бы плоское пространство для кольца такого размера. Теперь проследите за кривой $r$: линейка, положенная от $M$ до кольца, не может пройти напрямик через яму, а вынуждена следовать склону листа, поэтому показывает большее расстояние. Полоса внизу ставит две длины рядом: $r=\sqrt{A/4\pi }+\Delta r$. Добавочный отрезок $\Delta r$ — это избыток радиуса, который измерили бы существа, живущие в листе.

Закон тяготения Эйнштейна в простейшей форме выражает этот избыток числом. Возьмите небольшую сферу вокруг вещества примерно постоянной плотности, внутри которой находится масса $M$. Тогда измеренный радиус превышает значение для плоского пространства на
$\Delta r=r-\sqrt{A/4\pi }=\frac{GM}{3c^2}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная Ньютона, а $c$ — скорость света. Так как $G/c^2$ очень мало, эффект крошечный. Для Земли, которую считаем однородной, $GM/c^2=4,435\mathrm{мм}$, так что избыток радиуса составляет лишь около 1,5 мм; для Юпитера — 0,47 м. Никакие измерения не смогли бы это заметить. Сила правила — в его общности.

Полный закон требует того же для каждой малой сферы, вокруг каждого события (точки пространства в один момент времени) и для любого наблюдателя, как бы он ни двигался. Чтобы записать все эти условия сразу, нужны три составляющие. Метрика — это таблица, которая переводит шаги по координатам во времена и длины, которые на самом деле измеряют часы и линейки. Тензор Эйнштейна $G_{\mu \nu }$ собирает кривизну; он построен из вторых производных метрики, подобно тому как изгиб кривой определяется второй производной её графика. Тензор энергии-импульса $T_{\mu \nu }$ собирает плотность и поток энергии и импульса. Тогда закон записывается так:
$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

Слева — кривизна, справа — вещество. Константа связи $8\pi G/c^4\approx 2,1\times 10^{-43}{\mathrm{Н}}^{-1}$ чрезвычайно мала, поэтому пространство-время очень жёсткое: огромные плотности энергии порождают лишь слабую кривизну. В пустом пространстве $T_{\mu \nu }=0$, значит, $G_{\mu \nu }=0$, и всё же пространство-время там не плоское, потому что $G_{\mu \nu }$ содержит лишь часть кривизны. Остаётся приливное поле, которое растягивает падающее облако пыли вдоль прямой к массе и сжимает его в поперечном направлении.

Темп часов из принципа эквивалентности

Тяготение не только искривляет пространство; оно меняет и темп времени, так что часы, расположенные выше, идут быстрее. Это следует из одного лишь принципа эквивалентности: внутри небольшой закрытой комнаты никакой опыт не отличит однородное гравитационное поле от равномерного ускорения.

Обозначения

$g$	Ускорение ракеты (слева); напряжённость гравитационного поля у земли, направленная вниз (справа).	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$c$	Скорость светового импульса, посланного от часов на полу к часам на потолке.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$h$	Высота кабины: расстояние между двумя часами.	$\mathrm{м}$
$gh/c$	Скорость, которую набирает потолок, пока импульс поднимается; она задаёт доплеровский сдвиг $gh/c^2$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

На рисунке 2 рассуждение проведено дважды. Начните слева. Вдали от любой планеты кабина ракеты высотой $h$ разгоняется вверх с ускорением $g$; одни часы стоят на полу, другие на потолке. Часы на полу посылают вверх световой импульс со скоростью $c$. Импульсу нужно время около $h/c$, и за это время потолок набирает скорость $g\cdot (h/c)$. Поэтому в момент приёма потолок удаляется быстрее, чем удалялся пол в момент отправки, — на скорость $gh/c$ (короткая стрелка сверху). Приёмник, который удаляется от источника, видит свет, смещённый по Доплеру в сторону меньшей частоты, на долю (скорость)/$c$, то есть здесь на $gh/c^2$.

