Relatividade restrita

Iniciante

Atire uma pedra de um barco que desliza sobre um lago calmo. As ondulações se espalham pela água no próprio ritmo, qualquer que seja o movimento do barco; por isso, vistas do barco, as ondulações à frente parecem se afastar devagar, enquanto as de trás fogem depressa. Ondas na água ou no ar se propagam por um meio, e a velocidade que você mede depende de como você se move através dele.

Os físicos achavam que a luz funcionava do mesmo jeito, como uma onda em um “éter” invisível que preenche o espaço. A Terra gira em torno do Sol a 30 km/s, então a luz deveria parecer um pouco mais rápida em uma direção do que em outra. Em 1887, Michelson e Morley compararam dois feixes de luz enviados em ângulo reto, giraram o aparelho e não encontraram diferença alguma. A luz não precisa de meio, e sua velocidade, cerca de 300.000 km por segundo, é a mesma para todo observador.

Einstein levou isso a sério em 1905, e isso muda o próprio tempo. Na animação, um flash quica entre dois espelhos, um tique por viagem. No relógio em repouso, a luz sobe e desce na vertical. O outro relógio corre para o lado, então, visto do chão, o seu feixe de luz segue zigue-zagues inclinados e mais longos. A luz não pode acelerar para compensar a distância, então cada tique demora mais: quatro tiques contra cinco. Tudo a bordo, inclusive os batimentos cardíacos, desacelera do mesmo modo, por isso o viajante não percebe nada. Os múons, partículas rápidas criadas no alto da atmosfera por raios cósmicos, chegam ao chão só porque o tempo deles corre devagar. Objetos em movimento também são medidos mais curtos na direção do movimento, e nenhum empurrão consegue levar algo com massa à velocidade da luz.

Teste você mesmo: se o relógio em movimento fosse mais rápido, o seu zigue-zague seria mais longo ou mais curto, e os seus tiques mais rápidos ou mais lentos? (Mais longo, então mais lento.)

Intermediário

Referenciais, eventos e os dois postulados

Na relatividade, um observador representa um referencial inercial inteiro: réguas e relógios sincronizados que se movem com velocidade constante, como um trem que avança suavemente. Um evento acontece em um lugar e em um instante, como um flash ou o tique de um relógio, então cada referencial lhe atribui uma posição $x$ e um tempo $t$.

A teoria repousa sobre dois postulados. Primeiro, as leis da física têm a mesma forma em todo referencial inercial, então nenhum experimento dentro de uma cabine fechada pode mostrar se ela está se movendo. Segundo, a luz no vácuo se move com a mesma velocidade em todo referencial inercial, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, não importa como se movam a fonte ou o observador. Juntos, eles obrigam os intervalos de tempo e os comprimentos a depender do referencial.

Lendo o triângulo do relógio de luz

Em um relógio de luz, um flash quica entre dois espelhos a uma distância $d$, e cada cruzamento é um tique. No referencial de repouso do relógio, a luz vai reto de um lado ao outro, então um tique dura $\Delta t_0=d/c$. Este é um tempo próprio: o intervalo entre dois eventos lido em um único relógio presente em ambos.

Em um referencial no qual o relógio se move lateralmente com velocidade $v$ (a seta azul), um tique dura $\Delta t$, e os espelhos avançam $v\Delta t$, então a luz segue por uma diagonal. A animação desenha esse triângulo retângulo sobre o primeiro tique: o lado verde tracejado $c\Delta t_0$ é a distância entre os espelhos, a base azul $v\Delta t$ é o deslocamento do relógio e a hipotenusa dourada $c\Delta t$ é o caminho da luz, que continua percorrido à velocidade $c$. Pitágoras dá $(c\Delta t{)}^2=(c\Delta t_0{)}^2+(v\Delta t{)}^2$, logo
$\Delta t=\gamma \Delta t_0$
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

O fator de Lorentz $\gamma$ vale 1 em repouso e cresce sem limite à medida que $v$ se aproxima de $c$: vale 1,005 a $0,1c$, 1,25 a $0,6c$ e 7,09 a $0,99c$. Todo processo a bordo, inclusive o batimento cardíaco de um passageiro, desacelera pelo mesmo fator; caso contrário, comparar os dois revelaria o movimento.

Contração do comprimento e simultaneidade

Os comprimentos também mudam. O comprimento de um objeto em seu próprio referencial de repouso é o comprimento próprio $L_0$, e um referencial em que ele se move o mede menor na direção do movimento,
$L=\frac{L_0}{\gamma }$
mas não perpendicularmente a ele. Por isso o relógio em movimento é desenhado com 24 unidades de largura em vez de 30, mas com a mesma altura, e a distância $d$ entre os espelhos é a mesma nos dois referenciais, como o triângulo supõe.

