Arbeit, Energie und Leistung

Einsteiger

Im Alltag ist es anstrengend, zehn Minuten lang eine schwere Tasche zu tragen. In der Physik ist das gar keine Arbeit, denn Arbeit hat eine genaue Bedeutung: Eine Kraft verrichtet Arbeit, wenn sie etwas in die Richtung bewegt, in die sie drückt oder zieht. Arbeit = Kraft × Weg, gemessen in Joule (J). Schiebst du einen Wagen mit 10 N über 3 m, verrichtest du 30 J Arbeit.

Wer an einem Körper Arbeit verrichtet, gibt ihm Energie, also die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Zwei Arten sind hier wichtig. Ein angehobener Körper hat Höhenenergie (potentielle Energie der Schwerkraft): Gewicht × Höhe. Hebst du eine 20 N schwere Mehltüte 1,5 m hoch auf ein Regal, speichert sie 30 J. Ein bewegter Körper hat Bewegungsenergie (kinetische Energie), $\frac{1}{2}m{v}^2$. Weil die Geschwindigkeit quadriert wird, hat ein Auto mit doppelter Geschwindigkeit die vierfache Energie.

Energie wird nie erzeugt oder vernichtet, sie wandelt sich nur um. Lässt du einen Ball fallen, verliert er Höhenenergie und gewinnt genau gleich viel Bewegungsenergie. Beim Aufprall staucht die Bewegungsenergie Ball und Boden für einen Moment, und ein Teil davon wird zu Wärme und Schall; deshalb springt der Ball nie bis zur Ausgangshöhe zurück.

Leistung gibt an, wie schnell Arbeit verrichtet wird, in Watt: Ein Watt ist ein Joule pro Sekunde. Zwei Personen, die dieselbe Kiste dieselbe Treppe hinaufbringen, verrichten dieselbe Arbeit; wer schneller ist, entwickelt mehr Leistung.

Kontrollfrage: Du trägst eine Kiste mit gleichbleibender Geschwindigkeit durch einen ebenen Raum. Wie viel Arbeit verrichtet deine nach oben gerichtete Kraft an der Kiste? (Keine: Die Kiste bewegt sich seitlich, im rechten Winkel zu deiner Kraft.)

In der Animation wird der blaue Balken „Höhe“ kürzer und der goldene Balken „Bewegung“ wächst, während der Ball fällt; der grüne Gesamtbalken bleibt gleich.

Mittelstufe

Arbeit: die Kraft entlang der Verschiebung

In der Physik verrichtet eine Kraft nur dann Arbeit, wenn sich der Körper während der Einwirkung bewegt, und nur der Anteil der Kraft entlang der Bewegung zählt. Bei einer konstanten Kraft $F$ und einer geradlinigen Verschiebung $d$, die mit der Kraft den Winkel $\theta$ einschließt,
$W=Fd\cos \theta$

Arbeit wird in Joule gemessen, $1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, etwa die Arbeit, um einen 100 g schweren Apfel einen Meter hoch zu heben. Sie ist eine Skalargröße: Sie hat keine Richtung, aber ein Vorzeichen.

Der Winkel zwischen Kraft und Verschiebung bestimmt dieses Vorzeichen:

• In Bewegungsrichtung ist $\theta =0^{\circ }$ und $W=Fd$: Die Kraft führt dem Körper Energie zu.
• Im rechten Winkel ist $\theta =90^{\circ }$, und die Kraft verrichtet keine Arbeit: der Boden unter einem gleitenden Kasten oder eine Schnur, die einen Stein im Kreis schwingt.
• Entgegen der Bewegung ist $\theta =180^{\circ }$ und $W=-Fd$: Reibung und Bremsen entziehen der Bewegung Energie.

Wirken mehrere Kräfte, verrichtet jede ihre eigene Arbeit, und die Nettoarbeit ist deren Summe.

Kinetische Energie und der Arbeits-Energie-Satz

Schiebe einen Wagen der Masse $m$ mit einer konstanten Nettokraft $F$ über eine Strecke $d$. Mit $a=F/m$ wird die kinematische Beziehung $v^2=v_0^2+2ad$, multipliziert mit $m/2$, zu $Fd=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Was die Arbeit verändert, ist die kinetische Energie,
$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$
und die Nettoarbeit aller Kräfte ist gleich deren Änderung. Dies ist der Arbeits-Energie-Satz:
$W_{\mathrm{net}}=\Delta KE$

Positive Nettoarbeit beschleunigt einen Körper, negative bremst ihn. Die kinetische Energie ist nie negativ, hängt nicht von der Bewegungsrichtung ab und wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

Potentielle Energie und Energieerhaltung

Fällt ein Ball der Masse $m$ von der Höhe $h_1$ auf $h_2$, verrichtet seine Gewichtskraft $mg$ die Arbeit $mg(h_1-h_2)$, unabhängig vom Weg, denn nur der senkrechte Anteil jedes kleinen Wegstücks liegt in Richtung der Schwerkraft. Arbeit, die nur von den Endpunkten abhängt, kann gespeichert und wieder abgegeben werden; deshalb wird sie als potentielle Energie verbucht:
$PE=mgh$

Die Höhe $h$ wird von einem frei gewählten Nullniveau aus gemessen, denn nur Änderungen von $PE$ zählen. Die Arbeit der Schwerkraft ist beim Hinabfallen positiv, wo $PE$ sinkt, und beim Hochsteigen negativ.

