Vektoren und Relativbewegung

Einsteiger

Manche Größen sind mit einer einzigen Zahl vollständig beschrieben: eine Masse von 2 kg, eine Zeit von 10 s, eine Temperatur von 20 °C. Das sind Skalare. Andere brauchen zusätzlich eine Richtung: „Der Bahnhof ist 2 km entfernt“ sagt dir nicht, welche Straße du nehmen sollst. Die Schnelligkeit (wie schnell) ist ein Skalar; die Geschwindigkeit (wie schnell und in welche Richtung) ist ein Vektor, genau wie Verschiebung und Kraft. Einen Vektor zeichnen wir als Pfeil: Seine Länge zeigt die Größe, seine Spitze die Richtung.

Kurzer Check: Ist „15 m/s nach Süden“ eine Schnelligkeit oder eine Geschwindigkeit? (Eine Geschwindigkeit: Sie hat eine Richtung.)

Um zwei Vektoren zu addieren, setzt du den Fuß des zweiten Pfeils an die Spitze des ersten; die Summe reicht vom allerersten Anfang bis zum allerletzten Ende. Geh 3 m nach Osten, dann 4 m nach Norden: Du bist 5 m vom Start entfernt. Du bist 7 m gelaufen, aber deine Verschiebung ist der 5-m-Pfeil.

Geschwindigkeiten addieren sich genauso. Auf einem Rollsteig gehst du mit 1 m/s, während das Band dich mit 2 m/s trägt, also sieht jemand daneben dich mit 3 m/s vorbeiziehen. Gehst du rückwärts mit 2 m/s, bleibst du auf gleicher Höhe mit ihm: Die Geschwindigkeiten heben sich auf.

Kurzer Check: Du gehst mit 1,5 m/s zum Zugende eines Zuges, der mit 20 m/s fährt. Wie schnell ziehst du an jemandem auf dem Bahnsteig vorbei? (18,5 m/s, in Fahrtrichtung des Zuges.)

In der Animation überquert ein Boot einen 60 m breiten Fluss. Der Ruderer zielt geradewegs auf das gegenüberliegende Ufer, aber das Wasser trägt das Boot auf einer schrägen Linie. Die grauen Punkte zeigen, wie es alle 3 Sekunden 9 m abtreibt, insgesamt 36 m. Trotzdem dauert die Fahrt weiterhin 12 Sekunden, wie im ruhigen Wasser: Die Strömung fügt eine seitliche Bewegung hinzu, keine Verzögerung.

Mittelstufe

Skalare, Vektoren und Komponenten

Eine Masse von 2 kg oder eine Zeit von 12 s ist mit einer Zahl und einer Einheit vollständig. Solche Größen sind Skalare und werden wie gewöhnliche Zahlen addiert. Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft brauchen zusätzlich eine Richtung: Sie sind Vektoren. Ein Vektor wird mit einem Pfeil geschrieben, $\vec{A}$; seine Größe, der Betrag, wird $|\vec{A}|$ oder einfach $A$ geschrieben und ist nie negativ. Die Schnelligkeit ist der Betrag des Geschwindigkeitsvektors.

Um mit einem Vektor zu rechnen, wählst du zwei senkrechte Achsen und projizierst den Pfeil auf jede. Schließt $\vec{A}$ mit der $x$-Achse den Winkel $\theta$ ein, gemessen in Richtung der $y$-Achse, hängen seine Komponenten und sein Betrag so zusammen:

• $A_x=A\cos \theta ,A_y=A\sin \theta$
• $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

Komponenten haben Vorzeichen: $A_x$ ist negativ, wenn der Pfeil in Richtung negativer $x$ zeigt. Die zweite Zeile ist der Satz des Pythagoras, und die Richtung ergibt sich aus $\tan \theta =A_y/A_x$. In dieser Lektion zeigt $x$ flussabwärts entlang des Flusses und $y$ geradewegs quer darüber, zum gegenüberliegenden Ufer.

Vektoren addieren und subtrahieren

Um zwei Vektoren zu addieren, setzt du den Fuß des zweiten an die Spitze des ersten; die Summe, auch Resultierende genannt, reicht vom ersten Fuß bis zur letzten Spitze. In Komponenten ist die Regel einfache Addition, Achse für Achse: Wenn $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, dann $C_x=A_x+B_x$ und $C_y=A_y+B_y$, in beliebiger Reihenfolge.

Beträge addieren sich nur bei parallelen Pfeilen. Ein Schritt von 5 m gefolgt von einem Schritt von 3 m ergibt 8 m, wenn beide in dieselbe Richtung gehen, 2 m, wenn sie entgegengesetzt sind, und $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5,83\mathrm{m}$ im rechten Winkel; jeder andere Winkel liefert etwas dazwischen. Subtrahieren heißt, den umgekehrten Pfeil zu addieren, $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$: Von einem gemeinsamen Startpunkt aus gezeichnet, reicht er von der Spitze von $\vec{B}$ zur Spitze von $\vec{A}$.

