Векторы и относительное движение

Начальный

Некоторые величины полностью задаются одним числом: масса 2 кг, время 10 с, температура 20 °C. Это скаляры. Другим нужно ещё и направление. Если друг скажет, что до вокзала 2 км, вы всё равно не поймёте, по какой улице идти. Модуль скорости (насколько быстро) — скаляр, а вектор скорости (насколько быстро и куда) — вектор, как и перемещение, и сила. Вектор рисуют стрелкой: её длина показывает величину, а острие — направление.

Проверьте себя: «15 м/с на юг» — это просто модуль скорости или вектор? (Вектор: указано направление.)

Чтобы сложить два вектора, начало второй стрелки ставят в конец первой; сумма идёт из самой первой точки в самую последнюю. Пройдите 3 м на восток, а затем 4 м на север — и вы окажетесь в 5 м от старта. Пройденный путь — 7 м, а перемещение — стрелка длиной 5 м.

Скорости складываются так же. На движущейся дорожке в аэропорту вы идёте со скоростью 1 м/с, а лента везёт вас со скоростью 2 м/с, поэтому человек рядом видит, что вы проходите мимо со скоростью 3 м/с. Идите против хода ленты со скоростью 2 м/с — и останетесь рядом с ним: скорости компенсируют друг друга.

Проверьте себя: вы идёте со скоростью 1,5 м/с к хвосту поезда, который едет со скоростью 20 м/с. С какой скоростью вы проезжаете мимо человека на перроне? (18,5 м/с по ходу поезда.)

В анимации лодка пересекает реку шириной 60 м. Гребец направляет её прямо на другой берег, но вода увлекает лодку, и та движется по наклонной линии. Серые точки показывают, что каждые 3 секунды её сносит ещё на 9 м, всего на 36 м. И всё же переправа длится 12 секунд, как в стоячей воде: течение добавляет движение вбок, а не задержку.

Средний

Скаляры, векторы и проекции

Масса 2 кг или время 12 с задаются одним числом и единицей измерения. Такие величины — скаляры, и складывают их как обычные числа. Перемещению, скорости, ускорению и силе нужно ещё направление: это векторы. Вектор обозначают стрелкой, $\vec{A}$; его длину, то есть модуль, записывают $|\vec{A}|$ или просто $A$, и она никогда не бывает отрицательной. Модуль скорости — это длина вектора скорости.

Чтобы вести расчёты с вектором, выберите две перпендикулярные оси и спроецируйте стрелку на каждую из них. Если $\vec{A}$ составляет с осью $x$ угол $\theta$, отсчитанный в сторону оси $y$, то проекции и модуль вектора связаны соотношениями

• $A_x=A\cos \theta ,A_y=A\sin \theta$
• $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

Проекции имеют знак: $A_x$ отрицательна, если стрелка направлена в сторону отрицательных $x$. Вторая строка — теорема Пифагора, а направление находят из $\mathrm{tg}\theta =A_y/A_x$. В этом уроке ось $x$ направлена вниз по течению реки, а ось $y$ — прямо поперёк неё, к дальнему берегу.

Сложение и вычитание векторов

Чтобы сложить два вектора, поместите начало второго в конец первого; сумма, или результирующий вектор, идёт от начала первого к концу последнего. В проекциях правило сводится к обычному сложению по каждой оси: если $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, то $C_x=A_x+B_x$ и $C_y=A_y+B_y$, причём порядок слагаемых не важен.

Модули складываются только у параллельных стрелок. Шаг 5 м и следом шаг 3 м дают 8 м, если оба сделаны в одну сторону, 2 м, если в противоположные, и $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5,83\mathrm{м}$ под прямым углом; при любом другом угле получится промежуточное значение. Вычитание — это сложение с обратной стрелкой, $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$: если отложить оба вектора из одной точки, разность идёт от конца $\vec{B}$ к концу $\vec{A}$.

Относительная скорость: цепочка систем отсчёта

Скорость всегда измеряется относительно чего-то. Пусть $\vec{v}{}^{\prime }$ — скорость лодки относительно воды, $\vec{u}$ — скорость воды относительно берега (течение), а $\vec{v}$ — скорость лодки относительно берега. За каждую секунду лодка смещается относительно воды на $\vec{v}{}^{\prime }$, а вода сносит её вдоль берега на $\vec{u}$, и эти два перемещения складываются, если откладывать их одно за другим:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$

Правило индексов помогает не запутаться в порядке слагаемых: ${\vec{v}}_{\mathrm{лодка}/\mathrm{берег}}={\vec{v}}_{\mathrm{лодка}/\mathrm{вода}}+{\vec{v}}_{\mathrm{вода}/\mathrm{берег}}$. Внутренние индексы совпадают и сокращаются, остаётся «лодка относительно берега». Перестановка двух индексов разворачивает стрелку: относительно воды берег движется против течения со скоростью $-\vec{u}$.

