Impuls und Stöße

Einsteiger

Warum ist ein langsam rollender Einkaufswagen voller Flaschen so schwer zu stoppen, während ein schneller Tischtennisball leicht zu fangen ist? Vier Schritte erklären es.

Schritt 1. Multiplizierst du die Masse eines Objekts mit seiner Geschwindigkeit, erhältst du seinen Impuls, gemessen in Kilogramm mal Meter pro Sekunde. Wie die Geschwindigkeit hat der Impuls eine Richtung. Ein schweres, langsames Objekt und ein leichtes, schnelles können dieselbe Menge tragen: Ein 4 kg schwerer Wagen mit 1 m/s hat genauso viel Impuls wie ein 1 kg schwerer Wagen mit 4 m/s.

Schritt 2. Um den Impuls zu ändern, musst du eine Zeit lang drücken, und je länger der Druck dauert, desto sanfter kann er sein. Deshalb beugst du die Knie, wenn du von einer Mauer springst: Der Stopp dauert länger, also ist die Kraft auf dich kleiner.

Schritt 3. Beim Stoß drücken sich die beiden Objekte genau gleich stark, in entgegengesetzte Richtungen, für genau dieselbe Zeit. Der Impuls, den eines verliert, ist also genau der, den das andere gewinnt, und die Summe bleibt gleich, solange nichts von außen eingreift, etwa Reibung oder eine Wand. Das ist die Erhaltung des Impulses.

Schritt 4. Die Animation zeigt einen Crash zweimal: Ein leichter, schneller Wagen trifft auf einen schweren, ruhenden Wagen. Mit einem federnden Puffer prallt der leichte Wagen zurück und der schwere rollt weg; mit einem klebrigen Pad rollen sie gemeinsam weiter, langsamer. Der Gesamtimpuls ist in beiden Fällen gleich. Nur die Bewegungsenergie unterscheidet sich: Der federnde Abprall behält sie, der klebrige Crash wandelt einen Teil in Wärme, Schall und Dellen um.

Überprüfe dich selbst: Ein ruhender Feuerwerkskörper zerplatzt in zwei gleich schwere Hälften. Eine Hälfte fliegt nach Osten. Was macht die andere? (Sie fliegt mit gleicher Geschwindigkeit nach Westen, sodass der Gesamtimpuls null bleibt.)

Mittelstufe

Impuls: Masse mal Geschwindigkeit

Der Impuls eines Körpers ist seine Masse multipliziert mit seiner Geschwindigkeit:
$p=mv$

Er wird in Kilogramm mal Meter pro Sekunde (kg·m/s) gemessen. Der Impuls hat eine Richtung: Wähle eine positive Richtung entlang der Schiene; alles, was sich in die andere Richtung bewegt, hat negativen Impuls. Masse und Geschwindigkeit können sich gegenseitig ersetzen: Der 1 kg schwere Wagen aus der Animation, der mit 4 m/s ankommt, trägt $1\cdot 4=4\mathrm{kg}\cdot m/s$, so viel wie beide Wagen zusammen, 4 kg, bei 1 m/s tragen würden.

Impuls ist nicht kinetische Energie. $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ hat keine Richtung und wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit: Der 1 kg schwere Wagen mit 4 m/s hat 8 J, aber derselbe Impuls von 4 kg·m/s, getragen von 4 kg bei 1 m/s, hat nur 2 J.

Kraftstoß und das Kraft-Zeit-Diagramm

Eine Kraft ändert den Impuls, und die Änderung hängt davon ab, wie lange sie wirkt. Für eine konstante Kraft wird das zweite newtonsche Gesetz $F=ma=m\Delta v/\Delta t$ zu $F\Delta t=\Delta p$. Das Produkt $F\Delta t$ ist der Kraftstoß $J$, in Newtonsekunden (1 N·s = 1 kg·m/s); wenn die Kraft sich ändert, ist der Kraftstoß die Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm.

Dieselbe Fläche kann hoch und schmal oder niedrig und breit sein. Eine 70 kg schwere Person, die aus 1 m Höhe springt, landet mit etwa 4,4 m/s, also muss der Boden etwa 310 kg·m/s abbauen. Landet man steifbeinig, kommt der Körper in etwa 0,02 s zum Stehen, was eine mittlere Nettokraft von rund 15 kN ergibt, mehr als das 20-Fache des Körpergewichts; beugt man die Knie, dehnt sich der Stopp auf 0,3 s und die Kraft sinkt auf etwa 1 kN.

Warum der Gesamtimpuls erhalten bleibt

Wenn zwei Wagen zusammenstoßen, drückt jeder auf den anderen. Nach dem dritten newtonschen Gesetz sind die beiden Kräfte in jedem Augenblick gleich groß und entgegengesetzt, und sie wirken gleich lang, nämlich so lange, wie der Kontakt dauert. Ihre Kraft-Zeit-Diagramme sind Spiegelbilder, daher sind die Kraftstöße gleich groß und entgegengesetzt: Was Wagen 2 an Impuls gewinnt, verliert Wagen 1. Die Summe ist vor und nach dem Stoß gleich:
$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$

Striche (') kennzeichnen die Geschwindigkeiten nach dem Stoß, und jede Geschwindigkeit behält ihr Vorzeichen. Das Gesetz kümmert sich nicht darum, ob die Kräfte zwischen den Wagen federnd, klebrig oder explosiv sind. Es braucht nur, dass keine äußere Kraft entlang der Schiene wirkt oder dass äußere Kräfte zu schwach oder zu kurz sind, um ins Gewicht zu fallen: Eine Rollreibung von 0,3 N, die während der 0,16 s dauernden Berührung wirkt, ändert den Impuls um etwa 0,05 kg·m/s, also rund 1 % der Gesamtsumme.

