Импульс и столкновения

Начальный

Почему тележку в супермаркете, гружённую бутылками, так трудно остановить, даже если она едет медленно, а быстрый мячик для пинг-понга легко поймать? Разберёмся за четыре шага.

Шаг 1. Умножьте массу тела на его скорость — получится импульс, его измеряют в килограмм-метрах в секунду. Как и у скорости, у импульса есть направление. Тяжёлое медленное тело и лёгкое быстрое могут нести одинаковый импульс: у тележки массой 4 кг при скорости 1 м/с он такой же, как у тележки массой 1 кг при 4 м/с.

Шаг 2. Чтобы изменить импульс, нужно толкать какое-то время, и чем дольше длится толчок, тем мягче он может быть. Поэтому, спрыгивая с забора, мы сгибаем колени: остановка длится дольше, и сила, действующая на нас, меньше.

Шаг 3. При столкновении два тела давят друг на друга одинаково сильно, в противоположные стороны и ровно одно и то же время. Поэтому импульс, который теряет одно тело, в точности приобретает другое, и суммарный импульс не меняется, пока не вмешается что-то внешнее — трение или стена. Это закон сохранения импульса.

Шаг 4. В анимации одно и то же столкновение показано дважды: лёгкая быстрая тележка налетает на тяжёлую неподвижную. С пружинным бампером лёгкая отскакивает назад, а тяжёлая укатывается; с липкой накладкой они едут дальше вместе, медленнее. Суммарный импульс в обоих случаях одинаков. Различается лишь энергия движения: упругий отскок её сохраняет, а при липком ударе часть её уходит в тепло, звук и вмятины.

Проверьте себя: неподвижная петарда разрывается на две равные половинки. Одна летит на восток. Что делает другая? (Летит на запад с той же скоростью, так что суммарный импульс остаётся нулевым.)

Средний

Импульс: масса, умноженная на скорость

Импульс тела — это произведение его массы на скорость:
$p=mv$

Импульс измеряют в килограмм-метрах в секунду (кг·м/с). Он направлен так же, как скорость: выберите положительное направление вдоль рельса, и у всего, что движется в обратную сторону, импульс окажется отрицательным. Масса и скорость могут заменять друг друга: тележка массой 1 кг из анимации, подъезжающая со скоростью 4 м/с, несёт $1\cdot 4=4\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$ — столько же, сколько несли бы обе тележки вместе, 4 кг, при скорости 1 м/с.

Импульс — это не кинетическая энергия. У $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ нет направления, и она растёт пропорционально квадрату скорости: у тележки массой 1 кг при 4 м/с она равна 8 Дж, а те же 4 кг·м/с, которые несут 4 кг при скорости 1 м/с, — всего 2 Дж.

Импульс силы и график силы от времени

Сила меняет импульс, и это изменение зависит от того, как долго она действует. Для постоянной силы второй закон Ньютона $F=ma=m\Delta v/\Delta t$ принимает вид $F\Delta t=\Delta p$. Произведение $F\Delta t$ называют импульсом силы $J$ и измеряют в ньютон-секундах (1 Н·с = 1 кг·м/с); если сила меняется, импульс силы равен площади под графиком зависимости силы от времени.

Одна и та же площадь может быть высокой и узкой или низкой и широкой. Человек массой 70 кг, спрыгнувший с высоты 1 м, приземляется со скоростью около 4,4 м/с, поэтому пол должен погасить около 310 кг·м/с. Если приземлиться на прямые ноги, тело остановится примерно за 0,02 с, и для этого нужна средняя равнодействующая сила около 15 кН — более чем в 20 раз больше веса тела; согнутые колени растягивают остановку до 0,3 с и уменьшают силу примерно до 1 кН.

Почему суммарный импульс сохраняется

Когда две тележки сталкиваются, каждая толкает другую. По третьему закону Ньютона эти силы в каждый момент равны по модулю и противоположны по направлению, а действуют они одно и то же время — пока длится контакт. Графики зависимости этих сил от времени зеркальны, поэтому импульсы сил тоже равны и противоположны: какой импульс приобретает тележка 2, такой же теряет тележка 1. Сумма до удара и после одна и та же:
$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$

Штрихом отмечены скорости после удара, и каждая скорость берётся со своим знаком. Закону безразлично, какие силы действуют между тележками — пружинные, липкие или взрывные. Нужно лишь, чтобы вдоль рельса не действовала внешняя сила или чтобы внешние силы были слишком слабыми или слишком кратковременными и ничего заметно не меняли: трение качения 0,3 Н за 0,16 с контакта меняет импульс примерно на 0,05 кг·м/с, то есть около 1 % суммы.