Пусть ось $x$ направлена вниз по течению, а ось $y$ — поперёк реки. У лодки, направленной прямо поперёк, $\vec{v}{}^{\prime }=(0,v^{\prime })$, а течение даёт $\vec{u}=(u,0)$, так что $\vec{v}=(u,v^{\prime })$. Проекции действуют независимо: только поперечная переносит лодку через реку шириной $d$, а продольная лишь сносит её вниз по течению. Поэтому скорость относительно берега, время переправы и снос равны
$|\vec{v}|=\sqrt{v^{\prime 2}+u^2}$
$t=\frac{d}{v^{\prime }},x=\frac{ud}{v^{\prime }}$

Пример: лодка из анимации

Гребец движется со скоростью $v^{\prime }=5\mathrm{м}/\mathrm{с}$ относительно воды, течение имеет скорость $u=3\mathrm{м}/\mathrm{с}$, ширина реки $d=60\mathrm{м}$. Лодка направлена прямо поперёк реки.
$|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5,83\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$t=\frac{60}{5}=12\mathrm{с},x=3\cdot 12=36\mathrm{м}$

Траектория составляет с направлением поперёк реки угол $\phi$, для которого $\mathrm{tg}\phi =u/v^{\prime }=3/5$, то есть $\phi \approx 31^{\circ }$ в сторону течения. Относительно берега лодка проходит $\sqrt{60^2+36^2}\approx 70\mathrm{м}$, что равно и $5,83\cdot 12$. Это конечные значения показаний: $y=v^{\prime }t$ и $x=ut$ равномерно растут и останавливаются на 60 м и 36 м, когда $t$ достигает 12 с.

Стрелки, которые перемещаются вместе с лодкой, рисуют эту сумму: золотистая $\vec{v}{}^{\prime }$ направлена прямо поперёк, синяя $\vec{u}$ отложена от её конца, а зелёная $\vec{v}$ замыкает треугольник вдоль пунктирной траектории. Серые отметки через каждые 3 с показывают, что снос каждый раз растёт на 9 м — до 9, 18, 27 и 36 м, — а поперёк лодка продвигается на 15 м: траектория прямая, потому что ни одна из проекций скорости не меняется.

Пример: самолёт при боковом ветре

Лёгкий самолёт летит со скоростью 250 км/ч относительно воздуха к аэродрому, который находится в 360 км строго на север, а ветер дует на восток со скоростью 70 км/ч. Воздух играет роль воды: $v^{\prime }=250\mathrm{км}/\mathrm{ч}$, $u=70\mathrm{км}/\mathrm{ч}$ и $d=360\mathrm{км}$.

Если лётчица просто направит самолёт на север, ему понадобится $360/250=1,44\mathrm{ч}$, чтобы пролететь 360 км на север, а за это время ветер отнесёт его примерно на $70\cdot 1,44\approx 101\mathrm{км}$ к востоку от аэродрома. Чтобы лететь по прямой строго на север, ей нужно взять курс отчасти навстречу ветру, так чтобы западная проекция $\vec{v}{}^{\prime }$ компенсировала ветер. Теперь гипотенуза — это скорость относительно воздуха:
$\sin \alpha =\frac{u}{v^{\prime }},t=\frac{d}{\sqrt{v^{\prime 2}-u^2}}$

Здесь $\sin \alpha =70/250=0,28$, поэтому курс — $\alpha \approx 16,3^{\circ }$ к западу от севера. Скорость относительно земли равна $\sqrt{250^2-70^2}=240\mathrm{км}/\mathrm{ч}$, и полёт занимает $360/240=1,5\mathrm{ч}$. Поправка стоит 3,6 минуты и устраняет ошибку в 101 км. Лётчики называют $\alpha$ поправкой на ветер.

