विद्युत चुंबकीय तरंगें

शुरुआती

रेडियो तरंग कहाँ से आती है? कल्पना कीजिए एक धातु की छड़ जो प्रत्यावर्ती वोल्टेज से जुड़ी है। इलेक्ट्रॉन छड़ में ऊपर, फिर नीचे, फिर ऊपर धकेले जाते हैं, इसलिए उसके दोनों सिरे बारी-बारी से धनात्मक और ऋणात्मक होते हैं। छड़ के चारों ओर विद्युत क्षेत्र है, और हर बार आवेश बदलने पर क्षेत्र पलट जाता है। पुराना क्षेत्र लुप्त नहीं होता: वह छड़ से दूर चला जाता है, जबकि उसके पीछे नया बनता है। विद्युत क्षेत्र की एक लहर बाहर फैलती है। और जब इलेक्ट्रॉन छड़ पर दौड़ते हैं, तो वे धारा बनाते हैं, जो चुंबकीय क्षेत्र पैदा करती है, इसलिए चुंबकीय लहर भी बाहर जाती है। दोनों मिलकर विद्युत चुंबकीय तरंग बनाते हैं।

एनीमेशन में बाईं ओर कंपन करता आवेश एंटीना की भूमिका निभाता है। नीली तरंग और तीर विद्युत क्षेत्र दिखाते हैं, लाल तरंग चुंबकीय क्षेत्र। वे एक साथ ऊपर-नीचे होते हैं, एक-दूसरे और संचरण दिशा के लंबवत।

दूर, विद्युत क्षेत्र कार के एंटीना में इलेक्ट्रॉनों को हिलाता है, और रेडियो उस छोटे कंपन को वापस आवाज़ में बदल देता है। संगीत ले जाने के लिए स्टेशन अपनी तरंग की आयाम (AM) या आवृत्ति (FM) बदलता है। इन तरंगों को हवा की ज़रूरत नहीं: वे निर्वात से गुज़रती हैं, सभी प्रकाश की चाल से, लगभग 3 लाख किमी प्रति सेकंड।

रेडियो एक बड़े परिवार का सदस्य है। लंबी से छोटी तरंगों तक: रेडियो, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी, X-किरणें और गामा किरणें। रंग-पट्टी यह स्पेक्ट्रम दिखाती है; हमारी आँखें केवल इसका संकरा इंद्रधनुषी भाग देखती हैं।

स्वयं जाँचें: रेडियो तरंगें और X-किरणें, इनमें से कौन अंतरिक्ष में तेज़ चलती है? (कोई नहीं: दोनों प्रकाश की चाल से चलती हैं।)

मध्यम

क्या लहरा रहा है

विद्युत चुंबकीय (EM) तरंग विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ (वोल्ट प्रति मीटर V/m में) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ (टेस्ला T में) का एक चलता हुआ पैटर्न है। कोई पदार्थ नहीं चलता: हर बिंदु पर क्षेत्र बढ़ते, घटते और उलटते हैं, और पैटर्न आगे बढ़ता है। एंटीना के इलेक्ट्रॉनों या आपकी आँख के इलेक्ट्रॉनों पर $\vec{E}$ का धक्का ही वह तरीका है जिससे तरंग पकड़ी जाती है।

दो नियम इसे चलाए रखते हैं। जैसा विद्युत चुंबकीय प्रेरण में दिखा, बदलता चुंबकीय क्षेत्र विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है; मैक्सवेल ने देखा कि बदलता विद्युत क्षेत्र भी उसी तरह चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। हर बदलाव थोड़ी दूर पर दूसरा क्षेत्र बनाता है, इसलिए विक्षोभ तार या माध्यम के बिना स्वयं आगे बढ़ता है।

त्वरित आवेश इसे शुरू करते हैं: वे इलेक्ट्रॉन जिन्हें प्रत्यावर्ती वोल्टेज एंटीना में ऊपर-नीचे चलाता है, या एनीमेशन के बाईं ओर का सुनहरा आवेश। स्थिर आवेश या अचर धारा केवल स्थिर क्षेत्र बनाते हैं।

अनुप्रस्थ, समान कला में, एक ही चाल

निर्वात में हर विद्युत चुंबकीय तरंग के तीन गुण होते हैं, जो एनीमेशन में दिखते हैं:

• यह अनुप्रस्थ है: $\vec{E}$ (नीला, ऊर्ध्वाधर) और $\vec{B}$ (लाल, क्षैतिज, परिप्रेक्ष्य में खींचा गया) एक-दूसरे और संचरण दिशा, यानी तीर $c$, के लंबवत हैं।
• दोनों क्षेत्र समान कला में दोलन करते हैं: वे एक ही स्थानों और एक ही क्षणों पर शिखर पर पहुँचते और शून्य पार करते हैं।
• आवृत्ति चाहे कोई भी हो, यह $c=3.00\times 10^{8}m/s$ की चाल से चलती है।

तरंग $\vec{E}\times \vec{B}$ की दिशा में चलती है: दाएँ हाथ की उँगलियाँ $\vec{E}$ से $\vec{B}$ की ओर मोड़ें, तो अँगूठा दिशा बताता है। यदि $\vec{E}$ पन्ने पर ऊपर और $\vec{B}$ पन्ने से बाहर हो, तो तरंग दाईं ओर चलती है; आधे चक्र बाद दोनों उलट जाते हैं, फिर भी तरंग दाईं ओर ही चलती है। $\vec{E}$ की दिशा ध्रुवण है, जो एनीमेशन में ऊर्ध्वाधर है।

चाल दोनों नियमों से निकलती है: $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$, जहाँ ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$ और ${\mu }_0=1.26\times 10^{-6}H/m$ क्रमशः आवेशों के बीच विद्युत बल और धाराओं के बीच चुंबकीय बल के स्थिरांक हैं, जो बैटरी और कुंडलियों से मापे गए थे। इनसे $3.00\times 10^{8}m/s$ मिलता है, यानी प्रकाश की चाल; 1860 के दशक में इसी ने मैक्सवेल को विश्वास दिलाया कि प्रकाश एक विद्युत चुंबकीय तरंग है।

मुख्य समीकरण

इस स्तर पर तीन संबंध अधिकांश काम करते हैं:

• $c=f\lambda$
• $E=cB$
• $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

पहला तरंगों की मूल बातें पाठ का नियम है: एक आवर्तकाल में तरंग एक तरंगदैर्घ्य आगे बढ़ती है। चूँकि $c$ स्थिर है, आवृत्ति दोगुनी हो तो तरंगदैर्घ्य आधा हो जाता है: स्पेक्ट्रम पट्टी पर दाईं ओर $\lambda$ घटता है और $f$ बढ़ता है।