Упругие и неупругие удары

Закон сохранения импульса — это одно уравнение, а неизвестных конечных скоростей при центральном ударе две; второе условие касается кинетической энергии. При упругом ударе она сохраняется, как у стальных шаров или пружинных буферов. При неупругом ударе часть её переходит в тепло, звук и деформацию. При абсолютно неупругом ударе тела слипаются и движутся с одной общей скоростью.

Для этих двух случаев конечные скорости выражаются готовыми формулами; формулы упругого удара предполагают, что тело 2 вначале покоится.

• $v^{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}$
• $v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$

Первой формуле нужен только закон сохранения импульса; вторая опирается на оба закона, и из неё следует, что упругие тела расходятся с той же относительной скоростью, с какой сближались. Тела равной массы обмениваются скоростями, как шары в маятнике Ньютона. Лёгкое тело, налетевшее на гораздо более тяжёлое, отскакивает почти с прежней по модулю скоростью, как мяч от стены; тяжёлое тело, налетевшее на лёгкое, почти не замедляется, а лёгкое отлетает со скоростью почти $2v_1$.

Пример: два рельса из анимации

На обоих рельсах всё начинается одинаково: $m_1=1\mathrm{кг}$ подъезжает со скоростью $v_1=4\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а $m_2=3\mathrm{кг}$ стоит на месте. Суммарный импульс равен $1\cdot 4=4\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, а кинетическая энергия — $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4^2=8\mathrm{Дж}$.

На рельсе B липкая накладка соединяет тележки, и дальше они едут с одной общей скоростью:
$v^{\prime }=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{1+3}=1\mathrm{м}/\mathrm{с}$
Их кинетическая энергия теперь равна $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{Дж}$: 6 Дж ушли в тепло и на смятие накладки. На рельсе A пружинный буфер делает удар упругим:
$v_1^{\prime }=\frac{(1-3)\cdot 4}{1+3}=-2\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_2^{\prime }=\frac{2\cdot 1\cdot 4}{1+3}=2\mathrm{м}/\mathrm{с}$
Проверка: $1\cdot (-2)+3\cdot 2=4\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2^2=8\mathrm{Дж}$. Тележки сближались со скоростью 4 м/с и разлетаются со скоростью $2-(-2)=4\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Следите за стрелками. Синяя стрелка $p_1$ вначале имеет длину 4 деления, по одному делению на каждый кг·м/с; на рельсе B она укорачивается до 1, а на рельсе A сжимается до нуля и снова вырастает, уже влево, до 2 делений. Золотая стрелка $p_2$ вырастает до 3 делений на рельсе B и до 6 на рельсе A. Если приставить начало одной стрелки к концу другой, вместе они всегда дают 4 деления, а оба индикатора всё время показывают $p_1+p_2=4,0\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, даже во время контакта. Отскок требует вдвое большего импульса силы: за те же 0,16 с тележка 2 получает на рельсе A 6 кг·м/с, что означает среднюю силу $6/0,16=37,5\mathrm{Н}$, а на рельсе B — 3 кг·м/с, то есть 18,75 Н.

Пример: наезд сзади

Автомобиль массой 1500 кг, едущий со скоростью 20 м/с, врезается сзади в автомобиль массой 1000 кг, который едет в ту же сторону со скоростью 10 м/с, и машины сцепляются. За 0,1 с удара трение о дорогу пренебрежимо мало, поэтому импульс сохраняется:
$v^{\prime }=\frac{1500\cdot 20+1000\cdot 10}{1500+1000}=16\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Кинетическая энергия падает с $\frac{1}{2}\cdot 1500\cdot 20^2+\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot 10^2=350\mathrm{кДж}$ до $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 16^2=320\mathrm{кДж}$: 30 кДж уходят на смятие металла.

Теперь пусть маленькая машина едет навстречу, со скоростью $v_2=-10\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Сцепившиеся машины движутся со скоростью $(1500\cdot 20-1000\cdot 10)/2500=8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и сохраняют лишь $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 8^2=80\mathrm{кДж}$: теряется 270 кДж, в девять раз больше, потому что машины сближаются со скоростью 30 м/с, а не 10 м/с. На обе действует одна и та же средняя сила 180 кН, но скорость маленькой машины меняется на 18 м/с за 0,1 с — это замедление около $18g$, — а скорость большой только на 12 м/с.

Частые ошибки

• Забывать о знаке. На рельсе A маленькая тележка отскакивает со скоростью $-2\mathrm{м}/\mathrm{с}$; если считать эту скорость положительной, импульсы в сумме дадут $2+6=8\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$ вместо 4.
• Думать, что при липком ударе импульс исчезает. Сцепившиеся тележки на рельсе B по-прежнему несут 4 кг·м/с; исчезает кинетическая энергия — 6 из 8 Дж.
• Считать, что более тяжёлое или более быстрое тело толкает сильнее. Силы равны по модулю и противоположны, на рельсе A — по 37,5 Н на каждую тележку; просто скорость лёгкой тележки меняется сильнее: на 6 м/с против 2 м/с.
• Забывать о внешней силе, которая продолжает действовать. Падающий за 1 с мяч массой 0,5 кг набирает около 4,9 кг·м/с, потому что его притягивает Земля; постоянную сумму сохраняют только мяч и Земля вместе. Включайте в систему оба сталкивающихся тела.
• Применять формулы упругого удара к любому столкновению. Они предполагают, что кинетическая энергия не теряется, а мишень покоится; на рельсе B они предсказали бы $-2$ и $+2\mathrm{м}/\mathrm{с}$ вместо общей скорости 1 м/с.