Как читать треугольник скоростей

Любая задача об относительной скорости — это треугольник из $\vec{v}{}^{\prime }$, $\vec{u}$ и $\vec{v}$; сначала решите, какая его сторона — гипотенуза. Когда лодка направлена прямо поперёк, катеты — $\vec{v}{}^{\prime }$ и $\vec{u}$, а скорость относительно берега — гипотенуза, длиннее каждого катета: 5,83 м/с. Когда лодка должна идти прямо поперёк, катетом становится $\vec{v}$, а гипотенузой — $\vec{v}{}^{\prime }$, поэтому полезная скорость уменьшается до $\sqrt{5^2-3^2}=4\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а переправа занимает 15 с. Так движется вторая лодка в экспертном слое анимации.

Вдоль реки треугольник вырождается в отрезок: на вёслах вниз по течению лодка делает относительно берега $5+3=8\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а вверх — всего $5-3=2\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Если бы течение было быстрее гребца, $u>v^{\prime }$, никакой курс не удержал бы лодку на прямой поперёк реки.

Частые ошибки

• Складывать скорости как обычные числа. Скорость гребца 5 м/с и скорость течения 3 м/с дают 8 м/с, только если обе направлены вниз по течению; под прямым углом получается 5,83 м/с.
• Думать, что течение задерживает переправу. У него нет проекции поперёк реки, поэтому лодке, направленной прямо поперёк, по-прежнему нужно $60/5=12\mathrm{с}$: течение меняет место, куда она причалит, но не время.
• Путать курс и траекторию. Лодка направлена вдоль $\vec{v}{}^{\prime }$, а движется вдоль $\vec{v}$, здесь на 31° дальше вниз по течению: нос показывает курс, пунктирный след — траекторию.
• Менять местами синус и косинус. Косинус относится к стороне, прилежащей к углу: канат, который тянут с силой 50 Н под углом 20° к горизонту, даёт $50\cos 20^{\circ }\approx 47\mathrm{Н}$ по горизонтали и $50\sin 20^{\circ }\approx 17\mathrm{Н}$ по вертикали.
• Ждать, что течение скомпенсируется на пути туда и обратно. На 60 м против течения со скоростью 2 м/с и обратно со скоростью 8 м/с уходит $30+7,5=37,5\mathrm{с}$, а в стоячей воде — 24 с: медленный участок длится дольше, поэтому весит больше.

Где это встречается

Лётчики и экипажи паромов вносят поправку на ветер и течение, а пловцу, которого разрывное течение уносит от берега, советуют плыть параллельно берегу, поперёк потока. Дождь, падающий вертикально со скоростью 6 м/с, оставляет на боковых стёклах машины, едущей со скоростью 18 м/с, полосы примерно под 72° к вертикали, потому что относительно машины капли движутся ещё и назад. Космические корабли стыкуются со станцией, уравнивая свою скорость со скоростью станции, а не Земли.

Тот же набор приёмов возвращается во всей механике. Урок «Движение тела, брошенного под углом» раскладывает бросок на независимые горизонтальное и вертикальное движения, как поперечное и продольное движения лодки; в уроке «Законы Ньютона» сила — тоже вектор; а урок «Движение по окружности» показывает, что скорость может меняться одним лишь поворотом.

Продвинутый

Что делает величину вектором

Обычно вектор вводят как величину, у которой есть модуль и направление. Это хорошее начало, но точный критерий другой: он касается того, как ведут себя проекции величины при повороте осей. Этот критерий важен, потому что именно благодаря ему векторный закон можно записывать в любых удобных осях.

Обозначения

$\vec{r}$	Перемещение — одна и та же стрелка на обоих рисунках.	$\mathrm{м}$
$x$	Проекция $\vec{r}$ на исходную первую ось.	$\mathrm{м}$
$y$	Проекция $\vec{r}$ на исходную вторую ось.	$\mathrm{м}$
$\bar{x}$	Проекция $\vec{r}$ на повёрнутую первую ось.	$\mathrm{м}$
$\bar{y}$	Проекция $\vec{r}$ на повёрнутую вторую ось.	$\mathrm{м}$
$\beta$	Угол, на который оси повёрнуты против часовой стрелки.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 1 одно и то же перемещение $\vec{r}$ нарисовано дважды. Слева пунктирные перпендикуляры, опущенные из конца $\vec{r}$, встречают обе оси; расстояния от начала координат до их оснований — проекции $x$ и $y$. Справа оси повёрнуты против часовой стрелки на угол $\beta$, а стрелка $\vec{r}$ осталась на месте. То же построение с перпендикулярами к новым осям даёт новые проекции $\bar{x}$ и $\bar{y}$. Стрелка существует ещё до того, как проведены оси; её проекции — нет.

