विशिष्ट आपेक्षिकता

चलती घड़ियाँ धीमी क्यों चलती हैं, $Δ t = γ Δ t_{0}$ , चलते पैमाने क्यों सिकुड़ते हैं, $L = L_{0} / γ$ , और द्रव्यमान वाली कोई भी वस्तु प्रकाश की चाल $c$ तक क्यों नहीं पहुँच सकती, जहाँ लॉरेंत्ज़ गुणक $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ असीमित रूप से बढ़ता है।

दो एक-सी प्रकाश-घड़ियाँ: विराम में रखी घड़ी में प्रकाश सीधा ऊपर-नीचे जाता है, जबकि गतिमान घड़ी में प्रकाश एक लंबे टेढ़े-मेढ़े पथ पर चलता है और पीछे रह जाता है।

इस विषय से पहले: सदिश और आपेक्षिक गति, संवेग और संघट्ट, कार्य, ऊर्जा और शक्ति

शुरुआती

मुख्य विचार

प्रकाश को किसी माध्यम की ज़रूरत नहीं होती: उसकी चाल, लगभग 300,000 km प्रति सेकंड, हर प्रेक्षक के लिए एक समान रहती है, चाहे वह कितनी भी तेज़ चले।
गतिमान घड़ी का प्रकाश उसी चाल से एक लंबे टेढ़े पथ पर चलता है, इसलिए गतिमान घड़ी धीमी टिक करती है।
घड़ी के साथ चलने वाली हर चीज़ एक-सी धीमी होती है: यात्री को कुछ पता नहीं चलता, पर ऊपरी वायुमंडल के म्यूऑन इतने समय तक जीते हैं कि ज़मीन तक पहुँच जाते हैं।
गतिमान वस्तुएँ अपनी गति की दिशा में छोटी मापी जाती हैं, पर गति के लंबवत नहीं।
द्रव्यमान वाली कोई वस्तु प्रकाश की चाल तक नहीं पहुँच सकती: हर धक्के से पिछले की तुलना में कम अतिरिक्त चाल मिलती है।

शांत झील पर सरकती नाव से एक पत्थर फेंकिए। नाव जो भी कर रही हो, लहरें पानी में अपनी ही चाल से फैलती हैं, इसलिए नाव से देखने पर आगे की लहरें धीरे-धीरे खिसकती लगती हैं, जबकि पीछे की लहरें तेज़ी से भागती लगती हैं। पानी या हवा में तरंगें एक माध्यम से होकर चलती हैं, और आपकी मापी गई चाल इस पर निर्भर करती है कि आप उस माध्यम में कैसे चल रहे हैं।

भौतिकविदों को लंबे समय तक लगता रहा कि प्रकाश भी इसी तरह चलता है, यानी अदृश्य “ईथर” में फैली एक तरंग के रूप में। पृथ्वी 30 km/s की चाल से सूर्य का चक्कर लगाती है, इसलिए प्रकाश एक दिशा में दूसरी दिशा की तुलना में थोड़ा तेज़ लगना चाहिए। 1887 में माइकलसन और मॉर्ले ने समकोण पर भेजी गई दो प्रकाश-किरणों की तुलना की, अपना उपकरण घुमाया, और कोई अंतर नहीं पाया। प्रकाश को किसी माध्यम की ज़रूरत नहीं होती, और उसकी चाल, लगभग 300,000 km प्रति सेकंड, हर प्रेक्षक के लिए एक समान होती है।

1905 में आइंस्टीन ने इस बात को गंभीरता से लिया, और इसने स्वयं समय को बदल दिया। ऐनिमेशन में एक चमक दो दर्पणों के बीच उछलती है, हर चक्कर पर एक टिक। विराम वाली घड़ी में प्रकाश सीधा ऊपर-नीचे जाता है। दूसरी घड़ी तेज़ी से बगल में खिसकती है, इसलिए ज़मीन से देखने पर उसका प्रकाश लंबे, तिरछे टेढ़े-मेढ़े पथ पर चलता है। प्रकाश दूरी पूरी करने के लिए तेज़ नहीं हो सकता, इसलिए हर टिक अधिक समय लेती है: चार टिक बनाम पाँच। यान पर मौजूद हर चीज़, दिल की धड़कन समेत, उसी तरह धीमी होती है, इसलिए यात्री को कुछ महसूस नहीं होता। म्यूऑन, जो ब्रह्मांडीय किरणों से ऊपरी वायुमंडल में बनने वाले तेज़ कण हैं, केवल इसलिए ज़मीन तक पहुँचते हैं क्योंकि उनका समय धीमा चलता है। गतिमान वस्तुएँ अपनी गति की दिशा में भी छोटी मापी जाती हैं, और कोई धक्का द्रव्यमान वाली चीज़ को प्रकाश की चाल तक नहीं पहुँचा सकता।

स्वयं जाँचिए: यदि गतिमान घड़ी और तेज़ चलती, तो उसका टेढ़ा-मेढ़ा पथ लंबा होता या छोटा, और उसकी टिकें तेज़ होतीं या धीमी? (लंबा, इसलिए धीमी।)

मध्यम

मुख्य विचार

लॉरेंत्ज़ गुणक $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ कभी 1 से कम नहीं होता; $v = 0.6 c$ पर $γ = 1.25$ है।
काल-विस्फारण: $Δ t = γ Δ t_{0}$ , जहाँ $Δ t_{0}$ उचित काल है, यानी वह समय जो घड़ी अपने विराम फ़्रेम में दिखाती है।
लंबाई संकुचन: $L = L_{0} / γ$ , केवल गति की दिशा में।
$2.2 μ s$ जीवनकाल वाले म्यूऑन ज़मीन तक पहुँचते हैं: $0.995 c$ ( $γ \approx 10$ ) पर पृथ्वी के फ़्रेम में उनका जीवनकाल लगभग $22 μ s$ होता है।
यह प्रभाव सममित है: हर प्रेक्षक को दूसरे की घड़ी धीमी चलती दिखती है।

फ़्रेम, घटनाएँ और दो अभिगृहीत

आपेक्षिकता में एक प्रेक्षक पूरे जड़त्वीय फ़्रेम का प्रतिनिधि होता है: स्थिर वेग से चलते पैमाने और समकालिक घड़ियाँ, जैसे सहजता से चलती रेलगाड़ी। घटना एक स्थान पर और एक क्षण में होती है, जैसे कोई चमक या घड़ी की टिक, इसलिए हर फ़्रेम उसे एक स्थिति $x$ और एक समय $t$ देता है।

इस सिद्धांत के दो अभिगृहीत हैं। पहला, भौतिकी के नियम हर जड़त्वीय फ़्रेम में एक ही रूप लेते हैं, इसलिए किसी बंद केबिन के भीतर का कोई प्रयोग यह नहीं बता सकता कि वह गति में है या नहीं। दूसरा, निर्वात में प्रकाश हर जड़त्वीय फ़्रेम में एक ही चाल से चलता है, $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ , चाहे उसका स्रोत या प्रेक्षक कैसे भी चल रहा हो। दोनों मिलकर समय-अंतराल और लंबाइयों को फ़्रेम पर निर्भर बना देते हैं।

प्रकाश-घड़ी के त्रिभुज को पढ़ना

प्रकाश-घड़ी में एक चमक $d$ दूरी पर रखे दो दर्पणों के बीच उछलती है, और हर बार पार करना एक टिक गिना जाता है। घड़ी के विराम फ़्रेम में प्रकाश सीधा जाता है, इसलिए एक टिक $Δ t_{0} = d / c$ समय लेती है। यह उचित काल है: एक ही घड़ी पर, दो घटनाओं के बीच का समय।

ऐसे फ़्रेम में जहाँ घड़ी चाल $v$ से बगल में चल रही है (नीला तीर), एक टिक $Δ t$ समय लेती है और दर्पण $v Δ t$ आगे खिसक जाते हैं, इसलिए प्रकाश एक तिरछे पथ पर चलता है। ऐनिमेशन पहली टिक के ऊपर यह समकोण त्रिभुज बनाता है: हरी डैश वाली भुजा $c Δ t_{0}$ दर्पणों की दूरी है, नीला आधार $v Δ t$ घड़ी का खिसकाव है, और सुनहरा कर्ण $c Δ t$ प्रकाश का पथ है, जो अब भी चाल $c$ से तय होता है। पाइथागोरस से $(c Δ t)^{2} = (c Δ t_{0})^{2} + (v Δ t)^{2}$ , अतः
$Δ t = γ Δ t_{0}$
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$

लॉरेंत्ज़ गुणक $γ$ विराम में 1 होता है और $v$ के $c$ के निकट पहुँचने पर असीमित रूप से बढ़ता है: $0.1 c$ पर यह 1.005, $0.6 c$ पर 1.25 और $0.99 c$ पर 7.09 है। यान पर हर प्रक्रिया, यात्री की धड़कन समेत, उसी गुणक से धीमी होती है; अन्यथा उनकी तुलना से ही गति का पता चल जाता।

लंबाई संकुचन और समकालिकता

लंबाइयाँ भी बदलती हैं। किसी वस्तु की अपने विराम फ़्रेम में लंबाई उसकी उचित लंबाई $L_{0}$ है; जिस फ़्रेम में वह गति में है, वहाँ वह गति की दिशा में छोटी मापी जाती है,
$L = \frac{L _{0}}{γ}$
लेकिन गति के लंबवत नहीं। इसलिए गतिमान घड़ी को चित्र में 30 के बजाय 24 इकाई चौड़ा खींचा गया है, पर उसकी ऊँचाई वही रहती है; उसके दर्पणों की दूरी $d$ दोनों फ़्रेमों में समान है, जैसा त्रिभुज में माना गया।

