कार्य, ऊर्जा और शक्ति

कार्य $W = F d cos θ$ , गतिज ऊर्जा $K E = \frac{1}{2} m v^{2}$ , स्थितिज ऊर्जा $PE = m g h$ और शक्ति $P = W / t$ : बल ऊर्जा का स्थानांतरण कैसे करते हैं, और कुल ऊर्जा संरक्षित क्यों रहती है।

एक गेंद को ऊँचाई h से गिराया गया। नीली स्थितिज-ऊर्जा पट्टी घटती है जबकि सुनहरी गतिज-ऊर्जा पट्टी बढ़ती है, और हरी कुल-ऊर्जा पट्टी स्थिर रहती है।

इस विषय से पहले: न्यूटन के गति के नियम

शुरुआती

मुख्य विचार

कार्य = बल × बल की दिशा में तय दूरी, इकाई जूल: 10 N के बल से 3 m धकेलने में 30 J कार्य होता है।
गति-ऊर्जा चाल के वर्ग के साथ बढ़ती है: चाल दोगुनी हो तो ऊर्जा चार गुनी।
गिरती गेंद ऊँचाई की ऊर्जा को गति-ऊर्जा में बदलती है, और कुल ऊर्जा वही रहती है।
ऊर्जा कभी नष्ट नहीं होती: उछलने या फिसलने में इसका कुछ भाग ऊष्मा और ध्वनि बन जाता है।
शक्ति बताती है कि कार्य कितनी तेज़ी से होता है: 1 W का अर्थ है हर सेकंड 1 J कार्य।

रोज़मर्रा की बोली में, दस मिनट तक एक भारी सूटकेस उठाए रखना कठिन काम है। भौतिकी में यह बिल्कुल कार्य नहीं है, क्योंकि कार्य का एक सटीक अर्थ है: जब कोई बल किसी चीज़ को उसी दिशा में विस्थापित करता है जिस दिशा में वह धकेलता या खींचता है, तभी बल कार्य करता है। कार्य = बल × दूरी, जिसे जूल (J) में मापा जाता है। 10 N के बल से 3 m तक ट्रॉली धकेलें, तो आपने 30 J कार्य किया।

किसी चीज़ पर कार्य करने से उसे ऊर्जा मिलती है, यानी कार्य करने की क्षमता। यहाँ दो प्रकार महत्वपूर्ण हैं। ऊपर उठाई गई वस्तु में ऊँचाई की ऊर्जा होती है (गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा): भार × ऊँचाई। 20 N वज़न का आटे का थैला 1.5 m ऊँची शेल्फ़ तक उठाएँ, तो वह 30 J संचित कर लेता है। गतिमान वस्तु में गति-ऊर्जा (गतिज ऊर्जा) होती है, $\frac{1}{2} m v^{2}$ । चूँकि चाल वर्ग में आती है, दोगुनी चाल वाली कार चार गुनी ऊर्जा रखती है।

ऊर्जा कभी बनती या नष्ट नहीं होती; वह केवल रूप बदलती है। गेंद को गिरने दें: वह ऊँचाई की ऊर्जा खोती है और ठीक उतनी ही गति-ऊर्जा प्राप्त करती है। ज़मीन छूते ही गति-ऊर्जा क्षण भर के लिए गेंद और फ़र्श को दबा देती है, और उसका कुछ भाग ऊष्मा व ध्वनि बन जाता है, इसलिए गेंद कभी अपनी मूल ऊँचाई तक वापस नहीं उछलती।

शक्ति बताती है कि कार्य कितनी तेज़ी से होता है, वाट में: एक वाट का अर्थ है प्रति सेकंड एक जूल। दो लोग एक ही डिब्बा एक ही सीढ़ी से ऊपर ले जाते हैं, तो दोनों का कार्य समान है; जो तेज़ चलता है, वह अधिक शक्ति उत्पन्न करता है।

स्वयं जाँचें: आप एक समतल कमरे में डिब्बे को स्थिर चाल से ले जाते हैं। आपके ऊपर की ओर लगाए गए बल का डिब्बे पर कितना कार्य होता है? (कोई नहीं: डिब्बा बगल में चलता है, जो आपके बल के लंबवत है।)

एनिमेशन में, गेंद के गिरने पर नीली "ऊँचाई" पट्टी घटती है और सुनहरी "गति" पट्टी बढ़ती है, जबकि हरा कुल योग समान रहता है।

मध्यम

मुख्य विचार

$W = F d cos θ$ : केवल गति की दिशा में बल का घटक कार्य करता है; 90° पर कोई कार्य नहीं होता।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय: $W_{net} = Δ K E$ , अतः धनात्मक कुल कार्य वस्तु की चाल बढ़ाता है।
यदि केवल गुरुत्व या स्प्रिंग कार्य करें तो $K E + PE$ स्थिर रहता है; गिरी वस्तु $v = 2 g h$ पर पहुँचती है, पथ चाहे जो हो।
घर्षण गति के विपरीत लगता है, इसलिए फिसलती वस्तु पर इसका कार्य ऋणात्मक होता है और वह धीमी होती है।
शक्ति $P = W / t = F v$ , इकाई वाट ( $1 W = 1 J/s$ )।

कार्य: विस्थापन के अनुदिश बल

भौतिकी में बल तभी कार्य करता है जब बल के लगने के दौरान वस्तु गति करती है, और केवल बल का वह भाग गिना जाता है जो गति की दिशा में है। किसी स्थिर बल $F$ और उसके साथ $θ$ कोण पर सीधे विस्थापन $d$ के लिए,
$W = F d cos θ$

कार्य को जूल में मापा जाता है, $1 J = 1 N \cdot m$ , लगभग उतना कार्य जितना 100 g के सेब को एक मीटर ऊपर उठाने में लगता है। यह एक अदिश राशि है: इसकी कोई दिशा नहीं होती, पर चिह्न होता है।

बल और विस्थापन के बीच का कोण इस चिह्न को तय करता है:

गति की दिशा में, $θ = 0^{\circ}$ और $W = F d$ : बल वस्तु में ऊर्जा डालता है।
समकोण पर, $θ = 9 0^{\circ}$ और बल कोई कार्य नहीं करता: जैसे फिसलते डिब्बे के नीचे का फ़र्श, या वह डोरी जो पत्थर को वृत्त में घुमाती है।
गति के विपरीत, $θ = 18 0^{\circ}$ और $W = - F d$ : घर्षण और ब्रेक गति से ऊर्जा छीन लेते हैं।

कई बल एक साथ लगें तो हर बल अपना कार्य करता है, और कुल कार्य उनका योग होता है।

गतिज ऊर्जा और कार्य-ऊर्जा प्रमेय

द्रव्यमान $m$ की गाड़ी को स्थिर कुल बल $F$ से दूरी $d$ तक धकेलें। $a = F / m$ लेकर, गति-समीकरण $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a d$ को $m /2$ से गुणा करने पर $F d = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ मिलता है। कार्य जो बदलता है वह गतिज ऊर्जा है,
$K E = \frac{1}{2} m v^{2}$
और सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसके परिवर्तन के बराबर होता है। यही कार्य-ऊर्जा प्रमेय है:
$W_{net} = Δ K E$

धनात्मक कुल कार्य वस्तु की चाल बढ़ाता है और ऋणात्मक कुल कार्य उसे धीमा करता है। गतिज ऊर्जा कभी ऋणात्मक नहीं होती, गति की दिशा पर निर्भर नहीं करती, और चाल के वर्ग के साथ बढ़ती है।

स्थितिज ऊर्जा और ऊर्जा संरक्षण

द्रव्यमान $m$ की गेंद ऊँचाई $h_{1}$ से $h_{2}$ तक गिरती है, तो उसका भार $m g$ किसी भी पथ पर $m g (h_{1} - h_{2})$ कार्य करता है, क्योंकि हर छोटे चरण का केवल ऊर्ध्वाधर घटक भार की दिशा में होता है। ऐसा कार्य जो केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है, संचित किया जा सकता है और वापस लौटाया जा सकता है, इसलिए हम इसे स्थितिज ऊर्जा के रूप में दर्ज करते हैं:
$PE = m g h$

ऊँचाई $h$ आपके चुने हुए एक स्तर से मापी जाती है, क्योंकि केवल $PE$ में परिवर्तन मायने रखते हैं। गुरुत्व का कार्य नीचे गिरते समय धनात्मक होता है, जहाँ $PE$ घटती है, और ऊपर जाते समय ऋणात्मक।

यदि केवल गुरुत्व या आदर्श स्प्रिंग कार्य करे, तो $PE$ से निकला हर जूल $K E$ में प्रकट होता है, और यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है:
$K E + PE = constant (no friction or drag)$

