वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व

सामान्य आपेक्षिकता: द्रव्यमान और ऊर्जा दिक्-काल को मोड़ते हैं, इसलिए किसी द्रव्यमान के पास की घड़ियाँ धीमी चलती हैं, $τ = t 1 - r_{s} / r$ , और प्रकाश $4 GM / (c^{2} b)$ से मुड़ता है। $r_{s} = 2 GM / c^{2}$ के भीतर सिकुड़ा द्रव्यमान कृष्ण विवर बन जाता है, और त्वरित द्रव्यमान गुरुत्वीय तरंगें भेजते हैं।

एक तारा दिक्-काल को दर्शाने वाली जाली में गड्ढा बनाता है: गेंद उस गड्ढे में घूमती है, प्रकाश की किरण गुज़रते समय मुड़ती है, और तारे पर लगी घड़ी दूर की घड़ी से धीमी चलती है।

इस विषय से पहले: विशिष्ट आपेक्षिकता, गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ

शुरुआती

मुख्य विचार

भारी और हल्की चीज़ें बिल्कुल एक जैसी गिरती हैं, इसलिए आइंस्टीन ने गिरने को वस्तुओं का नहीं, दिक् और काल का गुण माना।
बंद केबिन में आप गुरुत्व को स्थिर त्वरण से, या मुक्त पतन को खाली अंतरिक्ष से अलग नहीं कर सकते: यही तुल्यता सिद्धांत है।
द्रव्यमान दिक् और काल को मोड़ता है: ग्रह अपनी कक्षाओं में इस वक्रता का अनुसरण करते हैं, और तारे के पास से गुज़रता प्रकाश मुड़ जाता है।
द्रव्यमान के पास की घड़ियाँ धीमी चलती हैं; GPS को इसका सुधार करना पड़ता है, नहीं तो स्थिति हर दिन लगभग 10 km खिसक जाती।
कृष्ण विवर प्रकाश को भी कैद कर लेते हैं; आपस में मिलते कृष्ण विवर गुरुत्वीय तरंगें भेजते हैं, जिन्हें पहली बार 2015 में पकड़ा गया।

एक हथौड़ा और एक पंख ऐसी जगह छोड़िए जहाँ हवा न हो, जैसा एक बार अंतरिक्ष यात्री ने चाँद पर किया था, तो वे एक साथ ज़मीन पर पहुँचते हैं। हर वस्तु, चाहे उसका द्रव्यमान या पदार्थ कुछ भी हो, एक ही त्वरण से गिरती है। 1915 में आइंस्टीन ने इसे एक संकेत माना: यदि सब कुछ एक जैसा गिरता है, तो शायद गिरना वस्तुओं पर होने वाली क्रिया नहीं, बल्कि दिक् और काल का ही गुण है।

कक्षा में चल रहा यान गुरुत्व से परे नहीं है: वह लगातार पृथ्वी के चारों ओर गिरता रहता है, और उसके अंतरिक्ष यात्री और उनकी पेंसिलें भी उसके साथ गिरती हैं, इसलिए वे तैरते हैं। अब एक बंद केबिन की कल्पना कीजिए। यदि वह मुक्त रूप से गिर रहा है, तो आप ऐसे तैरेंगे मानो गुरुत्व गायब हो गया हो। यदि वह किसी ग्रह से दूर तेज़ी से त्वरित होता रॉकेट है, तो आप फ़र्श की ओर दबेंगे, मानो गुरुत्व खींच रहा हो। भीतर से आप इन दोनों में अंतर नहीं बता सकते: यही तुल्यता सिद्धांत है।

आइंस्टीन का उत्तर सामान्य आपेक्षिकता है: द्रव्यमान और ऊर्जा दिक् और काल को मोड़ते हैं, और अकेला छोड़ा गया पिंड उस मुड़े हुए दिक्-काल में यथासंभव सबसे सीधे मार्ग पर चलता है। ऐनिमेशन की रबर की चादर यही चित्र है: तारा जाली में गड्ढा बनाता है, नीली गेंद उस गड्ढे के चारों ओर घूमती रहती है, और सुनहरी प्रकाश किरण बिंदीदार सीधी रेखा से हटकर मुड़ जाती है।

समय भी मुड़ता है। तारे की धीमी घड़ी तीन चक्कर लगाती है, जबकि दूर की तेज़ घड़ी चार। पृथ्वी पर यह प्रभाव बहुत छोटा है, पर GPS उपग्रहों को इसका सुधार करना पड़ता है, नहीं तो उनकी स्थिति हर दिन लगभग 10 km खिसक जाती। चरम परिस्थितियों तक ले जाने पर सिद्धांत उन कृष्ण विवरों की भविष्यवाणी करता है जो प्रकाश को भी कैद कर लेते हैं, और उन गुरुत्वीय तरंगों की भी जिन्हें पहली बार 2015 में पकड़ा गया।

स्वयं जाँचें: अंतरिक्ष स्टेशन के भीतर एक अंतरिक्ष यात्री तैर रही है। क्या वहाँ गुरुत्व नहीं है? (है, लगभग ज़मीन जितना ही: वह इसलिए तैरती है क्योंकि वह स्टेशन के साथ ही गिरती है।)

मध्यम

मुख्य विचार

श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या $r_{s} = 2 GM / c^{2}$ : सूर्य के लिए 2.95 km, पृथ्वी के लिए 8.9 mm; आपेक्षिक प्रभाव $r_{s} / r$ के अनुपात में बढ़ते हैं।
दूरी $r$ पर घड़ी $τ = t 1 - r_{s} / r$ की दर से चलती है; भू-सतह के पास $h$ ऊपर उठाने पर वह $g h / c^{2}$ से तेज़ हो जाती है (प्रति मीटर $1.1 \times 1 0^{- 16}$ )।
GPS घड़ियाँ: कम गुरुत्व से +45.7 µs/दिन, उनकी चाल से −7.2 µs/दिन, शुद्ध +38.5 µs/दिन।
द्रव्यमान से दूरी $b$ पर गुज़रता प्रकाश $δ \approx 4 GM / (c^{2} b) = 2 r_{s} / b$ से मुड़ता है: सूर्य के किनारे पर 1.75″, जिसे 1919 में मापा गया।
रबर की चादर केवल एक उपमा है: वह गुरुत्व पर निर्भर है और समय की वक्रता छिपा देती है, जबकि रोज़मर्रा के गुरुत्व का कारण समय की वक्रता ही है।

क्या बदलता है, और हम क्या मापते हैं

हर पिंड, उसका द्रव्यमान या पदार्थ कुछ भी हो, एक ही त्वरण से गिरता है: प्रयोग इसकी पुष्टि लगभग $1 0^{15}$ में एक भाग तक करते हैं। आइंस्टीन का सामान्य आपेक्षिकता सिद्धांत (1915) इसे शाब्दिक रूप से लेता है: यदि गति पिंड पर निर्भर नहीं करती, तो वह दिक् और काल की होती है। द्रव्यमान और ऊर्जा दिक्-काल को मोड़ते हैं, और मुक्त रूप से गिरता पिंड, जिस पर कोई बल नहीं लगता, उसमें से होकर यथासंभव सबसे सीधे मार्ग पर चलता है। ज़मीन पर खड़े आप अपवाद हैं: फ़र्श आपको आपके मुक्त-पतन पथ से हटाता है, और वह धक्का आप भार के रूप में महसूस करते हैं।

सूत्रों में दो प्रकार का समय आता है। उचित काल $τ$ वह है जो घड़ी अपने स्थान पर दिखाती है, और वहाँ की हर प्रक्रिया उसी के साथ चलती है। दूर का समय $t$ सभी द्रव्यमानों से बहुत दूर स्थिर घड़ी का पाठ्यांक है, जो एक साझा संदर्भ है। द्रव्यमान $M$ के केंद्र से दूरी $r$ परिधि से परिभाषित होती है, $r = C /2 π$ , क्योंकि मुड़े हुए दिक् में केंद्र से बिछाया गया फ़ीता थोड़ा अधिक दिखाता है। स्थिरांक $G$ और $c$ $GM / c^{2}$ के रूप में आते हैं, और यह एक लंबाई है।

श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या पैमाना तय करती है

इस लंबाई का दोगुना श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या है,
$r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$

सूर्य के लिए यह 2.95 km है और पृथ्वी के लिए 8.9 mm, और यह द्रव्यमान के अनुपात में बढ़ती है: 10 सौर द्रव्यमान वाले कृष्ण विवर के लिए 29.5 km। जो पिंड अपनी ही $r_{s}$ के भीतर सिकुड़ जाता है, उससे कुछ भी बाहर नहीं निकल सकता, प्रकाश भी नहीं, और $r_{s}$ उसके घटना क्षितिज की त्रिज्या बन जाती है। सूर्य के लिए, जिसकी त्रिज्या 696,000 km है, 2.95 km केवल एक पैमाना है, कोई सतह नहीं।

अनुपात $r_{s} / r$ बताता है कि दूरी $r$ पर गुरुत्व कितना प्रबल है: पृथ्वी की सतह पर $1.4 \times 1 0^{- 9}$ , सूर्य की सतह पर $4.2 \times 1 0^{- 6}$ , न्यूट्रॉन तारे पर लगभग 0.34 और क्षितिज पर 1। हर आपेक्षिक सुधार इसी कोटि का है, इसीलिए न्यूटन का सिद्धांत सौरमंडल में इतना अच्छा काम करता है।

मुख्य सूत्र

चार सूत्र अधिकांश व्यावहारिक प्रश्नों के उत्तर देते हैं। पहला सटीक है; बाकी तीन केवल दुर्बल गुरुत्व में मान्य हैं, और तीसरा केवल $c$ से बहुत कम चालों के लिए:

$τ = t 1 - \frac{r _{s}}{r}$
$\frac{Δ τ}{τ} \approx \frac{g h}{c ^{2}}$
$\frac{Δ τ}{τ} \approx - \frac{v ^{2}}{2 c ^{2}}$
$δ = \frac{4 GM}{c ^{2} b}$

पहला सूत्र दूरी $r$ पर स्थिर घड़ी की दर को दूर के समय की तुलना में देता है; क्षितिज पर यह शून्य हो जाती है। छोटे $r_{s} / r$ के लिए वर्गमूल $1 - GM / (r c^{2})$ के लगभग होता है, इसलिए किसी ग्रह के पास $r + h$ पर स्थित घड़ी, $r$ पर स्थित घड़ी से $GM h / (r^{2} c^{2}) = g h / c^{2}$ अंश तेज़ चलती है, यही दूसरा सूत्र है। 1 m ऊँची घड़ी $1.1 \times 1 0^{- 16}$ से तेज़ चलती है; 1 km ऊँची घड़ी प्रतिदिन 9.4 ns लाभ पाती है।