Relativgeschwindigkeit: eine Kette von Bezugssystemen

Eine Geschwindigkeit wird immer relativ zu etwas gemessen. Sei $\vec{v}{}^{\prime }$ die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser, $\vec{u}$ die Geschwindigkeit des Wassers relativ zum Ufer (die Strömung) und $\vec{v}$ die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer. In jeder Sekunde bewegt sich das Boot um $\vec{v}{}^{\prime }$ durch das Wasser, während das Wasser es um $\vec{u}$ am Ufer entlangträgt, und die beiden Verschiebungen werden Spitze an Fuß addiert:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$

Eine Indexregel hält die Reihenfolge klar: ${\vec{v}}_{boat/bank}={\vec{v}}_{boat/water}+{\vec{v}}_{water/bank}$. Die inneren Indizes stimmen überein und kürzen sich weg; übrig bleibt Boot relativ zum Ufer. Vertauscht man zwei Indizes, kehrt sich der Pfeil um: Relativ zum Wasser bewegt sich das Ufer mit $-\vec{u}$ stromaufwärts.

Mit $x$ flussabwärts und $y$ quer ist für ein Boot, das geradewegs aufs andere Ufer zielt, $\vec{v}{}^{\prime }=(0,v^{\prime })$, und die Strömung ist $\vec{u}=(u,0)$, also $\vec{v}=(u,v^{\prime })$. Die Komponenten wirken unabhängig voneinander: Allein die Querkomponente bringt das Boot über einen Fluss der Breite $d$, allein die Längskomponente trägt es flussabwärts. Geschwindigkeit über Grund, Überfahrtzeit und Abdrift sind daher
$|\vec{v}|=\sqrt{v^{\prime 2}+u^2}$
$t=\frac{d}{v^{\prime }},x=\frac{ud}{v^{\prime }}$

Durchgerechnetes Beispiel: das Boot in der Animation

Der Ruderer bewegt sich mit $v^{\prime }=5m/s$ durch das Wasser, die Strömung fließt mit $u=3m/s$, und der Fluss ist $d=60\mathrm{m}$ breit. Das Boot zeigt geradewegs aufs andere Ufer.
$|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5,83m/s$
$t=\frac{60}{5}=12\mathrm{s},x=3\cdot 12=36\mathrm{m}$

Die Bahn schließt mit der Linie geradewegs quer den Winkel $\phi$ ein, mit $\tan \phi =u/v^{\prime }=3/5$, also $\phi \approx 31^{\circ }$ flussabwärts. Über Grund legt das Boot $\sqrt{60^2+36^2}\approx 70\mathrm{m}$ zurück, was auch $5,83\cdot 12$ ist. Das sind die Endwerte der Anzeigen: $y=v^{\prime }t$ und $x=ut$ wachsen gleichmäßig und bleiben bei 60 m und 36 m stehen, wenn $t$ 12 s erreicht.

Die Pfeile auf dem Boot zeichnen die Summe: Das goldene $\vec{v}{}^{\prime }$ zeigt geradewegs quer, das blaue $\vec{u}$ beginnt an dessen Spitze, und das grüne $\vec{v}$ schließt das Dreieck entlang der gestrichelten Bahn. Die grauen Marken alle 3 s zeigen, dass die Abdrift jedes Mal um 9 m wächst, auf 9, 18, 27 und 36 m, während das Boot 15 m vorankommt: Die Bahn ist gerade, weil sich keine Komponente ändert.

Durchgerechnetes Beispiel: ein Flugzeug im Seitenwind

Ein Leichtflugzeug fliegt mit 250 km/h relativ zur Luft auf einen Flugplatz zu, der 360 km genau im Norden liegt, während der Wind mit 70 km/h nach Osten weht. Die Luft übernimmt die Rolle des Wassers: $v^{\prime }=250km/h$, $u=70km/h$ und $d=360\mathrm{km}$.

Wenn die Pilotin einfach nach Norden zielt, braucht das Flugzeug $360/250=1,44\mathrm{h}$ für 360 km nach Norden, und in der Zeit trägt der Wind es $70\cdot 1,44\approx 101\mathrm{km}$ östlich des Flugplatzes. Um eine gerade Bahn genau nach Norden zu fliegen, muss sie teilweise gegen den Wind zielen, damit die Westkomponente von $\vec{v}{}^{\prime }$ den Wind aufhebt. Die Geschwindigkeit durch die Luft ist nun die Hypotenuse:
$\sin \alpha =\frac{u}{v^{\prime }},t=\frac{d}{\sqrt{v^{\prime 2}-u^2}}$

Hier ist $\sin \alpha =70/250=0,28$, also hält sie einen Kurs von $\alpha \approx 16,3^{\circ }$ westlich von Nord. Die Geschwindigkeit über Grund ist $\sqrt{250^2-70^2}=240km/h$, und der Flug dauert $360/240=1,5\mathrm{h}$. Die Korrektur kostet 3,6 Minuten und beseitigt den Fehler von 101 km. Piloten nennen $\alpha$ den Vorhaltewinkel.