Чтобы найти новые проекции, разложите $\vec{r}$ на две прежние составляющие — $x$ вдоль старой первой оси и $y$ вдоль старой второй — и спроецируйте каждую из них на новые оси. Новая первая ось составляет угол $\beta$ со старой первой осью и $90^{\circ }-\beta$ со старой второй, поэтому составляющие дают вклады $x\cos \beta$ и $y\sin \beta$. Новая вторая ось составляет угол $90^{\circ }+\beta$ со старой первой осью и $\beta$ со старой второй, поэтому вклады равны $-x\sin \beta$ и $y\cos \beta$. Вместе:
$\bar{x}=x\cos \beta +y\sin \beta ,\bar{y}=-x\sin \beta +y\cos \beta$

Это правило и есть настоящее определение. Вектор — любая величина, проекции которой при смене осей меняются точно так же, как проекции перемещения.

Скорость эту проверку проходит. Она равна перемещению $\Delta \vec{r}$, делённому на промежуток времени $\Delta t$, а $\Delta t$ — скаляр, одинаковый при любом выборе осей, поэтому деление на него правила не нарушает. Ускорение — изменение скорости, делённое на время, — проходит проверку по той же причине, как и сила. Теперь возьмём векторное равенство, например $\vec{F}=m\vec{a}$ или $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$. Оно утверждает, что проекции его левой и правой частей равны. При повороте осей обе части меняются по одному и тому же линейному правилу, поэтому если они равны в одних осях, то равны и в любых других. Направить ось $x$ вдоль реки — удобство, а не физика.

Некоторые комбинации проекций при повороте осей вообще не меняются; их называют инвариантами. Один из них — длина: если возвести оба равенства выше в квадрат и сложить, перекрёстные слагаемые сократятся, а ${\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$, поэтому ${\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=x^2+y^2$. В более общем виде скалярное произведение двух векторов, $\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y=AB\cos \gamma$, где $\gamma$ — угол между стрелками, одинаково при любом выборе осей.

Возьмём лодку из этого урока, направленную прямо поперёк реки шириной 60 м. Относительно воды она движется со скоростью $\vec{v}{}^{\prime }=(0,5)\mathrm{м}/\mathrm{с}$, течение равно $\vec{u}=(3,0)\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а относительно берега лодка движется со скоростью $\vec{v}=(3,5)\mathrm{м}/\mathrm{с}$, модуль которой $\sqrt{34}\approx 5,83\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Тогда $\vec{v}{}^{\prime }\cdot \vec{v}=0\cdot 3+5\cdot 5=25{\mathrm{м}}^2/{\mathrm{с}}^2$, и из $\cos \gamma =25/(5\cdot 5,83)\approx 0,857$ получаем $\gamma \approx 31^{\circ }$. Это угол между тем, куда направлен нос лодки, и тем, куда она на самом деле движется, — найденный по одним проекциям, без чертежа. Поверните оси на $\beta \approx 59^{\circ }$ так, чтобы ось $\bar{x}$ легла вдоль траектории, — и скорость относительно берега запишется как $(5,83;0)\mathrm{м}/\mathrm{с}$: другие числа, та же стрелка, та же длина.

Значит, модуля и направления ещё не вполне достаточно. У поворота книги на 90° вокруг некоторой оси есть и то и другое — ось и угол, — но два таких поворота вокруг разных осей не складываются как векторы: если поменять их порядок, книга окажется в другом положении, тогда как $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$. Перестановочны лишь очень малые повороты, с точностью до первого порядка по углу. Поэтому угловая скорость, описывающая темп очень малых поворотов, — вектор, а конечный поворот — нет.

Смена системы отсчёта: преобразование Галилея

На рисунке 1 оси поворачивались. Относительное движение спрашивает, что происходит, когда оси движутся: как положения, скорости и ускорения, измеренные с движущейся платформы, соотносятся с измеренными с земли? Ответ даёт преобразование Галилея, и оно показывает, в каких величинах все наблюдатели согласны.

Обозначения

$S$	Система берега: чёрные оси, неподвижные относительно земли.
$S^{\prime }$	Система воды: фиолетовые оси, параллельные осям $S$ и плывущие вместе с течением.
$\vec{u}t$	Смещение, на которое начало $S^{\prime }$ унесено за время $t$.	$\mathrm{м}$
$P$	Лодка в момент $t$.
$\vec{r}{}^{\prime }$	Положение лодки в системе воды, отсчитанное от начала $S^{\prime }$.	$\mathrm{м}$
$\vec{r}$	Положение лодки в системе берега, отсчитанное от начала $S$.	$\mathrm{м}$
$\vec{u}$	Скорость системы воды относительно берега — течение.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Скорость лодки относительно воды.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{v}$	Скорость лодки относительно берега.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Система отсчёта — это набор осей вместе с часами. На рисунке 2 их две. У системы берега $S$ чёрные оси, закреплённые на земле. У системы воды $S^{\prime }$ фиолетовые оси, параллельные осям $S$, которые плывут вместе с течением с постоянной скоростью $\vec{u}$. Оси обеих систем совпадают при $t=0$, и обе системы пользуются одними часами, так что $t$ в них означает одно и то же.