Verrichten nur die Schwerkraft oder eine ideale Feder Arbeit, erscheint jedes Joule, das aus $PE$ verschwindet, in $KE$ wieder, und die mechanische Energie bleibt gleich:
$KE+PE=\text{constant}\text{(no friction or drag)}$

Ein aus der Höhe $h$ fallen gelassener Körper erreicht also $v=\sqrt{2gh}$, aus $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$. Die Masse kürzt sich heraus, und auf einer reibungsfreien Rutschbahn spielt auch deren Form keine Rolle: Die Bahn drückt senkrecht zur Bewegung und verrichtet keine Arbeit.

Rechenbeispiel: der fallende Ball aus der Animation

Der 2 kg schwere Ball wird aus der Ruhe bei $h_0=18\mathrm{m}$ losgelassen. Mit dem Boden als $h=0$ ist seine gesamte Energie am Anfang potentiell:
$E=mg{h}_0=2\cdot 9,81\cdot 18\approx 353\mathrm{J}$

Auf halber Strecke, bei $h=9\mathrm{m}$, hat sich die Hälfte davon umgewandelt: $PE\approx 177\mathrm{J}$ und $KE\approx 177\mathrm{J}$, also $v=\sqrt{2KE/m}\approx 13,3m/s$. Kurz vor dem Aufprall ist $PE=0$ und $KE=E$:
$v=\sqrt{2g{h}_0}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 18}\approx 18,8m/s$

Dies sind die Werte der Anzeigen $PE$, $KE$ und $v$, und das letzte Bild, der Moment kurz vor dem Aufprall, zeigt $KE=E$ und $PE=0$. Während des ganzen Falls ergeben der blaue $PE$-Balken und der goldene $KE$-Balken zusammen den grünen $E$-Balken, während der Geschwindigkeitspfeil $v$ wächst.

Der Fall dauert $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$, doch die halbe Höhe wird schon nach 1,35 s erreicht. Nach der halben Zeit, 0,96 s, ist der Ball erst 4,5 m gefallen, und nur ein Viertel der Energie, 88 J, hat sich umgewandelt. Die Energie verteilt sich nach der Höhe, nicht nach der Zeit, und der Ball legt pro Sekunde immer mehr Höhe zurück: Seine Bilder im Abstand von 0,4 s rücken immer weiter auseinander.

Rechenbeispiel: ein beladener Schlitten

Ein Kind zieht einen 25 kg schweren Schlitten aus der Ruhe 20 m weit über ebenen Schnee. Das Seil bildet einen Winkel von $30^{\circ }$ zum Boden und hat eine Spannung von 60 N, die Reibung an den Kufen beträgt 30 N. Wie schnell ist der Schlitten am Ende?

Das Seil verrichtet $60\cdot 20\cdot \cos 30^{\circ }\approx 1039\mathrm{J}$ Arbeit, und die Reibung, die nach hinten zeigt, verrichtet $30\cdot 20\cdot \cos 180^{\circ }=-600\mathrm{J}$. Gewicht und Auflagekraft des Schnees sind senkrecht, im rechten Winkel zur Bewegung, und verrichten daher keine Arbeit. Die Nettoarbeit beträgt 439 J, und aus der Ruhe liefert der Arbeits-Energie-Satz
$v=\sqrt{\frac{2W_{\mathrm{net}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 439}{25}}\approx 5,9m/s$

Die newtonschen Gesetze bestätigen das: Der Vorwärtsanteil des Zugs, $60\cos 30^{\circ }\approx 52\mathrm{N}$, lässt eine Nettokraft von 22 N übrig, also $a\approx 0,88m/{\mathrm{s}}^2$ und $v^2=2\cdot 0,88\cdot 20\approx 35{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$. Der Energieweg brauchte weder Beschleunigung noch Zeit.

Leistung und das Lesen von Energiegraphen

Leistung ist die Rate, mit der Arbeit verrichtet wird, gemessen in Watt, $1\mathrm{W}=1J/s$:
$P=\frac{W}{t}$
Für eine Kraft in Bewegungsrichtung bei der Geschwindigkeit $v$ ist die Arbeit in einem kurzen Zeitraum $\Delta t$ gleich $Fv\Delta t$, also $P=Fv$. Am Ende des Zugs liefert das Seil $52\cdot 5,93\approx 308\mathrm{W}$, im Mittel über die 6,7 s aber nur 154 W, da der Schlitten aus der Ruhe startete.