अतः ऊँचाई $h$ से गिरी वस्तु $v = 2 g h$ पर भूमि छूती है, क्योंकि $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ । द्रव्यमान निरस्त हो जाता है, और घर्षणरहित ढलान पर पथ का आकार भी मायने नहीं रखता: पटरी गति के लंबवत बल लगाती है और कोई कार्य नहीं करती।

हल किया हुआ उदाहरण: एनिमेशन की गिरती गेंद

2 kg की गेंद $h_{0} = 18 m$ से विराम से छोड़ी जाती है। भूमि को $h = 0$ मानें, तो आरंभ में इसकी सारी ऊर्जा स्थितिज होती है:
$E = m g h_{0} = 2 \cdot 9.81 \cdot 18 \approx 353 J$

आधी ऊँचाई पर, $h = 9 m$ पर, आधी ऊर्जा रूप बदल चुकी है: $PE \approx 177 J$ और $K E \approx 177 J$ , इसलिए $v = 2 K E / m \approx 13.3 m/s$ । ज़मीन छूने से ठीक पहले $PE = 0$ और $K E = E$ :
$v = 2 g h_{0} = 2 \cdot 9.81 \cdot 18 \approx 18.8 m/s$

ये $PE$ , $K E$ और $v$ के रीडिंग के मान हैं, और अंतिम फ़्रेम, यानी ज़मीन छूने से ठीक पहले का क्षण, $K E = E$ और $PE = 0$ दिखाता है। पूरे गिरने के दौरान नीली $PE$ पट्टी और सुनहरी $K E$ पट्टी का योग हरी $E$ पट्टी के बराबर रहता है, जबकि वेग-तीर $v$ लंबा होता जाता है।

गिरने में लगने वाला समय $2 h_{0} / g \approx 1.92 s$ है, फिर भी आधी ऊँचाई 1.35 s पर ही पार होती है। समय के आधे, यानी 0.96 s पर, गेंद केवल 4.5 m गिरती है, और केवल एक-चौथाई ऊर्जा, यानी 88 J, रूप बदलती है। ऊर्जा का बँटवारा समय से नहीं, ऊँचाई से होता है, और गेंद हर सेकंड अधिक ऊँचाई तय करती है: एनिमेशन में 0.4 s के अंतराल वाले उसके हल्के प्रतिबिंब तेज़ी से दूर होते जाते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण: भरी स्लेज खींचना

एक बच्चा समतल बर्फ़ पर विराम से 25 kg की स्लेज को 20 m तक खींचता है। रस्सी ज़मीन से $3 0^{\circ}$ पर है और उसका तनाव 60 N है, तथा रनर पर घर्षण 30 N है। अंत में स्लेज कितनी तेज़ जा रही होगी?

रस्सी $60 \cdot 20 \cdot cos 3 0^{\circ} \approx 1039 J$ कार्य करती है, और घर्षण, जो पीछे की ओर है, $30 \cdot 20 \cdot cos 18 0^{\circ} = - 600 J$ कार्य करता है। भार और बर्फ़ का अभिलंब बल ऊर्ध्वाधर हैं, गति के लंबवत, इसलिए वे कार्य नहीं करते। कुल कार्य 439 J है, और विराम से कार्य-ऊर्जा प्रमेय देता है
$v = \frac{2 W _{net}}{m} = \frac{2 \cdot 439}{25} \approx 5.9 m/s$

न्यूटन के नियम भी यही परिणाम देते हैं: खिंचाव का आगे की ओर का घटक $60 cos 3 0^{\circ} \approx 52 N$ है, जो घर्षण (30 N) घटाने के बाद 22 N का कुल बल छोड़ता है, अतः $a \approx 0.88 m/ s^{2}$ और $v^{2} = 2 \cdot 0.88 \cdot 20 \approx 35 m^{2} / s^{2}$ । ऊर्जा-विधि को न त्वरण चाहिए था, न समय।

शक्ति और ऊर्जा ग्राफ़ पढ़ना

शक्ति वह दर है जिससे कार्य होता है, इकाई वाट, $1 W = 1 J/s$ :
$P = \frac{W}{t}$
चाल $v$ से गति की दिशा में लगे बल के लिए, छोटे समय $Δ t$ में कार्य $F v Δ t$ होता है, अतः $P = F v$ । खिंचाव के अंत में रस्सी $52 \cdot 5.93 \approx 308 W$ देती है, पर स्लेज विराम से चली थी, इसलिए 6.7 s में औसतन केवल 154 W।

बल-विस्थापन ग्राफ़ पर रेखा के नीचे का क्षेत्र कार्य है: स्थिर बल के लिए आयत $F d$ , और उस स्प्रिंग के लिए त्रिभुज $\frac{1}{2} k x^{2}$ जिसका बल खिंचाव के साथ बढ़ता है, $F = k x$ । ऊर्जा-समय ग्राफ़ पर ढलान शक्ति है। गिरती गेंद पर गुरुत्व की शक्ति $m gv$ शून्य से बढ़ती है और ज़मीन छूते समय $2 \cdot 9.81 \cdot 18.8 \approx 369 W$ हो जाती है, इसलिए सुनहरी पट्टी पहले धीरे भरती है और फिर तेज़ी से।

आम गलतियाँ

कार्य और प्रयास एक नहीं हैं। 20 kg का सूटकेस दस मिनट तक स्थिर पकड़े रहने से उस पर कोई कार्य नहीं होता; आपकी मांसपेशियाँ केवल तनाव बनाए रखने के लिए रासायनिक ऊर्जा खर्च करती हैं।
गतिज ऊर्जा चाल के समानुपाती नहीं होती। 1200 kg की कार की 15 m/s से 30 m/s तक चाल होने पर उसकी $K E$ 135 kJ से 540 kJ हो जाती है, इसलिए समान ब्रेकिंग बल से उसे चार गुनी ब्रेकिंग दूरी चाहिए।
कार्य ऋणात्मक हो सकता है। घर्षण ने स्लेज पर $- 600 J$ कार्य किया: यह ऊर्जा गति से निकलकर रनर और बर्फ़ में ऊष्मा बनकर प्रकट हुई।
$PE$ का कोई एक मान तब तक अर्थहीन है जब तक उसका शून्य स्तर न बताया जाए। गेंद की ज़मीन के सापेक्ष 353 J है और अपने प्रारंभिक बिंदु के सापेक्ष 0 J, फिर भी गिरने से दोनों तरह 353 J मुक्त होते हैं।
जब केवल गुरुत्व कार्य करता है, तो भारी वस्तुएँ तेज़ी से नहीं गिरतीं। 18 m से गिराई गई 4 kg की गेंद में 706 J होता है, यानी दोगुना, फिर भी वह 18.8 m/s पर ही पहुँचती है: द्रव्यमान निरस्त हो जाता है।

इसका उपयोग कहाँ होता है

रोलर-कोस्टर के डिज़ाइनर $K E + PE$ से शुरू करते हैं: सबसे निचले बिंदु से 40 m ऊपर विराम से छोड़ी गई गाड़ी अधिकतम $2 \cdot 9.81 \cdot 40 \approx 28 m/s$ तक पहुँच सकती है, लगभग 100 km/h। जलविद्युत संयंत्र पानी की स्थितिज ऊर्जा को बिजली में बदलते हैं: हर टन पानी जो 100 m गिरता है, उससे लगभग 0.98 MJ मिलता है।

आगे के पाठ भी इसी लेखे पर आधारित हैं: सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर (कोई मशीन उससे अधिक कार्य नहीं लौटाती जितना वह लेती है), प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति (खिंचे स्प्रिंग में ऊर्जा), सरल आवर्त गति, बरनौली का सिद्धांत, विद्युत क्षेत्र और विभव, और ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन, जो ऊष्मा को भी इस लेखे में जोड़ता है।

उन्नत

मुख्य विचार

$W = \int F \cdot d r$ ; संरक्षी बल के लिए कार्य पथ-स्वतंत्र है (किसी भी लूप पर शून्य), और $W = - Δ U$ ।
$F = - d U / d x$ ( $F = - \nabla U$ ): बल $U$ की ढलान के नीचे की ओर इंगित करता है; न्यूनतम स्थायी और अधिकतम अस्थायी साम्य हैं।
$d (\frac{1}{2} m v^{2}) / d t = F \cdot v$ से $W_{net} = Δ K E$ ; घर्षणरहित बाधाएँ कार्य नहीं करतीं।
घर्षण के साथ $Δ K E + Δ U = W_{nc}$ ; लुप्त ऊर्जा परमाणुओं का अव्यवस्थित कंपन है, यानी ऊष्मा।
$m g h$ , $U = - GM m / r$ की पृथ्वी की सतह के निकट की सीमा है, और $\frac{1}{2} m v^{2}$ , $(γ - 1) m c^{2}$ की धीमी-गति सीमा है।