दूसरा संबंध हर बिंदु और हर क्षण पर लागू होता है। टेस्ला में $B$ छोटा दिखता है, 3.0 V/m के साथ केवल 10 nT, लेकिन अलग-अलग इकाइयों की राशियों की तुलना नहीं की जा सकती। ऊर्जा की तुलना हो सकती है: घनत्व $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ और $B^2/(2{\mu }_0)$ बिल्कुल बराबर हैं, इसलिए हर क्षेत्र आधी ऊर्जा ले जाता है।

तीसरा संबंध तीव्रता $I$ देता है, यानी प्रति वर्ग मीटर औसत शक्ति (W/m²), जो आयाम $E_0$ से निकलती है; $\frac{1}{2}$ एक चक्र में ${\sin }^2$ का औसत है। $E_0$ दोगुना करें तो शक्ति चार गुनी हो जाती है।

हल उदाहरण: एनीमेशन का हरा प्रकाश

एनीमेशन हरे प्रकाश को $\lambda =550\mathrm{nm}$ से दर्शाता है, यानी रूलर द्वारा चिह्नित शिखर-से-शिखर दूरी। मीटर में, $550\mathrm{nm}=5.50\times 10^{-7}\mathrm{m}$, इसलिए आवृत्ति और आवर्तकाल हैं
$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3.00\times 10^8}{5.50\times 10^{-7}}\approx 5.45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
$T=\frac{1}{f}\approx 1.83\times 10^{-15}\mathrm{s}$

यही पैनल में छपी आवृत्ति है। असली चक्र दो फ़ेमटोसेकंड से कम का होता है, जबकि बनाया गया चक्र 2 सेकंड का है, इसलिए चित्र प्रकाश से लगभग $10^{15}$ गुना धीमा चलता है।

क्षेत्र का आयाम $E_0=3.0V/m$ है, इसलिए चुंबकीय आयाम और तीव्रता हैं
$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{3.0}{3.00\times 10^8}=1.0\times 10^{-8}\mathrm{T}=10\mathrm{nT}$
$I=\frac{1}{2}\cdot 3.00\times 10^8\cdot 8.85\times 10^{-12}\cdot 3.0^2\approx 1.2\times 10^{-2}W/{\mathrm{m}}^2$

P पर पाठ्यांक $+3.0$ और $-3.0V/m$ के बीच, तथा चुंबकीय $+10$ और $-10\mathrm{nT}$ के बीच झूलते हैं: जब $E$ 1.5 V/m पढ़ता है, तब $B$ 5.0 nT पढ़ता है, और दोनों एक साथ शून्य पार करते हैं। तीर तरंगदैर्घ्य के हर आठवें भाग पर एक हैं (वास्तविक तरंग में 69 nm), और वे साथ-साथ बढ़ते-घटते हैं। उन्नत दृश्य का 12 mW/m² मंद प्रकाश दर्शाता है, जो सूरज की रोशनी से लगभग 80 000 गुना कमज़ोर है।

हल उदाहरण: FM रेडियो और माइक्रोवेव ओवन

एक FM स्टेशन 100 MHz पर प्रसारण करता है। पहले बदलें, $100\mathrm{MHz}=1.00\times 10^8\mathrm{Hz}$; फिर
$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3.00\times 10^8}{1.00\times 10^8}=3.0\mathrm{m}$

100 MHz को $10^7\mathrm{Hz}$ पढ़ने पर 30 m मिलेगा, जो दस गुना गलत है। इसलिए चौथाई-तरंग कार एंटीना 75 cm लंबा है। 100 kW ट्रांसमीटर से लगभग 30 km दूर आयाम लगभग 0.10 V/m है, तो $B_0=0.10/(3.00\times 10^8)\approx 3.3\times 10^{-10}\mathrm{T}$ और $I=\frac{1}{2}\cdot 3.00\times 10^8\cdot 8.85\times 10^{-12}\cdot 0.10^2\approx 1.3\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$। संकेत को पहुँचने में $3.0\times 10^4/(3.00\times 10^8)=1.0\times 10^{-4}\mathrm{s}$ लगे।

2.45 GHz पर चलने वाला माइक्रोवेव ओवन $\lambda =3.00\times 10^8/(2.45\times 10^9)\approx 0.122\mathrm{m}$ उपयोग करता है। धातु के डिब्बे के भीतर परावर्तित होकर तरंगें एक अप्रगामी पैटर्न बनाती हैं, जिसमें गर्म बिंदु आधे तरंगदैर्घ्य, यानी लगभग 6.1 cm, की दूरी पर होते हैं। घूमने वाली प्लेट के बिना, चॉकलेट की एक परत को थोड़ी देर गर्म करके नरम धब्बों के बीच की दूरी मापें: $2\cdot 0.061\cdot 2.45\times 10^9\approx 3.0\times 10^{8}m/s$, रसोई से मापी गई प्रकाश की चाल।

स्पेक्ट्रम पट्टी पढ़ना

नीचे की पट्टी परिवार को तरंगदैर्घ्य के अनुसार क्रमबद्ध करती है, बाईं ओर लंबी तरंगें; हर खंड के दोलन का अपना तरंगदैर्घ्य है, पर सभी एक ही चाल से चलते हैं। सीमाएँ परंपरागत हैं:

• रेडियो, लगभग 1 m से लंबी: AM तरंगें लगभग 300 m की, FM तरंगें 3 m की।
• माइक्रोवेव, 1 mm से 1 m: रडार, मोबाइल फ़ोन, Wi-Fi और ओवन।
• अवरक्त, 700 nm से 1 mm: ऊष्मा विकिरण, त्वचा के लिए लगभग 10 µm पर सबसे तीव्र।
• दृश्य प्रकाश, केवल 400 से 700 nm: वह संकरी इंद्रधनुषी पट्टी।
• पराबैंगनी, 400 nm से नीचे, फिर X-किरणें और गामा किरणें; सबसे छोटी परमाणु से भी बहुत छोटी।

