Электромагнитные волны

Начальный

Откуда берётся радиоволна? Представьте металлический стержень, подключённый к переменному напряжению. Электроны гонит вверх по стержню, потом вниз, потом снова вверх, и его концы по очереди становятся то положительными, то отрицательными. Вокруг стержня есть электрическое поле, и при каждой смене зарядов оно меняет направление. Старое поле не исчезает: оно уходит от стержня, а за ним возникает новое. Наружу бежит рябь электрического поля. А пока электроны мчатся вдоль стержня, они образуют ток, который создаёт магнитное поле, — поэтому наружу уходит и магнитная рябь. Вместе они и есть электромагнитная волна.

В анимации роль антенны играет колеблющийся заряд слева. Синяя волна и стрелки показывают электрическое поле, красная волна — магнитное. Они растут и спадают вместе, перпендикулярно друг другу и направлению движения волны.

Вдали электрическое поле раскачивает электроны в автомобильной антенне, и радиоприёмник снова превращает это крошечное дрожание в звук. Чтобы передавать музыку, станция меняет силу своей волны (АМ) или её частоту (ЧМ). Этим волнам не нужен воздух: они пересекают пустое пространство, и все — со скоростью света, около 300 000 км в секунду.

Радио — лишь один член большой семьи. От длинных волн к коротким: радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолет, рентгеновские и гамма-лучи. Цветная шкала показывает этот спектр; глаз видит лишь узкую радужную полоску.

Проверьте себя: что быстрее пересекает космос — радиоволны или рентгеновские лучи? (Ни то ни другое: всё движется со скоростью света.)

Средний

Что колеблется

Электромагнитная (ЭМ) волна — это бегущая картина электрического поля $\vec{E}$, в вольтах на метр (В/м), и магнитного поля $\vec{B}$, в теслах (Тл). Вещество при этом не перемещается: в каждой точке поля нарастают, убывают и меняют направление, а картина бежит дальше. Обнаруживают волну по тому, как $\vec{E}$ толкает электроны в антенне или в вашем глазу.

Бежать ей позволяют два закона. Как показал урок «Электромагнитная индукция», меняющееся магнитное поле порождает электрическое; Максвелл понял, что и меняющееся электрическое поле точно так же порождает магнитное. Каждое изменение создаёт другое поле чуть дальше, поэтому возмущение уходит само, без проводов и без среды.

Начинают всё ускоренные заряды: электроны, которые переменное напряжение гоняет вверх и вниз по антенне, или золотой заряд слева в анимации. Покоящийся заряд и постоянный ток создают лишь постоянные поля.

Поперечная, синфазная, с одной скоростью

В вакууме у любой ЭМ-волны три свойства, и все они видны в анимации:

• Она поперечна: $\vec{E}$ (синее, вертикальное) и $\vec{B}$ (красное, горизонтальное, нарисованное в перспективе) перпендикулярны друг другу и направлению движения — стрелке $c$.
• Поля колеблются в фазе: они достигают максимумов и проходят через нуль в одних и тех же местах и в одни и те же моменты.
• Она движется со скоростью $c=3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ независимо от частоты.

Волна распространяется вдоль $\vec{E}\times \vec{B}$: поверните пальцы правой руки от $\vec{E}$ к $\vec{B}$, и большой палец покажет направление. Если $\vec{E}$ направлено вверх по странице, а $\vec{B}$ — из страницы к вам, волна идёт вправо; через полпериода оба вектора разворачиваются, и волна по-прежнему идёт вправо. По направлению $\vec{E}$ определяют поляризацию; в анимации она вертикальная.

Скорость следует из этих двух законов: $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$, где ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$ и ${\mu }_0=1,26\times 10^{-6}\mathrm{Гн}/\mathrm{м}$ — постоянные электрических сил между зарядами и магнитных сил между токами, измеренные с помощью батарей и катушек. Вместе они дают $3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — скорость света; в 1860-х годах это убедило Максвелла, что свет — электромагнитная волна.

Рабочие уравнения

Основную работу на этом уровне выполняют три соотношения:

• $c=f\lambda$
• $E=cB$
• $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

Первое — правило из урока «Волны: основные понятия»: за один период волна продвигается на одну длину волны. Поскольку $c$ неизменна, удвоение частоты вдвое уменьшает длину волны: вдоль шкалы спектра вправо $\lambda$ убывает, а $f$ растёт.

Второе выполняется в каждой точке и в каждый момент. В теслах $B$ выглядит крошечным — 10 нТл рядом с 3,0 В/м, — но величины в разных единицах сравнивать нельзя. Энергии сравнивать можно: плотности $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ и $B^2/(2{\mu }_0)$ в точности равны, так что каждое поле несёт половину энергии.