Os dois efeitos são mútuos: um passageiro que viaja com o relógio em movimento acha os relógios do chão lentos e as réguas do chão curtas. Não há contradição, porque os dois referenciais discordam quanto à simultaneidade. Dois flashes ao mesmo tempo nas duas extremidades de uma plataforma não são simultâneos para uma passageira em um trem que passa: para ela, o flash à frente do trem chega primeiro. Medir um relógio em movimento exige dois relógios seus nos lugares pelos quais ele passa, e o observador em movimento afirma que esses dois não estão sincronizados.

Em todo problema, encontre primeiro o referencial de repouso do relógio ou do objeto: tempos e comprimentos próprios pertencem a ele.

Energia, quantidade de movimento e o limite de velocidade

Se a quantidade de movimento newtoniana $mv$ se conservasse em uma colisão vista de um referencial, não se conservaria em um referencial que se move com uma grande fração de $c$. A quantidade de movimento relativística, a energia e a energia cinética carregam todas o fator $\gamma$:

• $p=\gamma mv$
• $E=\gamma m{c}^2$
• $K=(\gamma -1)m{c}^2$

Aqui $m$ é a massa comum, a mesma em todo referencial, e $E$ é a energia total. Mesmo em repouso, um corpo tem a energia de repouso $m{c}^2$; $K$ é o que o movimento acrescenta. Um elétron tem $m{c}^2=511\mathrm{keV}$, então a $0,6c$ sua energia é $E=1,25\cdot 511\approx 639\mathrm{keV}$ e $K\approx 128\mathrm{keV}$, enquanto $\frac{1}{2}m{v}^2$ de Newton dá apenas 92 keV. Como $\gamma$ não tem limite superior, $K$ também não tem: a $0,99c$ ele já vale $6,1m{c}^2$, e nenhuma energia finita leva um corpo com massa até $c$.

Exemplo resolvido: os relógios da animação

Na tela, a luz é desacelerada para 50 unidades por segundo e os espelhos estão a 76 unidades de distância, então o relógio em repouso tica a cada $\Delta t_0=76/50=1,52\mathrm{s}$. O outro relógio se move com $v=0,6c$, que são 30 unidades por segundo:
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-0,6^2}}=\frac{1}{\sqrt{0,64}}=\frac{1}{0,8}=1,25$
$\Delta t=1,25\cdot 1,52\mathrm{s}=1,90\mathrm{s}$

Esses são os valores da linha “1 tique: 1,52 s → 1,90 s”. O triângulo os confere: em um tique em movimento o relógio avança $30\cdot 1,90=57$ unidades e a luz percorre $50\cdot 1,90=95$ unidades, e $57^2+76^2=95^2$, um triângulo 3-4-5. Depois de 7,6 s, o contador verde do relógio em repouso chega a $7,6/1,52=5$ tiques, e o contador vermelho acima do relógio em movimento a $7,6/1,90=4$: a razão 5 : 4 é $\gamma$.

A seta azul $v$ mantém seu comprimento porque a velocidade é constante, e a caixa em movimento é desenhada com $30/1,25=24$ unidades de largura. Para o relógio em movimento nada está errado: seus quatro tiques levaram $4\cdot 1,52=6,08\mathrm{s}$ do próprio tempo dele.

Exemplo resolvido: múons das camadas altas

Raios cósmicos que atingem a alta atmosfera produzem múons, partículas instáveis que vivem em média $\Delta t_0=2,2\mu \mathrm{s}$ em repouso. Múons criados a 10 km de altitude, descendo com $v=0,995c$, chegam ao chão?

Sem relatividade, um múon percorreria apenas $0,995\cdot 3,00\times 10^8\cdot 2,2\times 10^{-6}\approx 660\mathrm{m}$ em uma vida média. A viagem de 10 km dura $10000/(2,985\times 10^8)\approx 33,5\mu \mathrm{s}$, cerca de 15 vidas médias, e como após $n$ vidas médias sobra uma fração $e^{-n}$, apenas um múon em quatro milhões chegaria.

Com relatividade, $\gamma =1/\sqrt{1-0,995^2}\approx 10,0$: no referencial da Terra a vida média é de cerca de $22\mu \mathrm{s}$, a viagem dura só 1,5 vida média, e sobrevive uma fração $e^{-1,52}\approx 0,22$, cerca de um múon em cinco.

No referencial do múon, o relógio dele funciona normalmente, mas a atmosfera passa correndo, contraída para $10\mathrm{km}/10,0\approx 1,0\mathrm{km}$, o que leva cerca de $3,35\mu \mathrm{s}$: de novo 1,5 vida média. O que um referencial chama de dilatação do tempo, o outro chama de contração do comprimento.

Erros comuns

• O relógio em movimento não está defeituoso: em seu próprio referencial ele tica a cada 1,52 s; os 1,90 s são medidos a partir de um referencial em que ele se move.
• O tempo próprio é o menor intervalo, então ele se multiplica por $\gamma$, nunca se divide: 2,0 s de tempo próprio a $0,6c$ viram 2,5 s, não 1,6 s.
• Não confunda $\gamma$ com a raiz que ele contém: a $0,6c$ a raiz $\sqrt{1-v^2/c^2}$ vale 0,8, e $\gamma$, seu inverso, vale 1,25.
• A contração só age na direção do movimento: a distância entre os espelhos continua 76 unidades enquanto a largura passa de 30 para 24 unidades.
• As velocidades não se somam simplesmente: uma sonda lançada para a frente a $0,6c$ por uma nave que se move a $0,6c$ viaja a $1,2/1,36\approx 0,88c$, não a $1,2c$.