कार्य को रेखा-समाकल के रूप में

नियम $W = F d cos θ$ के लिए स्थिर बल और सीधे पथ की आवश्यकता है। वास्तविक बल स्थान के साथ बदलते हैं और वास्तविक पथ मुड़े होते हैं, इसलिए हमें कार्य की ऐसी परिभाषा चाहिए जो दोनों को संभाल सके। इस पाठ की बाकी हर बात इसी पर बनी है।

चित्र 1 में एक कण वक्र पथ पर $A$ से $B$ तक चलता है, और उस पर लगने वाला बल बिंदु-बिंदु पर बदलता है। विचार यह है कि पथ को इतने छोटे खंडों में बाँटा जाए कि हर खंड लगभग सीधा हो और बल उस पर लगभग न बदले। ऐसे एक खंड पर सरल नियम फिर से लागू होता है।

बढ़े हुए खंड $d r$ को देखें: यह लंबाई $d r$ का एक तीर है जो पथ के अनुदिश है। उसके आरंभ पर बल $F$ है, जो खंड से $θ$ कोण पर है। वक्र पर छोटे बिंदु बताते हैं कि अन्य खंड कहाँ शुरू होते हैं; हर एक का अपना बल और अपना कोण होता है।

केवल $F$ का खंड के अनुदिश भाग कण को उसी दिशा में धकेलता है; समकोण वाला भाग उसे केवल बगल में धकेलता है। खंड के अनुदिश भाग को खोजने के लिए $F$ के सिरे से खंड की रेखा पर एक बिंदुरेखित लंब डालें: वह जो हरी पट्टी काटता है, उसकी लंबाई $F cos θ$ है। इस एक खंड में किया गया कार्य यह घटक गुणा खंड की लंबाई है:
$d W = F cos θ d r = F \cdot d r$

बिंदु गुणनफल इसलिए आता है क्योंकि वह ठीक यही है: एक सदिश का दूसरे की दिशा में घटक, गुणा दूसरे की लंबाई। $A$ से $B$ तक का कुल कार्य सभी खंडों का योग है। खंड जितने छोटे होते जाते हैं, योग रेखा-समाकल बन जाता है
$W = \int_{A}^{B} F \cdot d r = \int_{A}^{B} (F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z)$
दूसरा रूप बिंदु गुणनफल को घटकों में लिखता है, और समाकल आमतौर पर इसी तरह हल किया जाता है।

इससे दो परिणाम तुरंत निकलते हैं। सीधे पथ पर स्थिर बल के लिए $F$ समाकल के बाहर आ जाता है और खंड मिलकर विस्थापन देते हैं, जिससे फिर $W = F d cos θ$ मिलता है। और $d W$ को उस खंड में लगे समय $d t$ से भाग देने पर, जहाँ $d r / d t = v$ , हर क्षण बल द्वारा दी जाने वाली शक्ति मिलती है, $P = F \cdot v$ ।

कार्य कोई ऐसी चीज़ नहीं है जो वस्तु के पास हो। यह एक प्रक्रिया का वर्णन है: बल लगाने वाले से उस वस्तु तक, जिस पर वह लगता है, ऊर्जा की एक मात्रा का हस्तांतरण।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय की व्युत्पत्ति

रेखा-समाकल तब उपयोगी होता है जब उसे गति से जोड़ा जाए। न्यूटन का दूसरा नियम यह कड़ी जोड़ता है, और परिणाम, कार्य-ऊर्जा प्रमेय, कहता है कि किसी कण पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा $K E = \frac{1}{2} m v^{2}$ के परिवर्तन के बराबर है।

पहले देखें कि $K E$ समय के साथ कैसे बदलती है। चाल का वर्ग वेग का उसी के साथ बिंदु गुणनफल है, $v^{2} = v \cdot v$ , और गुणन नियम से उसकी परिवर्तन-दर $2 v \cdot d v / d t$ है। अतः नियत द्रव्यमान $m$ के कण के लिए
$\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = m v \cdot \frac{d v}{d t} = F_{net} \cdot v$
अंतिम चरण न्यूटन का दूसरा नियम है, $m d v / d t = F_{net}$ : $K E$ की परिवर्तन-दर कुल बल की शक्ति है।

अब आरंभ से अंत तक समय पर समाकलन करें। समय $d t$ में कण खंड $d r = v d t$ तय करता है, इसलिए $F_{net} \cdot v$ का समय-समाकल पथ के अनुदिश रेखा-समाकल बन जाता है:
$Δ K E = \int F_{net} \cdot d r = W_{net}$

इस व्युत्पत्ति में बल या पथ के बारे में कुछ भी नहीं माना गया। इसलिए प्रमेय कण पर लगने वाले कुल बल के लिए मान्य है, चाहे उस बल की स्थितिज ऊर्जा हो या न हो।

ऐसे बल जो कार्य नहीं करते

कुछ बल वस्तु पर लगातार लगते रहते हैं, फिर भी उसकी चाल कभी नहीं बदलते। उन्हें पहचानना ऊर्जा के सवालों को सरल बनाता है, क्योंकि वे संतुलन से बाहर हो जाते हैं।

चित्र 2 में एक गेंद फ़र्श से ऊँचाई $h$ से शुरू होकर, किसी भी आकार की घर्षणरहित ढलान से विराम से फिसलती है। उस पर दो बल लगते हैं: उसका भार $m g$ , सीधा नीचे, और पटरी का अभिलंब धक्का $N$ । चिकनी पटरी केवल अपनी सतह के लंबवत धक्का दे सकती है। गेंद उस सतह के अनुदिश चलती है, इसलिए उसका वेग $v$ पटरी के अनुदिश है। छोटा वर्ग $N$ और $v$ के बीच के समकोण को दर्शाता है: हर क्षण $N \cdot v = 0$ है, इसलिए $N$ की शक्ति शून्य है, और पटरी चाहे जैसे भी मुड़े, यह धक्का कोई कार्य नहीं करता।

सामान्य रूप से भी यही सच है। किसी भी बल को वेग के अनुदिश घटक और उसके आर-पार घटक में बाँटें। केवल $v$ के अनुदिश भाग चाल बदलता है; आर-पार भाग केवल पथ मोड़ता है। घर्षणरहित पटरी का धक्का, लोलक की डोरी का तनाव और गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल, ये सभी $v$ के लंबवत हैं, इसलिए इनमें से कोई कार्य नहीं करता। चित्र 2 में केवल भार गतिज ऊर्जा बदलने के लिए बचता है।

भार का कार्य ज्ञात करने के लिए, किसी भी क्षण पर गेंद की फ़र्श से ऊँचाई $y$ मानें: आरंभ में $y = h$ और अंत में $y = 0$ । भार सीधा नीचे की ओर है, इसलिए केवल $v$ का ऊर्ध्वाधर भाग, यानी $d y / d t$ , गिना जाता है:
$m g \cdot v = - m g \frac{d y}{d t} = - \frac{d}{d t} (m g y)$
ऋण चिह्न इसलिए है क्योंकि भार नीचे की ओर है जबकि $y$ ऊपर की ओर मापा जाता है। पूरी ढलान पर भार $m g h$ कार्य करता है, जो केवल गिरने की ऊँचाई पर निर्भर है, ढलान के आकार पर नहीं। प्रमेय तब देता है $\frac{1}{2} m v^{2} = m g h$ : कोई भी आकार की घर्षणरहित ढलान तल पर वही चाल देती है, $v = 2 g h$ ।

शक्ति के समीकरण को उल्टी दिशा में पढ़ें: $K E$ के बढ़ने की दर ठीक उतनी है जितनी दर से $m g y$ घटता है। जब कोई अन्य बल कार्य न कर रहा हो, तो योग $\frac{1}{2} m v^{2} + m g y$ किसी भी पथ पर स्थिर रहता है। यहाँ ऊर्जा संरक्षण कोई अतिरिक्त मान्यता नहीं है: यह न्यूटन के दूसरे नियम और बल के रूप से ही निकलता है।

ऊर्जा ग्राफ़ क्या दिखाता है

ऐनिमेशन का उन्नत दृश्य इस पाठ की गिरती गेंद की इन ऊर्जाओं को समय के विरुद्ध दर्शाता है, ताकि लेखा-जोखा घटित होते हुए देखा जा सके।