Где это встречается

Подушки безопасности, шлемы и зоны деформации кузова удлиняют удар, чтобы то же изменение импульса требовало меньшей силы. Огнестрельное оружие испытывает отдачу: винтовка массой 4 кг, выпускающая пулю массой 10 г со скоростью 800 м/с, откатывается назад со скоростью $0,01\cdot 800/4=2\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Ракеты выбрасывают газы назад, чтобы двигаться вперёд, и воздух, от которого можно оттолкнуться, им не нужен. Дальше урок «Работа, энергия и мощность» проследит за кинетической энергией, которую удары сохраняют или теряют, а урок «Момент импульса и закон его сохранения» применит ту же идею к вращающимся телам.

Продвинутый

Второй закон Ньютона в импульсной форме

В этом разделе второй закон Ньютона переписан через импульс. Именно эта форма поддаётся обобщению: она годится для ударов, силу которых никто не может измерить, для систем из многих тел, а дальше в уроке — и для ракет.

Общая форма второго закона — не $F=ma$, а $\vec{F}=d\vec{p}/dt$, где $\vec{p}=m\vec{v}$: равнодействующая сила, действующая на тело, равна быстроте изменения его импульса. При постоянной массе обе формы совпадают, потому что массу можно вынести за знак производной: $d(m\vec{v})/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$. Импульсная форма к тому же остаётся верной и за пределами ньютоновской механики: в специальной теории относительности $m\vec{v}$ заменяется на $\gamma m\vec{v}$, а в электромагнетизме импульсом обладают сами поля.

Умножьте обе части на $dt$ и просуммируйте по всему контакту — от момента, когда он начинается, до момента, когда он заканчивается. Левая часть превращается в импульс силы $\vec{J}$, а правая — в полное изменение импульса. Это теорема об изменении импульса:
$\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$

Её ценность — в том, без чего она обходится. Сила при ударе нарастает и спадает за доли секунды, и подробно её почти никогда не знают, но дальнейшее движение определяет только её интеграл. Мяч для гольфа массой 46 г покидает клюшку со скоростью 70 м/с после контакта длительностью около 0,5 мс. Его импульс меняется на $0,046\cdot 70\approx 3,2\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, поэтому средняя сила равна $0,046\cdot 70/0,0005\approx 6400\mathrm{Н}$, какой бы ни была форма графика силы. Поскольку теорема — векторное уравнение, она выполняется для каждой проекции отдельно: горизонтальный импульс силы меняет только $p_x$ и не затрагивает $p_y$.

Внутренние силы попарно компенсируются

Почему суммарный импульс двух сталкивающихся тележек остаётся прежним, как бы сильно они ни толкали друг друга? Потому что каждый толчок сопровождается равным и противоположным толчком в ответ. В анимации тележка 1 массой 1 кг подъезжает со скоростью 4 м/с и ударяет покоящуюся тележку 2 массой 3 кг; на рельсе A они встречаются через пружинный буфер, на рельсе B — через липучку. Рисунок 1 показывает рельс A во время контакта; общее доказательство следует за ним.

Обозначения

$t$	Время, общая ось для всех трёх графиков.	$\mathrm{с}$
$\Delta t$	Длительность контакта.	$\mathrm{с}$
$F$	Сила, с которой буфер действует на тележку 2; на тележку 1 действует $-F$. Здесь она постоянна и равна наклону отрезка $p_2$.	$\mathrm{Н}$
$p$	Импульс вдоль рельса: вертикальная ось среднего графика.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$p_1$	Импульс тележки 1: от 4 до $-2$ за время контакта.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$p_2$	Импульс тележки 2: от 0 до 6 за время контакта.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$P$	Суммарный импульс $p_1+p_2$ (штриховая линия): всё время равен 4.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$K$	Суммарная кинетическая энергия двух тележек.	$\mathrm{Дж}$
$A$	Рельс A, пружинный буфер: в середине контакта $K$ проседает до 2 Дж, затем возвращается к 8 Дж.
$B$	Рельс B, липучка (штриховая линия): $K$ падает до 2 Дж и так и остаётся.