Onde você encontra isso

Os satélites GPS se movem a cerca de 3,9 km/s, então seus relógios perdem cerca de 7 microssegundos por dia pelo movimento, enquanto a gravidade mais fraca na altitude deles os faz ganhar mais; sem correção, as posições calculadas se afastariam por quilômetros por dia. Os ímãs de aceleradores são projetados para $p=\gamma mv$, com prótons em $\gamma$ na casa dos milhares. Microscópios eletrônicos aceleram elétrons com 300 kV até $0,78c$ ($\gamma \approx 1,59$), e os tomógrafos PET dos hospitais detectam pares de fótons de 511 keV da aniquilação de pares elétron-pósitron.

A energia de repouso reaparece em “Fissão, fusão e E = mc²”, e a parte gravitacional da correção do GPS, em “A gravidade como espaço-tempo curvo”.

Avançado

Dos dois postulados à transformação de Lorentz

Esta seção responde a uma pergunta: se dois referenciais inerciais veem um pulso de luz se mover com a mesma velocidade $c$, como as coordenadas de um evento em um deles se relacionam com as coordenadas no outro? A resposta, a transformação de Lorentz, contém todos os efeitos da relatividade restrita, por isso vale a pena deduzi-la passo a passo.

Tome um referencial $S^{\prime }$ que se move com velocidade $v$ ao longo do eixo $x$ de um referencial $S$, e zere os relógios de ambos quando as duas origens se cruzam, de modo que esse evento tenha $t=t^{\prime }=0$. A regra de Galileu, $x^{\prime }=x-vt$ com $t^{\prime }=t$, não pode estar certa. Ela subtrai velocidades: um pulso de luz com $x=ct$ teria $x^{\prime }=(c-v)t$ e, portanto, se moveria a $c-v$ em $S^{\prime }$, contra o segundo postulado.

Três fatos fixam a regra correta. Primeiro, ela deve ser linear: espaço e tempo são iguais em toda parte, então a regra não pode privilegiar nenhum lugar ou instante, e um corpo que se move uniformemente em um referencial deve se mover uniformemente no outro.

Segundo, as distâncias perpendiculares ao movimento não mudam: $y^{\prime }=y$ e $z^{\prime }=z$. Imagine dois anéis idênticos voando um através do outro ao longo do eixo comum. Se o movimento encurtasse um anel, cada referencial acharia o outro anel menor e o veria passar por dentro do próprio anel; as duas coisas não podem ser verdadeiras, pois qual anel passa por dentro do outro é um fato simples.

Terceiro, a origem de $S^{\prime }$, onde $x^{\prime }=0$, está em $x=vt$. Uma regra linear que dá exatamente $x^{\prime }=0$ ali deve ser proporcional a $x-vt$:
$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$
Aqui $\gamma$ é um fator que pode depender de $v$, mas não de $x$ ou $t$. Em $S^{\prime }$, o referencial $S$ se move com $-v$, e pelo primeiro postulado nenhum dos dois é especial; então a inversa tem a mesma forma, com o mesmo fator e a velocidade oposta:
$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

O segundo postulado agora fixa $\gamma$. Envie um pulso de luz da origem comum em $t=t^{\prime }=0$. Em $S$ ele obedece a $x=ct$, e em $S^{\prime }$ a $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$. Substituindo nas duas equações, obtemos $c{t}^{\prime }=\gamma (c-v)t$ e $ct=\gamma (c+v)t^{\prime }$. Multiplicando-as e cancelando $t{t}^{\prime }$, resta $c^2={\gamma }^2(c^2-v^2)$, logo
$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
que é o mesmo fator de Lorentz que o relógio de luz deu para a dilatação do tempo.

A regra para o tempo segue ao eliminar $x^{\prime }$. Substitua $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ em $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ e isole $t^{\prime }$; com $1-1/{\gamma }^2=v^2/c^2$ o resultado se simplifica, e a transformação completa fica
$x^{\prime }=\gamma (x-vt),t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$
Para $v\ll c$, $\gamma \approx 1$ e o termo $vx/c^2$ é desprezível, e a regra de Galileu volta. Esse termo novo é o cerne da questão: o tempo de um evento em $S^{\prime }$ depende não apenas de quando ele acontece em $S$, mas também de onde.

