सदिश और आपेक्षिक गति

शुरुआती

कुछ राशियाँ केवल एक संख्या से पूरी तरह वर्णित हो जाती हैं: 2 kg द्रव्यमान, 10 s समय, 20 °C तापमान। ये अदिश राशियाँ हैं। कुछ को दिशा भी चाहिए: “स्टेशन 2 km दूर है” यह नहीं बताता कि किस सड़क से जाना है। चाल (कितनी तेज़) अदिश है; वेग (कितनी तेज़ और किस दिशा में) सदिश है, जैसे विस्थापन और बल। हम सदिश को तीर से दर्शाते हैं: उसकी लंबाई परिमाण बताती है और नोक दिशा।

त्वरित जाँच: क्या “दक्षिण की ओर 15 m/s” चाल है या वेग? (वेग: इसकी एक दिशा है।)

दो सदिशों को जोड़ने के लिए दूसरे तीर की पूँछ को पहले तीर की नोक पर रखें; योग आरंभ से अंत तक जाता है। 3 m पूर्व और फिर 4 m उत्तर चलें: आप आरंभ से 5 m दूर हैं। आप 7 m चले, पर आपका विस्थापन 5 m वाला तीर है।

वेग इसी तरह जुड़ते हैं। चलते फ़ुटपाथ पर आप 1 m/s से चलते हैं और पट्टा आपको 2 m/s से आगे ले जाता है, तो बगल में खड़े व्यक्ति को आप 3 m/s से गुज़रते दिखेंगे। यदि आप 2 m/s से पीछे की ओर चलें, तो आप उसके बराबर ही रहेंगे: वेग निरस्त हो जाते हैं।

त्वरित जाँच: आप 1.5 m/s से 20 m/s पर चलती रेलगाड़ी के पिछले डिब्बे की ओर चलते हैं। प्लेटफ़ॉर्म पर खड़े व्यक्ति के सापेक्ष आप कितनी तेज़ी से गुज़रते हैं? (18.5 m/s, रेलगाड़ी की दिशा में।)

एनिमेशन में एक नाव 60 m चौड़ी नदी पार करती है। नाविक सीधे सामने वाले किनारे की ओर निशाना साधता है, पर पानी नाव को तिरछी रेखा पर बहा ले जाता है। धूसर बिंदु दिखाते हैं कि हर 3 सेकंड में वह 9 m बहती है, कुल मिलाकर 36 m। फिर भी यात्रा में 12 सेकंड लगते हैं, जितने शांत पानी में लगते: धारा एक पार्श्व गति जोड़ती है, विलंब नहीं।

मध्यम

अदिश, सदिश और घटक

2 kg का द्रव्यमान या 12 s का समय एक संख्या और इकाई से पूर्ण होता है। ऐसी राशियाँ अदिश हैं और साधारण संख्याओं की तरह जुड़ती हैं। विस्थापन, वेग, त्वरण और बल को दिशा भी चाहिए: ये सदिश हैं। सदिश को तीर $\vec{A}$ से लिखते हैं; उसका आकार, यानी परिमाण, $|\vec{A}|$ या संक्षेप में $A$ लिखा जाता है, और वह कभी ऋणात्मक नहीं होता। चाल वेग-सदिश का परिमाण है।

सदिश से गणना करने के लिए दो परस्पर लंबवत अक्ष चुनें और तीर को हर अक्ष पर प्रक्षेपित करें। यदि $\vec{A}$ का $x$ अक्ष से कोण $\theta$ है, जो $y$ अक्ष की ओर मापा गया है, तो उसके घटक और परिमाण इस प्रकार संबंधित हैं

• $A_x=A\cos \theta ,A_y=A\sin \theta$
• $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

घटक चिह्नित होते हैं: जब तीर ऋणात्मक $x$ की दिशा में हो, तो $A_x$ ऋणात्मक होता है। दूसरी पंक्ति पाइथागोरस प्रमेय है, और दिशा $\tan \theta =A_y/A_x$ से मिलती है। इस पाठ में $x$ अक्ष नदी के साथ नीचे की ओर है और $y$ अक्ष नदी के आर-पार, सामने वाले किनारे की ओर।

सदिशों का योग और अंतर

दो सदिशों को जोड़ने के लिए दूसरे सदिश की पूँछ को पहले की नोक पर रखें; परिणामी (रिज़ल्टेंट) पहले की पूँछ से अंतिम की नोक तक जाता है। घटकों में नियम सीधा है: प्रत्येक अक्ष पर जोड़ें। यदि $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, तो $C_x=A_x+B_x$ और $C_y=A_y+B_y$, क्रम कोई भी हो।

परिमाण केवल समांतर तीरों के लिए जुड़ते हैं। 5 m का एक कदम और फिर 3 m का कदम: एक ही दिशा में हों तो 8 m, विपरीत हों तो 2 m, और समकोण पर $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5.83\mathrm{m}$ होता है; कोई अन्य कोण इन दोनों के बीच का परिणाम देता है। घटाने का अर्थ है उलटे तीर को जोड़ना, $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$: उभयनिष्ठ आरंभ-बिंदु से खींचने पर यह $\vec{B}$ की नोक से $\vec{A}$ की नोक तक जाता है।

आपेक्षिक वेग: निर्देश तंत्रों की श्रृंखला

वेग हमेशा किसी संदर्भ के सापेक्ष मापा जाता है। मान लीजिए $\vec{v}{}^{\prime }$ पानी के सापेक्ष नाव का वेग है, $\vec{u}$ तट के सापेक्ष पानी का वेग (यानी धारा), और $\vec{v}$ तट के सापेक्ष नाव का वेग है। हर सेकंड नाव पानी के सापेक्ष $\vec{v}{}^{\prime }$ चलती है, जबकि पानी उसे तट के साथ $\vec{u}$ आगे ले जाता है, और दोनों विस्थापन सिर-से-पूँछ जुड़ते हैं:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$