दोनों प्रभाव परस्पर हैं: गतिमान घड़ी के साथ चलने वाला यात्री पाता है कि ज़मीन की घड़ियाँ धीमी हैं और ज़मीन के पैमाने छोटे हैं। इसमें कोई विरोधाभास नहीं, क्योंकि दोनों फ़्रेम समकालिकता पर सहमत नहीं हैं। किसी प्लेटफ़ॉर्म के दोनों सिरों पर एक ही क्षण में हुई दो चमकें, गुज़रती रेलगाड़ी के यात्री के लिए समकालिक नहीं हैं: उसके लिए रेलगाड़ी के आगे वाली चमक पहले होती है। गतिमान घड़ी का समय मापने के लिए उन दो स्थानों पर अपनी दो घड़ियाँ चाहिए जहाँ से वह गुज़रती है, और गतिमान प्रेक्षक कहेगा कि ये दोनों घड़ियाँ समकालिक नहीं हैं।

हर समस्या में पहले उस घड़ी या वस्तु का विराम फ़्रेम खोजिए: उचित काल और उचित लंबाई उसी फ़्रेम की होती हैं।

ऊर्जा, संवेग और चाल की सीमा

यदि किसी फ़्रेम से देखने पर टक्कर में न्यूटन का संवेग $m v$ संरक्षित है, तो $c$ के बड़े भाग की चाल वाले फ़्रेम में वह संरक्षित नहीं रहेगा। आपेक्षिक संवेग, ऊर्जा और गतिज ऊर्जा, तीनों में गुणक $γ$ होता है:

$p = γm v$
$E = γm c^{2}$
$K = (γ - 1) m c^{2}$

यहाँ $m$ सामान्य द्रव्यमान है, जो हर फ़्रेम में एक-सा है, और $E$ कुल ऊर्जा है। विराम में भी वस्तु की विराम ऊर्जा $m c^{2}$ होती है; $K$ वह है जो गति जोड़ती है। इलेक्ट्रॉन के लिए $m c^{2} = 511 keV$ है, इसलिए $0.6 c$ पर उसकी ऊर्जा $E = 1.25 \cdot 511 \approx 639 keV$ और गतिज ऊर्जा $K \approx 128 keV$ होती है, जबकि न्यूटन का $\frac{1}{2} m v^{2}$ केवल 92 keV देता है। चूँकि $γ$ की कोई ऊपरी सीमा नहीं है, $K$ की भी नहीं है: $0.99 c$ पर यह पहले ही $6.1 m c^{2}$ है, और कोई भी परिमित ऊर्जा द्रव्यमान वाली वस्तु को $c$ तक नहीं ले जा सकती।

उदाहरण: ऐनिमेशन की घड़ियाँ

पर्दे पर प्रकाश 50 इकाई प्रति सेकंड से चलता है और दर्पण 76 इकाई दूर हैं, इसलिए विराम वाली घड़ी हर $Δ t_{0} = 76/50 = 1.52 s$ पर टिक करती है। दूसरी घड़ी $v = 0.6 c$ से चलती है, यानी 30 इकाई प्रति सेकंड:
$γ = \frac{1}{1 - 0. 6 ^{2}} = \frac{1}{0.64} = \frac{1}{0.8} = 1.25$
$Δ t = 1.25 \cdot 1.52 s = 1.90 s$

ये “1 टिक: 1.52 s → 1.90 s” वाली पंक्ति के मान हैं। त्रिभुज इनकी जाँच करता है: गतिमान घड़ी की एक टिक में वह $30 \cdot 1.90 = 57$ इकाई आगे बढ़ती है और प्रकाश $50 \cdot 1.90 = 95$ इकाई चलता है, तथा $5 7^{2} + 7 6^{2} = 9 5^{2}$ , यानी 3-4-5 का त्रिभुज। 7.6 s के बाद विराम वाली घड़ी का हरा काउंटर $7.6/1.52 = 5$ टिक दिखाता है और गतिमान घड़ी के ऊपर लाल काउंटर $7.6/1.90 = 4$ : अनुपात 5 : 4 ही $γ$ है।

नीला तीर $v$ अपनी लंबाई बनाए रखता है, क्योंकि चाल स्थिर है; गतिमान बक्सा $30/1.25 = 24$ इकाई चौड़ा खींचा गया है। गतिमान घड़ी के लिए कुछ भी गलत नहीं है: उसकी चार टिकों में उसका अपना समय $4 \cdot 1.52 = 6.08 s$ लगा।

उदाहरण: ऊपरी वायुमंडल के म्यूऑन

ऊपरी वायुमंडल से टकराने वाली ब्रह्मांडीय किरणें म्यूऑन बनाती हैं, जो अस्थिर कण हैं और विराम में औसतन $Δ t_{0} = 2.2 μ s$ जीवित रहते हैं। क्या 10 km ऊपर बने और $v = 0.995 c$ से नीचे गिरते म्यूऑन ज़मीन तक पहुँचेंगे?

आपेक्षिकता के बिना एक म्यूऑन अपने एक औसत जीवनकाल में केवल $0.995 \cdot 3.00 \times 1 0^{8} \cdot 2.2 \times 1 0^{- 6} \approx 660 m$ चलेगा। 10 km की यात्रा में $10 000/ (2.985 \times 1 0^{8}) \approx 33.5 μ s$ लगते हैं, यानी लगभग 15 जीवनकाल; और $n$ जीवनकाल के बाद $e^{- n}$ भाग बचता है, इसलिए लगभग चालीस लाख में से केवल एक म्यूऑन ही पहुँचता।

आपेक्षिकता के साथ, $γ = 1/ 1 - 0.99 5^{2} \approx 10.0$ : पृथ्वी के फ़्रेम में औसत जीवनकाल लगभग $22 μ s$ है, यात्रा केवल 1.5 जीवनकाल लेती है, और $e^{- 1.52} \approx 0.22$ भाग, यानी लगभग पाँच में से एक म्यूऑन, बचता है।

म्यूऑन के फ़्रेम में उसकी घड़ी सामान्य चलती है, पर वायुमंडल तेज़ी से गुज़रता है और $10 km /10.0 \approx 1.0 km$ तक सिकुड़ जाता है, जो लगभग $3.35 μ s$ में गुज़र जाता है: फिर भी लगभग 1.5 जीवनकाल। जिसे एक फ़्रेम काल-विस्फारण कहता है, दूसरा उसे लंबाई संकुचन कहता है।

आम गलतियाँ

गतिमान घड़ी दोषपूर्ण नहीं है: अपने फ़्रेम में वह हर 1.52 s पर टिक करती है; 1.90 s उस फ़्रेम से मापा गया है जिसमें वह चल रही है।
उचित काल सबसे छोटा अंतराल है, इसलिए उसे $γ$ से गुणा कीजिए, भाग नहीं: $0.6 c$ पर 2.0 s का उचित काल 2.5 s हो जाता है, 1.6 s नहीं।
$γ$ को उसमें निहित मूल से न मिलाएँ: $0.6 c$ पर मूल $1 - v^{2} / c^{2}$ 0.8 है, और उसका व्युत्क्रम $γ$ 1.25 है।
संकुचन केवल गति की दिशा में होता है: दर्पणों की दूरी 76 इकाई ही रहती है, जबकि चौड़ाई 30 से घटकर 24 इकाई होती है।
चाल सीधे नहीं जुड़ती: $0.6 c$ पर चलते यान से, उसके सापेक्ष $0.6 c$ की चाल से आगे दागा गया प्रोब $1.2/1.36 \approx 0.88 c$ पर चलता है, $1.2 c$ पर नहीं।

यह कहाँ दिखता है

GPS उपग्रह लगभग 3.9 km/s से चलते हैं, इसलिए उनकी घड़ियाँ गति के कारण प्रतिदिन लगभग 7 माइक्रोसेकंड खोती हैं; पर उनकी ऊँचाई पर कमज़ोर गुरुत्व उनकी घड़ियों को उससे कहीं अधिक आगे बढ़ा देता है। सुधार के बिना स्थिति-निर्धारण हर दिन किलोमीटरों तक बह जाता। त्वरक चुंबक $p = γm v$ के लिए बनाए जाते हैं, और प्रोटॉनों का $γ$ हज़ारों में होता है। इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी इलेक्ट्रॉनों को 300 kV से $0.78 c$ तक त्वरित करते हैं ( $γ \approx 1.59$ ), और अस्पतालों के PET स्कैनर इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन विनाश से उत्पन्न 511 keV फ़ोटॉन के जोड़े पहचानते हैं।

विराम ऊर्जा “विखंडन, संलयन और E = mc²” में फिर सामने आती है, और GPS सुधार का गुरुत्वीय भाग “वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व” में।

उन्नत

मुख्य विचार

लॉरेंत्ज़ रूपांतरण $x$ और $t$ को घूर्णन की तरह मिलाता है, पर अंतराल $s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2}$ को अपरिवर्तित रखता है।
उचित काल $τ = \int d t / γ$ सीधी विश्वरेखा पर सबसे बड़ा होता है: जो जुड़वाँ मुड़कर लौटता है, वह घर पहुँचने पर छोटी उम्र का होता है।
$(E / c, p)$ एक चार-सदिश है: हर फ़्रेम में $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ ; फ़ोटॉन ( $m = 0$ ) के लिए $E = p c$ होता है।
$E = γm c^{2} \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}$ : न्यूटन की गतिज ऊर्जा पहला सुधार है, और $m c^{2}$ वास्तविक ऊर्जा है।

दो अभिगृहीतों से लॉरेंत्ज़ रूपांतरण तक

यह खंड एक प्रश्न का उत्तर देता है: यदि दो जड़त्वीय फ़्रेमों में प्रकाश-स्पंद एक ही चाल $c$ से चलता दिखे, तो एक फ़्रेम में किसी घटना के निर्देशांक दूसरे फ़्रेम के निर्देशांकों से कैसे जुड़े होंगे? उत्तर, लॉरेंत्ज़ रूपांतरण, विशिष्ट आपेक्षिकता के हर प्रभाव को समेटे हुए है, इसलिए इसे चरण-दर-चरण व्युत्पन्न करना उपयोगी है।