Das Geschwindigkeitsdreieck lesen

Jede Aufgabe zur Relativgeschwindigkeit ist ein Dreieck aus $\vec{v}{}^{\prime }$, $\vec{u}$ und $\vec{v}$; entscheide zuerst, welche Seite die Hypotenuse ist. Zeigt das Boot geradewegs aufs andere Ufer, sind $\vec{v}{}^{\prime }$ und $\vec{u}$ die Katheten und die Geschwindigkeit über Grund die Hypotenuse, länger als jede von beiden: 5,83 m/s. Muss das Boot geradewegs quer fahren, wird $\vec{v}$ zur Kathete und $\vec{v}{}^{\prime }$ zur Hypotenuse, sodass die nutzbare Geschwindigkeit auf $\sqrt{5^2-3^2}=4m/s$ schrumpft und die Überfahrt 15 s dauert. Das zweite Boot der Expertenansicht macht genau das.

Längs des Flusses fällt das Dreieck zu einer Linie zusammen: Rudert das Boot flussabwärts, kommt es über Grund auf $5+3=8m/s$, flussaufwärts nur auf $5-3=2m/s$. Wäre die Strömung schneller als der Ruderer, $u>v^{\prime }$, könnte kein Kurs das Boot auf der Linie geradewegs quer halten.

Häufige Fehler

• Schnelligkeiten wie gewöhnliche Zahlen addieren. Die 5 m/s des Ruderers und die 3 m/s der Strömung ergeben nur dann 8 m/s, wenn beide flussabwärts zeigen; im rechten Winkel ergeben sie 5,83 m/s.
• Denken, die Strömung verzögere die Überfahrt. Sie hat keine Komponente quer zum Fluss, daher braucht das geradewegs aufs andere Ufer gezielte Boot weiterhin $60/5=12\mathrm{s}$; die Strömung ändert, wo es landet, nicht wann.
• Kurs und Bahn verwechseln. Das Boot zeigt entlang $\vec{v}{}^{\prime }$, bewegt sich aber entlang $\vec{v}$, hier 31° weiter flussabwärts: Der Bug zeigt den Kurs, die gestrichelte Spur die Bahn.
• Sinus und Kosinus vertauschen. Der Kosinus gehört zur Seite neben dem Winkel: Ein Seil, das mit 50 N unter 20° über der Horizontalen zieht, liefert $50\cos 20^{\circ }\approx 47\mathrm{N}$ horizontal und $50\sin 20^{\circ }\approx 17\mathrm{N}$ vertikal.
• Erwarten, dass sich eine Strömung bei Hin- und Rückfahrt aufhebt. 60 m flussaufwärts mit 2 m/s und zurück mit 8 m/s dauern $30+7,5=37,5\mathrm{s}$, gegenüber 24 s im ruhigen Wasser: Der langsame Abschnitt dauert länger, also wiegt er schwerer.

Wo dir das begegnet

Piloten und Fährbesatzungen korrigieren für Wind und Strömung, und einem Schwimmer in einer Rippströmung rät man, parallel zum Strand zu schwimmen, quer zur Strömung. Regen, der mit 6 m/s senkrecht fällt, zieht an den Seitenscheiben eines Autos, das mit 18 m/s fährt, Streifen unter etwa 72° zur Senkrechten, weil sich die Tropfen relativ zum Auto auch rückwärts bewegen. Raumfahrzeuge docken an, indem sie ihre Geschwindigkeit an die der Station anpassen, nicht an die der Erde.

Dasselbe Werkzeug kehrt in der gesamten Mechanik wieder. Schiefer Wurf zerlegt einen Wurf in unabhängige horizontale und vertikale Bewegungen, wie die Quer- und Längsbewegung des Bootes; die newtonschen Gesetze behandeln die Kraft als Vektor; und Kreisbewegung zeigt, dass sich eine Geschwindigkeit allein durch Drehen ändern kann.

Fortgeschritten

Was eine Größe zum Vektor macht

Ein Vektor wird meist als eine Größe mit Betrag und Richtung eingeführt. Das ist ein guter Anfang, aber der genaue Test ist ein anderer: Er fragt, wie sich die Komponenten der Größe verhalten, wenn man die Achsen dreht. Dieser Test ist wichtig, denn er ist der Grund, warum man ein Vektorgesetz auf beliebigen Achsen aufschreiben darf.

Legende

$\vec{r}$	Eine Verschiebung: derselbe Pfeil in beiden Zeichnungen.	$\mathrm{m}$
$x$	Komponente von $\vec{r}$ entlang der ursprünglichen ersten Achse.	$\mathrm{m}$
$y$	Komponente von $\vec{r}$ entlang der ursprünglichen zweiten Achse.	$\mathrm{m}$
$\bar{x}$	Komponente von $\vec{r}$ entlang der gedrehten ersten Achse.	$\mathrm{m}$
$\bar{y}$	Komponente von $\vec{r}$ entlang der gedrehten zweiten Achse.	$\mathrm{m}$
$\beta$	Winkel, um den die Achsen gegen den Uhrzeigersinn gedreht sind.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 1 zeichnet eine Verschiebung $\vec{r}$ zweimal. Links treffen gestrichelte Senkrechte von der Spitze von $\vec{r}$ auf die beiden Achsen; die Abstände vom Ursprung zu ihren Fußpunkten sind die Komponenten $x$ und $y$. Rechts sind die Achsen um den Winkel $\beta$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht worden, während der Pfeil $\vec{r}$ sich nicht bewegt hat. Dieselbe Konstruktion mit Senkrechten auf die neuen Achsen liefert neue Komponenten $\bar{x}$ und $\bar{y}$. Der Pfeil existiert, bevor irgendwelche Achsen gezeichnet werden; seine Komponenten nicht.

