संवेग और संघट्ट

संवेग $p = m v$ : टकराने वाली वस्तुओं का कुल संवेग कभी नहीं बदलता, जबकि उनकी गतिज ऊर्जा $K$ कभी-कभी बदल जाती है।

दो ट्रैकों पर एक ही टक्कर: 4 m/s से चलता 1 kg का कार्ट स्थिर 3 kg के कार्ट से टकराता है। ऊपर वाले ट्रैक पर वे उछलकर अलग होते हैं; नीचे वाले पर वे चिपक जाते हैं।

शुरुआती

मुख्य विचार

संवेग = द्रव्यमान × वेग: एक भारी, धीमी वस्तु और एक हल्की, तेज़ वस्तु में समान संवेग हो सकता है।
संवेग बदलने के लिए कुछ समय तक धक्का चाहिए: लंबा, कोमल धक्का वही काम करता है, इसलिए नरम गिरावट से कम चोट लगती है।
टक्कर में एक वस्तु का खोया संवेग ठीक दूसरी वस्तु को मिलता है, इसलिए कुल संवेग समान रहता है।
चिपचिपी टक्कर में कुल संवेग बना रहता है, पर गति की कुछ ऊर्जा ऊष्मा, ध्वनि और पिचकन में बदल जाती है।

एक धीरे लुढ़कती, बोतलों से भरी खरीदारी की ट्रॉली को रोकना इतना मुश्किल क्यों है, जबकि तेज़ आती टेबल-टेनिस गेंद को पकड़ना आसान होता है? चार चरणों में इसे समझें।

चरण 1. किसी वस्तु के द्रव्यमान को उसके वेग से गुणा करें तो संवेग मिलता है, जिसे किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड में मापा जाता है। वेग की तरह संवेग की भी एक दिशा होती है। एक भारी, धीमी वस्तु और एक हल्की, तेज़ वस्तु में समान संवेग हो सकता है: 1 m/s पर चलते 4 kg के कार्ट का संवेग उतना ही है जितना 4 m/s पर चलते 1 kg के कार्ट का।

चरण 2. संवेग बदलने के लिए कुछ समय तक धक्का देना पड़ता है, और धक्का जितनी देर चले, उतना ही कोमल हो सकता है। इसीलिए दीवार से कूदते समय आप घुटने मोड़ते हैं: रुकने में अधिक समय लगता है, इसलिए आप पर लगने वाला बल छोटा होता है।

चरण 3. टक्कर में दोनों वस्तुएँ ठीक उतने ही समय तक, समान बल से, एक-दूसरे को विपरीत दिशाओं में धक्का देती हैं। इसलिए एक वस्तु जितना संवेग खोती है, दूसरी ठीक उतना ही पाती है, और जब तक घर्षण या दीवार जैसी बाहरी चीज़ें न जुड़ें, कुल संवेग समान रहता है। यही संवेग संरक्षण है।

चरण 4. ऐनिमेशन एक ही टक्कर को दो बार दिखाता है: एक हल्का, तेज़ कार्ट स्थिर भारी कार्ट से टकराता है। स्प्रिंग वाले बम्पर के साथ हल्का कार्ट वापस उछलता है और भारी कार्ट लुढ़क जाता है; चिपचिपे पैड के साथ वे एक साथ, धीमी गति से लुढ़कते हैं। कुल संवेग दोनों ही स्थितियों में समान है। केवल गति की ऊर्जा अलग है: स्प्रिंग वाला उछाल उसे बनाए रखता है, जबकि चिपचिपी टक्कर उसका कुछ हिस्सा ऊष्मा, ध्वनि और पिचकन में बदल देती है।

स्वयं जाँचें: विराम में रखा एक आतिशबाज़ी का गोला फटकर दो बराबर टुकड़ों में बँट जाता है। एक टुकड़ा पूर्व की ओर उड़ता है। दूसरा क्या करता है? (वह उसी चाल से पश्चिम की ओर उड़ता है, इसलिए कुल संवेग शून्य रहता है।)

मध्यम

मुख्य विचार

$p = m v$ एक सदिश है: धनात्मक दिशा चुनें और उल्टी दिशा के वेगों पर ऋण चिह्न लगाएँ।
बाहरी क्षैतिज बल न हो तो हर टक्कर में, प्रत्यास्थ हो या नहीं, $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ रहता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: दोनों का उभयनिष्ठ वेग $v^{'} = (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) / (m_{1} + m_{2})$ ; यहाँ $K$ $8 J$ से घटकर $2 J$ हो जाती है।
प्रत्यास्थ, लक्ष्य स्थिर: $v_{1}^{'} = (m_{1} - m_{2}) v_{1} / (m_{1} + m_{2})$ , $v_{2}^{'} = 2 m_{1} v_{1} / (m_{1} + m_{2})$ , और $K$ अपरिवर्तित रहती है।

संवेग: द्रव्यमान गुणा वेग

किसी पिंड का संवेग उसके द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के बराबर होता है:
$p = m v$

इसे किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (kg·m/s) में मापा जाता है। संवेग की एक दिशा होती है: ट्रैक के साथ एक धनात्मक दिशा चुनें, तो उल्टी दिशा में चलने वाली वस्तु का संवेग ऋणात्मक होता है। द्रव्यमान और चाल एक-दूसरे की जगह ले सकते हैं: एनिमेशन में 4 m/s से आता 1 kg का कार्ट $1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ का संवेग रखता है, जितना कुल 4 kg द्रव्यमान वाले दोनों कार्ट 1 m/s पर चलते हुए रखते।

संवेग गतिज ऊर्जा नहीं है। $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ की कोई दिशा नहीं होती और वह चाल के वर्ग के साथ बढ़ती है: 4 m/s पर चलते 1 kg के कार्ट की ऊर्जा 8 J है, पर वही 4 kg·m/s संवेग यदि 4 kg का पिंड 1 m/s पर चलकर ले जाए, तो ऊर्जा केवल 2 J है।

आवेग और बल-समय ग्राफ़

बल संवेग बदलता है, और बदलाव इस पर निर्भर करता है कि बल कितनी देर तक लगा। स्थिर बल के लिए न्यूटन का दूसरा नियम $F = ma = m Δ v /Δ t$ बन जाता है $F Δ t = Δ p$ । गुणनफल $F Δ t$ आवेग $J$ है, जिसकी इकाई न्यूटन सेकंड है (1 N·s = 1 kg·m/s); जब बल बदलता है, तो आवेग बल-समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल होता है।

वही क्षेत्रफल ऊँचा और पतला भी हो सकता है, या नीचा और चौड़ा भी। 1 m ऊँचाई से कूदने वाला 70 kg का व्यक्ति लगभग 4.4 m/s पर ज़मीन छूता है, इसलिए ज़मीन को लगभग 310 kg·m/s संवेग हटाना पड़ता है। टाँगें सीधी रखकर उतरने पर शरीर लगभग 0.02 s में रुकता है, जिसके लिए औसत शुद्ध बल लगभग 15 kN, यानी शरीर के भार का 20 गुना से अधिक होता है; घुटने मोड़ने से रुकने का समय 0.3 s हो जाता है और बल लगभग 1 kN रह जाता है।

कुल संवेग क्यों संरक्षित रहता है

दो कार्ट टकराते हैं तो हर एक दूसरे को धक्का देता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार दोनों बल हर क्षण समान परिमाण और विपरीत दिशा में होते हैं, और उतने ही समय तक लगते हैं जितनी संपर्क की अवधि है। उनके बल-समय ग्राफ़ दर्पण-प्रतिबिंब होते हैं, इसलिए आवेग बराबर और विपरीत होते हैं: कार्ट 2 जितना संवेग पाता है, कार्ट 1 उतना ही खोता है। टक्कर से पहले और बाद में कुल योग समान रहता है:
$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

प्राइम (') वाले चिह्न टक्कर के बाद के वेग दर्शाते हैं, और हर वेग अपना चिह्न रखता है। यह नियम इस पर निर्भर नहीं करता कि कार्टों के बीच का बल स्प्रिंग-जैसा, चिपचिपा या विस्फोटक है। इसके लिए केवल इतना चाहिए कि ट्रैक की दिशा में कोई बाहरी बल न लगे, या बाहरी बल इतने कमज़ोर या क्षणिक हों कि उनसे फ़र्क न पड़े: 0.16 s के संपर्क में 0.3 N का लोटनिक घर्षण बल संवेग को लगभग 0.05 kg·m/s बदलता है, जो कुल का लगभग 1% है।

प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ टक्कर

संवेग संरक्षण केवल एक समीकरण देता है, जबकि सीधी टक्कर में अंतिम वेग दो अज्ञात होते हैं; दूसरी शर्त ऊर्जा से आती है। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है, जैसे स्टील की गेंदों या स्प्रिंग-बम्पर में। अप्रत्यास्थ टक्कर में उसका कुछ हिस्सा ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण में बदल जाता है। पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड चिपक जाते हैं और एक ही वेग से चलते हैं।

इन दोनों स्थितियों के लिए अंतिम वेगों के बंद सूत्र हैं; प्रत्यास्थ युग्म मानता है कि पिंड 2 आरंभ में विराम में है।

$v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
$v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1}}{m _{1} + m _{2}}, v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}$