Eixos inclinados: o diagrama de espaço-tempo

Legenda

$x$	Posição em $S$: o eixo horizontal, a linha $ct=0$.	$\mathrm{m}$
$ct$	Tempo em $S$ multiplicado por $c$: o eixo vertical, de modo que tempo e distância compartilham uma unidade.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Eixo de posição de $S^{\prime }$: a linha dos eventos com $t^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Eixo de tempo de $S^{\prime }$, tempo multiplicado por $c$: a linha de universo da origem de $S^{\prime }$, onde $x^{\prime }=0$.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Linha de universo de um pulso de luz que sai de $A$; ele também obedece a $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$.
$A$	Evento na origem de ambos os referenciais.
$B$	Evento sobre o eixo $x$, simultâneo com $A$ em $S$.
$\Delta x$	Distância entre $A$ e $B$ em $S$.	$\mathrm{m}$
$c\Delta t^{\prime }$	Tempo entre $A$ e $B$ em $S^{\prime }$, multiplicado por $c$ e lido sobre o eixo $c{t}^{\prime }$. É negativo: $B$ vem primeiro.	$\mathrm{m}$

Um diagrama de espaço-tempo desenha a transformação de Lorentz em vez de escrevê-la, e mostra de relance por que dois referenciais discordam sobre quais eventos distantes ocorrem ao mesmo tempo. A Figura 1 está desenhada no referencial $S$, para $v=0,6c$.

O tempo é marcado para cima como $ct$, ou seja, o tempo multiplicado por $c$, de modo que os dois eixos de $S$ medem comprimento na mesma unidade. Um pulso de luz que parte da origem segue então a linha tracejada de 45° $x=ct$.

O referencial $S^{\prime }$ traz dois eixos próprios. Seu eixo de tempo $c{t}^{\prime }$ é o conjunto de eventos com $x^{\prime }=0$: a linha de universo $x=vt$ de sua origem, que se inclina para a direita em relação ao eixo $ct$. Seu eixo de posição $x^{\prime }$ é o conjunto de eventos com $t^{\prime }=0$; fazendo $t^{\prime }=0$ em $t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2)$ obtemos $ct=(v/c)x$, uma linha que se inclina para cima a partir do eixo $x$. Os dois eixos de $S^{\prime }$ se inclinam do mesmo ângulo, em direção à linha de luz vindo de cada lado, de modo que a linha de luz continua exatamente no meio entre eles. O pulso, portanto, também obedece a $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$: o segundo postulado está embutido no desenho.

Agora os eventos $A$ e $B$. Os dois estão sobre o eixo $x$, então em $S$ acontecem ao mesmo tempo, $t=0$, separados por $\Delta x$. Em $S^{\prime }$, os eventos com o mesmo $t^{\prime }$ estão sobre linhas paralelas ao eixo $x^{\prime }$, assim como eventos com o mesmo $t$ estão sobre linhas horizontais em $S$. Para ler o tempo de $B$ em $S^{\prime }$, siga a linha tracejada que passa por $B$, paralela a $x^{\prime }$, até encontrar o eixo $c{t}^{\prime }$. Ela encontra esse eixo abaixo de $A$, em $c\Delta t^{\prime }$: pelos relógios de $S^{\prime }$, o evento $B$ acontece primeiro. Colocando $\Delta t=0$ na transformação, obtemos o tamanho dessa diferença:
$\Delta t^{\prime }=-\frac{\gamma v\Delta x}{c^2}$
O sinal de menos diz que $B$, o evento mais adiante na direção do movimento, vem primeiro. Na velocidade da figura, $\gamma =1,25$, logo $\gamma v/c=0,75$: dois flashes no referencial do laboratório, ao mesmo tempo e separados por um segundo-luz, estão separados por 0,75 s para os relógios em movimento. Se dois eventos distantes são simultâneos depende do referencial.

Dilatação, contração e soma de velocidades

A transformação agora entrega, em poucas linhas cada, os efeitos apresentados antes, e mostra que eles valem para qualquer relógio e qualquer barra, não só para o relógio de luz.

Dilatação do tempo. Tome um relógio em repouso na origem de $S^{\prime }$. Em $S$ ele se move ao longo de $x=vt$, então sua leitura é $t^{\prime }=\gamma (t-v^{2}t/c^2)=\gamma t(1-v^2/c^2)=t/\gamma$. Enquanto passa um tempo $\Delta t$ em $S$, o relógio em movimento avança apenas $\Delta t_0=\Delta t/\gamma$; isto é, $\Delta t=\gamma \Delta t_0$.

Contração do comprimento. Uma barra de comprimento próprio $L_0$ está em repouso em $S^{\prime }$, então suas extremidades estão separadas por $\Delta x^{\prime }=L_0$. Para medir uma barra em movimento, $S$ deve marcar as duas extremidades no mesmo instante, $\Delta t=0$, e então a transformação dá $\Delta x^{\prime }=\gamma \Delta x$. O comprimento em $S$ é, portanto, $L=\Delta x=L_0/\gamma$.