Третье выражает через амплитуду $E_0$ интенсивность $I$ — среднюю мощность на квадратный метр (Вт/м²); множитель $\frac{1}{2}$ — это среднее значение ${\sin }^2$ за период. Удвойте $E_0$ — и мощность вырастет вчетверо.

Пример: зелёный свет из анимации

В анимации моделируется зелёный свет с $\lambda =550\mathrm{нм}$ — это расстояние от гребня до гребня, которое отмечает линейка. В метрах $550\mathrm{нм}=5,50\times 10^{-7}\mathrm{м}$, поэтому частота и период равны
$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{5,50\times 10^{-7}}\approx 5,45\times 10^{14}\mathrm{Гц}$
$T=\frac{1}{f}\approx 1,83\times 10^{-15}\mathrm{с}$

Именно эта частота написана на панели. Настоящий период длится меньше двух фемтосекунд, а нарисованный — 2 с, поэтому картинка идёт примерно в $10^{15}$ раз медленнее самого света.

Амплитуда поля равна $E_0=3,0\mathrm{В}/\mathrm{м}$, поэтому амплитуда магнитного поля и интенсивность равны
$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{3,0}{3,00\times 10^8}=1,0\times 10^{-8}\mathrm{Тл}=10\mathrm{нТл}$
$I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2\approx 1,2\times 10^{-2}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

В точке P числовые индикаторы колеблются между $+3,0$ и $-3,0\mathrm{В}/\mathrm{м}$ и между $+10$ и $-10\mathrm{нТл}$: когда $E$ показывает 1,5 В/м, $B$ показывает 5,0 нТл, а через нуль оба проходят одновременно. Стрелки, по одной на каждую восьмую длины волны (в настоящей волне это 69 нм), растут и убывают синхронно. Значение 12 мВт/м² на экспертном уровне — это тусклый свет, примерно в 80 000 раз слабее солнечного.

Пример: FM-радио и микроволновая печь

FM-станция вещает на частоте 100 МГц. Сначала переведём единицы, $100\mathrm{МГц}=1,00\times 10^8\mathrm{Гц}$; тогда
$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3,00\times 10^8}{1,00\times 10^8}=3,0\mathrm{м}$

Если принять 100 МГц за $10^7\mathrm{Гц}$, получится 30 м — в десять раз больше. Поэтому четвертьволновая автомобильная антенна имеет длину 75 см. Примерно в 30 км от передатчика мощностью 100 кВт амплитуда составляет около 0,10 В/м, откуда $B_0=0,10/(3,00\times 10^8)\approx 3,3\times 10^{-10}\mathrm{Тл}$ и $I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 0,10^2\approx 1,3\times 10^{-5}\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$. Сигнал шёл до вас $3,0\times 10^4/(3,00\times 10^8)=1,0\times 10^{-4}\mathrm{с}$.

Микроволновая печь работает на частоте 2,45 ГГц, и длина волны в ней $\lambda =3,00\times 10^8/(2,45\times 10^9)\approx 0,122\mathrm{м}$. Отражаясь внутри металлической камеры, волны образуют стоячую картину, в которой горячие пятна отстоят друг от друга на полволны, около 6,1 см. Уберите вращающийся поддон, ненадолго нагрейте слой шоколада и измерьте расстояние между размягчёнными пятнами: $2\cdot 0,061\cdot 2,45\times 10^9\approx 3,0\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — скорость света, измеренная на кухне.

Как читать шкалу спектра

Шкала внизу выстраивает семейство волн по длине: длинные слева; у каждого диапазона своя длина волны, но все волнистые линии бегут с одной скоростью. Границы между диапазонами условны:

• Радиоволны, длиннее примерно 1 м: волны АМ-радио около 300 м, волны FM-радио 3 м.
• Микроволны (СВЧ), от 1 мм до 1 м: радары, мобильные телефоны, Wi-Fi и микроволновые печи.
• Инфракрасное излучение (ИК), от 700 нм до 1 мм: тепловое излучение, у вашей кожи оно сильнее всего около 10 мкм.
• Видимый свет, всего от 400 до 700 нм: узкая радужная полоса в рамке.
• Ультрафиолет (УФ), короче 400 нм, затем рентгеновские и гамма-лучи; самые короткие из них намного меньше атома.

При движении вправо растёт и энергия каждого фотона $hf$ ($h=6,63\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$ — постоянная Планка). Что волна делает с молекулой, решает эта энергия, а не интенсивность: видимые фотоны с энергией около 2 эВ обеспечивают зрение, а ионизируют большинство атомов лишь фотоны выше примерно 10 эВ (ультрафиолет короче примерно 124 нм, рентген, гамма-лучи).