Im Diagramm Kraft gegen Weg ist die Fläche unter der Linie die Arbeit: ein Rechteck $Fd$ bei konstanter Kraft, ein Dreieck $\frac{1}{2}k{x}^2$ bei einer Feder, deren Kraft mit der Dehnung wächst, $F=kx$. Im Diagramm Energie gegen Zeit ist die Steigung die Leistung. Die Leistung der Schwerkraft am fallenden Ball, $mgv$, steigt von null bis $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$ beim Aufprall, sodass sich der goldene Balken zuerst langsam und dann immer schneller füllt.

Häufige Fehler

• Arbeit ist nicht Anstrengung. Einen 20 kg schweren Koffer zehn Minuten lang still zu halten, verrichtet keine Arbeit an ihm; deine Muskeln verbrennen chemische Energie, nur um angespannt zu bleiben.
• Kinetische Energie ist nicht proportional zur Geschwindigkeit. Von 15 m/s auf 30 m/s steigt die $KE$ eines 1200 kg schweren Autos von 135 kJ auf 540 kJ; bei gleicher Bremskraft braucht es also den vierfachen Bremsweg.
• Arbeit kann negativ sein. Die Reibung hat am Schlitten $-600\mathrm{J}$ verrichtet: Diese Energie verließ die Bewegung und tauchte als Wärme in den Kufen und im Schnee wieder auf.
• Ein einzelner Wert von $PE$ ist ohne sein Nullniveau bedeutungslos. Der Ball hat 353 J relativ zum Boden und 0 J relativ zu seinem Startpunkt, doch der Fall setzt in beiden Fällen 353 J frei.
• Schwerere Körper fallen nicht schneller, wenn nur die Schwerkraft wirkt. Ein 4 kg schwerer Ball, aus 18 m fallen gelassen, trägt 706 J, also doppelt so viel, erreicht aber trotzdem 18,8 m/s: Die Masse kürzt sich heraus.

Wo dir das begegnet

Achterbahn-Konstrukteure gehen von $KE+PE$ aus: Ein aus der Ruhe 40 m über dem tiefsten Punkt losgelassener Wagen kann höchstens $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 40}\approx 28m/s$ erreichen, etwa 100 km/h. Wasserkraftwerke wandeln die potentielle Energie des Wassers in Strom um: etwa 0,98 MJ für jede Tonne, die 100 m fällt.

Spätere Lektionen bauen auf derselben Buchführung auf: Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder (keine Maschine gibt mehr Arbeit ab, als sie aufnimmt), Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung (die Energie einer gedehnten Feder), Harmonische Schwingung, Das Bernoulli-Prinzip, Elektrisches Feld und Potential sowie Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen, der die Wärme in die Bilanz einbezieht.

Fortgeschritten

Arbeit als Linienintegral

Die Regel $W=Fd\cos \theta$ setzt eine konstante Kraft und einen geraden Weg voraus. Echte Kräfte ändern sich von Ort zu Ort, und echte Bahnen krümmen sich, also brauchen wir eine Definition der Arbeit, die beides erfasst. Alles Weitere in dieser Lektion baut darauf auf.

Legende

$A$	Anfang des Weges.
$B$	Ende des Weges.
$d\vec{r}$	Ein kurzer Schritt entlang des Weges, Länge $dr$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Kraft auf das Teilchen am Anfang des Schritts.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Winkel zwischen $\vec{F}$ und dem Schritt.	$\mathrm{rad}$
$F\cos \theta$	Komponente von $\vec{F}$ entlang des Schritts: der einzige Anteil, der Arbeit verrichtet.	$\mathrm{N}$

Abbildung 1 zeigt ein Teilchen, das sich auf einer gekrümmten Bahn von $A$ nach $B$ bewegt, während die Kraft auf es von Punkt zu Punkt wechselt. Die Idee: Man zerlegt die Bahn in so kurze Stücke, dass jedes praktisch gerade ist und sich die Kraft darauf kaum ändert. Über ein solches Stück gilt die einfache Regel wieder.

Betrachte das vergrößerte Stück $d\vec{r}$: ein Pfeil der Länge $dr$ entlang der Bahn. Dort, wo er beginnt, wirkt die Kraft $\vec{F}$ unter dem Winkel $\theta$ zum Stück. Die kleinen Punkte entlang der Kurve markieren, wo andere Stücke beginnen; jedes hat seine eigene Kraft und seinen eigenen Winkel.

Nur der Anteil von $\vec{F}$ entlang des Stücks schiebt das Teilchen darauf weiter; der Anteil senkrecht dazu schiebt es nur seitlich. Um den Anteil entlang des Stücks zu finden, fälle vom Ende des Pfeils $\vec{F}$ das gestrichelte Lot auf die Richtung des Stücks: Der grüne Balken, den es abschneidet, hat die Länge $F\cos \theta$. Die Arbeit in diesem einen Stück ist dieser Anteil mal der Länge des Stücks:
$dW=F\cos \theta dr=\vec{F}\cdot d\vec{r}$

Das Skalarprodukt taucht auf, weil es genau das ist: der Anteil des einen Vektors in Richtung des anderen, multipliziert mit der Länge des anderen. Die Gesamtarbeit von $A$ nach $B$ ist die Summe über alle Stücke. Werden die Stücke immer kürzer, wird die Summe zum Linienintegral
$W={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^B\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)$
Die zweite Form schreibt das Skalarprodukt in Komponenten aus, so wird es meist berechnet.