एक लेबल-नियम क्रम को स्पष्ट रखता है: ${\vec{v}}_{boat/bank}={\vec{v}}_{boat/water}+{\vec{v}}_{water/bank}$। बीच के लेबल मेल खाकर निरस्त होते हैं, और केवल नाव-तट बचता है। दो लेबल बदलने पर तीर उलट जाता है: पानी के सापेक्ष तट $-\vec{u}$ से धारा के विरुद्ध चलता है।

$x$ को नीचे की ओर और $y$ को आर-पार लेने पर, सीधे सामने निशाना साधी नाव का $\vec{v}{}^{\prime }=(0,v^{\prime })$ है और धारा $\vec{u}=(u,0)$ है, इसलिए $\vec{v}=(u,v^{\prime })$। दोनों घटक स्वतंत्र रूप से काम करते हैं: आर-पार वाला घटक अकेले ही नाव को चौड़ाई $d$ की नदी के पार ले जाता है, और नीचे वाला घटक अकेले ही नाव को नदी के साथ बहाता है। अतः भूमि के सापेक्ष चाल, पार करने का समय और बहाव क्रमशः हैं
$|\vec{v}|=\sqrt{v^{\prime 2}+u^2}$
$t=\frac{d}{v^{\prime }},x=\frac{ud}{v^{\prime }}$

उदाहरण: एनिमेशन की नाव

नाविक पानी के सापेक्ष $v^{\prime }=5m/s$ से चलता है, धारा $u=3m/s$ से बहती है, और नदी $d=60\mathrm{m}$ चौड़ी है। नाव का मुँह सीधे सामने है।
$|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5.83m/s$
$t=\frac{60}{5}=12\mathrm{s},x=3\cdot 12=36\mathrm{m}$

नाव का पथ सीधे सामने की रेखा से कोण $\phi$ बनाता है, $\tan \phi =u/v^{\prime }=3/5$, इसलिए $\phi \approx 31^{\circ }$ नीचे की ओर। भूमि पर नाव $\sqrt{60^2+36^2}\approx 70\mathrm{m}$ चलती है, जो $5.83\cdot 12$ के भी बराबर है। ये पाठ्यांकों के अंतिम मान हैं: $y=v^{\prime }t$ और $x=ut$ लगातार बढ़ते हैं और $t$ के 12 s पर पहुँचने पर 60 m और 36 m पर रुक जाते हैं।

नाव पर लगे तीर इस योग को दिखाते हैं: सुनहरा $\vec{v}{}^{\prime }$ सीधे सामने है, नीला $\vec{u}$ उसकी नोक से शुरू होता है, और हरा $\vec{v}$ बिंदीदार पथ के साथ त्रिभुज पूरा करता है। हर 3 s पर लगे धूसर चिह्न दिखाते हैं कि बहाव हर बार 9 m बढ़ता है, यानी 9, 18, 27 और 36 m, जबकि नाव आर-पार 15 m आगे बढ़ती है: पथ सीधा है, क्योंकि दोनों घटक नहीं बदलते।

उदाहरण: तिरछी हवा में विमान

एक हल्का विमान हवा के सापेक्ष 250 km/h से, ठीक उत्तर में 360 km दूर एक हवाई अड्डे की ओर उड़ता है, जबकि हवा 70 km/h से पूर्व की ओर बह रही है। यहाँ हवा वही भूमिका निभाती है जो पानी: $v^{\prime }=250km/h$, $u=70km/h$, $d=360\mathrm{km}$।

यदि पायलट सीधे उत्तर की ओर निशाना साधे, तो विमान को 360 km उत्तर जाने में $360/250=1.44\mathrm{h}$ लगेंगे, और इसी बीच हवा उसे हवाई अड्डे से लगभग $70\cdot 1.44\approx 101\mathrm{km}$ पूर्व ले जाएगी। ठीक उत्तर की ओर सीधे पथ पर उड़ने के लिए उसे आंशिक रूप से हवा के विरुद्ध मुड़ना होगा, ताकि $\vec{v}{}^{\prime }$ का पश्चिमी घटक हवा को निरस्त कर दे। अब हवा के सापेक्ष वेग कर्ण बन जाता है:
$\sin \alpha =\frac{u}{v^{\prime }},t=\frac{d}{\sqrt{v^{\prime 2}-u^2}}$

यहाँ $\sin \alpha =70/250=0.28$, इसलिए वह उत्तर से पश्चिम की ओर $\alpha \approx 16.3^{\circ }$ पर मुड़ती है। भूमि के सापेक्ष चाल $\sqrt{250^2-70^2}=240km/h$ है, और उड़ान में $360/240=1.5\mathrm{h}$ लगते हैं। यह सुधार केवल 3.6 मिनट लेता है और 101 km की गलती मिटा देता है। पायलट $\alpha$ को पवन-सुधार कोण कहते हैं।

वेग-त्रिभुज को पढ़ना

हर आपेक्षिक-वेग प्रश्न में $\vec{v}{}^{\prime }$, $\vec{u}$ और $\vec{v}$ का एक त्रिभुज बनता है; पहले तय करें कि कौन-सी भुजा कर्ण है। जब नाव सीधे सामने निशाना साधती है, तो $\vec{v}{}^{\prime }$ और $\vec{u}$ लंब भुजाएँ होती हैं और भू-वेग कर्ण होता है, जो दोनों में से किसी से भी लंबा है: 5.83 m/s। जब नाव को सीधे आर-पार जाना हो, तो $\vec{v}$ लंब भुजा बनती है और $\vec{v}{}^{\prime }$ कर्ण; तब उपयोगी चाल घटकर $\sqrt{5^2-3^2}=4m/s$ रह जाती है और पार करने में 15 s लगते हैं। विशेषज्ञ वाली दृष्टि में दूसरी नाव यही करती है।