Elastische und unelastische Stöße

Die Impulserhaltung ist eine Gleichung, aber ein frontaler Stoß hat zwei unbekannte Endgeschwindigkeiten; die zweite Bedingung betrifft die kinetische Energie. Bei einem elastischen Stoß bleibt sie erhalten, wie bei Stahlkugeln oder Federpuffern. Bei einem unelastischen Stoß wird ein Teil davon zu Wärme, Schall und bleibender Verformung. Bei einem vollkommen unelastischen Stoß haften die Körper aneinander und teilen sich eine Geschwindigkeit.

Für diese beiden Fälle gibt es geschlossene Formeln für die Endgeschwindigkeiten; das elastische Paar setzt voraus, dass Körper 2 zunächst ruht.

• $v^{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}$
• $v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$

Die erste braucht nur die Impulserhaltung; die zweite nutzt beide Gesetze und impliziert, dass sich elastische Körper mit der Geschwindigkeit voneinander entfernen, mit der sie sich genähert haben. Gleiche Massen tauschen ihre Geschwindigkeiten, wie beim Newton-Pendel. Ein leichter Körper, der auf einen viel schwereren trifft, prallt mit fast voller Geschwindigkeit zurück, wie ein Ball von einer Wand; ein schwerer Körper, der auf einen leichten trifft, wird kaum langsamer, und der leichte fliegt mit fast $2v_1$ davon.

Durchgerechnetes Beispiel: die Schienen aus der Animation

Beide Schienen starten gleich: $m_1=1\mathrm{kg}$ kommt mit $v_1=4m/s$ an, und $m_2=3\mathrm{kg}$ wartet in Ruhe. Der Gesamtimpuls ist $1\cdot 4=4\mathrm{kg}\cdot m/s$, und die kinetische Energie $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4^2=8\mathrm{J}$.

Auf Schiene B verbindet das klebrige Pad die Wagen, die sich dann eine gemeinsame Geschwindigkeit teilen:
$v^{\prime }=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{1+3}=1m/s$
Ihre kinetische Energie beträgt jetzt $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{J}$: 6 J gingen in Wärme und in das Zusammendrücken des Pads. Auf Schiene A macht der federnde Puffer den Stoß elastisch:
$v_1^{\prime }=\frac{(1-3)\cdot 4}{1+3}=-2m/s$
$v_2^{\prime }=\frac{2\cdot 1\cdot 4}{1+3}=2m/s$
Kontrolle: $1\cdot (-2)+3\cdot 2=4\mathrm{kg}\cdot m/s$ und $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2^2=8\mathrm{J}$. Die Wagen haben sich mit 4 m/s genähert und entfernen sich mit $2-(-2)=4m/s$.

Achte auf die Pfeile. Der blaue Pfeil $p_1$ ist anfangs 4 Einheiten lang, eine Einheit pro kg·m/s; auf Schiene B schrumpft er auf 1, auf Schiene A schrumpft er durch null und kehrt um, zeigt nach links und ist 2 Einheiten lang. Der goldene Pfeil $p_2$ wächst auf 3 Einheiten auf B und auf 6 auf A. Spitze an Ende gelegt, ergeben die Pfeile immer 4 Einheiten, und beide Anzeigen zeigen durchgehend $p_1+p_2=4,0\mathrm{kg}\cdot m/s$, auch während des Kontakts. Der Abprall braucht den doppelten Kraftstoß: In denselben 0,16 s gewinnt Wagen 2 auf A 6 kg·m/s, eine mittlere Kraft von $6/0,16=37,5\mathrm{N}$, auf B aber nur 3 kg·m/s, also 18,75 N.

Durchgerechnetes Beispiel: ein Auffahrunfall

Ein 1500 kg schweres Auto mit 20 m/s fährt auf das Heck eines 1000 kg schweren Autos, das in dieselbe Richtung mit 10 m/s fährt, und beide verhaken sich. Während des 0,1 s dauernden Crashs ist die Straßenreibung vernachlässigbar, also gilt die Impulserhaltung:
$v^{\prime }=\frac{1500\cdot 20+1000\cdot 10}{1500+1000}=16m/s$

Die kinetische Energie sinkt von $\frac{1}{2}\cdot 1500\cdot 20^2+\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot 10^2=350\mathrm{kJ}$ auf $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 16^2=320\mathrm{kJ}$: 30 kJ gehen in verbeultes Blech.

Nun kommt das kleine Auto entgegengesetzt, mit $v_2=-10m/s$. Das Wrack bewegt sich mit $(1500\cdot 20-1000\cdot 10)/2500=8m/s$ und behält nur $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 8^2=80\mathrm{kJ}$: 270 kJ gehen verloren, neunmal so viel, weil sich die Autos mit 30 m/s statt 10 m/s nähern. Beide spüren dieselbe mittlere Kraft von 180 kN, doch die Geschwindigkeit des kleinen Autos ändert sich in 0,1 s um 18 m/s, eine Verzögerung von rund 18 g, und die des großen nur um 12 m/s.

Häufige Fehler

• Das Vorzeichen vergessen. Auf Schiene A prallt der kleine Wagen mit $-2m/s$ zurück; zählte man ihn als positiv, ergäben die Impulse zusammen $2+6=8\mathrm{kg}\cdot m/s$ statt 4.
• Glauben, ein klebriger Stoß vernichte den Impuls. Die verbundenen Wagen auf Schiene B tragen immer noch 4 kg·m/s; verschwunden ist die kinetische Energie, 6 der 8 J.
• Denken, der schwerere oder schnellere Körper drücke stärker. Die Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt, auf Schiene A je 37,5 N auf jeden Wagen; der leichtere Wagen ändert nur seine Geschwindigkeit stärker, um 6 m/s gegen 2 m/s.
• Eine äußere Kraft übersehen, die weiter wirkt. Ein 0,5 kg schwerer Ball, der 1 s lang fällt, gewinnt etwa 4,9 kg·m/s, weil die Schwerkraft ihn zieht; nur der Ball und die Erde zusammen behalten eine konstante Gesamtsumme. Nimm beide stoßenden Körper ins System auf.
• Die elastischen Formeln für jeden Stoß verwenden. Sie setzen keinen Verlust kinetischer Energie und ein ruhendes Ziel voraus; auf Schiene B würden sie $-2$ und $+2m/s$ vorhersagen statt der gemeinsamen 1 m/s.