पहले सूत्र के लिए केवल संवेग संरक्षण चाहिए; दूसरा दोनों नियमों का उपयोग करता है, और इससे पता चलता है कि प्रत्यास्थ पिंड उसी चाल से अलग होते हैं जिस चाल से वे पास आए थे। समान द्रव्यमान हों तो वे वेग आपस में बदल लेते हैं, जैसे न्यूटन के पालने में। बहुत भारी पिंड से टकराने वाला हल्का पिंड लगभग पूरी चाल से वापस उछल आता है, जैसे दीवार से टकराकर गेंद; हल्के पिंड से टकराने वाला भारी पिंड लगभग धीमा नहीं पड़ता, और हल्का पिंड लगभग $2 v_{1}$ की चाल से निकल जाता है।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन के दो ट्रैक

दोनों ट्रैक एक जैसे शुरू होते हैं: $m_{1} = 1 kg$ का कार्ट $v_{1} = 4 m/s$ से आता है और $m_{2} = 3 kg$ का कार्ट विराम में प्रतीक्षा करता है। कुल संवेग $1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ है और गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^{2} = 8 J$ ।

ट्रैक B पर चिपचिपा पैड कार्टों को जोड़ देता है, जो फिर एक ही वेग साझा करते हैं:
$v^{'} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{1 + 3} = 1 m/s$
अब उनकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1^{2} = 2 J$ है: 6 J ऊष्मा में और पैड को दबाने में चली गई। ट्रैक A पर स्प्रिंग-बम्पर टक्कर को प्रत्यास्थ बनाता है:
$v_{1}^{'} = \frac{( 1 - 3 ) \cdot 4}{1 + 3} = - 2 m/s$
$v_{2}^{'} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 4}{1 + 3} = 2 m/s$
जाँच: $1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 2 = 4 kg \cdot m/s$ और $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^{2} = 8 J$ । कार्ट 4 m/s की चाल से पास आए थे और $2 - (- 2) = 4 m/s$ की चाल से अलग होते हैं।

तीरों पर ध्यान दें। नीला $p_{1}$ तीर 4 इकाई लंबा शुरू होता है (हर इकाई 1 kg·m/s); ट्रैक B पर यह घटकर 1 रह जाता है, जबकि ट्रैक A पर यह शून्य से होकर गुज़रता है, बाईं ओर मुड़ जाता है और 2 इकाई लंबा हो जाता है। सुनहरा $p_{2}$ तीर B पर बढ़कर 3 और A पर 6 इकाई हो जाता है। सिर से पूँछ जोड़ें तो दोनों हमेशा 4 इकाई बनाते हैं, और दोनों रीडिंग पूरी प्रक्रिया में, संपर्क के दौरान भी, $p_{1} + p_{2} = 4.0 kg \cdot m/s$ दिखाती हैं। उछाल में दोगुना आवेग लगता है: उसी 0.16 s में ट्रैक A पर कार्ट 2 को 6 kg·m/s मिलता है, औसत बल $6/0.16 = 37.5 N$ ; ट्रैक B पर केवल 3 kg·m/s, यानी 18.75 N।

हल किया गया उदाहरण: पीछे से टक्कर

20 m/s से चलती 1500 kg की एक कार उसी दिशा में 10 m/s से चलती 1000 kg की कार के पिछले हिस्से से टकराती है, और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। 0.1 s की टक्कर में सड़क का घर्षण नगण्य है, इसलिए संवेग संरक्षित रहता है:
$v^{'} = \frac{1500 \cdot 20 + 1000 \cdot 10}{1500 + 1000} = 16 m/s$

गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 2 0^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 1 0^{2} = 350 kJ$ से घटकर $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 1 6^{2} = 320 kJ$ रह जाती है: 30 kJ मुड़ी-तुड़ी धातु में चला जाता है।

अब छोटी कार को उल्टी दिशा से, $v_{2} = - 10 m/s$ पर, आने दें। मलबा $(1500 \cdot 20 - 1000 \cdot 10) /2500 = 8 m/s$ से चलता है और केवल $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 8^{2} = 80 kJ$ बचाता है: 270 kJ खो जाते हैं, पिछली स्थिति से नौ गुना, क्योंकि कारें 10 m/s की जगह 30 m/s पर पास आती हैं। दोनों पर औसत बल 180 kN समान है, फिर भी छोटी कार का वेग 0.1 s में 18 m/s बदल जाता है, यानी लगभग 18 g का मंदन; बड़ी कार का वेग केवल 12 m/s बदलता है।

सामान्य गलतियाँ

चिह्न भूल जाना। ट्रैक A पर छोटा कार्ट $- 2 m/s$ से वापस उछलता है; यदि सब धनात्मक मानें, तो संवेग $2 + 6 = 8 kg \cdot m/s$ जुड़ेंगे, 4 नहीं।
यह मानना कि चिपचिपी टक्कर संवेग नष्ट करती है। ट्रैक B पर जुड़े कार्ट अब भी 4 kg·m/s रखते हैं; जो गायब होता है वह गतिज ऊर्जा है, 8 J में से 6 J।
सोचना कि भारी या तेज़ पिंड अधिक ज़ोर से धक्का देता है। बल समान और विपरीत हैं: ट्रैक A पर हर कार्ट पर 37.5 N; हल्का कार्ट अपना वेग अधिक बदलता है, 6 m/s बनाम 2 m/s।
लगातार लगते बाहरी बल की अनदेखी। 0.5 kg की गेंद 1 s तक गिरती है, तो गुरुत्व के खिंचाव से उसका संवेग लगभग 4.9 kg·m/s बढ़ जाता है; केवल गेंद और पृथ्वी मिलकर ही स्थिर कुल संवेग रखते हैं। इसलिए दोनों टकराने वाले पिंडों को तंत्र में रखें।
हर टक्कर पर प्रत्यास्थ सूत्र लगा देना। ये सूत्र मानते हैं कि गतिज ऊर्जा नहीं घटती और लक्ष्य विराम में है; ट्रैक B पर ये साझा 1 m/s की जगह $- 2$ और $+ 2 m/s$ का अनुमान देते।

यह कहाँ दिखता है

एयरबैग, हेलमेट और क्रम्पल ज़ोन टक्कर का समय बढ़ाते हैं, ताकि उतना ही संवेग-परिवर्तन छोटे बल से हो। बंदूकें पीछे की ओर झटका खाती हैं: 800 m/s पर 10 g की गोली दागने वाली 4 kg की राइफ़ल $0.01 \cdot 800/4 = 2 m/s$ से पीछे धकेली जाती है। रॉकेट आगे बढ़ने के लिए गैस पीछे फेंकते हैं, और उन्हें धक्का देने के लिए हवा की ज़रूरत नहीं होती। अगला पाठ, कार्य, ऊर्जा और शक्ति, उन गतिज ऊर्जाओं का अनुसरण करता है जिन्हें टक्करें बचाती या खोती हैं; कोणीय संवेग और उसका संरक्षण इसी विचार को घूमते पिंडों पर लागू करता है।

उन्नत

मुख्य विचार

$\int F d t = Δ p$ ; दोनों वस्तुएँ हर क्षण समान परिमाण और विपरीत दिशा के बल लगाती हैं, इसलिए आंतरिक बल $\sum p$ नहीं बदल सकते।
सममिति और गैलीलीय आपेक्षिकता: समान द्रव्यमान की दो वस्तुएँ सीधी टक्कर में चिपककर रुक जाती हैं; किसी चलती गाड़ी से देखने पर $m \cdot 2 v = 2 m \cdot v$ ।
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ ; टक्कर केवल सापेक्ष भाग को $e^{2}$ से गुणा करती है, इसलिए चिपकना ( $e = 0$ ) सबसे अधिक ऊर्जा खोता है।
संवेग संरक्षण दिक् की समांगता को व्यक्त करता है: यह हर घटक के लिए लागू है, आपेक्षिकता ( $p = γm v$ ) में और क्षेत्र-संवेग के साथ भी।

संवेग के रूप में दूसरा नियम

इस खंड में न्यूटन के दूसरे नियम को संवेग के रूप में लिखा गया है। यही रूप सामान्यीकृत होता है: यह ऐसे आघातों को संभालता है जिनका बल कोई माप नहीं सकता, कई पिंडों के तंत्रों को, और पाठ में आगे आने वाले रॉकेटों को भी।

दूसरे नियम का सामान्य रूप $F = ma$ नहीं, बल्कि $F = d p / d t$ है, जहाँ $p = m v$ : किसी पिंड पर लगने वाला शुद्ध बल उसके संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है। स्थिर द्रव्यमान के लिए दोनों रूप एक ही हैं, क्योंकि द्रव्यमान को अवकलज के बाहर निकाला जा सकता है: $d (m v) / d t = m d v / d t = m a$ । संवेग वाला रूप न्यूटोनी यांत्रिकी से आगे भी टिकता है: विशिष्ट आपेक्षिकता में $γm v$ , $m v$ का स्थान लेता है, और विद्युत चुंबकत्व में स्वयं क्षेत्र भी संवेग वहन करते हैं।