नदी के साथ यह त्रिभुज एक रेखा में सिमट जाता है: नीचे की ओर खेते हुए नाव भूमि पर $5+3=8m/s$ चलती है, धारा के विरुद्ध केवल $5-3=2m/s$। यदि धारा नाविक से तेज़ हो, अर्थात $u>v^{\prime }$, तो कोई भी दिशा नाव को आर-पार की रेखा पर नहीं रख सकती।

सामान्य गलतियाँ

• सामान्य संख्याओं की तरह चालें जोड़ना। नाविक के 5 m/s और धारा के 3 m/s से 8 m/s केवल तभी मिलता है जब दोनों नीचे की ओर हों; समकोण पर वे 5.83 m/s देते हैं।
• सोचना कि धारा पार जाने में विलंब करती है। नदी के आर-पार उसका कोई घटक नहीं है, इसलिए सीधे सामने निशाना साधी नाव को अब भी $60/5=12\mathrm{s}$ लगते हैं; धारा यह बदलती है कि नाव कहाँ उतरती है, यह नहीं कि कब।
• दिशा (हेडिंग) और पथ (ट्रैक) में भ्रम। नाव $\vec{v}{}^{\prime }$ की ओर इशारा करती है, पर चलती $\vec{v}$ के अनुसार है, यहाँ 31° और आगे नीचे की ओर: नाव का अगला भाग दिशा दिखाता है, बिंदीदार निशान पथ।
• ज्या (sine) और कोज्या (cosine) की अदला-बदली। कोज्या उस भुजा से जुड़ी है जो कोण से सटी है: क्षैतिज से 20° ऊपर 50 N से खींची गई रस्सी का क्षैतिज घटक $50\cos 20^{\circ }\approx 47\mathrm{N}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $50\sin 20^{\circ }\approx 17\mathrm{N}$ है।
• सोचना कि आने-जाने की यात्रा में धारा निरस्त हो जाती है। 2 m/s से 60 m धारा के विरुद्ध खेना और 8 m/s से वापस आना $30+7.5=37.5\mathrm{s}$ लेता है, जबकि शांत पानी में 24 s: धीमा हिस्सा अधिक देर चलता है, इसलिए उसका प्रभाव अधिक है।

इनका उपयोग कहाँ होता है

पायलट और फ़ेरी के चालक दल हवा और धारा के लिए सुधार करते हैं; तट से समुद्र की ओर बहती रिप धारा में फँसे तैराक को समुद्र-तट के समानांतर, यानी धारा को आर-पार काटते हुए तैरने को कहा जाता है। 6 m/s से सीधे गिरती बारिश 18 m/s से चलती कार की खिड़की पर ऊर्ध्वाधर से लगभग 72° की धारियाँ बनाती है, क्योंकि कार के सापेक्ष बूँदें भी पीछे की ओर चलती हैं। अंतरिक्ष यान अपना वेग स्टेशन के वेग से मिलाकर डॉक करते हैं, पृथ्वी के वेग से नहीं।

यही उपकरण पूरी यांत्रिकी में आते हैं। प्रक्षेप्य गति एक फेंके गए पिंड को स्वतंत्र क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियों में बाँटती है, जैसे नाव की आर-पार और धारा के साथ वाली गतियाँ; न्यूटन के गति के नियम बल को सदिश मानते हैं; और वृत्तीय गति दिखाती है कि केवल मुड़ने भर से वेग बदल सकता है।

उन्नत

क्या किसी राशि को सदिश बनाता है

सदिश को आम तौर पर ऐसी राशि के रूप में परिचित कराया जाता है जिसका आकार और दिशा होती है। यह एक अच्छी शुरुआत है, पर सटीक परीक्षण अलग है: देखना कि अक्ष घुमाने पर उस राशि के घटक कैसे व्यवहार करते हैं। यही परीक्षण महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसी के कारण किसी भी अक्ष पर सदिश नियम लिखा जा सकता है।

संकेत-सूची

$\vec{r}$	एक विस्थापन: दोनों चित्रों में वही तीर।	$\mathrm{m}$
$x$	$\vec{r}$ का मूल पहले अक्ष पर घटक।	$\mathrm{m}$
$y$	$\vec{r}$ का मूल दूसरे अक्ष पर घटक।	$\mathrm{m}$
$\bar{x}$	$\vec{r}$ का घुमाए गए पहले अक्ष पर घटक।	$\mathrm{m}$
$\bar{y}$	$\vec{r}$ का घुमाए गए दूसरे अक्ष पर घटक।	$\mathrm{m}$
$\beta$	अक्षों को वामावर्त घुमाने का कोण।	$\mathrm{rad}$

चित्र 1 एक ही विस्थापन $\vec{r}$ को दो बार दिखाता है। बाईं ओर, $\vec{r}$ की नोक से दोनों अक्षों पर डाले गए बिंदीदार लंब उनसे मिलते हैं; मूल बिंदु से इन लंबों के पादों तक की दूरियाँ घटक $x$ और $y$ हैं। दाईं ओर अक्षों को वामावर्त कोण $\beta$ से घुमाया गया है, जबकि तीर $\vec{r}$ अपनी जगह से नहीं हिला। नए अक्षों पर लंब डालने से वही रचना नए घटक $\bar{x}$ और $\bar{y}$ देती है। अक्ष खींचने से पहले भी तीर मौजूद रहता है; उसके घटक नहीं।

नए घटक ज्ञात करने के लिए $\vec{r}$ को उसके दो पुराने हिस्सों में बाँटें: पहले अक्ष के अनुदिश $x$ और दूसरे अक्ष के अनुदिश $y$, और हर हिस्से को नए अक्षों पर प्रक्षेपित करें। नया पहला अक्ष पुराने पहले अक्ष से कोण $\beta$ और पुराने दूसरे अक्ष से $90^{\circ }-\beta$ बनाता है, इसलिए दोनों हिस्से क्रमशः $x\cos \beta$ और $y\sin \beta$ देते हैं। नया दूसरा अक्ष पुराने पहले अक्ष से $90^{\circ }+\beta$ और पुराने दूसरे से $\beta$ बनाता है, इसलिए हिस्से $-x\sin \beta$ और $y\cos \beta$ देते हैं। मिलाकर:
$\bar{x}=x\cos \beta +y\sin \beta ,\bar{y}=-x\sin \beta +y\cos \beta$

