Relativité restreinte

Débutant

Lancez un caillou depuis une barque qui glisse sur un lac calme. Les rides s'étalent sur l'eau à leur propre allure, quoi que fasse la barque : vues de la barque, les rides de devant semblent s'éloigner lentement, celles de derrière filent vite. Les ondes dans l'eau ou dans l'air se propagent dans un milieu, et la vitesse qu'on mesure dépend de la façon dont on s'y déplace.

Les physiciens ont longtemps cru qu'il en allait de même pour la lumière, onde dans un « éther » invisible remplissant l'espace. La Terre tourne autour du Soleil à 30 km/s : la lumière devrait donc paraître un peu plus rapide dans une direction que dans une autre. En 1887, Michelson et Morley ont comparé deux faisceaux envoyés à angle droit, en faisant tourner leur appareil, et n'ont trouvé aucune différence. La lumière n'a besoin d'aucun milieu, et sa vitesse, environ 300 000 km par seconde, est la même pour tous les observateurs.

Einstein a pris ce fait au sérieux en 1905, et il change le temps lui-même. Dans l'animation, un éclair fait l'aller-retour entre deux miroirs, un tic par trajet. Dans l'horloge au repos, la lumière monte et descend tout droit. L'autre horloge file sur le côté : vue du sol, sa lumière suit des zigzags obliques, plus longs. La lumière ne peut pas accélérer pour rattraper la distance, donc chaque tic dure plus longtemps : quatre tics contre cinq. Tout ce qui est à bord, battements du cœur compris, ralentit de la même façon, et le voyageur ne remarque rien. Les muons, particules rapides créées en haute atmosphère par les rayons cosmiques, n'atteignent le sol que parce que leur temps ralentit. Les objets en mouvement sont aussi mesurés plus courts dans le sens du mouvement, et aucune poussée ne peut amener un corps massif à la vitesse de la lumière.

Vérifiez : si l'horloge mobile allait plus vite, son zigzag serait-il plus long ou plus court, ses tics plus rapides ou plus lents ? (Plus long, donc plus lents.)

Intermédiaire

Référentiels, événements et les deux postulats

En relativité, un observateur représente tout un référentiel galiléen : des règles et des horloges synchronisées qui se déplacent à vitesse constante, comme un train qui file en douceur. Un événement se produit en un lieu et à un instant, comme un éclair ou le tic d'une horloge ; chaque référentiel lui attribue donc une position $x$ et un instant $t$.

La théorie repose sur deux postulats. Premièrement, les lois de la physique ont la même forme dans tout référentiel galiléen : aucune expérience faite dans une cabine fermée ne peut montrer si celle-ci est en mouvement. Deuxièmement, la lumière se propage dans le vide à la même vitesse dans tout référentiel galiléen, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, quel que soit le mouvement de sa source ou de l'observateur. Ensemble, ils obligent les durées et les longueurs à dépendre du référentiel.

Lire le triangle de l'horloge de lumière

Dans une horloge de lumière, un éclair rebondit entre deux miroirs distants de $d$, et chaque traversée est un tic. Dans le référentiel de repos de l'horloge, la lumière va droit d'un miroir à l'autre : un tic dure donc $\Delta t_0=d/c$. C'est un temps propre : la durée entre deux événements, lue sur une seule horloge présente aux deux.

Dans un référentiel où l'horloge se déplace latéralement à la vitesse $v$ (la flèche bleue), un tic dure $\Delta t$ et les miroirs avancent de $v\Delta t$ : la lumière suit donc une oblique. L'animation trace ce triangle rectangle sur le premier tic : le côté vert en pointillés $c\Delta t_0$ est l'écart entre les miroirs, la base bleue $v\Delta t$ le déplacement de l'horloge, et l'hypoténuse dorée $c\Delta t$ le trajet de la lumière, toujours parcouru à la vitesse $c$. Pythagore donne $(c\Delta t{)}^2=(c\Delta t_0{)}^2+(v\Delta t{)}^2$, d'où
$\Delta t=\gamma \Delta t_0$
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Le facteur de Lorentz $\gamma$ vaut 1 au repos et croît sans limite quand $v$ s'approche de $c$ : il vaut 1,005 à $0,1c$, 1,25 à $0,6c$ et 7,09 à $0,99c$. Tous les processus à bord, les battements du cœur d'un passager compris, ralentissent du même facteur ; sinon, leur comparaison révélerait le mouvement.

Contraction des longueurs et simultanéité

Les longueurs changent aussi. La longueur d'un objet dans son propre référentiel de repos est sa longueur propre $L_0$ ; un référentiel dans lequel il se déplace la mesure plus courte dans le sens du mouvement,
$L=\frac{L_0}{\gamma }$
mais pas en travers. L'horloge mobile est donc dessinée large de 24 unités au lieu de 30, mais tout aussi haute, et son écart entre miroirs $d$ est le même dans les deux référentiels, comme le supposait le triangle.

Les deux effets sont réciproques : un passager qui voyage avec l'horloge mobile trouve que les horloges du sol retardent et que les règles du sol sont raccourcies. Il n'y a là aucune contradiction, car les deux référentiels ne s'accordent pas sur la simultanéité. Deux éclairs émis au même instant aux deux extrémités d'un quai ne sont pas simultanés pour une passagère d'un train qui passe : pour elle, l'éclair situé devant le train vient en premier. Pour chronométrer une horloge en mouvement, il faut deux de vos propres horloges, placées aux endroits où elle passe, et l'observateur en mouvement affirme que ces deux horloges ne sont pas synchronisées.