दोनों पक्षों को $d t$ से गुणा करें और पूरे संपर्क-काल पर जोड़ें, यानी उस क्षण से जब संपर्क शुरू होता है उस क्षण तक जब वह समाप्त होता है। बायाँ पक्ष आवेग $J$ बन जाता है और दायाँ पक्ष संवेग का कुल परिवर्तन। यही आवेग-संवेग प्रमेय है:
$J = \int F d t = Δ p$

इसका महत्व उस चीज़ में है जिसकी इसे आवश्यकता नहीं होती। टक्कर के दौरान बल एक सेकंड के अंश में बढ़ता-घटता है और उसका ब्योरा कम ही ज्ञात होता है, फिर भी बाद की गति का निर्णय केवल उसका समाकल करता है। 46 g की गोल्फ़ बॉल लगभग 0.5 ms के संपर्क के बाद 70 m/s से क्लब से निकलती है। उसका संवेग परिवर्तन $0.046 \cdot 70 \approx 3.2 kg \cdot m/s$ है, इसलिए औसत बल $0.046 \cdot 70/0.0005 \approx 6400 N$ है, चाहे बल के स्पंद का आकार कुछ भी हो। चूँकि यह प्रमेय एक सदिश समीकरण है, यह प्रत्येक घटक के लिए अलग-अलग लागू होता है: क्षैतिज आवेग केवल $p_{x}$ बदलता है और $p_{y}$ को अछूता छोड़ता है।

आंतरिक बल जोड़ों में निरस्त होते हैं

दो टकराते कार्ट एक-दूसरे को कितने भी ज़ोर से धकेलें, उनका कुल संवेग समान क्यों रहता है? क्योंकि हर धक्के के साथ बराबर और उल्टा धक्का वापस आता है। एनिमेशन में 1 kg का कार्ट 1, 4 m/s पर आकर, स्थिर 3 kg के कार्ट 2 से टकराता है; ट्रैक A पर वे स्प्रिंग-बम्पर के माध्यम से मिलते हैं, ट्रैक B पर चिपचिपे पैड के माध्यम से। चित्र 1 संपर्क के दौरान ट्रैक A दिखाता है; सामान्य प्रमाण उसके बाद आता है।

चित्र 1 उस संपर्क को दिखाता है जो $Δ t$ तक चलता है; समय-अक्ष $t$ को फैलाया गया है ताकि संपर्क चित्र के बीच में आ जाए। ऊपर से नीचे पढ़ें। सबसे ऊपर की पट्टी बल है: बम्पर कार्ट 2 को $F$ से आगे धकेलता है और कार्ट 1 को $- F$ से पीछे। न्यूटन के तीसरे नियम से दोनों हर क्षण बराबर और उल्टे हैं। इस चित्र में संपर्क की अवधि के दौरान बल भी स्थिर है।

बीच का ग्राफ़ संवेग दिखाता है। चूँकि $d p / d t$ बल के बराबर है, हर संवेग-ग्राफ़ की ढलान उस कार्ट पर लगने वाला बल है, और स्थिर बल एक सीधी ढलान बनाता है। $p_{2}$ ढलान $F$ से 0 से 6 तक चढ़ता है, और $p_{1}$ ढलान $- F$ से 4 से $- 2 kg \cdot m/s$ तक गिरता है: कार्ट 1 वापस उछलता है। कार्ट 2 $Δ t = 0.16 s$ में 6 kg·m/s प्राप्त करता है, इसलिए $F = 6/0.16 = 37.5 N$ । अब बिंदीदार रेखा $P = p_{1} + p_{2}$ देखें। दोनों ढलानें दर्पण-प्रतिबिंब हैं, इसलिए एक कार्ट जो भी प्राप्त करता है, दूसरा उसी क्षण उतना खो देता है, और $P$ पूरी टक्कर के दौरान 4 kg·m/s पर रहता है, केवल पहले और बाद में नहीं। एनिमेशन की विशेषज्ञ परत वही वक्र दिखाती है।

यह सपाट रेखा बल के स्थिर होने पर निर्भर नहीं करती। वास्तविक स्प्रिंग जितना अधिक दबाई जाती है उतना अधिक धक्का देती है, जिससे ढलानें S-आकार के वक्र बन जाती हैं; फिर भी वे दर्पण-प्रतिबिंब रहती हैं, और उनका योग अब भी सपाट है।

यही हिसाब किसी भी संख्या के पिंडों के लिए काम करता है। पिंड $i$ पर बल, तंत्र के हर अन्य पिंड $j$ द्वारा उस पर लगाए गए बलों $F_{ij}$ (आंतरिक बल) और बाहर से लगने वाले बल (बाह्य बल) का योग है। सभी पिंडों के $d p_{i} / d t$ जोड़ें। हर आंतरिक युग्म योग में दो बार आता है, एक बार $F_{ij}$ के रूप में और एक बार $F_{ji}$ के रूप में, और तीसरा नियम $F_{ij} + F_{ji} = 0$ बनाता है। केवल बाह्य बल बचते हैं। $P$ कुल संवेग, $M$ कुल द्रव्यमान, $v_{cm}$ द्रव्यमान-केंद्र का वेग और $F_{ext}$ सभी बाह्य बलों का योग मानें:
$\frac{d P}{d t} = F_{ext}$
$P = \sum_{i} m_{i} v_{i} = M v_{cm}$
दूसरी पंक्ति द्रव्यमान-केंद्र की परिभाषा $r_{cm} = \sum_{i} m_{i} r_{i} / M$ का एक बार अवकलन है।

अतः कुल संवेग केवल बाह्य बलों से बदलता है, और द्रव्यमान-केंद्र एक ऐसे एकल कण की तरह चलता है जिसका द्रव्यमान $M$ है और जिसे उन सभी बलों का योग धकेलता है। यदि $F_{ext} = 0$ , तो $P$ स्थिर रहता है, चाहे आंतरिक बल कितने भी जटिल हों। यदि $F_{ext}$ का केवल एक घटक शून्य हो, जैसे गुरुत्व ऊर्ध्वाधर होने पर क्षैतिज घटक, तो $P$ का वह घटक फिर भी संरक्षित रहता है।

गतिज ऊर्जा छिप सकती है, संवेग नहीं

चित्र 1 का निचला ग्राफ़ दो कार्टों की कुल गतिज ऊर्जा $K$ दिखाता है, और यह $P$ से बहुत अलग व्यवहार करता है। ट्रैक A पर $K$ संपर्क के दौरान नीचे जाता है, उस क्षण 2 J तक जब दोनों कार्ट 1 m/s से चलते हैं, फिर बम्पर द्वारा उन्हें अलग धकेले जाने पर 8 J तक वापस चढ़ता है। खोए 6 J कहीं गए नहीं थे: कुछ समय के लिए वे दबे हुए बम्पर-स्प्रिंग में संचित थे। ट्रैक B पर, चिपचिपे पैड के साथ, $K$ 2 J तक गिरता है और वहीं रहता है (बिंदीदार): 6 J पैड को विकृत करने और गरम करने में चले गए।

ट्रैक B को कम बल भी चाहिए। जोड़ी एक साथ 1 m/s से निकलती है, इसलिए कार्ट 2 को केवल $3 \cdot 1 = 3 kg \cdot m/s$ मिलता है, और उसी 0.16 s में औसत बल $3/0.16 = 18.75 N$ है, जो ट्रैक A के आधे के बराबर है। दोनों ग्राफ़ मिलकर मुख्य संदेश देते हैं: ऊर्जा पिंडों के भीतर रखी जा सकती है, स्प्रिंग-ऊर्जा या ऊष्मा के रूप में, पर संवेग के छिपने की कोई जगह नहीं है, और वह हर क्षण संतुलित रहता है।

सममिति से संरक्षण

संवेग संरक्षण तीसरे नियम के बिना भी, सममिति के बारे में दो कथनों से निकाला जा सकता है। यह मायने रखता है, क्योंकि तीसरा नियम पूरी तरह सटीक नहीं है (नीचे 'वैधता की सीमाएँ' देखें), जबकि संवेग संरक्षण को कभी विफल होते नहीं देखा गया; सममिति का तर्क दिखाता है कि यह नियम वास्तव में कहाँ से आता है।

चित्र 2 एक ही टक्कर को दो संदर्भ-फ़्रेमों से दिखाता है, बाईं ओर टक्कर से पहले और दाईं ओर उसके बाद। पहली धारणा दर्पण-सममिति है। ऊपरी पंक्ति में, ज़मीन के फ़्रेम $S$ में, द्रव्यमान $m$ की दो एक-जैसी गेंदें $v$ और $- v$ से एक-दूसरे की ओर आती हैं और चिपक जाती हैं। इस स्थिति में बाएँ को दाएँ पर कोई वरीयता नहीं, इसलिए द्रव्यमान $2 m$ का चिपका जोड़ा किसी भी दिशा में नहीं चल सकता: वह स्थिर रहता है।

दूसरी धारणा गैलीलीय आपेक्षिकता है: स्थिर वेग से चलता प्रेक्षक वही भौतिक नियम पाता है, जिसमें हर वेग उतनी ही मात्रा से खिसका होता है। $S^{'}$ को उस कार के फ़्रेम के रूप में लें जो दाहिनी गेंद के साथ चल रही है, और जो ज़मीन के सापेक्ष $- v$ से चलती है। उस कार से देखने पर हर वेग $v$ बड़ा होता है, जैसा कि पंक्तियों के बीच का तीर $+ v$ दिखाता है। निचली पंक्ति इसी से आती है: दाहिनी गेंद स्थिर है, बाईं गेंद $2 v$ से आती है, और जो जोड़ा $S$ में स्थिर था, वह $v$ से निकलता है।