यही नियम वास्तविक परिभाषा है। सदिश वह राशि है जिसके घटक अक्षों के बदलने पर ठीक उसी प्रकार बदलते हैं जैसे विस्थापन के।

वेग यह परीक्षण पास करता है। यह विस्थापन $\Delta \vec{r}$ को समय $\Delta t$ से भाग देने पर मिलता है, और $\Delta t$ एक अदिश है जो हर अक्ष-समूह पर समान रहता है, इसलिए उससे भाग देने पर नियम नहीं टूटता। त्वरण, जो वेग-परिवर्तन को समय से भाग देने पर मिलता है, उसी कारण पास होता है, और बल भी। अब $\vec{F}=m\vec{a}$ या $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ जैसे सदिश समीकरण को लें। यह कहता है कि उसके दोनों पक्षों के घटक बराबर हैं। अक्ष घुमाने पर दोनों पक्ष एक ही रैखिक नियम से बदलते हैं, इसलिए यदि एक अक्ष-समूह पर वे बराबर हैं, तो हर अक्ष-समूह पर बराबर होंगे। $x$ को नदी के अनुदिश लेना सुविधा है, भौतिकी नहीं।

घटकों के कुछ संयोजन अक्ष घुमाने पर बिलकुल नहीं बदलते; इन्हें अपरिवर्तनीय (इनवेरिएंट) कहते हैं। लंबाई ऐसा ही एक है: ऊपर के दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ें तो मिश्रित पद निरस्त हो जाते हैं और ${\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$ से ${\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=x^2+y^2$ मिलता है। अधिक सामान्यतः, दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y=AB\cos \gamma$, जहाँ $\gamma$ दोनों तीरों के बीच का कोण है, हर अक्ष-समूह पर एक-सा रहता है।

इस पाठ की नाव लीजिए, जिसका मुँह 60 m चौड़ी नदी के आर-पार सीधा रखा गया है। पानी के सापेक्ष यह $\vec{v}{}^{\prime }=(0,5)m/s$ से चलती है, धारा $\vec{u}=(3,0)m/s$ है, और तट के सापेक्ष यह $\vec{v}=(3,5)m/s$ से चलती है, जिसका परिमाण $\sqrt{34}\approx 5.83m/s$ है। तब $\vec{v}{}^{\prime }\cdot \vec{v}=0\cdot 3+5\cdot 5=25{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, और $\cos \gamma =25/(5\cdot 5.83)\approx 0.857$ से $\gamma \approx 31^{\circ }$ मिलता है। यह वह कोण है जो नाव जिधर इंगित करती है और उसके वास्तविक पथ के बीच है, जिसे केवल घटकों से निकाला गया है, बिना चित्र के। अक्षों को $\beta \approx 59^{\circ }$ से घुमाइए, ताकि $\bar{x}$ पथ के अनुदिश हो, तो भू-वेग $(5.83,0)m/s$ पढ़ा जाता है: संख्याएँ अलग हैं, तीर वही है, लंबाई भी वही है।

इसलिए केवल आकार और दिशा पर्याप्त नहीं हैं। किसी अक्ष के चारों ओर 90° घुमाई गई पुस्तक के पास एक अक्ष और एक कोण, दोनों हैं, फिर भी अलग-अलग अक्षों के बारे में दो ऐसे घुमाव सदिशों की तरह नहीं जुड़ते: क्रम बदलने पर पुस्तक भिन्न स्थिति में पहुँचती है, जबकि $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$ होता है। केवल बहुत छोटे घुमाव, कोण की पहली कोटि तक, क्रम-विनिमेय होते हैं। इसीलिए कोणीय वेग, यानी बहुत छोटे घुमावों की दर, सदिश है, जबकि परिमित घुमाव नहीं।

निर्देश तंत्र बदलना: गैलिलियन रूपांतरण

चित्र 1 ने अक्ष घुमाए थे। आपेक्षिक गति यह पूछती है कि जब अक्ष स्वयं चलें तो क्या होता है: एक गतिमान मंच से मापी गई स्थितियाँ, वेग और त्वरण, ज़मीन से मापे गए मानों से कैसे तुलना करते हैं? उत्तर है गैलिलियन रूपांतरण, जो बताता है कि कौन-सी राशियों पर हर प्रेक्षक सहमत होता है।

संकेत-सूची

$S$	तट-तंत्र: काले अक्ष ज़मीन पर स्थिर।
$S^{\prime }$	जल-तंत्र: बैंगनी अक्ष, $S$ के समानांतर, धारा के साथ बहते हुए।
$\vec{u}t$	समय $t$ में $S^{\prime }$ के मूल बिंदु को कितनी दूर ले जाया गया है।	$\mathrm{m}$
$P$	समय $t$ पर नाव।
$\vec{r}{}^{\prime }$	जल-तंत्र में नाव की स्थिति, $S^{\prime }$ के मूल बिंदु से मापी गई।	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	तट-तंत्र में नाव की स्थिति, $S$ के मूल बिंदु से मापी गई।	$\mathrm{m}$
$\vec{u}$	जल-तंत्र का तट-तंत्र के सापेक्ष वेग: धारा।	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	पानी के सापेक्ष नाव का वेग।	$m/s$
$\vec{v}$	तट के सापेक्ष नाव का वेग।	$m/s$