Рисунок 1 прослеживает контакт, который длится $\Delta t$; ось времени $t$ растянута так, чтобы контакт занимал середину картинки. Читайте его сверху вниз. Верхняя полоса — это сила: буфер толкает тележку 2 вперёд с силой $F$, а тележку 1 назад с силой $-F$. По третьему закону эти силы в каждый момент равны и противоположны. На этом рисунке сила к тому же постоянна, пока длится контакт.

Средний график показывает импульсы. Поскольку $dp/dt$ равно силе, наклон каждого графика импульса — это сила, действующая на соответствующую тележку, а постоянная сила рисует прямой наклонный отрезок. Импульс $p_2$ растёт с наклоном $F$ от 0 до 6, а $p_1$ убывает с наклоном $-F$ от 4 до $-2\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$: тележка 1 отскакивает назад. Тележка 2 получает 6 кг·м/с за $\Delta t=0,16\mathrm{с}$, поэтому $F=6/0,16=37,5\mathrm{Н}$. Теперь посмотрите на штриховую линию $P=p_1+p_2$. Два отрезка зеркальны друг другу, поэтому сколько одна тележка получает, столько другая в тот же момент теряет, и $P$ остаётся равным 4 кг·м/с на протяжении всего столкновения, а не только до и после него. Экспертный слой анимации строит те же кривые.

Горизонтальная линия не зависит от того, постоянна ли сила. Настоящая пружина давит тем сильнее, чем сильнее сжата, и отрезки изгибаются в S-образные кривые; они по-прежнему зеркальны, и их сумма по-прежнему постоянна.

Тот же учёт работает для любого числа тел. Сила, действующая на тело $i$, складывается из сил ${\vec{F}}_{ij}$, с которыми на него действует каждое другое тело $j$ системы (внутренние силы), и из всего, что действует извне (внешние силы). Сложите $d{\vec{p}}_i/dt$ по всем телам. Каждая внутренняя пара входит в сумму дважды — один раз как ${\vec{F}}_{ij}$ и один раз как ${\vec{F}}_{ji}$, — а третий закон даёт ${\vec{F}}_{ij}+{\vec{F}}_{ji}=0$. Остаются только внешние силы. Обозначив через $\vec{P}$ суммарный импульс, через $M$ полную массу, через ${\vec{v}}_{\mathrm{цм}}$ скорость центра масс и через ${\vec{F}}_{\mathrm{внеш}}$ сумму всех внешних сил, получаем:
$\frac{d\vec{P}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{внеш}}$
$\vec{P}={\sum }_i{m}_i{\vec{v}}_i=M{\vec{v}}_{\mathrm{цм}}$
Вторая строка — это определение центра масс, ${\vec{r}}_{\mathrm{цм}}={\sum }_i{m}_i{\vec{r}}_i/M$, продифференцированное один раз.

Итак, суммарный импульс меняется только под действием внешних сил, а центр масс движется как одна частица массой $M$, на которую действует их сумма. При ${\vec{F}}_{\mathrm{внеш}}=0$ импульс $\vec{P}$ постоянен, какими бы сложными ни были внутренние силы. Если равна нулю лишь одна проекция ${\vec{F}}_{\mathrm{внеш}}$ — например, горизонтальная, когда сила тяжести действует вертикально, — эта проекция $\vec{P}$ всё равно сохраняется.

Кинетическая энергия может спрятаться, импульс — нет

Нижний график рисунка 1 показывает суммарную кинетическую энергию $K$ двух тележек, и ведёт она себя совсем не так, как $P$. На рельсе A энергия $K$ во время контакта проседает — до 2 Дж в тот момент, когда обе тележки едут со скоростью 1 м/с, — а затем возвращается к 8 Дж, когда буфер расталкивает их. Недостающие 6 Дж не пропали: на мгновение они были запасены в сжатой пружине буфера. На рельсе B, с липучкой, $K$ падает до 2 Дж и так и остаётся (штриховая линия): 6 Дж ушли на деформацию и нагрев липучки.

Рельсу B к тому же нужна меньшая сила. Пара уезжает вместе со скоростью 1 м/с, поэтому тележка 2 получает лишь $3\cdot 1=3\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, и за те же 0,16 с средняя сила равна $3/0,16=18,75\mathrm{Н}$ — вдвое меньше, чем на рельсе A. Вместе два графика несут главную мысль: энергию можно на время спрятать внутри тел — в виде энергии пружины или тепла, — а импульсу спрятаться негде, и его баланс сходится в каждый момент.

Сохранение импульса из симметрии

Закон сохранения импульса можно вывести и без третьего закона — из двух утверждений о симметрии. Это важно, потому что третий закон выполняется не точно (см. раздел «Границы применимости» ниже), а нарушений закона сохранения импульса не наблюдали никогда; рассуждение о симметрии показывает, откуда этот закон берётся на самом деле.