Soma de velocidades. A transformação inversa é a mesma regra com $-v$: $x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$ e $t=\gamma (t^{\prime }+v{x}^{\prime }/c^2)$. Um corpo que se move em $S^{\prime }$ com $u^{\prime }$ ao longo de $x$ percorre $d{x}^{\prime }=u^{\prime }d{t}^{\prime }$, logo $dx=\gamma (u^{\prime }+v)d{t}^{\prime }$ e $dt=\gamma (1+u^{\prime }v/c^2)d{t}^{\prime }$. A razão entre eles é a sua velocidade em $S$:
$u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$
Para $u^{\prime }=c$ resulta $u=c$, como exige o segundo postulado. Duas velocidades de $0,6c$ não se compõem em $1,2c$, mas em $1,2/1,36=15/17\approx 0,88c$.

O tamanho de todos esses efeitos é determinado por $\gamma$, e o gráfico da animação o traça contra $v/c$ até 0,95, onde $\gamma =3,20$. Perto da origem a curva é plana, $\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, apenas 0,5 % acima de 1 a $0,1c$; por isso a relatividade passa despercebida no cotidiano. No ponto, $0,6c$, essa parábola dá apenas 1,18 contra o valor verdadeiro de 1,25, e a inclinação $d\gamma /d(v/c)=(v/c){\gamma }^3$ já é 1,17. Na borda direita a inclinação é 31, e a curva sobe em direção a uma assíntota vertical em $v=c$.

O intervalo invariante e a rapidez

Legenda

$x$	Posição em $S$: o eixo horizontal.	$\mathrm{m}$
$ct$	Tempo em $S$ multiplicado por $c$: o eixo vertical, a linha de universo do relógio em repouso.	$\mathrm{m}$
$x^{\prime }$	Eixo de posição de $S^{\prime }$.	$\mathrm{m}$
$c{t}^{\prime }$	Eixo de tempo de $S^{\prime }$, tempo multiplicado por $c$: a linha de universo do relógio em movimento.	$\mathrm{m}$
$x=ct$	Linha de universo da luz saindo de $O$: a linha tracejada à qual a hipérbole se aproxima.
$O$	Evento em que os dois relógios se encontram e começam.
$Q$	Tique do relógio em repouso, após o tempo próprio $\tau$.
$P$	Tique do relógio em movimento, após o mesmo tempo próprio $\tau$.
$c\tau$	Tempo próprio entre $O$ e o tique, multiplicado por $c$: a altura de $Q$ e a coordenada $c{t}^{\prime }$ de $P$.	$\mathrm{m}$
$\gamma c\tau$	Tempo de $P$ em $S$, multiplicado por $c$: maior que $c\tau$ pelo fator $\gamma$.	$\mathrm{m}$
$s$	Intervalo a partir de $O$, o mesmo para todo ponto da hipérbole; aqui $s=c\tau$.	$\mathrm{m}$
$\alpha$	Inclinação dos eixos de $S^{\prime }$ em relação aos de $S$: $\tan \alpha =v/c$.	$\mathrm{rad}$

Tempos e comprimentos mudam de referencial para referencial, mas uma combinação deles não muda. Esse invariante, o intervalo, desempenha no espaço-tempo o papel que a distância desempenha no espaço comum, e a Figura 2 mostra como lê-lo no diagrama.

Dois relógios idênticos partem juntos do evento $O$. Um permanece em repouso em $S$ e sobe pelo eixo $ct$; o outro se move com $S^{\prime }$ e sobe pelo eixo $c{t}^{\prime }$. Cada um marca um tique após o tempo próprio $\tau$, o tempo que ele mesmo registra. O relógio em repouso tica no evento $Q$, à altura $c\tau$. O relógio em movimento tica no evento $P$, onde seu próprio eixo marca $c{t}^{\prime }=c\tau$. A linha tracejada de $P$ até o eixo $ct$ mostra quando $S$ data esse tique: em $ct=\gamma c\tau$, mais tarde que $Q$. Aqui está a dilatação do tempo mais uma vez.

Observe o aparente paradoxo no papel: o segmento $OP$ está desenhado mais longo que $OQ$, embora ambos representem o mesmo $c\tau$. A curva $s$ resolve isso. Tanto $P$ quanto $Q$ estão sobre esta hipérbole, o conjunto de todos os eventos com o mesmo intervalo $s=c\tau$ a partir de $O$. Em um diagrama de espaço-tempo, intervalos iguais são lidos ao longo de hipérboles como essa, não com uma régua.

O intervalo entre dois eventos é definido por
$s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$
Coloque a transformação no lado direito, eleve ao quadrado e subtraia: os termos cruzados se cancelam, o fator ${\gamma }^2(1-v^2/c^2)$ é igual a 1, e aparece o mesmo $s^2$ em $S^{\prime }$. Uma rotação em um plano deixa $x^2+y^2$ inalterado exatamente do mesmo modo.