निर्देश तंत्र (फ़्रेम ऑफ़ रेफ़रेंस) अक्षों और एक घड़ी का समूह है। चित्र 2 में दो हैं। तट-तंत्र $S$ के काले अक्ष ज़मीन पर स्थिर हैं। जल-तंत्र $S^{\prime }$ के बैंगनी अक्ष $S$ के समानांतर हैं और धारा के साथ स्थिर वेग $\vec{u}$ से बहते हैं। दोनों अक्ष-समूह $t=0$ पर संपाती होते हैं, और दोनों तंत्र एक ही घड़ी पढ़ते हैं, इसलिए $t$ दोनों में एक ही अर्थ रखता है।

चित्र 2 का बायाँ भाग समय $t$ पर एक झलक है। $S^{\prime }$ का मूल बिंदु धारा के साथ नदी के अनुदिश $\vec{u}t$ दूरी तक खिसका दिया गया है: 3 m/s की धारा के लिए 12 s बाद यह नीचे की ओर 36 m दूर है। नाव, बिंदु $P$ पर, साझा मूल बिंदु से सीधे सामने की ओर निकली थी। जल-तंत्र में यह $S^{\prime }$ के मूल बिंदु से $\vec{r}{}^{\prime }$ पर है, यानी बैंगनी अक्ष पर 60 m ऊपर। तट-तंत्र में यह $S$ के मूल बिंदु से $\vec{r}$ पर है। तीनों तीर एक त्रिभुज बनाते हैं: $S$ के मूल बिंदु से सीधे $P$ तक जाना उतना ही है जितना पहले $S^{\prime }$ के मूल बिंदु तक और फिर $P$ तक जाना। अतः $S^{\prime }$ में $\vec{r}{}^{\prime }$ पर स्थित बिंदु, $S$ में इस स्थान पर है
$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$

$t$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए। चूँकि $\vec{u}$ अचर है, $d(\vec{u}t)/dt=\vec{u}$, और वेग जुड़ जाते हैं:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$
साझा मूल बिंदु से एकसमान गति करने वाली नाव के लिए, बाएँ त्रिभुज की हर भुजा एक वेग का $t$ गुना है, इसलिए हर भुजा को $t$ से भाग देने पर चित्र 2 के दाईं ओर का वेग-त्रिभुज मिलता है। एक बार और अवकलन कीजिए। अचर $\vec{u}$ का अवकलज शून्य है, इसलिए वह पूरी तरह लुप्त हो जाता है:
$\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }$

वेग प्रेक्षक पर निर्भर करते हैं; त्वरण नहीं। द्रव्यमान और बल पर भी सहमति होती है, इसलिए यदि $S$ में $\vec{F}=m\vec{a}$ लागू होता है, तो वह $S^{\prime }$ में भी लागू होता है। ऐसा निर्देश तंत्र जिसमें न्यूटन के नियम लागू होते हैं, जड़त्वीय (इनर्शियल) कहलाता है। परिणाम यह है कि जड़त्वीय तंत्र के सापेक्ष स्थिर वेग से चलने वाला कोई भी तंत्र स्वयं भी जड़त्वीय है, और उसके भीतर पूरी तरह किया गया कोई यांत्रिक प्रयोग उस गति को प्रकट नहीं कर सकता। यह यांत्रिकी की आपेक्षिकता का सिद्धांत है। गैलिलियो ने बिना हिचकोले चलते जहाज़ के केबिन से इसे समझाया: बोतल से टपकती बूँदें सीधे नीचे गिरती हैं, ठीक वैसे ही जैसे बंदरगाह में।

यह रूपांतरण एक उपकरण भी है: समस्या को उस तंत्र में हल कीजिए जहाँ वह सबसे सरल हो, फिर $\vec{u}$ जोड़ दीजिए। जल-तंत्र में नदी एक स्थिर झील जैसी है। नाव सीधे 5 m/s से पार जाती है और इसमें $60/5=12\mathrm{s}$ लगते हैं, जबकि तट 3 m/s से ऊपर की ओर खिसकता है। 36 m का बहाव बस उस तट की लंबाई है जो पार करने के दौरान खिसक जाती है। यही वेग-त्रिभुज तारे के प्रकाश की दिशा भी बदल देता है। पृथ्वी 30 km/s से सूर्य की परिक्रमा करती है, इसलिए चाल $c$ से आने वाला प्रकाश ऐसा लगता है मानो वह $v/c\approx 10^{-4}\mathrm{rad}$, लगभग 20 आर्कसेकंड, तक मुड़ी दिशा से आ रहा हो। इसे प्रकाश-विपथन (एबरेशन ऑफ़ लाइट) कहते हैं, जिसे जेम्स ब्रैडली ने 1720 के दशक में खोजा था।

हर दिशा एक साथ: वेग-आरेख

नाविक केवल दिशा चुनता है; धारा दी हुई है। कौन-से भू-वेग नाव प्राप्त कर सकती है, और किसी लक्ष्य के लिए कौन-सी दिशा सर्वोत्तम है? एक चित्र, वेग-आरेख, हर दिशा के लिए एक साथ उत्तर देता है। यह यहाँ $u<v^{\prime }$ के लिए बना है, जैसे इस पाठ की 3 m/s की धारा और 5 m/s के नाविक के लिए।

संकेत-सूची

$x$	नदी के अनुदिश अक्ष, नीचे की ओर।
$y$	नदी के आर-पार अक्ष, सामने वाले तट की ओर।
$O$	आरेख का आरंभ-बिंदु, जहाँ $\vec{u}$ और $\vec{v}$ शुरू होते हैं।
$\vec{u}$	धारा का वेग, $O$ से खींचा गया।	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	पानी के सापेक्ष नाव का वेग: इसकी लंबाई सदा $v^{\prime }$ है, इसलिए नोक वृत्त पर रहती है।	$m/s$
$\vec{v}$	तट के सापेक्ष नाव का वेग, $\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$।	$m/s$
$\theta$	दिशा: $\vec{v}{}^{\prime }$ सीधे सामने (बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा) से कितना धारा के विरुद्ध झुका है।	$\mathrm{rad}$