मान लीजिए फ़्रेम $S^{'}$ फ़्रेम $S$ की $x$ अक्ष के अनुदिश वेग $v$ से चल रहा है, और जब दोनों मूल बिंदु एक-दूसरे को पार करते हैं तब दोनों घड़ियों के समूह शून्य पर सेट कर दिए जाते हैं, ताकि उस घटना के लिए $t = t^{'} = 0$ हो। गैलीलियो का नियम, $x^{'} = x - v t$ और $t^{'} = t$ , सही नहीं हो सकता। यह वेगों को घटाता है: यदि प्रकाश-स्पंद के लिए $x = c t$ हो, तो $x^{'} = (c - v) t$ होगा और वह $S^{'}$ में $c - v$ चाल से चलेगा, जो दूसरे अभिगृहीत के विरुद्ध है।

तीन तथ्य सही नियम तय करते हैं। पहला, वह रैखिक होना चाहिए: दिक् और काल हर जगह एक-से हैं, इसलिए नियम किसी स्थान या क्षण को विशेष नहीं ठहरा सकता, और एक फ़्रेम में एकसमान गति करती वस्तु दूसरे में भी एकसमान गति करेगी।

दूसरा, गति के लंबवत दूरियाँ नहीं बदलतीं: $y^{'} = y$ और $z^{'} = z$ । दो एक-से वलयों की कल्पना कीजिए जो अपनी साझा अक्ष के अनुदिश एक-दूसरे में से होकर उड़ रहे हों। यदि गति वलय को सिकोड़ती, तो हर फ़्रेम को दूसरा वलय छोटा दिखता और वह उसके अपने वलय के भीतर से निकलता दिखता; दोनों बातें सच नहीं हो सकतीं, क्योंकि कौन-सा वलय किसके भीतर से निकलता है, यह एक सादा तथ्य है।

तीसरा, $S^{'}$ का मूल बिंदु, जहाँ $x^{'} = 0$ , $x = v t$ पर स्थित है। ऐसा रैखिक नियम जो वहाँ ठीक $x^{'} = 0$ दे, उसे $x - v t$ के समानुपाती होना होगा:
$x^{'} = γ (x - v t)$
यहाँ $γ$ एक गुणक है जो $v$ पर निर्भर हो सकता है, पर $x$ या $t$ पर नहीं। $S^{'}$ में फ़्रेम $S$ का वेग $- v$ है, और पहले अभिगृहीत के अनुसार कोई भी फ़्रेम विशेष नहीं है, इसलिए प्रतिलोम का रूप भी वही होगा, वही गुणक और विपरीत वेग के साथ:
$x = γ (x^{'} + v t^{'})$

अब दूसरा अभिगृहीत $γ$ तय करता है। उभयनिष्ठ मूल बिंदु से $t = t^{'} = 0$ पर एक प्रकाश-स्पंद भेजिए। $S$ में वह $x = c t$ का पालन करता है और $S^{'}$ में $x^{'} = c t^{'}$ का। इन्हें दोनों समीकरणों में रखने पर $c t^{'} = γ (c - v) t$ और $c t = γ (c + v) t^{'}$ मिलते हैं। इन्हें गुणा करके और $t t^{'}$ को काटकर $c^{2} = γ^{2} (c^{2} - v^{2})$ बचता है, अतः
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$
यही वह लॉरेंत्ज़ गुणक है जो प्रकाश-घड़ी ने काल-विस्फारण के लिए दिया था।

काल का नियम $x^{'}$ को हटाकर मिलता है। $x^{'} = γ (x - v t)$ को $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ में रखिए और $t^{'}$ के लिए हल कीजिए; $1 - 1/ γ^{2} = v^{2} / c^{2}$ से परिणाम सरल हो जाता है, और पूरा रूपांतरण यह है
$x^{'} = γ (x - v t), t^{'} = γ (t - \frac{vx}{c ^{2}})$
जब $v ≪ c$ , तब $γ \approx 1$ और पद $vx / c^{2}$ नगण्य हो जाता है, इसलिए गैलीलियो का नियम वापस आ जाता है। यही नया पद असली बात है: $S^{'}$ में किसी घटना का समय केवल इस पर नहीं निर्भर करता कि वह $S$ में कब होती है, बल्कि इस पर भी कि वह कहाँ होती है।

झुके हुए अक्ष: दिक्-काल आरेख

**चित्र 1.** $S$ का दिक्-काल आरेख, जिसमें $v = 0.6 c$ के लिए $S^{'}$ के अक्ष दिखाए गए हैं, जो डैश वाली प्रकाश-रेखा की ओर झुके हैं। $A$ और $B$ $S$ में समकालिक हैं, पर $B$ से गुज़रती डैश रेखा (स्थिर $t^{'}$ ) $c t^{'}$ अक्ष को $A$ के नीचे काटती है: $S^{'}$ में घटना $B$ पहले होती है।

दिक्-काल आरेख लॉरेंत्ज़ रूपांतरण को लिखने के बजाय चित्रित करता है, और एक दृष्टि में दिखाता है कि दूर की कौन-सी घटनाएँ एक साथ होती हैं, इस पर दो फ़्रेम असहमत क्यों होते हैं। चित्र 1 फ़्रेम $S$ में, $v = 0.6 c$ के लिए बनाया गया है।

समय को $c t$ के रूप में ऊपर की ओर दर्शाया गया है, यानी समय को $c$ से गुणा करके, ताकि $S$ के दोनों अक्ष एक ही इकाई में लंबाई मापें। मूल बिंदु से निकला प्रकाश-स्पंद तब डैश वाली 45° रेखा $x = c t$ का अनुसरण करता है।

फ़्रेम $S^{'}$ के अपने दो अक्ष होते हैं। उसका समय-अक्ष $c t^{'}$ उन घटनाओं का समुच्चय है जहाँ $x^{'} = 0$ है: यानी उसके मूल बिंदु की विश्वरेखा $x = v t$ , जो $c t$ अक्ष के दाईं ओर झुकी है। उसका स्थिति-अक्ष $x^{'}$ उन घटनाओं का समुच्चय है जहाँ $t^{'} = 0$ है; $t^{'} = γ (t - vx / c^{2})$ में $t^{'} = 0$ रखने पर $c t = (v / c) x$ मिलता है, जो $x$ अक्ष से ऊपर की ओर झुकी रेखा है। $S^{'}$ के दोनों अक्ष एक ही कोण से झुके हैं, दोनों ओर से प्रकाश-रेखा की ओर, इसलिए प्रकाश-रेखा अब भी उनके ठीक बीच में पड़ती है। अतः स्पंद $x^{'} = c t^{'}$ का भी पालन करता है: दूसरा अभिगृहीत चित्र में ही अंतर्निहित है।

अब घटनाएँ $A$ और $B$ देखिए। दोनों $x$ अक्ष पर हैं, इसलिए $S$ में वे एक ही समय, $t = 0$ , पर होती हैं, और उनके बीच $Δ x$ दूरी है। $S^{'}$ में समान $t^{'}$ वाली घटनाएँ $x^{'}$ अक्ष के समांतर रेखाओं पर होती हैं, ठीक वैसे ही जैसे $S$ में समान $t$ वाली घटनाएँ क्षैतिज रेखाओं पर होती हैं। $S^{'}$ में $B$ का समय पढ़ने के लिए $B$ से होकर $x^{'}$ के समांतर खिंची डैश रेखा का अनुसरण कीजिए, जब तक वह $c t^{'}$ अक्ष से न मिल जाए। वह $A$ के नीचे, $c Δ t^{'}$ पर उस अक्ष से मिलती है: $S^{'}$ की घड़ियों के अनुसार घटना $B$ पहले होती है। रूपांतरण में $Δ t = 0$ रखने पर इस अंतर का परिमाण मिलता है:
$Δ t^{'} = - \frac{γ v Δ x}{c ^{2}}$
ऋण चिह्न बताता है कि $B$ , जो गति की दिशा में आगे की घटना है, पहले होती है। चित्र की चाल पर $γ = 1.25$ है, इसलिए $γ v / c = 0.75$ : प्रयोगशाला में एक ही क्षण पर हुए, एक प्रकाश-सेकंड दूर के दो फ़्लैश, गतिमान घड़ियों के लिए 0.75 s के अंतर पर हैं। दो दूर की घटनाएँ एक साथ हैं या नहीं, यह फ़्रेम पर निर्भर है।

काल-विस्फारण, लंबाई संकुचन और वेग-योग

अब रूपांतरण पहले मिले हर प्रभाव को कुछ पंक्तियों में सिद्ध कर देता है, और दिखाता है कि वे केवल प्रकाश-घड़ी के लिए नहीं, बल्कि किसी भी घड़ी और किसी भी छड़ के लिए लागू होते हैं।

काल-विस्फारण। $S^{'}$ के मूल बिंदु पर विराम में एक घड़ी लीजिए। $S$ में वह $x = v t$ पर चलती है, इसलिए उसका पाठ्यांक है $t^{'} = γ (t - v^{2} t / c^{2}) = γ t (1 - v^{2} / c^{2}) = t / γ$ । $S$ में समय $Δ t$ बीतने पर गतिमान घड़ी केवल $Δ t_{0} = Δ t / γ$ आगे बढ़ती है; अर्थात $Δ t = γ Δ t_{0}$ ।

लंबाई संकुचन। उचित लंबाई $L_{0}$ की छड़ $S^{'}$ में विराम में है, इसलिए उसके सिरे $Δ x^{'} = L_{0}$ दूरी पर हैं। गतिमान छड़ मापने के लिए $S$ को दोनों सिरों को एक ही समय, $Δ t = 0$ , पर चिह्नित करना होगा; तब रूपांतरण $Δ x^{'} = γ Δ x$ देता है। अतः $S$ में लंबाई $L = Δ x = L_{0} / γ$ है।