दाईं ओर बढ़ने पर हर फ़ोटॉन की ऊर्जा $hf$ भी बढ़ती है ($h=6.63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ प्लांक स्थिरांक है)। अणु पर तरंग क्या असर करती है, यह ऊर्जा तय करती है, तीव्रता नहीं: लगभग 2 eV के दृश्य फ़ोटॉन दृष्टि को चलाते हैं, और केवल लगभग 10 eV से ऊपर वाले (लगभग 124 nm से छोटे तरंगदैर्घ्य की पराबैंगनी, X-किरणें, गामा किरणें) अधिकांश परमाणुओं का आयनन करते हैं।

आम गलतियाँ

• विद्युत चुंबकीय तरंगों को माध्यम की ज़रूरत नहीं: सूरज की रोशनी लगभग 15 करोड़ km के लगभग-निर्वात को 8.3 मिनट में पार करती है।
• उच्च आवृत्ति का अर्थ तेज़ी नहीं: रेडियो प्रतिध्वनि और लेज़र स्पंद, दोनों चंद्रमा से परावर्तित होकर लगभग 2.6 s में लौटते हैं।
• चुंबकीय क्षेत्र नगण्य नहीं: 3.0 V/m के पास का 10 nT समान ऊर्जा ले जाता है। फिर भी चाल $v$ वाले इलेक्ट्रॉन पर उसका बल विद्युत बल का अधिकतम $v/c$ होता है, इसलिए $\vec{E}$ ध्रुवण तय करता है।
• काँच चाल और तरंगदैर्घ्य बदलता है, आवृत्ति नहीं: $n=1.5$ पर हरा प्रकाश $2.0\times 10^{8}m/s$ तक धीमा होता है और 550 nm घटकर लगभग 367 nm हो जाता है, जबकि $f$ $5.45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ ही रहता है।
• “विकिरण” का अर्थ “रेडियोधर्मी” नहीं है, और शक्ति से तरंग आयनित नहीं होती: 1000 W ओवन के फ़ोटॉन केवल $10^{-5}\mathrm{eV}$ ले जाते हैं, जबकि एक X-किरण फ़ोटॉन दसियों keV।

इनका उपयोग कहाँ होता है

रेडियो, टेलीविज़न, मोबाइल फ़ोन, Wi-Fi, उपग्रह नेविगेशन (19 cm), रडार और माइक्रोवेव ओवन लंबे तरंगदैर्घ्य वाले सिरे का उपयोग करते हैं। रिमोट कंट्रोल, फ़ाइबर-ऑप्टिक लिंक (1.55 µm) और ऊष्मा कैमरे अवरक्त का उपयोग करते हैं; पराबैंगनी लैंप पानी को कीटाणुरहित करते हैं, X-किरणें हड्डियों और क्रिस्टलों की छवि लेती हैं, और गामा किरणें ट्यूमर का इलाज करती हैं।

यह पाठ बिजली और प्रकाशिकी को जोड़ता है। प्रकाश का ध्रुवण $\vec{E}$ की दिशा का अनुसरण करता है; व्यतिकरण और अध्यारोपण तथा विवर्तन और द्वि-झिरी कई तरंगों के क्षेत्रों को जोड़ते हैं; परावर्तन और अपवर्तन बताते हैं कि तरंग पदार्थ में कैसे जाती है। कृष्णिका विकिरण और क्वांटम तथा प्रकाश-विद्युत प्रभाव दिखाते हैं कि प्रकाश $hf$ ऊर्जा के पैकेटों में उत्सर्जित और अवशोषित होता है।

उन्नत

निर्वात में मैक्सवेल के समीकरण

प्रकाश, रेडियो तरंगें और X-किरणें सभी विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की तरंगें हैं। यह समझने के लिए कि ऐसी तरंगें क्यों मौजूद हैं और वे सभी एक निश्चित चाल से क्यों चलती हैं, ऐसे क्षेत्र में विद्युतचुंबकत्व के नियमों से शुरू करें जहाँ न आवेश हों न धाराएँ। वहाँ ये नियम उल्लेखनीय रूप से सममित रूप लेते हैं:
$\nabla \cdot \vec{E}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

यहाँ $\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र है, $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र, और ${\mu }_0$ तथा ${\epsilon }_0$ निर्वात के क्रमशः चुंबकीय और विद्युत स्थिरांक हैं। नियमों को एक-एक करके पढ़ें। पहले दो गॉस के नियम हैं: क्षेत्र में कोई आवेश न होने से बल-रेखाएँ क्षेत्र में न शुरू होती हैं न समाप्त। तीसरा फ़ैराडे का नियम है: समय के साथ बदलता चुंबकीय क्षेत्र उसके चारों ओर घूमता विद्युत क्षेत्र बनाता है। चौथा एम्पियर का नियम है, मैक्सवेल के जोड़ के साथ, यानी विस्थापन धारा ${\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$: समय के साथ बदलता विद्युत क्षेत्र उसके चारों ओर घूमता चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। अंतिम दो मिलकर हर क्षेत्र को, पास में आवेश न होने पर, दूसरे को बनाए रखने देते हैं, और तरंग को ठीक यही चाहिए।

मैक्सवेल का पद मनमाना नहीं है: आवेश संरक्षण इसकी माँग करता है। जहाँ आवेश हों, चौथा नियम $\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ हो जाता है, जहाँ $\vec{J}$ धारा घनत्व है। दोनों पक्षों का अपसरण लें। बायाँ पक्ष शून्य है, क्योंकि कर्ल का अपसरण सदैव शून्य होता है। दाएँ पक्ष पर गॉस का नियम $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$ ($\rho$ आवेश घनत्व है) दूसरे पद को ${\mu }_0\partial \rho /\partial t$ बना देता है। शेष रहता है $\nabla \cdot \vec{J}+\partial \rho /\partial t=0$: किसी छोटे आयतन से बाहर बहता आवेश ठीक उतना है जितना उसके भीतर का आवेश घटता है। मैक्सवेल के पद के बिना यही चरण $\nabla \cdot \vec{J}=0$ माँगता, जो आवेशित होते संधारित्र की प्लेट पर गलत है, जहाँ धारा आती है और कोई धारा बाहर नहीं जाती।

अग्र भाग प्रकाश की चाल से क्यों चलता है

संकेत-सूची

$\sigma$	गतिमान चादर का प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेश।	$C/{\mathrm{m}}^2$
$v_s$	चादर की चाल, ऊपरी दृश्य में पन्ने के नीचे की ओर।	$m/s$
$v$	अग्र भाग की चाल, यानी उस क्षेत्र की सीमा जहाँ क्षेत्र है।	$m/s$
$\vec{E}$	अग्र भाग के पीछे विद्युत क्षेत्र: ऊपरी दृश्य में पन्ने के ऊपर, निचले में पन्ने से बाहर।	$V/m$
$\vec{B}$	अग्र भाग के पीछे चुंबकीय क्षेत्र: ऊपरी दृश्य में पन्ने से बाहर, निचले में नीचे।	$\mathrm{T}$
$L$	लूप की ऊँचाई, अग्र भाग के अनुदिश मापी गई।	$\mathrm{m}$
$vdt$	थोड़े समय $dt$ में अग्र भाग कितना आगे बढ़ता है: छायांकित पट्टी की चौड़ाई।	$\mathrm{m}$