Обозначения

$S$	Система отсчёта земли (верхний ряд).
$S^{\prime }$	Система отсчёта машины, которая едет вместе с правым шаром со скоростью $-v$ относительно земли (нижний ряд).
$m$	Масса каждого из двух одинаковых шаров; слипшись, они имеют массу $2m$.	$\mathrm{кг}$
$v$	Скорость каждого шара в $S$; $+v$ — сдвиг всех скоростей при переходе от $S$ к $S^{\prime }$. Все стрелки в одном масштабе, так что $2v$ вдвое длиннее $v$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

На рисунке 2 одно столкновение показано из двух систем отсчёта: слева — до него, справа — после. Первое предположение — зеркальная симметрия. В верхнем ряду, в системе отсчёта земли $S$, два одинаковых шара массой $m$ сближаются со скоростями $v$ и $-v$ и слипаются. В этой ситуации ничто не отдаёт предпочтения левому перед правым, поэтому слипшаяся пара массой $2m$ не может двинуться ни в одну сторону: она остаётся в покое.

Второе предположение — принцип относительности Галилея: наблюдатель, движущийся с постоянной скоростью, находит те же законы физики, только все скорости сдвинуты на одну и ту же величину. Возьмём в качестве $S^{\prime }$ систему отсчёта машины, которая едет вровень с правым шаром, то есть со скоростью $-v$ относительно земли. Из этой машины каждая скорость видна большей на $v$, о чём говорит стрелка $+v$ между рядами. Отсюда нижний ряд: правый шар покоится, левый налетает со скоростью $2v$, а пара, которая в $S$ стояла на месте, уходит со скоростью $v$.

Итак, масса $m$, налетающая со скоростью $2v$ на такую же покоящуюся массу, даёт $2m$ со скоростью $v$, и нижний ряд сходится: $m\cdot 2v=2m\cdot v$. Сами скорости не сходятся ($2v$ до, $v$ после), кинетическая энергия тоже ($2m{v}^2$ до, $m{v}^2$ после); сходится произведение массы на скорость. Если составлять тела других масс из одинаковых частей и повторять тот же переход в другую систему отсчёта, результат распространяется на любую пару масс, и величина, которая всегда получается одной и той же, — это $\sum mv$.

Рассуждение работает и в обратную сторону. Любое столкновение двух тел, если наблюдать его из системы отсчёта, движущейся вместе с центром масс, имеет нулевой суммарный импульс: тела налетают друг на друга с равными и противоположными импульсами, как в верхнем ряду. Для тележек из анимации эта система движется со скоростью 1 м/с. В ней тележка 1 приносит $+3$, а тележка 2 — $-3\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, и на рельсе B слипшаяся пара просто останавливается.

Общее утверждение — теорема Нётер (1918): каждой непрерывной симметрии законов физики соответствует сохраняющаяся величина. Если законы везде одинаковы, так что перенос всей установки в другое место ничего не меняет (пространство однородно), сохраняется импульс. Неизменность законов при сдвигах во времени даёт сохранение энергии, а при поворотах — сохранение момента импульса. Поскольку закон сохранения импульса опирается на симметрию, а не на третий закон, он выполняется даже там, где третий закон нарушается.

Энергия в системе центра масс

Сколько кинетической энергии может отнять удар и каковы конечные скорости? Оба вопроса становятся простыми в системе отсчёта, которая движется вместе с центром масс. В этом разделе кинетическая энергия делится на часть, которой не может коснуться никакой удар, и часть, которую удар менять может, а конечные скорости находятся без решения квадратного уравнения.

Обозначения

$v$	Скорость: положения на оси — это скорости.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$V$	Скорость центра масс (штриховая линия), в формулах — $v_{\mathrm{цм}}$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$m_1$	Масса тележки 1 (ширина — один брусок).	$\mathrm{кг}$
$m_2$	Масса тележки 2 (ширина — три бруска).	$\mathrm{кг}$
$v_1$	Скорость тележки 1 до удара.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_2$	Скорость тележки 2 до удара.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$u_1$	Скорость тележки 1 относительно центра масс, $v_1-V$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$u_2$	Скорость тележки 2 относительно центра масс, $v_2-V$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_1^{\prime }$	Скорость тележки 1 после удара.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_2^{\prime }$	Скорость тележки 2 после удара.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$u_1^{\prime }$	Скорость тележки 1 относительно центра масс после удара: $-e{u}_1$, здесь $-u_1$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$u_2^{\prime }$	Скорость тележки 2 относительно центра масс после удара: $-e{u}_2$, здесь $-u_2$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Рисунок 3 располагает скорости тележек из анимации на одной оси $v$: тележка 1, $m_1=1\mathrm{кг}$, при $v_1=4\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и тележка 2, $m_2=3\mathrm{кг}$, при $v_2=0$; ширина каждого бруска показывает его массу. Штриховая линия отмечает скорость центра масс — на рисунке она обозначена $V$, а в формулах $v_{\mathrm{цм}}$:
$v_{\mathrm{цм}}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{4}=1\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Относительно штриховой линии тележки движутся со скоростями $u_1=v_1-v_{\mathrm{цм}}=+3\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $u_2=v_2-v_{\mathrm{цм}}=-1\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — это две стрелки верхнего ряда. В этой системе суммарный импульс равен нулю, $m_1{u}_1+m_2{u}_2=1\cdot 3+3\cdot (-1)=0$, поэтому длины стрелок обратно пропорциональны массам, и тяжёлая тележка находится втрое ближе к $V$, чем лёгкая.