Dans chaque problème, cherchez d'abord le référentiel de repos de l'horloge ou de l'objet : c'est à lui que se rattachent les temps propres et les longueurs propres.

Énergie, quantité de mouvement et limite de vitesse

Si la quantité de mouvement newtonienne $mv$ se conservait dans une collision vue d'un référentiel, elle ne se conserverait pas dans un référentiel animé d'une grande fraction de $c$. La quantité de mouvement, l'énergie et l'énergie cinétique relativistes comportent toutes le facteur $\gamma$ :

• $p=\gamma mv$
• $E=\gamma m{c}^2$
• $K=(\gamma -1)m{c}^2$

Ici $m$ est la masse ordinaire, la même dans tout référentiel, et $E$ est l'énergie totale. Même au repos, un corps possède l'énergie de masse $m{c}^2$ ; $K$ est ce que le mouvement y ajoute. Un électron a $m{c}^2=511\mathrm{keV}$ : à $0,6c$, son énergie vaut donc $E=1,25\cdot 511\approx 639\mathrm{keV}$ et $K\approx 128\mathrm{keV}$, alors que le $\frac{1}{2}m{v}^2$ de Newton ne donne que 92 keV. Comme $\gamma$ n'a pas de borne supérieure, $K$ non plus : à $0,99c$, elle atteint déjà $6,1m{c}^2$, et aucune énergie finie ne peut amener un corps massif jusqu'à $c$.

Exemple résolu : les horloges de l'animation

À l'écran, la lumière est ralentie à 50 unités par seconde et les miroirs sont distants de 76 unités : l'horloge au repos fait donc un tic toutes les $\Delta t_0=76/50=1,52\mathrm{s}$. L'autre horloge se déplace à $v=0,6c$, soit 30 unités par seconde :
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-0,6^2}}=\frac{1}{\sqrt{0,64}}=\frac{1}{0,8}=1,25$
$\Delta t=1,25\cdot 1,52\mathrm{s}=1,90\mathrm{s}$

Ce sont les valeurs de la ligne « 1 tic : 1,52 s → 1,90 s ». Le triangle les vérifie : pendant un tic de l'horloge mobile, celle-ci avance de $30\cdot 1,90=57$ unités et la lumière parcourt $50\cdot 1,90=95$ unités, et $57^2+76^2=95^2$ : un triangle 3-4-5. Au bout de 7,6 s, le compteur vert de l'horloge au repos atteint $7,6/1,52=5$ tics et le compteur rouge au-dessus de l'horloge mobile $7,6/1,90=4$ : le rapport 5 : 4 est $\gamma$.

La flèche bleue $v$ garde sa longueur, car la vitesse est constante, et la boîte mobile est dessinée large de $30/1,25=24$ unités. Pour l'horloge mobile, rien ne cloche : ses quatre tics ont duré $4\cdot 1,52=6,08\mathrm{s}$ de son propre temps.

Exemple résolu : les muons de la haute atmosphère

Les rayons cosmiques qui frappent la haute atmosphère produisent des muons, des particules instables dont la durée de vie moyenne au repos est $\Delta t_0=2,2\mu \mathrm{s}$. Des muons créés à 10 km d'altitude, qui tombent à $v=0,995c$, atteignent-ils le sol ?

Sans la relativité, un muon ne parcourrait en moyenne que $0,995\cdot 3,00\times 10^8\cdot 2,2\times 10^{-6}\approx 660\mathrm{m}$ pendant sa durée de vie. Le trajet de 10 km dure $10000/(2,985\times 10^8)\approx 33,5\mu \mathrm{s}$, soit environ 15 durées de vie ; et comme il reste une fraction $e^{-n}$ après $n$ durées de vie, un muon sur quatre millions seulement arriverait.

Avec la relativité, $\gamma =1/\sqrt{1-0,995^2}\approx 10,0$ : dans le référentiel de la Terre, la durée de vie moyenne est d'environ $22\mu \mathrm{s}$, le trajet ne dure que 1,5 durée de vie, et une fraction $e^{-1,52}\approx 0,22$, soit environ un muon sur cinq, survit.

Dans le référentiel du muon, son horloge marche normalement, mais l'atmosphère file à toute vitesse, contractée à $10\mathrm{km}/10,0\approx 1,0\mathrm{km}$, et défile en environ $3,35\mu \mathrm{s}$ : de nouveau 1,5 durée de vie. Ce qu'un référentiel appelle dilatation du temps, l'autre l'appelle contraction des longueurs.