A analogia com a rotação é exata. Defina a rapidez $\phi$ por $v/c=\tanh \phi$. Então $\gamma =\cosh \phi$ e $\gamma v/c=\sinh \phi$, e a transformação se torna $c{t}^{\prime }=ct\cosh \phi -x\sinh \phi$ e $x^{\prime }=x\cosh \phi -ct\sinh \phi$. Isso é uma rotação no plano $(x,ct)$ de ângulo $\phi$, com funções hiperbólicas no lugar das circulares. A Figura 2 mostra o mesmo boost com uma régua: os eixos de $S^{\prime }$ se inclinam de um ângulo $\alpha$, com $\tan \alpha =v/c=\tanh \phi$. As rapidezes de boosts sucessivos ao longo de uma mesma reta simplesmente se somam, e essa é a lei de soma de velocidades disfarçada. Na animação, $\phi =\mathrm{artanh}0,6=\ln 2$, logo $\gamma =\cosh (\ln 2)=(2+\frac{1}{2})/2=1,25$, e dois desses boosts dão $\tanh (2\ln 2)=\tanh (\ln 4)=15/17$, a velocidade encontrada acima.

O relógio de luz mede um intervalo. Um tique do relógio em movimento abrange $\Delta t=1,90\mathrm{s}$ e $\Delta x=57$ unidades em $S$, com a luz a 50 unidades por segundo; logo $c\Delta t=95$ unidades e $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=95^2-57^2=76^2$. O intervalo é a distância entre os espelhos, 76 unidades, a mesma em todo referencial; dividido por $c$, é o tempo próprio de um tique, 1,52 s.

Ao longo de uma linha de universo curvada, some o tempo próprio de cada pequeno trecho reto: $\tau =\int dt/\gamma$. Por causa dos sinais de menos em $s^2$, o movimento pelo espaço reduz o tempo próprio em vez de aumentá-lo. Entre todas as linhas de universo que ligam dois eventos, a reta inercial tem, portanto, o maior tempo próprio, o oposto da geometria euclidiana, em que a reta é a mais curta. Um gêmeo que viaja para longe e volta envelhece menos, como mostra o problema resolvido abaixo.

Energia e quantidade de movimento como um quadrivetor

Legenda

$m{c}^2$	Energia de repouso: um cateto do triângulo, copiado para a hipotenusa pelo arco.	$\mathrm{J}$
$pc$	Quantidade de movimento multiplicada por $c$: o outro cateto.	$\mathrm{J}$
$E$	Energia total, $\gamma m{c}^2$: a hipotenusa.	$\mathrm{J}$
$K$	Energia cinética, $E-m{c}^2$: a parte da hipotenusa além do cateto girado.	$\mathrm{J}$
$\theta$	Ângulo entre o cateto $m{c}^2$ e a hipotenusa: $\sin \theta =pc/E=v/c$.	$\mathrm{rad}$

Se a quantidade de movimento deve se conservar em todo referencial inercial, energia e quantidade de movimento têm de se transformar juntas, assim como $t$ e $x$. Esta seção une esse par em um quadrivetor e termina com a relação que a Figura 3 desenha como um triângulo retângulo.

Primeiro, leia o triângulo. Seus catetos são a energia de repouso $m{c}^2$ e $pc$, a quantidade de movimento vezes $c$; sua hipotenusa é a energia total $E$, e o ângulo reto fica no topo, então $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$. Gire o cateto $m{c}^2$ em torno do vértice esquerdo até a hipotenusa, ao longo do arco tracejado: o pedaço da hipotenusa que sobra na extremidade direita é $K=E-m{c}^2$, a energia cinética. No vértice esquerdo, o ângulo $\theta$ tem $\sin \theta =pc/E$, que é igual a $v/c$, como mostrado abaixo.

Agora a dedução. O passo $(cdt,d\vec{x})$ entre dois eventos próximos na linha de universo de um corpo se transforma como $(ct,\vec{x})$. Dividi-lo pelo tempo próprio $d\tau =dt/\gamma$, que é o mesmo em todos os referenciais, preserva essa propriedade; o resultado é a quadrivelocidade $\gamma (c,\vec{v})$. Multiplicando pela massa $m$, obtemos o quadrivetor quantidade de movimento
$(E/c,\vec{p})=(\gamma mc,\gamma m\vec{v})$
Sua parte espacial, $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, é a quantidade de movimento conservada nas colisões. Sua parte temporal é $E/c$, e um boost mistura as duas, assim como mistura $ct$ e $x$: a quantidade de movimento vista em $S^{\prime }$ contém energia de $S$. Assim, a quantidade de movimento só pode se conservar em todo referencial se a energia também se conservar, e as duas leis se tornam uma só.

Como o intervalo, esse quadrivetor tem um comprimento em que todos os referenciais concordam: $(E/c{)}^2-p^2={\gamma }^2{m}^2{c}^2(1-v^2/c^2)=m^2{c}^2$. Multiplicado por $c^2$, lê-se
$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$
Dividindo a parte espacial pela parte temporal, obtemos $pc/E=v/c$, logo $v=p{c}^2/E$; esse é o $\sin \theta$ da Figura 3. Uma partícula sem massa tem $E=pc$ e, portanto, se move a $c$.