वेग-योग। प्रतिलोम रूपांतरण वही नियम है जिसमें $- v$ रखा गया है: $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ और $t = γ (t^{'} + v x^{'} / c^{2})$ । $S^{'}$ में $x$ के अनुदिश $u^{'}$ से चलती वस्तु $d x^{'} = u^{'} d t^{'}$ तय करती है, इसलिए $d x = γ (u^{'} + v) d t^{'}$ और $d t = γ (1 + u^{'} v / c^{2}) d t^{'}$ । इन दोनों का अनुपात $S$ में उसकी चाल है:
$u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$
$u^{'} = c$ के लिए यह $u = c$ देता है, जैसा दूसरा अभिगृहीत माँगता है। $0.6 c$ की दो चालें $1.2 c$ नहीं, बल्कि $1.2/1.36 = 15/17 \approx 0.88 c$ बनाती हैं।

इन सभी प्रभावों का परिमाण $γ$ तय करता है, और ऐनिमेशन का ग्राफ़ इसे $v / c$ के विरुद्ध 0.95 तक दर्शाता है, जहाँ $γ = 3.20$ है। मूल बिंदु के निकट वक्र सपाट है, $γ \approx 1 + \frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ , और $0.1 c$ पर 1 से केवल 0.5 % ऊपर है; इसी कारण आपेक्षिकता रोज़मर्रा की दृष्टि से छिपी रहती है। बिंदु पर, यानी $0.6 c$ पर, यह परवलय सही मान 1.25 के बजाय केवल 1.18 देता है, और ढलान $d γ / d (v / c) = (v / c) γ^{3}$ पहले ही 1.17 है। दाएँ किनारे पर ढलान 31 है, और वक्र $v = c$ पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की ओर चढ़ता है।

अपरिवर्ती अंतराल और द्रुति

समय और लंबाइयाँ हर फ़्रेम में बदलती हैं, पर उनका एक संयोजन नहीं बदलता। यह अपरिवर्ती, अंतराल, दिक्-काल में वही भूमिका निभाता है जो साधारण दिक् में दूरी; और चित्र 2 दिखाता है कि इसे आरेख पर कैसे पढ़ें।

दो एक-सी घड़ियाँ घटना $O$ पर एक साथ शुरू होती हैं। एक $S$ में विराम में रहती है और $c t$ अक्ष पर चढ़ती है; दूसरी $S^{'}$ के साथ चलती है और $c t^{'}$ अक्ष पर चढ़ती है। हर एक अपने उचित काल $τ$ के बाद, यानी अपने पाठ्यांक के अनुसार बीते समय के बाद, एक बार टिक करती है। विराम वाली घड़ी घटना $Q$ पर टिक करती है, जो ऊँचाई $c τ$ पर है। गतिमान घड़ी घटना $P$ पर टिक करती है, जहाँ उसका अपना अक्ष $c t^{'} = c τ$ पढ़ता है। $P$ से $c t$ अक्ष तक जाने वाली डैश रेखा दिखाती है कि $S$ इस टिक का समय कब आँकता है: $c t = γ c τ$ पर, जो $Q$ से बाद में है। यह फिर से काल-विस्फारण है।

कागज़ पर एक पहेली देखिए: रेखाखंड $OP$ $OQ$ से लंबा खींचा गया है, फिर भी दोनों एक ही $c τ$ को दर्शाते हैं। वक्र $s$ इसे सुलझाता है। $P$ और $Q$ दोनों इस अतिपरवलय पर हैं, जो $O$ से समान अंतराल $s = c τ$ वाली सभी घटनाओं का समुच्चय है। दिक्-काल आरेख पर समान अंतराल ऐसे अतिपरवलयों के साथ पढ़े जाते हैं, न कि किसी पैमाने से।

दो घटनाओं के बीच अंतराल इस प्रकार परिभाषित है
$s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$
रूपांतरण को दाएँ पक्ष में रखिए, वर्ग कीजिए और घटाइए: मध्य पद निरस्त हो जाते हैं, गुणक $γ^{2} (1 - v^{2} / c^{2})$ 1 के बराबर हो जाता है, और $S^{'}$ में वही $s^{2}$ प्राप्त होता है। किसी तल में घूर्णन भी $x^{2} + y^{2}$ को ठीक इसी प्रकार अपरिवर्तित रखता है।

घूर्णन से यह समानता पूरी तरह सटीक है। द्रुति $φ$ को $v / c = tanh φ$ से परिभाषित कीजिए। तब $γ = cosh φ$ और $γ v / c = sinh φ$ होते हैं, और रूपांतरण बन जाता है $c t^{'} = c t cosh φ - x sinh φ$ तथा $x^{'} = x cosh φ - c t sinh φ$ । यह $(x, c t)$ तल में कोण $φ$ से घूर्णन है, जिसमें वृत्तीय फलनों के स्थान पर अतिपरवलयिक फलन हैं। चित्र 2 वही बूस्ट एक पैमाने के साथ दिखाता है: $S^{'}$ के अक्ष कोण $α$ से झुकते हैं, जहाँ $tan α = v / c = tanh φ$ । एक ही रेखा पर लगातार बूस्टों की द्रुतियाँ सीधे जुड़ जाती हैं, जो वास्तव में वेग-योग का नियम ही है। ऐनिमेशन में $φ = artanh 0.6 = ln 2$ है, इसलिए $γ = cosh (ln 2) = (2 + \frac{1}{2}) /2 = 1.25$ ; ऐसे दो बूस्ट $tanh (2 ln 2) = tanh (ln 4) = 15/17$ देते हैं, यानी ऊपर मिली चाल।

प्रकाश-घड़ी एक अंतराल मापती है। गतिमान घड़ी का एक टिक $S$ में $Δ t = 1.90 s$ और $Δ x = 57$ इकाई फैलाता है, जबकि प्रकाश 50 इकाई प्रति सेकंड चलता है, इसलिए $c Δ t = 95$ इकाई और $(c Δ t)^{2} - Δ x^{2} = 9 5^{2} - 5 7^{2} = 7 6^{2}$ । यह अंतराल दर्पणों की दूरी, 76 इकाई है, जो हर फ़्रेम में एक-सी है; $c$ से भाग देने पर यह एक टिक का उचित काल, 1.52 s है।

मुड़ी हुई विश्वरेखा के साथ, हर छोटे सीधे टुकड़े का उचित काल जोड़िए: $τ = \int d t / γ$ । $s^{2}$ में ऋण चिह्नों के कारण, दिक् में गति उचित काल को जोड़ने के बजाय घटाती है। अतः दो घटनाओं के बीच की सभी विश्वरेखाओं में सीधी, जड़त्वीय विश्वरेखा का उचित काल सबसे अधिक होता है, जो यूक्लिड की ज्यामिति के उलट है, जहाँ सीधी रेखा सबसे छोटी होती है। जो जुड़वाँ दूर जाकर मुड़ता है, वह नीचे के हल किए गए प्रश्न में दिखाए अनुसार कम आयु का रहता है।

ऊर्जा और संवेग को एक चार-सदिश के रूप में

**चित्र 3.** संबंध $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ को समकोण त्रिभुज के रूप में, $v = 0.6 c$ के लिए, जिसकी भुजाओं $m c^{2}$ , $p c$ और $E$ का अनुपात 4 : 3 : 5 है। भुजा $m c^{2}$ को डैश वाले चाप के अनुदिश कर्ण पर घुमाने से गतिज ऊर्जा $K = E - m c^{2}$ बची रहती है।

यदि संवेग हर जड़त्वीय फ़्रेम में संरक्षित रहना है, तो ऊर्जा और संवेग को भी $t$ और $x$ की तरह साथ-साथ रूपांतरित होना होगा। यह खंड इस युग्म को एक चार-सदिश में बाँधता है और उस संबंध पर समाप्त होता है जिसे चित्र 3 समकोण त्रिभुज के रूप में दर्शाता है।

पहले त्रिभुज को पढ़िए। इसकी भुजाएँ विराम ऊर्जा $m c^{2}$ और $p c$ (यानी संवेग गुणा $c$ ) हैं; कर्ण कुल ऊर्जा $E$ है, और समकोण ऊपर है, इसलिए $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ । बाएँ शीर्ष के चारों ओर भुजा $m c^{2}$ को डैश वाले चाप के अनुदिश नीचे कर्ण पर घुमाइए: कर्ण के दाएँ सिरे पर जो भाग बचता है, वह गतिज ऊर्जा $K = E - m c^{2}$ है। बाएँ शीर्ष पर कोण $θ$ के लिए $sin θ = p c / E$ है, जो नीचे दिखाए अनुसार $v / c$ के बराबर है।

अब व्युत्पत्ति। किसी पिंड की विश्वरेखा पर दो निकट घटनाओं के बीच का अंतर $(c d t, d x)$ , $(c t, x)$ की तरह रूपांतरित होता है। इसे उचित काल $d τ = d t / γ$ से भाग देने पर, जो सभी फ़्रेमों में समान है, यह गुण बना रहता है; परिणाम चार-वेग $γ (c, v)$ है। द्रव्यमान $m$ से गुणा करने पर चार-संवेग मिलता है
$(E / c, p) = (γm c, γm v)$
इसका स्थानिक भाग, $p = γm v$ , टक्करों में संरक्षित संवेग है। इसका काल-भाग $E / c$ है, और बूस्ट दोनों को वैसे ही मिलाता है जैसे $c t$ और $x$ को: $S^{'}$ में दिखने वाला संवेग $S$ की ऊर्जा को भी समेटे रहता है। अतः संवेग हर फ़्रेम में तभी संरक्षित रह सकता है जब ऊर्जा भी संरक्षित हो, और दोनों नियम एक हो जाते हैं।