Erreurs fréquentes

• L'horloge mobile n'est pas défectueuse : dans son propre référentiel, elle fait un tic toutes les 1,52 s ; les 1,90 s sont mesurées depuis un référentiel dans lequel elle se déplace.
• Le temps propre est la durée la plus courte : il faut donc le multiplier par $\gamma$, jamais le diviser. 2,0 s de temps propre à $0,6c$ deviennent 2,5 s, et non 1,6 s.
• Ne confondez pas $\gamma$ avec la racine qu'il contient : à $0,6c$, la racine $\sqrt{1-v^2/c^2}$ vaut 0,8, et $\gamma$, son inverse, vaut 1,25.
• La contraction n'agit que dans le sens du mouvement : l'écart entre les miroirs reste de 76 unités, alors que la largeur passe de 30 à 24 unités.
• Les vitesses ne s'additionnent pas simplement : une sonde lancée vers l'avant à $0,6c$ depuis un vaisseau qui va à $0,6c$ file à $1,2/1,36\approx 0,88c$, et non à $1,2c$.

Où on le rencontre

Les satellites GPS se déplacent à environ 3,9 km/s : leurs horloges perdent donc environ 7 microsecondes par jour à cause du mouvement, mais en gagnent davantage grâce à la pesanteur plus faible à leur altitude ; sans correction, les positions calculées dériveraient de plusieurs kilomètres par jour. Les aimants des accélérateurs sont conçus pour $p=\gamma mv$, avec des protons dont le $\gamma$ atteint plusieurs milliers. Les microscopes électroniques accélèrent les électrons sous 300 kV jusqu'à $0,78c$ ($\gamma \approx 1,59$), et les tomographes TEP des hôpitaux détectent les paires de photons de 511 keV issues de l'annihilation électron-positon.

L'énergie de masse revient dans la leçon Fission, fusion et E = mc², et la part gravitationnelle de la correction du GPS dans la leçon La gravitation, courbure de l'espace-temps.

Avancé

Des deux postulats à la transformation de Lorentz

Cette section répond à une seule question : si deux référentiels galiléens voient tous deux une impulsion lumineuse se déplacer à la même vitesse $c$, comment les coordonnées d'un événement dans l'un sont-elles reliées à ses coordonnées dans l'autre ? La réponse, la transformation de Lorentz, contient tous les effets de la relativité restreinte ; elle mérite donc d'être établie pas à pas.

Considérez un référentiel $S^{\prime }$ qui se déplace à la vitesse $v$ le long de l'axe $x$ d'un référentiel $S$, et remettez à zéro les deux jeux d'horloges au moment où les deux origines se croisent : cet événement a donc $t=t^{\prime }=0$. La règle de Galilée, $x^{\prime }=x-vt$ avec $t^{\prime }=t$, ne peut pas être la bonne. Elle soustrait les vitesses : une impulsion lumineuse d'équation $x=ct$ aurait $x^{\prime }=(c-v)t$ et se déplacerait donc à $c-v$ dans $S^{\prime }$, ce qui contredit le second postulat.

Trois faits déterminent la bonne règle. D'abord, elle doit être linéaire : l'espace et le temps sont les mêmes partout, la règle ne peut donc privilégier aucun lieu ni aucun instant, et un corps qui se déplace uniformément dans un référentiel doit se déplacer uniformément dans l'autre.

Ensuite, les distances perpendiculaires au mouvement ne changent pas : $y^{\prime }=y$ et $z^{\prime }=z$. Imaginez deux anneaux identiques qui se croisent en volant l'un à travers l'autre le long de leur axe commun. Si le mouvement raccourcissait un anneau, chaque référentiel trouverait l'autre anneau plus petit et le verrait passer à l'intérieur du sien ; les deux ne peuvent être vrais, car savoir lequel des anneaux passe à l'intérieur de l'autre est un fait tout simple.

Enfin, l'origine de $S^{\prime }$, où $x^{\prime }=0$, se trouve en $x=vt$. Une règle linéaire qui donne $x^{\prime }=0$ exactement là doit être proportionnelle à $x-vt$ :
$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$
Ici $\gamma$ est un facteur qui peut dépendre de $v$ mais pas de $x$ ni de $t$. Dans $S^{\prime }$, le référentiel $S$ se déplace à $-v$ et, d'après le premier postulat, aucun des deux référentiels n'est privilégié ; la règle inverse a donc la même forme, avec le même facteur et la vitesse opposée :
$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

Le second postulat fixe maintenant $\gamma$. Envoyez une impulsion lumineuse depuis l'origine commune à $t=t^{\prime }=0$. Dans $S$ elle obéit à $x=ct$, et dans $S^{\prime }$ à $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$. En reportant ces relations dans les deux équations, on obtient $c{t}^{\prime }=\gamma (c-v)t$ et $ct=\gamma (c+v)t^{\prime }$. En les multipliant et en simplifiant par $t{t}^{\prime }$, il reste $c^2={\gamma }^2(c^2-v^2)$, d'où
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
qui est le facteur de Lorentz que l'horloge de lumière a donné pour la dilatation du temps.

La règle pour le temps s'obtient en éliminant $x^{\prime }$. Reportez $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ dans $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ et résolvez par rapport à $t^{\prime }$ ; avec $1-1/{\gamma }^2=v^2/c^2$, le résultat se simplifie, et la transformation complète s'écrit
$x^{\prime }=\gamma (x-vt),t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$
Quand $v\ll c$, $\gamma \approx 1$ et le terme $vx/c^2$ est négligeable : la règle de Galilée réapparaît. Ce terme nouveau est le cœur de l'affaire : l'instant d'un événement dans $S^{\prime }$ ne dépend pas seulement du moment où il se produit dans $S$, mais aussi du lieu.