Wo man es antrifft

Airbags, Helme und Knautschzonen verlängern Stöße, sodass dieselbe Impulsänderung eine kleinere Kraft braucht. Gewehre haben Rückstoß: Ein 4 kg schweres Gewehr, das eine 10 g schwere Kugel mit 800 m/s abfeuert, schnellt mit $0,01\cdot 800/4=2m/s$ zurück. Raketen stoßen Abgase nach hinten aus, um sich nach vorn zu bewegen, ohne Luft, gegen die sie drücken könnten. Als Nächstes folgt die Lektion Arbeit, Energie und Leistung: Sie verfolgt die kinetische Energie, die Stöße behalten oder verlieren. Die Lektion Drehimpuls und Drehimpulserhaltung wendet dieselbe Idee auf rotierende Körper an.

Fortgeschritten

Das zweite Gesetz in Impulsform

Dieser Abschnitt schreibt das zweite newtonsche Gesetz mit Hilfe des Impulses um. Das ist die Form, die sich verallgemeinern lässt: Sie behandelt Stöße, deren Kraft niemand messen kann, Systeme aus vielen Körpern und später in dieser Lektion Raketen.

Die allgemeine Form des zweiten Gesetzes lautet nicht $F=ma$, sondern $\vec{F}=d\vec{p}/dt$, mit $\vec{p}=m\vec{v}$: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich der zeitlichen Änderung seines Impulses. Bei konstanter Masse stimmen beide Formen überein, weil die Masse vor die Ableitung gezogen werden kann: $d(m\vec{v})/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$. Die Impulsform ist auch diejenige, die über die newtonsche Mechanik hinaus gültig bleibt: In der speziellen Relativitätstheorie ersetzt $\gamma m\vec{v}$ den Ausdruck $m\vec{v}$, und in der Elektrodynamik tragen die Felder selbst Impuls.

Multipliziere beide Seiten mit $dt$ und summiere über den gesamten Kontakt, vom Augenblick des Beginns bis zum Augenblick des Endes. Die linke Seite wird zum Kraftstoß $\vec{J}$, die rechte zur gesamten Impulsänderung. Das ist der Kraftstoß-Impuls-Satz:
$\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$

Sein Wert liegt in dem, was er nicht braucht. Die Kraft bei einem Aufprall steigt und fällt innerhalb eines Bruchteils einer Sekunde und ist selten im Detail bekannt, dennoch entscheidet nur ihr Integral über die folgende Bewegung. Ein 46 g schwerer Golfball verlässt den Schläger mit 70 m/s nach etwa 0,5 ms Kontakt. Sein Impuls ändert sich um $0,046\cdot 70\approx 3,2\mathrm{kg}\cdot m/s$, also beträgt die mittlere Kraft $0,046\cdot 70/0,0005\approx 6400\mathrm{N}$, egal welche Form der Kraftverlauf hat. Da der Satz eine Vektorgleichung ist, gilt er für jede Komponente getrennt: Ein horizontaler Kraftstoß ändert nur $p_x$ und lässt $p_y$ unberührt.

Innere Kräfte heben sich paarweise auf

Warum bleibt der Gesamtimpuls zweier zusammenstoßender Wagen gleich, egal wie fest sie aufeinander drücken? Weil jeder Stoß von einem gleich starken Gegenstoß begleitet wird. In der Animation trifft ein 1 kg schwerer Wagen 1 mit 4 m/s auf einen 3 kg schweren Wagen 2 in Ruhe; auf Schiene A treffen sie über einen federnden Puffer aufeinander, auf Schiene B über ein klebriges Pad. Abbildung 1 zeigt Schiene A während des Kontakts; der allgemeine Beweis folgt ihr.

Legende

$t$	Zeit, dieselbe Achse für alle drei Diagramme.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Dauer des Kontakts.	$\mathrm{s}$
$F$	Kraft des Puffers auf Wagen 2; Wagen 1 spürt $-F$. Hier konstant; sie ist die Steigung der $p_2$-Rampe.	$\mathrm{N}$
$p$	Impuls entlang der Schiene: die vertikale Achse des mittleren Diagramms.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$p_1$	Impuls von Wagen 1: von 4 auf $-2$ während des Kontakts.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$p_2$	Impuls von Wagen 2: von 0 auf 6 während des Kontakts.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$P$	Gesamtimpuls $p_1+p_2$ (gestrichelt): waagerecht bei 4 während des gesamten Vorgangs.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$K$	Gesamte kinetische Energie der beiden Wagen.	$\mathrm{J}$
$A$	Schiene A, federnder Puffer: $K$ sinkt mitten im Kontakt auf 2 J und steigt dann wieder auf 8 J.
$B$	Schiene B, klebriges Pad (gestrichelt): $K$ fällt auf 2 J und bleibt dort.

Abbildung 1 verfolgt den Kontakt, der $\Delta t$ dauert; die Zeitachse $t$ ist so gestreckt, dass der Kontakt die Mitte des Bildes füllt. Lies von oben nach unten. Der obere Streifen zeigt die Kraft: Der Puffer drückt Wagen 2 mit $F$ nach vorn und Wagen 1 mit $-F$ nach hinten. Nach dem dritten Gesetz sind beide in jedem Augenblick gleich groß und entgegengesetzt. In dieser Abbildung ist die Kraft während des Kontakts außerdem konstant.