तीसरा सूत्र विशिष्ट आपेक्षिकता से चलती घड़ियों का धीमा होना है। भिन्नात्मक दरें अपने चिह्नों सहित जुड़ती हैं: ऊँचाई घड़ी को तेज़ करती है, चाल उसे धीमा करती है। चौथा सूत्र उस किरण का मुड़ना देता है जिसका सीधा मार्ग द्रव्यमान के केंद्र से दूरी $b$ पर गुज़रता, यानी संघट्ट प्राचल (impact parameter); $r_{s}$ के साथ यह रेडियन में $δ = 2 r_{s} / b$ है। सूर्य के किनारे से गुज़रने पर यह 1.75″ है, जैसा 1919 के सूर्यग्रहण में मापा गया। $c$ पर चलते कण पर लागू न्यूटन का नियम उसका आधा देता है; शेष आधा वक्र दिक् से आता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की घड़ियाँ और किरण

ऐनिमेशन बढ़ा-चढ़ाकर दिखाता है: उसके तारे की त्रिज्या केवल $1.8 r_{s}$ है। तारे की घड़ी $r_{1} = 2.16 r_{s}$ पर है और दूर की घड़ी $r_{2} = 22 r_{s}$ पर, इसलिए उनकी दरें हैं
$1 - 1/2.16 = 0.537 \approx 0.733$
$1 - 1/22 = 0.955 \approx 0.977$

दोनों का अनुपात $0.733/0.977 = 0.750$ है, ठीक 3/4। एक लूप में दूर का समय $12.0/0.977 = 12.28 s$ आगे बढ़ता है, इसलिए दूर की घड़ी $τ_{2} = 12.0 s$ और तारे की घड़ी $τ_{1} = 0.733 \cdot 12.28 = 9.0 s$ दिखाती है: यही लाल $τ_{1}$ और हरे $τ_{2}$ पाठ्यांकों के अंतिम मान हैं। हर सुई अपने समय के हर 3 s में एक चक्कर लगाती है: तारे पर तीन चक्कर, दूर चार।

सुनहरी किरण $b = 8 r_{s}$ पर गुज़रती है। दुर्बल-क्षेत्र सूत्र $δ \approx 2/8 = 0.25 rad$ , यानी 14.3° देता है, परंतु बनाया गया सटीक पथ 17.8° मुड़ता है: तारे के इतने पास सूत्र कम पड़ जाता है। नीली गेंद $r = 10.4 r_{s}$ पर घूमती है। चूँकि $GM = r_{s} c^{2} /2$ , उसकी चाल $GM / r$ $c / 20.8 \approx 0.22 c$ है, जो न्यूटन का वृत्तीय कक्षा का मान है, और यहाँ दूर के सेकंडों में समय गिनने पर यह सटीक है।

उदाहरण: GPS घड़ियाँ

नेविगेशन उपग्रह भू-सतह से 20,200 km ऊपर घूमते हैं, पृथ्वी के केंद्र से $r = 6371 + 20200 = 26571 km$ दूरी पर, जबकि भूमि की घड़ी पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6371 km$ पर है। पृथ्वी के लिए $GM / c^{2} = 4.435 mm$ है। दोनों त्रिज्याओं पर दरों की तुलना करने पर उपग्रह की घड़ी भूमि की घड़ी से इतना अंश आगे रहती है
$\frac{GM}{c ^{2}} (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}) = 4.435 mm \times (\frac{1}{6371 km} - \frac{1}{26 571 km}) \approx 5.29 \times 1 0^{- 10}$
जो 86,400 s के एक दिन में $+ 45.7 μ s$ जुड़ जाता है।

उपग्रह की चाल $v = GM / r = 3.986 \times 1 0^{14} / (2.657 \times 1 0^{7}) \approx 3.87 km/s$ है, जो उसकी घड़ी को $v^{2} / (2 c^{2}) \approx 8.3 \times 1 0^{- 11}$ से धीमा करती है, या प्रतिदिन $- 7.2 μ s$ । शुद्ध प्रभाव $+ 45.7 - 7.2 = + 38.5 μ s$ प्रतिदिन है। स्थिति संकेतों के यात्रा-समय से निकलती है, और उस समय में प्रकाश $c \cdot 38.5 μ s \approx 11.5 km$ चलता है, इसलिए बिना सुधार के स्थिति एक दिन में किलोमीटरों तक खिसक जाती। इसीलिए उपग्रह घड़ियों को लगभग $4.5 \times 1 0^{- 10}$ से धीमा चलने के लिए बनाया जाता है।

रबर-चादर वाले चित्र को कैसे पढ़ें

जाली कक्षीय तल है, और गड्ढे की गहराई न्यूटोनी विभव $Φ = - GM / r$ के अनुपात में बनाई गई है (तारे के पास चिकनी की गई)। गहराई यह भी दिखाती है कि घड़ियाँ कितनी धीमी होती हैं, क्योंकि दुर्बल क्षेत्रों में $d τ / d t \approx 1 + Φ/ c^{2}$ है। बिंदीदार धूसर रेखा तारे के बिना प्रकाश का पथ है, काली पट्टी $b$ को चिह्नित करती है, और $δ$ उस रेखा और सुनहरी किरण के बीच के कोण को नाम देता है। विशेषज्ञ दृश्य में न्यूटन की भविष्यवाणी बैंगनी बिंदीदार पथ के रूप में जुड़ता है।

चादर को चित्र की तरह पढ़ें, सिद्धांत की तरह नहीं। गेंद किसी वास्तविक गड्ढे में केवल इसलिए लुढ़कती है क्योंकि पृथ्वी का गुरुत्व उसे नीचे खींचता है, इसलिए यह उपमा गुरुत्व से गुरुत्व को समझाती है। यह केवल वक्र दिक् दिखाती है, जबकि धीमे पिंडों के लिए लगभग पूरा गुरुत्व समय की वक्रता से आता है; वक्र दिक् मुख्यतः प्रकाश जैसे तेज़ पिंडों के लिए महत्वपूर्ण है।

सामान्य गलतियाँ

धीमी घड़ी को धीमा महसूस होने की अपेक्षा करना। $2.16 r_{s}$ पर तारे की घड़ी के बगल में आपकी घड़ी, धड़कन और परमाणु सब सामान्य रूप से चलते हैं; केवल तुलना से पता चलता है कि आप 9 वर्ष बूढ़े होते हैं, जबकि दूर का प्रेक्षक 12।
GPS के चिह्नों को गलत समझना। कम गुरुत्व उपग्रह की घड़ी को प्रतिदिन 45.7 µs तेज़ करता है और चाल उसे 7.2 µs धीमा करती है, इसलिए शुद्ध मान +38.5 µs है, 52.9 µs नहीं।
बड़ी ऊँचाइयों के लिए $g h / c^{2}$ का उपयोग करना। GPS के लिए यह $9.81 \cdot 2.02 \times 1 0^{7} / c^{2} \approx 2.2 \times 1 0^{- 9}$ देता है, जो चार गुना अधिक है, क्योंकि ऊँचाई के साथ $g$ घटता है; इसके बजाय $GM / c^{2} (1/ R - 1/ r)$ का उपयोग करें।
$r_{s}$ को किसी पिंड का आकार मानना, या कृष्ण विवर को वैक्यूम क्लीनर मानना। सूर्य का 2.95 km उसके भीतर गहराई में है, और सूर्य के द्रव्यमान का कृष्ण विवर पृथ्वी की कक्षा को अपरिवर्तित छोड़ देता, क्योंकि द्रव्यमान के बाहर केवल $M$ मायने रखता है।

यह कहाँ दिखता है

हर उपग्रह-नेविगेशन स्थिति इन सुधारों पर निर्भर है, और प्रकाशीय परमाणु घड़ियाँ अब कुछ सेंटीमीटर की ऊँचाई-वृद्धि भी पकड़ लेती हैं। गुरुत्वीय लेंसिंग दूर की आकाशगंगाओं को बड़ा दिखाती है और अदृश्य काले पदार्थ का मानचित्र बनाती है। कृष्ण विवरों की छायाएँ 2019 से चित्रित हुई हैं, और विलय होते कृष्ण विवरों की गुरुत्वीय तरंगें 2015 से दर्ज हो रही हैं।

यह पाठ “विशिष्ट आपेक्षिकता” को, जो उचित काल और चाल वाला पद देती है, “गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ” से जोड़ता है, जो उसकी दुर्बल-क्षेत्र सीमा है। और चूँकि ऊर्जा का द्रव्यमान होता है, जैसा “विखंडन, संलयन और E = mc²” दिखाते हैं, हर प्रकार की ऊर्जा, प्रकाश और दाब सहित, दिक्-काल को मोड़ती है।

उन्नत

मुख्य विचार

वक्रता भीतर से मापी जाती है: द्रव्यमान $M$ के चारों ओर गोले की त्रिज्या $A /4 π$ से $GM / (3 c^{2})$ अधिक होती है, पृथ्वी के लिए लगभग 1.5 mm।
$g$ त्वरण से चलते रॉकेट में $h$ ऊँचाई चढ़ते प्रकाश में $g h / c^{2}$ का लाल विस्थापन होता है; तुल्यता से, ऊँची घड़ियाँ तेज़ चलती हैं: $d τ / d t \approx 1 + Φ/ c^{2}$ ।
मुक्त पिंड दो घटनाओं के बीच अधिकतम उचित काल वाली विश्वरेखा पर चलता है; दुर्बल क्षेत्र में यह न्यूटन के परवलय देता है।
प्रकाश के लिए दिक् भी उतना ही मुड़ता है जितना काल: $δ = 4 GM / (c^{2} b)$ , न्यूटन के मान का दोगुना; कक्षाएँ प्रति चक्कर $6 π GM / (c^{2} a (1 - e^{2}))$ से पुरस्सरण करती हैं।
श्वार्ज़चाइल्ड: क्षितिज $r_{s}$ पर, प्रकाश-कक्षा $1.5 r_{s}$ पर, अंतिम स्थायी कक्षा $3 r_{s}$ पर; त्वरित द्रव्यमान $c$ वेग से वक्रता-तरंगें विकिरित करते हैं।