Zwei Folgerungen ergeben sich sofort. Bei einer konstanten Kraft auf geradem Weg lässt sich $\vec{F}$ aus dem Integral herausziehen, die Stücke ergeben die Verschiebung, und man erhält wieder $W=Fd\cos \theta$. Teilt man $dW$ durch die Zeit $dt$, die das Stück dauert, und setzt $d\vec{r}/dt=\vec{v}$, erhält man die Leistung, die die Kraft in jedem Augenblick abgibt: $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$.

Arbeit ist nichts, was ein Körper besitzt. Sie beschreibt einen Vorgang: eine Energiemenge, die vom Verursacher der Kraft auf den Körper übergeht, auf den sie wirkt.

Herleitung des Arbeits-Energie-Satzes

Das Linienintegral wird nützlich, sobald man es mit der Bewegung verknüpft. Das newtonsche Grundgesetz stellt diese Verbindung her, und das Ergebnis, der Arbeits-Energie-Satz, besagt: Die Nettoarbeit an einem Teilchen ist gleich der Änderung seiner kinetischen Energie $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Beginne mit der zeitlichen Änderung von $KE$. Das Quadrat der Geschwindigkeit ist das Skalarprodukt der Geschwindigkeit mit sich selbst, $v^2=\vec{v}\cdot \vec{v}$, und nach der Produktregel ist seine Änderungsrate $2\vec{v}\cdot d\vec{v}/dt$. Für ein Teilchen mit konstanter Masse $m$ gilt daher
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=m\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \vec{v}$
Der letzte Schritt ist das newtonsche Grundgesetz, $md\vec{v}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{net}}$: Die Änderungsrate der $KE$ ist die Leistung der Nettokraft.

Integriere nun über die Zeit vom Anfang bis zum Ende. In der Zeit $dt$ legt das Teilchen das Stück $d\vec{r}=\vec{v}dt$ zurück, sodass das Zeitintegral von ${\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \vec{v}$ zu einem Linienintegral entlang der Bahn wird:
$\Delta KE=\int {\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot d\vec{r}=W_{\mathrm{net}}$

In dieser Herleitung wurde nichts über die Kraft oder die Bahn angenommen. Der Satz gilt deshalb für die Nettokraft auf ein Teilchen, unabhängig davon, ob diese Kraft eine potentielle Energie besitzt.

Kräfte, die keine Arbeit verrichten

Manche Kräfte wirken ständig auf einen Körper und ändern dennoch nie seine Geschwindigkeit. Sie zu erkennen vereinfacht Energieaufgaben, weil sie in der Bilanz wegfallen.

Legende

$h$	Starthöhe über dem Boden: wie weit die Kugel fällt.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Gewicht der Kugel, senkrecht nach unten.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Stützkraft der Bahn auf die Kugel, senkrecht zur Bahn.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit der Kugel, entlang der Bahn.	$m/s$

Abbildung 2 zeigt eine Kugel, die aus der Ruhe eine reibungsfreie Rutsche beliebiger Form hinabgleitet, gestartet in der Höhe $h$ über dem Boden. Auf sie wirken zwei Kräfte: ihre Gewichtskraft $m\vec{g}$, senkrecht nach unten, und die Stützkraft $\vec{N}$ der Bahn. Eine glatte Bahn kann nur senkrecht zu ihrer eigenen Oberfläche drücken. Die Kugel bewegt sich entlang dieser Oberfläche, also zeigt ihre Geschwindigkeit $\vec{v}$ längs der Bahn. Das kleine Quadrat markiert den rechten Winkel zwischen $\vec{N}$ und $\vec{v}$: Zu jedem Zeitpunkt gilt $\vec{N}\cdot \vec{v}=0$, die Leistung von $\vec{N}$ ist also null, und die Stützkraft verrichtet keine Arbeit, wie die Bahn auch gekrümmt ist.

Das gilt allgemein. Zerlege jede Kraft in einen Anteil entlang der Geschwindigkeit und einen quer dazu. Nur der Anteil entlang von $\vec{v}$ ändert die Geschwindigkeit; der Anteil quer dazu krümmt nur die Bahn. Die Stützkraft einer reibungsfreien Bahn, die Spannung im Pendelfaden und die magnetische Kraft auf eine bewegte Ladung stehen alle senkrecht zu $\vec{v}$ und verrichten daher keine Arbeit. In Abbildung 2 bleibt daher nur das Gewicht übrig, um die kinetische Energie zu ändern.