किसी भी समीकरण को हल करने से पहले एक चिंतन-प्रयोग दिखाता है कि एक क्षेत्र में परिवर्तन दूसरा क्षेत्र कैसे बनाता है, और यह जोड़ी साथ-साथ कैसे दूर जाती है। इसमें फ़ैराडे के नियम और एम्पियर-मैक्सवेल नियम के लूप रूप ही काम आते हैं, और यह अग्र भाग की चाल सीधे देता है।

पहले स्रोत लें। एक अनंत समतल चादर $yz$-तल में है; चित्र 1 इसे किनारे से दिखाता है, बाईं ओर नारंगी रेखा के रूप में। $x$ को दाईं ओर लें, चादर से दूर; $y$ पन्ने के ऊपर की ओर; $z$ पन्ने से बाहर की ओर। चादर पर प्रति वर्ग मीटर $\sigma$ आवेश है और वह एक स्थिर चादर पर है जिस पर विपरीत आवेश है, इसलिए विराम में चादर के बाहर कोई क्षेत्र नहीं है। $t=0$ पर आवेशित चादर को एक झटका लगता है और वह पन्ने के नीचे की ओर, $-y$ के अनुदिश, स्थिर चाल $v_s$ से चलने लगती है। गतिमान आवेशित चादर एक धारा है, इसलिए चौड़ाई के प्रति मीटर $\sigma v_s$ धारा एकदम चालू हो जाती है। चादर के ठीक पास, एम्पियर का नियम धारा-चादर का क्षेत्र देता है $B={\mu }_0\sigma v_s/2$, जो पन्ने से बाहर ($z$ के अनुदिश) है।

परंतु चादर से दूर क्षेत्र एक ही क्षण में हर जगह प्रकट नहीं हो सकता। मान लें कि वह एक समतल अग्र भाग के पीछे के क्षेत्र को भरता है, जो चादर से किसी अज्ञात चाल $v$ से दूर जा रहा है (बिंदीदार रेखा): अग्र भाग के पीछे एकसमान, उसके आगे शून्य। दो लूप नियम $v$ और उस विद्युत क्षेत्र को तय करेंगे जो $\vec{B}$ के साथ होना चाहिए।

चित्र 1 इसी अग्र भाग को दो दिशाओं से दिखाता है, हर बार ऊँचाई $L$ की एक आयताकार लूप के साथ जो उसके आर-पार है। थोड़े समय $dt$ में अग्र भाग $vdt$ आगे बढ़ता है, और लूप को छायांकित पट्टी का क्षेत्र मिलता है, जिसका क्षेत्रफल $Lvdt$ है।

ऊपरी दृश्य $z$ के अनुदिश देखता है। लूप $xy$-तल में है, इसलिए $\vec{B}$ (पन्ने से बाहर निकलते बिंदुओं वाले वृत्त) उसमें से गुज़रता है, और लूप से होकर चुंबकीय फ़्लक्स $BLvdt$ बढ़ता है, यानी $BLv$ की दर से। फ़ैराडे का नियम कहता है कि बदलते फ़्लक्स को लूप के चारों ओर घूमते विद्युत क्षेत्र की ज़रूरत होती है। $x$ के अनुदिश की भुजाएँ कुछ नहीं जोड़तीं, क्योंकि $y$ के अनुदिश $\vec{E}$ उनसे लंबवत है, और अग्र भाग के आगे वाली भुजा पर क्षेत्र नहीं है। केवल लंबाई $L$ वाली वह भुजा गिनी जाती है जो अग्र भाग के पीछे है, इसलिए $EL=BLv$।

नीचे का दृश्य ऊपर से $y$ के अनुदिश नीचे देखता है। अब लूप $xz$-तल में है, $\vec{E}$ उसमें से गुज़रता है (यहाँ पन्ने से बाहर), और $\vec{B}$ लूप की अग्र भाग के पीछे वाली भुजा के अनुदिश है। वही पट्टी विद्युत फ़्लक्स $ELv$ की दर से जोड़ती है। इस लूप से कोई धारा नहीं गुज़रती, इसलिए एम्पियर-मैक्सवेल नियम कहता है कि $\vec{B}$ का परिसंचरण इस दर का ${\mu }_0{\epsilon }_0$ गुना है; फिर से केवल अग्र भाग के पीछे की भुजा गिनी जाती है, इसलिए $BL={\mu }_0{\epsilon }_{0}ELv$। चित्र में दिखाई दिशाएँ वे हैं जो दोनों नियमों को सही चिह्न देती हैं; यहाँ केवल परिमाण मायने रखते हैं।

$L$ को काटें, तो दोनों शर्तें इस प्रकार हैं
$E=vB,B={\mu }_0{\epsilon }_{0}vE$
पहले को दूसरे में रखने पर: $B={\mu }_0{\epsilon }_0{v}^{2}B$। दोनों तभी सही हो सकते हैं जब $v^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ हो:
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3.00\cdot 10^{8}m/s$

इसमें $\sigma$, $v_s$ या चादर कितनी अचानक चली, इन पर कुछ भी निर्भर नहीं: झटका कितना भी तेज़ हो, अग्र भाग की यही एक चाल है, जो दो स्थिरांकों से बनती है जिन्हें आवेशों और धाराओं से मापा जाता है। मैक्सवेल ने देखा कि यह मापी गई प्रकाश की चाल के बराबर है, और निष्कर्ष निकाला कि प्रकाश एक विद्युत चुंबकीय तरंग है।