Пусть часы на полу посылают по одному импульсу за каждый такт. По дороге ни один импульс не теряется, и всё же потолок принимает их реже, чем тикают его собственные часы, на долю $gh/c^2$. Импульсы, посланные вниз с потолка, приходят с большей частотой, потому что пол движется им навстречу. Значит, все на борту согласны: часы на потолке идут быстро, а часы на полу — медленно, на долю $gh/c^2$.

Справа та же кабина стоит на земле, в гравитационном поле $g$, направленном вниз. По принципу эквивалентности ничто внутри не отличает эту комнату от ракеты, поэтому результат должен быть тем же: в гравитационном поле часы, расположенные выше на $h$, идут быстрее на долю $gh/c^2$.

Вблизи земли $gh$ — это приращение гравитационного потенциала $\Phi$, потенциальной энергии на единицу массы. Поэтому правило верно для любого статического потенциала, принятого равным нулю вдали. Пока далёкие часы отсчитывают время $dt$, часы, покоящиеся в точке с потенциалом $\Phi$, отсчитывают своё собственное время $d\tau$, и
$\frac{d\tau }{dt}\approx 1+\frac{\Phi }{c^2}$

Так как вблизи массы $\Phi$ отрицателен, там часы идут медленно. Вокруг массы $M$ потенциал $\Phi =-GM/r$, и правило даёт первое приближение к точному темпу, найденному ниже, $\sqrt{1-r_s/r}\approx 1-GM/(r{c}^2)$, где $r_s=2GM/c^2$ — радиус Шварцшильда этой массы.

Закон сохранения энергии даёт тот же ответ. Свет с энергией $E$ обладает массой $E/c^2$, поэтому, падая с высоты $h$, он приобретает энергию $Egh/c^2$, то есть долю $gh/c^2$ своей энергии; поднимаясь, он теряет такую же долю. Энергия фотона пропорциональна его частоте, поэтому частота уменьшается на ту же долю.

Паунд и Ребка измерили этот сдвиг в 1960 году на башне высотой 22,5 м: всего $2,5\times 10^{-15}$ от частоты. В 1976 году водородные мазерные часы, поднятые на высоту около 10 000 км, подтвердили его с гораздо большей точностью.

График орбитальных часов

Спутники несут часы, и для них важны оба эффекта: высота ускоряет ход часов, скорость замедляет. График экспертного уровня применяет оба эффекта к часам на круговой орбите радиуса $r$, отсчитанного от центра Земли, и сравнивает их с часами на земле, на расстоянии радиуса Земли $R$.

Высота: потенциал растёт от $-GM/R$ на земле до $-GM/r$ на орбите, поэтому по правилу выше орбитальные часы выигрывают долю $GM/c^2(1/R-1/r)$ от каждой секунды (зелёная кривая). Скорость: специальная теория относительности замедляет движущиеся часы в $\sqrt{1-v^2/c^2}\approx 1-v^2/(2c^2)$ раз, а на круговой орбите $v^2=GM/r$, так что часы теряют $GM/(2r{c}^2)$ от каждой секунды (синяя кривая). Сумма (красная кривая) равна
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{3}{2r}\right)$

График умножает эти доли на 86 400 секунд суток. Орбита у самой поверхности, при $r=R$, ничего не выигрывает за счёт высоты и теряет 30,1 мкс в сутки, целиком из-за скорости. С высотой зелёный выигрыш растёт к 60,1 мкс в сутки — это его значение для часов, бесконечно далёких от Земли, — а синяя потеря убывает как $1/r$. Красная кривая пересекает нуль там, где $1/R=3/(2r)$, то есть при $r=1,5R$, на высоте около 3 190 км: на более низких орбитах часы отстают, на более высоких — уходят вперёд. Международная космическая станция, на высоте 400 км, теряет 24,7 мкс в сутки, поэтому за полгода на борту космонавт становится моложе примерно на 4,5 мс. Часы GPS, на высоте около 20 200 км, выигрывают 38,5 мкс в сутки, а правый край графика, на высоте 25 000 км, достигает 41,8 мкс.