द्रव्यमान $m = 2 kg$ की गेंद, ऊँचाई $h_{0} = 18 m$ से विराम से छोड़ी जाती है और मुक्त रूप से गिरती है। समय $t$ बाद उसकी ऊँचाई $h = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ है और चाल $v = g t$ । इन्हें $K E = \frac{1}{2} m v^{2}$ और $PE = m g h$ में रखने पर मिलता है
$K E (t) = \frac{1}{2} m g^{2} t^{2}, PE (t) = m g h_{0} - \frac{1}{2} m g^{2} t^{2}$
गुणांक $\frac{1}{2} m g^{2} \approx 96.2 J/ s^{2}$ है। सुनहरा $K E$ परवलय ऊपर खुलता है और नीला $PE$ परवलय उसका दर्पण-प्रतिबिंब है। योग में $t^{2}$ पद निरस्त हो जाते हैं, इसलिए हरा कुल मान $m g h_{0} \approx 353 J$ पर सपाट रहता है: $d E / d t = 0$ ।

$K E$ वक्र की ढलान वह शक्ति है जो गुरुत्व देता है, $d K E / d t = m g^{2} t = m gv$ , जो भार के लिए $F \cdot v$ है। छोड़ते समय यह शून्य है, गिरने के समय के आधे पर लगभग 184 W, और ज़मीन छूते समय $2 \cdot 9.81 \cdot 18.8 \approx 369 W$ । गिरना $2 h_{0} / g \approx 1.92 s$ तक चलता है, इसलिए औसत शक्ति $353/1.92 \approx 184 W$ है: अंतिम मान का आधा, क्योंकि $v$ समय के अनुपात में बढ़ता है। $PE (t)$ की ढलान ठीक उल्टी है, और ग्राफ़ इसी तरह $W = - Δ PE$ दिखाता है।

समय के बजाय ऊँचाई के विरुद्ध दर्शाने पर दोनों ऊर्जाएँ सीधी रेखाएँ होतीं: $PE = m g h$ और $K E = m g (h_{0} - h)$ । समय के अनुसार वक्र केवल यह दिखाते हैं कि गेंद तेज़ होते हुए हर सेकंड अधिक ऊँचाई तय करती है।

संरक्षी बल और स्थितिज ऊर्जा

भार का कार्य केवल इस पर निर्भर था कि गेंद कहाँ से शुरू हुई और कहाँ पहुँची। इस गुण वाले बल विशेष हैं: उनका कार्य संचित और पुनः प्राप्त किया जा सकता है, और वही संचय स्थितिज ऊर्जा है।

कोई बल संरक्षी है यदि बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक उसका कार्य उन दोनों के बीच हर पथ पर एक जैसा हो। समतुल्य रूप से, किसी भी बंद लूप पर उसका कार्य शून्य है: एक पथ से आगे और दूसरे से वापस जाएँ, तो दोनों योगदान एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। गुरुत्व, आदर्श स्प्रिंग और स्थिर वैद्युत बल संरक्षी हैं। चूँकि उनका कार्य केवल अंत-बिंदुओं पर निर्भर करता है, उसे स्थिति के एक फलन में आई कमी के रूप में लिखा जा सकता है, यानी स्थितिज ऊर्जा $U$ :
$W_{A \to B} = - (U_{B} - U_{A})$
$U$ के केवल अंतर प्रकट होते हैं, इसलिए $U$ एक योगात्मक स्थिरांक तक परिभाषित है: शून्य कहाँ हो, यह चुनना हमारे हाथ में है।

गुरुत्व के लिए एक तर्क भी है, जिसमें कोई गतिकी नहीं है, कि भार गुणा ऊँचाई ही वह सही राशि क्यों है जिसका हिसाब रखा जाए। आदर्श मशीनों (उत्तोलक, घिरनी) की कल्पना करें जो एक भार को नीचे उतारकर दूसरे को ऊपर उठाती हैं, और किसी मशीन को उत्क्रमणीय कहें यदि उसे उल्टा चलाने पर ठीक वही पूर्ववत हो जाए जो उसने किया था। मान लें कोई मशीन, चालक भार के उतने ही उतरने पर, किसी उत्क्रमणीय मशीन से भार को अधिक ऊँचाई तक उठा सकती है। पहली को आगे और उत्क्रमणीय को उल्टा चलाएँ: चालक भार अपनी जगह पर लौट आता है, पर भार बिना किसी कीमत के ऊँचा पहुँच जाता है। बार-बार दोहराने पर यह शाश्वत गति की मशीन होगी, जो कभी देखी नहीं गई। अतः कोई मशीन उत्क्रमणीय मशीन को नहीं पछाड़ सकती, और सभी उत्क्रमणीय मशीनें ठीक एक जैसा काम करती हैं। संतुलित उत्तोलक भार और ऊँचाई का ठीक अनुपात में व्यापार करता है, इसलिए ये सभी मशीनें जिसे अपरिवर्तित रखती हैं, वह है भार गुणा ऊँचाई का कुल योग।

स्थितिज ऊर्जा ग्राफ़ पढ़ना

स्थिति के विरुद्ध $U$ का ग्राफ़ एक नज़र में दिखा देता है कि कोई वस्तु कहाँ जा सकती है, कहाँ लौटती है और उस पर किस दिशा में धक्का लगता है, बिना किसी गति-समीकरण को हल किए।

चित्र 3 एक रेखा पर चलती वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $U (x)$ दर्शाता है, जहाँ $x$ उसकी स्थिति है। क्षैतिज रेखा उसकी कुल ऊर्जा $E = K E + U$ है, जो तब तक स्थिर रहती है जब तक केवल संरक्षी बल कार्य करें। चूँकि $K E = E - U$ , हर $x$ पर गतिज ऊर्जा स्तर $E$ और उसके नीचे के वक्र के बीच सुनहरे अंतराल की ऊँचाई है।

गतिज ऊर्जा ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए वस्तु केवल वहीं हो सकती है जहाँ वक्र $E$ पर या उससे नीचे है। अंतराल प्रत्यावर्तन बिंदुओं $x_{1}$ और $x_{2}$ पर बंद होता है, जहाँ $U = E$ है: वहाँ वस्तु क्षण भर के लिए रुकती है और लौट पड़ती है, इसलिए वह दोनों के बीच कटोरे में रखे कंचे की तरह आगे-पीछे चलती है। दाईं ओर की पहाड़ी $E$ से ऊपर उठती है, इसलिए इस ऊर्जा वाली वस्तु उसे पार नहीं कर सकती।

यही ग्राफ़ बल भी देता है। जब वस्तु $d x$ चलती है, तो बल $F d x$ कार्य करता है, और संरक्षी बल के लिए यह कार्य स्थितिज ऊर्जा में आई कमी $- d U$ के बराबर है। $F d x = - d U$ रखने पर मिलता है
$F = - \frac{d U}{d x}$
और त्रि-आयामी स्थिति में $F = - \nabla U$ । ऋण चिह्न के कारण, $U (x)$ के किसी भी ग्राफ़ पर बल नीचे की ओर, यानी ढलान उतरने की दिशा में, इंगित करता है। चित्र 3 में, गड्ढे के तल और $x_{2}$ के बीच ढलान पर खींचा गया तीर $F$ तल की ओर लौटता है; जहाँ वक्र अधिक तीखा है, बल बड़ा है। जहाँ ढलान शून्य है, वहाँ बल शून्य है, यानी $F = 0$ चिह्नित दो बिंदुओं पर।

ये दोनों बिंदु साम्य बिंदु हैं, पर अलग प्रकार के। गड्ढे का तल $U$ का न्यूनतम है: किसी भी दिशा में छोटा विस्थापन उसे वापस लाने वाला बल पाता है, इसलिए साम्य स्थायी है। पहाड़ी का शिखर अधिकतम है: छोटा विस्थापन ऐसा बल पाता है जो वस्तु को और दूर धकेलता है, इसलिए साम्य अस्थायी है। जाँच के लिए, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ हुक के नियम $F = - k x$ को वापस देती है।

घर्षण, ऊष्मा और पूर्ण ऊर्जा संतुलन

हर बल संरक्षी नहीं होता। घर्षण रोज़मर्रा का अपवाद है, और उसे जोड़ने पर ऊर्जा का लेखा-जोखा पूरा होता है।

गतिज घर्षण का कार्य पथ की लंबाई के साथ बढ़ता है, और वस्तु जिस भी दिशा में फिसले, वह ऋणात्मक होता है, क्योंकि घर्षण सदा फिसलने का विरोध करता है। इसलिए आने-जाने की यात्रा के बाद ऋणात्मक कार्य बचता है, शून्य नहीं, अतः उसे कोई स्थितिज ऊर्जा नहीं बता सकती। कुल कार्य को संरक्षी बलों द्वारा किए गए भाग, जो $- Δ U$ है, और शेष $W_{nc}$ (असंरक्षी) में बाँटें। कार्य-ऊर्जा प्रमेय, $Δ K E = - Δ U + W_{nc}$ , तब बनता है
$Δ K E + Δ U = W_{nc}$
$W_{nc}$ में घर्षण और अवरोध शामिल हैं, जो इसे ऋणात्मक बनाते हैं, और साथ ही धनात्मक योगदान भी, जैसे इंजन या मांसपेशियों का धक्का।