Das mittlere Diagramm zeigt die Impulse. Da $dp/dt$ gleich der Kraft ist, entspricht die Steigung jedes Impulsgraphen der Kraft auf diesen Wagen, und eine konstante Kraft zeichnet eine gerade Rampe. $p_2$ steigt mit der Steigung $F$ von 0 auf 6, und $p_1$ fällt mit der Steigung $-F$ von 4 auf $-2\mathrm{kg}\cdot m/s$: Wagen 1 prallt zurück. Wagen 2 gewinnt 6 kg·m/s in $\Delta t=0,16\mathrm{s}$, also $F=6/0,16=37,5\mathrm{N}$. Nun betrachte die gestrichelte Linie $P=p_1+p_2$. Die beiden Rampen sind Spiegelbilder, also verliert der eine Wagen im selben Moment, was der andere gewinnt, und $P$ bleibt während des gesamten Stoßes bei 4 kg·m/s, nicht nur davor und danach. Die Ebene „Fortgeschritten“ der Animation zeigt dieselben Kurven.

Die waagerechte Linie hängt nicht davon ab, dass die Kraft konstant ist. Eine echte Feder drückt umso stärker, je mehr sie zusammengedrückt wird, was die Rampen zu S-förmigen Kurven biegt; sie bleiben Spiegelbilder, und ihre Summe bleibt waagerecht.

Dieselbe Buchführung funktioniert für beliebig viele Körper. Die Kraft auf Körper $i$ ist die Summe der Kräfte ${\vec{F}}_{ij}$, die jeder andere Körper $j$ des Systems auf ihn ausübt (innere Kräfte), und dessen, was von außen wirkt (äußere Kräfte). Summiere $d{\vec{p}}_i/dt$ über alle Körper. Jedes innere Paar taucht zweimal in der Summe auf, einmal als ${\vec{F}}_{ij}$ und einmal als ${\vec{F}}_{ji}$, und das dritte Gesetz macht ${\vec{F}}_{ij}+{\vec{F}}_{ji}=0$. Übrig bleiben nur die äußeren Kräfte. Dabei ist $\vec{P}$ der Gesamtimpuls, $M$ die Gesamtmasse, ${\vec{v}}_{\mathrm{cm}}$ die Geschwindigkeit des Schwerpunkts und ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ die Summe aller äußeren Kräfte:
$\frac{d\vec{P}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$
$\vec{P}={\sum }_i{m}_i{\vec{v}}_i=M{\vec{v}}_{\mathrm{cm}}$
Die zweite Zeile ist die Definition des Schwerpunkts, ${\vec{r}}_{\mathrm{cm}}={\sum }_i{m}_i{\vec{r}}_i/M$, einmal nach der Zeit abgeleitet.

Der Gesamtimpuls ändert sich also nur durch äußere Kräfte, und der Schwerpunkt bewegt sich wie ein einzelnes Teilchen der Masse $M$, das von deren Summe geschoben wird. Ist ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}=0$, so ist $\vec{P}$ konstant, egal wie kompliziert die inneren Kräfte sind. Ist nur eine Komponente von ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ null, etwa die horizontale, wenn die Schwerkraft senkrecht wirkt, bleibt diese Komponente von $\vec{P}$ trotzdem erhalten.

Kinetische Energie kann sich verstecken, Impuls nicht

Das untere Diagramm von Abbildung 1 zeigt die gesamte kinetische Energie $K$ der beiden Wagen, und sie verhält sich ganz anders als $P$. Auf Schiene A sinkt $K$ während des Kontakts bis auf 2 J in dem Augenblick, in dem beide Wagen mit 1 m/s fahren, und steigt dann wieder auf 8 J, während der Puffer sie auseinanderschiebt. Die fehlenden 6 J gingen nicht verloren: Für einen Moment waren sie in der zusammengedrückten Feder des Puffers gespeichert. Auf Schiene B, mit dem klebrigen Pad, fällt $K$ auf 2 J und bleibt dort (gestrichelt): Die 6 J sind in das Verformen und Erwärmen des Pads gegangen.

Schiene B braucht auch weniger Kraft. Das Paar bewegt sich gemeinsam mit 1 m/s weiter, also gewinnt Wagen 2 nur $3\cdot 1=3\mathrm{kg}\cdot m/s$, und in denselben 0,16 s beträgt die mittlere Kraft $3/0,16=18,75\mathrm{N}$, die Hälfte der Kraft auf Schiene A. Die beiden Diagramme zusammen tragen die Hauptaussage: Energie kann in den Körpern geparkt werden, als Federenergie oder als Wärme, aber der Impuls hat kein Versteck, und er ist in jedem Augenblick ausgeglichen.

Erhaltung aus der Symmetrie

Die Impulserhaltung lässt sich auch ohne das dritte Gesetz herleiten, aus zwei Aussagen über Symmetrie. Das ist wichtig, weil das dritte Gesetz nicht exakt gilt (siehe Gültigkeitsgrenzen unten), während ein Versagen der Impulserhaltung nie beobachtet wurde; das Symmetrieargument zeigt, woher das Gesetz wirklich kommt.