Um die neuen Komponenten zu finden, zerlegst du $\vec{r}$ in seine beiden alten Teile, $x$ entlang der alten ersten Achse und $y$ entlang der alten zweiten Achse, und projizierst jeden Teil auf die neuen Achsen. Die neue erste Achse schließt mit der alten ersten Achse den Winkel $\beta$ und mit der alten zweiten Achse den Winkel $90^{\circ }-\beta$ ein, also liefern die Teile $x\cos \beta$ und $y\sin \beta$. Die neue zweite Achse schließt mit der alten ersten Achse $90^{\circ }+\beta$ und mit der alten zweiten $\beta$ ein, also liefern die Teile $-x\sin \beta$ und $y\cos \beta$. Zusammen:
$\bar{x}=x\cos \beta +y\sin \beta ,\bar{y}=-x\sin \beta +y\cos \beta$

Diese Regel ist die eigentliche Definition. Ein Vektor ist jede Größe, deren Komponenten sich mit den Achsen genau so ändern wie die einer Verschiebung.

Die Geschwindigkeit besteht den Test. Sie ist eine Verschiebung $\Delta \vec{r}$ geteilt durch die Zeit $\Delta t$, und $\Delta t$ ist ein Skalar, auf jedem Achsensystem gleich, sodass die Division die Regel unangetastet lässt. Die Beschleunigung, eine Geschwindigkeitsänderung geteilt durch eine Zeit, besteht ihn aus demselben Grund, und die Kraft ebenso. Nimm nun eine Vektorgleichung wie $\vec{F}=m\vec{a}$ oder $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$. Sie besagt, dass die Komponenten ihrer beiden Seiten gleich sind. Beide Seiten ändern sich nach derselben linearen Regel, wenn die Achsen gedreht werden; sind sie also auf einem Achsensystem gleich, dann auf jedem. Die Wahl von $x$ längs des Flusses ist eine Bequemlichkeit, keine Physik.

Manche Kombinationen von Komponenten ändern sich beim Drehen der Achsen überhaupt nicht; sie heißen Invarianten. Die Länge ist eine: Quadriert und addiert man die beiden obigen Gleichungen, heben sich die gemischten Terme auf, und mit ${\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$ folgt ${\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=x^2+y^2$. Allgemeiner ist das Skalarprodukt zweier Vektoren, $\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y=AB\cos \gamma$, wobei $\gamma$ der Winkel zwischen den Pfeilen ist, auf jedem Achsensystem gleich.

Nimm das Boot dieser Lektion, das geradewegs über einen 60 m breiten Fluss zielt. Relativ zum Wasser bewegt es sich mit $\vec{v}{}^{\prime }=(0,5)m/s$, die Strömung ist $\vec{u}=(3,0)m/s$, und relativ zum Ufer bewegt es sich mit $\vec{v}=(3,5)m/s$ vom Betrag $\sqrt{34}\approx 5,83m/s$. Dann ist $\vec{v}{}^{\prime }\cdot \vec{v}=0\cdot 3+5\cdot 5=25{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, und $\cos \gamma =25/(5\cdot 5,83)\approx 0,857$ ergibt $\gamma \approx 31^{\circ }$. Das ist der Winkel zwischen der Richtung, in die das Boot zeigt, und der, in die es tatsächlich fährt, allein aus den Komponenten gefunden, ohne Zeichnung. Drehst du die Achsen um $\beta \approx 59^{\circ }$, sodass $\bar{x}$ entlang der Bahn liegt, lautet die Geschwindigkeit über Grund $(5,83,0)m/s$: andere Zahlen, derselbe Pfeil, dieselbe Länge.

Betrag und Richtung genügen also nicht ganz. Ein Buch um 90° um eine Achse zu drehen, hat beides, eine Achse und einen Winkel, doch zwei solche Drehungen um verschiedene Achsen addieren sich nicht wie Vektoren: Das Buch landet in einer anderen Lage, wenn man die Reihenfolge vertauscht, während $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$ gilt. Nur sehr kleine Drehungen sind vertauschbar, in erster Ordnung im Winkel. Deshalb ist die Winkelgeschwindigkeit, eine Rate sehr kleiner Drehungen, ein Vektor, eine endliche Drehung dagegen nicht.

Bezugssystemwechsel: die Galilei-Transformation

Abbildung 1 hat die Achsen gedreht. Die Relativbewegung fragt, was passiert, wenn sich die Achsen bewegen: Wie verhalten sich Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, von einer fahrenden Plattform aus gemessen, zu denen, die vom Boden aus gemessen werden? Die Antwort ist die Galilei-Transformation, und sie sagt uns, in welchen Größen alle Beobachter übereinstimmen.