Um die Arbeit des Gewichts zu bestimmen, sei $y$ die Höhe der Kugel über dem Boden zu jedem Zeitpunkt: $y=h$ am Anfang und $y=0$ am Ende. Das Gewicht zeigt senkrecht nach unten, daher zählt nur der vertikale Anteil von $\vec{v}$, also $dy/dt$:
$m\vec{g}\cdot \vec{v}=-mg\frac{dy}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(mgy\right)$
Das Minuszeichen erscheint, weil das Gewicht nach unten zeigt, während $y$ nach oben gemessen wird. Über die ganze Rutsche verrichtet das Gewicht daher die Arbeit $mgh$, die nur vom Höhenunterschied abhängt, nicht von der Form der Bahn. Der Satz liefert dann $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$: Eine reibungsfreie Rutsche beliebiger Form liefert unten dieselbe Geschwindigkeit, $v=\sqrt{2gh}$.

Lies die Gleichung für die Leistung umgekehrt: Die Rate, mit der $KE$ wächst, ist genau die Rate, mit der $mgy$ sinkt. Verrichtet keine andere Kraft Arbeit, bleibt die Summe $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy$ entlang jedes Weges konstant. Die Energieerhaltung ist hier keine zusätzliche Annahme: Sie folgt aus dem newtonschen Grundgesetz zusammen mit der Form der Kraft.

Was der Energiegraph zeigt

Die Ansicht „Fortgeschritten“ der Animation trägt diese Energien gegen die Zeit für den fallenden Ball der Lektion auf, sodass die Buchführung beim Ablauf beobachtet werden kann.

Der Ball mit der Masse $m=2\mathrm{kg}$ wird aus der Ruhe bei der Höhe $h_0=18\mathrm{m}$ losgelassen und fällt frei. Nach der Zeit $t$ ist seine Höhe $h=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$ und seine Geschwindigkeit $v=gt$. Setzt man dies in $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$ und $PE=mgh$ ein, erhält man
$KE(t)=\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2,PE(t)=mg{h}_0-\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2$
Der Faktor ist $\frac{1}{2}m{g}^2\approx 96,2J/{\mathrm{s}}^2$. Die goldene Parabel der $KE$ öffnet sich nach oben, und die blaue Parabel der $PE$ ist ihr Spiegelbild. In der Summe heben sich die $t^2$-Terme auf, sodass die grüne Gesamtenergie waagerecht bei $mg{h}_0\approx 353\mathrm{J}$ verläuft: $dE/dt=0$.

Die Steigung der $KE$-Kurve ist die Leistung, die die Schwerkraft abgibt, $dKE/dt=m{g}^{2}t=mgv$, was $\vec{F}\cdot \vec{v}$ für das Gewicht ist. Sie ist beim Loslassen null, bei halber Fallzeit etwa 184 W und beim Aufprall $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$. Der Fall dauert $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$, daher beträgt die mittlere Leistung $353/1,92\approx 184\mathrm{W}$: die Hälfte des Endwerts, weil $v$ proportional zur Zeit wächst. Die Steigung von $PE(t)$ ist genau das Gegenteil, und so zeigt der Graph $W=-\Delta PE$.

Trägt man beide Energien gegen die Höhe statt gegen die Zeit auf, wären es zwei Geraden, $PE=mgh$ und $KE=mg(h_0-h)$. Die Kurven über der Zeit spiegeln nur wider, dass der Ball pro Sekunde mehr Höhe zurücklegt, je schneller er wird.

Konservative Kräfte und potentielle Energie

Die Arbeit der Gewichtskraft hing nur davon ab, wo der Ball startete und wo er endete. Kräfte mit dieser Eigenschaft sind besonders: Ihre Arbeit lässt sich speichern und zurückgewinnen, und dieser Speicher ist die potentielle Energie.

Eine Kraft ist konservativ, wenn ihre Arbeit von einem Punkt $A$ zu einem Punkt $B$ auf jedem Weg zwischen ihnen dieselbe ist. Gleichwertig: Ihre Arbeit über jede geschlossene Schleife ist null. Man geht auf dem einen Weg hinaus und auf einem anderen zurück, und die beiden Beiträge heben sich auf. Schwerkraft, ideale Federn und elektrostatische Kräfte sind konservativ. Da ihre Arbeit nur von den Endpunkten abhängt, lässt sie sich als Abnahme einer Ortsfunktion schreiben, der potentiellen Energie $U$:
$W_{A\to B}=-(U_B-U_A)$
Nur Differenzen von $U$ treten auf; $U$ ist deshalb bis auf eine additive Konstante festgelegt: Den Nullpunkt darf man frei wählen.