अग्र भाग के पीछे $E=cB=\sigma v_s/(2{\epsilon }_{0}c)$, क्योंकि ${\mu }_{0}c=1/({\epsilon }_{0}c)$। $\vec{E}$ चादर के वेग के विपरीत है, चित्र 1 में पन्ने के ऊपर की ओर; और $\vec{E}\times \vec{B}$ चादर से दूर की ओर है, यानी अग्र भाग के चलने की दिशा। ध्यान दें कि क्षेत्र क्या दर्ज करता है: चादर कितनी तेज़ चली, न कि वह कहाँ है। इसलिए यदि चादर समय $\tau$ के बाद रुक जाए, तो विपरीत चिह्न वाला दूसरा अग्र भाग पहले के पीछे आएगा, और दोनों के बीच $c\tau$ मोटाई का क्षेत्र-स्लैब बिना किसी आवेश के पास रहते हुए आगे बढ़ेगा। चादर को ऊपर-नीचे हिलाएँ तो बाहर जाता क्षेत्र उसके वेग-इतिहास की नकल करता है, जो दूरी $x$ पर $x/c$ से विलंबित होता है: यही समतल तरंग है।

तरंग समीकरण

चादर ने एक समतल अग्र भाग बनाया। नियमों का अवकलज रूप दिखाता है कि किसी भी आकार का क्षेत्र-पैटर्न एक ही चाल से चलता है। फ़ैराडे के नियम का कर्ल लें। बाईं ओर सर्वसमिका $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$ लगाएँ, जिसका पहला पद $\nabla \cdot \vec{E}=0$ के कारण शून्य है। दाईं ओर, कर्ल और समय-अवकलज को बदलें और चौथे नियम का $\nabla \times \vec{B}$ डालें। ऋण चिह्न निरस्त हो जाते हैं, और शेष है
${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

यह तरंगों की मूल बातें पाठ का तरंग समीकरण है, जिसमें $v^2$ की जगह $1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ है, इसलिए हर हल $c$ से चलता है। चौथे नियम से शुरू करके वही चरण $\vec{B}$ के लिए वही समीकरण देते हैं। फ़ैराडे के नियम में ऋण चिह्न अनिवार्य है: वह कहता है कि प्रेरित क्षेत्र उस परिवर्तन का विरोध करते हैं जिससे वे बने। धन चिह्न होता तो हल समय के साथ घातांकीय रूप से बढ़ते या घटते, चलते नहीं, और तरंगें न होतीं।

समतल तरंग: दो समान कला के क्षेत्र, समकोण पर

संकेत-सूची

$x$	संचरण दिशा का अक्ष।	$\mathrm{m}$
$y$	वह अक्ष जिसके अनुदिश $\vec{E}$ दोलन करता है।
$z$	वह अक्ष जिसके अनुदिश $\vec{B}$ दोलन करता है; यह आपकी ओर है, नीचे-बाईं ओर खींचा गया।
$\vec{E}$	तरंग का विद्युत क्षेत्र।	$V/m$
$\vec{B}$	तरंग का चुंबकीय क्षेत्र, $\vec{E}$ के साथ समान कला में।	$\mathrm{T}$
$E_0$	विद्युत क्षेत्र का आयाम।	$V/m$
$B_0$	चुंबकीय क्षेत्र का आयाम, $E_0/c$ के बराबर।	$\mathrm{T}$
$\lambda$	तरंगदैर्घ्य: एक शिखर से अगले शिखर तक की दूरी।	$\mathrm{m}$
$c$	तरंग की चाल, संचरण दिशा के अनुदिश।	$m/s$

सरलतम हल, ज्यावक्रीय समतल तरंग, दिखाता है कि सभी प्रकाश में $\vec{E}$ और $\vec{B}$ कैसे व्यवस्थित होते हैं। चित्र 2 $x$ के अनुदिश चलती एक तरंग को $t=0$ पर स्थिर दिखाता है:
$E=E_0\sin (kx-\omega t),\omega =ck$
यहाँ $k=2\pi /\lambda$ तरंग संख्या है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति; $\omega =ck$ वही है जो तरंग समीकरण इस आकार के लिए माँगता है।

चित्र में अक्ष दक्षिणावर्ती हैं, $z$ आपकी ओर है (पन्ने पर नीचे-बाईं ओर खींचा गया)। विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ (नीला) $y$ के अनुदिश दोलन करता है, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ (लाल) $z$ के अनुदिश। दोनों का तरंगदैर्घ्य $\lambda$ एक ही है, यानी एक शिखर से अगले शिखर की दूरी, और वे एक ही स्थानों पर शून्य पार करते हैं और शिखर पर पहुँचते हैं। उनके आयाम $E_0$ और $B_0$ की इकाइयाँ अलग हैं, इसलिए उनके लिए खींची गई लंबाइयों की तुलना नहीं की जा सकती।

विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ संचरण दिशा के लंबवत क्यों है? समतल तरंग में क्षेत्र केवल $x$ और $t$ पर निर्भर करते हैं। तब गॉस का नियम $\nabla \cdot \vec{E}=\partial E_x/\partial x=0$ हो जाता है, और एम्पियर-मैक्सवेल नियम का $x$-घटक $\partial E_x/\partial t=0$ देता है, क्योंकि ऐसे क्षेत्र के कर्ल में $x$-घटक नहीं होता। अतः $E_x$ अधिक से अधिक एक स्थिरांक है, जो तरंग का भाग नहीं है: तरंग अनुप्रस्थ है, और हम $\vec{E}$ को $y$ के अनुदिश ले सकते हैं।

चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ $z$ के अनुदिश और $\vec{E}$ के साथ समान कला में क्यों है? फ़ैराडे के नियम का $z$-घटक देता है $\partial B_z/\partial t=-\partial E_y/\partial x=-k{E}_0\cos (kx-\omega t)$। समय पर समाकलन करने से दोलनी हल है $B_z=(k/\omega )E_0\sin (kx-\omega t)$; $y$-घटक देता है $\partial B_y/\partial t=0$, इसलिए कोई दोलनी $B_y$ नहीं है। चूँकि $\omega /k=c$,
$E=cB$

अतः $\vec{B}$, $\vec{E}$ के लंबवत और उसके साथ समान कला में है, जिसमें $B_0=E_0/c$ है, और $\vec{E}\times \vec{B}$ $+x$ की ओर है, यानी चित्र में $c$ से चिह्नित संचरण दिशा। $-x$ की ओर चलती तरंग के लिए वही चरण $B_z=-E_y/c$ देते हैं: संचरण की दिशा उलटने पर $\vec{B}$, $\vec{E}$ के सापेक्ष उलट जाता है।