Legende

$S$	Ufersystem: schwarze Achsen, am Boden in Ruhe.
$S^{\prime }$	Wassersystem: violette Achsen, parallel zu denen von $S$, die mit der Strömung treiben.
$\vec{u}t$	Wie weit der Ursprung von $S^{\prime }$ in der Zeit $t$ getragen wurde.	$\mathrm{m}$
$P$	Das Boot zur Zeit $t$.
$\vec{r}{}^{\prime }$	Ort des Bootes im Wassersystem, vom Ursprung von $S^{\prime }$ aus gemessen.	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	Ort des Bootes im Ufersystem, vom Ursprung von $S$ aus gemessen.	$\mathrm{m}$
$\vec{u}$	Geschwindigkeit des Wassersystems relativ zum Ufer: die Strömung.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser.	$m/s$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer.	$m/s$

Ein Bezugssystem ist ein Satz von Achsen zusammen mit einer Uhr. Abbildung 2 verwendet zwei. Das Ufersystem $S$ hat schwarze Achsen, die am Boden festsitzen. Das Wassersystem $S^{\prime }$ hat violette Achsen, parallel zu denen von $S$, die mit der konstanten Geschwindigkeit $\vec{u}$ mit der Strömung treiben. Die beiden Achsensysteme fallen bei $t=0$ zusammen, und beide Systeme lesen dieselbe Uhr ab, sodass $t$ in beiden dasselbe bedeutet.

Die linke Seite von Abbildung 2 ist eine Momentaufnahme zur Zeit $t$. Der Ursprung von $S^{\prime }$ ist um die Strecke $\vec{u}t$ den Fluss entlanggetragen worden: bei der Strömung von 3 m/s nach 12 s 36 m flussabwärts. Das Boot am Punkt $P$ ist vom gemeinsamen Ursprung aus geradewegs quer gestartet. Im Wassersystem ist es $\vec{r}{}^{\prime }$ vom Ursprung von $S^{\prime }$ entfernt, 60 m geradewegs die violette Achse hinauf. Im Ufersystem ist es $\vec{r}$ vom Ursprung von $S$ entfernt. Die drei Pfeile bilden ein Dreieck: Vom Ursprung von $S$ geradewegs nach $P$ zu gehen ist dasselbe, wie zuerst zum Ursprung von $S^{\prime }$ und dann weiter nach $P$ zu gehen. Ein Punkt bei $\vec{r}{}^{\prime }$ in $S^{\prime }$ liegt also in $S$ bei
$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$

Leite nach $t$ ab. Weil $\vec{u}$ konstant ist, gilt $d(\vec{u}t)/dt=\vec{u}$, und die Geschwindigkeiten addieren sich:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$
Beim Boot, das sich gleichförmig vom gemeinsamen Ursprung wegbewegt, ist jede Seite des linken Dreiecks $t$ mal eine Geschwindigkeit; teilt man jede Seite durch $t$, erhält man das Geschwindigkeitsdreieck rechts in Abbildung 2. Leite noch einmal ab. Das konstante $\vec{u}$ hat die Ableitung null und fällt ganz heraus:
$\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }$

Geschwindigkeiten hängen vom Beobachter ab; Beschleunigungen nicht. Auch über Massen und Kräfte besteht Einigkeit; gilt also $\vec{F}=m\vec{a}$ in $S$, so gilt es auch in $S^{\prime }$. Ein Bezugssystem, in dem die newtonschen Gesetze gelten, heißt Inertialsystem. Das Ergebnis besagt, dass jedes Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt, selbst ein Inertialsystem ist, und kein mechanisches Experiment, das vollständig in ihm durchgeführt wird, kann diese Bewegung aufdecken. Das ist das Relativitätsprinzip der Mechanik. Galilei veranschaulichte das mit der Kajüte eines ruhig fahrenden Schiffes: Tropfen aus einer Flasche fallen senkrecht nach unten, genau wie im Hafen.

Die Transformation ist auch ein Werkzeug: Löse ein Problem in dem Bezugssystem, in dem es am einfachsten ist, und addiere dann $\vec{u}$. Im Wassersystem ist der Fluss ein ruhiger See. Das Boot fährt mit 5 m/s geradewegs hinüber und braucht $60/5=12\mathrm{s}$, während das Ufer mit 3 m/s stromaufwärts vorbeigleitet. Die Abdrift von 36 m ist einfach die Länge des Ufers, die während der Überfahrt vorbeigleitet. Dasselbe Geschwindigkeitsdreieck lenkt das Sternenlicht ab. Die Erde umkreist die Sonne mit 30 km/s, sodass Licht, das mit der Geschwindigkeit $c$ eintrifft, aus einer um bis zu $v/c\approx 10^{-4}\mathrm{rad}$ gedrehten Richtung zu kommen scheint, etwa 20 Bogensekunden. Das ist die Aberration des Lichts, entdeckt von James Bradley in den 1720er-Jahren.

Alle Kurse auf einmal: das Geschwindigkeitsdiagramm

Der Ruderer wählt nur den Kurs; die Strömung ist vorgegeben. Welche Geschwindigkeiten über Grund kann das Boot erreichen, und welcher Kurs ist für ein bestimmtes Ziel der beste? Eine Zeichnung, das Geschwindigkeitsdiagramm, beantwortet das für alle Kurse auf einmal. Hier ist es für $u<v^{\prime }$ gezeichnet, wie bei der Strömung von 3 m/s und dem Ruderer mit 5 m/s in dieser Lektion.