Legende

$S$	Bezugssystem des Bodens (obere Reihe).
$S^{\prime }$	Bezugssystem eines Wagens, der sich mit der rechten Kugel bewegt, relativ zum Boden mit $-v$ (untere Reihe).
$m$	Masse jeder der beiden identischen Kugeln; zusammen haben sie $2m$.	$\mathrm{kg}$
$v$	Geschwindigkeit jeder Kugel in $S$; $+v$ ist die Verschiebung jeder Geschwindigkeit von $S$ nach $S^{\prime }$. Alle Pfeile haben denselben Maßstab, daher ist $2v$ doppelt so lang wie $v$.	$m/s$

Abbildung 2 zeigt einen Stoß aus zwei Bezugssystemen, links vor dem Stoß, rechts danach. Die erste Annahme ist die Spiegelsymmetrie. In der oberen Reihe, im Bezugssystem $S$ des Bodens, nähern sich zwei identische Kugeln mit der Masse $m$ mit $v$ und $-v$ und bleiben haften. Nichts in dieser Situation bevorzugt links oder rechts, also kann sich das zusammengeklebte Paar mit der Masse $2m$ in keine Richtung bewegen: Es bleibt in Ruhe.

Die zweite Annahme ist die Galilei-Relativität: Ein Beobachter, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, findet dieselben Naturgesetze vor, wobei alle Geschwindigkeiten um denselben Betrag verschoben sind. Nimm als $S^{\prime }$ das Bezugssystem eines Wagens, der mit der rechten Kugel mitfährt und sich relativ zum Boden mit $-v$ bewegt. Von diesem Wagen aus ist jede Geschwindigkeit um $v$ größer, wie der Pfeil $+v$ zwischen den Reihen zeigt. Die untere Reihe folgt: Die rechte Kugel ruht, die linke kommt mit $2v$ an, und das Paar, das in $S$ stillstand, bewegt sich mit $v$ davon.

Eine Masse $m$ mit $2v$, die auf eine gleich schwere ruhende Masse trifft, ergibt also $2m$ mit $v$, und die untere Reihe stimmt: $m\cdot 2v=2m\cdot v$. Die Geschwindigkeiten allein stimmen nicht ($2v$ hinein, $v$ hinaus), und auch die kinetische Energie stimmt nicht ($2m{v}^2$ hinein, $m{v}^2$ hinaus); das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit stimmt. Wenn man Körper anderer Massen aus gleichen Einheiten baut und denselben Bezugssystemwechsel wiederholt, lässt sich das Ergebnis auf jedes Massenpaar übertragen, und die Größe, die immer gleich herauskommt, ist $\sum mv$.

Das Argument funktioniert auch rückwärts. Jeder Zweikörperstoß hat, vom Bezugssystem aus gesehen, das sich mit dem Schwerpunkt bewegt, einen Gesamtimpuls von null: Die Körper kommen mit gleichen und entgegengesetzten Impulsen an, wie in der oberen Reihe. Für die Wagen der Animation bewegt sich dieses Bezugssystem mit 1 m/s. Darin bringt Wagen 1 $+3$ und Wagen 2 $-3\mathrm{kg}\cdot m/s$ mit, und auf Schiene B bleibt das verklebte Paar einfach stehen.

Die allgemeine Aussage ist das Noether-Theorem (1918): Jede kontinuierliche Symmetrie der Naturgesetze geht mit einer Erhaltungsgröße einher. Gelten die Gesetze überall gleich, sodass ein Verschieben der ganzen Anordnung an einen anderen Ort nichts ändert (der Raum ist homogen), so ist der Impuls erhalten. Invarianz gegenüber Zeitverschiebungen ergibt die Erhaltung der Energie, Invarianz gegenüber Drehungen die Erhaltung des Drehimpulses. Weil sie auf einer Symmetrie beruht und nicht auf dem dritten Gesetz, gilt die Impulserhaltung auch dort, wo das dritte Gesetz versagt.

Energie im Schwerpunktsystem

Wie viel kinetische Energie kann ein Stoß wegnehmen, und wie lauten die Endgeschwindigkeiten? Beide Fragen werden im Bezugssystem, das sich mit dem Schwerpunkt bewegt, einfach. Dieser Abschnitt teilt die kinetische Energie in einen Teil, den kein Stoß berühren kann, und einen, den er berühren kann, und findet die Endgeschwindigkeiten, ohne eine quadratische Gleichung zu lösen.

Legende

$v$	Geschwindigkeit: Positionen auf der Achse sind Geschwindigkeiten.	$m/s$
$V$	Geschwindigkeit des Schwerpunkts (gestrichelte Linie), in den Gleichungen als $v_{\mathrm{cm}}$ geschrieben.	$m/s$
$m_1$	Masse von Wagen 1 (ein Block breit).	$\mathrm{kg}$
$m_2$	Masse von Wagen 2 (drei Blöcke breit).	$\mathrm{kg}$
$v_1$	Geschwindigkeit von Wagen 1 vor dem Stoß.	$m/s$
$v_2$	Geschwindigkeit von Wagen 2 vor dem Stoß.	$m/s$
$u_1$	Geschwindigkeit von Wagen 1 relativ zum Schwerpunkt, $v_1-V$.	$m/s$
$u_2$	Geschwindigkeit von Wagen 2 relativ zum Schwerpunkt, $v_2-V$.	$m/s$
$v_1^{\prime }$	Geschwindigkeit von Wagen 1 nach dem Stoß.	$m/s$
$v_2^{\prime }$	Geschwindigkeit von Wagen 2 nach dem Stoß.	$m/s$
$u_1^{\prime }$	Geschwindigkeit von Wagen 1 relativ zum Schwerpunkt nach dem Stoß: $-e{u}_1$, hier $-u_1$.	$m/s$
$u_2^{\prime }$	Geschwindigkeit von Wagen 2 relativ zum Schwerpunkt nach dem Stoß: $-e{u}_2$, hier $-u_2$.	$m/s$