एनीमेशन का विशेषज्ञ ग्राफ़ वही तरंग समय में दिखाता है, न कि स्थान में: बिंदु P पर $E$, 3.0 V/m आयाम की एक ज्या है जिसके दो चक्र प्रत्येक 1.83 fs तक चलते हैं, यानी 550 nm हरे प्रकाश का एक आवर्तकाल। P तरंग की दो तरंगदैर्घ्य दूर है, इसलिए वहाँ $kx=4\pi$ है और रेखा है $E=E_0\sin (4\pi -\omega t)=-E_0\sin \omega t$: यह शून्य से शुरू होती है और पहले नीचे जाती है। यह स्नैपशॉट को पीछे की ओर पढ़ना है। तरंग $+x$ की ओर चलती है, इसलिए P तक अगला वह भाग पहुँचता है जो उसके बाईं ओर है, और $t=0$ पर वह अक्ष के नीचे था। $B$ का पाठ्यांक इस रेखा का अनुसरण करता है, और हर क्षण $E/B=c$।

ऊर्जा, तीव्रता और संवेग

संकेत-सूची

$c\Delta t$	नली की लंबाई: समय $\Delta t$ में तरंग जितना आगे बढ़ती है।	$\mathrm{m}$
$A$	नली का अनुप्रस्थ-काट: वह फलक जिससे ऊर्जा गुज़रती है।	${\mathrm{m}}^2$
$u$	नली में क्षेत्र द्वारा संचित प्रति इकाई आयतन ऊर्जा।	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{E}$	नली के भीतर तरंग का विद्युत क्षेत्र।	$V/m$
$\vec{S}$	फलक से गुज़रती प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति, संचरण दिशा के अनुदिश।	$W/{\mathrm{m}}^2$
$c$	तरंग की चाल, और उसके द्वारा ले जाई जाने वाली ऊर्जा की चाल।	$m/s$

तरंग स्रोत से ऊर्जा दूर ले जाती है; सूरज की रोशनी से पृथ्वी गर्म होती है, यह इसी तरह होता है। यह जानने के लिए कि हर वर्ग मीटर से कितनी शक्ति गुज़रती है, चित्र 3 क्षेत्रफल $A$ के एक पैच में से गुज़रती ऊर्जा का अनुसरण करता है, जो तरंग के मार्ग पर आर-पार रखा है।

क्षेत्रों में ऊर्जा घनत्व $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+B^2/(2{\mu }_0)$ (जूल प्रति घन मीटर) के रूप में संचित होती है: ये वही व्यंजक हैं जो संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और कुंडली के चुंबकीय क्षेत्र के लिए हैं। पूरा पैटर्न $c$ से बिना आकार बदले चलता है, इसलिए समय $\Delta t$ में फलक $A$ से वह सारी ऊर्जा गुज़रती है जो उसके पीछे, अनुप्रस्थ-काट $A$ और लंबाई $c\Delta t$ की नली में है, यानी $uAc\Delta t$। $A$ और $\Delta t$ से भाग देने पर, प्रति वर्ग मीटर शक्ति $cu$ है।

अब समतल-तरंग संबंध $B=E/c$ और $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ का उपयोग करें। चुंबकीय पद बन जाता है $B^2/(2{\mu }_0)=E^2/(2{\mu }_0{c}^2)=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$, इसलिए $u$ के दोनों भाग बराबर हैं, $u={\epsilon }_0{E}^2$, और प्रति वर्ग मीटर शक्ति $c{\epsilon }_0{E}^2$ है। पॉयंटिंग प्रमेय, यानी क्षेत्रों के लिए ऊर्जा संरक्षण, सामान्य रूप में इसे चित्र के सदिश $\vec{S}$ के रूप में लिखता है:
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$

समतल तरंग के लिए इसका परिमाण $EB/{\mu }_0=E^2/({\mu }_{0}c)=c{\epsilon }_0{E}^2$ है, जैसा ऊपर पाया गया, और यह संचरण दिशा में है।

दृश्य प्रकाश का क्षेत्र प्रति सेकंड लगभग $10^{15}$ बार उलटता है, जो किसी भी डिटेक्टर के लिए बहुत तेज़ है, इसलिए जो मापा जाता है वह कई चक्रों का औसत है। ${\sin }^2$ का एक चक्र पर औसत आधा होता है, इसलिए तीव्रता है
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

एनीमेशन के 3.0 V/m के लिए यह पैनल का 12 mW/m² है, जिसका औसत ऊर्जा घनत्व $4.0\times 10^{-11}J/{\mathrm{m}}^3$ है। ज़मीन पर सूरज की रोशनी लगभग 1.0 kW/m² है, जो $E_0\approx 870V/m$ और 2.9 µT के चुंबकीय आयाम के अनुरूप है।

क्षेत्र संवेग भी ले जाते हैं, प्रति घन मीटर $S/c^2$। $c$ से चलते हुए यह संवेग किसी सतह पर प्रति वर्ग मीटर $S/c$ की दर से पहुँचता है। काली सतह उसे अवशोषित करती है और इसलिए $I/c$ का दाब महसूस करती है; दर्पण उसे लौटा देता है और उसका दोगुना दाब महसूस करता है। ज़मीन पर काली सतह पर सूरज की रोशनी 3.3 µPa से धक्का देती है; वायुमंडल के ऊपर, जहाँ तीव्रता 1361 W/m² है, एक दर्पण पर बल लगभग 9 N प्रति वर्ग किलोमीटर है। यह सूक्ष्म, लगातार धक्का सौर पालों को चलाता है और धूमकेतुओं की धूल की पूँछ को सूरज से दूर उड़ाता है।

त्वरित आवेशों से विकिरण

संकेत-सूची

$q$	वह आवेश जिसे धकेला गया।	$\mathrm{C}$
$O$	धक्के से पहले आवेश जहाँ विराम में था।
$a$	धक्के के दौरान आवेश का त्वरण।	$m/{\mathrm{s}}^2$
$vt$	समय $t$ तक आवेश $O$ से जितना दूर चला गया।	$\mathrm{m}$
$ct$	बाहरी गोले की त्रिज्या: समय $t$ में धक्के की खबर जितनी दूर गई।	$\mathrm{m}$
$c\tau$	परत की मोटाई: धक्के के चलने के समय $\tau$ में खबर जितनी दूर जाती है।	$\mathrm{m}$
$\theta$	कोई क्षेत्र-रेखा और धक्के की रेखा के बीच का कोण।	$\mathrm{rad}$
$\vec{E}$	परत में पार्श्व क्षेत्र, यानी विकिरण क्षेत्र: त्वरण के पार्श्व भाग के विपरीत।	$V/m$
$c$	वह चाल जिससे परत, और उसका मोड़, बाहर फैलते हैं।	$m/s$