Частые ошибки

• ЭМ-волнам не нужна среда: солнечный свет пересекает 150 миллионов км почти пустого пространства за 8,3 минуты.
• Более высокая частота не значит большей скорости: радиоэхо и лазерный импульс, отражённые от Луны, возвращаются через одно и то же время, около 2,6 с.
• Магнитным полем нельзя пренебрегать: 10 нТл рядом с 3,0 В/м несут столько же энергии. Зато его сила, действующая на электрон со скоростью $v$, составляет не более $v/c$ от электрической силы, поэтому поляризацию задаёт $\vec{E}$.
• Стекло меняет скорость и длину волны, но не частоту: при $n=1,5$ зелёный свет замедляется до $2,0\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а 550 нм сжимаются примерно до 367 нм, тогда как $f$ остаётся равной $5,45\times 10^{14}\mathrm{Гц}$.
• «Излучение» не значит «радиоактивность», и мощность не делает волну ионизирующей: фотоны печи мощностью 1000 Вт несут $10^{-5}\mathrm{эВ}$, а один рентгеновский фотон — десятки кэВ.

Где это встречается

Радио, телевидение, мобильные телефоны, Wi-Fi, спутниковая навигация (19 см), радары и микроволновые печи используют длинноволновый край спектра. Пульты дистанционного управления, оптоволоконные линии связи (1,55 мкм) и тепловизоры работают в инфракрасном диапазоне; ультрафиолетовые лампы обеззараживают воду, рентген показывает кости и кристаллы, а гамма-лучи лечат опухоли.

Этот урок — мост между электричеством и оптикой. Урок «Поляризация света» прослеживает направление $\vec{E}$; уроки «Интерференция и суперпозиция волн» и «Дифракция и опыт Юнга» складывают поля нескольких волн; «Отражение и преломление» провожает волну в вещество. «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты» и «Фотоэффект» показывают, что свет излучается и поглощается порциями энергии $hf$.

Продвинутый

Уравнения Максвелла в пустом пространстве

Свет, радиоволны и рентгеновские лучи — всё это волны электрического и магнитного полей. Чтобы понять, почему такие волны существуют и почему все они бегут с одной и той же скоростью, начнём с законов электромагнетизма в области, где нет ни зарядов, ни токов. Там они принимают удивительно симметричный вид:
$\nabla \cdot \vec{E}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Здесь $\vec{E}$ — электрическое поле, $\vec{B}$ — магнитное, а ${\mu }_0$ и ${\epsilon }_0$ — магнитная и электрическая постоянные пустого пространства. Прочтём законы по одному. Первые два — законы Гаусса: когда зарядов нет, в области ни одна линия поля не начинается и не кончается. Третий — закон Фарадея: магнитное поле, меняющееся во времени, порождает электрическое поле, которое закручивается вокруг него. Четвёртый — закон Ампера с добавкой Максвелла, током смещения ${\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$: электрическое поле, меняющееся во времени, порождает магнитное поле, которое закручивается вокруг него. Два последних закона вместе позволяют каждому полю поддерживать другое без всяких зарядов поблизости, а именно это и нужно волне.

Добавка Максвелла — не произвольный выбор: её требует сохранение заряда. При наличии зарядов четвёртый закон имеет вид $\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$, где $\vec{J}$ — плотность тока. Возьмём дивергенцию обеих частей. Слева она равна нулю, потому что дивергенция ротора всегда нулевая. Справа закон Гаусса $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$, где $\rho$ — плотность заряда, превращает второе слагаемое в ${\mu }_0\partial \rho /\partial t$. Остаётся $\nabla \cdot \vec{J}+\partial \rho /\partial t=0$: заряд, вытекающий из любого малого объёма, в точности равен заряду, убывающему внутри него. Без добавки Максвелла тот же шаг потребовал бы $\nabla \cdot \vec{J}=0$, а это неверно у пластины заряжающегося конденсатора, куда ток приходит, а уходит — нет.

Почему фронт движется со скоростью света

Обозначения

$\sigma$	Заряд на единицу площади движущегося листа.	$\mathrm{Кл}/{\mathrm{м}}^2$
$v_s$	Скорость листа; на верхнем виде она направлена вниз по странице.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v$	Скорость фронта — края области, где есть поле.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{E}$	Электрическое поле за фронтом: на верхнем виде вверх, на нижнем — из страницы.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле за фронтом: на верхнем виде из страницы, на нижнем — вниз.	$\mathrm{Тл}$
$L$	Высота контура, измеренная вдоль фронта.	$\mathrm{м}$
$vdt$	Расстояние, на которое фронт продвигается за короткое время $dt$: ширина заштрихованной полосы.	$\mathrm{м}$

Прежде чем решать какие-либо уравнения, мысленный эксперимент покажет, как изменение одного поля создаёт другое и как пара полей уходит вместе. В нём используются лишь контурные формы закона Фарадея и закона Ампера — Максвелла, и он сразу даёт скорость фронта.