चित्र 3 तीन चरणों में बनाइए। पहले बिंदु $O$ से धारा $\vec{u}$ खींचिए। फिर $\vec{u}$ की नोक पर पानी के सापेक्ष नाव का वेग $\vec{v}{}^{\prime }$ जोड़िए। इसकी लंबाई $v^{\prime }$ पर स्थिर है, पर नाविक इसे किसी भी दिशा में इंगित कर सकता है, इसलिए इसकी नोक $\vec{u}$ की नोक को केंद्र मानकर त्रिज्या $v^{\prime }$ के बिंदीदार वृत्त पर कहीं भी हो सकती है। अंत में, भू-वेग $\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$ $O$ से उस वृत्त के उसी बिंदु तक जाता है।

चित्र एक दिशा दिखाता है। $\vec{u}$ की नोक से होकर जाने वाली बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा सीधे सामने की दिशा है, और $\vec{v}{}^{\prime }$ उसके बाईं ओर, यानी धारा के विरुद्ध, कोण $\theta$ से झुका है। अब देखिए $O$ कहाँ है। चूँकि $u<v^{\prime }$, $O$ वृत्त के भीतर है, इसलिए $O$ से किसी भी दिशा में खींची गई रेखा वृत्त को काटती है: $\vec{v}$ की हर दिशा संभव है, सीधे सामने भी। वृत्त का शीर्ष सबसे बड़ा आर-पार घटक, यानी स्वयं $v^{\prime }$, देता है, और इसलिए सबसे तेज़ पार करना।

इस चित्र को संख्याओं में बदलने के लिए कोने में दिए अक्षों का उपयोग कीजिए: $x$ नदी के अनुदिश नीचे की ओर और $y$ आर-पार, सामने वाले तट की ओर। धारा के विरुद्ध झुकना ऋणात्मक $x$ की दिशा में होना है, इसलिए
$\vec{v}{}^{\prime }=(-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta ),\vec{v}=(u-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta )$
केवल आर-पार घटक $v^{\prime }\cos \theta$ नाव को चौड़ाई $d$ पार कराता है, इसलिए वही पार करने का समय तय करता है। उस समय के दौरान नदी के अनुदिश घटक नाव को नीचे की ओर बहा देता है; यह बहाव $x$ है:
$t(\theta )=\frac{d}{v^{\prime }\cos \theta },x(\theta )=\frac{(u-v^{\prime }\sin \theta )d}{v^{\prime }\cos \theta }$

पार करना $\theta =0$ पर सबसे तेज़ होता है, जहाँ $\cos \theta$ सबसे बड़ा है, धारा चाहे जैसी भी हो: $60/5=12\mathrm{s}$, जिसमें $3\cdot 12=36\mathrm{m}$ का बहाव है। बहाव तब शून्य होता है जब $\vec{v}{}^{\prime }$ का धारा के विरुद्ध वाला भाग धारा को निरस्त कर दे, यानी $v^{\prime }\sin \theta =u$। इस दिशा को $\alpha$ कहिए: $\sin \alpha =u/v^{\prime }=0.6$, इसलिए $\alpha \approx 36.9^{\circ }$। तब $\cos \alpha =0.8$, भू-वेग $\vec{v}=(0,4)m/s$ है, एक 3-4-5 त्रिभुज, और पार करने में $60/4=15\mathrm{s}$ लगते हैं। बीच की दिशाएँ समय और बहाव के बीच समझौता कराती हैं। $\theta =20^{\circ }$ पर नाव $60/(5\cos 20^{\circ })\approx 12.8\mathrm{s}$ में पार करती है और $(3-5\sin 20^{\circ })\cdot 12.8\approx 16.5\mathrm{m}$ नीचे की ओर पहुँचती है। यही वह दिशा है जो चित्र 3 में पैमाने पर बनी है।

एनिमेशन की उन्नत परत में ग्राफ़ केवल आर-पार की गति दिखाता है। हर $y(t)$ एक सीधी रेखा है जिसकी ढलान उस नाव का आर-पार वेग है: सीधे सामने मुँह वाली नाव के लिए 5 m/s, जो 12 s पर बिंदीदार रेखा $y=d$ तक पहुँचती है, और 36.9° ऊपर की ओर जाने वाली बैंगनी नाव के लिए 4 m/s, जो 15 s बाद पहुँचती है। यह ग्राफ़ बहाव नहीं दिखा सकता। सामने वाले तट पर पहली नाव 36 m नीचे उतरती है और दूसरी ठीक अपने आरंभ-बिंदु के सामने।

जब धारा एकसमान न हो

अब तक धारा हर जगह एक-सी रही है। वास्तविक नदी बीच में सबसे तेज़ बहती है और तटों के पास लगभग रुक जाती है। क्या इससे नाव के उतरने की जगह बदलती है? आश्चर्यजनक रूप से बहुत कम, और इसका कारण देखने योग्य है।

वितरण $u(y)=4u_{\mathrm{m}}(y/d)(1-y/d)$ लीजिए। यह दोनों तटों $y=0$ और $y=d$ पर शून्य है, और मध्यधारा $y=d/2$ पर अपने अधिकतम मान $u_{\mathrm{m}}$ तक पहुँचती है; $u_{\mathrm{m}}=4.5m/s$ लीजिए। सीधे सामने निशाना साधी नाव का आर-पार वेग अब भी $v^{\prime }$ है, क्योंकि धारा केवल नदी के अनुदिश धकेलती है। अतः $y=v^{\prime }t$ है, और वह अब भी 12 s में पार होती है। नदी के अनुदिश उसका वेग स्थानीय धारा $dx/dt=u(y)$ है। चूँकि $y$ लगातार बढ़ता है, नाव का अनुसरण $t$ के बजाय $y$ से करना आसान है: $dt=dy/v^{\prime }$ से, पार होने के हर चरण में $dx=u(y)dy/v^{\prime }$ जुड़ता है, और चौड़ाई पर जोड़ने से मिलता है
$x=\frac{1}{v^{\prime }}{\int }_0^{d}u(y)dy=\frac{\bar{u}d}{v^{\prime }}$
जहाँ $\bar{u}$ चौड़ाई पर औसत धारा है।