अब तक तरंगें केवल दी गई थीं। यह भाग दिखाता है कि वे कहाँ से आती हैं: उन आवेशों से जिनका वेग बदलता है। विराम में आवेश का अपना कूलॉम क्षेत्र होता है। स्थिर वेग से चलता आवेश अपना क्षेत्र साथ ले जाता है, क्योंकि उसके अपने तंत्र में वह स्थिर है। केवल त्वरण ही तरंग भेजता है, और चित्र 4 बताता है क्यों।

आवेश $q$ $t=0$ तक $O$ पर विराम में है। फिर उसे त्वरण $a$ से $x$ के अनुदिश थोड़े समय $\tau$ के लिए धकेला जाता है, और उसके बाद वह छोटी चाल $v=a\tau$ से बहता रहता है, इसलिए समय $t$ बाद वह $O$ से $vt$ दूरी पर होता है। चित्र में $v/c$ बढ़ा-चढ़ाकर दिखाया गया है; तर्क के लिए $v\ll c$ चाहिए।

धक्के की खबर $c$ से बाहर फैलती है, इसलिए समय $t$ पर क्षेत्र-रेखाएँ (अनुप्रस्थ-काट में खींची गई) तीन क्षेत्रों में बँट जाती हैं। $O$ को केंद्र मानकर त्रिज्या $ct$ वाले गोले के बाहर खबर अभी नहीं पहुँची: रेखाएँ अब भी $O$ से दूर की ओर इंगित करती हैं, यानी वहाँ जहाँ आवेश होता यदि वह कभी न हिला होता। त्रिज्या $c(t-\tau )$ वाले गोले के भीतर, क्षेत्र के अनुसार आवेश हमेशा से स्थिर वेग से चलता रहा है, और उसकी रेखाएँ उस दिशा में हैं जहाँ वह अभी है। दोनों गोलों के बीच मोटाई $c\tau$ की पतली परत में हर रेखा को अपने बाहरी भाग को भीतरी भाग से जोड़ना होता है; चूँकि दोनों भाग खिसके हुए हैं, रेखा परत में पार्श्व रूप से फैल जाती है। यही पार्श्व फैलाव मोड़ है।

उसका परिमाण चित्र से पढ़ा जा सकता है। धक्के की रेखा से कोण $\theta$ पर निकलने वाली रेखा पार्श्व में $vt\sin \theta$ विस्थापित होती है, यानी विस्थापन $vt$ का वह भाग जो रेखा के लंबवत है, और यह विस्थापन केवल $c\tau$ मोटी परत के भीतर होता है। परत के भीतर क्षेत्र रेखा का अनुसरण करता है, इसलिए उसके पार्श्व भाग $E_{\perp }$ और त्रिज्य भाग $E_r$ का अनुपात इन दोनों लंबाइयों का अनुपात है। $v=a\tau$ और परत की त्रिज्या $r=ct$ का उपयोग करने पर,
$\frac{E_{\perp }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$
त्रिज्य भाग अब भी कूलॉम क्षेत्र है, $E_r=q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$, क्योंकि गॉस के नियम से परत उतनी ही क्षेत्र-रेखाएँ पार करती है जितनी पहले। दोनों को गुणा करने पर पार्श्व क्षेत्र मिलता है, जो चित्र में तीर $\vec{E}$ है।

$r$ की घातों को देखें। त्रिज्य भाग $1/r^2$ से घटता है, परंतु पार्श्व भाग केवल $1/r$ से घटता है, क्योंकि परत फैलने के साथ विस्थापन $vt$ बढ़ता है, जबकि उसकी मोटाई $c\tau$ ही रहती है। अतः आवेश से दूर मोड़ ही प्रधान हो जाता है। यह विकिरण क्षेत्र है, और यह परत के साथ $c$ से बाहर चलता है।

समय में सहजता से बदलने वाले धक्के के लिए, और $c$ से बहुत कम वेगों पर, वही तर्क दूरी $r$ और त्वरण की दिशा से कोण $\theta$ पर क्षेत्र देता है:
$E(r,t)=\frac{qa(t-r/c)\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$
तीन बातें उभरती हैं। क्षेत्र अनुप्रस्थ है, और धनात्मक आवेश के लिए त्वरण के पार्श्व भाग के विपरीत है। यह पहले के समय $t-r/c$ पर त्वरण से तय होता है, यानी जब खबर निकली थी। और इसकी तीव्रता, जो $E^2$ के समानुपाती है, ${\sin }^2\theta /r^2$ से बदलती है: त्वरण की रेखा के अनुदिश शून्य और उसके लंबवत अधिकतम। इसीलिए ऊर्ध्वाधर रेडियो टावर, जिसके आवेश ऊपर-नीचे दौड़ते हैं, अपना संकेत ज़मीन के अनुदिश फैलाता है।

कुल शक्ति त्रिज्या $r$ के गोले पर तीव्रता $c{\epsilon }_0{E}^2$ को जोड़ने से आती है। गोले का क्षेत्रफल $r^2$ के समानुपाती है और $1/r^2$ को निरस्त कर देता है, और ${\sin }^2\theta$ सभी दिशाओं पर औसत रूप से दो-तिहाई होता है, जिससे लार्मोर सूत्र मिलता है:
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

$1/r$ नियम ही वह कारण है जिससे ऊर्जा बाहर निकल पाती है: गोले से होकर गुज़रती शक्ति ($E^2{r}^2$ के समानुपाती) हर त्रिज्या पर समान रहती है, जबकि यदि क्षेत्र $1/r^2$ से घटता तो वह दूर तक ऊर्जा नहीं ले जा पाता। इसीलिए कई प्रकाश-वर्ष दूर से भी तारों का प्रकाश हम तक पहुँचता है।

एनीमेशन में सुनहरा आवेश दोलन करता है, इसलिए उसका त्वरण $a=-{\omega }^{2}y$ हमेशा उसके विस्थापन $y$ के विपरीत होता है। विकिरित क्षेत्र त्वरण के विपरीत है, इसलिए वह विस्थापन का अनुसरण करता है: आवेश के पास की नीली तरंग उसके साथ ऊपर-नीचे होती है, और दो तरंगदैर्घ्य दूर स्थित P हर हलचल को दो आवर्तकाल (3.7 fs) बाद प्राप्त करता है। सिंक्रोट्रॉन प्रकाश और X-किरण नलिकाएँ इसी नियम का पालन करती हैं।

हल प्रश्न: 1 W का हरा लैंप

एक छोटा लैंप सभी दिशाओं में समान रूप से 550 nm के हरे प्रकाश की $P=1.0\mathrm{W}$ शक्ति उत्सर्जित करता है। किस दूरी पर इसका क्षेत्र-आयाम एनीमेशन के 3.0 V/m के बराबर होगा? दोगुनी दूरी पर क्या बदलता है? वहीं सामने रखे 1.0 cm² के काले कार्ड पर कौन सा बल लगता है, और वह हर सेकंड कितने फ़ोटॉन अवशोषित करता है?