Para pequenas velocidades, expanda $\gamma$ em potências de $v^2/c^2$:
$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}$
A energia cinética de Newton é a primeira correção, e $K=(\gamma -1)m{c}^2$ é a forma exata. A energia de repouso $m{c}^2$, que permanece com $v=0$, é real: um corpo quente é mais pesado por $\Delta E/c^2$, e um núcleo atômico é mais leve que suas partes separadas. A massa $m$ é a mesma em todo referencial; o que cresce com a velocidade é $\gamma$.

Na velocidade da animação, $0,6c$, o triângulo da Figura 3 é um triângulo 3-4-5: $pc=\gamma mvc=0,75m{c}^2$ e $E=1,25m{c}^2$, e de fato $0,75^2+1^2=1,25^2$. A energia cinética é $K=0,25m{c}^2$, enquanto a $\frac{1}{2}m{v}^2=0,18m{c}^2$ de Newton fica 28 % abaixo.

Efeito Doppler, campos e aceleração

Três aplicações curtas mostram até onde a transformação alcança: à luz de fontes em movimento, aos campos elétrico e magnético e a corpos que aceleram.

Efeito Doppler. A luz não precisa de meio, então seu desvio Doppler só pode depender da velocidade relativa entre fonte e observador. Seja uma fonte que se afasta com $v$ e emite uma crista a cada $T$ em seu próprio referencial. No nosso referencial, as cristas saem a cada $\gamma T$, por causa da dilatação do tempo, e entre duas cristas a fonte se afasta $v\gamma T$, o que acrescenta $v\gamma T/c$ ao tempo de viagem da próxima crista. O período recebido é, portanto,
$\gamma T(1+v/c)=T\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$
A $0,6c$, o fator é exatamente 2, que é $e^{\phi }$ para a rapidez $\phi =\ln 2$: uma linha espectral de 500 nm chega a 1000 nm de uma fonte que se afasta e a 250 nm de uma que se aproxima. Para luz recebida em ângulo reto com o movimento, a distância não muda, então resta apenas a dilatação do tempo, que reduz a frequência pelo fator $\gamma$.

Campos. Uma carga em repouso tem apenas campo elétrico. Em um referencial em que ela se move, ela é uma corrente e também tem campo magnético, e a força magnética sobre uma carga em movimento é uma força elétrica no referencial de repouso da carga: um boost mistura campos elétricos e magnéticos assim como mistura $t$ e $x$. As equações de Maxwell já obedecem à transformação de Lorentz, então foi a mecânica, e não o eletromagnetismo, que precisou mudar.

Aceleração. Corpos acelerados não precisam de uma nova teoria enquanto o espaço-tempo for plano: em cada instante, use o referencial inercial que se move junto com o corpo. Suponha que uma nave mantenha uma aceleração própria constante $a$, a que os passageiros sentem. Em cada pequeno intervalo $d\tau$ de tempo da nave, ela ganha a mesma pequena rapidez $ad\tau /c$, e as rapidezes se somam, então $\phi =a\tau /c$ cresce uniformemente, e $v=c\tanh (a\tau /c)$ nunca alcança $c$. Um ano de tempo da nave a $9,81m/{\mathrm{s}}^2$ dá $a\tau /c\approx 1,03$ e $v\approx 0,77c$.

Problema resolvido: ida e volta a uma estrela

Legenda

$t$	Tempo no referencial da Terra, desenhado em anos: o eixo horizontal, que é também a linha de universo da Terra.	$\mathrm{s}$
$x$	Distância da Terra ao longo da viagem, desenhada em anos-luz.	$\mathrm{m}$
$L_0$	Distância até a estrela no referencial da Terra: 3,00 anos-luz.	$\mathrm{m}$

Este problema aplica toda a lição ao paradoxo dos gêmeos: uma viajante voa até uma estrela e volta, e retorna mais jovem que sua gêmea na Terra. A Figura 4 desenha a viagem no referencial da Terra, com o tempo $t$ em anos na horizontal e a distância $x$ em anos-luz na vertical, de modo que a luz percorre 45°. A Terra permanece sobre o eixo $t$, e a estrela, a uma distância $L_0$, é a linha horizontal tracejada. A linha dobrada é a linha de universo da viajante, que sobe até a estrela e desce de volta. Os números são leituras de relógio: quando ela dá meia-volta, o relógio da Terra marca 5 e o dela 4; quando ela pousa, 10 e 8.

Envie o relógio da animação a $0,6c$ para uma estrela a 3,00 anos-luz no referencial da Terra, e volte, ignorando a breve manobra de retorno. Na Terra, cada trecho leva $3,00/0,6=5,00$ anos, 10 ao todo. O relógio da viajante anda mais devagar pelo fator $\gamma =1,25$, então marca 4,00 anos por trecho, 8 ao todo.