इस परवलय के लिए औसत $\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{\mathrm{m}}=3m/s$ है, इसलिए नाव फिर भी नीचे की ओर 36 m पर किनारे लगती है। पर अब उसका पथ एक वक्र है। तटों पर धारा शून्य है, इसलिए नाव एक तट से सीधे आर-पार चलती हुई निकलती है और दूसरे पर भी उसी तरह पहुँचती है; मध्यधारा में वह सबसे अधिक झुकती है, सीधे सामने की दिशा से $\phi$ कोण पर, जहाँ $\tan \phi =4.5/5$, लगभग 42°। बहाव का निर्धारण केवल चौड़ाई पर औसत धारा करती है।

स्थिर दिशा के लिए भी यही सच है। धारा के विरुद्ध 36.9° मुड़ी नाव पानी के सापेक्ष 3 m/s धारा के विरुद्ध और 4 m/s आर-पार चलती है। तटों के पास धारा 3 m/s से कम है, इसलिए नाव धारा के विरुद्ध आगे बढ़ जाती है; मध्यधारा में धारा अधिक है और नाव पीछे हट जाती है। चूँकि औसत ठीक 3 m/s है, नाव 15 s बाद फिर भी ठीक सामने वाले तट पर पहुँचती है, पर रास्ते में वह पहले तट के पास 4.3 m धारा के विरुद्ध और दूसरे तट के पास 4.3 m नीचे की ओर झूलती है। पूरे रास्ते सीधी रेखा बनाए रखने के लिए दिशा को लगातार इस तरह बदलना होगा कि हर बिंदु पर $v^{\prime }\sin \theta =u(y)$ हो। मध्यधारा में इसके लिए 64° तक चाहिए, जहाँ $\sin \theta =0.9$, और धीमी आर-पार गति के कारण पार होने में लगभग 17.9 s लगेंगे।

उदाहरण: बाढ़ में नदी

भारी बारिश के बाद धारा $u=6.25m/s$ तक बढ़ जाती है, जो नाविक की 5 m/s से तेज़ है। क्या नाव फिर भी अपने आरंभ-बिंदु के ठीक सामने उतर सकती है? यदि नहीं, तो कौन-सी दिशा उसे सबसे पास ले जाएगी, और समय में कितनी कीमत चुकानी होगी?

संकेत-सूची

$x$	नदी के अनुदिश अक्ष, नीचे की ओर।
$y$	नदी के आर-पार अक्ष, सामने वाले तट की ओर।
$O$	आरेख का आरंभ-बिंदु, जहाँ $\vec{u}$ और $\vec{v}$ शुरू होते हैं।
$\vec{u}$	बाढ़ की धारा का वेग, $O$ से खींचा गया।	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	सर्वोत्तम दिशा के लिए पानी के सापेक्ष नाव का वेग; इसकी नोक वह बिंदु है जहाँ स्पर्श-रेखा वृत्त को छूती है।	$m/s$
$\vec{v}$	तट के सापेक्ष नाव का वेग, स्पर्श-रेखा के अनुदिश: न्यूनतम बहाव की दिशा।	$m/s$
$\theta$	सर्वोत्तम दिशा: $\vec{v}{}^{\prime }$ और सीधे सामने (बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा) के बीच का कोण।	$\mathrm{rad}$

चित्र 4 बाढ़ के लिए दोबारा बनाया गया चित्र 3 का वेग-आरेख है। तीर $\vec{u}$ अब वृत्त की त्रिज्या 5 m/s से लंबा है, इसलिए $O$ वृत्त के बाहर है। अतः $O$ से वृत्त तक खींचे गए हर तीर $\vec{v}$ आंशिक रूप से नीचे की ओर इंगित करता है: ठीक सामने उतरना असंभव है। सूत्र भी यही कहता है, क्योंकि उसे $\sin \theta =u/v^{\prime }=6.25/5=1.25$ चाहिए। सबसे तेज़ पार होना अब भी सीधे सामने निशाना साधने पर ही होता है, 12 s में, पर $6.25\cdot 12=75\mathrm{m}$ बहाव के साथ।

सबसे कम बहाव किस दिशा में होगा? नाव $\vec{v}$ के अनुदिश चलती है, और बहाव $d$ गुना उस कोण की स्पर्शज्या है जो $\vec{v}$ सीधे सामने की दिशा से बनाता है। अतः सर्वोत्तम $\vec{v}$ वह है जो वृत्त तक पहुँचते हुए धारा के विरुद्ध सबसे अधिक झुका हो: यानी $O$ से वृत्त पर खींची स्पर्श-रेखा, जो चित्र 4 में दिखाई गई है। कलन भी इसकी पुष्टि करता है। भागफल नियम से $x(\theta )$ का अवकलन करें और ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ का उपयोग करें:
$\frac{dx}{d\theta }=\frac{u\sin \theta -v^{\prime }}{v^{\prime }{\cos }^2\theta }d=0\Rightarrow \sin \theta =\frac{v^{\prime }}{u}=0.8$

अतः नाव धारा के विरुद्ध $\theta \approx 53.1^{\circ }$ मुड़ती है, वह कोण जो चित्र 4 में चिह्नित है, और $\cos \theta =0.6$ है। उसका आर-पार वेग $5\cdot 0.6=3m/s$ और नदी के अनुदिश वेग $6.25-5\cdot 0.8=2.25m/s$ है। पार होने में $60/3=20\mathrm{s}$ लगते हैं, और बहाव $2.25\cdot 20=45\mathrm{m}$ है। सामान्यतः, $x_{\min }=d\sqrt{u^2-v^{\prime 2}}/v^{\prime }$।