तो $2 v$ से चलता द्रव्यमान $m$ , उतने ही द्रव्यमान की स्थिर गेंद से टकराकर, $v$ से चलता द्रव्यमान $2 m$ बनाता है, और निचली पंक्ति संतुलित है: $m \cdot 2 v = 2 m \cdot v$ । केवल चाल संतुलित नहीं होती ( $2 v$ अंदर, $v$ बाहर), और न गतिज ऊर्जा ( $2 m v^{2}$ अंदर, $m v^{2}$ बाहर); संतुलित होता है द्रव्यमान और वेग का गुणनफल। समान इकाइयों से अन्य द्रव्यमानों के पिंड बनाकर वही फ़्रेम-परिवर्तन दोहराएँ, तो परिणाम किसी भी द्रव्यमान-जोड़ी तक फैल जाता है, और जो मात्रा हमेशा समान निकलती है वह है $\sum m v$ ।

यह तर्क उल्टी दिशा में भी काम करता है। कोई भी दो-पिंड टक्कर, यदि द्रव्यमान-केंद्र के साथ चलने वाले फ़्रेम से देखी जाए, तो उसका कुल संवेग शून्य होता है: पिंड बराबर और विपरीत संवेग के साथ आते हैं, ऊपर की पंक्ति की तरह। एनिमेशन के कार्टों के लिए यह फ़्रेम 1 m/s से चलता है। उसमें कार्ट 1 $+ 3$ लाता है और कार्ट 2 $- 3 kg \cdot m/s$ , और ट्रैक B पर चिपका जोड़ा बस रुक जाता है।

सामान्य कथन नोथर प्रमेय (1918) है: भौतिकी के नियमों की हर सतत सममिति के साथ एक संरक्षित राशि जुड़ी होती है। यदि नियम हर जगह एक-जैसे हैं, यानी पूरे उपकरण को दूसरी जगह ले जाने से कुछ नहीं बदलता (दिक् समांगी है), तो संवेग संरक्षित है। समय में स्थानांतरण के अंतर्गत अपरिवर्तनीयता ऊर्जा-संरक्षण देती है, और घूर्णनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीयता कोणीय संवेग-संरक्षण। चूँकि यह तीसरे नियम पर नहीं, बल्कि सममिति पर टिका है, संवेग संरक्षण वहाँ भी टिकता है जहाँ तीसरा नियम विफल होता है।

द्रव्यमान-केंद्र फ़्रेम में ऊर्जा

एक टक्कर अधिकतम कितनी गतिज ऊर्जा हटा सकती है, और अंतिम वेग क्या होते हैं? द्रव्यमान-केंद्र के साथ चलने वाले फ़्रेम में ये दोनों प्रश्न सरल हो जाते हैं। यह खंड गतिज ऊर्जा को ऐसे भाग में बाँटता है जिसे कोई टक्कर नहीं छू सकती और ऐसे भाग में जिसे टक्कर बदल सकती है, और बिना द्विघात समीकरण हल किए अंतिम वेग निकालता है।

चित्र 3 एनिमेशन के कार्टों के वेग एक ही अक्ष $v$ पर रखता है: कार्ट 1, $m_{1} = 1 kg$ , $v_{1} = 4 m/s$ पर; और कार्ट 2, $m_{2} = 3 kg$ , $v_{2} = 0$ पर; हर ब्लॉक की चौड़ाई उसका द्रव्यमान दिखाती है। बिंदीदार रेखा द्रव्यमान-केंद्र का वेग दर्शाती है, जिसे चित्र में $V$ और समीकरणों में $v_{cm}$ कहा गया है:
$v_{cm} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4} = 1 m/s$

बिंदीदार रेखा से मापें तो कार्ट $u_{1} = v_{1} - v_{cm} = + 3 m/s$ और $u_{2} = v_{2} - v_{cm} = - 1 m/s$ से चलते हैं: ऊपरी पंक्ति के दो तीर। इस फ़्रेम में कुल संवेग शून्य है, $m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 0$ , इसलिए तीर द्रव्यमानों के व्युत्क्रमानुपाती हैं, और भारी कार्ट हल्के कार्ट की तुलना में $V$ के तीन गुना निकट है।

टक्कर बिंदीदार रेखा को नहीं हिला सकती, क्योंकि आंतरिक बल कुल संवेग को, और उसके साथ $v_{cm}$ को, अपरिवर्तित छोड़ते हैं। वह केवल $u_{1}$ और $u_{2}$ बदल सकती है, और बाद में उन्हें अब भी $m_{1} u_{1}^{'} + m_{2} u_{2}^{'} = 0$ संतुष्ट करना होगा। इसलिए दोनों एक ही गुणक से बदलते हैं। कार्ट एक-दूसरे में से होकर नहीं, बल्कि अलग होकर निकलते हैं, इसलिए गुणक ऋणात्मक या शून्य है, और हम उसे $- e$ लिखते हैं:
$u_{i}^{'} = - e u_{i}$
संख्या $e$ को प्रत्यानयन गुणांक (coefficient of restitution) कहते हैं। चूँकि $u_{1} - u_{2} = v_{1} - v_{2} = v_{rel}$ , यानी सापेक्ष वेग, इसे $e = - v_{rel}^{'} / v_{rel}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है: यानी टक्कर के बाद बची सापेक्ष गति का भाग, प्रत्यास्थ टक्कर के लिए 1 से चिपकने के लिए 0 तक।

चित्र 3 की निचली पंक्ति प्रत्यास्थ स्थिति $e = 1$ है: $u_{1}^{'}$ और $u_{2}^{'}$ पुराने तीर उलटे होकर बने हैं, इसलिए अंतिम वेग $v_{1}^{'}$ और $v_{2}^{'}$ , बिंदीदार रेखा के सापेक्ष $v_{1}$ और $v_{2}$ के दर्पण-प्रतिबिंब हैं। ट्रैक के फ़्रेम में लौटने के लिए $v_{cm}$ फिर जोड़ें:
$v_{i}^{'} = v_{cm} + u_{i}^{'} = v_{cm} - e (v_{i} - v_{cm})$
$v_{i}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{i}$
$e = 1$ के लिए यह $v_{1}^{'} = 2 \cdot 1 - 4 = - 2 m/s$ और $v_{2}^{'} = 2 \cdot 1 - 0 = + 2 m/s$ देता है, जो ट्रैक A का परिणाम है। छोटा $e$ दोनों तीरों को एक ही गुणक से छोटा कर देता है; $e = 0$ पर वे लुप्त हो जाते हैं, और दोनों कार्ट $V$ पर एक साथ निकलते हैं, जैसा ट्रैक B पर।

अब गतिज ऊर्जा। $v_{i} = v_{cm} + u_{i}$ को $K = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}$ में रखें और वर्ग फैलाएँ:
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + v_{cm} \sum_{i} m_{i} u_{i} + \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} u_{i}^{2}$
बीच का पद शून्य है, क्योंकि $\sum_{i} m_{i} u_{i} = 0$ । शेष रहता है
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + K_{rel}$
जहाँ $M = m_{1} + m_{2}$ । पहला पद द्रव्यमान-केंद्र की ऊर्जा है, जिसे कोई आंतरिक बल नहीं बदल सकता, क्योंकि संवेग $v_{cm}$ तय करता है। दूसरा, $K_{rel}$ , द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष गति की ऊर्जा है, और टक्कर केवल उसी पर असर करती है। दो पिंडों के लिए यह केवल सापेक्ष वेग पर निर्भर करती है। $m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 0$ और $u_{1} - u_{2} = v_{rel}$ से $u_{1} = m_{2} v_{rel} / M$ और $u_{2} = - m_{1} v_{rel} / M$ आते हैं; तब $\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} m_{2} (m_{2} + m_{1}) v_{rel}^{2} / M^{2}$ , जो सरल होकर
$K_{rel} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}, μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
बन जाता है, जहाँ $μ$ को समानीत द्रव्यमान (reduced mass) कहते हैं।

चूँकि $K_{rel}$ , $v_{rel}^{2}$ के समानुपाती है, टक्कर उसे $e^{2}$ से गुणा कर देती है। एनिमेशन के लिए $M = 4 kg$ , $v_{cm} = 1 m/s$ , $μ = 0.75 kg$ और $v_{rel} = 4 m/s$ हैं। अतः 8 J विभाजित होता है: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1^{2} = 2 J$ में, जिसे कोई टक्कर नहीं छू सकती, और $\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 4^{2} = 6 J$ सापेक्ष गति में। प्रत्यास्थ बम्पर 6 J पूरे लौटा देता है। चिपकना ( $e = 0$ ) पूरे 6 J हटा देता है, जो संवेग संरक्षण द्वारा अनुमत सबसे बड़ी हानि है, और शेष 2 J वही है जो ट्रैक B रखता है।