Удар не может сдвинуть штриховую линию, потому что внутренние силы не меняют суммарный импульс, а с ним и $v_{\mathrm{цм}}$. Он может изменить только $u_1$ и $u_2$, и после удара они по-прежнему должны удовлетворять условию $m_1{u}_1^{\prime }+m_2{u}_2^{\prime }=0$. Поэтому обе скорости умножаются на один и тот же множитель. Тележки расходятся, а не проходят друг сквозь друга, так что этот множитель отрицателен или равен нулю; запишем его как $-e$:
$u_i^{\prime }=-e{u}_i$
Число $e$ — коэффициент восстановления. Поскольку $u_1-u_2=v_1-v_2=v_{\mathrm{отн}}$ — относительная скорость, его можно записать и как $e=-v_{\mathrm{отн}}^{\prime }/v_{\mathrm{отн}}$: это доля относительного движения, которая переживает удар, — от 1 при упругом ударе до 0 при слипании.

Нижний ряд рисунка 3 — упругий случай, $e=1$: $u_1^{\prime }$ и $u_2^{\prime }$ — это прежние стрелки, развёрнутые в обратную сторону, поэтому конечные скорости $v_1^{\prime }$ и $v_2^{\prime }$ — зеркальные отражения $v_1$ и $v_2$ относительно штриховой линии. Чтобы вернуться в систему отсчёта рельса, прибавим обратно $v_{\mathrm{цм}}$:
$v_i^{\prime }=v_{\mathrm{цм}}+u_i^{\prime }=v_{\mathrm{цм}}-e(v_i-v_{\mathrm{цм}})$
$v_i^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{цм}}-e{v}_i$
При $e=1$ это даёт $v_1^{\prime }=2\cdot 1-4=-2\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $v_2^{\prime }=2\cdot 1-0=+2\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — результат на рельсе A. Меньшее $e$ укорачивает обе стрелки в одно и то же число раз; при $e=0$ они исчезают, и обе тележки уезжают вместе со скоростью $V$, как на рельсе B.

Теперь кинетическая энергия. Подставьте $v_i=v_{\mathrm{цм}}+u_i$ в $K={\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$ и раскройте квадрат:
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{цм}}^2+v_{\mathrm{цм}}{\sum }_i{m}_i{u}_i+{\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{u}_i^2$
Среднее слагаемое равно нулю, потому что ${\sum }_i{m}_i{u}_i=0$. Остаётся
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{цм}}^2+K_{\mathrm{отн}}$
где $M=m_1+m_2$. Первое слагаемое — энергия центра масс, и никакая внутренняя сила не может её изменить, потому что импульс фиксирует $v_{\mathrm{цм}}$. Второе, $K_{\mathrm{отн}}$, — энергия движения относительно центра масс, и удар действует только на неё. Для двух тел она зависит только от относительной скорости. Из $m_1{u}_1+m_2{u}_2=0$ и $u_1-u_2=v_{\mathrm{отн}}$ следует $u_1=m_2{v}_{\mathrm{отн}}/M$ и $u_2=-m_1{v}_{\mathrm{отн}}/M$; тогда $\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{m}_2(m_2+m_1)v_{\mathrm{отн}}^2/M^2$, что упрощается до
$K_{\mathrm{отн}}=\frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{отн}}^2,\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$
где $\mu$ называют приведённой массой.

Поскольку $K_{\mathrm{отн}}$ пропорциональна $v_{\mathrm{отн}}^2$, удар умножает её на $e^2$. Для анимации $M=4\mathrm{кг}$, $v_{\mathrm{цм}}=1\mathrm{м}/\mathrm{с}$, $\mu =0,75\mathrm{кг}$ и $v_{\mathrm{отн}}=4\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Поэтому 8 Дж делятся на $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{Дж}$, которых не может коснуться никакой удар, и $\frac{1}{2}\cdot 0,75\cdot 4^2=6\mathrm{Дж}$ относительного движения. Упругий буфер возвращает все 6 Дж. Слипание ($e=0$) забирает все 6 Дж — наибольшую потерю, которую допускает сохранение импульса, — а оставшиеся 2 Дж и есть то, что сохраняется на рельсе B.