Левая часть рисунка 2 — моментальный снимок в момент $t$. Начало $S^{\prime }$ унесено вдоль реки на $\vec{u}t$: при течении 3 м/с — на 36 м вниз по течению за 12 с. Лодка в точке $P$ вышла из общего начала, направленная прямо поперёк. В системе воды её радиус-вектор $\vec{r}{}^{\prime }$ отсчитывается от начала $S^{\prime }$: 60 м прямо вверх по фиолетовой оси. В системе берега её радиус-вектор $\vec{r}$ отсчитывается от начала $S$. Три стрелки образуют треугольник: пройти из начала $S$ прямо в $P$ — всё равно что сначала дойти до начала $S^{\prime }$, а затем оттуда до $P$. Поэтому точка с радиус-вектором $\vec{r}{}^{\prime }$ в $S^{\prime }$ имеет в $S$ радиус-вектор
$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$

Продифференцируем по $t$. Поскольку $\vec{u}$ постоянна, $d(\vec{u}t)/dt=\vec{u}$, и скорости складываются:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$
Лодка движется равномерно из общего начала, поэтому каждая сторона левого треугольника равна произведению $t$ на скорость, и деление всех сторон на $t$ даёт треугольник скоростей справа на рисунке 2. Продифференцируем ещё раз. Производная постоянной $\vec{u}$ равна нулю, так что она выпадает совсем:
$\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }$

Скорости зависят от наблюдателя, ускорения — нет. Массы и силы тоже одинаковы для обоих наблюдателей, поэтому если $\vec{F}=m\vec{a}$ выполняется в $S$, то выполняется и в $S^{\prime }$. Систему отсчёта, в которой выполняются законы Ньютона, называют инерциальной. Из полученного следует, что любая система, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, сама инерциальна, и никакой механический опыт, поставленный целиком внутри неё, этого движения не обнаружит. Это принцип относительности механики. Галилей пояснял его на примере каюты плавно идущего корабля: капли из бутылки падают отвесно вниз, точно так же, как в порту.

Преобразование — ещё и инструмент: решите задачу в той системе, где она проще всего, а затем прибавьте $\vec{u}$. В системе воды река — неподвижное озеро. Лодка идёт прямо поперёк со скоростью 5 м/с и тратит $60/5=12\mathrm{с}$, а берег тем временем скользит мимо против течения со скоростью 3 м/с. Снос в 36 м — просто длина берега, проскользнувшая мимо за время переправы. Тот же треугольник скоростей наклоняет свет звёзд. Земля движется по орбите вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, поэтому свет, приходящий со скоростью $c$, кажется идущим из направления, повёрнутого на угол до $v/c\approx 10^{-4}\mathrm{рад}$, — около 20 угловых секунд. Это аберрация света, открытая Джеймсом Брэдли в 1720-х годах.

Все курсы сразу: диаграмма скоростей

Гребец выбирает только курс; течение задано. Каких скоростей относительно берега может достичь лодка и какой курс лучше всего для данной цели? Один рисунок — диаграмма скоростей — отвечает на это сразу для всех курсов. Здесь она построена для $u<v^{\prime }$, как в уроке: течение 3 м/с, гребец 5 м/с.

Обозначения

$x$	Ось вдоль реки, направленная вниз по течению.
$y$	Ось прямо поперёк реки, к дальнему берегу.
$O$	Начальная точка диаграммы, из которой выходят $\vec{u}$ и $\vec{v}$.
$\vec{u}$	Скорость течения, отложенная от $O$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Скорость лодки относительно воды: её длина всегда равна $v^{\prime }$, поэтому её конец остаётся на окружности.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{v}$	Скорость лодки относительно берега, $\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\theta$	Курс: угол, на который $\vec{v}{}^{\prime }$ отклонена против течения от направления прямо поперёк (пунктирной вертикали).	$\mathrm{рад}$

Постройте рисунок 3 в три шага. Сначала отложите течение $\vec{u}$ от точки $O$. Затем приложите к концу $\vec{u}$ скорость лодки относительно воды, $\vec{v}{}^{\prime }$. Её длина фиксирована и равна $v^{\prime }$, но гребец может направить её куда угодно, поэтому её конец может лежать в любой точке пунктирной окружности радиуса $v^{\prime }$ с центром в конце $\vec{u}$. Наконец, скорость относительно берега $\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$ идёт из $O$ в эту точку окружности.