Свободное падение — наибольшее собственное время

Ньютон описывает падение с помощью сил. Общая теория относительности заменяет их одним правилом о часах: между двумя событиями свободное тело движется по мировой линии (его пути через пространство и время), вдоль которой его собственные часы отсчитывают больше всего времени. В плоском пространстве-времени такая мировая линия прямая, с постоянной скоростью; поэтому путешествующий близнец специальной теории относительности, который разворачивается, возвращается моложе.

Вблизи земли борются два эффекта, как в предыдущем разделе: высота ускоряет часы на долю $gh/c^2$, а скорость замедляет их на долю $v^2/(2c^2)$. Поэтому вдоль пути с высотой $h(t)$ и скоростью $v(t)$ собственное время равно
$\tau =\int \left(1+\frac{gh}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\right)dt$

Высота приносит выигрыш, скорость обходится дорого. Лучший путь поднимается достаточно высоко, чтобы выиграть время, но не так быстро, чтобы скорость съела выигрыш.

Обозначения

$t$	Время, прошедшее с броска.	$\mathrm{с}$
$h$	Высота мяча над землёй.	$\mathrm{м}$
$T$	Время от броска до поимки.	$\mathrm{с}$
$H_1$	Наибольшая высота низкого пути, $H_2/2$.	$\mathrm{м}$
$H_2$	Наибольшая высота пути свободного падения, $g{T}^2/8$.	$\mathrm{м}$
$H_3$	Наибольшая высота высокого пути, $2H_2=g{T}^2/4$.	$\mathrm{м}$
$H$	Наибольшая высота пути.	$\mathrm{м}$
$\Delta \tau$	Собственное время, которое выигрывают часы, едущие по этому пути, у часов, оставленных на земле.	$\mathrm{с}$

На рисунке 3 правило проверяется на мяче, подброшенном вверх и пойманном через время $T$. На левой панели показаны три пути между одними и теми же двумя событиями, все — дуги $h=4H(t/T)(1-t/T)$, отличающиеся лишь наибольшей высотой $H$: низкий путь $H_1$; путь свободного падения, по которому мяч движется на самом деле, $H_2$; и высокий путь $H_3$. Какой из них даст часам, которые едут вдоль него, больше всего времени?

Вычислите время $\Delta \tau$, которое едущие часы выигрывают у часов, оставленных на земле, усреднив оба слагаемых за время полёта. Средняя высота такой дуги составляет две трети её максимума, $2H/3$. Скорость равна $v=dh/dt=(4H/T)(1-2t/T)$, а среднее значение $(1-2t/T{)}^2$ за полёт равно $1/3$, так что среднее значение $v^2/2$ равно $8H^2/(3T^2)$. Если умножить каждое среднее на время полёта $T$ и разделить на $c^2$, получим
$\Delta \tau =\frac{T}{c^2}\left(\frac{2}{3}gH-\frac{8H^2}{3T^2}\right)$

На правой панели этот выигрыш показан как функция от $H$: парабола с ветвями вниз. Её максимум там, где обращается в нуль наклон $2g/3-16H/(3T^2)$, то есть при $H_2=g{T}^2/8$. Это в точности высота свободного падения: мяч, поднимающийся в течение $T/2$ под действием тяжести, взлетает на $\frac{1}{2}g(T/2{)}^2=g{T}^2/8$. При $T=3\mathrm{с}$ максимум равен 11,0 м, а выигрыш — $g^2{T}^3/(24c^2)\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{с}$. Низкий путь $H_1$, вдвое ниже, даёт три четверти этого выигрыша. Путь $H_3=g{T}^2/4$, вдвое выше, не даёт ничего: его лишняя скорость в точности съедает выгоду от высоты.