Abbildung 3 ordnet die Geschwindigkeiten der Wagen der Animation auf einer Achse $v$ an: Wagen 1, $m_1=1\mathrm{kg}$, mit $v_1=4m/s$, und Wagen 2, $m_2=3\mathrm{kg}$, mit $v_2=0$; die Breite jedes Blocks zeigt seine Masse. Die gestrichelte Linie markiert die Geschwindigkeit des Schwerpunkts, in der Abbildung $V$ genannt und in den Gleichungen $v_{\mathrm{cm}}$:
$v_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{4}=1m/s$

Von der gestrichelten Linie aus gemessen bewegen sich die Wagen mit $u_1=v_1-v_{\mathrm{cm}}=+3m/s$ und $u_2=v_2-v_{\mathrm{cm}}=-1m/s$: die beiden Pfeile der oberen Reihe. In diesem Bezugssystem ist der Gesamtimpuls null, $m_1{u}_1+m_2{u}_2=1\cdot 3+3\cdot (-1)=0$, also verhalten sich die Pfeile umgekehrt proportional zu den Massen, und der schwere Wagen liegt dreimal näher bei $V$ als der leichte.

Ein Stoß kann die gestrichelte Linie nicht verschieben, weil die inneren Kräfte den Gesamtimpuls und damit $v_{\mathrm{cm}}$ unverändert lassen. Er kann nur $u_1$ und $u_2$ ändern, und danach müssen sie noch $m_1{u}_1^{\prime }+m_2{u}_2^{\prime }=0$ erfüllen. Beide ändern sich daher um denselben Faktor. Die Wagen trennen sich, statt einander zu durchdringen, also ist der Faktor negativ oder null, und wir schreiben ihn als $-e$:
$u_i^{\prime }=-e{u}_i$
Die Zahl $e$ ist die Stoßzahl (Restitutionskoeffizient). Da $u_1-u_2=v_1-v_2=v_{\mathrm{rel}}$ die Relativgeschwindigkeit ist, lässt sie sich auch als $e=-v_{\mathrm{rel}}^{\prime }/v_{\mathrm{rel}}$ lesen: der Anteil der Relativbewegung, der den Stoß überlebt, von 1 bei einem elastischen bis 0 bei einem klebrigen Stoß.

Die untere Reihe von Abbildung 3 zeigt den elastischen Fall, $e=1$: $u_1^{\prime }$ und $u_2^{\prime }$ sind die alten Pfeile umgedreht, also sind die Endgeschwindigkeiten $v_1^{\prime }$ und $v_2^{\prime }$ die Spiegelbilder von $v_1$ und $v_2$ an der gestrichelten Linie. Um zum Bezugssystem der Schiene zurückzukehren, addiere $v_{\mathrm{cm}}$ wieder hinzu:
$v_i^{\prime }=v_{\mathrm{cm}}+u_i^{\prime }=v_{\mathrm{cm}}-e(v_i-v_{\mathrm{cm}})$
$v_i^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_i$
Für $e=1$ ergibt das $v_1^{\prime }=2\cdot 1-4=-2m/s$ und $v_2^{\prime }=2\cdot 1-0=+2m/s$, das Ergebnis auf Schiene A. Ein kleineres $e$ verkürzt beide Pfeile um denselben Faktor; bei $e=0$ verschwinden sie, und beide Wagen bewegen sich gemeinsam mit $V$ weiter, wie auf Schiene B.

Nun zur kinetischen Energie. Setze $v_i=v_{\mathrm{cm}}+u_i$ in $K={\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$ ein und löse das Quadrat auf:
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{cm}}^2+v_{\mathrm{cm}}{\sum }_i{m}_i{u}_i+{\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{u}_i^2$
Der mittlere Term ist null, weil ${\sum }_i{m}_i{u}_i=0$. Übrig bleibt
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{cm}}^2+K_{\mathrm{rel}}$
mit $M=m_1+m_2$. Der erste Term ist die Energie des Schwerpunkts, und keine innere Kraft kann sie ändern, weil der Impuls $v_{\mathrm{cm}}$ festlegt. Der zweite, $K_{\mathrm{rel}}$, ist die Bewegungsenergie relativ zum Schwerpunkt, und ein Stoß wirkt nur auf sie. Für zwei Körper hängt sie nur von der Relativgeschwindigkeit ab. Aus $m_1{u}_1+m_2{u}_2=0$ und $u_1-u_2=v_{\mathrm{rel}}$ folgt $u_1=m_2{v}_{\mathrm{rel}}/M$ und $u_2=-m_1{v}_{\mathrm{rel}}/M$; dann ist $\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{m}_2(m_2+m_1)v_{\mathrm{rel}}^2/M^2$, was sich vereinfacht zu
$K_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{rel}}^2,\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$
wobei $\mu$ die reduzierte Masse heißt.

Da $K_{\mathrm{rel}}$ proportional zu $v_{\mathrm{rel}}^2$ ist, multipliziert ein Stoß es mit $e^2$. Für die Animation gilt $M=4\mathrm{kg}$, $v_{\mathrm{cm}}=1m/s$, $\mu =0,75\mathrm{kg}$ und $v_{\mathrm{rel}}=4m/s$. Die 8 J teilen sich daher in $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{J}$, die kein Stoß antasten kann, und $\frac{1}{2}\cdot 0,75\cdot 4^2=6\mathrm{J}$ relativer Bewegung. Ein elastischer Puffer gibt alle 6 J zurück. Das Haften ($e=0$) entfernt alle 6 J, den größten Verlust, den die Impulserhaltung zulässt, und die verbleibenden 2 J behält Schiene B.

Durchgerechnete Aufgabe: ein halbelastischer Puffer

Rüste die Wagen mit einem Puffer mit $e=0,5$ aus: gleiche Massen, und Wagen 1 kommt wieder mit 4 m/s auf den ruhenden Wagen 2 zu. Bestimme (a) die Endgeschwindigkeiten, (b) die verlorene kinetische Energie, (c) die mittlere Kraft, wenn der Kontakt weiterhin 0,16 s dauert, und (d) den Wert von $e$, bei dem Wagen 1 stehen bleibt.