Für die Schwerkraft gibt es außerdem ein Argument ganz ohne Dynamik, warum Gewicht mal Höhe die richtige Größe ist, die man verfolgen muss. Stell dir ideale Maschinen vor (Hebel, Rollen), die ein Gewicht absenken, um ein anderes zu heben, und nenne eine Maschine reversibel, wenn ihr Rückwärtslauf genau das rückgängig macht, was sie getan hat. Angenommen, eine Maschine könnte eine Last höher heben als eine reversible Maschine bei gleichem Absenken des antreibenden Gewichts. Lässt man sie vorwärts laufen und die reversible rückwärts, kehrt das antreibende Gewicht an seinen Ausgangsort zurück, die Last aber steht höher, ohne Gegenleistung. Wiederholt ergäbe das ein Perpetuum mobile, das nie beobachtet wird. Also schlägt keine Maschine eine reversible, und alle reversiblen Maschinen leisten genau dasselbe. Ein ausgeglichener Hebel tauscht Gewicht gegen Höhe im exakt gleichen Verhältnis; unverändert bleibt bei allen die Summe aus Gewicht mal Höhe.

Einen Graphen der potentiellen Energie lesen

Ein Graph von $U$ gegen die Lage zeigt auf einen Blick, wohin ein Körper gelangen kann, wo er umkehrt und in welche Richtung er geschoben wird, ohne eine Bewegungsgleichung zu lösen.

Legende

$x$	Position des Körpers auf der Linie.	$\mathrm{m}$
$U$	Potentielle Energie des Körpers an der Stelle $x$.	$\mathrm{J}$
$E$	Gesamtenergie $KE+U$: konstant, als Niveaulinie gezeichnet.	$\mathrm{J}$
$KE$	Kinetische Energie: der Abstand zwischen dem Niveau $E$ und der Kurve $U$.	$\mathrm{J}$
$F$	Kraft $-dU/dx$ auf den Körper am markierten Punkt: sie zeigt bergab und ist dort größer, wo die Steigung steiler ist. Null an den beiden mit $F=0$ markierten Punkten.	$\mathrm{N}$
$x_1$	Linker Umkehrpunkt, wo $U=E$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Rechter Umkehrpunkt, wo $U=E$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 3 zeigt die potentielle Energie $U(x)$ eines Körpers, der sich entlang einer Linie bewegt; $x$ ist seine Position. Die waagerechte Linie ist seine Gesamtenergie $E=KE+U$, die konstant bleibt, solange nur konservative Kräfte arbeiten. Da $KE=E-U$ gilt, ist die kinetische Energie bei jedem $x$ die Höhe der goldenen Lücke zwischen dem Niveau $E$ und der darunterliegenden Kurve.

Die kinetische Energie kann nicht negativ sein, daher kann sich der Körper nur dort befinden, wo die Kurve auf oder unter $E$ liegt. Die Lücke schließt sich an den Umkehrpunkten $x_1$ und $x_2$, wo $U=E$ gilt: Dort hält der Körper einen Augenblick an und kehrt um, er pendelt also zwischen ihnen wie eine Murmel in einer Schüssel. Der Hügel rechts ragt über $E$ hinaus, ein Körper mit dieser Energie kann ihn daher nicht überqueren.

Der Graph liefert auch die Kraft. Bewegt sich der Körper um $dx$, verrichtet die Kraft die Arbeit $Fdx$, und bei einer konservativen Kraft ist diese Arbeit gleich der Abnahme der potentiellen Energie, $-dU$. Mit $Fdx=-dU$ folgt
$F=-\frac{dU}{dx}$
und in drei Dimensionen $\vec{F}=-\nabla U$. Wegen des Minuszeichens zeigt die Kraft in jedem Graphen von $U(x)$ bergab. In Abbildung 3 zeigt der Pfeil $F$ am Hang zwischen dem Grund der Mulde und $x_2$ zurück zum Grund; wo die Kurve steiler ist, ist die Kraft größer. Wo die Steigung null ist, verschwindet die Kraft, an den beiden mit $F=0$ markierten Punkten.

Diese beiden Punkte sind Gleichgewichtslagen, aber verschiedener Art. Der Grund der Mulde ist ein Minimum von $U$: Eine kleine Auslenkung in beide Richtungen trifft auf eine Kraft zurück zum Grund, das Gleichgewicht ist stabil. Die Spitze des Hügels ist ein Maximum: Eine kleine Auslenkung trifft auf eine Kraft, die den Körper weiter wegdrückt, das Gleichgewicht ist instabil. Als Kontrolle ergibt das Federpotential $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ das hookesche Gesetz zurück, $F=-kx$.

Reibung, Wärme und die vollständige Energiebilanz

Nicht jede Kraft ist konservativ. Reibung ist die alltägliche Ausnahme, und ihre Einbeziehung vervollständigt die Energiebilanz.

Die Arbeit der Gleitreibung wächst mit der Länge des Weges, und sie ist negativ, egal in welche Richtung der Körper gleitet, denn Reibung wirkt dem Gleiten immer entgegen. Ein Hin- und Rückweg hinterlässt daher negative Arbeit statt null, und keine potentielle Energie kann das beschreiben. Man teilt die Nettoarbeit in den Anteil der konservativen Kräfte, der $-\Delta U$ ist, und den Rest, $W_{\mathrm{nc}}$ (nicht konservativ). Der Arbeits-Energie-Satz, $\Delta KE=-\Delta U+W_{\mathrm{nc}}$, wird dann zu
$\Delta KE+\Delta U=W_{\mathrm{nc}}$
$W_{\mathrm{nc}}$ fasst Reibung und Strömungswiderstand zusammen, die es negativ machen, sowie positive Beiträge wie den Schub eines Motors oder von Muskeln.