A visão dela confirma isso. Em seu referencial, a distância até a estrela é contraída para $L_0/\gamma =3,00/1,25=2,40$ anos-luz, que ela percorre a $0,6c$ nos mesmos 4,00 anos. O intervalo também confere: em anos e anos-luz, cada trecho tem $(c\Delta t{)}^2-\Delta x^2=5^2-3^2=4^2$, ou seja, um tempo próprio de 4 anos. A razão 10 : 8 é o 5 : 4 dos contadores de tique da animação.

Por que a viagem não é simétrica, se na ida cada gêmeo acha lento o relógio do outro? Para ver, faça cada gêmeo enviar um sinal de luz a cada ano pelo seu próprio relógio e conte os sinais que chegam. O fator Doppler a $0,6c$ é 2: enquanto os gêmeos se afastam, os sinais chegam a cada 2 anos; enquanto se aproximam, a cada meio ano.

As linhas finas da Figura 4 são os sinais anuais da Terra, que sobem a 45° a partir do eixo $t$ até cruzar a linha de universo dela, e os pontos marcam onde chegam até ela. Na ida, ela recebe um a cada 2 anos do seu tempo, ou seja, 2 sinais em seus 4 anos; o sinal do ano 2 a alcança exatamente quando ela dá meia-volta. Na volta, ela recebe um a cada meio ano, mais 8; o sinal do ano 10 chega quando ela pousa. Assim, os pontos se amontoam depois da virada, e a contagem dela de 10 sinais diz que a Terra envelheceu 10 anos.

A Terra vê o outro lado. A Terra recebe os sinais dela a cada 2 anos até que a luz da virada dela chegue à Terra. Ela deu a volta a 3 anos-luz de distância no ano 5, então a Terra vê a virada apenas no ano 8, três anos depois do evento: 4 sinais em 8 anos. Nos últimos 2 anos, os sinais dela chegam a cada meio ano, mais 4: 8 ao todo, então ela envelheceu 8 anos.

A assimetria é a mudança de referencial. Os sinais que ela recebe aceleram na metade da viagem, na virada, que só ela sente, enquanto os que a Terra recebe só aceleram 2 anos antes de ela voltar. Na linguagem do intervalo, a linha de universo dobrada dela tem o menor tempo próprio.

Limites de validade

A relatividade restrita supõe um espaço-tempo plano, com referenciais inerciais que valem em toda parte. Esta seção mostra onde essa suposição, e com ela a teoria, deixa de valer.

A gravidade rompe a suposição primeiro. Um relógio mais baixo em um campo gravitacional anda devagar, por uma fração igual à diferença de potencial gravitacional dividida por $c^2$: cerca de $7\times 10^{-10}$ entre a superfície da Terra e o espaço distante. Os relógios do GPS perdem cerca de 7 µs por dia pelo movimento e ganham cerca de 46 µs por dia pela altitude, por isso são ajustados para bater um pouco devagar antes do lançamento. Onde a gravidade varia na região estudada, o espaço-tempo é curvo e a relatividade geral entra em cena; a relatividade restrita continua valendo em qualquer laboratório pequeno em queda livre.

Em velocidades do dia a dia, as correções, da ordem de $\frac{1}{2}{v}^2/c^2$, são minúsculas: $5\times 10^{-15}$ para um carro a 30 m/s e $3,5\times 10^{-13}$ para um avião a 250 m/s. Ainda assim, relógios atômicos levados em voo ao redor do mundo em 1971 ganharam ou perderam dezenas a centenas de nanossegundos, como previsto quando a gravidade foi incluída.

No outro extremo, nada falhou: prótons de 6,8 TeV no Grande Colisor de Hádrons têm $\gamma \approx 7250$ e ficam atrás da luz em menos de 3 m/s, e múons que circulam em um anel de armazenamento com $\gamma \approx 29$ vivem 29 vezes mais que em repouso.

A mecânica quântica impõe o último limite. Acima de uma energia de colisão de $2m{c}^2$ no referencial do centro de massa, 1,02 MeV para elétrons, podem surgir uma partícula e sua antipartícula. Só a união da relatividade com a mecânica quântica pode descrever isso, e essa união previu a antimatéria antes de sua descoberta em 1932.

Para onde isso leva

“A gravidade como espaço-tempo curvo” mantém o intervalo, mas deixa o espaço-tempo se curvar, de modo que a queda livre segue as linhas de universo mais retas e os relógios dependem da altura. “Fissão, fusão e E = mc²” transforma a energia de repouso na potência de reatores e estrelas: a fusão de hidrogênio em hélio libera 0,7 % da massa. “Efeito fotoelétrico” e “Dualidade onda-partícula” dão à luz a energia $E=hf$ e a quantidade de movimento $p=E/c=h/\lambda$, o caso sem massa do quadrivetor quantidade de movimento. “Partículas e forças: o Modelo Padrão” usa a conservação do quadrivetor quantidade de movimento para encontrar partículas que não deixam rastro. Olhando para trás, “Força magnética sobre cargas em movimento” e “Ondas eletromagnéticas” reúnem os campos que se misturam e a velocidade $c$ com que tudo começou.