संख्याओं में यह प्रभाव इस प्रकार दिखता है। ऐनिमेशन की 18 m ऊँचाई से छोड़ा गया 2 kg का ब्लॉक, क्षैतिज से कोण $α$ वाले सीधे ढलान पर फिसलता है, जिसका गतिज घर्षण गुणांक $μ = 0.2$ है। अभिलंब बल $m g cos α$ है, अतः घर्षण $μ m g cos α$ है, और वह पूरे ढलान पर लगता है, जिसकी लंबाई $h_{0} / sin α$ है। इन दोनों का गुणनफल घर्षण का कार्य है:
$W_{nc} = - μ m g cos α \cdot \frac{h _{0}}{s i n α} = - \frac{μ m g h _{0}}{t a n α}$
$3 0^{\circ}$ ढलान पर यह $- 122 J$ है, जिससे $353 - 122 = 231 J$ गतिज ऊर्जा बचती है और तल पर चाल 15.2 m/s। $6 0^{\circ}$ ढलान पर यह केवल $- 41 J$ है, और ब्लॉक 17.7 m/s पर पहुँचता है। ऊँचाई का अंतर वही, पथ अलग, कार्य अलग: यही असंरक्षी बल की पहचान है।

ऊर्जा नष्ट नहीं होती। रगड़ से दोनों सतहों के परमाणु कंपन करने लगते हैं, और वह अव्यवस्थित गति ऊष्मीय ऊर्जा है। परमाणु स्तर पर बल संरक्षी होते हैं; घर्षण केवल व्यवस्थित गति को अव्यवस्थित गति में बदलता है। समतल फ़र्श पर दूरी $d$ तक फिसलता, अभिलंब बल $N$ से दबा हुआ ब्लॉक $μ N d$ ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न करता है। इसे गिनने पर ऊर्जा ठीक-ठीक संरक्षित रहती है: यह यांत्रिकी से देखा गया ऊष्मागतिकी का पहला नियम है। ऊष्मा अपने-आप ब्लॉक की गति में वापस नहीं आती, यह एक-तरफ़ा रास्ता है, जिसे ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम वर्णित करता है।

हल किया हुआ प्रश्न: स्प्रिंग पर गिरती गेंद

यह प्रश्न गुरुत्व और एक स्प्रिंग को एक ऊर्जा-संतुलन में रखता है, और दिखाता है कि छोटी दूरी में गिरती वस्तु को रोकने के लिए कितना बड़ा बल चाहिए।

चित्र 4 यह सेटअप दर्शाता है। ऐनिमेशन की द्रव्यमान $m = 2 kg$ वाली गेंद को, स्प्रिंग नियतांक $k = 5000 N/m$ वाले हल्के स्प्रिंग के ऊपर $h_{0} = 18 m$ ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। स्प्रिंग ऊर्ध्वाधर खड़ा है, उसका शीर्ष ज़मीन के स्तर पर है। गेंद रुकने पर स्प्रिंग कितना, $x$ , संपीड़ित होता है? चित्र के दाईं ओर, गेंद स्प्रिंग तक पहुँचने के लिए $h_{0}$ गिरती है और फिर उसे दबाते हुए $x$ और गिरती है, इसलिए कुल $h_{0} + x$ गिरती है। चित्र पैमाने पर नहीं है: असली $x$ , $h_{0}$ से लगभग पचास गुना छोटा है।

गेंद आरंभ और अंत दोनों में विराम पर है, इसलिए $Δ K E = 0$ । बिना हानि के, पूरे गिरने में भार द्वारा किया गया सारा कार्य अंत में स्प्रिंग में संचित होना चाहिए: मूल 353 J, साथ ही गेंद के ज़मीन के स्तर से नीचे धँसने पर मुक्त होने वाला अतिरिक्त $m gx$ । अतः
$m g (h_{0} + x) = \frac{1}{2} k x^{2}$
संख्याएँ रखने पर यह $x$ में एक द्विघात समीकरण बनता है, और उसका धनात्मक मूल उत्तर है:
$2500 x^{2} - 19.62 x - 353.16 = 0, x \approx 0.380 m$

अतिरिक्त पद उत्तर को केवल 1 % बदलता है: उसके बिना, $x = 2 \cdot 353/5000 \approx 0.376 m$ । गेंद पर अधिकतम बल $k x \approx 1900 N$ है, जो उसके भार का लगभग 97 गुना है। क्रैश मैट और क्रम्पल ज़ोन इसके उलटे काम करते हैं: वे ऊर्जा को लंबी दूरी पर सोखते हैं, और दूरी दोगुनी का अर्थ है औसत बल आधा।

यही प्रश्न स्थितिज ऊर्जा ग्राफ़ से भी पढ़ा जा सकता है। गेंद के स्प्रिंग को छूने के दौरान किसी भी क्षण स्थितिज ऊर्जा को संपीड़न $x$ के फलन के रूप में लिखें (ऊपर का उत्तर $x$ का सबसे बड़ा मान है), और स्प्रिंग के शीर्ष पर $U = 0$ रखें:
$U (x) = \frac{1}{2} k x^{2} - m gx$
स्प्रिंग वाला पद स्प्रिंग के दबने के साथ बढ़ता है; गुरुत्व वाला पद गेंद के डूबने के साथ घटता है। $U$ का न्यूनतम, जहाँ $d U / d x = k x - m g = 0$ है, $x = m g / k \approx 3.9 mm$ पर है: वहाँ स्प्रिंग का बल भार को संतुलित करता है, और गेंद स्प्रिंग पर टिक सकती है। गिरावट का सबसे निचला बिंदु यह न्यूनतम नहीं, बल्कि प्रत्यावर्तन बिंदु है जहाँ $U = E$ , जैसा चित्र 3 में है। बिना हानि के गेंद उछल जाती, 18.8 m/s पर स्प्रिंग छोड़ती और 18 m तक वापस चढ़ जाती।

वैधता की सीमाएँ

इस पाठ के दोनों ऊर्जा-सूत्र सन्निकटन हैं, और प्रमेय स्वयं कणों के बारे में है। यहाँ बताया गया है कि हर एक कहाँ काम करना बंद कर देता है।

$m g h$ गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = - GM m / r$ का पृथ्वी-सतह के निकट का रूप है, जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ उसके केंद्र से दूरी। सटीक रूप से, त्रिज्या $R \approx 6371 km$ वाली सतह से द्रव्यमान को ऊँचाई $h$ तक उठाने में $m g h R / (R + h)$ लगता है। अतः $m g h$ लगभग $h / R$ के भिन्नात्मक अंश से अधिक होता है: 18 m गिरने के लिए $3 \times 1 0^{- 6}$ , पर अंतरिक्ष स्टेशन की 400 km ऊँचाई तक उठाने पर 6 %। $h$ को असीमित बढ़ाने पर पृथ्वी से पूर्णतः बच निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा $m g R$ मिलती है, लगभग प्रति किलोग्राम 62.5 MJ, जो 11.2 km/s की पलायन चाल से मेल खाती है।

$\frac{1}{2} m v^{2}$ सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा $(γ - 1) m c^{2}$ का कम-चाल रूप है, जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है और $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ । पहला सुधार ऊर्जा में $\frac{3}{4} v^{2} / c^{2}$ का भिन्नात्मक अंश जोड़ता है: 18.8 m/s पर गेंद के लिए लगभग $3 \times 1 0^{- 15}$ , जबकि प्रकाश-चाल के आधे पर शास्त्रीय सूत्र 19 % कम पड़ता है। ऊर्जा का द्रव्यमान भी होता है: गेंद की 353 J, $353/ c^{2} \approx 4 \times 1 0^{- 15} kg$ के बराबर है।

यह प्रमेय कण के बारे में है। जो वस्तु घूमती है, विकृत होती है या अपने ऊर्जा-भंडार रखती है, उसके लिए द्रव्यमान-केंद्र के पथ पर लिया गया समाकल $\int F_{net} \cdot d r_{cm}$ केवल द्रव्यमान-केंद्र की गति की गतिज ऊर्जा का परिवर्तन देता है। जब आप कूदते हैं, तो फ़र्श आपको ऊपर धकेलता है, पर जहाँ वह धकेलता है वह बिंदु नहीं चलता, इसलिए फ़र्श कोई कार्य नहीं करता: आपकी गतिज ऊर्जा आपकी मांसपेशियों की रासायनिक ऊर्जा से आती है। 18 m से बिना फिसले लुढ़कती ठोस गेंद अपनी गतिज ऊर्जा का सात में से दो भाग घूर्णन में लगाती है और 18.8 m/s के बजाय 15.9 m/s पर पहुँचती है। परमाणु स्तर पर क्वांटम यांत्रिकी आ जाती है: ऊर्जा अब भी संरक्षित है, पर बद्ध ऊर्जाएँ विविक्त स्तरों में आती हैं, और कण $U > E$ वाले क्षेत्र में भी मिल सकता है, जिसे शास्त्रीय यांत्रिकी वर्जित करती है।