Axes inclinés : le diagramme d'espace-temps

Légende

$x$	Position dans $S$ : l'axe horizontal, la droite $ct=0$.	$\mathrm{m}$
$ct$	Temps dans $S$ multiplié par $c$ : l'axe vertical, de sorte que temps et distance aient la même unité.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Axe des positions de $S^{\prime }$ : la droite des événements tels que $t^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Axe du temps de $S^{\prime }$, le temps multiplié par $c$ : la ligne d'univers de l'origine de $S^{\prime }$, où $x^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Ligne d'univers d'une impulsion lumineuse partie de $A$ ; elle obéit aussi à $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$.
$A$	Événement à l'origine des deux référentiels.
$B$	Événement sur l'axe $x$, simultané de $A$ dans $S$.
$\Delta x$	Distance entre $A$ et $B$ dans $S$.	$\mathrm{m}$
$c\Delta t^{\prime }$	Durée entre $A$ et $B$ dans $S^{\prime }$, multipliée par $c$ et lue le long de l'axe $c{t}^{\prime }$. Elle est négative : $B$ vient en premier.	$\mathrm{m}$

Un diagramme d'espace-temps dessine la transformation de Lorentz au lieu de l'écrire, et il montre d'un coup d'œil pourquoi deux référentiels ne s'accordent pas sur les événements lointains qui ont lieu en même temps. La figure 1 est tracée dans le référentiel $S$, pour $v=0,6c$.

Le temps est porté vers le haut sous la forme $ct$, le temps multiplié par $c$, de sorte que les deux axes de $S$ mesurent des longueurs dans la même unité. Une impulsion lumineuse partie de l'origine suit alors la droite en pointillés à 45°, $x=ct$.

Le référentiel $S^{\prime }$ apporte deux axes qui lui sont propres. Son axe du temps $c{t}^{\prime }$ est l'ensemble des événements tels que $x^{\prime }=0$ : la ligne d'univers $x=vt$ de son origine, qui penche à droite de l'axe $ct$. Son axe des positions $x^{\prime }$ est l'ensemble des événements tels que $t^{\prime }=0$ ; en posant $t^{\prime }=0$ dans $t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2)$, on obtient $ct=(v/c)x$, une droite qui monte en penchant depuis l'axe $x$. Les deux axes de $S^{\prime }$ penchent du même angle, chacun vers la droite de lumière et de son côté, si bien que celle-ci reste à égale distance entre eux. L'impulsion obéit donc aussi à $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$ : le second postulat est inscrit dans la figure.

Observez maintenant les événements $A$ et $B$. Tous deux sont sur l'axe $x$ : dans $S$ ils se produisent donc au même instant, $t=0$, à une distance $\Delta x$ l'un de l'autre. Dans $S^{\prime }$, les événements de même $t^{\prime }$ se trouvent sur des droites parallèles à l'axe $x^{\prime }$, comme les événements de même $t$ se trouvent sur des horizontales dans $S$. Pour lire l'instant de $B$ dans $S^{\prime }$, suivez la droite en pointillés passant par $B$, parallèle à $x^{\prime }$, jusqu'à ce qu'elle rencontre l'axe $c{t}^{\prime }$. Elle le rencontre sous $A$, en $c\Delta t^{\prime }$ : d'après les horloges de $S^{\prime }$, l'événement $B$ se produit en premier. En posant $\Delta t=0$ dans la transformation, on obtient l'ampleur de l'écart :
$\Delta t^{\prime }=-\frac{\gamma v\Delta x}{c^2}$
Le signe moins dit que $B$, l'événement situé plus loin dans le sens du mouvement, vient en premier. À la vitesse de la figure, $\gamma =1,25$, donc $\gamma v/c=0,75$ : deux éclairs du laboratoire émis au même instant, distants d'une seconde-lumière, sont séparés de 0,75 s pour les horloges mobiles. La simultanéité de deux événements éloignés dépend du référentiel.

Dilatation, contraction et addition des vitesses

La transformation livre maintenant en quelques lignes, pour chacun, les effets déjà rencontrés, et montre qu'ils valent pour toute horloge et toute règle, pas seulement pour l'horloge de lumière.

Dilatation du temps. Considérez une horloge au repos à l'origine de $S^{\prime }$. Dans $S$ elle se déplace le long de $x=vt$ ; sa lecture est donc $t^{\prime }=\gamma (t-v^{2}t/c^2)=\gamma t(1-v^2/c^2)=t/\gamma$. Pendant qu'une durée $\Delta t$ s'écoule dans $S$, l'horloge mobile n'avance que de $\Delta t_0=\Delta t/\gamma$ ; autrement dit, $\Delta t=\gamma \Delta t_0$.

Contraction des longueurs. Une règle de longueur propre $L_0$ est au repos dans $S^{\prime }$ : ses extrémités sont donc distantes de $\Delta x^{\prime }=L_0$. Pour mesurer une règle en mouvement, $S$ doit repérer ses deux extrémités au même instant, $\Delta t=0$, et la transformation donne alors $\Delta x^{\prime }=\gamma \Delta x$. La longueur dans $S$ est donc $L=\Delta x=L_0/\gamma$.