Legende

$x$	Achse längs des Flusses, flussabwärts gerichtet.
$y$	Achse geradewegs quer zum Fluss, zum gegenüberliegenden Ufer.
$O$	Startpunkt des Diagramms, wo $\vec{u}$ und $\vec{v}$ beginnen.
$\vec{u}$	Geschwindigkeit der Strömung, von $O$ aus gezeichnet.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser: Ihre Länge ist stets $v^{\prime }$, sodass ihre Spitze auf dem Kreis bleibt.	$m/s$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer, $\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$.	$m/s$
$\theta$	Kurs: wie weit $\vec{v}{}^{\prime }$ von der Geraden quer (der gestrichelten Senkrechten) stromaufwärts zeigt.	$\mathrm{rad}$

Baue Abbildung 3 in drei Schritten auf. Zeichne zuerst die Strömung $\vec{u}$ von einem Punkt $O$ aus. Hänge dann die Geschwindigkeit des Bootes durch das Wasser, $\vec{v}{}^{\prime }$, an die Spitze von $\vec{u}$. Ihre Länge ist auf $v^{\prime }$ festgelegt, aber der Ruderer kann sie in jede Richtung zeigen lassen, sodass ihre Spitze irgendwo auf dem gestrichelten Kreis vom Radius $v^{\prime }$ um die Spitze von $\vec{u}$ liegen kann. Zuletzt reicht die Geschwindigkeit über Grund $\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$ von $O$ zu diesem Punkt auf dem Kreis.

Die Abbildung zeigt einen Kurs. Die gestrichelte Senkrechte durch die Spitze von $\vec{u}$ ist geradewegs quer, und $\vec{v}{}^{\prime }$ neigt sich um den Winkel $\theta$ nach links davon, stromaufwärts. Schau nun, wo $O$ liegt. Weil $u<v^{\prime }$ gilt, liegt $O$ innerhalb des Kreises, sodass eine Linie von $O$ in jede Richtung den Kreis trifft: Jede Richtung von $\vec{v}$ ist möglich, auch geradewegs quer. Der obere Punkt des Kreises liefert die größte Querkomponente, $v^{\prime }$ selbst, und damit die schnellste Überfahrt.

Um das Bild in Zahlen zu fassen, nimm die Achsen in der Ecke der Abbildung: $x$ flussabwärts und $y$ quer, zum gegenüberliegenden Ufer. Sich stromaufwärts zu neigen heißt, in Richtung negativer $x$ zu zeigen, also
$\vec{v}{}^{\prime }=(-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta ),\vec{v}=(u-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta )$
Nur die Querkomponente $v^{\prime }\cos \theta$ bringt das Boot über die Breite $d$, sie bestimmt also die Überfahrtzeit. In dieser Zeit trägt die Längskomponente das Boot um die Abdrift $x$ flussabwärts:
$t(\theta )=\frac{d}{v^{\prime }\cos \theta },x(\theta )=\frac{(u-v^{\prime }\sin \theta )d}{v^{\prime }\cos \theta }$

Die Überfahrt ist bei $\theta =0$ am schnellsten, wo $\cos \theta$ am größten ist, egal wie die Strömung ist: $60/5=12\mathrm{s}$, mit $3\cdot 12=36\mathrm{m}$ Abdrift. Die Abdrift verschwindet, wenn der Stromauf-Anteil von $\vec{v}{}^{\prime }$ die Strömung aufhebt, $v^{\prime }\sin \theta =u$. Nenne diesen Kurs $\alpha$: $\sin \alpha =u/v^{\prime }=0,6$, also $\alpha \approx 36,9^{\circ }$. Dann ist $\cos \alpha =0,8$, die Geschwindigkeit über Grund ist $\vec{v}=(0,4)m/s$, ein 3-4-5-Dreieck, und die Überfahrt dauert $60/4=15\mathrm{s}$. Kurse dazwischen tauschen Zeit gegen Abdrift. Bei $\theta =20^{\circ }$ überquert das Boot in $60/(5\cos 20^{\circ })\approx 12,8\mathrm{s}$ und landet $(3-5\sin 20^{\circ })\cdot 12,8\approx 16,5\mathrm{m}$ flussabwärts. Das ist der Kurs, der in Abbildung 3 maßstabsgetreu gezeichnet ist.

Der Graph in der Ebene „Fortgeschritten“ der Animation zeigt nur die Querbewegung. Jedes $y(t)$ ist eine Gerade, deren Steigung die Quergeschwindigkeit des jeweiligen Bootes ist: 5 m/s für das Boot, das geradewegs aufs andere Ufer zielt und die gestrichelte Linie $y=d$ nach 12 s erreicht, und 4 m/s für das violette Boot mit Kurs 36,9° gegen die Strömung, das nach 15 s ankommt. Die Abdrift kann der Graph nicht zeigen. Am gegenüberliegenden Ufer landet das erste Boot 36 m flussabwärts und das zweite genau gegenüber seinem Start.

Wenn die Strömung nicht gleichmäßig ist

Bisher war die Strömung überall gleich. Ein echter Fluss fließt in der Mitte am schnellsten und kommt an den Ufern fast zum Stillstand. Ändert das, wo das Boot landet? Überraschend wenig, und der Grund lohnt einen Blick.