भीतर से वक्रता मापना

अंतरिक्ष के भीतर रहने वाले प्राणी बिना उससे बाहर निकले कैसे जानेंगे कि वह मुड़ा हुआ है? वे माप सकते हैं। किसी द्रव्य के चारों ओर एक गोला खींचिए और उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ मापिए। समतल दिक् में क्षेत्रफल त्रिज्या तय करता है: $A = 4 π r^{2}$ , इसलिए त्रिज्या $A /4 π$ होनी चाहिए। अब त्रिज्या सीधे मापिए, केंद्र से गोले तक फ़ीते एक के बाद एक बिछाकर। यदि फ़ीते $A /4 π$ से अधिक पढ़ें, तो दिक् मुड़ा है, और इस अंतर को, जिसे अतिरिक्त त्रिज्या कहते हैं, यह बताता है कि वह कितना मुड़ा है।

चित्र 1 उसी परीक्षण को एक आयाम नीचे दिखाता है, ताकि उसे खींचा जा सके। मुड़ी चादर दिक् है, वृत्त क्षेत्रफल $A$ वाले गोले का प्रतीक है, और द्रव्यमान $M$ गड्ढे के तल पर है। चादर गोले के एक भाग के रूप में खींची गई है, क्योंकि एकसमान घनत्व वाले द्रव्य के भीतर दिक् का आकार यही होता है। पहले बिंदीदार रेखा देखिए: यह अक्ष से वृत्त तक की क्षैतिज दूरी है, यानी वह त्रिज्या $A /4 π$ जो समतल दिक् इतने बड़े वृत्त के लिए देती। अब $r$ चिह्नित वक्र का अनुसरण कीजिए: $M$ से वृत्त तक बिछाया गया फ़ीता गड्ढे को आर-पार नहीं काट सकता, उसे चादर की ढलान का अनुसरण करना होता है, इसलिए वह लंबी दूरी पढ़ता है। नीचे की पट्टी दोनों लंबाइयों को साथ रखती है: $r = A /4 π + Δ r$ । अतिरिक्त भाग $Δ r$ वह अतिरिक्त त्रिज्या है जिसे चादर में रहने वाले प्राणी मापेंगे।

आइंस्टीन का गुरुत्वाकर्षण नियम अपने सरलतम रूप में इस अतिरिक्त मान को संख्या देता है। एकसमान घनत्व वाले द्रव्य के चारों ओर एक छोटा गोला लीजिए, जिसके भीतर द्रव्यमान $M$ हो। तब मापी गई त्रिज्या समतल-दिक् मान से इतनी अधिक होती है
$Δ r = r - A /4 π = \frac{GM}{3 c ^{2}}$

यहाँ $G$ न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और $c$ प्रकाश की चाल। चूँकि $G / c^{2}$ बहुत छोटा है, प्रभाव भी बहुत छोटा है। पृथ्वी को एकसमान मानें तो $GM / c^{2} = 4.435 mm$ है, इसलिए अतिरिक्त त्रिज्या केवल लगभग 1.5 mm है; बृहस्पति के लिए यह 0.47 m है। इन्हें कोई सर्वेक्षण नहीं पकड़ सकता। नियम की शक्ति उसकी सामान्यता में है।

पूर्ण नियम यही माँग करता है: हर छोटे गोले के लिए, हर घटना (किसी एक क्षण में अंतरिक्ष का एक बिंदु) के चारों ओर, और हर प्रेक्षक के लिए, चाहे वह कैसे भी गति करे। इन सभी शर्तों को एक साथ लिखने के लिए तीन अवयव चाहिए। मीट्रिक वह सारणी है जो निर्देशांकों में छोटे परिवर्तनों को उन समयों और लंबाइयों में बदलती है जिन्हें घड़ियाँ और फ़ीते वास्तव में मापते हैं। आइंस्टीन टेंसर $G_{μν}$ वक्रता को संग्रहित करता है; यह मीट्रिक के द्वितीय अवकलजों से बनता है, जैसे किसी वक्र का मुड़ना उसके फलन-ग्राफ़ के द्वितीय अवकलज से आता है। प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर $T_{μν}$ ऊर्जा और संवेग के घनत्व और प्रवाह को संग्रहित करता है। तब नियम इस प्रकार पढ़ा जाता है
$G_{μν} = \frac{8 π G}{c ^{4}} T_{μν}$

वक्रता बाईं ओर है, द्रव्य दाईं ओर। युग्मन $8 π G / c^{4} \approx 2.1 \times 1 0^{- 43} N^{- 1}$ अत्यंत छोटा है, इसलिए दिक्-काल बहुत कठोर है: विशाल ऊर्जा घनत्व भी केवल हल्की वक्रता पैदा करते हैं। खाली स्थान में $T_{μν} = 0$ है, इसलिए $G_{μν} = 0$ , फिर भी वहाँ का दिक्-काल समतल नहीं है, क्योंकि $G_{μν}$ वक्रता का केवल एक भाग रखता है। शेष भाग ज्वारीय क्षेत्र है, जो द्रव्यमान की ओर गिरते धूल-बादल को उस रेखा के अनुदिश खींचता है और बगल में दबाता है।

तुल्यता सिद्धांत से घड़ी की दरें

गुरुत्व केवल दिक् को नहीं मोड़ता; वह काल की दर भी बदलता है, इसलिए ऊपर की घड़ियाँ तेज़ चलती हैं। यह अकेले तुल्यता सिद्धांत से निकलता है: एक छोटे, बंद कमरे के भीतर कोई प्रयोग एकसमान गुरुत्वीय क्षेत्र को स्थिर त्वरण से अलग नहीं बता सकता।

चित्र 2 तर्क को दो बार बताता है। बाईं ओर से शुरू कीजिए। किसी भी ग्रह से दूर, ऊँचाई $h$ वाला एक रॉकेट-केबिन $g$ से ऊपर की ओर त्वरित होता है, जिसमें एक घड़ी फ़र्श पर है और एक छत पर। फ़र्श की घड़ी $c$ की चाल से ऊपर एक प्रकाश-स्पंदन भेजती है। स्पंदन को पहुँचने में लगभग $h / c$ समय लगता है, और उस समय में छत की चाल $g \cdot (h / c)$ बढ़ जाती है। इसलिए जब छत स्पंदन प्राप्त करती है, तब वह उस फ़र्श की तुलना में, जो स्पंदन भेजते समय था, $g h / c$ अधिक चाल से दूर जा रही होती है (ऊपर का छोटा तीर)। दूर जाते प्रेक्षक को प्रकाश का डॉप्लर-विस्थापन कम आवृत्ति की ओर दिखता है, (चाल)/ $c$ अंश से, यहाँ $g h / c^{2}$ ।

मान लीजिए फ़र्श की घड़ी हर टिक पर एक स्पंदन भेजती है। रास्ते में कोई स्पंदन नहीं खोता, फिर भी छत उन्हें अपनी घड़ी की टिक-दर से कम दर पर प्राप्त करती है, $g h / c^{2}$ अंश से। छत से नीचे भेजे गए स्पंदन अधिक आवृत्ति पर पहुँचते हैं, क्योंकि फ़र्श उनकी ओर बढ़ रहा है। तो केबिन के भीतर सभी सहमत हैं: छत की घड़ी तेज़ चलती है और फ़र्श की घड़ी धीमी, $g h / c^{2}$ अंश से।

दाईं ओर वही केबिन ज़मीन पर खड़ा है, नीचे की ओर इंगित करते गुरुत्वीय क्षेत्र $g$ में। तुल्यता सिद्धांत के अनुसार भीतर कोई इस कमरे को रॉकेट से अलग नहीं बता सकता, इसलिए परिणाम वही होना चाहिए: गुरुत्वीय क्षेत्र में, $h$ ऊपर की घड़ी $g h / c^{2}$ से तेज़ चलती है।

ज़मीन के पास $g h$ गुरुत्वीय विभव $Φ$ की वृद्धि है, यानी प्रति इकाई द्रव्यमान स्थितिज ऊर्जा। इसलिए नियम किसी भी स्थैतिक विभव के लिए लागू होता है, जिसे दूर शून्य माना गया हो। जब दूर की घड़ी समय $d t$ दर्ज करती है, तब विभव $Φ$ पर स्थिर घड़ी अपना उचित समय $d τ$ दर्ज करती है, और
$\frac{d τ}{d t} \approx 1 + \frac{Φ}{c ^{2}}$

चूँकि किसी द्रव्यमान के पास $Φ$ ऋणात्मक है, वहाँ की घड़ियाँ धीमी चलती हैं। द्रव्यमान $M$ के चारों ओर $Φ = - GM / r$ है, और नियम उस सटीक दर का प्रथम-कोटि रूप है जो नीचे मिलेगी, $1 - r_{s} / r \approx 1 - GM / (r c^{2})$ , जहाँ $r_{s} = 2 GM / c^{2}$ उस द्रव्यमान की श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या है।

ऊर्जा संरक्षण भी वही उत्तर देता है। ऊर्जा $E$ वाले प्रकाश का द्रव्यमान $E / c^{2}$ है, इसलिए ऊँचाई $h$ से गिरते हुए वह ऊर्जा $E g h / c^{2}$ प्राप्त करता है, यानी अपनी ऊर्जा का $g h / c^{2}$ अंश; ऊपर चढ़ते समय वह यही अंश खोता है। फ़ोटॉन की ऊर्जा उसकी आवृत्ति के समानुपाती है, इसलिए उसकी आवृत्ति उसी अनुपात में घटती है।

पाउंड और रेबका ने 1960 में 22.5 m के टावर पर इस विस्थापन को मापा: अंश केवल $2.5 \times 1 0^{- 15}$ था। 1976 में लगभग 10,000 km की ऊँचाई तक उड़ाई गई एक हाइड्रोजन मेसर घड़ी ने इसे कहीं अधिक सटीकता से पुष्ट किया।

कक्षीय घड़ी का ग्राफ़

उपग्रह घड़ियाँ ले जाते हैं, और उनके लिए दोनों प्रभाव मायने रखते हैं: ऊँचाई घड़ी को तेज़ चलाती है, चाल उसे धीमा। विशेषज्ञ ग्राफ़ दोनों को त्रिज्या $r$ (पृथ्वी के केंद्र से मापी गई) की वृत्तीय कक्षा में घूमती घड़ी पर लागू करता है, और उसकी तुलना पृथ्वी की त्रिज्या $R$ पर ज़मीन की घड़ी से करता है।

ऊँचाई: विभव ज़मीन पर $- GM / R$ से कक्षा में $- GM / r$ तक बढ़ता है, इसलिए ऊपर के नियम से कक्षीय घड़ी हर सेकंड $GM / c^{2} (1/ R - 1/ r)$ अंश तेज़ होती है (हरा वक्र)। चाल: विशेष आपेक्षिकता गतिमान घड़ी को गुणक $1 - v^{2} / c^{2} \approx 1 - v^{2} / (2 c^{2})$ से धीमा करती है, और वृत्तीय कक्षा में $v^{2} = GM / r$ है, इसलिए घड़ी हर सेकंड $GM / (2 r c^{2})$ अंश खोती है (नीला वक्र)। कुल (लाल वक्र) है
$\frac{GM}{c ^{2}} (\frac{1}{R} - \frac{3}{2 r})$