Addition des vitesses. La transformation inverse est la même règle avec $-v$ : $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ et $t=\gamma (t^{\prime }+v{x}^{\prime }/c^2)$. Un corps qui se déplace à $u^{\prime }$ le long de $x$ dans $S^{\prime }$ parcourt $d{x}^{\prime }=u^{\prime }d{t}^{\prime }$, donc $dx=\gamma (u^{\prime }+v)d{t}^{\prime }$ et $dt=\gamma (1+u^{\prime }v/c^2)d{t}^{\prime }$. Leur rapport est sa vitesse dans $S$ :
$u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$
Pour $u^{\prime }=c$ on trouve $u=c$, comme l'exige le second postulat. Deux vitesses de $0,6c$ ne se composent pas en $1,2c$ mais en $1,2/1,36=15/17\approx 0,88c$.

L'ampleur de tous ces effets est fixée par $\gamma$, et le graphique de l'animation le trace en fonction de $v/c$ jusqu'à 0,95, où $\gamma =3,20$. Près de l'origine la courbe est plate, $\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, à peine 0,5 % au-dessus de 1 à $0,1c$ ; c'est pourquoi la relativité passe inaperçue dans la vie courante. Au point marqué, $0,6c$, cette parabole ne donne que 1,18 contre 1,25 pour la vraie valeur, et la pente $d\gamma /d(v/c)=(v/c){\gamma }^3$ vaut déjà 1,17. Au bord droit la pente vaut 31, et la courbe monte vers une asymptote verticale en $v=c$.

L'intervalle invariant et la rapidité

Légende

$x$	Position dans $S$ : l'axe horizontal.	$\mathrm{m}$
$ct$	Temps dans $S$ multiplié par $c$ : l'axe vertical, la ligne d'univers de l'horloge au repos.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Axe des positions de $S^{\prime }$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Axe du temps de $S^{\prime }$, le temps multiplié par $c$ : la ligne d'univers de l'horloge mobile.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Ligne d'univers de la lumière issue de $O$ : la droite en pointillés dont l'hyperbole se rapproche.
$O$	Événement où les deux horloges se croisent et démarrent.
$Q$	Tic de l'horloge au repos, après le temps propre $\tau$.
$P$	Tic de l'horloge mobile, après le même temps propre $\tau$.
$c\tau$	Temps propre entre $O$ et le tic, multiplié par $c$ : la hauteur de $Q$ et la coordonnée $c{t}^{\prime }$ de $P$.	$\mathrm{m}$
$\gamma c\tau$	Instant de $P$ dans $S$, multiplié par $c$ : plus grand que $c\tau$ d'un facteur $\gamma$.	$\mathrm{m}$
$s$	Intervalle depuis $O$, le même pour tous les points de l'hyperbole ; ici $s=c\tau$.	$\mathrm{m}$
$\alpha$	Inclinaison des axes de $S^{\prime }$ par rapport à ceux de $S$ : $\tan \alpha =v/c$.	$\mathrm{rad}$

Les durées et les longueurs changent chacune d'un référentiel à l'autre, mais une combinaison d'entre elles ne change pas. Cet invariant, l'intervalle, joue dans l'espace-temps le rôle que joue la distance dans l'espace ordinaire, et la figure 2 montre comment le lire sur un diagramme.

Deux horloges identiques partent ensemble de l'événement $O$. L'une reste au repos dans $S$ et monte le long de l'axe $ct$ ; l'autre se déplace avec $S^{\prime }$ et monte le long de l'axe $c{t}^{\prime }$. Chacune fait un tic après le temps propre $\tau$, le temps qu'elle lit elle-même. L'horloge au repos fait son tic à l'événement $Q$, à la hauteur $c\tau$. L'horloge mobile fait son tic à l'événement $P$, où son propre axe indique $c{t}^{\prime }=c\tau$. La droite en pointillés qui va de $P$ jusqu'à l'axe $ct$ montre à quel moment $S$ date ce tic : en $ct=\gamma c\tau$, après $Q$. C'est encore la dilatation du temps.

Remarquez le casse-tête sur le papier : le segment $OP$ est dessiné plus long que $OQ$, et pourtant les deux représentent le même $c\tau$. La courbe $s$ le résout. $P$ et $Q$ sont tous deux sur cette hyperbole, l'ensemble de tous les événements situés au même intervalle $s=c\tau$ de $O$. Sur un diagramme d'espace-temps, les intervalles égaux se lisent le long de telles hyperboles, et non à la règle.

L'intervalle entre deux événements est défini par
$s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$
Reportez la transformation dans le membre de droite, élevez au carré et soustrayez : les termes croisés s'annulent, le facteur ${\gamma }^2(1-v^2/c^2)$ vaut 1, et le même $s^2$ sort dans $S^{\prime }$. Une rotation dans un plan laisse $x^2+y^2$ inchangé exactement de la même façon.