(a) Der Schwerpunkt bewegt sich weiter mit $v_{\mathrm{cm}}=1m/s$, und $1+e=1,5$:
$v_1^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_1=1,5\cdot 1-0,5\cdot 4=-0,5m/s$
$v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_2=1,5\cdot 1-0=1,5m/s$
Wagen 1 prallt langsam zurück. Kontrolle: $1\cdot (-0,5)+3\cdot 1,5=4\mathrm{kg}\cdot m/s$, wie zuvor.

(b) Die 2 J des Schwerpunkts bleiben, und die 6 J der Relativbewegung werden mit $e^2=0,25$ multipliziert: $K=2+0,25\cdot 6=3,5\mathrm{J}$, also gehen $8-3,5=4,5\mathrm{J}$ verloren. Direkt: $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,5^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1,5^2=0,125+3,375=3,5\mathrm{J}$.

(c) Wagen 2 gewinnt $3\cdot 1,5=4,5\mathrm{kg}\cdot m/s$. Mit $v_2=0$ ergibt die Formel $v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}$, also ist dies $(1+e)$-mal die 3 kg·m/s des klebrigen Falls. Über 0,16 s ergibt das eine mittlere Kraft von $4,5/0,16\approx 28\mathrm{N}$, zwischen den 18,75 N von Schiene B ($e=0$) und den 37,5 N von Schiene A ($e=1$).

(d) Wagen 1 bleibt stehen, wenn $v_1^{\prime }=0$ ist, also wenn $(1+e)v_{\mathrm{cm}}=e{v}_1$, oder $1+e=4e$, also $e=1/3$. Wagen 2 trägt dann den gesamten Impuls von 4 kg·m/s, mit $4/3\approx 1,33m/s$, und $K=2+6/9\approx 2,67\mathrm{J}$. Allgemein gilt bei ruhendem Ziel: Der anstoßende Körper kommt zum Stehen, wenn $e=m_1/m_2$. Ein Körper, der völlig stehen bleibt, ist daher nur bei gleichen Massen ein Zeichen für einen elastischen Stoß; hier braucht es einen ziemlich verlustreichen Puffer.

Streifende Stöße

In zwei oder drei Dimensionen gibt es pro Komponente eine Gleichung der Impulserhaltung. Für zwei Körper in einer Ebene liefert der Impuls zwei Gleichungen, und die Energie, falls der Stoß elastisch ist, eine dritte; die beiden Endgeschwindigkeiten haben aber vier Komponenten. Die fehlende Information ist die Geometrie des Aufpralls, und ein nicht frontaler Stoß muss Richtungen ebenso festlegen wie Geschwindigkeiten.

Legende

$m$	Masse jeder der beiden identischen Kugeln.	$\mathrm{kg}$
$b$	Versatz: Abstand zwischen der Bahn von Kugel 1 und der parallelen Linie durch den Mittelpunkt von Kugel 2.	$\mathrm{m}$
${\vec{v}}_1$	Geschwindigkeit von Kugel 1 vor dem Stoß; Kugel 2 ruht.	$m/s$
${\vec{v}}_1^{\prime }$	Geschwindigkeit von Kugel 1 nach dem Stoß, quer zur Mittellinie.	$m/s$
${\vec{v}}_2^{\prime }$	Geschwindigkeit von Kugel 2 nach dem Stoß, entlang der Mittellinie.	$m/s$

Abbildung 4 zeigt einen außermittigen elastischen Stoß zweier identischer Kugeln der Masse $m$, wobei Kugel 2 ruht. Kugel 1 kommt mit der Geschwindigkeit ${\vec{v}}_1$ entlang einer Bahn, die den Mittelpunkt von Kugel 2 um den Abstand $b$ verfehlt. Im Moment der Berührung ist die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte also gegen die Bahn geneigt. Bei glatten Kugeln ohne Drall wirkt die Kontaktkraft entlang dieser Mittellinie, und quer dazu wirkt nichts.

Zerlege jede Geschwindigkeit in eine Komponente entlang der Mittellinie und eine quer dazu. Quer zur Linie wirkt keine Kraft, daher ändern sich diese Komponenten nicht. Entlang der Linie ist der Stoß ein frontaler elastischer Stoß gleicher Massen, der die beiden Geschwindigkeiten vertauscht: Kugel 1 übergibt ihre ganze Komponente entlang der Linie an Kugel 2. Kugel 2 verlässt also entlang der Mittellinie mit ${\vec{v}}_2^{\prime }$, und Kugel 1 behält nur ihre Komponente quer zur Linie, ${\vec{v}}_1^{\prime }$, die senkrecht zu ${\vec{v}}_2^{\prime }$ steht. Haben die Kugeln den Radius $R$, so bildet die Mittellinie mit der einlaufenden Bahn den Winkel $\phi$ mit $\sin \phi =b/(2R)$, und die Geschwindigkeiten danach sind $v_2^{\prime }=v_1\cos \phi$ und $v_1^{\prime }=v_1\sin \phi$. Ein frontaler Treffer ($b=0$) gibt alles an Kugel 2 weiter; ein Streifschuss ($b$ nahe $2R$) lässt Kugel 1 fast unbeeinflusst.