अंतराल की तरह, इस चार-सदिश की एक लंबाई है जिस पर हर फ़्रेम सहमत है: $(E / c)^{2} - p^{2} = γ^{2} m^{2} c^{2} (1 - v^{2} / c^{2}) = m^{2} c^{2}$ । $c^{2}$ से गुणा करने पर यह पढ़ा जाता है
$E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$
स्थानिक भाग को काल-भाग से भाग देने पर $p c / E = v / c$ मिलता है, अतः $v = p c^{2} / E$ , और यही चित्र 3 का $sin θ$ है। द्रव्यमानहीन कण के लिए $E = p c$ है और इसलिए वह $c$ की चाल से चलता है।

कम चाल के लिए $γ$ को $v^{2} / c^{2}$ की घातों में विस्तारित कीजिए:
$E = γm c^{2} \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{3}{8} m \frac{v ^{4}}{c ^{2}}$
न्यूटन की गतिज ऊर्जा पहला सुधार है, और $K = (γ - 1) m c^{2}$ सटीक रूप है। $v = 0$ पर बची विराम ऊर्जा $m c^{2}$ वास्तविक है: गर्म पिंड का द्रव्यमान $Δ E / c^{2}$ से अधिक होता है, और नाभिक अपने अलग-अलग अवयवों से हल्का होता है। द्रव्यमान $m$ हर फ़्रेम में एक-सा है; चाल के साथ जो बढ़ता है वह $γ$ है।

ऐनिमेशन की चाल $0.6 c$ पर चित्र 3 का त्रिभुज 3-4-5 त्रिभुज है: $p c = γm v c = 0.75 m c^{2}$ और $E = 1.25 m c^{2}$ , और सचमुच $0.7 5^{2} + 1^{2} = 1.2 5^{2}$ । गतिज ऊर्जा $K = 0.25 m c^{2}$ है, जबकि न्यूटन का $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.18 m c^{2}$ 28 % कम है।

डॉप्लर विस्थापन, क्षेत्र और त्वरण

तीन छोटे अनुप्रयोग दिखाते हैं कि रूपांतरण कितनी दूर तक पहुँचता है: गतिमान स्रोतों से आते प्रकाश पर, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों पर, और तेज़ होती वस्तुओं पर।

डॉप्लर विस्थापन। प्रकाश को माध्यम की ज़रूरत नहीं होती, इसलिए उसका डॉप्लर विस्थापन केवल स्रोत और प्रेक्षक के सापेक्ष वेग पर निर्भर हो सकता है। मान लीजिए स्रोत $v$ से दूर जा रहा है और अपने फ़्रेम में हर $T$ पर एक शिखर उत्सर्जित करता है। हमारे फ़्रेम में काल-विस्फारण के कारण शिखर हर $γ T$ पर निकलते हैं, और दो शिखरों के बीच स्रोत $v γ T$ दूर चला जाता है, जो अगले शिखर के यात्रा-समय में $v γ T / c$ जोड़ देता है। अतः प्राप्त आवर्तकाल है
$γ T (1 + v / c) = T \frac{1 + v / c}{1 - v / c}$
$0.6 c$ पर यह गुणक ठीक 2 है, जो द्रुति $φ = ln 2$ के लिए $e^{φ}$ है: दूर जाते स्रोत से 500 nm की स्पेक्ट्रल रेखा 1000 nm पर पहुँचती है और पास आते स्रोत से 250 nm पर। गति के लंबवत आने वाले प्रकाश के लिए दूरी नहीं बदलती, इसलिए केवल काल-विस्फारण शेष रहता है, जो आवृत्ति को $γ$ गुणक से घटा देता है।

क्षेत्र। विराम में स्थित आवेश के पास केवल विद्युत क्षेत्र होता है। जिस फ़्रेम में वह गति करता है, वहाँ वह धारा है और उसका चुंबकीय क्षेत्र भी होता है; गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल, आवेश के अपने विराम फ़्रेम में, एक विद्युत बल है: बूस्ट विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को वैसे ही मिलाता है जैसे $t$ और $x$ को। मैक्सवेल के समीकरण पहले ही लॉरेंत्ज़ रूपांतरण का पालन करते हैं, इसलिए बदलना यांत्रिकी को पड़ा, विद्युत चुंबकत्व को नहीं।

त्वरण। जब तक दिक्-काल समतल है, त्वरित पिंडों के लिए नए सिद्धांत की ज़रूरत नहीं: हर क्षण पर उस जड़त्वीय फ़्रेम का उपयोग कीजिए जो पिंड के साथ चल रहा है। मान लीजिए एक यान स्थिर उचित त्वरण $a$ बनाए रखता है, जिसे यात्री महसूस करते हैं। यान-समय के हर छोटे अंतराल $d τ$ में वह समान छोटी द्रुति $a d τ / c$ प्राप्त करता है, और द्रुतियाँ जुड़ती हैं, इसलिए $φ = a τ / c$ समान रूप से बढ़ती है और $v = c tanh (a τ / c)$ कभी $c$ तक नहीं पहुँचती। $9.81 m/ s^{2}$ पर यान-समय का एक वर्ष $a τ / c \approx 1.03$ और $v \approx 0.77 c$ देता है।

हल किया गया प्रश्न: निकट के तारे तक आना-जाना

यह प्रश्न पूरे पाठ को जुड़वाँ विरोधाभास पर लगाती है: एक यात्री एक तारे तक जाकर वापस आती है और पृथ्वी पर रहने वाली अपनी जुड़वाँ बहन से छोटी लौटती है। चित्र 4 यात्रा को पृथ्वी के फ़्रेम में दिखाता है, जिसमें समय $t$ वर्षों में क्षैतिज और दूरी $x$ प्रकाश-वर्षों में ऊर्ध्वाधर है, ताकि प्रकाश 45° पर चले। पृथ्वी $t$ अक्ष पर रहती है, और $L_{0}$ दूरी पर तारा एक डैश वाली क्षैतिज रेखा है। मुड़ी रेखा यात्री की विश्वरेखा है, जो तारे तक चढ़ती है और वापस उतरती है। संख्याएँ घड़ियों के पाठ्यांक हैं: जब वह मुड़ती है, तब पृथ्वी की घड़ी 5 और उसकी घड़ी 4 दिखाती है; जब वह उतरती है, तब 10 और 8।

ऐनिमेशन की $0.6 c$ वाली घड़ी को पृथ्वी के फ़्रेम में 3.00 प्रकाश-वर्ष दूर के तारे तक और सीधे वापस भेजिए, संक्षिप्त मोड़ को नज़रअंदाज़ करते हुए। पृथ्वी पर हर चरण में $3.00/0.6 = 5.00$ वर्ष लगते हैं, कुल 10। यात्री की घड़ी $γ = 1.25$ से धीमी चलती है, इसलिए वह हर चरण में 4.00 वर्ष दिखाती है, कुल 8।

उसका अपना दृष्टिकोण भी यही कहता है। उसके फ़्रेम में तारे तक की दूरी $L_{0} / γ = 3.00/1.25 = 2.40$ प्रकाश-वर्ष तक सिकुड़ जाती है, जिसे वह $0.6 c$ पर उसी 4.00 वर्ष में तय करती है। अंतराल भी सहमत है: वर्षों और प्रकाश-वर्षों में, हर चरण के लिए $(c Δ t)^{2} - Δ x^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 4^{2}$ है, यानी 4 वर्ष का उचित काल। 10 : 8 का अनुपात ऐनिमेशन के टिक-काउंटरों के 5 : 4 का ही है।

यात्रा सममित क्यों नहीं है, जबकि जाते हुए हर जुड़वाँ को दूसरे की घड़ी धीमी लगती है? यह देखने के लिए, हर जुड़वाँ को अपनी घड़ी से हर वर्ष एक प्रकाश-संकेत भेजने दीजिए, और पहुँचने वाले संकेत गिनिए। $0.6 c$ पर डॉप्लर गुणक 2 है: जब जुड़वाँ दूर जाते हैं, तब संकेत हर 2 वर्ष में पहुँचते हैं; जब वे पास आते हैं, तब हर आधे वर्ष में।

चित्र 4 की पतली रेखाएँ पृथ्वी के वार्षिक संकेत हैं, जो $t$ अक्ष से 45° पर ऊपर उठकर उसकी विश्वरेखा से मिलते हैं, और बिंदु बताते हैं कि वे कहाँ पहुँचते हैं। जाते समय वह अपने समय के हर 2 वर्ष में एक संकेत पाती है, अपने 4 वर्षों में 2 संकेत; वर्ष 2 का संकेत ठीक उसके मुड़ते समय पहुँचता है। लौटते समय वह हर आधे वर्ष में एक पाती है, और 8 संकेत; वर्ष 10 का संकेत उसके उतरते समय पहुँचता है। इसलिए मोड़ के बाद बिंदु घने हो जाते हैं, और उसके 10 संकेतों की गिनती बताती है कि पृथ्वी को 10 वर्ष बीत चुके हैं।

पृथ्वी दूसरी ओर का दृश्य देखती है। जब तक उसके मोड़ का प्रकाश पृथ्वी तक नहीं पहुँचता, तब तक पृथ्वी को उसके संकेत हर 2 वर्ष में मिलते हैं। वह 5वें वर्ष में 3 प्रकाश-वर्ष दूर मुड़ी, इसलिए पृथ्वी उस मोड़ को केवल 8वें वर्ष में देखती है, उस घटना के तीन वर्ष बाद: 8 वर्षों में 4 संकेत। अंतिम 2 वर्षों में उसके संकेत हर आधे वर्ष में आते हैं, 4 और: कुल 8, इसलिए उसकी अपनी आयु 8 वर्ष बढ़ी है।

असममिति फ़्रेम के बदलाव से है। उसे मिलने वाले संकेत यात्रा के बीच में, उसी मोड़ पर घने होने लगते हैं जिसे केवल वही महसूस करती है, जबकि पृथ्वी को मिलने वाले संकेत उसके लौटने से केवल 2 वर्ष पहले घने होते हैं। अंतराल की भाषा में, उसकी मुड़ी विश्वरेखा का उचित काल छोटा है।