L'analogie avec la rotation est exacte. Définissez la rapidité $\phi$ par $v/c=\tanh \phi$. Alors $\gamma =\cosh \phi$ et $\gamma v/c=\sinh \phi$, et la transformation devient $c{t}^{\prime }=ct\cosh \phi -x\sinh \phi$ et $x^{\prime }=x\cosh \phi -ct\sinh \phi$. C'est une rotation dans le plan $(x,ct)$ d'un angle $\phi$, avec des fonctions hyperboliques à la place des fonctions circulaires. La figure 2 montre ce même changement de référentiel mesuré à la règle : les axes de $S^{\prime }$ s'inclinent de l'angle $\alpha$, avec $\tan \alpha =v/c=\tanh \phi$. Les rapidités de changements de référentiel successifs le long d'une même droite s'ajoutent simplement, ce qui est la loi d'addition des vitesses déguisée. Dans l'animation, $\phi =\mathrm{artanh}0,6=\ln 2$, donc $\gamma =\cosh (\ln 2)=(2+\frac{1}{2})/2=1,25$, et deux tels changements donnent $\tanh (2\ln 2)=\tanh (\ln 4)=15/17$, la vitesse trouvée plus haut.

L'horloge de lumière mesure un intervalle. Un tic de l'horloge mobile couvre $\Delta t=1,90\mathrm{s}$ et $\Delta x=57$ unités dans $S$, la lumière allant à 50 unités par seconde ; donc $c\Delta t=95$ unités et $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=95^2-57^2=76^2$. L'intervalle est l'écart entre les miroirs, 76 unités, le même dans tous les référentiels ; divisé par $c$, c'est le temps propre d'un tic, 1,52 s.

Le long d'une ligne d'univers qui se courbe, additionnez le temps propre de chaque petit tronçon rectiligne : $\tau =\int dt/\gamma$. À cause des signes moins dans $s^2$, le mouvement dans l'espace réduit le temps propre au lieu de s'y ajouter. Parmi toutes les lignes d'univers entre deux événements, la droite, c'est-à-dire la ligne inertielle, a donc le temps propre le plus long, à l'inverse de la géométrie d'Euclide, où la ligne droite est la plus courte. Un jumeau qui s'éloigne puis fait demi-tour vieillit moins, comme le montre le problème résolu plus bas.

Énergie et quantité de mouvement en un seul quadrivecteur

Légende

$m{c}^2$	Énergie de masse : un côté de l'angle droit, reporté sur l'hypoténuse par l'arc.	$\mathrm{J}$
$pc$	Quantité de mouvement multipliée par $c$ : l'autre côté de l'angle droit.	$\mathrm{J}$
$E$	Énergie totale, $\gamma m{c}^2$ : l'hypoténuse.	$\mathrm{J}$
$K$	Énergie cinétique, $E-m{c}^2$ : la partie de l'hypoténuse au-delà du côté pivoté.	$\mathrm{J}$
$\theta$	Angle entre le côté $m{c}^2$ et l'hypoténuse : $\sin \theta =pc/E=v/c$.	$\mathrm{rad}$

Pour que la quantité de mouvement se conserve dans tout référentiel galiléen, l'énergie et la quantité de mouvement doivent se transformer ensemble, comme $t$ et $x$. Cette section réunit ce couple en un seul quadrivecteur et s'achève sur la relation que la figure 3 dessine sous la forme d'un triangle rectangle.

Lisez d'abord le triangle. Ses côtés de l'angle droit sont l'énergie de masse $m{c}^2$ et $pc$, la quantité de mouvement multipliée par $c$ ; son hypoténuse est l'énergie totale $E$, et l'angle droit est en haut, donc $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$. Faites pivoter le côté $m{c}^2$ autour du sommet de gauche vers le bas, sur l'hypoténuse, le long de l'arc en pointillés : le morceau d'hypoténuse qui reste à l'extrémité droite est $K=E-m{c}^2$, l'énergie cinétique. Au sommet de gauche, l'angle $\theta$ vérifie $\sin \theta =pc/E$, qui est égal à $v/c$, comme on le montre plus bas.

Passons à la démonstration. Le pas $(cdt,d\vec{x})$ entre deux événements voisins sur la ligne d'univers d'un corps se transforme comme $(ct,\vec{x})$. Si on le divise par le temps propre $d\tau =dt/\gamma$, qui est le même dans tous les référentiels, il garde cette propriété ; le résultat est la quadrivitesse $\gamma (c,\vec{v})$. En la multipliant par la masse $m$, on obtient la quadri-impulsion (le quadrivecteur énergie-quantité de mouvement)
$(E/c,\vec{p})=(\gamma mc,\gamma m\vec{v})$
Sa partie d'espace, $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, est la quantité de mouvement qui se conserve dans les collisions. Sa partie de temps est $E/c$, et un changement de référentiel mélange les deux, comme il mélange $ct$ et $x$ : la quantité de mouvement vue dans $S^{\prime }$ contient de l'énergie venue de $S$. La quantité de mouvement ne peut donc se conserver dans tous les référentiels que si l'énergie se conserve aussi, et les deux lois n'en font plus qu'une.

Comme l'intervalle, ce quadrivecteur a une longueur sur laquelle tous les référentiels s'accordent : $(E/c{)}^2-p^2={\gamma }^2{m}^2{c}^2(1-v^2/c^2)=m^2{c}^2$. Multipliée par $c^2$, elle s'écrit
$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$
Diviser la partie d'espace par la partie de temps donne $pc/E=v/c$, donc $v=p{c}^2/E$, et c'est le $\sin \theta$ de la figure 3. Une particule sans masse a $E=pc$ et se déplace donc à $c$.