ग्राफ़ इन अंशों को एक दिन के 86,400 सेकंड से गुणा करता है। स्पर्शी कक्षा, $r = R$ पर, ऊँचाई से कुछ नहीं पाती और प्रतिदिन 30.1 µs खोती है, यह सब चाल से। ऊँचाई के साथ हरा लाभ प्रतिदिन 60.1 µs की ओर बढ़ता है, जो अनंत दूरी पर स्थित घड़ी का मान है, जबकि नीली हानि $1/ r$ के अनुपात में घटती है। लाल वक्र $1/ R = 3/ (2 r)$ पर शून्य पार करता है, यानी $r = 1.5 R$ पर, लगभग 3,190 km ऊपर: नीचे की कक्षाएँ समय खोती हैं, ऊपर की समय पाती हैं। 400 km ऊपर स्थित अंतरिक्ष स्टेशन प्रतिदिन 24.7 µs खोता है, इसलिए वहाँ छह महीने बिताने वाला अंतरिक्ष यात्री लगभग 4.5 ms कम उम्र का रहता है। लगभग 20,200 km ऊपर की GPS घड़ियाँ प्रतिदिन 38.5 µs पाती हैं, और ग्राफ़ का दायाँ किनारा, 25,000 km पर, 41.8 µs तक पहुँचता है।

सबसे लंबे उचित काल के रूप में मुक्त पतन

न्यूटन गिरने का वर्णन बलों से करते हैं। सामान्य आपेक्षिकता उनकी जगह घड़ियों के बारे में एक नियम रखती है: दो घटनाओं के बीच मुक्त पिंड उस विश्वरेखा (दिक्-काल में उसका पथ) का अनुसरण करता है जिस पर उसकी अपनी घड़ी सबसे अधिक समय दर्ज करती है। समतल दिक्-काल में यह विश्वरेखा सीधी और स्थिर-वेग वाली है; इसीलिए “विशिष्ट आपेक्षिकता” का वह यात्रा करता जुड़वाँ, जो मुड़कर लौटता है, घर पर कम उम्र का लौटता है।

ज़मीन के पास, पिछले भाग की तरह, दो प्रभाव प्रतिस्पर्धा करते हैं: ऊँचाई घड़ी को $g h / c^{2}$ से तेज़ चलाती है, और चाल उसे $v^{2} / (2 c^{2})$ से धीमा करती है। इसलिए ऊँचाई $h (t)$ और चाल $v (t)$ वाले पथ पर उचित काल है
$τ = \int (1 + \frac{g h}{c ^{2}} - \frac{v ^{2}}{2 c ^{2}}) d t$

ऊँचाई लाभ देती है, चाल कीमत लेती है। सर्वोत्तम पथ इतना ऊँचा चढ़ता है कि समय पाए, पर इतनी तेज़ नहीं कि उसकी चाल प्राप्त लाभ को खा जाए।

चित्र 3 इस नियम को एक गेंद पर परखता है जो ऊपर फेंकी गई और समय $T$ बाद पकड़ी गई। बाएँ पैनल में उन्हीं दो घटनाओं के बीच तीन पथ दिखाए गए हैं, सभी मेहराब $h = 4 H (t / T) (1 - t / T)$ हैं जो केवल अपनी शिखर ऊँचाई $H$ में भिन्न हैं: एक निचला, $H_{1}$ ; मुक्त पतन का पथ, जिसका गेंद वास्तव में अनुसरण करती है, $H_{2}$ ; और एक ऊँचा, $H_{3}$ । कौन-सा पथ उसके साथ चलती घड़ी को सबसे अधिक समय देगा?

उड़ान के दौरान दोनों पदों का औसत लेकर गणना कीजिए कि चलती घड़ी ज़मीन पर रखी घड़ी से कितना समय $Δ τ$ अधिक पाती है। ऐसे मेहराब की औसत ऊँचाई उसकी शिखर ऊँचाई का दो-तिहाई, यानी $2 H /3$ है। चाल $v = d h / d t = (4 H / T) (1 - 2 t / T)$ है, और $(1 - 2 t / T)^{2}$ का उड़ान भर का औसत $1/3$ है, इसलिए $v^{2} /2$ का औसत $8 H^{2} / (3 T^{2})$ है। हर औसत को उड़ान-समय $T$ से गुणा करने और $c^{2}$ से भाग देने पर मिलता है
$Δ τ = \frac{T}{c ^{2}} (\frac{2}{3} g H - \frac{8 H ^{2}}{3 T ^{2}})$

दाएँ पैनल में यह लाभ $H$ के विरुद्ध खींचा गया है: एक उल्टा परवलय। यह वहाँ अधिकतम है जहाँ इसकी ढलान $2 g /3 - 16 H / (3 T^{2})$ शून्य है, यानी $H_{2} = g T^{2} /8$ पर। यही मुक्त पतन की ऊँचाई है: गुरुत्व के अधीन $T /2$ समय तक ऊपर उठने वाली गेंद $\frac{1}{2} g (T /2)^{2} = g T^{2} /8$ तक चढ़ती है। $T = 3 s$ के लिए शिखर 11.0 m है और लाभ $g^{2} T^{3} / (24 c^{2}) \approx 1.2 \times 1 0^{- 15} s$ है। निचला पथ $H_{1}$ , जो आधा ऊँचा है, उसका तीन-चौथाई लाभ पाता है। पथ $H_{3} = g T^{2} /4$ , जो दोगुना ऊँचा है, कुछ नहीं पाता: उसकी अतिरिक्त चाल ऊँचाई के लाभ को ठीक निरस्त कर देती है।

यही तर्क किसी भी विभव पर लागू होता है, जहाँ $g h$ की जगह $Φ$ है। समाकल्य को $- m c^{2}$ से गुणा कीजिए: समाकल बन जाता है $\int (- m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} - m Φ) d t$ । पहला पद हर पथ के लिए समान राशि जोड़ता है, इसलिए $τ$ को अधिकतम बनाना वही है जो $\int (\frac{1}{2} m v^{2} - m Φ) d t$ को न्यूनतम बनाना है। यह न्यूटनी यांत्रिकी का न्यूनतम-क्रिया सिद्धांत है, जिसका गति-समीकरण $a = - \nablaΦ$ है। द्रव्यमान $m$ उसमें से निरस्त हो जाता है, इसलिए हर पिंड एक ही तरह गिरता है: मुक्त पतन की सार्वत्रिकता ज्यामिति में ही निहित है। कठोरता से कहें तो $τ$ केवल निकटवर्ती पथों की तुलना में ही अधिकतम है।

श्वार्ज़चाइल्ड ज्यामिति

अब तक के नियम दुर्बल-क्षेत्र सन्निकटन हैं। किसी गोलाकार, अघूर्णी द्रव्यमान, जैसे तारे या कृष्ण विवर, के बाहर क्षेत्र-समीकरण का एक सटीक हल है, जिसे कार्ल श्वार्ज़चाइल्ड ने 1916 में खोजा था। यह एक मीट्रिक है: यह दो निकट की घटनाओं के बीच उचित काल $d τ$ को उनके निर्देशांक-अंतरालों से देता है,
$c^{2} d τ^{2} = (1 - \frac{r _{s}}{r}) c^{2} d t^{2} - \frac{d r ^{2}}{1 - r _{s} / r} - r^{2} d Ω^{2}$

यहाँ $t$ दूर की घड़ी का समय है, $r$ इस प्रकार चुना गया है कि केंद्र के चारों ओर वृत्त की परिधि $2 π r$ हो, $d Ω$ केंद्र से देखी गई दोनों घटनाओं के बीच का छोटा कोण है, और $r_{s} = 2 GM / c^{2}$ । इससे तुरंत दो परिणाम निकलते हैं। स्थिर घड़ी के लिए $d r = d Ω = 0$ , और मीट्रिक $d τ = 1 - r_{s} / r d t$ देता है: यही सटीक घड़ी-दर है। त्रिज्या के अनुदिश बिछाए फ़ीते के लिए $d t = d Ω = 0$ , और वह जो लंबाई मापता है वह $d r / 1 - r_{s} / r$ है, जो $d r$ से अधिक है। त्रिज्य दूरियों का यह खिंचाव पहले खंड की अतिरिक्त त्रिज्या है।

प्रकाश का मुड़ना

द्रव्यमान के पास से गुज़रता प्रकाश मुड़ता है, और मोड़ का आकार ही सामान्य आपेक्षिकता को न्यूटन के सिद्धांत से अलग करता है: न्यूटनी तर्क केवल प्रेक्षित मान का आधा देता है।

चित्र 4 द्रव्यमान $M$ के पास से गुज़रती प्रकाश-किरण का अनुसरण करता है। बाईं ओर दूर, किरण चाल $c$ से सीधी रेखा में चलती है; संघट्ट प्राचल $b$ , $M$ से उस आने वाली रेखा की दूरी है। दाईं ओर दूर, दोनों खींचे गए पथ फिर से बिंदीदार रेखाओं के अनुदिश सीधे हैं, पर मुड़े हुए: एक कोण $δ_{N}$ से, दूसरा $δ$ से, जो दोगुना है। इस खंड का शेष भाग दोगुने गुणक की व्याख्या करता है।

प्रकाश $d τ = 0$ के साथ चलता है। इसके पथ को $u = 1/ r$ द्वारा, द्रव्यमान के चारों ओर कोण $φ$ के फलन के रूप में वर्णित कीजिए, जहाँ प्राइम $d / d φ$ को दर्शाता है। श्वार्ज़चाइल्ड मीट्रिक में $d τ = 0$ रखने और संरक्षित ऊर्जा और कोणीय संवेग का उपयोग करने पर
$u^{''} + u = \frac{3 GM}{c ^{2}} u^{2}$

दाएँ पक्ष के बिना हल एक सीधी रेखा है; दाईं ओर का छोटा पद उसे मोड़ता है। यही वह समीकरण है जिसे ऐनिमेशन अपनी सुनहरी किरण के लिए हल करता है।