यह कहाँ ले जाता है

एमी नोएथर ने 1918 में दिखाया कि ऊर्जा संरक्षण एक सममिति से निकलता है: भौतिकी के नियम आज और कल एक जैसे हैं। यांत्रिकी के भीतर वही लेखा-जोखा अन्य पाठों में चलता है: संवेग और संघट्ट यह छाँटते हैं कि टक्कर में गतिज ऊर्जा बचती है या नहीं; घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण घूर्णन की ऊर्जा जोड़ते हैं; और गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ कक्षाओं और पलायन चालों के लिए $U = - GM m / r$ का उपयोग करते हैं। प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति तथा सरल आवर्त गति $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ पर आधारित हैं।

यांत्रिकी से परे, विद्युत क्षेत्र और विभव $U$ को प्रति इकाई आवेश ऊर्जा में बदलते हैं, बरनौली का सिद्धांत ऊर्जा-संतुलन को बहते द्रव पर लागू करता है, और ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन ऊष्मा को इस लेखे का पूर्ण सदस्य बनाते हैं। विशिष्ट आपेक्षिकता $\frac{1}{2} m v^{2}$ की जगह $(γ - 1) m c^{2}$ रखती है, विखंडन, संलयन और E = mc² नाभिकों में संचित ऊर्जा का मूल्यांकन करते हैं, और श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन दिखाते हैं कि जहाँ शास्त्रीय गति को ऋणात्मक गतिज ऊर्जा चाहिए, वहाँ क्या होता है।

मुख्य सूत्र

स्थिर बल द्वारा कार्य

W = F d cos θ

केवल बल का वह घटक जो विस्थापन की दिशा में है, $F cos θ$ , कार्य करता है; लंबवत घटक न वस्तु को तेज़ करता है न धीमा। कार्य $9 0^{\circ}$ से कम कोण पर धनात्मक, $9 0^{\circ}$ पर शून्य और उससे अधिक पर ऋणात्मक होता है। एक जूल, एक न्यूटन बल द्वारा एक मीटर पर किया गया कार्य है।

चिह्न
$W$	बल द्वारा किया गया कार्य	$J$
$F$	बल का परिमाण	$N$
$d$	विस्थापन का परिमाण	$m$
$θ$	बल और विस्थापन के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: स्थिर बल और सीधे विस्थापन के लिए। बदलते बल या वक्र पथ के लिए छोटे-छोटे भाग जोड़िए: $W = \int F \cdot d r$ ।

उदाहरण: ज़मीन से $3 0^{\circ}$ पर 20 m तक 60 N का खिंचाव: $W = 60 \cdot 20 \cdot cos 3 0^{\circ} \approx 1039 J$ ।

गतिज ऊर्जा

K E = \frac{1}{2} m v^{2}

गति के कारण वस्तु में निहित ऊर्जा: उसे विराम से चाल $v$ तक लाने के लिए आवश्यक कार्य, और रोके जाते समय वह जो कार्य कर सकती है। यह चाल के वर्ग के साथ बढ़ती है, इसलिए चाल दोगुनी करने पर यह चार गुनी हो जाती है, और गति की दिशा पर निर्भर नहीं करती।

चिह्न
$K E$	गतिज ऊर्जा	$J$
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$v$	चाल	$m/s$

कब लागू होता है: प्रकाश की चाल से बहुत कम चालों के लिए; सामान्यतः $K E = (γ - 1) m c^{2}$ । घूमती वस्तु में घूर्णी गतिज ऊर्जा भी होती है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की 2 kg गेंद 18.8 m/s पर: $K E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 18. 8^{2} \approx 353 J$ ।

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा

PE = m g h

स्थिर चाल से द्रव्यमान $m$ को ऊँचाई $h$ तक उठाने में उसके भार के विरुद्ध कार्य $m g h$ लगता है, और द्रव्यमान नीचे आने पर गुरुत्व वह कार्य लौटा देता है। ऊँचाई आपके चुने स्तर से मापी जाती है; केवल $PE$ में परिवर्तन मायने रखते हैं, और वे केवल ऊँचाई के परिवर्तन पर निर्भर करते हैं, पथ पर नहीं।

चिह्न
$PE$	गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा	$J$
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$g$	गुरुत्वीय क्षेत्र की प्रबलता	$m/ s^{2}$
$h$	चुने गए शून्य स्तर से ऊँचाई	$m$

कब लागू होता है: पृथ्वी की सतह के निकट, 6371 km की त्रिज्या से बहुत कम ऊँचाइयों के लिए, जहाँ $g$ नियत है। पृथ्वी से दूर $U = - GM m / r$ प्रयोग करें।

उदाहरण: ऐनिमेशन की गेंद आरंभ में: $PE = 2 \cdot 9.81 \cdot 18 \approx 353 J$ ।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय

W_{net} = Δ K E

किसी वस्तु पर सभी बलों का कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर होता है। यह न्यूटन के दूसरे नियम से निकलता है: $F = ma$ और $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a d$ से $F d = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ मिलता है। धनात्मक कुल कार्य वस्तु को तेज़ करता है, ऋणात्मक कुल कार्य धीमा करता है।

चिह्न
$W_{net}$	सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य	$J$
$Δ K E$	गतिज ऊर्जा का परिवर्तन, अंतिम घटा प्रारंभिक	$J$

कब लागू होता है: कण के लिए हमेशा मान्य। घूमने या विकृत होने वाली वस्तु के लिए, कुल बल का कार्य केवल उसके द्रव्यमान-केंद्र की गतिज ऊर्जा देता है।

उदाहरण: स्लेज: $1039 - 600 = 439 J$ कुल कार्य 25 kg को विराम से $2 \cdot 439/25 \approx 5.9 m/s$ तक ले जाता है।

यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण

K E + PE = constant (no friction or drag)

जब केवल गुरुत्व या आदर्श स्प्रिंग कार्य करते हैं, तो अर्जित गतिज ऊर्जा का हर जूल स्थितिज ऊर्जा से आता है, इसलिए योग स्थिर रहता है। गति के लंबवत बल, जैसे घर्षणरहित पटरी का बल, कार्य नहीं करते और इसे नहीं बदलते। इससे पथ या समय जाने बिना ऊँचाइयों से चालें निकल आती हैं।

चिह्न
$K E$	गतिज ऊर्जा	$J$
$PE$	स्थितिज ऊर्जा	$J$

कब लागू होता है: केवल तब जब कोई घर्षण, अवरोध, मोटर या मांसपेशी कार्य न करे; अन्यथा $Δ K E + Δ U = W_{nc}$ प्रयोग करें।

उदाहरण: ऐनिमेशन की गेंद पूरे समय $K E + PE \approx 353 J$ रखती है, इसलिए वह $2 \cdot 9.81 \cdot 18 \approx 18.8 m/s$ से ज़मीन छूती है।

शक्ति

P = \frac{W}{t}

शक्ति वह दर है जिससे कार्य होता है या ऊर्जा स्थानांतरित होती है, इकाई वाट ( $1 W = 1 J/s$ )। वही कार्य आधे समय में करने पर दोगुनी शक्ति लगती है। गति की दिशा में चाल $v$ से लगने वाले बल के लिए, $P = F v$ ।

चिह्न
$P$	औसत शक्ति	$W$
$W$	किया गया कार्य	$J$
$t$	लिया गया समय	$s$

कब लागू होता है: समय $t$ पर औसत शक्ति देता है; किसी क्षण की शक्ति $d W / d t = F \cdot v$ है।

उदाहरण: गुरुत्व 1.92 s में गिरती गेंद पर 353 J कार्य करता है: औसत $P = 353/1.92 \approx 184 W$ ।

असंरक्षी बलों के साथ ऊर्जा संतुलन

Δ K E + Δ U = W_{nc}

बलों को संरक्षी बलों में, जिनका कार्य $- Δ U$ है, और शेष में बाँटें। तब कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है कि यांत्रिक ऊर्जा ठीक घर्षण, अवरोध, मोटर या मांसपेशियों के कार्य $W_{nc}$ जितनी बदलती है। घर्षण $W_{nc}$ को ऋणात्मक बनाता है, और वह हटाई गई यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा बन जाती है।