Pour les petites vitesses, développez $\gamma$ en puissances de $v^2/c^2$ :
$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}$
L'énergie cinétique de Newton est la première correction, et $K=(\gamma -1)m{c}^2$ en est la forme exacte. L'énergie de masse $m{c}^2$ qui subsiste à $v=0$ est bien réelle : un corps chaud a une masse plus grande de $\Delta E/c^2$, et un noyau est plus léger que ses constituants séparés. La masse $m$ est la même dans tous les référentiels ; ce qui croît avec la vitesse, c'est $\gamma$.

À la vitesse de l'animation, $0,6c$, le triangle de la figure 3 est un triangle 3-4-5 : $pc=\gamma mvc=0,75m{c}^2$ et $E=1,25m{c}^2$, et en effet $0,75^2+1^2=1,25^2$. L'énergie cinétique est $K=0,25m{c}^2$, alors que le $\frac{1}{2}m{v}^2$ de Newton, soit $0,18m{c}^2$, est trop faible de 28 %.

Effet Doppler, champs et accélération

Trois courtes applications montrent jusqu'où va la transformation : à la lumière de sources en mouvement, aux champs électrique et magnétique, et aux corps qui accélèrent.

Effet Doppler. La lumière n'a besoin d'aucun milieu : son décalage Doppler ne peut donc dépendre que de la vitesse relative de la source et de l'observateur. Supposez qu'une source s'éloigne à $v$ et émette une crête toutes les $T$ dans son référentiel. Dans le nôtre, les crêtes partent toutes les $\gamma T$, à cause de la dilatation du temps, et entre deux crêtes la source s'éloigne de $v\gamma T$, ce qui ajoute $v\gamma T/c$ au temps de trajet de la crête suivante. La période reçue est donc
$\gamma T(1+v/c)=T\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$
À $0,6c$ le facteur vaut exactement 2, soit $e^{\phi }$ pour la rapidité $\phi =\ln 2$ : une raie spectrale de 500 nm arrive à 1000 nm d'une source qui s'éloigne et à 250 nm d'une source qui s'approche. Pour une lumière reçue perpendiculairement au mouvement, la distance ne change pas ; il ne reste donc que la dilatation du temps, qui abaisse la fréquence du facteur $\gamma$.

Champs. Une charge au repos n'a qu'un champ électrique. Dans un référentiel où elle se déplace, c'est un courant et elle a aussi un champ magnétique, et la force magnétique sur une charge en mouvement est une force électrique dans le référentiel de repos de la charge : un changement de référentiel mélange les champs électrique et magnétique comme il mélange $t$ et $x$. Les équations de Maxwell obéissent déjà à la transformation de Lorentz : c'est donc la mécanique, et non l'électromagnétisme, qui a dû changer.

Accélération. Les corps accélérés n'exigent aucune théorie nouvelle tant que l'espace-temps est plat : à chaque instant, utilisez le référentiel galiléen qui accompagne le corps. Supposez qu'un vaisseau garde une accélération propre constante $a$, celle que ressentent les passagers. Pendant chaque court intervalle $d\tau$ du temps du vaisseau, il gagne la même petite rapidité $ad\tau /c$, et les rapidités s'ajoutent ; donc $\phi =a\tau /c$ croît uniformément et $v=c\tanh (a\tau /c)$ n'atteint jamais $c$. Un an de temps du vaisseau à $9,81m/{\mathrm{s}}^2$ donne $a\tau /c\approx 1,03$ et $v\approx 0,77c$.

Problème résolu : un aller-retour vers une étoile proche

Légende

$t$	Temps dans le référentiel de la Terre, en années : l'axe horizontal, qui est aussi la ligne d'univers de la Terre.	$\mathrm{s}$
$x$	Distance à la Terre le long du voyage, en années-lumière.	$\mathrm{m}$
$L_0$	Distance à l'étoile dans le référentiel de la Terre : 3,00 années-lumière.	$\mathrm{m}$

Ce problème met toute la leçon à l'œuvre sur le paradoxe des jumeaux : une voyageuse vole jusqu'à une étoile et revient plus jeune que sa jumelle restée sur Terre. La figure 4 trace le voyage dans le référentiel de la Terre, avec le temps $t$ en années en abscisse et la distance $x$ en années-lumière en ordonnée, de sorte que la lumière court à 45°. La Terre reste sur l'axe $t$, et l'étoile, à la distance $L_0$, est la droite horizontale en pointillés. La ligne brisée est la ligne d'univers de la voyageuse, qui monte vers l'étoile puis redescend. Les nombres sont des lectures d'horloge : quand elle fait demi-tour, l'horloge de la Terre indique 5 et la sienne 4 ; quand elle atterrit, 10 et 8.

Envoyez l'horloge de l'animation à $0,6c$ vers une étoile située à 3,00 années-lumière dans le référentiel de la Terre, puis ramenez-la en ligne droite, en ignorant le bref demi-tour. Sur Terre, chaque trajet dure $3,00/0,6=5,00$ ans, soit 10 en tout. L'horloge de la voyageuse retarde du facteur $\gamma =1,25$ : elle indique 4,00 ans par trajet, 8 en tout.