वैधता की सीमाएँ

विशिष्ट आपेक्षिकता समतल दिक्-काल मानती है, जिसमें जड़त्वीय फ़्रेम हर जगह फैले हुए हों। यह खंड दिखाता है कि यह मान्यता, और उसके साथ सिद्धांत, कहाँ रुकते हैं।

सबसे पहले गुरुत्व इसे तोड़ता है। गुरुत्वीय क्षेत्र में नीचे स्थित घड़ी धीमी चलती है, और यह अंश गुरुत्वीय विभव के अंतर को $c^{2}$ से भाग देने के बराबर है: पृथ्वी की सतह और दूर के अंतरिक्ष के बीच लगभग $7 \times 1 0^{- 10}$ । GPS घड़ियाँ अपनी गति के कारण हर दिन लगभग 7 µs खोती हैं और अपनी ऊँचाई के कारण हर दिन लगभग 46 µs पाती हैं, इसलिए प्रक्षेपण से पहले उन्हें थोड़ा धीमा टिक करने के लिए समायोजित किया जाता है। जहाँ अध्ययन किए गए क्षेत्र में गुरुत्व स्थान के साथ बदलता है, वहाँ दिक्-काल वक्र होता है और सामान्य आपेक्षिकता काम सँभालती है; फिर भी किसी भी छोटी, मुक्त-पतन करती प्रयोगशाला में विशिष्ट आपेक्षिकता मान्य रहती है।

रोज़मर्रा की चालों पर सुधार, जो $\frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ की कोटि के हैं, बहुत छोटे हैं: 30 m/s पर चलती कार के लिए $5 \times 1 0^{- 15}$ और 250 m/s पर उड़ते हवाई जहाज़ के लिए $3.5 \times 1 0^{- 13}$ । फिर भी 1971 में पृथ्वी की परिक्रमा कराई गई परमाणु घड़ियों ने दसियों से सैकड़ों नैनोसेकंड का लाभ या हानि दिखाई, जैसा गुरुत्व शामिल करने पर पूर्वानुमानित था।

दूसरे छोर पर कुछ विफल नहीं हुआ: बृहत् हैड्रॉन संघट्टक (LHC) में 6.8 TeV के प्रोटॉन, जिनका $γ \approx 7250$ है, प्रकाश की चाल से 3 m/s से कम पीछे रहते हैं, और भंडारण वलय में $γ \approx 29$ पर घूमते म्यूऑन विराम की तुलना में 29 गुना अधिक समय तक जीते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी अंतिम सीमा तय करती है। द्रव्यमान-केंद्र फ़्रेम में संघट्ट ऊर्जा $2 m c^{2}$ से ऊपर, इलेक्ट्रॉन के लिए 1.02 MeV, एक कण और उसका प्रतिकण उत्पन्न हो सकते हैं। इसे केवल आपेक्षिकता और क्वांटम यांत्रिकी का मेल ही वर्णित कर सकता है, और इसी मेल ने 1932 में खोज से पहले प्रतिपदार्थ की भविष्यवाणी की थी।

आगे का मार्ग

“वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व” अंतराल को बनाए रखता है, पर दिक्-काल को वक्र होने देता है, ताकि मुक्त पतन सबसे सीधी विश्वरेखाओं का अनुसरण करे और घड़ियाँ ऊँचाई पर निर्भर हों। “विखंडन, संलयन और E = mc²” विराम ऊर्जा को रिएक्टरों और तारों की शक्ति में बदल देता है: हाइड्रोजन को हीलियम में संलयित करने पर द्रव्यमान का 0.7 % मुक्त होता है। “प्रकाश-विद्युत प्रभाव” और “तरंग-कण द्वैतता” प्रकाश को ऊर्जा $E = h f$ और संवेग $p = E / c = h / λ$ देते हैं, जो चार-संवेग का द्रव्यमानहीन स्थिति वाला रूप है। “कण और बल: मानक मॉडल” चार-संवेग के संरक्षण से ऐसे कण खोजता है जो कोई निशान नहीं छोड़ते। पीछे मुड़कर देखें, तो “गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल” और “विद्युत चुंबकीय तरंगें” उन परस्पर मिलते क्षेत्रों और उस गति $c$ को समेटे हैं, जिसने यह सब शुरू किया।

मुख्य सूत्र

लॉरेंत्ज़ गुणक

γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}

लॉरेंत्ज़ गुणक प्रकाश-घड़ी पर पाइथागोरस लागू करने से आता है: गतिमान घड़ी का तिरछा प्रकाश-पथ, दर्पणों की दूरी से ठीक इतने गुना लंबा होता है। यह विराम में 1 होता है, शुरू में धीरे बढ़ता है, $γ \approx 1 + \frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ , और फिर $v$ के $c$ के निकट पहुँचने पर असीमित रूप से बढ़ता है। आपेक्षिकता का हर प्रभाव, काल-विस्फारण से लेकर गति की ऊर्जा तक, इसी से तय होता है।

चिह्न
$γ$	लॉरेंत्ज़ गुणक
$v$	गतिमान घड़ी, वस्तु या फ़्रेम की चाल	$m/s$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: $v < c$ के लिए परिभाषित, जो हर द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए सही है; $v = c$ पर इसका कोई परिमित मान नहीं है। केवल वेग का परिमाण प्रवेश करता है, दिशा नहीं।

उदाहरण: $v = 0.6 c$ पर: $γ = 1/ 1 - 0.36 = 1/0.8 = 1.25$ , जो ऐनिमेशन का मान है।

काल-विस्फारण

Δ t = γ Δ t_{0}

$Δ t_{0}$ उचित काल है, जो उन दोनों घटनाओं पर मौजूद एक ही घड़ी से पढ़ा जाता है, उदाहरण के लिए गतिमान वस्तु के साथ चलती घड़ी। कोई भी फ़्रेम जिसमें वह घड़ी चलती है, उन्हीं घटनाओं के बीच लंबा समय मापता है, $γ$ गुना लंबा। यह प्रभाव वास्तविक और परस्पर है: हर जड़त्वीय प्रेक्षक दूसरे की घड़ियों को धीमा पाता है।

चिह्न
$Δ t$	उस फ़्रेम में दो घटनाओं के बीच का समय जिसमें घड़ी चलती है	$s$
$γ$	लॉरेंत्ज़ गुणक
$Δ t_{0}$	उचित काल, उन दोनों घटनाओं पर मौजूद घड़ी पर	$s$

कब लागू होता है: स्थिर वेग से चलती घड़ी के लिए, समतल दिक्-काल में। यदि उसकी चाल बदलती है, तो पथ के साथ $d τ = d t / γ$ के टुकड़े जोड़िए; गुरुत्वीय क्षेत्र में घड़ी की दर ऊँचाई पर भी निर्भर करती है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की गतिमान घड़ी की एक टिक: $Δ t = 1.25 \cdot 1.52 = 1.90 s$ ।

लंबाई संकुचन

L = \frac{L _{0}}{γ}

लंबाई को दोनों सिरों को एक ही क्षण पर पहचानकर मापा जाता है; जिस फ़्रेम में वस्तु गति में है, वहाँ वह छोटी मिलती है। उसके विराम फ़्रेम में मापी गई उचित लंबाई $L_{0}$ सबसे लंबी है; कोई भी अन्य फ़्रेम गति की दिशा में $L_{0} / γ$ और उसके लंबवत पूरा आकार पाता है। यह वही भौतिकी है जो काल-विस्फारण में है: म्यूऑन वायुमंडल को सिकुड़ा हुआ देखता है, जहाँ हम उसकी घड़ी को धीमा देखते हैं।

चिह्न
$L$	गतिमान फ़्रेम में मापी गई लंबाई	$m$
$L_{0}$	उचित लंबाई, वस्तु के विराम फ़्रेम में मापी गई	$m$
$γ$	लॉरेंत्ज़ गुणक

कब लागू होता है: केवल गति की दिशा की लंबाइयाँ संकुचित होती हैं। सूत्र एक ही क्षण के मापन पर आधारित है; छायाचित्र अलग-अलग बिंदुओं से अलग-अलग समय पर चले प्रकाश को इकट्ठा करता है, इसलिए गतिमान वस्तु चपटी नहीं, बल्कि घूमी हुई दिखती है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की घड़ी, विराम में 30 इकाई चौड़ी, $0.6 c$ पर चलते समय $30/1.25 = 24$ इकाई चौड़ी खींची गई है।

कुल ऊर्जा

E = γm c^{2}

वस्तु की ऊर्जा चाल के साथ उसी गुणक $γ$ से बढ़ती है जो उसकी घड़ियों को धीमा करता है। विराम में भी यह शून्य नहीं होती: $E = m c^{2}$ , यानी विराम ऊर्जा, जो दिखाती है कि द्रव्यमान ऊर्जा का एक रूप है। $p = γm v$ के साथ यह ऊर्जा हर जड़त्वीय फ़्रेम में, हर टक्कर में संरक्षित रहती है।

चिह्न
$E$	कुल ऊर्जा, विराम ऊर्जा सहित	$J$
$γ$	लॉरेंत्ज़ गुणक
$m$	द्रव्यमान, हर फ़्रेम में एक-सा	$kg$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: द्रव्यमान वाले मुक्त पिंड के लिए; प्रकाश के लिए $E = p c$ लें। क्षेत्र या बंधन से आने वाली स्थितिज ऊर्जा इसके ऊपर जुड़ती है, और नाभिक की बंधन ऊर्जा द्रव्यमान-दोष के रूप में दिखती है।

उदाहरण: $0.6 c$ पर एक इलेक्ट्रॉन ( $m c^{2} = 511 keV$ ): $E = 1.25 \cdot 511 \approx 639 keV$ ।