То же верно для любого потенциала, если заменить $gh$ на $\Phi$. Умножьте подынтегральное выражение на $-m{c}^2$: интеграл превратится в $\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$. Первое слагаемое добавляет одно и то же к любому пути, поэтому сделать $\tau$ как можно больше — то же самое, что сделать как можно меньше $\int (\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$. Это принцип наименьшего действия ньютоновской механики, уравнение движения которого $\vec{a}=-\nabla \Phi$. Масса $m$ из него сокращается, поэтому все тела падают одинаково: универсальность свободного падения заложена в самой геометрии. Строго говоря, $\tau$ максимально лишь по сравнению с близкими путями.

Геометрия Шварцшильда

Правила, найденные до сих пор, — это приближения слабого поля. Вне сферической невращающейся массы, такой как звезда или чёрная дыра, уравнение поля имеет точное решение, найденное Карлом Шварцшильдом в 1916 году. Это метрика: она задаёт собственное время $d\tau$ между двумя близкими событиями по разностям их координат,
$c^{2}d{\tau }^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-r_s/r}-r^{2}d{\Omega }^2$

Здесь $t$ — время далёких часов, $r$ выбрано так, чтобы окружность вокруг центра имела длину $2\pi r$, $d\Omega$ — малый угол между двумя событиями, видимый из центра, а $r_s=2GM/c^2$. Сразу получаются два вывода. Для покоящихся часов $dr=d\Omega =0$, и метрика даёт $d\tau =\sqrt{1-r_s/r}dt$: точный темп часов. Для линейки, положенной вдоль радиуса, $dt=d\Omega =0$, и измеряемая ею длина равна $dr/\sqrt{1-r_s/r}$, то есть больше $dr$. Это растяжение радиальных расстояний и есть избыток радиуса из первого раздела.

Отклонение света

Свет, проходящий мимо массы, отклоняется, и величина отклонения отличает общую теорию относительности от теории Ньютона: ньютоновское рассуждение даёт лишь половину наблюдаемого.

Обозначения

$M$	Масса, отклоняющая луч.	$\mathrm{кг}$
$b$	Прицельное расстояние: расстояние от $M$ до входящей прямой луча.	$\mathrm{м}$
$c$	Скорость света, вдоль луча.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\delta$	Отклонение в общей теории относительности, $4GM/(c^{2}b)=2{\delta }_N$.	$\mathrm{рад}$
${\delta }_N$	Отклонение, вызванное одной только временной частью, как в теории Ньютона: $2GM/(c^{2}b)$.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 4 показан луч света, проходящий мимо массы $M$. Далеко слева луч идёт по прямой со скоростью $c$; прицельное расстояние $b$ — это расстояние от $M$ до этой входящей прямой. Далеко справа оба нарисованных пути снова прямые, они идут вдоль штриховых линий, но повёрнуты: один на угол ${\delta }_N$, другой на $\delta$, вдвое больший. Остальная часть раздела объясняет этот множитель два.

Свет движется при $d\tau =0$. Опишите его путь функцией $u=1/r$ от угла $\phi$ вокруг массы; штрих означает $d/d\phi$. Если положить $d\tau =0$ в метрике Шварцшильда и воспользоваться сохраняющимися энергией и моментом импульса, получится
$u^{\prime \prime }+u=\frac{3GM}{c^2}{u}^2$

Без правой части решением была бы прямая; небольшое слагаемое справа её искривляет. Именно это уравнение анимация интегрирует для золотого луча.