दोगुने गुणक को समझने के लिए दुर्बल क्षेत्र में मीट्रिक देखिए। वहाँ $c^{2} d t^{2}$ के सामने का गुणक $g_{tt} \approx 1 + 2Φ/ c^{2}$ है, और दिक्-अंतराल के वर्ग के सामने का गुणक $g_{rr} \approx - (1 - 2Φ/ c^{2})$ : दोनों समतल दिक् से एक ही राशि, $2Φ/ c^{2}$ , से भिन्न हैं। कोई धीमा पिंड प्रति इकाई समय बहुत कम दूरी तय करता है, इसलिए उस पर केवल काल-भाग कार्य करता है, और वह भाग अकेला न्यूटन का गुरुत्व देता है। प्रकाश पर लागू करने पर, केवल काल-भाग $δ_{N} = 2 GM / (c^{2} b)$ मोड़ देता, जो वही कोण है जो न्यूटन का सिद्धांत $c$ से चलते कण के लिए देता है। परंतु प्रकाश जितना काल में आगे बढ़ता है उतना ही दिक् में, $∣ d x ∣ = c d t$ , इसलिए दूरी-भाग उस पर उतनी ही प्रबलता से कार्य करता है जितना काल-भाग, और मोड़ दोगुना हो जाता है:
$δ = \frac{4 GM}{c ^{2} b} = 2 δ_{N}$

चूँकि $4 GM / c^{2} = 2 r_{s}$ , यह $δ = 2 r_{s} / b$ भी है। ऐनिमेशन में किरण $b = 8 r_{s}$ पर गुज़रती है: न्यूटन का बैंगनी पथ 7.2° मुड़ता है, यह सूत्र $0.25 rad = 14.3°$ देता है, और सटीक सुनहरी किरण 17.8° मुड़ती है, क्योंकि द्रव्यमान के इतने पास दुर्बल-क्षेत्र सूत्र कम पड़ता है। सूर्य के किनारे पर, $b \approx 2.4 \times 1 0^{5} r_{s}$ , यह सूत्र 1.75″ देता है, और रेडियो दूरबीनें इसकी पुष्टि 0.1% से बेहतर सटीकता से करती हैं।

बुध और प्रबल-क्षेत्र त्रिज्याएँ

किसी ग्रह के लिए उसी अतिरिक्त पद का प्रभाव उसके कक्षा-समीकरण में आता है, $u^{''} + u = GM / ℓ^{2} + 3 GM u^{2} / c^{2}$ , जहाँ $ℓ$ प्रति इकाई द्रव्यमान का कोणीय संवेग है। अंतिम पद के बिना हल न्यूटन के दीर्घवृत्त हैं, जो एक चक्कर में बंद हो जाते हैं। अतिरिक्त पद दीर्घवृत्त को हर चक्कर में थोड़ा आगे घुमाता है: सूर्य के सबसे निकट का उसका बिंदु इतना आगे बढ़ता है
$Δ φ = \frac{6 π GM}{c ^{2} a ( 1 - e ^{2} )}$

जहाँ $a$ दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष है और $e$ उसकी उत्केंद्रता। बुध के लिए, $a = 5.79 \times 1 0^{10} m$ और $e = 0.206$ के साथ, यह प्रति कक्षा $5.0 \times 1 0^{- 7} rad$ है, या एक शताब्दी के 415 चक्करों में 43″: ठीक बुध के अग्रगमन का वही भाग जिसे अन्य ग्रहों के खिंचाव समझा न सके।

प्रबल क्षेत्रों में वही समीकरण तीन त्रिज्याएँ चिह्नित करते हैं। क्षितिज $r_{s}$ पर स्थिर घड़ी की दर $1 - r_{s} / r$ शून्य हो जाती है। फ़ोटॉन गोले $1.5 r_{s}$ पर प्रकाश द्रव्यमान के चारों ओर घूम सकता है, पर अस्थिर रूप से। सबसे भीतरी स्थायी वृत्तीय कक्षा $3 r_{s}$ पर है, जहाँ स्थायी कक्षाएँ समाप्त होती हैं; यह कृष्ण विवरों के चारों ओर गर्म गैस की चकतियों का भीतरी किनारा बनाती है।

उदाहरण: गेंद पर सवार घड़ी

कक्षा में घूमती घड़ी ठीक-ठीक कितनी तेज़ चलती है? ऐनिमेशन की नीली गेंद पर एक घड़ी रखिए, जो $r = 10.4 r_{s}$ पर कोणीय चाल $ω$ से तारे का चक्कर लगाती है। दूर के समय में, इस ज्यामिति में वृत्तीय कक्षाओं के लिए केपलर का नियम ठीक-ठीक लागू होता है: $ω^{2} = GM / r^{3}$ । कक्षा पर $r$ स्थिर है, इसलिए $d r = 0$ , और कोण $d Ω = ω d t$ से बढ़ता है। इन्हें मीट्रिक में रखकर $c^{2} d t^{2}$ से भाग देने पर
$\frac{d τ}{d t} = 1 - \frac{r _{s}}{r} - \frac{r ^{2} ω ^{2}}{c ^{2}}$

केपलर के नियम और $GM = r_{s} c^{2} /2$ के साथ अंतिम पद $r^{2} ω^{2} / c^{2} = GM / (r c^{2}) = r_{s} / (2 r)$ है, इसलिए
$\frac{d τ}{d t} = 1 - \frac{3 r _{s}}{2 r}$
$r = 10.4 r_{s}$ पर यह $1 - 1.5/10.4 = 0.856 \approx 0.925$ है।

एक चक्कर में दूर के समय के 12.28 s लगते हैं, इसलिए गेंद की घड़ी $0.925 \cdot 12.28 \approx 11.4 s$ पढ़ती है। ऐनिमेशन की दो स्थिर घड़ियों की तुलना कीजिए। $22 r_{s}$ पर दूर की घड़ी $1 - 1/22 = 0.977$ पर चलती है और 12.0 s पढ़ती है; $2.16 r_{s}$ पर तारे की घड़ी 0.733 पर चलती है और 9.0 s पढ़ती है। गेंद की घड़ी दूर की घड़ी से पीछे रहती है, पर तारे की घड़ी से काफ़ी आगे रहती है।

दर को हर प्रभाव के लिए एक गुणक में बाँटा जा सकता है। गुरुत्व-गुणक $1 - 1/10.4 = 0.951$ उस त्रिज्या पर स्थिर घड़ी की दर है। गति-गुणक $1 - 0.23 1^{2} = 0.973$ विशेष आपेक्षिकता का वह मंदन है जो कक्षा के पास स्थिर प्रेक्षक द्वारा मापी गई चाल $0.231 c$ के लिए है। उनका गुणनफल $0.951 \cdot 0.973 \approx 0.925$ है। यह चाल न्यूटन के मान $GM / r = 0.219 c$ से अधिक है, क्योंकि स्थिर प्रेक्षक की अपनी घड़ी धीमी चलती है, इसलिए वह गेंद का समय कम सेकंडों में मापता है।

अब कक्षीय घड़ी की तुलना त्रिज्या $R$ पर स्थिर खड़ी घड़ी से कीजिए, जिसकी दर $1 - r_{s} / R$ है। कक्षीय घड़ी तब तेज़ चलती है जब $1 - 3 r_{s} / (2 r) > 1 - r_{s} / R$ , यानी जब $r > 1.5 R$ । यह लाल पृथ्वी-वक्र का शून्य है, 3,190 km ऊपर, पर यहाँ परिणाम सटीक है और प्रबल क्षेत्रों में भी मान्य है। $2.16 r_{s}$ पर स्थित तारे की घड़ी के लिए वह कक्षा जहाँ दोनों घड़ियाँ बराबर चलती हैं $3.24 r_{s}$ पर है, जो अंतिम स्थायी कक्षा $3 r_{s}$ के ठीक बाहर है।

वैधता की सीमाएँ

दुर्बल-क्षेत्र सूत्रों को $r_{s} / r ≪ 1$ और $v ≪ c$ चाहिए। ऐनिमेशन के तारे के पास वे स्पष्ट रूप से विफल होते हैं: तारे की घड़ी के लिए दुर्बल-क्षेत्र दर $1 - r_{s} / (2 r)$ सटीक 0.733 के बजाय 0.769 देती है, और विक्षेपण सूत्र सटीक 17.8° से 3.5° चूकता है। सौरमंडल में त्रुटियाँ $(r_{s} / r)^{2}$ की कोटि की हैं, सूर्य की सतह पर भी लगभग $2 \times 1 0^{- 11}$ । न्यूट्रॉन तारा अलग है: 12 km की त्रिज्या में 1.4 सौर द्रव्यमान के साथ उसका $r_{s} / r = 0.34$ है, और उसकी सतह की घड़ी 0.81 पर चलती है। पृथ्वी वाले ग्राफ़ में एक छोटा प्रभाव भी छूट गया है, पृथ्वी के घूर्णन के कारण ज़मीन की घड़ी की गति, जिसका मान लगभग 0.1 µs प्रतिदिन है।

अब तक सिद्धांत हर परीक्षा पर खरा उतरा है: सूर्य के पास प्रकाश का मुड़ना और रेडियो-विलंब, बुध की कक्षा, घड़ियाँ, युग्म पल्सरों की सिकुड़ती कक्षाएँ, और 2015 से गुरुत्वीय तरंगें। पहली पकड़ी गई तरंग दो विलीन होते कृष्ण विवरों से आई थी, जिनके लगभग 36 और 29 सौर द्रव्यमान थे; उसने LIGO डिटेक्टरों की 4 km लंबी भुजाओं को लगभग $4 \times 1 0^{- 18} m$ बदल दिया।

असली सीमा क्वांटम है। सिद्धांत विचित्रताओं (singularities) की भविष्यवाणी करता है, कृष्ण विवरों के भीतर और फैलते ब्रह्मांड के आरंभ में, जहाँ वक्रता असीमित बढ़ती है। उससे बहुत पहले, प्लांक लंबाई $ℏ G / c^{3} \approx 1.6 \times 1 0^{- 35} m$ के आसपास, गुरुत्व के क्वांटम प्रभाव हावी होने चाहिए, और अब तक कोई परखा गया सिद्धांत उनका वर्णन नहीं करता।

यह कहाँ ले जाता है

“विशिष्ट आपेक्षिकता” समतल, गुरुत्व-रहित सीमा है, और उसका जुड़वाँ प्रभाव यहाँ सबसे लंबे उचित काल के नियम के रूप में लौटता है। “गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ” उसकी दुर्बल-क्षेत्र, धीमी-गति सीमा है। जैसे त्वरित आवेश “विद्युत चुंबकीय तरंगें” में विकिरण करते हैं, वैसे ही त्वरित द्रव्यमान $c$ से गुरुत्वीय तरंगें विकिरित करते हैं, पर केवल बदलते चतुर्ध्रुव के माध्यम से, क्योंकि संवेग-संरक्षण द्विध्रुव विकिरण को रोकता है। “विखंडन, संलयन और E = mc²” बताता है कि हर प्रकार की ऊर्जा $T_{μν}$ में क्यों गिनी जाती है।