Son propre point de vue concorde. Dans son référentiel, la distance à l'étoile est contractée à $L_0/\gamma =3,00/1,25=2,40$ années-lumière, qu'elle parcourt à $0,6c$ en ces mêmes 4,00 ans. L'intervalle concorde aussi : en années et en années-lumière, chaque trajet a $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=5^2-3^2=4^2$, soit un temps propre de 4 ans. Le rapport 10 : 8 est le 5 : 4 des compteurs de tics de l'animation.

Pourquoi le voyage n'est-il pas symétrique, alors qu'à l'aller chaque jumelle trouve l'horloge de l'autre lente ? Pour le voir, faites envoyer à chacune un signal lumineux par an selon sa propre horloge, et comptez les signaux qui arrivent. Le facteur Doppler à $0,6c$ vaut 2 : tant que les jumelles s'éloignent, les signaux arrivent tous les 2 ans ; tant qu'elles se rapprochent, tous les six mois.

Les fines lignes de la figure 4 sont les signaux annuels de la Terre, qui montent à 45° depuis l'axe $t$ jusqu'à rencontrer la ligne d'univers de la voyageuse, et les points marquent leur arrivée. À l'aller, elle en reçoit un tous les 2 ans de son temps, soit 2 signaux en ses 4 ans ; le signal de l'année 2 l'atteint juste quand elle fait demi-tour. Au retour, elle en reçoit un tous les six mois, 8 de plus ; le signal de l'année 10 arrive quand elle atterrit. Les points se serrent donc après le demi-tour, et son compte de 10 signaux dit que la Terre a vieilli de 10 ans.

Côté Terre, le tableau est différent. Elle reçoit les signaux de la voyageuse tous les 2 ans, jusqu'à ce que la lumière de son demi-tour atteigne la Terre. Elle a fait demi-tour à 3 années-lumière en l'an 5 : la Terre ne voit donc le demi-tour qu'en l'an 8, trois ans après l'événement, avec 4 signaux en 8 ans. Pendant les 2 dernières années, les signaux arrivent tous les six mois, 4 de plus : 8 en tout, donc la voyageuse a vieilli de 8 ans.

L'asymétrie vient du changement de référentiel. Les signaux qu'elle reçoit s'accélèrent à mi-parcours, au demi-tour qu'elle seule ressent, alors que ceux que reçoit la Terre ne s'accélèrent que 2 ans avant son retour. Dans le langage de l'intervalle, sa ligne d'univers brisée a le temps propre le plus court.

Limites de validité

La relativité restreinte suppose un espace-temps plat, avec des référentiels galiléens qui s'étendent partout. Cette section montre où s'arrête cette hypothèse, et avec elle la théorie.

La gravitation la met en défaut la première. Une horloge située plus bas dans un champ gravitationnel retarde, d'une fraction égale à la différence de potentiel gravitationnel divisée par $c^2$ : environ $7\times 10^{-10}$ entre la surface de la Terre et l'espace lointain. Les horloges GPS perdent environ 7 µs par jour à cause de leur mouvement et en gagnent environ 46 µs par jour à cause de leur altitude : on les règle donc avant le lancement pour qu'elles battent un peu plus lentement. Là où la gravitation varie dans la région étudiée, l'espace-temps est courbe et la relativité générale prend le relais ; la relativité restreinte reste valable dans tout petit laboratoire en chute libre.

Aux vitesses de la vie courante, les corrections, de l'ordre de $\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, sont minuscules : $5\times 10^{-15}$ pour une voiture à 30 m/s et $3,5\times 10^{-13}$ pour un avion de ligne à 250 m/s. Pourtant, des horloges atomiques transportées autour du monde en 1971 ont avancé ou retardé de quelques dizaines à quelques centaines de nanosecondes, comme prévu une fois la gravitation prise en compte.

À l'autre extrême, rien n'a failli : les protons de 6,8 TeV du Grand collisionneur de hadrons ont $\gamma \approx 7250$ et traînent derrière la lumière de moins de 3 m/s, et des muons qui circulent dans un anneau de stockage à $\gamma \approx 29$ vivent 29 fois plus longtemps qu'au repos.

La mécanique quantique fixe la dernière limite. Au-dessus d'une énergie de collision de $2m{c}^2$ dans le référentiel du centre de masse, soit 1,02 MeV pour des électrons, une particule et son antiparticule peuvent apparaître. Seule l'union de la relativité et de la mécanique quantique peut décrire cela, et cette union a prédit l'antimatière avant sa découverte en 1932.

Où cela mène

La leçon La gravitation, courbure de l'espace-temps conserve l'intervalle mais laisse l'espace-temps se courber : la chute libre suit alors les lignes d'univers les plus droites possibles, et les horloges dépendent de l'altitude. La leçon Fission, fusion et E = mc² transforme l'énergie de masse en puissance des réacteurs et des étoiles : fusionner de l'hydrogène en hélium libère 0,7 % de la masse. Les leçons Effet photoélectrique et Dualité onde-corpuscule donnent à la lumière l'énergie $E=hf$ et la quantité de mouvement $p=E/c=h/\lambda$, le cas sans masse de la quadri-impulsion. Dans la leçon Particules et forces : le modèle standard, la conservation de la quadri-impulsion sert à trouver des particules qui ne laissent aucune trace. En remontant en arrière, les leçons Force magnétique sur une charge en mouvement et Ondes électromagnétiques contiennent les champs qui se mélangent et la vitesse $c$ d'où tout est parti.