हल किया गया उदाहरण: आधा-प्रत्यास्थ बम्पर

कार्टों पर $e = 0.5$ वाला बम्पर लगाएँ: द्रव्यमान वही हैं, और कार्ट 1 फिर 4 m/s से स्थिर कार्ट 2 पर आता है। ज्ञात करें (a) अंतिम वेग, (b) खोई गतिज ऊर्जा, (c) यदि संपर्क अब भी 0.16 s चले तो औसत बल, और (d) वह $e$ का मान जिस पर कार्ट 1 स्थिर रह जाए।

(a) द्रव्यमान-केंद्र अब भी $v_{cm} = 1 m/s$ से चलता है, और $1 + e = 1.5$ :
$v_{1}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{1} = 1.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 4 = - 0.5 m/s$
$v_{2}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{2} = 1.5 \cdot 1 - 0 = 1.5 m/s$
कार्ट 1 धीरे से वापस उछलता है। संवेग जाँच: $1 \cdot (- 0.5) + 3 \cdot 1.5 = 4 kg \cdot m/s$ , पहले की तरह।

(b) द्रव्यमान-केंद्र के 2 J बने रहते हैं, और सापेक्ष गति के 6 J को $e^{2} = 0.25$ से गुणा किया जाता है: $K = 2 + 0.25 \cdot 6 = 3.5 J$ , इसलिए $8 - 3.5 = 4.5 J$ खो जाते हैं। सीधे गणना: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0. 5^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1. 5^{2} = 0.125 + 3.375 = 3.5 J$ ।

(c) कार्ट 2 को $3 \cdot 1.5 = 4.5 kg \cdot m/s$ मिलता है। $v_{2} = 0$ के लिए सूत्र $v_{2}^{'} = (1 + e) v_{cm}$ देता है, इसलिए यह चिपकने वाली स्थिति के 3 kg·m/s का $(1 + e)$ गुना है। 0.16 s में औसत बल $4.5/0.16 \approx 28 N$ है, जो ट्रैक B ( $e = 0$ ) के 18.75 N और ट्रैक A ( $e = 1$ ) के 37.5 N के बीच है।

(d) कार्ट 1 तब रुकता है जब $v_{1}^{'} = 0$ , यानी $(1 + e) v_{cm} = e v_{1}$ , या $1 + e = 4 e$ , अतः $e = 1/3$ । तब कार्ट 2 पूरे 4 kg·m/s को ले जाता है, $4/3 \approx 1.33 m/s$ की चाल से, और $K = 2 + 6/9 \approx 2.67 J$ । सामान्यतः, जब लक्ष्य स्थिर हो, तो प्रहारक $e = m_{1} / m_{2}$ पर रुकता है। अतः प्रहारक का पूरी तरह रुक जाना केवल समान द्रव्यमानों की प्रत्यास्थ टक्कर का संकेत है; यहाँ काफ़ी ऊर्जा-हानि वाला बम्पर है।

तिरछी टक्करें

दो या तीन आयामों में संवेग संरक्षण हर घटक के लिए एक समीकरण देता है। समतल में दो पिंडों के लिए संवेग दो समीकरण देता है, और यदि टक्कर प्रत्यास्थ है तो ऊर्जा तीसरा; पर दो अंतिम वेगों के चार घटक होते हैं। जो जानकारी कम है वह टक्कर की ज्यामिति है, और जो टक्कर सीधी न हो उसे दिशाएँ और चालें दोनों तय करनी होती हैं।

चित्र 4 द्रव्यमान $m$ की दो एक-जैसी गेंदों की एक केंद्र से हटी हुई प्रत्यास्थ टक्कर दिखाता है, जिसमें गेंद 2 स्थिर है। गेंद 1 $v_{1}$ वेग से एक ऐसे पथ पर आती है जो गेंद 2 के केंद्र से $b$ की दूरी पर है। अतः संपर्क के क्षण पर दोनों केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पथ से दूर झुकी होती है। बिना घूर्णन वाली चिकनी गेंदों के लिए संपर्क-बल केंद्र-रेखा के अनुदिश लगता है, और उसके लंबवत कोई बल नहीं लगता।

हर वेग को केंद्र-रेखा के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में बाँटें। रेखा के लंबवत कोई बल नहीं है, इसलिए उन घटकों में परिवर्तन नहीं होता। रेखा के अनुदिश टक्कर समान द्रव्यमानों की एक सीधी प्रत्यास्थ टक्कर है, जो वेगों की अदला-बदली करती है: गेंद 1 रेखा के अनुदिश अपना पूरा घटक गेंद 2 को दे देती है। इसलिए गेंद 2 केंद्र-रेखा के अनुदिश $v_{2}^{'}$ से निकलती है, और गेंद 1 केवल वह घटक रखती है जो रेखा के लंबवत है, यानी $v_{1}^{'}$ , जो $v_{2}^{'}$ के लंबवत है। यदि गेंदों की त्रिज्या $R$ है, तो केंद्र-रेखा आने वाले पथ से कोण $φ$ बनाती है, जहाँ $sin φ = b / (2 R)$ , और बाद की चालें $v_{2}^{'} = v_{1} cos φ$ और $v_{1}^{'} = v_{1} sin φ$ हैं। सीधी टक्कर ( $b = 0$ ) सब कुछ गेंद 2 को दे देती है; तिरछी छुअन ( $b$ लगभग $2 R$ ) गेंद 1 को लगभग अप्रभावित छोड़ती है।

दाईं ओर का त्रिभुज संपर्क की ज्यामिति के बिना समकोण पर पहुँचता है। संवेग संरक्षण, समान द्रव्यमानों को काटने पर, $v_{1} = v_{1}^{'} + v_{2}^{'}$ देता है: तीनों वेग एक त्रिभुज बनाते हैं। ऊर्जा संरक्षण $v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2}$ देता है। पहले समीकरण का वर्ग करने पर $v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2} + 2 v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'}$ मिलता है, और उसकी दूसरे से तुलना करने पर $v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'} = 0$ बचता है। दोनों भुजाएँ समकोण पर मिलती हैं: समान द्रव्यमान की एक तिरछी प्रत्यास्थ टक्कर के बाद, जिसमें एक गेंद पहले स्थिर थी, दोनों गेंदें एक-दूसरे के समकोण पर निकलती हैं (सीधी टक्कर में गेंद 1 बस रुक जाती है)। बिना घूर्णन के मारी गई बिलियर्ड्स की गेंद लगभग ऐसा ही करती है, और स्थिर प्रोटॉनों से टकराने वाले धीमे प्रोटॉनों के पथ भी ऐसे ही होते हैं।

रॉकेट और परिवर्ती द्रव्यमान

रॉकेट ईंधन जलाते समय अपना द्रव्यमान स्वयं बदलता है, इसलिए $F = m a$ को सीधे उस पर लागू नहीं किया जा सकता। सुरक्षित रास्ता है रॉकेट और उसकी फेंकी गई गैस के लिए संवेग संरक्षण।

मान लें द्रव्यमान $m$ का रॉकेट $v$ से चल रहा है, दूसरे बलों से दूर, और अपने सापेक्ष चाल $w$ से पीछे की ओर गैस फेंकता है। एक छोटे समय $d t$ में उसका द्रव्यमान $d m$ (ऋणात्मक राशि) बदलता है, उसका वेग $d v$ बदलता है, और द्रव्यमान $- d m$ की गैस $v - w$ वेग से निकलती है। पहले और बाद का संवेग समान होना चाहिए:
$m v = (m + d m) (v + d v) + (- d m) (v - w)$
विस्तार करने पर $m v$ दोनों पक्षों में आता है, दोनों पद $v d m$ निरस्त हो जाते हैं, और दो छोटे परिवर्तनों का गुणनफल $d m d v$ नगण्य है। शेष रहता है $m d v = - w d m$ । $m$ से भाग देकर और प्रारंभिक द्रव्यमान $m_{0}$ से अंतिम द्रव्यमान $m_{f}$ तक समाकलन करने पर
$Δ v = w ln \frac{m _{0}}{m _{f}}$
मिलता है।

केवल निकास-चाल और द्रव्यमान-अनुपात मायने रखते हैं, और द्रव्यमान-अनुपात केवल लघुगणक के माध्यम से आता है। $w = 3 km/s$ और प्रक्षेपण-द्रव्यमान के नौ-दसवें भाग को ईंधन मानें, तो $m_{0} / m_{f} = 10$ और $Δ v = 3 ln 10 \approx 6.9 km/s$ । यह निम्न कक्षा के 7.8 km/s से कम है, और यह गुरुत्व व वायु-प्रतिरोध की हानियाँ गिनने से पहले की बात है। उड़ान के दौरान खाली टंकियाँ गिराने से शेष द्रव्यमान घटता है जिसे अब भी त्वरित करना है, इसी कारण रॉकेट चरणों में बनाए जाते हैं।

वैधता की सीमाएँ

न्यूटोनी संवेग $m v$ एक सन्निकटन है, जो प्रकाश की चाल $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ से बहुत कम चालों के लिए मान्य है। वास्तव में संरक्षित राशि $γm v$ है, जहाँ $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ । $0.6 c$ पर $γ = 1.25$ है, इसलिए वास्तविक संवेग $m v$ से पहले ही 25% बड़ा है, और कणों की टक्करों में गतिज ऊर्जा नए कणों का द्रव्यमान भी बन सकती है। 4 m/s पर चलते कार्टों के लिए सुधार की कोटि $v^{2} / c^{2} \approx 2 \times 1 0^{- 16}$ है।