क्वांटम सिद्धांत के साथ मिलकर, कृष्ण विवर को “कृष्णिका विकिरण और क्वांटम” में बताए गए कृष्णिकाओं की तरह चमकना चाहिए, ताप $T = ℏ c^{3} / (8 π GM k_{B})$ पर, जो एक सौर द्रव्यमान के लिए लगभग $6 \times 1 0^{- 8} K$ है। “कण और बल: मानक मॉडल” गुरुत्व को छोड़कर हर ज्ञात अन्योन्यक्रिया का वर्णन करता है; दोनों को जोड़ना एक बड़ी खुली समस्या है।

मुख्य सूत्र

श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या

r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}

द्रव्यमान द्वारा तय की गई लंबाई: यदि पिंड इसके भीतर सिकुड़ जाए, तो एक घटना क्षितिज बनता है और कुछ भी, प्रकाश भी नहीं, बाहर नहीं निकल सकता। यह गुरुत्व की प्रबलता का स्वाभाविक पैमाना भी है, क्योंकि दूरी $r$ पर आपेक्षिक प्रभाव $r_{s} / r$ की कोटि के होते हैं। संयोग से यह उस त्रिज्या के बराबर है जहाँ न्यूटन का पलायन-वेग $2 GM / r$ $c$ तक पहुँचता है।

चिह्न
$r_{s}$	श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या	$m$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: गोलाकार, अघूर्णी, अनावेशित द्रव्यमान के लिए सटीक। $r_{s}$ से बड़े पिंड के लिए, जैसे सूर्य, यह एक पैमाना है, सतह नहीं; घूमते कृष्ण विवर का क्षितिज $r_{s} /2$ और $r_{s}$ के बीच होता है।

उदाहरण: दस सौर द्रव्यमान: $r_{s} = 10 \cdot 2.95 = 29.5 km$ ; पृथ्वी: 8.9 mm।

द्रव्यमान के पास स्थिर घड़ी की दर

τ = t 1 - \frac{r _{s}}{r}

दूरी $r$ पर स्थिर घड़ी उचित काल $τ$ दर्ज करती है, जबकि दूर की घड़ी $t$ दर्ज करती है। गुणक $1 - r_{s} / r$ 1 से छोटा है और क्षितिज पर शून्य हो जाता है; यह $d r = d Ω = 0$ वाले श्वार्ज़चाइल्ड मीट्रिक से आता है। उस स्थान की हर प्रक्रिया उसी अनुपात में धीमी होती है, इसलिए स्वयं समय धीमा चलता है, घड़ी की यांत्रिकी नहीं।

चिह्न
$τ$	$r$ दूरी पर घड़ी का उचित काल	$s$
$t$	दूर स्थिर घड़ी का समय	$s$
$r_{s}$	द्रव्यमान की श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या	$m$
$r$	केंद्र से दूरी, परिधि द्वारा परिभाषित	$m$

कब लागू होता है: गोलाकार, अघूर्णी द्रव्यमान के बाहर, स्थिर घड़ी के लिए सटीक; गतिमान घड़ी के लिए चाल वाला पद भी चाहिए। क्षितिज के भीतर कोई घड़ी स्थिर नहीं रह सकती।

उदाहरण: ऐनिमेशन में $r = 2.16 r_{s}$ पर तारे की घड़ी $1 - 1/2.16 \approx 0.733$ पर चलती है; $22 r_{s}$ पर दूर की घड़ी 0.977 पर चलती है, यानी अनुपात 3 : 4।

ज़मीन के पास घड़ी की दर और ऊँचाई

\frac{Δ τ}{τ} \approx \frac{g h}{c ^{2}}

गुरुत्व-क्षेत्र $g$ में ऊँचाई $h$ के अंतर पर दो घड़ियों में से ऊपर वाली $g h / c^{2}$ अंश से तेज़ चलती है। यह तुल्यता सिद्धांत से आता है, क्योंकि त्वरित रॉकेट में ऊँचाई $h$ चढ़ता प्रकाश इसी अंश से लाल विस्थापित होकर पहुँचता है; या $r$ के छोटे परिवर्तन के लिए $1 - r_{s} / r$ के विस्तार से।

चिह्न
$Δ τ$	ऊपर की घड़ी द्वारा प्राप्त समय	$s$
$τ$	घड़ियों पर बीता समय	$s$
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$
$h$	घड़ियों के बीच ऊँचाई का अंतर	$m$
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: दुर्बल क्षेत्र और ऊँचाई ग्रह की त्रिज्या की तुलना में छोटी, ताकि $g$ पूरी ऊँचाई पर समान रहे; उपग्रहों के लिए इसके बजाय $GM / c^{2} (1/ R - 1/ r)$ का उपयोग करें।

उदाहरण: 1 km ऊँची घड़ी का लाभ-अंश $9.81 \cdot 1000/ (3.00 \times 1 0^{8})^{2} \approx 1.1 \times 1 0^{- 13}$ है, यानी लगभग प्रतिदिन 9.4 ns।

घड़ी की दर और चाल

\frac{Δ τ}{τ} \approx - \frac{v ^{2}}{2 c ^{2}}

चाल $v$ से चलती घड़ी विशेष आपेक्षिकता के गुणक $1 - v^{2} / c^{2}$ से धीमी चलती है; $v ≪ c$ के लिए इसका हानि-अंश $v^{2} / (2 c^{2})$ है। असली बात ऋण चिह्न है: चाल हमेशा घड़ी को समय खोने पर मजबूर करती है और ऊँचाई उसे लाभ देती है, और दोनों अंश जुड़ते हैं।

चिह्न
$Δ τ$	गतिमान घड़ी द्वारा खोया समय	$s$
$τ$	बीता समय	$s$
$v$	घड़ी की चाल	$m/s$
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: प्रकाश की चाल से बहुत कम गति के लिए, जहाँ चाल संदर्भ घड़ी के फ़्रेम में मापी गई हो; उपग्रहों के लिए पृथ्वी के केंद्र का अघूर्णी फ़्रेम।

उदाहरण: 3.87 km/s पर चलता GPS उपग्रह: $v^{2} / (2 c^{2}) \approx 8.3 \times 1 0^{- 11}$ , यानी प्रतिदिन 7.2 µs की हानि।

द्रव्यमान द्वारा प्रकाश का मुड़ना

δ = \frac{4 GM}{c ^{2} b}

एक किरण जिसका बिना मुड़े पथ द्रव्यमान के पास दूरी $b$ से गुज़रता, वह कोण $δ$ (रेडियन में) से मुड़ती है। आधा मोड़ काल के मुड़ने से आता है, जो अकेले $c$ चाल वाले कण के लिए न्यूटन का मान $2 GM / (c^{2} b)$ देता है; शेष आधा दिक् के मुड़ने से आता है। श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या के रूप में, $δ = 2 r_{s} / b$ ।

चिह्न
$δ$	विक्षेपण कोण	$rad$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	विक्षेप करने वाले पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$
$b$	संघट्ट प्राचल, सीधे पथ की निकटतम दूरी	$m$

कब लागू होता है: दुर्बल क्षेत्र, $b ≫ r_{s}$ । पास से गुज़रने पर मोड़ तेज़ी से बढ़ता है: $b = 8 r_{s}$ पर सटीक मान 17.8° है, जबकि सन्निकट मान 14.3°; $2.6 r_{s}$ से कम $b$ वाली किरणें पकड़ ली जाती हैं।

उदाहरण: सूर्य के किनारे से गुज़रते हुए, $b = 6.96 \times 1 0^{8} m$ : $δ = 4 \cdot 1.327 \times 1 0^{20} / ((3.00 \times 1 0^{8})^{2} \cdot 6.96 \times 1 0^{8}) \approx 8.5 \times 1 0^{- 6} rad$ , यानी 1.75″।

आइंस्टीन का क्षेत्र-समीकरण

G_{μν} = \frac{8 π G}{c ^{4}} T_{μν}

बायाँ पक्ष, आइंस्टीन टेंसर, दिक्-काल की औसत वक्रता का वर्णन करता है; दायाँ पक्ष, प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर, ऊर्जा और संवेग का घनत्व और प्रवाह, दाब सहित। इसका सबसे सरल पाठ: द्रव्य के चारों ओर एक छोटे गोले की त्रिज्या $A /4 π$ से $GM / (3 c^{2})$ अधिक होती है। बहुत छोटा युग्मन $8 π G / c^{4} \approx 2.1 \times 1 0^{- 43} N^{- 1}$ दिक्-काल को बहुत कठोर बना देता है।

चिह्न
$G_{μν}$	आइंस्टीन टेंसर (औसत वक्रता)	$m^{- 2}$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$
$T_{μν}$	प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर (ऊर्जा घनत्व, संवेग प्रवाह, दाब)	$J/ m^{3}$

कब लागू होता है: यह एक चिरसम्मत नियम है: उस बिंदु पर विफल होना चाहिए जहाँ गुरुत्व के क्वांटम प्रभाव मायने रखते हैं, यानी प्लांक लंबाई $1.6 \times 1 0^{- 35} m$ के आसपास। ब्रह्मांडीय पैमाने पर त्वरित विस्तार का वर्णन करने के लिए ब्रह्मांडीय स्थिरांक का पद जोड़ा जाता है।

उदाहरण: एकसमान मानी गई पृथ्वी के लिए अतिरिक्त त्रिज्या $GM / (3 c^{2}) = 4.435/3 \approx 1.5 mm$ है।

श्वार्ज़चाइल्ड मीट्रिक

c^{2} d τ^{2} = (1 - \frac{r _{s}}{r}) c^{2} d t^{2} - \frac{d r ^{2}}{1 - r _{s} / r} - r^{2} d Ω^{2}

गोलाकार, अघूर्णी द्रव्यमान के बाहर की सटीक ज्यामिति: यह दो निकट की घटनाओं के बीच उचित काल $d τ$ देती है। पहला पद स्थिर घड़ियों को $1 - r_{s} / r$ पर चलाता है, दूसरा त्रिज्य दूरियों को खींचता है, और अंतिम परिधि $2 π r$ वाले गोलों पर सामान्य ज्यामिति है। मुक्त पिंड सबसे बड़े $τ$ की विश्वरेखाओं पर चलते हैं, और प्रकाश $d τ = 0$ पर।