चित्र 4 में चिह्नित समकोण संयोग नहीं है। वृत्त की स्पर्श-रेखा स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, और यहाँ त्रिज्या $\vec{v}{}^{\prime }$ है, इसलिए सर्वोत्तम $\vec{v}$, $\vec{v}{}^{\prime }$ के लंबवत है। अदिश गुणनफल इसकी जाँच करता है: $\vec{v}{}^{\prime }=(-4,3)m/s$ और $\vec{v}=(2.25,3)m/s$ लेने पर $(-4)(2.25)+3\cdot 3=0$। सीधे सामने निशाना लेने की तुलना में धारा के विरुद्ध दिशा लेने से 30 m का बहाव बचता है, पर 8 s अधिक लगते हैं।

जल-तंत्र एक स्वतंत्र जाँच देता है। वहाँ नाव 20 s तक अपनी दिशा में 5 m/s से चलती है, और उसका विस्थापन $\vec{r}{}^{\prime }=(-80,60)\mathrm{m}$ है, जबकि पानी सब कुछ $6.25\cdot 20=125\mathrm{m}$ नीचे की ओर ले जाता है। तब $\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$ से उतरने का बिंदु $(45,60)\mathrm{m}$ मिलता है, जैसा पहले मिला था।

वैधता की सीमाएँ

$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ दो मान्यताओं पर टिका है: गतिमान निर्देश तंत्र बिना घूमे स्थिर वेग बनाए रखता है, और सभी प्रेक्षक एक ही घड़ी और एक ही पैमाना साझा करते हैं। दोनों कहीं न कहीं विफल होते हैं, और यह जानना उपयोगी है कि कहाँ।

मान लीजिए तंत्र $S^{\prime }$, $S$ के सापेक्ष $\vec{A}$ से त्वरित है। रूपांतरण में एक पद $\frac{1}{2}\vec{A}{t}^2$ जुड़ जाता है, और दो बार अवकलन करने पर $\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }+\vec{A}$ मिलता है: अब प्रेक्षक त्वरणों पर सहमत नहीं होते। 2 m/s² से ब्रेक लगाती रेलगाड़ी में गिराई गई गेंद का ज़मीन के सापेक्ष क्षैतिज त्वरण नहीं होता, इसलिए रेलगाड़ी के सापेक्ष वह 2 m/s² से आगे की ओर खिसकती है, मानो किसी ऐसे बल ने धक्का दिया हो जिसे कोई पिंड लगा ही नहीं रहा। ऐसे आभासी बलों को काल्पनिक या जड़त्वीय बल कहते हैं। घूर्णन करने वाले निर्देश तंत्र में दो और जुड़ते हैं: अपकेंद्री और कोरिओलिस त्वरण।

पृथ्वी ऐसा ही एक घूर्णी निर्देश तंत्र है, पर वह बहुत धीरे घूमती है, $\Omega \approx 7.29\times 10^{-5}rad/s$। 45° अक्षांश पर 5.83 m/s से चलती नाव के लिए, पार्श्व कोरिओलिस त्वरण $2\Omega v\sin 45^{\circ }$ लगभग $6\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$ है। 12 s के पार होने में यह नाव को $\frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{-4}\cdot 12^2\approx 4\mathrm{cm}$ खिसका देता है। समुद्री धाराओं और तूफ़ानों के लिए, जो दिनों तक चलते और हज़ारों किलोमीटर फैलते हैं, यह निर्णायक होता है।

और गहराई में, गैलिलियन गतिकी मानती है कि सभी प्रेक्षकों के पास एक ही घड़ी है और लंबाइयों पर सबकी सहमति है। प्रकाश इसका पालन नहीं करता: उसकी चाल हर जड़त्वीय निर्देश तंत्र में $c\approx 3.00\times 10^{8}m/s$ है। विशिष्ट आपेक्षिकता एक रेखा पर वेगों के योग को
$v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}$
से बदल देती है, जो कभी $c$ से अधिक नहीं होता। $0.6c$ से चल रहे जहाज़ से $0.6c$ पर आगे की ओर दागे गए प्रोब की चाल $1.2c/1.36\approx 0.88c$ है, न कि $1.2c$। नाव के लिए सुधार की कोटि $v^{\prime }u/c^2\approx 1.7\times 10^{-16}$ है, जो किसी भी मापने योग्य सीमा से बहुत नीचे है: गैलिलियन वेग-योग आपेक्षिक नियम की निम्न-वेग सीमा है।

आगे कहाँ ले जाता है

प्रक्षेप्य गति एक फेंके गए पिंड को समान क्षैतिज गति और समत्वरित ऊर्ध्वाधर गति में बाँटती है, जो एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, जैसे नाव की आर-पार और धारा के साथ वाली गतियाँ। न्यूटन के गति के नियम $\vec{F}=m\vec{a}$ को उस सदिश नियम के रूप में लिखते हैं जो यहाँ देखे गए जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में लागू होता है। वृत्तीय गति वेग-सदिशों को घटाकर स्थिर चाल से घूमती वस्तु का त्वरण निकालती है, और कार्य, ऊर्जा और शक्ति अदिश गुणनफल $W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$ का उपयोग करते हैं। संवेग और संघट्ट अक्सर इसी गैलिलियन स्थानांतरण से द्रव्यमान-केंद्र निर्देश तंत्र में जाते हैं, और ध्वनि तथा डॉप्लर प्रभाव स्रोत और श्रोता के वायु के सापेक्ष वेगों पर निर्भर करते हैं।

एक प्रश्न अभी खुला है। गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल में एक वेग-पद $q\vec{v}\times \vec{B}$ है: यह वेग किस निर्देश तंत्र के सापेक्ष है? विशिष्ट आपेक्षिकता इसका उत्तर देती है: एक बार साझा घड़ी छोड़ दी जाए, तो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक निर्देश तंत्र से दूसरे में जाने पर आपस में मिल जाते हैं।