На рисунке показан один курс. Пунктирная вертикаль через конец $\vec{u}$ — направление прямо поперёк, а $\vec{v}{}^{\prime }$ отклонена от неё влево, против течения, на угол $\theta$. Теперь посмотрите, где находится $O$. Поскольку $u<v^{\prime }$, точка $O$ лежит внутри окружности, поэтому луч из $O$ в любом направлении пересекает окружность: возможно любое направление $\vec{v}$, в том числе прямо поперёк. Верхняя точка окружности даёт наибольшую поперечную проекцию — саму $v^{\prime }$ — и, значит, самую быструю переправу.

Чтобы перевести рисунок в числа, воспользуйтесь осями в углу рисунка: $x$ — вниз по течению, $y$ — поперёк, к дальнему берегу. Отклонение против течения означает направление в сторону отрицательных $x$, поэтому
$\vec{v}{}^{\prime }=(-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta ),\vec{v}=(u-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta )$
Только поперечная проекция $v^{\prime }\cos \theta$ переносит лодку через реку шириной $d$, поэтому именно она определяет время переправы. За это время продольная проекция сносит лодку вниз по течению на расстояние $x$:
$t(\theta )=\frac{d}{v^{\prime }\cos \theta },x(\theta )=\frac{(u-v^{\prime }\sin \theta )d}{v^{\prime }\cos \theta }$

Быстрее всего переправа при $\theta =0$, где $\cos \theta$ наибольший, каким бы ни было течение: $60/5=12\mathrm{с}$ при сносе $3\cdot 12=36\mathrm{м}$. Снос исчезает, когда составляющая $\vec{v}{}^{\prime }$ против течения компенсирует течение: $v^{\prime }\sin \theta =u$. Обозначим такой курс $\alpha$: $\sin \alpha =u/v^{\prime }=0,6$, так что $\alpha \approx 36,9^{\circ }$. Тогда $\cos \alpha =0,8$, скорость относительно берега $\vec{v}=(0,4)\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — треугольник со сторонами 3, 4, 5, — а переправа занимает $60/4=15\mathrm{с}$. Промежуточные курсы обменивают время на снос. При $\theta =20^{\circ }$ лодка переправляется за $60/(5\cos 20^{\circ })\approx 12,8\mathrm{с}$ и причаливает в $(3-5\sin 20^{\circ })\cdot 12,8\approx 16,5\mathrm{м}$ ниже по течению. Именно этот курс в масштабе показан на рисунке 3.

График на уровне «Продвинутый» в анимации показывает только поперечное движение. Каждая линия $y(t)$ — прямая, наклон которой равен поперечной скорости своей лодки: 5 м/с у лодки, направленной прямо поперёк, — она достигает пунктирной линии $y=d$ через 12 с, — и 4 м/с у фиолетовой лодки, идущей курсом 36,9° против течения, которая приходит через 15 с. Снос график показать не может. На дальнем берегу первая лодка причаливает в 36 м ниже по течению, а вторая — точно напротив места старта.

Когда течение неоднородно

До сих пор течение было везде одинаковым. Настоящая река быстрее всего течёт посередине и почти останавливается у берегов. Меняет ли это место причаливания? На удивление мало, и причину стоит понять.

Возьмём профиль $u(y)=4u_{\max }(y/d)(1-y/d)$. Он равен нулю у обоих берегов, при $y=0$ и $y=d$, и достигает наибольшего значения $u_{\max }$ посередине, при $y=d/2$; пусть $u_{\max }=4,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$. У лодки, направленной прямо поперёк, поперечная скорость по-прежнему равна $v^{\prime }$, потому что течение толкает только вдоль реки. Значит, $y=v^{\prime }t$, и переправа по-прежнему занимает 12 с. Вдоль реки скорость лодки равна местной скорости течения: $dx/dt=u(y)$. Поскольку $y$ растёт равномерно, лодку удобнее отслеживать по $y$, чем по $t$: при $dt=dy/v^{\prime }$ каждый шаг поперёк добавляет $dx=u(y)dy/v^{\prime }$, и сумма шагов по всей ширине даёт
$x=\frac{1}{v^{\prime }}{\int }_0^{d}u(y)dy=\frac{\bar{u}d}{v^{\prime }}$
где $\bar{u}$ — скорость течения, усреднённая по ширине.