Задача: полуупругий буфер

Поставьте на тележки буфер с $e=0,5$: массы те же, и тележка 1 снова налетает со скоростью 4 м/с на покоящуюся тележку 2. Найдите а) конечные скорости, б) потерю кинетической энергии, в) среднюю силу, если контакт по-прежнему длится 0,16 с, и г) значение $e$, при котором тележка 1 останавливается.

а) Центр масс по-прежнему движется со скоростью $v_{\mathrm{цм}}=1\mathrm{м}/\mathrm{с}$, и $1+e=1,5$:
$v_1^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{цм}}-e{v}_1=1,5\cdot 1-0,5\cdot 4=-0,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{цм}}-e{v}_2=1,5\cdot 1-0=1,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$
Тележка 1 медленно откатывается назад. Проверка импульса: $1\cdot (-0,5)+3\cdot 1,5=4\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, как и раньше.

б) 2 Дж центра масс остаются, а 6 Дж относительного движения умножаются на $e^2=0,25$: $K=2+0,25\cdot 6=3,5\mathrm{Дж}$, так что теряется $8-3,5=4,5\mathrm{Дж}$. Напрямую: $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,5^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1,5^2=0,125+3,375=3,5\mathrm{Дж}$.

в) Тележка 2 получает $3\cdot 1,5=4,5\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$. При $v_2=0$ формула даёт $v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{цм}}$, так что это в $(1+e)$ раз больше, чем 3 кг·м/с при слипании. За 0,16 с для этого нужна средняя сила $4,5/0,16\approx 28\mathrm{Н}$ — между 18,75 Н на рельсе B ($e=0$) и 37,5 Н на рельсе A ($e=1$).

г) Тележка 1 останавливается, когда $v_1^{\prime }=0$, то есть когда $(1+e)v_{\mathrm{цм}}=e{v}_1$, или $1+e=4e$, откуда $e=1/3$. Тогда тележка 2 уносит все 4 кг·м/с со скоростью $4/3\approx 1,33\mathrm{м}/\mathrm{с}$, и $K=2+6/9\approx 2,67\mathrm{Дж}$. В общем случае, когда мишень покоится, налетающее тело останавливается при $e=m_1/m_2$. Поэтому остановка налетающего тела говорит об упругом ударе лишь при равных массах; здесь для неё нужен буфер, теряющий немало энергии.

Нецентральные удары

В двух или трёх измерениях закон сохранения импульса даёт по уравнению на каждую проекцию. Для двух тел на плоскости импульс даёт два уравнения, а энергия, если удар упругий, — третье, но у двух конечных скоростей четыре проекции. Недостающая информация — геометрия удара: при нецентральном ударе определяются не только величины скоростей, но и их направления.

Обозначения

$m$	Масса каждого из двух одинаковых шаров.	$\mathrm{кг}$
$b$	Прицельный параметр: расстояние между траекторией шара 1 и параллельной ей прямой, проходящей через центр шара 2.	$\mathrm{м}$
${\vec{v}}_1$	Скорость шара 1 до удара; шар 2 покоится.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
${\vec{v}}_1^{\prime }$	Скорость шара 1 после удара, поперёк линии центров.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
${\vec{v}}_2^{\prime }$	Скорость шара 2 после удара, вдоль линии центров.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

На рисунке 4 показан нецентральный упругий удар двух одинаковых шаров массой $m$; шар 2 покоится. Шар 1 налетает со скоростью ${\vec{v}}_1$ по прямой, которая проходит мимо центра шара 2 на расстоянии $b$ (прицельный параметр). Поэтому в момент контакта линия, соединяющая центры шаров, наклонена к траектории. Для гладких шаров без вращения сила контакта направлена вдоль этой линии центров, а поперёк неё ничего не действует.

Разложите каждую скорость на составляющую вдоль линии центров и составляющую поперёк неё. Поперёк линии силы нет, поэтому эти составляющие не меняются. Вдоль линии удар — это центральный упругий удар равных масс, при котором шары обмениваются скоростями: шар 1 передаёт шару 2 всю свою составляющую вдоль линии. Поэтому шар 2 уходит вдоль линии центров со скоростью ${\vec{v}}_2^{\prime }$, а у шара 1 остаётся только поперечная составляющая ${\vec{v}}_1^{\prime }$, перпендикулярная ${\vec{v}}_2^{\prime }$. Если радиус шаров равен $R$, линия центров образует с направлением налёта угол $\phi$, для которого $\sin \phi =b/(2R)$, а скорости после удара равны $v_2^{\prime }=v_1\cos \phi$ и $v_1^{\prime }=v_1\sin \phi$. Центральный удар ($b=0$) передаёт всё шару 2; скользящий удар ($b$ близко к $2R$) почти не меняет движения шара 1.