चिह्न
$Δ K E$	गतिज ऊर्जा का परिवर्तन	$J$
$Δ U$	स्थितिज ऊर्जा का परिवर्तन	$J$
$W_{nc}$	असंरक्षी बलों का कार्य	$J$

कब लागू होता है: कण के लिए हमेशा मान्य। $Δ U$ के विपरीत, $W_{nc}$ अपनाए गए पथ पर निर्भर करता है।

उदाहरण: $3 0^{\circ}$ ढलान पर $μ = 0.2$ के साथ 18 m ऊँचाई से फिसलता 2 kg का ब्लॉक: $W_{nc} \approx - 122 J$ , अतः वह 353 J के बजाय 231 J गतिज ऊर्जा के साथ पहुँचता है।

स्थितिज ऊर्जा से बल

F = - \frac{d U}{d x}

संरक्षी बल, स्थितिज ऊर्जा की ढलान का ऋणात्मक मान है: वह $U (x)$ वक्र पर वस्तु को ढलान के नीचे की ओर, कम स्थितिज ऊर्जा की ओर धकेलता है। जहाँ ढलान शून्य है वहाँ बल शून्य है, और वस्तु साम्य में रुक सकती है: $U$ के न्यूनतम पर स्थायी, अधिकतम पर अस्थायी।

चिह्न
$F$	$x$ के अनुदिश बल का घटक	$N$
$U$	स्थितिज ऊर्जा	$J$
$x$	स्थिति	$m$

कब लागू होता है: केवल संरक्षी बलों के लिए, जिनकी स्थितिज ऊर्जा होती है। त्रि-आयामी स्थिति में $F = - \nabla U$ ।

उदाहरण: स्प्रिंग $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ से $F = - k x$ मिलता है: $k = 5000 N/m$ के साथ 0.38 m संपीड़न लगभग 1900 N से वापस धकेलता है।

शब्दावली

ऊर्जा: कार्य करने की क्षमता, जिसे जूल में मापा जाता है। इसके कई रूप होते हैं (गतिज, स्थितिज, ऊष्मीय, रासायनिक, विद्युत), जो एक-दूसरे में बदल सकते हैं जबकि कुल मान स्थिर रहता है।
कार्य: बल द्वारा विस्थापन की दिशा में लगने पर वस्तु को दी गई या उससे ली गई ऊर्जा; स्थिर बल के लिए $W = F d cos θ$ । जब बल गति में सहायक हो तो धनात्मक, विरोध करे तो ऋणात्मक, और बल गति के लंबवत हो या वस्तु न चले तो शून्य होता है।
गतिज ऊर्जा: गति की ऊर्जा, $K E = \frac{1}{2} m v^{2}$ । यह कभी ऋणात्मक नहीं होती और गति की दिशा पर निर्भर नहीं करती; चाल दोगुनी होने पर यह चार गुनी हो जाती है।
स्थितिज ऊर्जा: वस्तुओं की स्थिति या विन्यास में संचित ऊर्जा; संरक्षी बल के लिए $W = - Δ U$ से परिभाषित। पृथ्वी के निकट $PE = m g h$ , और खिंचा स्प्रिंग $\frac{1}{2} k x^{2}$ संचित करता है। केवल अंतर मायने रखते हैं, इसलिए शून्य स्तर मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।
यांत्रिक ऊर्जा: गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग, $K E + PE$ । केवल संरक्षी बल कार्य करें तो यह स्थिर रहती है; घर्षण और अवरोध इसे घटाते हैं।
ऊर्जा संरक्षण: किसी विलगित निकाय की कुल ऊर्जा कभी नहीं बदलती: ऊर्जा केवल रूप बदलती है या एक वस्तु से दूसरी में जाती है। ऊष्मा गिनने पर यह पूर्णतः लागू होता है, घर्षण सहित।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय: किसी वस्तु पर सभी बलों का कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर होता है, $W_{net} = Δ K E$ । यह न्यूटन के दूसरे नियम से निकलता है।
संरक्षी बल: वह बल जिसका दो बिंदुओं के बीच किया गया कार्य अपनाए गए पथ पर निर्भर नहीं करता, इसलिए किसी भी बंद लूप पर उसका कार्य शून्य है। गुरुत्व, आदर्श स्प्रिंग बल और स्थिर वैद्युत बल संरक्षी हैं; केवल ऐसे बलों की स्थितिज ऊर्जा होती है।
असंरक्षी बल: वह बल जिसका कार्य पथ पर निर्भर करता है, इसलिए उसे स्थितिज ऊर्जा से वर्णित नहीं किया जा सकता। घर्षण और अवरोध सामान्यतः ऋणात्मक कार्य करते हैं (स्थिर सतह पर फिसलती वस्तु पर गतिज घर्षण सदा ऐसा करता है) और यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मा में बदलते हैं, जबकि मोटर या मांसपेशियाँ धनात्मक कार्य कर सकती हैं।
ऊष्मीय ऊर्जा: परमाणुओं और अणुओं के अव्यवस्थित कंपन की ऊर्जा। घर्षण यांत्रिक ऊर्जा को इसमें बदलता है: समतल फ़र्श पर दूरी $d$ तक फिसलता ब्लॉक $μ N d$ उत्पन्न करता है, जो दोनों सतहों में बँट जाता है।
शक्ति: कार्य करने या ऊर्जा स्थानांतरित करने की दर, $P = W / t$ , इकाई वाट; गति की दिशा में बल के लिए $P = F v$ । एक ही भार को एक ही ऊँचाई तक उठाने में कार्य समान है, पर तेज़ वाला अधिक शक्ति लेता है।
स्थायी और अस्थायी साम्य: वह स्थिति जहाँ बल शून्य है, $d U / d x = 0$ । $U$ के न्यूनतम पर हल्का धक्का वस्तु को वापस लाने वाला बल पैदा करता है (स्थायी); अधिकतम पर वस्तु दूर भागती है (अस्थायी)।

राशियाँ
$W$	कार्य	$J$	बल द्वारा वस्तु को दी गई ऊर्जा, $1 J = 1 N \cdot m$ ; बल गति का विरोध करे तो ऋणात्मक। इसे शक्ति की इकाई वाट (प्रतीक W) से न मिलाएँ।
$F$	बल	$N$	$W = F d cos θ$ में बल का परिमाण; $F = - d U / d x$ में $x$ के अनुदिश उसका घटक, चिह्न सहित।
$d$	विस्थापन	$m$	बल लगने के दौरान, जिस बिंदु पर बल लगता है वह सीधी रेखा में जितनी दूरी चलता है।
$θ$	बल और विस्थापन के बीच का कोण	$rad$	यह कार्य का चिह्न तय करता है: $9 0^{\circ}$ से कम पर धनात्मक, $9 0^{\circ}$ पर शून्य, उससे अधिक पर ऋणात्मक। आमतौर पर अंशों में दिया जाता है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	वस्तु में कितना पदार्थ है और वह चाल के परिवर्तन का कितना विरोध करती है: ऐनिमेशन की गेंद के लिए 2 kg, स्लेज के लिए 25 kg।
$v$	चाल	$m/s$	वस्तु कितनी तेज़ चल रही है, यानी उसके वेग का परिमाण। $K E$ , $v^{2}$ के साथ बढ़ती है, अतः चाल दोगुनी होने पर वह चार गुनी होती है; गेंद ज़मीन छूने से ठीक पहले लगभग $18.8 m/s$ तक पहुँचती है।
$KE$	गतिज ऊर्जा	$J$	गति की ऊर्जा, $\frac{1}{2} m v^{2}$ : ऐनिमेशन में छोड़ते समय 0 J और ज़मीन छूने से ठीक पहले लगभग 353 J। $PE$ के साथ मिलकर यह यांत्रिक ऊर्जा $E = K E + PE$ बनाती है, जो गिरने के दौरान 353 J स्थिर रहती है।
$PE$	गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा	$J$	ऊँचाई में संचित ऊर्जा, चुने गए शून्य स्तर से $m g h$ : ऐनिमेशन के आरंभ में लगभग 353 J और ज़मीन पर 0 J।
$h$	ऊँचाई	$m$	आपके चुने संदर्भ स्तर से ऊँचाई; केवल ऊँचाई के परिवर्तन ऊर्जा को प्रभावित करते हैं।
$g$	मुक्त पतन त्वरण	$m/ s^{2}$	पृथ्वी की सतह के निकट लगभग $9.81 m/ s^{2}$ , या $9.81 N/kg$ : द्रव्यमान $m$ का भार $m g$ है, और उसे 1 m उठाने में $m g$ जूल लगते हैं।
$W_{net}$	कुल कार्य	$J$	किसी वस्तु पर सभी बलों के कार्यों का योग, जो $Δ K E$ के बराबर है: स्लेज के लिए 439 J, जिससे वह 5.9 m/s से चलती है।
$U$	स्थितिज ऊर्जा	$J$	संरक्षी बल की ऊर्जा का सामान्य प्रतीक, जो एक स्थिरांक तक $W = - Δ U$ से परिभाषित है: पृथ्वी के निकट $m g h$ , स्प्रिंग के लिए $\frac{1}{2} k x^{2}$ , ग्रह से दूर $- GM m / r$ ।
$W_{nc}$	असंरक्षी बलों का कार्य	$J$	घर्षण, अवरोध, मोटर या मांसपेशियों का कार्य, जो यांत्रिक ऊर्जा के परिवर्तन $Δ K E + Δ U$ के बराबर है; घर्षण ऊर्जा को ऊष्मा में बदलता है तो ऋणात्मक।
$P$	शक्ति	$W$	प्रति सेकंड किया गया कार्य या स्थानांतरित ऊर्जा, $1 W = 1 J/s$ ; एक किलोवाट-घंटा 3.6 MJ है।
$t$	समय	$s$	वह समय जिसमें कार्य किया जाता है या ऊर्जा स्थानांतरित होती है: स्लेज के खिंचाव के लिए 6.7 s, गेंद के गिरने के लिए 1.92 s।
$x$	स्थिति	$m$	रेखा के अनुदिश निर्देशांक, जैसे $F = - d U / d x$ में; स्प्रिंग के लिए, स्वाभाविक लंबाई से खिंचाव, $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ के साथ।