चिह्न
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$
$d τ$	दो घटनाओं के बीच उचित काल	$s$
$r_{s}$	श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या	$m$
$r$	परिधि द्वारा परिभाषित त्रिज्य निर्देशांक	$m$
$d t$	दो घटनाओं के बीच दूर का समय	$s$
$d r$	त्रिज्य निर्देशांक में परिवर्तन	$m$
$d Ω$	केंद्र से देखी गई दोनों घटनाओं के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: केवल द्रव्यमान के बाहर, अघूर्णी और अनावेशित स्थिति के लिए। $r = r_{s}$ पर ये निर्देशांक विफल होते हैं, पर ज्यामिति सुचारु रहती है; वास्तविक विचित्रता $r = 0$ पर है।

उदाहरण: $r = 2.16 r_{s}$ पर स्थिर घड़ी: $d τ / d t = 1 - 1/2.16 \approx 0.733$ ; $10.4 r_{s}$ पर वृत्तीय कक्षा वाली घड़ी: $1 - 1.5/10.4 \approx 0.925$ ।

प्रति कक्षा उपसौर का अग्रगमन

Δ φ = \frac{6 π GM}{c ^{2} a ( 1 - e ^{2} )}

कक्षा-समीकरण का आपेक्षिक पद दीर्घवृत्त को हर परिक्रमा में $Δ φ$ आगे घुमाता है, इसलिए कक्षा कभी पूरी तरह बंद नहीं होती। यह प्रगति द्रव्यमान के पास की छोटी कक्षाओं और लंबी कक्षाओं में सबसे बड़ी होती है, गुणक $a (1 - e^{2})$ के कारण।

चिह्न
$Δ φ$	प्रति परिक्रमा निकटतम बिंदु का अग्रगमन	$rad$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$c$	प्रकाश की चाल	$m/s$
$a$	कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष	$m$
$e$	कक्षा की उत्केंद्रता

कब लागू होता है: दुर्बल क्षेत्र, $r_{s} ≪ a (1 - e^{2})$ । अन्य ग्रहों के खिंचाव अपना अग्रगमन जोड़ते हैं; बुध के लिए यह लगभग 530″ प्रति शताब्दी है।

उदाहरण: बुध, $a = 5.79 \times 1 0^{10} m$ और $e = 0.206$ : $Δ φ \approx 5.0 \times 1 0^{- 7} rad$ प्रति परिक्रमा, यानी 43″ प्रति शताब्दी।

शब्दावली

तुल्यता सिद्धांत: एक छोटे, मुक्त-पतन करते केबिन में भौतिकी के नियम खाली अंतरिक्ष के नियम होते हैं, और $g$ से त्वरित केबिन को $g$ क्षेत्र में स्थिर केबिन से अलग नहीं बताया जा सकता। यह इस तथ्य पर आधारित है कि सभी पिंड एक जैसे गिरते हैं, जिसे लगभग $1 0^{15}$ में एक भाग तक परखा गया है।
दिक्-काल: दिक् और काल को मिलाकर बनी चतुर्विमीय ज्यामिति, जिसके बिंदु घटनाएँ हैं, यानी एक क्षण में एक स्थान। अलग-अलग गति-अवस्था वाले प्रेक्षक इसे अलग-अलग ढंग से दिक् और काल में बाँटते हैं।
विश्वरेखा: दिक्-काल में किसी पिंड का पथ: वे घटनाएँ जिनसे वह गुज़रता है, उनका क्रम। स्थिर पिंड की भी विश्वरेखा होती है, जो काल की दिशा में चलती है।
उचित काल: विश्वरेखा के साथ चलती घड़ी का दिखाया समय, जिसके साथ पिंड की हर प्रक्रिया चलती है। यह दूर के समय $t$ से गुरुत्व और चाल के कारकों के कारण भिन्न होता है।
जियोडेसिक: वक्र दिक्-काल में सबसे सीधी संभव विश्वरेखा, जिसका अनुसरण हर मुक्त पिंड करता है। पिंड के लिए यह दो घटनाओं के बीच सबसे बड़े उचित काल वाली विश्वरेखा है; प्रकाश के लिए उसके साथ उचित काल शून्य है।
दिक्-काल वक्रता: दिक्-काल में समतल ज्यामिति की विफलता: अलग-अलग ऊँचाइयों की घड़ियाँ अलग दरों से चलती हैं, और द्रव्य के चारों ओर का गोला $A /4 π$ से लंबी त्रिज्या वाला होता है। द्रव्यमान और ऊर्जा इसे उत्पन्न करते हैं, जैसा क्षेत्र-समीकरण कहता है।
गुरुत्वीय काल-विस्तार: गुरुत्व-क्षेत्र में गहराई पर घड़ियों का धीमा चलना, $τ = t 1 - r_{s} / r$ ; ज़मीन के पास 1 m ऊँची घड़ी $1.1 \times 1 0^{- 16}$ से तेज़ चलती है। यह गतिमान घड़ियों के धीमेपन से अलग है, यद्यपि दोनों जुड़ते हैं।
गुरुत्वीय लाल विस्थापन: गुरुत्व-क्षेत्र से बाहर चढ़ते प्रकाश की आवृत्ति का घटना, ऊँचाई $h$ पर $g h / c^{2}$ से; अंदर गिरता प्रकाश नीला विस्थापित होता है। यह प्रकाश के साथ दिखने वाला घड़ी-प्रभाव है, जो प्रयोगशाला में 1960 में 22.5 m पर पहली बार मापा गया।
गुरुत्वीय लेंसिंग: द्रव्यमानों द्वारा प्रकाश का मुड़ना, $δ = 4 GM / (c^{2} b)$ , न्यूटन के मान का दोगुना। आकाशगंगाएँ और उनके समूह अधिक दूर के स्रोतों के प्रकाश को चाप, वलय और बहु-प्रतिबिंबों में मोड़ देते हैं।
कृष्ण विवर: कोई पिंड जो अपनी श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या के भीतर सिकुड़ गया हो, ताकि उसका घटना क्षितिज प्रकाश को भी कैद कर ले। क्षितिज के बाहर उसका गुरुत्व उसी द्रव्यमान के किसी भी अन्य पिंड जैसा है।
उपसौर अग्रगमन: कक्षा के दीर्घवृत्त का धीमा घूमना, ताकि निकटतम बिंदु हर चक्कर में आगे बढ़े। सामान्य आपेक्षिकता प्रति कक्षा $6 π GM / (c^{2} a (1 - e^{2}))$ जोड़ती है: बुध के लिए 43″ प्रति शताब्दी।
गुरुत्वीय तरंगें: $c$ से चलती दिक्-काल वक्रता की लहरें, जिन्हें विलीन होते कृष्ण विवरों जैसे त्वरित पिंड उत्सर्जित करते हैं। गुज़रती तरंग दूरियों को एक सूक्ष्म विकृति से फैलाती और सिकोड़ती है, जो 2015 की पहली खोज में लगभग $1 0^{- 21}$ थी।

राशियाँ
$r_{s}$	श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या	$m$	$2 GM / c^{2}$ , द्रव्यमान $M$ वाले कृष्ण विवर की क्षितिज-त्रिज्या: सूर्य के लिए 2.95 km, पृथ्वी के लिए 8.9 mm। अनुपात $r_{s} / r$ दूरी $r$ पर गुरुत्व की प्रबलता मापता है।
$M$	आकर्षित करने वाले पिंड का द्रव्यमान	$kg$	वह द्रव्यमान जो अपने चारों ओर दिक्-काल को मोड़ता है। $G$ और $c$ के साथ यह केवल लंबाई $GM / c^{2}$ के रूप में आता है: पृथ्वी के लिए 4.435 mm, सूर्य के लिए 1.48 km।
$r$	त्रिज्य निर्देशांक	$m$	परिधि से परिभाषित केंद्र से दूरी, $r = C /2 π$ । द्रव्यमान के पास त्रिज्या के अनुदिश बिछाया गया फ़ीता थोड़ा अधिक मापता है।
$τ$	उचित काल	$s$	घड़ी का अपनी स्थिति और चाल पर दिखाया समय; ऐनिमेशन में तारे पर $τ_{1}$ और दूर $τ_{2}$ ।
$t$	दूर का समय	$s$	सभी द्रव्यमानों से बहुत दूर स्थिर घड़ी का समय, जो अलग-अलग स्थानों की घड़ियों की तुलना के लिए है; इसे निर्देशांक समय भी कहते हैं।
$Φ$	गुरुत्वीय विभव	$J/kg$	प्रति किलोग्राम स्थितिज ऊर्जा, गोले के बाहर $- GM / r$ । दुर्बल क्षेत्रों में घड़ी दूर की दर के $1 + Φ/ c^{2}$ गुना पर चलती है।
$δ$	विक्षेपण कोण	$rad$	आने और जाने वाली प्रकाश-दिशाओं के बीच का कोण: दुर्बल क्षेत्र में $4 GM / (c^{2} b)$ , सूर्य के किनारे पर 1.75″।
$b$	संघट्ट प्राचल	$m$	यदि प्रकाश सीधा आगे जाता तो वह द्रव्यमान के केंद्र से जितनी दूरी पर रहता; ऐनिमेशन में $b = 8 r_{s}$ ।
$Δ φ$	प्रति कक्षा उपसौर का अग्रगमन	$rad$	एक परिक्रमा में कक्षा के निकटतम बिंदु का आगे बढ़ा कोण: बुध के लिए $5.0 \times 1 0^{- 7} rad$ ।
$G_{μν}$	आइंस्टीन टेंसर	$m^{- 2}$	हर घटना पर दस संख्याएँ, जो दिक्-काल की औसत वक्रता बताती हैं। क्षेत्र-समीकरण इसे प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर $T_{μν}$ के समानुपाती बनाता है।