Чтобы увидеть множитель два, посмотрите на метрику в слабом поле. Там множитель при $c^{2}d{t}^2$ равен $g_{tt}\approx 1+2\Phi /c^2$, а множитель при квадрате пространственного шага равен $g_{rr}\approx -(1-2\Phi /c^2)$: оба отличаются от плоского пространства на одну и ту же величину, $2\Phi /c^2$. Медленное тело за единицу времени проходит очень мало пространства, поэтому на него действует лишь временная часть, и она одна даёт тяготение Ньютона. Для света одна временная часть дала бы отклонение на угол ${\delta }_N=2GM/(c^{2}b)$, который по теории Ньютона получается для частицы, движущейся со скоростью $c$. Но свет проходит столько же пространства, сколько времени, $|d\vec{x}|=cdt$, поэтому пространственная часть действует на него так же сильно, как временная, и отклонение удваивается:
$\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}=2{\delta }_N$

Так как $4GM/c^2=2r_s$, это можно записать и как $\delta =2r_s/b$. В анимации луч проходит при $b=8r_s$: ньютоновский фиолетовый путь изогнут на 7,2°, эта формула даёт $0,25\mathrm{рад}=14,3°$, а точный золотой луч поворачивается на 17,8°, потому что так близко к массе формула слабого поля не дотягивает. У края Солнца, $b\approx 2,4\times 10^5{r}_s$, формула даёт 1,75″, и радиотелескопы подтверждают это значение с точностью лучше 0,1 %.

Меркурий и радиусы сильного поля

У планеты такое же добавочное слагаемое появляется в уравнении орбиты, $u^{\prime \prime }+u=GM/{\ell }^2+3GM{u}^2/c^2$, где $\ell$ — момент импульса на единицу массы. Без последнего слагаемого решениями были бы эллипсы Ньютона, замыкающиеся за один оборот. Добавочное слагаемое поворачивает эллипс вперёд на небольшой угол за каждый оборот: его ближайшая к Солнцу точка смещается на
$\Delta \phi =\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$

где $a$ — большая полуось эллипса, а $e$ — его эксцентриситет. Для Меркурия при $a=5,79\times 10^{10}\mathrm{м}$ и $e=0,206$ это $5,0\times 10^{-7}\mathrm{рад}$ за оборот, или 43″ за 415 оборотов столетия — именно та часть смещения перигелия Меркурия, которую притяжение других планет объяснить не могло.

В сильных полях те же уравнения отмечают три радиуса. На горизонте, при $r_s$, темп $\sqrt{1-r_s/r}$ покоящихся часов падает до нуля. На фотонной сфере, при $1,5r_s$, свет может обращаться вокруг массы, но неустойчиво. На последней устойчивой круговой орбите, при $3r_s$, устойчивые орбиты заканчиваются; это внутренний край дисков горячего газа вокруг чёрных дыр.

Задача: часы на шарике

С каким точно темпом идут часы на орбите? Поместим часы на синий шарик из анимации, который обращается вокруг звезды на расстоянии $r=10,4r_s$ с угловой скоростью $\omega$. Во времени далёких часов закон Кеплера для круговых орбит в этой геометрии выполняется точно: ${\omega }^2=GM/r^3$. На орбите $r$ постоянно, поэтому $dr=0$, а угол растёт как $d\Omega =\omega dt$. Подставляя это в метрику и деля на $c^{2}d{t}^2$, получаем
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}-\frac{r^2{\omega }^2}{c^2}}$

С учётом закона Кеплера и $GM=r_s{c}^2/2$ последнее слагаемое равно $r^2{\omega }^2/c^2=GM/(r{c}^2)=r_s/(2r)$, так что
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}$
При $r=10,4r_s$ это $\sqrt{1-1,5/10,4}=\sqrt{0,856}\approx 0,925$.

Один оборот занимает 12,28 с времени далёких часов, поэтому часы шарика показывают $0,925\cdot 12,28\approx 11,4\mathrm{с}$. Сравните с двумя неподвижными часами в анимации. Далёкие часы, на расстоянии $22r_s$, идут с темпом $\sqrt{1-1/22}=0,977$ и показывают 12,0 с; часы на звезде, на расстоянии $2,16r_s$, идут с темпом 0,733 и показывают 9,0 с. Часы шарика отстают от далёких часов, но остаются заметно впереди часов на звезде.