तीसरा नियम भी पूरी तरह सटीक नहीं है। एक-दूसरे के लंबवत चलने वाले दो आवेश एक-दूसरे पर ऐसे चुंबकीय बल लगाते हैं जो बराबर और उल्टे नहीं होते, इसलिए उनका संयुक्त यांत्रिक संवेग बदलता है। कुल संतुलित तभी होता है जब विद्युत चुंबकीय क्षेत्र में संचित संवेग भी गिना जाए। प्रकाश स्वयं संवेग वहन करता है: ऊर्जा $E$ वाले प्रकाश का संवेग $p = E / c$ है। वायुमंडल के बाहर सूर्य का प्रकाश 1361 W/m² देता है; उसे सोखने वाली एक शीट पर यह दाब $1361/ (3.00 \times 1 0^{8}) \approx 4.5 \times 1 0^{- 6} N/ m^{2}$ देता है, यानी प्रति वर्ग मीटर लगभग 4.5 µN, जो सौर पाल को चलाने के लिए पर्याप्त है।

क्वांटम यांत्रिकी में संवेग तरंगदैर्घ्य से जुड़ा है, $p = h / λ$ , और उसका संरक्षण हर अब तक देखी गई अंतःक्रिया में बना रहा है। इसने कणों की भविष्यवाणी भी की है। β-क्षय में उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन ऊर्जा-संरक्षण को तोड़ता लगा, क्योंकि उसकी ऊर्जा हर क्षय में अलग थी। 1930 में पाउली ने प्रस्ताव रखा कि कोई अदृश्य उदासीन कण यह अंतर ले जाता है। बाद में पीछे हटते नाभिक के मापनों से पता चला कि वह संवेग भी ले जाता है: इलेक्ट्रॉन और नाभिक बराबर और उल्टे संवेगों के साथ अलग नहीं हुए थे। न्यूट्रिनो का 1956 में संसूचन हुआ।

यह कहाँ ले जाता है

घूर्णनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीयता "कोणीय संवेग और उसका संरक्षण" की ओर ले जाती है, और दूसरे नियम का घूर्णी रूप "घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण" की ओर। टक्करों का ऊर्जा-पक्ष "कार्य, ऊर्जा और शक्ति" में है। गैस का दाब वह संवेग है जो असंख्य आणविक आघात हर सेकंड दीवारों के हर वर्ग मीटर को देते हैं, जैसा "गैसों का अणुगति सिद्धांत" दिखाता है; और $γm v$ , ऊर्जा के द्रव्यमान में रूपांतरण सहित, "विशिष्ट आपेक्षिकता" का विषय है। "कण और बल: मानक मॉडल" में संवेग और ऊर्जा का संतुलन ऐसे कणों को प्रकट करता है जो कोई निशान नहीं छोड़ते।

मुख्य सूत्र

संवेग

p = m v

संवेग यह नापता है कि कितना द्रव्य चल रहा है और कितनी तेज़ी से चल रहा है। यह वेग की दिशा में एक सदिश है, इसलिए एक रेखा पर इसका चिह्न दिशा बताता है। द्रव्यमान या चाल में से किसी एक को दोगुना करने से संवेग दोगुना होता है, इसलिए एक हल्की, तेज़ वस्तु और एक भारी, धीमी वस्तु में समान संवेग हो सकता है।

चिह्न
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$
$m$	वस्तु का द्रव्यमान	$kg$
$v$	वस्तु का वेग (चिह्न सहित)	$m/s$

कब लागू होता है: न्यूटोनी यांत्रिकी में सटीक। प्रकाश की चाल के निकट यह $γm v$ बन जाता है, जो $m v$ से बड़ा है; प्रकाश में द्रव्यमान नहीं होता, फिर भी वह $E / c$ संवेग वहन करता है।

उदाहरण: एनिमेशन का 1 kg का कार्ट 4 m/s पर: $p = 1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ । 3 kg का कार्ट उतना ही संवेग केवल 1.33 m/s पर रखेगा।

दो-पिंड टक्कर में संवेग संरक्षण

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

संपर्क के दौरान दोनों पिंड समान समय तक बराबर और विपरीत बल लगाते हैं, इसलिए उनके संवेग-परिवर्तन बराबर और विपरीत होते हैं और योग समान रहता है। बिना प्राइम वाले वेग टक्कर से पहले के हैं, प्राइम वाले बाद के, सभी अपने चिह्नों सहित। यह हर प्रकार की टक्कर पर लागू होता है: प्रत्यास्थ, अप्रत्यास्थ या विस्फोटक।

चिह्न
$m_{1}$	पिंड 1 का द्रव्यमान	$kg$
$m_{2}$	पिंड 2 का द्रव्यमान	$kg$
$v_{1}$	टक्कर से पहले पिंड 1 का वेग	$m/s$
$v_{2}$	टक्कर से पहले पिंड 2 का वेग	$m/s$
$v_{1}^{'}$	टक्कर के बाद पिंड 1 का वेग	$m/s$
$v_{2}^{'}$	टक्कर के बाद पिंड 2 का वेग	$m/s$

कब लागू होता है: केवल तब जब टक्कर के दौरान इस रेखा के अनुदिश शुद्ध बाह्य बल शून्य या नगण्य हो। यह हर घटक के लिए अलग-अलग लागू होता है, और अकेले यह दोनों अंतिम वेग तय नहीं करता: एक दूसरी शर्त, जैसे ऊर्जा का संतुलन, आवश्यक है।

उदाहरण: ट्रैक A: $1 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 2 = 4 kg \cdot m/s$ ।

पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के बाद उभयनिष्ठ वेग

v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}

जब पिंड चिपक जाते हैं, तो उनका एक ही अंतिम वेग होता है, इसलिए कुल संवेग को कुल द्रव्यमान से भाग देना ही पर्याप्त है। यही वेग टक्कर से पहले और बाद में द्रव्यमान-केंद्र का भी है। गतिज ऊर्जा हमेशा घटती है, $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ के बराबर।

चिह्न
$v^{'}$	जुड़े हुए पिंडों का उभयनिष्ठ वेग	$m/s$
$m_{1}$	पिंड 1 का द्रव्यमान	$kg$
$m_{2}$	पिंड 2 का द्रव्यमान	$kg$
$v_{1}$	टक्कर से पहले पिंड 1 का वेग	$m/s$
$v_{2}$	टक्कर से पहले पिंड 2 का वेग	$m/s$

कब लागू होता है: संवेग संरक्षण आवश्यक है (आघात के दौरान कोई महत्वपूर्ण बाह्य बल नहीं) और पिंड बाद में साथ चलें। विपरीत दिशाओं के वेग विपरीत चिह्नों के साथ लिए जाते हैं।

उदाहरण: ट्रैक B: $v^{'} = (1 \cdot 4 + 3 \cdot 0) / (1 + 3) = 1 m/s$ , और गतिज ऊर्जा 8 J से घटकर 2 J हो जाती है।

स्थिर लक्ष्य के साथ प्रत्यास्थ सीधी टक्कर

v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1}}{m _{1} + m _{2}}, v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}

संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण को एक साथ हल करने पर ये दो वेग मिलते हैं। पिंड उसी चाल से अलग होते हैं जिससे वे पास आए थे, $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = v_{1}$ । यदि $m_{1} < m_{2}$ है तो प्रहारक वापस उछलता है ( $v_{1}^{'} < 0$ ); समान द्रव्यमान वेग आपस में बदलते हैं; बहुत भारी लक्ष्य प्रहारक को लगभग $- v_{1}$ से वापस भेजता है।

चिह्न
$v_{1}^{'}$	टक्कर के बाद प्रहारक का वेग	$m/s$
$v_{2}^{'}$	टक्कर के बाद लक्ष्य का वेग	$m/s$
$m_{1}$	प्रहारक का द्रव्यमान	$kg$
$m_{2}$	लक्ष्य का द्रव्यमान, आरंभ में स्थिर	$kg$
$v_{1}$	टक्कर से पहले प्रहारक का वेग	$m/s$

कब लागू होता है: केवल पूर्णतः प्रत्यास्थ, सीधी टक्कर के लिए, जिसमें पिंड 2 आरंभ में स्थिर है। चलते लक्ष्य के लिए $v_{i}^{'} = 2 v_{cm} - v_{i}$ का प्रयोग करें, या ऐसे फ़्रेम में काम करें जहाँ लक्ष्य स्थिर हो।

उदाहरण: ट्रैक A: $v_{1}^{'} = (1 - 3) \cdot 4/4 = - 2 m/s$ और $v_{2}^{'} = 2 \cdot 1 \cdot 4/4 = 2 m/s$ ।

आवेग-संवेग प्रमेय

J = \int F d t = Δ p

न्यूटन के दूसरे नियम $F = d p / d t$ का समय पर समाकलन दिखाता है कि संवेग का परिवर्तन आवेग के बराबर है, जो बल-समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल है। केवल वही क्षेत्रफल मायने रखता है: कम समय के लिए बड़ा बल और लंबे समय के लिए छोटा बल एक ही परिवर्तन देते हैं। यह एक सदिश समीकरण है, जो हर घटक के लिए मान्य है।