Hier der Effekt in Zahlen. Ein 2 kg schwerer Block, der aus der Animationshöhe von 18 m losgelassen wird, gleitet eine gerade Rampe im Winkel $\alpha$ zur Waagerechten hinab, mit dem Gleitreibungskoeffizienten $\mu =0,2$. Die Normalkraft beträgt $mg\cos \alpha$, die Reibung also $\mu mg\cos \alpha$, und sie wirkt auf der ganzen Rampe der Länge $h_0/\sin \alpha$. Ihr Produkt ist die Reibungsarbeit:
$W_{\mathrm{nc}}=-\mu mg\cos \alpha \cdot \frac{h_0}{\sin \alpha }=-\frac{\mu mg{h}_0}{\tan \alpha }$
Bei einer $30^{\circ }$-Rampe sind das $-122\mathrm{J}$; es bleiben $353-122=231\mathrm{J}$ kinetische Energie und unten eine Geschwindigkeit von 15,2 m/s. Bei einer $60^{\circ }$-Rampe sind es nur $-41\mathrm{J}$, und der Block kommt mit 17,7 m/s an. Gleiches Gefälle, verschiedene Wege, verschiedene Arbeit: das Kennzeichen einer nicht konservativen Kraft.

Die Energie wird nicht vernichtet. Das Reiben versetzt die Atome beider Oberflächen in Bewegung, und diese ungeordnete Bewegung ist thermische Energie. Auf der Ebene der Atome sind die Kräfte konservativ; Reibung wandelt lediglich geordnete Bewegung in ungeordnete um. Ein Block, der auf einem ebenen Boden eine Strecke $d$ gleitet, gedrückt von der Normalkraft $N$, erzeugt $\mu Nd$ thermische Energie. Rechnet man sie mit, ist die Energie exakt erhalten: Das ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik aus Sicht der Mechanik. Die Wärme kehrt nie von selbst in die Bewegung des Blocks zurück, eine Einbahnstraße, die der zweite Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt.

Gerechnetes Beispiel: ein Ball landet auf einer Feder

Dieses Problem verbindet Schwerkraft und Feder in einer Energiebilanz und zeigt, wie groß die Kraft sein muss, um einen fallenden Körper über eine kurze Strecke zum Stehen zu bringen.

Legende

$m$	Masse des Balls.	$\mathrm{kg}$
$k$	Steifigkeit der Feder.	$N/m$
$h_0$	Höhe des Auslösepunkts über der Federoberkante.	$\mathrm{m}$
$x$	Kompression der Feder am tiefsten Punkt des Falls.	$\mathrm{m}$
$h_0+x$	Gesamte Fallstrecke vom Loslassen bis zum tiefsten Punkt.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 zeigt den Aufbau. Der Ball der Animation, Masse $m=2\mathrm{kg}$, wird aus der Ruhe in der Höhe $h_0=18\mathrm{m}$ über einer leichten senkrecht stehenden Feder mit der Steifigkeit $k=5000N/m$ losgelassen, deren Oberkante auf Bodenhöhe liegt. Wie weit, $x$, ist die Feder zusammengedrückt, wenn der Ball stehen bleibt? Rechts in der Abbildung fällt der Ball $h_0$, um die Feder zu erreichen, und dann weitere $x$, während er sie zusammendrückt, also insgesamt $h_0+x$. Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht: Das echte $x$ ist etwa fünfzigmal kleiner als $h_0$.

Der Ball startet und endet in Ruhe, also ist $\Delta KE=0$. Ohne Verluste muss die gesamte Arbeit, die die Gewichtskraft während des ganzen Falls verrichtet, in der Feder gespeichert werden: die ursprünglichen 353 J plus das zusätzliche $mgx$, das frei wird, wenn der Ball unter den Boden sinkt. Also
$mg(h_0+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
Mit den Zahlen ist dies eine quadratische Gleichung für $x$, und ihre positive Wurzel ist die Antwort:
$2500x^2-19,62x-353,16=0,x\approx 0,380\mathrm{m}$

Der zusätzliche Term ändert die Antwort nur um 1 %: Ohne ihn ergäbe sich $x=\sqrt{2\cdot 353/5000}\approx 0,376\mathrm{m}$. Die größte Kraft auf den Ball, $kx\approx 1900\mathrm{N}$, ist etwa 97-mal sein Gewicht. Crashmatten und Knautschzonen wirken umgekehrt: Sie nehmen die Energie über eine längere Strecke auf, und die doppelte Strecke bedeutet die halbe mittlere Kraft.