Сначала источник. Бесконечный плоский лист лежит в плоскости $yz$; на рисунке 1 он виден с ребра — оранжевая линия слева. Направим $x$ вправо, от листа, $y$ — вверх по странице, $z$ — из страницы к нам. Лист несёт заряд $\sigma$ на квадратный метр и лежит на неподвижном листе противоположного заряда, поэтому в покое снаружи поля нет. В момент $t=0$ заряженный лист рывком приводят в движение вниз по странице, вдоль $-y$, с постоянной скоростью $v_s$. Движущийся лист заряда — это ток, поэтому сразу включается ток $\sigma v_s$ на метр ширины. Рядом с листом закон Ампера даёт поле токового листа, $B={\mu }_0\sigma v_s/2$, направленное из страницы, вдоль $z$.

Дальше от листа поле не может появиться сразу везде. Поэтому предположим, что оно заполняет область за плоским фронтом, который уходит от листа с неизвестной скоростью $v$ (штриховая линия): за фронтом поле однородно, перед ним равно нулю. Оба закона для контуров определят и $v$, и электрическое поле, которое должно сопровождать $\vec{B}$.

На рисунке 1 один и тот же фронт нарисован с двух направлений, и каждый раз поперёк него лежит прямоугольный контур высотой $L$. За короткое время $dt$ фронт продвигается на $vdt$, и контур захватывает заштрихованную полосу поля площадью $Lvdt$.

Верхний вид смотрит вдоль $z$. Контур лежит в плоскости $xy$, поэтому $\vec{B}$ (точки в кружках, из страницы) пронизывает его, и магнитный поток через контур растёт на $BLvdt$, то есть со скоростью $BLv$. По закону Фарадея меняющемуся потоку нужно электрическое поле, циркулирующее вдоль контура. Стороны вдоль $x$ ничего не дают, потому что $\vec{E}$, направленное вдоль $y$, перпендикулярно им, а сторона перед фронтом лежит там, где поля нет. Учитывается только сторона длиной $L$ за фронтом, поэтому $EL=BLv$.

Нижний вид смотрит сверху вниз вдоль $y$. Теперь контур лежит в плоскости $xz$, его пронизывает $\vec{E}$ (здесь из страницы), а $\vec{B}$ направлено вдоль стороны контура за фронтом. Та же полоса добавляет электрический поток со скоростью $ELv$. Через этот контур не течёт ток, поэтому по закону Ампера — Максвелла циркуляция $\vec{B}$ равна ${\mu }_0{\epsilon }_0$, умноженному на эту скорость; снова учитывается только сторона за фронтом, так что $BL={\mu }_0{\epsilon }_{0}ELv$. Нарисованные направления — те, при которых оба закона имеют правильные знаки; здесь важны лишь величины.

Сократим $L$, и два условия примут вид
$E=vB,B={\mu }_0{\epsilon }_{0}vE$
Подставим первое во второе: $B={\mu }_0{\epsilon }_0{v}^{2}B$. Оба равенства выполняются вместе, только если $v^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$:
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3,00\cdot 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Ничто в этом выводе не зависит ни от $\sigma$, ни от $v_s$, ни от того, как резко начал двигаться лист: как бы сильно его ни дёрнули, у фронта лишь эта одна скорость, составленная из двух констант, которые измеряют с зарядами и токами. Максвелл заметил, что она равна измеренной скорости света, и заключил, что свет — электромагнитная волна.

За фронтом $E=cB=\sigma v_s/(2{\epsilon }_{0}c)$, поскольку ${\mu }_{0}c=1/({\epsilon }_{0}c)$. Поле $\vec{E}$ направлено против скорости листа — на рисунке 1 вверх по странице, — а $\vec{E}\times \vec{B}$ указывает от листа, туда, куда движется фронт. Обратите внимание, что именно запоминает поле: как быстро движется лист, а не где он находится. Поэтому, если лист остановится через время $\tau$, за первым фронтом последует второй, противоположного знака, и между ними слой поля толщиной $c\tau$ уходит дальше, хотя рядом нет никаких зарядов. Если трясти лист вверх и вниз, уходящее поле повторяет историю его скорости с запаздыванием $x/c$ на расстоянии $x$: получается плоская волна.