चिह्न
$J$	बल द्वारा दिया गया आवेग	$N \cdot s$
$F$	पिंड पर शुद्ध बल, जो समय के साथ बदल सकता है	$N$
$t$	समय, उस अंतराल पर समाकलित जिसमें बल लगता है	$s$
$Δ p$	संवेग का परिवर्तन, अंतिम घटा प्रारंभिक	$kg \cdot m/s$

कब लागू होता है: पिंड पर शुद्ध बल के लिए सदैव। पिंडों के तंत्र के लिए आंतरिक बल निरस्त हो जाते हैं, और केवल बाह्य आवेग कुल संवेग बदलते हैं।

उदाहरण: ट्रैक A पर कार्ट 2 0.16 s में 6 kg·m/s प्राप्त करता है: औसत बल $6/0.16 = 37.5 N$ ।

आपेक्षिक गति की गतिज ऊर्जा और समानीत द्रव्यमान

K_{rel} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}, μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}

दो पिंडों की गतिज ऊर्जा दो भागों में बँटती है: द्रव्यमान-केंद्र वाला भाग, $\frac{1}{2} M v_{cm}^{2}$ , जिसे कोई आंतरिक बल नहीं बदल सकता, और यह आपेक्षिक भाग। प्रत्यानयन गुणांक $e$ वाली टक्कर $K_{rel}$ को $e^{2}$ से गुणा करती है, इसलिए $K_{rel}$ वह अधिकतम ऊर्जा है जिसे टक्कर ऊष्मा और विरूपण में बदल सकती है। समानीत द्रव्यमान दोनों द्रव्यमानों में से किसी से भी छोटा होता है, और जब दूसरा बहुत भारी हो तो हल्के के निकट होता है।

चिह्न
$K_{rel}$	आपेक्षिक गति की गतिज ऊर्जा	$J$
$μ$	समानीत द्रव्यमान	$kg$
$v_{rel}$	आपेक्षिक वेग, $v_{1} - v_{2}$	$m/s$
$m_{1}$	पिंड 1 का द्रव्यमान	$kg$
$m_{2}$	पिंड 2 का द्रव्यमान	$kg$

कब लागू होता है: न्यूटोनी यांत्रिकी, कोई भी दो पिंड, किसी भी संख्या के आयामों में (आपेक्षिक वेग के परिमाण के साथ)। टक्कर में हानि के लिए टक्कर से ठीक पहले का आपेक्षिक वेग लें।

उदाहरण: एनिमेशन: $μ = 1 \cdot 3/4 = 0.75 kg$ और $K_{rel} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 4^{2} = 6 J$ , ठीक वही ऊर्जा जो ट्रैक B पर खोई।

शब्दावली

संवेग: द्रव्यमान गुणा वेग, $p = m v$ : वेग की दिशा में इंगित करने वाला एक सदिश। गतिज ऊर्जा के विपरीत इसकी दिशा होती है, और यह केवल चाल के अनुपात में बढ़ता है, उसके वर्ग के अनुपात में नहीं।
आवेग: बल के कुछ समय तक लगने से उत्पन्न संवेग-परिवर्तन: स्थिर बल के लिए $F Δ t$ , सामान्यतः बल-समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल। कम बल लंबे समय तक और अधिक बल थोड़ी देर तक, दोनों एक ही आवेग दे सकते हैं।
संवेग संरक्षण: किसी तंत्र का कुल संवेग स्थिर रहता है जब तक उस पर कोई शुद्ध बाह्य बल न लगे। यह हर टक्कर और विस्फोट में लागू होता है, प्रत्यास्थ हो या न हो।
विलगित तंत्र: पिंडों का चुना हुआ समूह जिस पर शुद्ध बाह्य बल शून्य है, या जिस समय पर ध्यान है उसमें नगण्य है। 0.16 s के संपर्क में दोनों कार्ट इसका अच्छा उदाहरण हैं।
आंतरिक और बाह्य बल: आंतरिक बल चुने गए तंत्र के पिंडों के बीच कार्य करते हैं और न्यूटन के तीसरे नियम से जोड़ों में निरस्त होते हैं; बाह्य बल तंत्र के बाहर से आते हैं। केवल बाह्य बल ही कुल संवेग बदल सकते हैं।
प्रत्यास्थ टक्कर: वह टक्कर जिसमें कुल गतिज ऊर्जा पहले और बाद में समान रहती है, जैसे स्टील की गेंदों या स्प्रिंग-बम्परों में। सीधी प्रत्यास्थ टक्कर में पिंड उसी चाल से अलग होते हैं जिससे वे पास आए थे।
अप्रत्यास्थ टक्कर: वह टक्कर जिसमें कुल गतिज ऊर्जा का कुछ भाग ऊष्मा, ध्वनि या स्थायी विरूपण में बदल जाता है। कुल संवेग फिर भी संरक्षित रहता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर: वह टक्कर जिसमें पिंड चिपक जाते हैं और एक उभयनिष्ठ वेग से आगे चलते हैं। यह संवेग संरक्षण द्वारा अनुमत गतिज ऊर्जा का सबसे बड़ा भाग खोती है: एनिमेशन में 8 J में से 6 J।
प्रत्यानयन गुणांक: पृथक्करण की चाल को पास आने की चाल से भाग देने पर प्राप्त मान, $e = - v_{rel}^{'} / v_{rel}$ । प्रत्यास्थ टक्कर के लिए यह 1 और पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए 0 है।
द्रव्यमान-केंद्र: किसी तंत्र की द्रव्यमान-भारित औसत स्थिति। इसका वेग, $v_{cm} = P / M$ , कुल संवेग से तय होता है, इसलिए पिंडों के बीच कोई टक्कर इसे नहीं बदल सकती।
द्रव्यमान-केंद्र फ़्रेम: वह संदर्भ-फ़्रेम जो द्रव्यमान-केंद्र के साथ चलता है, जहाँ कुल संवेग शून्य होता है। वहाँ हर दो-पिंड टक्कर सममित दिखती है: पिंड बराबर और विपरीत संवेगों के साथ पास आते हैं।
प्रतिक्षेप: किसी पिंड की पीछे की ओर गति जो किसी अन्य चीज़ को आगे धकेलता है, जैसे गोली चलाती बंदूक या गैस छोड़ता रॉकेट। विराम से शुरू होने पर दोनों संवेग बराबर और विपरीत होते हैं।

राशियाँ
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$	द्रव्यमान गुणा वेग, जिसका चिह्न चुनी हुई अक्ष पर दिशा बताता है। 1 kg का कार्ट 4 m/s पर चलते हुए 4 kg·m/s संवेग रखता है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	पिंड का जड़त्व: संवेग में समान परिवर्तन के लिए बड़ा द्रव्यमान छोटा वेग-परिवर्तन देता है।
$v$	वेग	$m/s$	ट्रैक के अनुदिश पिंड का वेग, जिसका चिह्न उसकी दिशा बताता है; बिना प्राइम वाले वेग टक्कर से पहले के हैं।
$v^{'}$	टक्कर के बाद का वेग	$m/s$	प्राइम टक्कर के बाद का मान दर्शाता है। बिना सूचकांक के $v^{'}$ उन पिंडों का उभयनिष्ठ वेग है जो चिपक जाते हैं।
$J$	आवेग	$N \cdot s$	बल का समय पर समाकलन, जो उसके द्वारा उत्पन्न संवेग-परिवर्तन के बराबर है; 1 N·s, 1 kg·m/s के बराबर है।
$F$	बल	$N$	पिंड पर धक्का या खिंचाव; शुद्ध बल पिंड के संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है, $F = d p / d t$ ।
$v_{cm}$	द्रव्यमान-केंद्र का वेग	$m/s$	कुल संवेग को कुल द्रव्यमान से भाग देने पर प्राप्त, $P / M$ , जिसे कोई टक्कर नहीं बदलती: एनिमेशन में 1 m/s।
$v_{rel}$	आपेक्षिक वेग	$m/s$	पिंड 2 से देखा गया पिंड 1 का वेग, $v_{1} - v_{2}$ : एनिमेशन में टक्कर से पहले 4 m/s।
$μ$	समानीत द्रव्यमान	$kg$	$m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ , वह द्रव्यमान जो आपेक्षिक गति के साथ जुड़ा है। यह किसी भी द्रव्यमान से छोटा है: 1 kg और 3 kg के कार्टों के लिए 0.75 kg।
$K_{rel}$	आपेक्षिक गति की गतिज ऊर्जा	$J$	गतिज ऊर्जा का वह भाग जिसे टक्कर बदल सकती है, $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ : एनिमेशन में 6 J, जो पूरी तरह खो जाती है जब कार्ट चिपक जाते हैं।