Das Dreieck rechts erreicht den rechten Winkel ohne jede Geometrie des Kontakts. Die Impulserhaltung ergibt, nachdem die gleichen Massen gekürzt sind, ${\vec{v}}_1={\vec{v}}_1^{\prime }+{\vec{v}}_2^{\prime }$: Die drei Geschwindigkeiten schließen sich zu einem Dreieck. Die Energieerhaltung ergibt $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}$. Quadriert man die erste Gleichung, erhält man $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}+2{\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }$, und der Vergleich mit der zweiten lässt ${\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }=0$ übrig. Die beiden Katheten treffen sich im rechten Winkel: Nach einem streifenden elastischen Stoß gleicher Massen, bei dem einer ruhte, verlassen die Kugeln einander im rechten Winkel (bei einem frontalen Treffer bleibt Kugel 1 einfach stehen). Ein ohne Drall gestoßener Billardball macht das fast genauso, und ebenso die Bahnen langsamer Protonen, die auf ruhende Protonen treffen.

Raketen und veränderliche Masse

Eine Rakete verändert ihre eigene Masse, während sie Treibstoff verbrennt, daher kann $\vec{F}=m\vec{a}$ nicht direkt auf sie angewendet werden. Der sichere Weg ist die Impulserhaltung für die Rakete zusammen mit dem Abgas, das sie ausstößt.

Nimm eine Rakete der Masse $m$, die sich mit $v$ bewegt, fern von anderen Kräften, und die Abgas nach hinten mit der Geschwindigkeit $w$ relativ zu sich selbst ausstößt. In einer kurzen Zeit $dt$ ändert sich ihre Masse um $dm$ (ein negativer Betrag), ihre Geschwindigkeit um $dv$, und eine Masse $-dm$ Abgas verlässt sie mit der Geschwindigkeit $v-w$. Der Impuls vor und nach dem Ausstoß muss übereinstimmen:
$mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-w)$
Beim Ausmultiplizieren erscheint $mv$ auf beiden Seiten, die beiden Terme $vdm$ heben sich auf, und das Produkt $dmdv$ zweier kleiner Änderungen ist vernachlässigbar. Übrig bleibt $mdv=-wdm$. Teilt man durch $m$ und integriert von der Anfangsmasse $m_0$ bis zur Endmasse $m_f$, ergibt sich
$\Delta v=w\ln \frac{m_0}{m_f}$

Nur die Ausstoßgeschwindigkeit und das Massenverhältnis zählen, und das Massenverhältnis geht nur über einen Logarithmus ein. Mit $w=3km/s$ und neun Zehnteln der Startmasse als Treibstoff ist $m_0/m_f=10$ und $\Delta v=3\ln 10\approx 6,9km/s$. Das liegt unter den 7,8 km/s einer niedrigen Umlaufbahn, noch bevor die Verluste durch Schwerkraft und Luftwiderstand berücksichtigt sind. Das Abwerfen leerer Tanks unterwegs verringert die Masse, die noch beschleunigt werden muss; deshalb werden Raketen in Stufen gebaut.

Gültigkeitsgrenzen

Der newtonsche Impuls $mv$ ist eine Näherung, gültig für Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$. Die wirklich erhaltene Größe ist $\gamma mv$, mit $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. Bei $0,6c$ ist $\gamma =1,25$, der wahre Impuls liegt also schon 25 % über $mv$, und bei Teilchenstößen kann kinetische Energie sogar zur Masse neuer Teilchen werden. Für die Wagen mit 4 m/s liegt die Korrektur in der Größenordnung $v^2/c^2\approx 2\times 10^{-16}$.

Auch das dritte Gesetz ist nicht exakt. Zwei Ladungen, die sich senkrecht zueinander bewegen, üben magnetische Kräfte aufeinander aus, die nicht gleich groß und entgegengesetzt sind, sodass sich ihr gemeinsamer mechanischer Impuls ändert. Die Gesamtbilanz geht nur auf, wenn der im elektromagnetischen Feld gespeicherte Impuls mitgezählt wird. Licht selbst trägt Impuls, $p=E/c$ für Licht der Energie $E$. Sonnenlicht oberhalb der Atmosphäre liefert 1361 W/m²; auf einer Fläche, die es absorbiert, ergibt das einen Druck von $1361/(3,00\times 10^8)\approx 4,5\times 10^{-6}N/{\mathrm{m}}^2$, also etwa 4,5 µN auf jeden Quadratmeter, genug, um ein Sonnensegel zu steuern.

In der Quantenmechanik ist der Impuls an die Wellenlänge gebunden, $p=h/\lambda$, und seine Erhaltung hat sich bei jeder beobachteten Wechselwirkung bewährt. Sie hat sogar Teilchen vorhergesagt. Beim Beta-Zerfall schien das Elektron die Energieerhaltung zu verletzen, weil seine Energie von Zerfall zu Zerfall variierte. 1930 schlug Pauli vor, dass ein unsichtbares neutrales Teilchen die Differenz davonträgt. Spätere Messungen des rückstoßenden Kerns zeigten, dass auch er Impuls davonträgt: Elektron und Kern flogen nicht mit gleichen und entgegengesetzten Impulsen auseinander. Das Neutrino wurde 1956 nachgewiesen.

Wohin es führt

Die Invarianz gegenüber Drehungen führt zur Lektion Drehimpuls und Drehimpulserhaltung, und die Rotationsform des zweiten Gesetzes zur Lektion Rotationsdynamik und Drehmoment. Die Energieseite von Stößen steht in der Lektion Arbeit, Energie und Leistung. Gasdruck ist der Impuls, den unzählige molekulare Stöße jede Sekunde auf jeden Quadratmeter der Wand übertragen, wie die Lektion Kinetische Gastheorie zeigt, und $\gamma mv$ mit der Umwandlung von Energie in Masse gehört zur Lektion Spezielle Relativitätstheorie. In der Lektion Teilchen und Kräfte: das Standardmodell zeigt wie die Impuls- und Energiebilanz Teilchen verrät, die keine Spur hinterlassen.