Волновое уравнение

Лист породил плоский фронт. Дифференциальная форма законов показывает, что картина поля любой формы бежит с той же скоростью. Возьмём ротор от закона Фарадея. Слева воспользуемся тождеством $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$, первое слагаемое которого исчезает, так как $\nabla \cdot \vec{E}=0$. Справа поменяем местами ротор и производную по времени и подставим четвёртый закон вместо $\nabla \times \vec{B}$. Знаки минус сокращаются, и получаем
${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

Это волновое уравнение из урока «Волны: основные понятия», в котором вместо $v^2$ стоит $1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$, поэтому любое решение бежит со скоростью $c$. Те же шаги, начатые с четвёртого закона, дают такое же уравнение для $\vec{B}$. Знак минус в законе Фарадея существен: он означает, что наведённые поля противодействуют вызвавшему их изменению. Будь там плюс, решения не бежали бы, а росли или затухали экспоненциально, и волн не было бы.

Плоская волна: два поля в фазе, под прямым углом

Обозначения

$x$	Ось вдоль направления движения волны.	$\mathrm{м}$
$y$	Ось, вдоль которой колеблется $\vec{E}$.
$z$	Ось, вдоль которой колеблется $\vec{B}$; она направлена на вас и нарисована вниз и влево.
$\vec{E}$	Электрическое поле волны.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле волны, колеблющееся в фазе с $\vec{E}$.	$\mathrm{Тл}$
$E_0$	Амплитуда электрического поля.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$B_0$	Амплитуда магнитного поля, равная $E_0/c$.	$\mathrm{Тл}$
$\lambda$	Длина волны: расстояние от одного гребня до следующего.	$\mathrm{м}$
$c$	Скорость волны, направленная вдоль её движения.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Простейшее решение — синусоидальная плоская волна — показывает, как расположены $\vec{E}$ и $\vec{B}$ в любом свете. На рисунке 2 заморожена волна, бегущая вдоль $x$, в момент $t=0$:
$E=E_0\sin (kx-\omega t),\omega =ck$
Здесь $k=2\pi /\lambda$ — волновое число, а $\omega$ — циклическая частота; $\omega =ck$ — то, чего волновое уравнение требует от такой волны.

На рисунке оси образуют правую тройку, причём $z$ направлена на вас (нарисована вниз и влево по странице). Электрическое поле $\vec{E}$ (синее) колеблется вдоль $y$, магнитное $\vec{B}$ (красное) — вдоль $z$. Обе кривые — синусоиды с одинаковой длиной волны $\lambda$, расстоянием от одного гребня до следующего, и они проходят через нуль и достигают максимума в одних и тех же местах. У амплитуд $E_0$ и $B_0$ разные единицы, поэтому нарисованные длины сравнивать нельзя.

Почему $\vec{E}$ направлено поперёк движения? В плоской волне поля зависят только от $x$ и $t$. Тогда закон Гаусса сводится к $\nabla \cdot \vec{E}=\partial E_x/\partial x=0$, а $x$-составляющая закона Ампера — Максвелла даёт $\partial E_x/\partial t=0$, потому что у ротора такого поля нет $x$-составляющей. Значит, $E_x$ — в лучшем случае константа, не относящаяся к волне: волна поперечна, и $\vec{E}$ можно направить вдоль $y$.

Почему $\vec{B}$ направлено вдоль $z$ и колеблется в такт с $\vec{E}$? $z$-составляющая закона Фарадея даёт $\partial B_z/\partial t=-\partial E_y/\partial x=-k{E}_0\cos (kx-\omega t)$. Интегрируя по времени, получаем колеблющееся решение $B_z=(k/\omega )E_0\sin (kx-\omega t)$; $y$-составляющая даёт $\partial B_y/\partial t=0$, так что колеблющегося $B_y$ нет. Поскольку $\omega /k=c$,
$E=cB$

Значит, $\vec{B}$ перпендикулярно $\vec{E}$ и совпадает с ним по фазе, причём $B_0=E_0/c$, а $\vec{E}\times \vec{B}$ направлено вдоль $+x$, куда бежит волна (на рисунке отмечено $c$). Для волны, идущей к $-x$, те же шаги дают $B_z=-E_y/c$: если изменить направление движения, $\vec{B}$ по отношению к $\vec{E}$ меняет знак.