क्विज़

शुरुआती 1000 kg की कार 2 m/s पर और 50 kg का धावक 8 m/s पर चल रहा है। किसका संवेग अधिक है?
1. कार
2. धावक
3. दोनों का संवेग समान है
4. कोई नहीं: संवेग केवल टक्करों के दौरान होता है
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उत्तर: A. कार
p = m·v: कार का 1000 × 2 = 2000 kg·m/s, धावक का 50 × 8 = 400 kg·m/s। अकेली चाल से यह तय नहीं होता।
शुरुआती 40 kg का बच्चा और 80 kg का वयस्क बर्फ़ पर एक-दूसरे के सामने स्थिर खड़े हैं और एक-दूसरे को धकेलकर अलग होते हैं। आगे क्या होगा?
1. दोनों एक ही चाल से फिसल जाते हैं
2. केवल वही चलता है जिसने ज़्यादा ज़ोर से धकेला
3. बच्चा वयस्क से तेज़ फिसलता है, विपरीत दिशा में
4. दोनों एक ही दिशा में चलते हैं
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उत्तर: C. बच्चा वयस्क से तेज़ फिसलता है, विपरीत दिशा में
कुल संवेग शून्य था और शून्य ही रहता है, इसलिए दोनों संवेग बराबर और विपरीत हैं: 40 × (बच्चे की चाल) = 80 × (वयस्क की चाल), और बच्चा दोगुनी तेज़ी से चलता है। दोनों पर एक ही धक्का लगता है (न्यूटन का तीसरा नियम), चाहे धक्का कोई भी दे।
शुरुआती एक छोटा चलता कार्ट एक स्थिर बड़े कार्ट से टकराता है और वे चिपक जाते हैं। जुड़े कार्ट कैसे चलते हैं?
1. छोटे कार्ट के पहुँचने से तेज़
2. आगे, पर छोटे कार्ट के पहुँचने से धीमे
3. पीछे की ओर
4. बिल्कुल रुक जाते हैं
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उत्तर: B. आगे, पर छोटे कार्ट के पहुँचने से धीमे
कुल संवेग बना रहता है, पर अब उसे अधिक द्रव्यमान साझा करता है, इसलिए उभयनिष्ठ चाल कम है और मूल दिशा में है।
मध्यम 2 kg का कार्ट 3 m/s पर 1 kg के स्थिर कार्ट से टकराता है और वे चिपक जाते हैं। उनकी उभयनिष्ठ चाल कितनी है?
1. 1 m/s
2. 1.5 m/s
3. 2 m/s
4. 3 m/s
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उत्तर: C. 2 m/s
v' = m₁·v₁ / (m₁ + m₂) = 6 ÷ 3 = 2 m/s। केवल चलते द्रव्यमान से भाग दें तो 3 m/s मिलेगा, और चालों का औसत लें तो 1.5 m/s।
मध्यम 0.5 kg की गेंद 4 m/s पर दीवार से टकराती है और उसी 4 m/s की चाल से सीधी वापस उछलती है। उसके संवेग-परिवर्तन का परिमाण कितना है?
1. 0 kg·m/s
2. 2 kg·m/s
3. 4 kg·m/s
4. 8 kg·m/s
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उत्तर: C. 4 kg·m/s
Δp = m·(v' − v) = 0.5 × (−4 − 4) = −4 kg·m/s। चाल वही है पर दिशा उलट गई, इसलिए परिवर्तन शून्य नहीं है।
मध्यम 1 kg का कार्ट 4 m/s पर स्थिर 3 kg के कार्ट से टकराता है। कौन-सा परिणाम असंभव है?
1. दोनों कार्ट 1 m/s पर एक साथ चलते हैं
2. 1 kg का कार्ट 2 m/s पर वापस उछलता है और 3 kg का कार्ट 2 m/s पर चलता है
3. 1 kg का कार्ट रुक जाता है और 3 kg का कार्ट 1.33 m/s पर चलता है
4. 1 kg का कार्ट 4 m/s पर वापस उछलता है और 3 kg का कार्ट 2.67 m/s पर चलता है
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उत्तर: D. 1 kg का कार्ट 4 m/s पर वापस उछलता है और 3 kg का कार्ट 2.67 m/s पर चलता है
चारों में कुल संवेग 4 kg·m/s बना रहता है, पर अंतिम में गतिज ऊर्जा ½·1·4² + ½·3·2.67² ≈ 18.7 J है, जो उपलब्ध 8 J से अधिक है। टक्कर गतिज ऊर्जा रख या खो सकती है, पर किसी ऊर्जा-स्रोत (जैसे विस्फोट) के बिना उसे उत्पन्न नहीं कर सकती।
उन्नत एक बल F(t) किसी पिंड पर थोड़ी देर के लिए लगता है। उसके संवेग-परिवर्तन के बराबर है:
1. ∫F·dx
2. ∫F·dt
3. F·Δx
4. ½·F·Δt²
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उत्तर: B. ∫F·dt
F = dp/dt से समय पर समाकलन करने पर Δp = ∫F·dt मिलता है, जो आवेग है। ∫F·dx कार्य है, जो गतिज ऊर्जा बदलता है।
उन्नत एक गतिमान पिंड एक समान स्थिर पिंड से चिपक जाता है। गतिज ऊर्जा का कितना अंश खोता है?
1. 0
2. 1/4
3. 1/2
4. 3/4
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उत्तर: C. 1/2
खोई ऊर्जा K_rel = ½·μ·v² है, जहाँ μ = m/2, जो प्रारंभिक ½·m·v² का आधा है। शेष आधी द्रव्यमान-केंद्र की गति के रूप में बची रहती है।

$t$	तीनों ग्राफ़ों के लिए एक ही समय-अक्ष।	$s$
$Δ t$	संपर्क की अवधि।	$s$
$F$	कार्ट 2 पर बम्पर का बल; कार्ट 1 पर $- F$ लगता है। यहाँ यह स्थिर है; यह $p_{2}$ ढलान की प्रवणता है।	$N$
$p$	ट्रैक के अनुदिश संवेग: बीच वाले ग्राफ़ की ऊर्ध्वाधर अक्ष।	$kg \cdot m/s$
$p_{1}$	कार्ट 1 का संवेग: संपर्क के दौरान 4 से $- 2$ तक।	$kg \cdot m/s$
$p_{2}$	कार्ट 2 का संवेग: संपर्क के दौरान 0 से 6 तक।	$kg \cdot m/s$
$P$	कुल संवेग $p_{1} + p_{2}$ (बिंदीदार): पूरे समय 4 पर सपाट।	$kg \cdot m/s$
$K$	दोनों कार्टों की कुल गतिज ऊर्जा।	$J$
$A$	ट्रैक A, प्रत्यास्थ बम्पर: $K$ संपर्क के बीच 2 J तक गिरता है, फिर 8 J पर लौटता है।
$B$	ट्रैक B, चिपचिपा पैड (बिंदीदार): $K$ 2 J तक गिरता है और वहीं रहता है।

$S$	ज़मीन का फ़्रेम (ऊपरी पंक्ति)।
$S^{'}$	दाईं गेंद के साथ चलती कार का फ़्रेम, जो ज़मीन के सापेक्ष $- v$ पर है (निचली पंक्ति)।
$m$	दो समान गेंदों में से प्रत्येक का द्रव्यमान; एक साथ चिपकने पर $2 m$ ।	$kg$
$v$	$S$ में प्रत्येक गेंद की चाल; $+ v$ , $S$ से $S^{'}$ पर हर वेग का खिसकाव है। सभी तीर एक ही पैमाने पर हैं, इसलिए $2 v$ , $v$ से दोगुना लंबा है।	$m/s$

$v$	वेग: अक्ष पर स्थितियाँ वेग हैं।	$m/s$
$V$	द्रव्यमान-केंद्र का वेग (बिंदीदार रेखा), समीकरणों में $v_{cm}$ लिखा गया।	$m/s$
$m_{1}$	कार्ट 1 का द्रव्यमान (एक ब्लॉक चौड़ा)।	$kg$
$m_{2}$	कार्ट 2 का द्रव्यमान (तीन ब्लॉक चौड़ा)।	$kg$
$v_{1}$	टक्कर से पहले कार्ट 1 का वेग।	$m/s$
$v_{2}$	टक्कर से पहले कार्ट 2 का वेग।	$m/s$
$u_{1}$	द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष कार्ट 1 का वेग, $v_{1} - V$ ।	$m/s$
$u_{2}$	द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष कार्ट 2 का वेग, $v_{2} - V$ ।	$m/s$
$v_{1}^{'}$	टक्कर के बाद कार्ट 1 का वेग।	$m/s$
$v_{2}^{'}$	टक्कर के बाद कार्ट 2 का वेग।	$m/s$
$u_{1}^{'}$	टक्कर के बाद द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष कार्ट 1 का वेग: $- e u_{1}$ , यहाँ $- u_{1}$ ।	$m/s$
$u_{2}^{'}$	टक्कर के बाद द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष कार्ट 2 का वेग: $- e u_{2}$ , यहाँ $- u_{2}$ ।	$m/s$

$m$	दो समान गेंदों में से प्रत्येक का द्रव्यमान।	$kg$
$b$	पार्श्व दूरी: गेंद 1 के पथ और गेंद 2 के केंद्र से होकर जाने वाली समांतर रेखा के बीच की दूरी।	$m$
$v_{1}$	टक्कर से पहले गेंद 1 का वेग; गेंद 2 स्थिर है।	$m/s$
$v_{1}^{'}$	टक्कर के बाद गेंद 1 का वेग, केंद्र-रेखा के आर-पार।	$m/s$
$v_{2}^{'}$	टक्कर के बाद गेंद 2 का वेग, केंद्र-रेखा के अनुदिश।	$m/s$