Dasselbe Problem lässt sich am Graphen der potentiellen Energie ablesen. Schreibe die potentielle Energie als Funktion der Kompression $x$ zu jedem Zeitpunkt, während der Ball die Feder berührt (die Antwort oben ist der größte Wert von $x$), mit $U=0$ an der Oberkante der Feder:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$
Der Federterm wächst, während die Feder zusammengedrückt wird; der Schwerkraftterm sinkt, während der Ball einsinkt. Das Minimum von $U$, wo $dU/dx=kx-mg=0$ gilt, liegt bei $x=mg/k\approx 3,9\mathrm{mm}$: Dort hält die Federkraft das Gewicht im Gleichgewicht, und der Ball könnte auf der Feder ruhen. Der tiefste Punkt des Falls ist nicht dieses Minimum, sondern der Umkehrpunkt, an dem $U=E$ gilt, wie in Abbildung 3. Ohne Verluste würde der Ball zurückprallen, die Feder mit 18,8 m/s verlassen und bis 18 m zurückklettern.

Grenzen der Gültigkeit

Beide Energieformeln dieser Lektion sind Näherungen, und der Satz selbst betrifft Teilchen. Hier steht, wo jede von ihnen an ihre Grenzen stößt.

$mgh$ ist die oberflächennahe Form der Gravitationsenergie $U=-GMm/r$, wobei $M$ die Masse der Erde und $r$ der Abstand vom Erdmittelpunkt ist. Genau genommen kostet es, eine Masse von der Oberfläche, beim Radius $R\approx 6371\mathrm{km}$, um eine Höhe $h$ anzuheben, $mghR/(R+h)$. $mgh$ ist also um einen Bruchteil von etwa $h/R$ zu groß: $3\times 10^{-6}$ beim Fall aus 18 m, aber 6 % beim Anheben auf die 400 km Höhe der Raumstation. Lässt man $h$ unbegrenzt wachsen, erhält man die Energie, die nötig ist, um der Erde ganz zu entkommen, $mgR$, etwa 62,5 MJ pro Kilogramm, was einer Fluchtgeschwindigkeit von 11,2 km/s entspricht.

$\frac{1}{2}m{v}^2$ ist die Form für kleine Geschwindigkeiten der relativistischen kinetischen Energie $(\gamma -1)m{c}^2$, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist und $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. Die erste Korrektur addiert einen Anteil $\frac{3}{4}{v}^2/c^2$ zur Energie: etwa $3\times 10^{-15}$ für den Ball bei 18,8 m/s, während bei halber Lichtgeschwindigkeit die klassische Formel um 19 % zu niedrig liegt. Energie hat auch Masse: Die 353 J des Balls entsprechen $353/c^2\approx 4\times 10^{-15}\mathrm{kg}$.

Der Satz ist eine Aussage über ein Teilchen. Für einen Körper, der sich dreht, sich verformt oder eigene Energiespeicher hat, ergibt das Integral $\int {\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot d{\vec{r}}_{\mathrm{cm}}$, entlang des Weges des Schwerpunkts genommen, nur die Änderung der kinetischen Energie der Schwerpunktsbewegung. Wenn du springst, drückt der Boden dich nach oben, doch der Punkt, an dem er drückt, bewegt sich nicht; der Boden verrichtet also keine Arbeit, und deine kinetische Energie stammt aus der chemischen Energie deiner Muskeln. Eine massive Kugel, die aus 18 m ohne zu rutschen rollt, steckt zwei Siebtel ihrer kinetischen Energie in die Drehung und kommt mit 15,9 m/s statt 18,8 m/s an. Auf der Skala der Atome übernimmt die Quantenmechanik: Die Energie bleibt erhalten, aber gebundene Energien treten in diskreten Stufen auf, und ein Teilchen kann sogar dort gefunden werden, wo $U>E$ gilt, was die klassische Mechanik verbietet.

Wohin das führt

Emmy Noether zeigte 1918, dass die Energieerhaltung aus einer Symmetrie folgt: Die Naturgesetze sind heute dieselben wie morgen. Innerhalb der Mechanik zieht sich dieselbe Buchführung durch weitere Lektionen: Impuls und Stöße sortiert Stöße danach, ob die kinetische Energie erhalten bleibt, Rotationsdynamik und Drehmoment fügt die Energie der Drehung hinzu, und Gravitation und Umlaufbahnen verwendet $U=-GMm/r$ für Umlaufbahnen und Fluchtgeschwindigkeiten. Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung sowie Harmonische Schwingung bauen auf $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ auf.

Über die Mechanik hinaus macht Elektrisches Feld und Potential aus $U$ die Energie pro Ladungseinheit, das Bernoulli-Prinzip wendet die Energiebilanz auf eine strömende Flüssigkeit an, und Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen macht die Wärme zu einem vollwertigen Teil der Bilanz. Spezielle Relativitätstheorie ersetzt $\frac{1}{2}m{v}^2$ durch $(\gamma -1)m{c}^2$, Kernspaltung, Kernfusion und E = mc² betrachtet die in Atomkernen gespeicherte Energie, und Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt zeigt, was dort geschieht, wo die klassische Bewegung eine negative kinetische Energie bräuchte.