График экспертного уровня в анимации показывает ту же волну во времени, а не в пространстве: $E$ в точке P — синусоида с амплитудой 3,0 В/м, каждый из двух циклов которой длится 1,83 фс, то есть один период зелёного света с длиной волны 550 нм. Точка P лежит в двух длинах волны от начала волны, поэтому там $kx=4\pi$, и кривая имеет вид $E=E_0\sin (4\pi -\omega t)=-E_0\sin \omega t$: она начинается с нуля и сначала уходит вниз. Это моментальный снимок, прочитанный в обратную сторону. Волна идёт к $+x$, поэтому следующей к P приходит та часть волны, что лежит сразу слева от неё, которая при $t=0$ лежит ниже оси. Индикатор $B$ повторяет кривую, и в каждый момент $E/B=c$.

Энергия, интенсивность и импульс

Обозначения

$c\Delta t$	Длина трубки: расстояние, на которое волна продвигается за время $\Delta t$.	$\mathrm{м}$
$A$	Сечение трубки: площадка, через которую проходит энергия.	${\mathrm{м}}^2$
$u$	Энергия на единицу объёма, запасённая в поле внутри трубки.	$\mathrm{Дж}/{\mathrm{м}}^3$
$\vec{E}$	Электрическое поле волны внутри трубки.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\vec{S}$	Мощность на единицу площади через грань, направленная вдоль движения волны.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$c$	Скорость волны и переносимой ею энергии.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Волна уносит энергию от источника; так солнечный свет согревает Землю. Чтобы найти, какая мощность проходит через каждый квадратный метр, на рисунке 3 прослеживается энергия через площадку площадью $A$, поставленную поперёк пути волны.

Поля запасают энергию с плотностью $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+B^2/(2{\mu }_0)$, в джоулях на кубический метр: те же выражения, что и для поля в конденсаторе и в катушке. Вся картина движется со скоростью $c$, не меняя формы, поэтому за время $\Delta t$ через грань $A$ проходит вся энергия трубки с сечением $A$ и длиной $c\Delta t$, лежащей за ней, то есть $uAc\Delta t$. Разделив на $A$ и на $\Delta t$, получаем мощность на квадратный метр, равную $cu$.

Теперь воспользуемся связью плоской волны $B=E/c$ вместе с $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$. Магнитное слагаемое становится $B^2/(2{\mu }_0)=E^2/(2{\mu }_0{c}^2)=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$, так что две половины $u$ равны, $u={\epsilon }_0{E}^2$, и мощность на квадратный метр равна $c{\epsilon }_0{E}^2$. Теорема Пойнтинга — закон сохранения энергии для полей — записывает это в общем виде как вектор $\vec{S}$ с рисунка:
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$

Для плоской волны его модуль равен $EB/{\mu }_0=E^2/({\mu }_{0}c)=c{\epsilon }_0{E}^2$, как мы нашли выше, и направлен он вдоль движения волны.

Поле видимого света меняет знак около $10^{15}$ раз в секунду, слишком быстро для любого детектора, поэтому измеряют среднее за много периодов. Среднее значение ${\sin }^2$ за период равно одной второй, так что интенсивность равна
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

Для 3,0 В/м из анимации это те самые 12 мВт/м², что показаны на панели, а средняя плотность энергии равна $4,0\times 10^{-11}\mathrm{Дж}/{\mathrm{м}}^3$. Солнечному свету у земли, около 1,0 кВт/м², соответствует $E_0\approx 870\mathrm{В}/\mathrm{м}$ и амплитуда магнитного поля 2,9 мкТл.

Поля несут и импульс, $S/c^2$ в каждом кубическом метре. Двигаясь со скоростью $c$, этот импульс поступает на поверхность в количестве $S/c$ на квадратный метр в секунду. Чёрная поверхность поглощает его и потому испытывает давление $I/c$; зеркало отражает его назад и испытывает вдвое большее. Солнечный свет создаёт на чёрной поверхности у земли давление 3,3 мкПа; на зеркало над атмосферой, где интенсивность равна 1361 Вт/м², действует сила около 9 Н на квадратный километр. Этот крошечный, но непрерывный толчок движет солнечные паруса и относит пылевые хвосты комет от Солнца.

Излучение ускоренных зарядов

Обозначения

$q$	Заряд, который толкают.	$\mathrm{Кл}$
$O$	Точка, где заряд покоился до толчка.
$a$	Ускорение заряда во время толчка.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$vt$	Расстояние, на которое заряд отошёл от $O$ к моменту $t$.	$\mathrm{м}$
$ct$	Радиус внешней сферы: расстояние, пройденное вестью о толчке за время $t$.	$\mathrm{м}$
$c\tau$	Толщина оболочки: расстояние, которое весть проходит за время толчка $\tau$.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Угол между линией поля и линией толчка.	$\mathrm{рад}$
$\vec{E}$	Боковое поле в оболочке — поле излучения: направлено противоположно боковой составляющей ускорения.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$c$	Скорость, с которой оболочка и излом в ней расширяются наружу.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

До сих пор волны просто предполагались. Этот раздел показывает, откуда они берутся: от зарядов, скорость которых меняется. У покоящегося заряда есть кулоновское поле. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, несёт это поле с собой, ведь в своей системе отсчёта он покоится. Волну излучает только ускорение, и рисунок 4 показывает почему.