Для этой параболы среднее равно $\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{\max }=3\mathrm{м}/\mathrm{с}$, поэтому лодку снова сносит на 36 м вниз по течению. Однако её путь теперь — кривая. У берегов течения нет, поэтому лодка отходит от одного берега и подходит к другому, двигаясь прямо поперёк; посередине она наклонена сильнее всего — на угол $\phi$ от перпендикуляра, где $\mathrm{tg}\phi =4,5/5$, около 42°. Снос определяет лишь течение, усреднённое по ширине.

То же верно и при неизменном курсе. Лодка, идущая курсом 36,9° против течения, движется относительно воды со скоростью 3 м/с против течения и 4 м/с поперёк. У берегов течение слабее 3 м/с, и лодка продвигается вверх по течению; посередине оно сильнее, и лодка теряет выигранное. Поскольку среднее равно ровно 3 м/с, лодка по-прежнему причаливает точно напротив через 15 с, но по пути отклоняется на 4,3 м вверх по течению у первого берега и на 4,3 м вниз по течению у второго. Чтобы всё время держаться прямой, курс пришлось бы непрерывно поворачивать так, чтобы в каждой точке $v^{\prime }\sin \theta =u(y)$. Для этого посередине нужен курс до 64°, где $\sin \theta =0,9$, а из-за меньшей поперечной скорости переправа заняла бы около 17,9 с.

Задача: река в половодье

После сильных дождей течение ускоряется до $u=6,25\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — быстрее, чем 5 м/с гребца. Сможет ли лодка по-прежнему причалить напротив места старта? Если нет, то какой курс приведёт её ближе всего к этой точке и сколько времени это будет стоить?

Обозначения

$x$	Ось вдоль реки, направленная вниз по течению.
$y$	Ось прямо поперёк реки, к дальнему берегу.
$O$	Начальная точка диаграммы, из которой выходят $\vec{u}$ и $\vec{v}$.
$\vec{u}$	Скорость течения в половодье, отложенная от $O$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Скорость лодки относительно воды при лучшем курсе; её конец лежит в точке касания касательной и окружности.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{v}$	Скорость лодки относительно берега, направленная по касательной, — направление с наименьшим сносом.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\theta$	Лучший курс: угол между $\vec{v}{}^{\prime }$ и направлением прямо поперёк (пунктирной вертикалью).	$\mathrm{рад}$

Рисунок 4 — диаграмма скоростей рисунка 3, перерисованная для половодья. Стрелка $\vec{u}$ теперь длиннее радиуса окружности, 5 м/с, поэтому точка $O$ лежит вне окружности. Следовательно, каждая стрелка $\vec{v}$ из $O$ к окружности направлена отчасти вниз по течению: причалить напротив невозможно. Формула с этим согласна: понадобилось бы $\sin \theta =u/v^{\prime }=6,25/5=1,25$. Курс прямо поперёк по-прежнему даёт самую быструю переправу, 12 с, но со сносом $6,25\cdot 12=75\mathrm{м}$.

Какой курс даёт наименьший снос? Лодка движется вдоль $\vec{v}$, а снос равен произведению $d$ на тангенс угла между $\vec{v}$ и направлением прямо поперёк. Поэтому лучшая $\vec{v}$ — та, что сильнее всего отклонена против течения, но ещё достаёт до окружности: касательная из $O$ к окружности, проведённая на рисунке 4. Вычисление это подтверждает. Продифференцируем $x(\theta )$ по правилу дифференцирования частного и воспользуемся тем, что ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$:
$\frac{dx}{d\theta }=\frac{u\sin \theta -v^{\prime }}{v^{\prime }{\cos }^2\theta }d=0\Rightarrow \sin \theta =\frac{v^{\prime }}{u}=0,8$

Итак, лодка берёт курс $\theta \approx 53,1^{\circ }$ против течения — это угол, отмеченный на рисунке 4, — и $\cos \theta =0,6$. Её скорость поперёк равна $5\cdot 0,6=3\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а вниз по течению — $6,25-5\cdot 0,8=2,25\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Переправа занимает $60/3=20\mathrm{с}$, а снос равен $2,25\cdot 20=45\mathrm{м}$. В общем виде $x_{\min }=d\sqrt{u^2-v^{\prime 2}}/v^{\prime }$.