दूरी $r$ पर यह वाट $4\pi r^2$ क्षेत्रफल के गोले पर फैलता है, इसलिए $I=P/(4\pi r^2)$। इसे $\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ के बराबर रखकर $r$ के लिए हल करें:
$r=\sqrt{\frac{P}{2\pi c{\epsilon }_0{E}_0^2}}=\sqrt{\frac{1.0}{2\pi \cdot 3.00\times 10^8\cdot 8.85\times 10^{-12}\cdot 3.0^2}}\approx 2.6\mathrm{m}$

5.2 m पर वही एक वाट चार गुना बड़े गोले से गुज़रता है, इसलिए तीव्रता चार गुना घटकर 3.0 mW/m² हो जाती है। आयाम तीव्रता के वर्गमूल के समानुपाती है, इसलिए वह केवल आधा होकर 1.5 V/m होता है, जैसा $1/r$ नियम माँगता है।

2.6 m पर तीव्रता 12 mW/m² है, इसलिए कार्ड $1.2\times 10^{-2}\cdot 1.0\times 10^{-4}=1.2\times 10^{-6}\mathrm{W}$ अवशोषित करता है। अवशोषक पर दाब $I/c$ लगता है, इसलिए बल अवशोषित शक्ति को $c$ से भाग देने पर मिलता है: $F=1.2\times 10^{-6}/(3.00\times 10^8)=4.0\times 10^{-15}\mathrm{N}$। दाब $4.0\times 10^{-11}\mathrm{Pa}$ किरण के औसत ऊर्जा घनत्व के बराबर है, जैसा किसी भी अवशोषक के लिए होता है, क्योंकि दोनों $I/c$ हैं।

प्रकाश की आवृत्ति $f=c/\lambda =5.45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ है, और हर फ़ोटॉन ऊर्जा $hf$ ले जाता है, जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है: $hf=6.63\times 10^{-34}\cdot 5.45\times 10^{14}\approx 3.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$, यानी लगभग 2.3 eV। इसलिए कार्ड हर सेकंड $1.2\times 10^{-6}/(3.6\times 10^{-19})\approx 3.3\times 10^{12}$ फ़ोटॉन अवशोषित करता है। यह संख्या इतनी अधिक है कि उनकी कणिकता नहीं दिखती, इसलिए यहाँ सहज चलती हुई शास्त्रीय तरंग एक उत्कृष्ट वर्णन है।

वैधता की सीमाएँ

शास्त्रीय सिद्धांत हर आवृत्ति पर संचरण, व्यतिकरण, विवर्तन और ध्रुवण को संभालता है। यह वहाँ विफल होता है जहाँ पदार्थ क्षेत्र के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है, क्योंकि यह आदान-प्रदान $hf$ के क्वांटा में होता है: हरे प्रकाश के लिए 2.3 eV, FM रेडियो के लिए $4\times 10^{-7}\mathrm{eV}$, चिकित्सा X-किरणों के लिए दसियों keV। अधिकांश परमाणुओं को एक इलेक्ट्रॉन खोने के लिए लगभग 10 eV चाहिए, इसलिए केवल लगभग 124 nm से छोटे तरंगदैर्घ्य ही आयनित करते हैं, चाहे किरण कितनी भी कमज़ोर हो। जब फ़ोटॉन कम हों, तब तरंग केवल एक फ़ोटॉन पकड़े जाने की संभावना देती है।

परमाणु के भीतर भी यह विफल होता है। शास्त्रीय हाइड्रोजन परमाणु की तरह घूमता इलेक्ट्रॉन, जिसका $a\approx 9.0\times 10^{22}m/{\mathrm{s}}^2$ है, लार्मोर सूत्र से $4.7\times 10^{-8}\mathrm{W}$ विकिरित करता और लगभग 16 ps में नाभिक में सर्पिल होकर गिर जाता। परमाणु स्थिर हैं; इसका कारण समझाना परमाणु मॉडल: बोर परमाणु से शुरू होता है।

पदार्थ में तरंग की चाल घटकर $c/n$ हो जाती है, जहाँ अपवर्तनांक $n$ आवृत्ति पर निर्भर करता है। चालक उसे अवशोषित करते हैं: समुद्री जल 10 kHz की तरंग को लगभग हर 2.5 m पर $e$ गुना घटा देता है, इसीलिए पनडुब्बियाँ बहुत कम आवृत्तियाँ इस्तेमाल करती हैं। निर्वात में समीकरण रैखिक हैं, इसलिए किरणें एक-दूसरे को बिना बाधा पहुँचाए पार करती हैं। अंत में, $c$ सटीक है: 1983 से मीटर की परिभाषा ऐसी है कि $c=299792458m/s$।

इसके आगे

मैक्सवेल के समीकरण चाल $c$ तय करते हैं, पर यह नहीं बताते कि किसके सापेक्ष। विशिष्ट आपेक्षिकता इसे हर जड़त्वीय प्रेक्षक के लिए एक समान बनाती है, और तंत्र बदलने पर $\vec{E}$ और $\vec{B}$ को मिलाती है। प्रकाश का ध्रुवण $\vec{E}$ की दिशा का अनुसरण करता है; व्यतिकरण और अध्यारोपण तथा विवर्तन और द्वि-झिरी क्षेत्रों को जोड़ते हैं; प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग काँच में धीमी चाल को उन इलेक्ट्रॉनों तक ले जाते हैं जो ऊपर की चादर की तरह पुनः विकिरण करते हैं। कृष्णिका विकिरण और क्वांटम, प्रकाश-विद्युत प्रभाव और तरंग-कण द्वैतता क्वांटा $hf$ पर चर्चा करते हैं; कण और बल: मानक मॉडल फ़ोटॉन को विद्युत चुंबकीय बल का वाहक बनाता है। गुरुत्वीय तरंगें (वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व) भी $c$ से चलती हैं: 2017 में एक न्यूट्रॉन-तारा विलय की तरंगें उसकी गामा किरणों से 2 s के भीतर पहुँचीं।