Заряд $q$ покоится в точке $O$ до момента $t=0$. Затем его толкают вдоль $x$ с ускорением $a$ в течение короткого времени $\tau$, и дальше он движется по инерции с малой скоростью $v=a\tau$, так что спустя время $t$ он находится на расстоянии $vt$ от $O$. На рисунке отношение $v/c$ преувеличено; рассуждение требует $v\ll c$.

Весть о толчке распространяется наружу со скоростью $c$, поэтому в момент $t$ линии поля (нарисованные в сечении) делятся на три области. Снаружи сферы радиуса $ct$ с центром в $O$ весть ещё не дошла: линии по-прежнему расходятся от $O$, то есть от того места, где был бы заряд, если бы вообще не двигался. Внутри сферы радиуса $c(t-\tau )$ заряд, насколько об этом знает поле, всё время двигался равномерно, и его линии расходятся от того места, где он находится сейчас. В тонкой оболочке толщиной $c\tau$ между двумя сферами каждая линия должна соединить свою внешнюю часть с внутренней, и поскольку эти две части смещены, линия идёт через оболочку вбок. Этот боковой участок и есть излом.

Прочтём его размер по рисунку. Линия, выходящая под углом $\theta$ к линии толчка, смещена вбок на $vt\sin \theta$ — это часть смещения $vt$ поперёк линии, — и это смещение происходит в оболочке толщиной всего $c\tau$. В оболочке поле идёт вдоль линии, поэтому отношение его боковой части $E_{\perp }$ к радиальной $E_r$ равно отношению этих двух длин. Используя $v=a\tau$ и $r=ct$ для радиуса оболочки, получаем
$\frac{E_{\perp }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$
Радиальная часть по-прежнему кулоновское поле, $E_r=q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$, потому что по закону Гаусса оболочка пропускает столько же линий поля, сколько и раньше. Перемножив эти две величины, получаем боковое поле — стрелку $\vec{E}$ на рисунке.

Посмотрим на степени $r$. Радиальная часть убывает как $1/r^2$, а боковая — лишь как $1/r$, потому что смещение $vt$ растёт по мере расширения оболочки, а её толщина остаётся равной $c\tau$. Поэтому вдали от заряда преобладает излом. Это и есть поле излучения, и вместе с оболочкой оно уходит наружу со скоростью $c$.

Для толчка, плавно меняющегося во времени, и для скоростей, много меньших $c$, то же рассуждение даёт поле на расстоянии $r$ под углом $\theta$ к линии ускорения:
$E(r,t)=\frac{qa(t-r/c)\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$
Здесь бросаются в глаза три вещи. Поле поперечно и для положительного заряда направлено противоположно боковой составляющей ускорения. Оно определяется ускорением в более ранний момент $t-r/c$, когда весть вышла в путь. А его интенсивность, пропорциональная $E^2$, убывает как ${\sin }^2\theta /r^2$: она равна нулю вдоль линии ускорения и наибольшая под прямым углом к ней. Поэтому вертикальная радиомачта, в которой заряды бегают вверх и вниз, посылает сигнал вдоль земли.

Полная мощность получается сложением интенсивности $c{\epsilon }_0{E}^2$ по сфере радиуса $r$. Площадь сферы, пропорциональная $r^2$, сокращает $1/r^2$, а ${\sin }^2\theta$ в среднем по всем направлениям равен двум третям, что и даёт формулу Лармора:
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

Закон $1/r$ позволяет энергии уходить: мощность через сферу, пропорциональная $E^2{r}^2$, одинакова на любом радиусе, тогда как поле, убывающее как $1/r^2$, ничего не унесло бы на большие расстояния. Поэтому свет звёзд доходит до нас спустя много световых лет.

В анимации золотой заряд колеблется, поэтому его ускорение $a=-{\omega }^{2}y$ всегда противоположно смещению $y$. Излучённое поле противоположно ускорению, значит, оно повторяет смещение: синяя волна рядом с зарядом поднимается и опускается вместе с ним, а точка P, находящаяся в двух длинах волны, получает каждое движение с запаздыванием в два периода (3,7 фс). По тому же правилу работают синхротронное излучение и рентгеновские трубки.