Прямой угол на рисунке 4 не случаен. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, а радиус здесь — $\vec{v}{}^{\prime }$, поэтому лучшая $\vec{v}$ перпендикулярна $\vec{v}{}^{\prime }$. Скалярное произведение это подтверждает: при $\vec{v}{}^{\prime }=(-4,3)\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $\vec{v}=(2,25;3)\mathrm{м}/\mathrm{с}$ получаем $(-4)(2,25)+3\cdot 3=0$. По сравнению с курсом прямо поперёк курс против течения экономит 30 м сноса и стоит 8 с.

Система воды даёт независимую проверку. Там лодка движется со скоростью 5 м/с по своему курсу в течение 20 с, то есть перемещается на $\vec{r}{}^{\prime }=(-80,60)\mathrm{м}$, а вода тем временем уносит всё на $6,25\cdot 20=125\mathrm{м}$ вниз по течению. Тогда $\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$ даёт точку причаливания $(45,60)\mathrm{м}$, как и раньше.

Границы применимости

Правило $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ опирается на два допущения: движущаяся система сохраняет постоянную скорость и не вращается, а у всех наблюдателей одни и те же часы и одна и та же линейка. Каждое из них где-то нарушается, и полезно знать где.

Пусть система $S^{\prime }$ движется относительно $S$ с ускорением $\vec{A}$. В преобразовании появляется слагаемое $\frac{1}{2}\vec{A}{t}^2$, и двукратное дифференцирование даёт $\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }+\vec{A}$: теперь наблюдатели расходятся в ускорениях. В поезде, тормозящем с ускорением 2 м/с², выпущенный из рук мяч не имеет горизонтального ускорения относительно земли, поэтому относительно вагона он уходит вперёд с ускорением 2 м/с², как будто его толкает сила, которую ничто не прикладывает. Такие кажущиеся силы называют фиктивными, или силами инерции. Вращающаяся система добавляет ещё два таких ускорения — центробежное и кориолисово.

Земля — именно такая вращающаяся система, но вращается она медленно: $\Omega \approx 7,29\times 10^{-5}\mathrm{рад}/\mathrm{с}$. Для лодки, идущей со скоростью 5,83 м/с на широте 45°, боковое кориолисово ускорение $2\Omega v\sin 45^{\circ }$ составляет около $6\times 10^{-4}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. За 12 с переправы оно сдвигает лодку на $\frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{-4}\cdot 12^2\approx 4\mathrm{см}$. Для океанских течений и штормов, которые длятся днями и охватывают тысячи километров, оно решающее.

Глубже: кинематика Галилея предполагает, что у всех наблюдателей одни и те же часы и одинаковые длины. Свет этому не подчиняется: его скорость $c\approx 3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ одинакова во всех инерциальных системах. Специальная теория относительности заменяет сложение скоростей, направленных вдоль одной прямой, законом
$v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}$
по которому результат никогда не превышает $c$. Если корабль, летящий со скоростью $0,6c$, запускает вперёд зонд со скоростью $0,6c$ относительно себя, зонд движется со скоростью $1,2c/1,36\approx 0,88c$, а не $1,2c$. Для лодки поправка порядка $v^{\prime }u/c^2\approx 1,7\times 10^{-16}$ намного меньше всего, что можно измерить: сложение скоростей по Галилею — это предел малых скоростей релятивистского закона.

Что дальше

Урок «Движение тела, брошенного под углом» раскладывает бросок на равномерное горизонтальное и равноускоренное вертикальное движения, независимые друг от друга, как продольное и поперечное движения лодки. В уроке «Законы Ньютона» $\vec{F}=m\vec{a}$ записан как векторный закон, верный в рассмотренных здесь инерциальных системах. Урок «Движение по окружности» находит ускорение тела, поворачивающего с постоянной по модулю скоростью, вычитая векторы скорости, а «Работа, энергия и мощность» использует скалярное произведение, $W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$. Урок «Импульс и столкновения» нередко переходит в систему центра масс именно таким галилеевым сдвигом, а «Звук и эффект Доплера» зависит от скоростей источника и слушателя относительно воздуха.

Один вопрос остаётся открытым. В уроке «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» есть скорость, $q\vec{v}\times \vec{B}$: относительно какой системы отсчёта? Ответ даёт урок «Специальная теория относительности»: стоит отказаться от общих часов, и электрическое и магнитное поля смешиваются при переходе от одной системы к другой.