क्विज़

शुरुआती सामान्य आपेक्षिकता के अनुसार गुरुत्व क्या है?
1. एक बल जो खाली अंतरिक्ष में तुरंत यात्रा करता है
2. द्रव्यमान और ऊर्जा द्वारा दिक् और काल का मुड़ना
3. सभी वस्तुओं के बीच एक चुंबकीय आकर्षण
4. हवा का दबाव जो हर चीज़ पर दबाव डालता है
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उत्तर: B. द्रव्यमान और ऊर्जा द्वारा दिक् और काल का मुड़ना
आइंस्टीन ने न्यूटन के बल की जगह ज्यामिति रखी: द्रव्यमान और ऊर्जा दिक्-काल को मोड़ते हैं, और मुक्त रूप से चलती वस्तुएँ उसमें यथासंभव सबसे सीधे पथों पर चलती हैं। ये पथ वैसी ही मुड़ी, त्वरित गतियों जैसे दिखते हैं जिन्हें हम किसी खिंचाव का परिणाम मानते हैं।
शुरुआती आप एक बंद लिफ़्ट में हैं जिसकी केबल टूट गई है, इसलिए वह मुक्त रूप से गिर रही है (वायु-प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ करें)। आप क्या महसूस करेंगे?
1. सामान्य से भारी
2. अपना सामान्य भार
3. भारहीन: आप लिफ़्ट की हर चीज़ के साथ तैरेंगे
4. छत की ओर ज़ोर से दबे हुए
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उत्तर: C. भारहीन: आप लिफ़्ट की हर चीज़ के साथ तैरेंगे
आप, लिफ़्ट और उसकी हर चीज़ एक ही त्वरण से गिरते हैं, इसलिए कुछ भी किसी दूसरी चीज़ पर दबाव नहीं डालता: आप भारहीनता महसूस करेंगे, जैसे कक्षा में अंतरिक्ष यात्री करते हैं। ऐसा गिरना स्थानीय रूप से गुरुत्व को “बंद” कर सकता है, यही सामान्य आपेक्षिकता के केंद्र में स्थित तुल्यता सिद्धांत है।
शुरुआती दो समान, अत्यंत सटीक घड़ियों में से एक समुद्र-तल पर और दूसरी एक ऊँचे पहाड़ पर रखी गई है। कई दिनों बाद, पहाड़ की घड़ी की तुलना कैसी होगी?
1. वह थोड़ी आगे होगी, क्योंकि ऊँचाई पर समय तेज़ चलता है
2. वह थोड़ी पीछे होगी, क्योंकि वह अंतरिक्ष के अधिक निकट है
3. वह ठीक बराबर होगी: गुरुत्व समय को प्रभावित नहीं कर सकता
4. मौसम के अनुसार वह आगे या पीछे होगी
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उत्तर: A. वह थोड़ी आगे होगी, क्योंकि ऊँचाई पर समय तेज़ चलता है
पृथ्वी के द्रव्यमान से दूर समय तेज़ चलता है। यह प्रभाव बहुत छोटा है: 1 km ऊँचाई के अंतर पर लगभग 10⁻¹³ (लगभग प्रतिदिन 9 नैनोसेकंड), पर आधुनिक परमाणु घड़ियाँ इसे कुछ सेंटीमीटर की ऊँचाई-वृद्धि पर भी पकड़ लेती हैं।
मध्यम GPS उपग्रह की घड़ियाँ प्रतिदिन 45.7 µs तेज़ चलती हैं क्योंकि वहाँ गुरुत्व कमज़ोर है, और अपनी चाल के कारण प्रतिदिन 7.2 µs धीमी। ज़मीन की घड़ियों की तुलना में शुद्ध प्रभाव क्या है?
1. वे प्रतिदिन 38.5 µs खोती हैं
2. वे प्रतिदिन 52.9 µs पाती हैं
3. कोई नहीं: दोनों प्रभाव निरस्त हो जाते हैं
4. वे प्रतिदिन 38.5 µs पाती हैं
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उत्तर: D. वे प्रतिदिन 38.5 µs पाती हैं
प्रभावों को उनके चिह्नों सहित जोड़िए: +45.7 − 7.2 = +38.5 µs प्रतिदिन। 38.5 µs में प्रकाश लगभग 11.5 km चलता है, इसलिए इस सुधार के बिना GPS स्थितियाँ हर दिन किलोमीटरों तक खिसक जाएँगी।
मध्यम सूर्य की श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या 2.95 km है। सूर्य के द्रव्यमान से 10 गुना द्रव्यमान वाले कृष्ण विवर की श्वार्ज़चाइल्ड त्रिज्या क्या है?
1. 0.295 km
2. 9.3 km
3. 29.5 km
4. 295 km
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उत्तर: C. 29.5 km
rₛ = 2GM/c² द्रव्यमान के समानुपाती है, इसलिए 10 × 2.95 km = 29.5 km। √10 लेने पर 9.3 km आता, और M² के अनुपात में बढ़ाने पर 295 km।
मध्यम गुरुत्व के रबर-चादर चित्र को केवल एक उपमा क्यों कहा जाता है?
1. क्योंकि दिक्-काल वास्तव में मुड़ नहीं सकता
2. क्योंकि गेंद तभी गड्ढे में लुढ़कती है जब कोई पहले से उसे नीचे खींच रहा हो
3. क्योंकि द्रव्यमान को चादर को ऊपर उभारना चाहिए, न कि नीचे धँसाना
4. क्योंकि यह ग्रहों का वर्णन करता है, पर प्रकाश के बारे में बिल्कुल कुछ नहीं कहता
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उत्तर: B. क्योंकि गेंद तभी गड्ढे में लुढ़कती है जब कोई पहले से उसे नीचे खींच रहा हो
असली चादर पर पृथ्वी का गुरुत्व ही गेंद को गड्ढे में खींचता है, इसलिए चित्र वही मान लेता है जिसे वह समझाना चाहता है। यह केवल वक्र दिक् दिखाता है, जबकि ग्रहों और गिरते सेब जैसे धीमे पिंडों के लिए लगभग पूरा गुरुत्व समय की वक्रता से आता है।
उन्नत न्यूटनी गुरुत्व को चाल c से चलते कण पर लागू करने पर भविष्यवाणी होती है कि सूर्य के किनारे से गुज़रता प्रकाश 0.87″ मुड़ेगा। सामान्य आपेक्षिकता 1.75″ क्यों भविष्यवाणी करती है?
1. दिक् भी काल की तरह मुड़ा होता है, और दिक् की वक्रता एक समान दूसरा हिस्सा जोड़ती है
2. प्रकाश का आपेक्षिक द्रव्यमान उसके न्यूटनी द्रव्यमान का दोगुना है
3. सूर्य का वायुमंडल प्रकाश को और 0.87″ अपवर्तित करता है
4. सूर्य का घूर्णन प्रकाश को और 0.87″ पार्श्व में खींचता है
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उत्तर: A. दिक् भी काल की तरह मुड़ा होता है, और दिक् की वक्रता एक समान दूसरा हिस्सा जोड़ती है
दुर्बल क्षेत्र में g_tt ≈ 1 + 2Φ/c² और g_rr ≈ −(1 − 2Φ/c²)। अकेला काल-भाग, जो तुल्यता सिद्धांत देता है, न्यूटन का 2GM/(c²b) पुन: देता है; c पर चलते कण के लिए दूरी-भाग उतना ही और जोड़ता है, इसलिए δ = 4GM/(c²b)। 1919 के सूर्यग्रहण के मापनों ने इसी दोगुने मान का समर्थन किया।
उन्नत पृथ्वी के चारों ओर वृत्तीय कक्षा में घूमती घड़ी की ज़मीन की घड़ी से तुलना की जाती है। लगभग किस ऊँचाई से ऊपर कक्षीय घड़ी तेज़ चलती है?
1. वह हर ऊँचाई पर धीमी चलती है
2. लगभग 400 km से ऊपर, जो अंतरिक्ष स्टेशन की ऊँचाई है
3. लगभग 36,000 km से ऊपर, जो भू-स्थिर ऊँचाई है
4. लगभग 3,200 km से ऊपर, जहाँ r = 1.5·R
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उत्तर: D. लगभग 3,200 km से ऊपर, जहाँ r = 1.5·R
कम गुरुत्व कक्षीय घड़ी को GM/c²·(1/R − 1/r) से तेज़ करता है, और उसकी चाल उसे GM/(2rc²) से धीमा करती है। ये दोनों 1/R = 3/(2r) पर बराबर होते हैं, यानी r = 1.5·R, लगभग 3,190 km ऊपर: अंतरिक्ष स्टेशन की घड़ियाँ धीमी चलती हैं, GPS की घड़ियाँ तेज़। यही वह बिंदु है जहाँ ग्राफ़ का लाल वक्र शून्य पार करता है।

$M$	गोले के भीतर का द्रव्यमान।	$kg$
$A$	जिस गोले का प्रतीक वृत्त है, उसका क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$A /4 π$	क्षेत्रफल $A$ के लिए समतल दिक् द्वारा दी गई त्रिज्या।	$m$
$r$	$M$ से चादर के अनुदिश वृत्त तक बिछाए फ़ीतों से मापी गई त्रिज्या।	$m$
$Δ r$	अतिरिक्त त्रिज्या $r - A /4 π$ ; एकसमान घनत्व के द्रव्य के लिए यह $GM / (3 c^{2})$ है।	$m$

$g$	बाएँ: रॉकेट का त्वरण; दाएँ: ज़मीन पर नीचे की ओर गुरुत्वीय क्षेत्र की प्रबलता।	$m/ s^{2}$
$c$	फ़र्श की घड़ी से छत की घड़ी तक भेजे गए प्रकाश-स्पंदन की चाल।	$m/s$
$h$	केबिन की ऊँचाई: दोनों घड़ियों के बीच की दूरी।	$m$
$g h / c$	स्पंदन के चढ़ने के दौरान छत द्वारा प्राप्त चाल; यह डॉप्लर विस्थापन $g h / c^{2}$ तय करती है।	$m/s$

$t$	फेंकने के बाद का समय।	$s$
$h$	ज़मीन से गेंद की ऊँचाई।	$m$
$T$	फेंकने से पकड़ने तक का समय।	$s$
$H_{1}$	निचले पथ की शिखर ऊँचाई, $H_{2} /2$ ।	$m$
$H_{2}$	मुक्त-पतन पथ की शिखर ऊँचाई, $g T^{2} /8$ ।	$m$
$H_{3}$	ऊँचे पथ की शिखर ऊँचाई, $2 H_{2} = g T^{2} /4$ ।	$m$
$H$	किसी पथ की शिखर ऊँचाई।	$m$
$Δ τ$	पथ पर चलती घड़ी द्वारा ज़मीन पर रखी घड़ी से प्राप्त उचित काल।	$s$

$M$	किरण को मोड़ने वाला द्रव्यमान।	$kg$
$b$	संघट्ट प्राचल: $M$ से किरण की आने वाली रेखा की दूरी।	$m$
$c$	प्रकाश की चाल, किरण के अनुदिश।	$m/s$
$δ$	सामान्य आपेक्षिकता में विक्षेपण, $4 GM / (c^{2} b) = 2 δ_{N}$ ।	$rad$
$δ_{N}$	केवल काल-भाग से विक्षेपण, न्यूटन के सिद्धांत के अनुसार: $2 GM / (c^{2} b)$ ।	$rad$