गतिज ऊर्जा

K = (γ - 1) m c^{2}

गतिज ऊर्जा वह है जो गति विराम ऊर्जा $E - m c^{2}$ में जोड़ती है। कम चालों पर $γ - 1 \approx \frac{1}{2} v^{2} / c^{2}$ , और न्यूटन का $\frac{1}{2} m v^{2}$ लौट आता है। $v \to c$ होने पर यह असीमित बढ़ती है, इसीलिए कोई भी परिमित कार्य द्रव्यमान वाली वस्तु को प्रकाश की चाल तक नहीं ले जा सकता।

चिह्न
$K$	गतिज ऊर्जा	$J$
$γ$	लॉरेंत्ज़ गुणक
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: $c$ से कम किसी भी चाल पर सटीक। चिरसम्मत $\frac{1}{2} m v^{2}$ केवल लगभग $0.1 c$ से नीचे इससे 1 % के भीतर है, और $0.6 c$ पर यह 28 % कम है।

उदाहरण: $0.6 c$ पर इलेक्ट्रॉन: $K = 0.25 \cdot 511 \approx 128 keV$ , जबकि $\frac{1}{2} m v^{2} \approx 92 keV$ ।

संवेग

p = γm v

उच्च चाल पर न्यूटन का $m v$ हर फ़्रेम में संरक्षित नहीं रहता, पर $γm v$ रहता है। यह $v \to c$ होने पर असीमित बढ़ता है, इसलिए स्थिर बल संवेग जोड़ता रहता है, जबकि चाल केवल $c$ की ओर धीरे-धीरे बढ़ती है। यह वेग की दिशा में होता है।

चिह्न
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$
$γ$	लॉरेंत्ज़ गुणक
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$v$	वेग	$m/s$

कब लागू होता है: द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए; प्रकाश का द्रव्यमान नहीं होता, पर उसका संवेग $p = E / c$ होता है। बल अब भी संवेग के परिवर्तन की दर है, $F = d p / d t$ , पर अब $ma$ नहीं।

उदाहरण: $0.6 c$ पर: $p = 1.25 \cdot 0.6 m c = 0.75 m c$ , जो $m v$ से 25 % अधिक है।

ऊर्जा-संवेग संबंध

E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}

ऊर्जा और संवेग मिलकर एक चार-सदिश $(E / c, p)$ बनाते हैं, और यह संबंध उसकी अपरिवर्ती लंबाई है: $E$ और $p$ फ़्रेम-दर-फ़्रेम बदलते हैं, पर $E^{2} - (p c)^{2}$ नहीं बदलता, और वह सदा विराम ऊर्जा के वर्ग के बराबर रहता है। यह चाल का उल्लेख किए बिना ऊर्जा और संवेग को जोड़ता है; चाल $v = p c^{2} / E$ से निकलती है।

चिह्न
$E$	कुल ऊर्जा	$J$
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$
$m$	द्रव्यमान	$kg$

कब लागू होता है: हर मुक्त कण के लिए, द्रव्यमानहीन कणों सहित: $m = 0$ पर $E = p c$ देता है, और तब $v = c$ ।

उदाहरण: $0.6 c$ पर: $p c = 0.75 m c^{2}$ और $E = 1.25 m c^{2}$ , तथा $0.7 5^{2} + 1^{2} = 1.2 5^{2}$ , प्रकाश-घड़ी के त्रिभुज की तरह 3-4-5 त्रिभुज।

शब्दावली

जड़त्वीय फ़्रेम: स्थिर वेग से चलता फ़्रेम, जिसमें बल-रहित पिंड सीधी रेखा में स्थिर चाल से चलता रहता है। सहजता से चलती रेलगाड़ी अच्छा सन्निकटन है; ब्रेक लगाती या मुड़ती रेलगाड़ी नहीं।
आपेक्षिकता का सिद्धांत: पहला अभिगृहीत: भौतिकी के नियम हर जड़त्वीय फ़्रेम में एक ही रूप लेते हैं। किसी बंद प्रयोगशाला के भीतर का कोई प्रयोग उसकी एकसमान गति नहीं बता सकता; केवल किसी अन्य के सापेक्ष गति का अर्थ होता है।
प्रकाश की चाल की स्थिरता: दूसरा अभिगृहीत: निर्वात में प्रकाश हर जड़त्वीय फ़्रेम में $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ से चलता है, चाहे उसके स्रोत या प्रेक्षक की गति कैसी भी हो। प्रकाश को माध्यम की ज़रूरत नहीं: 1887 का माइकलसन–मॉर्ले प्रयोग किसी माध्यम का कोई संकेत नहीं पा सका।
घटना: कुछ ऐसा जो एक स्थान पर और एक क्षण में होता है, जैसे चमक या घड़ी की टिक, जिसे हर फ़्रेम में $(x, t)$ से अंकित किया जाता है। विभिन्न फ़्रेम एक ही घटना को भिन्न निर्देशांक देते हैं।
उचित काल: उन दो घटनाओं के बीच का समय जो एक ही घड़ी पर पढ़ा जाए, जो दोनों पर मौजूद हो, जैसे किसी म्यूऑन के जन्म से क्षय तक उसके साथ चलती घड़ी। हर अन्य जड़त्वीय फ़्रेम उन्हीं घटनाओं के बीच लंबा समय मापता है।
काल-विस्फारण: जो घड़ी प्रेक्षक के सापेक्ष गति करती है, उसे $γ$ गुणक से धीमा मापा जाता है: $Δ t = γ Δ t_{0}$ । यह हर प्रक्रिया पर लागू होता है, परमाणु घड़ियों से लेकर हृदय की धड़कन तक, और दो जड़त्वीय प्रेक्षकों के बीच परस्पर है।
लंबाई संकुचन: गतिमान वस्तु अपनी गति की दिशा में छोटी मापी जाती है, $L = L_{0} / γ$ , पर उसके लंबवत नहीं। $0.6 c$ पर ऐनिमेशन का 30 इकाई का बक्सा 24 इकाई चौड़ा खींचा गया है।
समकालिकता की सापेक्षता: एक फ़्रेम में एक साथ होने वाली, पर अलग-अलग स्थानों की दो घटनाएँ, उस रेखा के अनुदिश चलते फ़्रेम में एक साथ नहीं होतीं जो उन्हें जोड़ती है। इसीलिए हर प्रेक्षक बिना विरोधाभास के दूसरे की घड़ियों को धीमी पा सकता है।
लॉरेंत्ज़ रूपांतरण: घटना के निर्देशांकों को $x$ के अनुदिश $v$ से चलते फ़्रेम में बदलने का नियम: $x^{'} = γ (x - v t)$ , $t^{'} = γ (t - vx / c^{2})$ । यह गैलीलियो के नियम $x^{'} = x - v t$ , $t^{'} = t$ की जगह लेता है, और $v ≪ c$ पर उसी में बदल जाता है।
दिक्-काल अंतराल: दो घटनाओं के लिए संयोजन $s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$ , जिसका मान हर जड़त्वीय फ़्रेम में एक-सा है। जब $s^{2} > 0$ , तो $s / c$ दोनों घटनाओं के बीच का उचित काल है।
जुड़वाँ विरोधाभास: पहेली कि जो जुड़वाँ दूर जाकर लौटता है, वह कम आयु का लौटता है, यद्यपि हर जुड़वाँ दूसरे की घड़ी को धीमा देखता है। केवल यात्री फ़्रेम बदलती है: $0.6 c$ पर 3 प्रकाश-वर्ष दूर के तारे तक और वापस, पृथ्वी पर 10 वर्ष बीतते हैं और उसके लिए 8।
द्रव्यमान–ऊर्जा तुल्यता: द्रव्यमान ऊर्जा का एक रूप है: विराम में स्थित पिंड की विराम ऊर्जा $m c^{2}$ होती है। एक ग्राम $9 \times 1 0^{13} J$ के बराबर है, और नाभिकीय अभिक्रियाएँ उसका एक छोटा भाग मुक्त करती हैं।

राशियाँ
$v$	सापेक्ष गति की चाल	$m/s$	गतिमान घड़ी, वस्तु या फ़्रेम की प्रेक्षक के सापेक्ष चाल: ऐनिमेशन में $0.6 c$ ।
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$	ठीक $299792458 m/s$ , मीटर की परिभाषा से, और हर जड़त्वीय फ़्रेम में एक-सी। कोई द्रव्यमान वाली वस्तु उसे नहीं छू सकती, और कोई संकेत उससे तेज़ नहीं जा सकता।
$γ$	लॉरेंत्ज़ गुणक		$1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ : विराम में 1, $0.6 c$ पर 1.25, $0.995 c$ पर लगभग 10, और $v \to c$ होने पर असीमित। यह हर आपेक्षिक प्रभाव का परिमाण तय करता है।
$Δ t_{0}$	उचित काल-अंतराल	$s$	दोनों घटनाओं पर मौजूद एक ही घड़ी पर दो घटनाओं के बीच का समय, जैसे उसके अपने विराम फ़्रेम में एक टिक: ऐनिमेशन में 1.52 s।
$Δ t$	विस्फारित काल-अंतराल	$s$	उन्हीं दो घटनाओं के बीच का समय उस फ़्रेम में जिसमें घड़ी गति करती है, यानी $γ Δ t_{0}$ : गतिमान घड़ी की एक टिक के लिए 1.90 s।
$L_{0}$	उचित लंबाई	$m$	वस्तु की अपने विराम फ़्रेम में लंबाई। जिस फ़्रेम में वह गति करती है, वहाँ गति की दिशा में वह छोटी, $L = L_{0} / γ$ , मापी जाती है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	विराम में मापा गया द्रव्यमान, जो हर फ़्रेम में एक-सा है। ऊर्जा और संवेग का चाल के साथ बढ़ना $γ$ से होता है, $m$ से नहीं।
$E$	कुल ऊर्जा	$J$	$γm c^{2}$ , यानी विराम ऊर्जा $m c^{2}$ और गतिज ऊर्जा का योग। कण भौतिकी में इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में लिखा जाता है: विराम में इलेक्ट्रॉन के लिए 511 keV।
$K$	गतिज ऊर्जा	$J$	गति की ऊर्जा, $E - m c^{2} = (γ - 1) m c^{2}$ । यह $\frac{1}{2} m v^{2}$ के निकट तभी होती है जब $v ≪ c$ ।
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$	$γm v$ , जो किसी भी चाल पर टक्करों में संरक्षित रहता है; $v \to c$ होने पर असीमित बढ़ता है। प्रकाश का द्रव्यमान नहीं होता, पर उसका संवेग $p = E / c$ होता है।