Nimm das Profil $u(y)=4u_{\mathrm{m}}(y/d)(1-y/d)$. Es ist an beiden Ufern null, $y=0$ und $y=d$, und erreicht seinen größten Wert $u_{\mathrm{m}}$ in Flussmitte, $y=d/2$; nimm $u_{\mathrm{m}}=4,5m/s$. Ein Boot, das geradewegs aufs andere Ufer zielt, hat weiterhin die Quergeschwindigkeit $v^{\prime }$, weil die Strömung nur längs des Flusses schiebt. Also gilt $y=v^{\prime }t$, und es überquert weiterhin in 12 s. Längs des Flusses ist seine Geschwindigkeit die örtliche Strömung, $dx/dt=u(y)$. Da $y$ gleichmäßig wächst, ist es einfacher, das Boot über $y$ als über $t$ zu verfolgen: Mit $dt=dy/v^{\prime }$ fügt jeder Schritt quer $dx=u(y)dy/v^{\prime }$ hinzu, und die Summe der Schritte über die Breite ergibt
$x=\frac{1}{v^{\prime }}{\int }_0^{d}u(y)dy=\frac{\bar{u}d}{v^{\prime }}$
wobei $\bar{u}$ die über die Breite gemittelte Strömung ist.

Für diese Parabel ist der Mittelwert $\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{\mathrm{m}}=3m/s$, also landet das Boot wieder 36 m flussabwärts. Seine Bahn ist nun allerdings eine Kurve. An den Ufern ist die Strömung null, daher startet und endet das Boot mit einer Bewegung geradewegs quer; in Flussmitte ist es am stärksten geneigt, unter einem Winkel $\phi$ zur Geraden quer mit $\tan \phi =4,5/5$, etwa 42°. Nur die über die Breite gemittelte Strömung entscheidet über die Abdrift.

Dasselbe gilt für einen festen Kurs. Das Boot mit Kurs 36,9° gegen die Strömung bewegt sich durch das Wasser mit 3 m/s stromaufwärts und 4 m/s quer. Nahe den Ufern ist die Strömung schwächer als 3 m/s, und das Boot gewinnt stromaufwärts Boden; in Flussmitte ist sie stärker, und es verliert ihn. Weil der Mittelwert genau 3 m/s beträgt, landet das Boot nach 15 s weiterhin genau gegenüber, schwenkt aber unterwegs nahe dem ersten Ufer 4,3 m stromaufwärts und nahe dem zweiten 4,3 m flussabwärts aus. Um die gerade Linie bis zum Schluss zu halten, müsste sich der Kurs ständig so drehen, dass $v^{\prime }\sin \theta =u(y)$ an jedem Punkt gilt. Das verlangt in Flussmitte bis zu 64°, wo $\sin \theta =0,9$ ist, und die geringere Quergeschwindigkeit lässt die Überfahrt etwa 17,9 s dauern.

Rechenaufgabe: ein Fluss im Hochwasser

Nach starkem Regen steigt die Strömung auf $u=6,25m/s$, schneller als die 5 m/s des Ruderers. Kann das Boot noch genau gegenüber seinem Start landen? Wenn nicht, welcher Kurs bringt es am nächsten heran, und zu welchen Kosten an Zeit?

Legende

$x$	Achse längs des Flusses, flussabwärts gerichtet.
$y$	Achse geradewegs quer zum Fluss, zum gegenüberliegenden Ufer.
$O$	Startpunkt des Diagramms, wo $\vec{u}$ und $\vec{v}$ beginnen.
$\vec{u}$	Geschwindigkeit der Hochwasserströmung, von $O$ aus gezeichnet.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser beim besten Kurs; ihre Spitze liegt dort, wo die Tangente den Kreis berührt.	$m/s$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer, entlang der Tangente: die Richtung mit der geringsten Abdrift.	$m/s$
$\theta$	Bester Kurs: der Winkel zwischen $\vec{v}{}^{\prime }$ und der Geraden quer (der gestrichelten Senkrechten).	$\mathrm{rad}$

Abbildung 4 ist das Geschwindigkeitsdiagramm von Abbildung 3, neu gezeichnet für das Hochwasser. Der Pfeil $\vec{u}$ ist jetzt länger als der Radius des Kreises, 5 m/s, sodass $O$ außerhalb des Kreises liegt. Jeder Pfeil $\vec{v}$ von $O$ zum Kreis zeigt daher teilweise flussabwärts: Genau gegenüber zu landen ist unmöglich. Die Formel stimmt damit überein, denn sie würde $\sin \theta =u/v^{\prime }=6,25/5=1,25$ verlangen. Geradewegs aufs andere Ufer zu zielen liefert weiterhin die schnellste Überfahrt, 12 s, aber mit $6,25\cdot 12=75\mathrm{m}$ Abdrift.