Треугольник справа приводит к прямому углу без всякой геометрии контакта. Сохранение импульса после сокращения равных масс даёт ${\vec{v}}_1={\vec{v}}_1^{\prime }+{\vec{v}}_2^{\prime }$: три скорости замыкаются в треугольник. Сохранение энергии даёт $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}$. Возведя первое равенство в квадрат, получаем $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}+2{\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }$, а сравнение со вторым оставляет ${\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }=0$. Два катета встречаются под прямым углом: после нецентрального упругого удара равных масс, одна из которых покоилась, шары разлетаются под прямым углом друг к другу (при центральном ударе шар 1 просто останавливается). Почти так разлетаются бильярдные шары при ударе без вращения, и то же показывают треки медленных протонов, налетающих на покоящиеся протоны.

Ракеты и переменная масса

Ракета, сжигая топливо, меняет собственную массу, поэтому применять к ней $\vec{F}=m\vec{a}$ напрямую нельзя. Надёжный путь — закон сохранения импульса для ракеты вместе с выбрасываемыми газами.

Пусть ракета массой $m$ движется со скоростью $v$ вдали от других сил и выбрасывает газы назад со скоростью $w$ относительно себя. За малое время $dt$ её масса меняется на $dm$ (отрицательную величину), скорость — на $dv$, а масса газов $-dm$ уходит со скоростью $v-w$. Импульс до и после должен совпадать:
$mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-w)$
После раскрытия скобок $mv$ стоит с обеих сторон, два слагаемых $vdm$ сокращаются, а произведением $dmdv$ двух малых изменений можно пренебречь. Остаётся $mdv=-wdm$. Разделив на $m$ и проинтегрировав от начальной массы $m_0$ до конечной $m_f$, получаем
$\Delta v=w\ln \frac{m_0}{m_f}$

Важны только скорость истечения и отношение масс, причём отношение масс входит лишь под логарифмом. При $w=3\mathrm{км}/\mathrm{с}$ и топливе, составляющем девять десятых стартовой массы, $m_0/m_f=10$ и $\Delta v=3\ln 10\approx 6,9\mathrm{км}/\mathrm{с}$. Это меньше 7,8 км/с, нужных для низкой орбиты, даже без учёта потерь на тяготение и сопротивление воздуха. Сброс опустевших баков по пути уменьшает массу, которую остаётся разгонять, — поэтому ракеты делают многоступенчатыми.

Границы применимости

Ньютоновский импульс $mv$ — приближение, верное при скоростях, много меньших скорости света $c\approx 3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$. На самом деле сохраняется величина $\gamma mv$, где $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. При $0,6c$ множитель $\gamma =1,25$, так что истинный импульс уже на 25 % больше $mv$, а при столкновениях частиц кинетическая энергия может даже превратиться в массу новых частиц. Для тележек при 4 м/с поправка порядка $v^2/c^2\approx 2\times 10^{-16}$.

Третий закон тоже выполняется не точно. Два заряда, движущиеся под прямым углом друг к другу, действуют друг на друга магнитными силами, которые не равны и не противоположны, поэтому их суммарный механический импульс меняется. Баланс сходится, только если учесть и импульс, запасённый в электромагнитном поле. Сам свет несёт импульс: $p=E/c$ для света с энергией $E$. Солнечный свет над атмосферой приносит 1361 Вт/м²; на поглощающий его лист это даёт давление $1361/(3,00\times 10^8)\approx 4,5\times 10^{-6}\mathrm{Н}/{\mathrm{м}}^2$, около 4,5 мкН на каждый квадратный метр, — этого хватает, чтобы управлять солнечным парусом.

В квантовой механике импульс связан с длиной волны, $p=h/\lambda$, и его сохранение подтверждалось во всех когда-либо наблюдавшихся взаимодействиях. Закон сохранения импульса даже предсказывал новые частицы. При бета-распаде вылетающий электрон, казалось, нарушал закон сохранения энергии, потому что его энергия менялась от распада к распаду. В 1930 году Паули предположил, что разницу уносит невидимая нейтральная частица. Позднее измерения отдачи ядра показали, что она уносит и импульс: электрон и ядро не разлетались с равными и противоположными импульсами. Нейтрино зарегистрировали в 1956 году.

Что дальше

Инвариантность относительно поворотов ведёт к уроку «Момент импульса и закон его сохранения», а вращательная форма второго закона — к уроку «Динамика вращения и момент силы». Энергетической стороне ударов посвящён урок «Работа, энергия и мощность». Давление газа — это импульс, который бесчисленные удары молекул каждую секунду передают каждому квадратному метру стенки, как показывает урок «Молекулярно-кинетическая теория газов», а $\gamma mv$ и превращение энергии в массу относятся к уроку «Специальная теория относительности». В уроке «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» баланс импульса и энергии позволяет обнаружить частицы, которые не оставляют следов.