क्विज़

शुरुआती एक 2 kg की गेंद 3 m/s से चल रही है। उसकी गतिज ऊर्जा कितनी है?
1. 9 J
2. 18 J
3. 6 J
4. 3 J
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. 9 J
KE = ½mv² = ½ × 2 × 3² = 9 J। ½ भूल जाने पर 18 J मिलेगा; चाल का वर्ग न करने पर 3 J।
शुरुआती आप एक डिब्बे को स्थिर ऊँचाई पर और स्थिर चाल से कमरे में ले जाते हैं। आपकी बाँहों का ऊपर की ओर लगने वाला बल डिब्बे पर कितना कार्य करता है?
1. शून्य
2. डिब्बे का भार गुणा तय की गई दूरी
3. ऋणात्मक, क्योंकि गुरुत्व नीचे खींचता है
4. धनात्मक, क्योंकि उठाना थकाऊ है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. शून्य
आपकी बाँहें ऊपर धकेलती हैं जबकि डिब्बा क्षैतिज चलता है। बल और विस्थापन लंबवत हैं (cos 90° = 0), इसलिए भौतिकी के अर्थ में कोई कार्य नहीं होता, भले ही आपकी मांसपेशियाँ थक जाएँ।
शुरुआती एक 1 kg की किताब 2 m ऊँची शेल्फ़ पर रखी जाती है। इसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा कितनी बढ़ती है? (g = 9.81 m/s²)
1. 19.62 J
2. 2 J
3. 9.81 J
4. 4.905 J
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उत्तर: A. 19.62 J
PE = mgh = 1 × 9.81 × 2 = 19.62 J।
मध्यम एक गेंद 5 m की ऊँचाई से गिराई जाती है। वायु-प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ करें तो ज़मीन छूने से ठीक पहले उसकी चाल कितनी होगी?
1. लगभग 9.9 m/s
2. लगभग 49 m/s
3. लगभग 98 m/s
4. गेंद के द्रव्यमान पर निर्भर करती है
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उत्तर: A. लगभग 9.9 m/s
mgh = ½mv², अतः v = √(2gh) = √(2 × 9.81 × 5) ≈ 9.9 m/s। द्रव्यमान निरस्त हो जाता है।
मध्यम एक डिब्बा खुरदरे फ़र्श पर फिसलकर धीमा होता है। घर्षण डिब्बे पर कौन-सा कार्य करता है?
1. ऋणात्मक कार्य
2. धनात्मक कार्य
3. शून्य कार्य, क्योंकि फ़र्श नहीं चलता
4. धनात्मक या ऋणात्मक, डिब्बा किस दिशा में फिसलता है इस पर निर्भर
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उत्तर: A. ऋणात्मक कार्य
घर्षण विस्थापन के विपरीत है (θ = 180°, cos θ = −1), इसलिए उसका कार्य ऋणात्मक है। यही कारण है कि डिब्बा गतिज ऊर्जा खोता है। गतिज घर्षण हमेशा फिसलने का विरोध करता है, इसलिए डिब्बे पर उसका कार्य सदा ऋणात्मक होता है।
मध्यम एक मोटर 20 s में 50 kg के भार को 10 m, स्थिर चाल से ऊपर उठाती है। उसकी निर्गत शक्ति कितनी है? (g = 9.81 m/s²)
1. 245.25 W
2. 4905 W
3. 25 W
4. 98100 W
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उत्तर: A. 245.25 W
कार्य = mgh = 50 × 9.81 × 10 = 4905 J। शक्ति = कार्य ÷ समय = 4905 ÷ 20 = 245.25 W। 4905 जूल में मापी गई ऊर्जा है, शक्ति नहीं।
उन्नत एक 2 kg का ब्लॉक 5 m ऊँचे खुरदरे ढलान के शीर्ष से विराम से चलता है और तल पर 8 m/s की चाल से पहुँचता है। घर्षण ने उस पर कितना कार्य किया? (g = 9.81 m/s²)
1. +34.1 J
2. −98.1 J
3. −34.1 J
4. −64 J
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उत्तर: C. −34.1 J
ΔKE + ΔU = W_nc: ΔKE = ½ × 2 × 8² = 64 J और ΔU = −2 × 9.81 × 5 = −98.1 J, अतः W_nc = 64 − 98.1 = −34.1 J। घर्षण ने 34.1 J यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा में बदल दी; उसका कार्य ऋणात्मक है क्योंकि वह गति का विरोध करता है।
उन्नत एक कण की स्थितिज ऊर्जा U(x) = 3x² है (U जूल में, x मीटर में)। x = 2 m पर उस पर कौन-सा बल लगता है?
1. −12 N
2. 12 N
3. −6 N
4. 0 N
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उत्तर: A. −12 N
F = −dU/dx = −6x, अतः x = 2 m पर बल −12 N है। वह x = 0 की ओर इंगित करता है, जो U का न्यूनतम है।

$A$	पथ का आरंभ।
$B$	पथ का अंत।
$d r$	पथ के साथ एक छोटा खंड, जिसकी लंबाई $d r$ है।	$m$
$F$	खंड के आरंभ पर कण पर बल।	$N$
$θ$	$F$ और खंड के बीच का कोण।	$rad$
$F cos θ$	$F$ का खंड के अनुदिश घटक, जो एकमात्र कार्य करने वाला भाग है।	$N$

$h$	फ़र्श से शुरुआती ऊँचाई: गेंद कितनी नीचे गिरती है।	$m$
$m g$	गेंद का भार, सीधा नीचे की ओर।	$N$
$N$	पटरी का गेंद पर बल, पटरी के लंबवत।	$N$
$v$	गेंद का वेग, पटरी के अनुदिश।	$m/s$

$x$	रेखा पर वस्तु की स्थिति।	$m$
$U$	स्थिति $x$ पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा।	$J$
$E$	कुल ऊर्जा $K E + U$ : स्थिर, समतल रेखा के रूप में।	$J$
$K E$	गतिज ऊर्जा: स्तर $E$ और वक्र $U$ के बीच का अंतराल।	$J$
$F$	चिह्नित बिंदु पर वस्तु पर बल $- d U / d x$ : यह ढलान के नीचे की ओर इंगित करता है और जहाँ ढलान तीखी हो वहाँ बड़ा होता है। $F = 0$ चिह्नित दो बिंदुओं पर शून्य।	$N$
$x_{1}$	बायाँ प्रत्यावर्तन बिंदु, जहाँ $U = E$ ।	$m$
$x_{2}$	दायाँ प्रत्यावर्तन बिंदु, जहाँ $U = E$ ।	$m$

$m$	गेंद का द्रव्यमान।	$kg$
$k$	स्प्रिंग नियतांक।	$N/m$
$h_{0}$	स्प्रिंग के शीर्ष से ऊपर मुक्त होने का बिंदु।	$m$
$x$	गिरावट के निम्नतम बिंदु पर स्प्रिंग का संपीड़न।	$m$
$h_{0} + x$	मुक्त होने से निम्नतम बिंदु तक कुल गिरी दूरी।	$m$