Темп раскладывается на множитель для каждого эффекта. Гравитационный множитель, $\sqrt{1-1/10,4}=0,951$, — это темп часов, покоящихся на этом расстоянии. Множитель движения, $\sqrt{1-0,231^2}=0,973$, — это замедление по специальной теории относительности для скорости $0,231c$, которую измеряет покоящийся наблюдатель рядом с орбитой. Их произведение равно $0,951\cdot 0,973\approx 0,925$. Эта скорость больше ньютоновской $\sqrt{GM/r}=0,219c$, потому что часы самого покоящегося наблюдателя идут медленно и поэтому отсчитывают для шарика меньше секунд.

Теперь сравним часы на орбите с часами, неподвижными на расстоянии $R$, темп которых равен $\sqrt{1-r_s/R}$. Орбитальные часы идут быстрее, когда $1-3r_s/(2r)>1-r_s/R$, то есть при $r>1,5R$. Это нуль красной кривой для Земли, на высоте 3 190 км, но здесь результат точный и верен также в сильных полях. Для часов на звезде, при $2,16r_s$, орбита, на которой и те и другие часы идут одинаково, лежит при $3,24r_s$, чуть дальше последней устойчивой орбиты при $3r_s$.

Границы применимости

Формулы слабого поля требуют $r_s/r\ll 1$ и $v\ll c$. Вблизи звезды из анимации они заметно не работают: для часов на звезде темп слабого поля $1-r_s/(2r)$ даёт 0,769 вместо точных 0,733, а формула отклонения не дотягивает до точных 17,8° на 3,5°. В Солнечной системе ошибки имеют порядок $(r_s/r{)}^2$, около $2\times 10^{-11}$ даже на поверхности Солнца. Нейтронная звезда — другое дело: при массе 1,4 солнечной и радиусе 12 км у неё $r_s/r=0,34$, а часы на её поверхности идут с темпом 0,81. График для Земли не учитывает и один небольшой эффект — вращение часов на земле, около 0,1 мкс в сутки.

Теория до сих пор выдержала все проверки: отклонение света и задержку радиосигналов вблизи Солнца, орбиту Меркурия, часы, сокращающиеся орбиты двойных пульсаров и, с 2015 года, гравитационные волны. Первая зарегистрированная волна пришла от слияния двух чёрных дыр примерно в 36 и 29 солнечных масс; она изменила длину 4-километровых плеч детекторов LIGO примерно на $4\times 10^{-18}\mathrm{м}$.

Настоящий предел — квантовый. Теория предсказывает сингулярности, внутри чёрных дыр и в начале расширяющейся Вселенной, где кривизна неограниченно растёт. Задолго до этого, вблизи планковской длины $\sqrt{\hslash G/c^3}\approx 1,6\times 10^{-35}\mathrm{м}$, должны вступить в игру квантовые эффекты тяготения, а проверенной теории, которая их описывала бы, пока нет.

Что дальше

Урок «Специальная теория относительности» описывает плоский предел без тяготения, а его эффект близнецов возвращается здесь как правило наибольшего собственного времени. Урок «Тяготение и орбиты» — это предел слабого поля и малых скоростей. Как ускоренные заряды излучают в уроке «Электромагнитные волны», так ускоренные массы излучают гравитационные волны со скоростью $c$, но только через меняющиеся квадруполи, поскольку закон сохранения импульса запрещает дипольное излучение. Урок «Деление, синтез и E = mc²» объясняет, почему в $T_{\mu \nu }$ учитывается любая форма энергии.

В сочетании с квантовой теорией чёрная дыра должна светиться, как абсолютно чёрные тела из урока «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты», при температуре $T=\hslash c^3/(8\pi GM{k}_B)$ — около $6\times 10^{-8}\mathrm{К}$ для одной солнечной массы. Стандартная модель, которой посвящён урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель», описывает все известные взаимодействия, кроме тяготения; соединить их — главная нерешённая проблема.