Задача: зелёная лампа мощностью 1 Вт

Маленькая лампа излучает зелёный свет с длиной волны 550 нм и мощностью $P=1,0\mathrm{Вт}$ одинаково во все стороны. На каком расстоянии амплитуда её поля равна 3,0 В/м, как в анимации? Что изменится на вдвое большем расстоянии? Какая сила действует там на чёрную карточку площадью 1,0 см², обращённую к лампе, и сколько фотонов она поглощает за секунду?

На расстоянии $r$ ватт распределяется по сфере площадью $4\pi r^2$, поэтому $I=P/(4\pi r^2)$. Приравняем это к $\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ и решим уравнение относительно $r$:
$r=\sqrt{\frac{P}{2\pi c{\epsilon }_0{E}_0^2}}=\sqrt{\frac{1,0}{2\pi \cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2}}\approx 2,6\mathrm{м}$

На расстоянии 5,2 м тот же ватт проходит через сферу вчетверо большей площади, поэтому интенсивность падает вчетверо, до 3,0 мВт/м². Амплитуда пропорциональна квадратному корню из интенсивности, так что она уменьшается лишь вдвое, до 1,5 В/м, как и требует закон $1/r$.

Вернёмся к 2,6 м. Там интенсивность равна 12 мВт/м², поэтому карточка поглощает $1,2\times 10^{-2}\cdot 1,0\times 10^{-4}=1,2\times 10^{-6}\mathrm{Вт}$. Поглотитель испытывает давление $I/c$, так что сила равна поглощённой мощности, делённой на $c$: $F=1,2\times 10^{-6}/(3,00\times 10^8)=4,0\times 10^{-15}\mathrm{Н}$. Давление, $4,0\times 10^{-11}\mathrm{Па}$, равно средней плотности энергии пучка, как и для любого поглотителя, ведь обе величины равны $I/c$.

Частота света $f=c/\lambda =5,45\times 10^{14}\mathrm{Гц}$, и каждый фотон несёт энергию $hf$, где $h$ — постоянная Планка: $hf=6,63\times 10^{-34}\cdot 5,45\times 10^{14}\approx 3,6\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, около 2,3 эВ. Значит, карточка поглощает $1,2\times 10^{-6}/(3,6\times 10^{-19})\approx 3,3\times 10^{12}$ фотонов в секунду. Их так много, что зернистость незаметна, и гладкая классическая волна оказывается превосходным описанием.

Границы применимости

Классическая теория описывает распространение, интерференцию, дифракцию и поляризацию на любых частотах. Она перестаёт работать там, где вещество обменивается с полем энергией, потому что это происходит порциями $hf$: 2,3 эВ для зелёного света, $4\times 10^{-7}\mathrm{эВ}$ для FM-радио, десятки кэВ для медицинского рентгена. Чтобы потерять электрон, большинству атомов нужно примерно 10 эВ, поэтому ионизируют лишь волны короче примерно 124 нм, каким бы слабым ни был пучок. Когда фотонов мало, волна определяет лишь вероятность обнаружить один из них.

Не работает она и внутри атомов. Электрон, обращающийся как в классическом атоме водорода, с $a\approx 9,0\times 10^{22}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, по формуле Лармора излучал бы $4,7\times 10^{-8}\mathrm{Вт}$ и по спирали упал бы на ядро примерно за 16 пс. Атомы устойчивы; объяснение этого начинается в уроке «Модели атома: атом Бора».

В веществе волна замедляется до $c/n$, причём $n$ зависит от частоты; проводники её поглощают: морская вода ослабляет волну частотой 10 кГц в $e$ раз примерно на каждых 2,5 м, поэтому подводные лодки используют очень низкие частоты. В вакууме уравнения линейны, и пучки пересекаются, не мешая друг другу. Наконец, $c$ точна: с 1983 года метр определён так, что $c=299792458\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Что дальше

Уравнения Максвелла задают скорость $c$, не говоря, относительно чего; в уроке «Специальная теория относительности» она становится одинаковой для всех инерциальных наблюдателей, а при смене системы отсчёта $\vec{E}$ и $\vec{B}$ смешиваются. Урок «Поляризация света» прослеживает направление $\vec{E}$; уроки «Интерференция и суперпозиция волн» и «Дифракция и опыт Юнга» складывают поля; «Призмы, дисперсия и цвет» объясняет меньшую скорость в стекле тем, что электроны переизлучают, как лист выше. «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты», «Фотоэффект» и «Корпускулярно-волновой дуализм» берутся за кванты $hf$; «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» делает фотон переносчиком электромагнитного взаимодействия. Гравитационные волны (урок «Гравитация как искривление пространства-времени») тоже движутся со скоростью $c$: в 2017 году волны от слияния нейтронных звёзд и его гамма-излучение пришли с разницей менее 2 с.