क्विज़

शुरुआती विशिष्ट आपेक्षिकता के अनुसार, हर प्रेक्षक के लिए क्या एक-सा रहता है, चाहे वह कितनी भी तेज़ चले?
1. दो घटनाओं के बीच का समय
2. निर्वात में प्रकाश की चाल
3. एक गतिमान रेलगाड़ी की लंबाई
4. क्या दो दूर की घटनाएँ एक साथ हैं
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. निर्वात में प्रकाश की चाल
आइंस्टीन का दूसरा अभिगृहीत: निर्वात में प्रकाश हर जड़त्वीय प्रेक्षक के लिए c की चाल से चलता है। समय, लंबाई और समकालिकता प्रेक्षक पर निर्भर करते हैं।
शुरुआती प्रकाश-घड़ी में गतिमान घड़ी धीमी क्यों टिक करती है?
1. उसके दर्पण अधिक दूर हैं
2. गति उसके प्रकाश को धीमा कर देती है
3. उसका प्रकाश समान चाल पर एक लंबे, तिरछे पथ पर चलता है
4. गति के साथ वह ऊर्जा खो देती है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. उसका प्रकाश समान चाल पर एक लंबे, तिरछे पथ पर चलता है
ज़मीन से देखने पर प्रकाश विकर्णों पर टेढ़ा-मेढ़ा चलता है, जो दर्पणों की दूरी से लंबे हैं। उसकी चाल फिर भी c है, इसलिए हर टिक अधिक समय लेती है।
शुरुआती एक अंतरिक्ष यात्री बहुत तेज़, स्थिर चाल से पृथ्वी के पास से गुज़रती है। वह अपनी कलाई-घड़ी के बारे में क्या देखती है?
1. वह धीमी चलती है
2. वह तेज़ चलती है
3. वह रुक जाती है
4. वह सामान्य चलती है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. वह सामान्य चलती है
अपने फ़्रेम में वह विराम में है, इसलिए उसकी घड़ी, उसकी धड़कन और सब कुछ सामान्य चलता है। केवल उसके सापेक्ष गतिमान प्रेक्षक ही उसकी घड़ी को धीमी मापते हैं।
मध्यम एक अंतरिक्ष यान v = 0.6·c से चल रहा है। उसका लॉरेंत्ज़ गुणक γ क्या है?
1. 0.8
2. 1.25
3. 1.6
4. 0.6
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. 1.25
γ = 1/√(1 − 0.6²) = 1/√0.64 = 1/0.8 = 1.25। 0.8 स्वयं √(1 − v²/c²) है, उसका व्युत्क्रम नहीं।
मध्यम 0.8·c से चलते यान पर एक घड़ी यान पर दो घटनाओं के बीच 3 s (उचित काल) मापती है। पृथ्वी से यह अंतराल कितना मापा जाएगा?
1. 1.8 s
2. 3 s
3. 5 s
4. 2.4 s
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. 5 s
γ = 1/√(1 − 0.64) = 1/0.6 ≈ 1.67, इसलिए Δt = γ·Δt₀ = 1.67 × 3 s = 5 s। 0.6 या 0.8 से गुणा करने पर समय घटता, जो गलत दिशा है।
मध्यम 10 km ऊँचाई पर बने म्यूऑन अपने फ़्रेम में केवल 2.2 µs जीते हैं, फिर भी उनमें से बहुत-से ज़मीन तक पहुँचते हैं। क्यों?
1. पृथ्वी के फ़्रेम में उनका जीवनकाल गुणक γ से फैल जाता है
2. वे प्रकाश से तेज़ चलते हैं
3. गुरुत्व उन्हें नीचे गिरते समय तेज़ करता है
4. हवा घनी होने पर उनका जीवनकाल बढ़ता है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. पृथ्वी के फ़्रेम में उनका जीवनकाल गुणक γ से फैल जाता है
v ≈ 0.995·c पर γ ≈ 10 है, इसलिए पृथ्वी के फ़्रेम में वे लगभग 22 µs जीते हैं और कई किलोमीटर चल सकते हैं। म्यूऑन के फ़्रेम में वही परिणाम सिकुड़े वायुमंडल के रूप में दिखता है।
उन्नत एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा उसकी विराम ऊर्जा की दोगुनी है (E = 2·m·c² ≈ 1.02 MeV)। वह कितनी तेज़ चल रहा है?
1. 0.50·c
2. 0.71·c
3. 0.87·c
4. 1.41·c
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. 0.87·c
γ = E/(m·c²) = 2, इसलिए v/c = √(1 − 1/γ²) = √0.75 ≈ 0.87। यदि गतिज ऊर्जा K = E − m·c² = m·c² को चिरसम्मत ½·m·v² के बराबर रखें, तो v = √2·c ≈ 1.41·c मिलता है, जो प्रकाश से तेज़ है: इन चालों पर चिरसम्मत सूत्र विफल है। 0.50·c 1/γ है, और 0.71·c √(1 − 1/γ) से आता है।
उन्नत कौन-सी राशि सभी जड़त्वीय फ़्रेमों में एक ही मान रखती है?
1. दो घटनाओं के बीच का समय
2. दो घटनाओं के बीच की दूरी
3. क्या दो घटनाएँ समकालिक हैं
4. अंतराल c²·Δt² − Δx² − Δy² − Δz²
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. अंतराल c²·Δt² − Δx² − Δy² − Δz²
लॉरेंत्ज़ रूपांतरण दिक् और काल को मिलाता है, पर अंतराल s² को सुरक्षित रखता है। समय-अंतर, दूरियाँ और समकालिकता फ़्रेम पर निर्भर हैं।

$x$	$S$ में स्थिति: क्षैतिज अक्ष, यानी रेखा $c t = 0$ ।	$m$
$c t$	$S$ में समय गुणा $c$ : ऊर्ध्वाधर अक्ष, ताकि समय और दूरी की एक ही इकाई हो।	$m$
$x^{'}$	$S^{'}$ का स्थिति-अक्ष: $t^{'} = 0$ वाली घटनाओं की रेखा।	$m$
$c t^{'}$	$S^{'}$ का समय-अक्ष, समय गुणा $c$ : $S^{'}$ के मूल बिंदु की विश्वरेखा, जहाँ $x^{'} = 0$ ।	$m$
$x = c t$	$A$ से निकले प्रकाश-स्पंद की विश्वरेखा; वह भी $x^{'} = c t^{'}$ का पालन करता है।
$A$	दोनों फ़्रेमों के मूल बिंदु पर घटना।
$B$	$x$ अक्ष पर घटना, जो $S$ में $A$ के साथ समकालिक है।
$Δ x$	$S$ में $A$ और $B$ के बीच की दूरी।	$m$
$c Δ t^{'}$	$S^{'}$ में $A$ और $B$ के बीच का समय गुणा $c$ , जो $c t^{'}$ अक्ष पर पढ़ा जाता है। यह ऋणात्मक है: $B$ पहले है।	$m$

$x$	$S$ में स्थिति: क्षैतिज अक्ष।	$m$
$c t$	$S$ में समय गुणा $c$ : ऊर्ध्वाधर अक्ष, विराम वाली घड़ी की विश्वरेखा।	$m$
$x^{'}$	$S^{'}$ का स्थिति-अक्ष।	$m$
$c t^{'}$	$S^{'}$ का समय-अक्ष, समय गुणा $c$ : गतिमान घड़ी की विश्वरेखा।	$m$
$x = c t$	$O$ से आने वाले प्रकाश की विश्वरेखा: वह डैश रेखा जिसे अतिपरवलय छूता है।
$O$	वह घटना जहाँ दोनों घड़ियाँ मिलती हैं और शुरू होती हैं।
$Q$	विराम वाली घड़ी की टिक, उचित काल $τ$ के बाद।
$P$	गतिमान घड़ी की टिक, उसी उचित काल $τ$ के बाद।
$c τ$	$O$ और टिक के बीच का उचित काल गुणा $c$ : $Q$ की ऊँचाई, और $P$ का $c t^{'}$ निर्देशांक।	$m$
$γ c τ$	$S$ में $P$ का समय गुणा $c$ : $c τ$ से $γ$ गुना लंबा।	$m$
$s$	$O$ से अंतराल, अतिपरवलय के हर बिंदु के लिए समान; यहाँ $s = c τ$ ।	$m$
$α$	$S^{'}$ के अक्षों का $S$ के अक्षों से झुकाव: $tan α = v / c$ ।	$rad$

$m c^{2}$	विराम ऊर्जा: त्रिभुज की एक भुजा, जिसे चाप कर्ण पर उतारता है।	$J$
$p c$	संवेग गुणा $c$ : दूसरी भुजा।	$J$
$E$	कुल ऊर्जा, $γm c^{2}$ : कर्ण।	$J$
$K$	गतिज ऊर्जा, $E - m c^{2}$ : कर्ण का वह भाग जो घुमाई गई भुजा से आगे है।	$J$
$θ$	भुजा $m c^{2}$ और कर्ण के बीच का कोण: $sin θ = p c / E = v / c$ ।	$rad$

$t$	पृथ्वी के फ़्रेम में समय, वर्षों में खींचा गया: क्षैतिज अक्ष, जो पृथ्वी की अपनी विश्वरेखा भी है।	$s$
$x$	यात्रा के दौरान पृथ्वी से दूरी, प्रकाश-वर्षों में खींची गई।	$m$
$L_{0}$	पृथ्वी के फ़्रेम में तारे की दूरी: 3.00 प्रकाश-वर्ष।	$m$