Welcher Kurs gibt die geringste Abdrift? Das Boot bewegt sich entlang $\vec{v}$, und die Abdrift ist $d$ mal der Tangens des Winkels zwischen $\vec{v}$ und der Geraden quer. Das beste $\vec{v}$ ist also dasjenige, das sich am weitesten stromaufwärts neigt und dabei noch den Kreis erreicht: die Tangente von $O$ an den Kreis, in Abbildung 4 eingezeichnet. Die Differentialrechnung bestätigt es. Leitet man $x(\theta )$ mit der Quotientenregel ab und verwendet ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$:
$\frac{dx}{d\theta }=\frac{u\sin \theta -v^{\prime }}{v^{\prime }{\cos }^2\theta }d=0\Rightarrow \sin \theta =\frac{v^{\prime }}{u}=0,8$

Das Boot hält also einen Kurs von $\theta \approx 53,1^{\circ }$ stromaufwärts, dem in Abbildung 4 markierten Winkel, und $\cos \theta =0,6$. Seine Quergeschwindigkeit ist $5\cdot 0,6=3m/s$ und seine Geschwindigkeit flussabwärts $6,25-5\cdot 0,8=2,25m/s$. Die Überfahrt dauert $60/3=20\mathrm{s}$, und die Abdrift beträgt $2,25\cdot 20=45\mathrm{m}$. Allgemein gilt $x_{\min }=d\sqrt{u^2-v^{\prime 2}}/v^{\prime }$.

Der in Abbildung 4 markierte rechte Winkel ist kein Zufall. Eine Tangente an einen Kreis steht senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt, und hier ist der Radius $\vec{v}{}^{\prime }$, also steht das beste $\vec{v}$ senkrecht auf $\vec{v}{}^{\prime }$. Das Skalarprodukt bestätigt es: Mit $\vec{v}{}^{\prime }=(-4,3)m/s$ und $\vec{v}=(2,25,3)m/s$ ist $(-4)(2,25)+3\cdot 3=0$. Verglichen mit dem Zielen geradewegs quer spart der Kurs stromaufwärts 30 m Abdrift und kostet 8 s.

Das Wassersystem liefert eine unabhängige Kontrolle. Dort bewegt sich das Boot 20 s lang mit 5 m/s entlang seines Kurses, eine Verschiebung $\vec{r}{}^{\prime }=(-80,60)\mathrm{m}$, während das Wasser alles $6,25\cdot 20=125\mathrm{m}$ flussabwärts trägt. Dann liefert $\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$ den Landepunkt $(45,60)\mathrm{m}$, wie zuvor.

Gültigkeitsgrenzen

Die Regel $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ beruht auf zwei Annahmen: Das bewegte Bezugssystem behält eine konstante Geschwindigkeit, ohne sich zu drehen, und alle Beobachter teilen eine Uhr und einen Maßstab. Jede davon versagt irgendwo, und es ist nützlich zu wissen, wo.

Angenommen, das System $S^{\prime }$ beschleunigt mit $\vec{A}$ relativ zu $S$. Die Transformation erhält einen Term $\frac{1}{2}\vec{A}{t}^2$, und zweimaliges Ableiten ergibt $\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }+\vec{A}$: Die Beobachter sind jetzt bei den Beschleunigungen uneins. In einem Zug, der mit 2 m/s² bremst, hat ein fallen gelassener Ball relativ zum Boden keine horizontale Beschleunigung, also weicht er relativ zum Zug mit 2 m/s² nach vorn aus, als würde ihn eine Kraft schieben, die nichts ausübt. Solche scheinbaren Kräfte heißen Scheinkräfte oder Trägheitskräfte. Ein rotierendes Bezugssystem fügt zwei weitere hinzu, die Zentrifugal- und die Coriolisbeschleunigung.

Die Erde ist ein solches rotierendes Bezugssystem, aber sie dreht sich langsam, $\Omega \approx 7,29\times 10^{-5}rad/s$. Für das Boot, das sich mit 5,83 m/s auf 45° Breite bewegt, beträgt die seitliche Coriolisbeschleunigung $2\Omega v\sin 45^{\circ }$ etwa $6\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$. Über die Überfahrt von 12 s verschiebt das das Boot um $\frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{-4}\cdot 12^2\approx 4\mathrm{cm}$. Für Meeresströmungen und Stürme, die Tage dauern und Tausende von Kilometern überdecken, ist sie entscheidend.

Noch tiefer setzt die Galilei-Kinematik eine Uhr für alle Beobachter voraus und Längen, über die alle einig sind. Licht gehorcht dem nicht: Seine Geschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$. Die spezielle Relativitätstheorie ersetzt die Summe von Geschwindigkeiten längs einer Linie durch
$v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}$
was $c$ nie übersteigt. Eine Sonde, die mit $0,6c$ von einem Schiff nach vorn abgeschossen wird, das sich mit $0,6c$ bewegt, fliegt mit $1,2c/1,36\approx 0,88c$, nicht mit $1,2c$. Für das Boot ist die Korrektur von der Größenordnung $v^{\prime }u/c^2\approx 1,7\times 10^{-16}$, weit unter allem Messbaren: Die Galilei-Addition ist der Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten des relativistischen Gesetzes.

Wohin das führt

Schiefer Wurf zerlegt einen Wurf in eine gleichförmige horizontale und eine gleichmäßig beschleunigte vertikale Bewegung, unabhängig voneinander wie die Längs- und Querbewegung des Bootes. Die newtonschen Gesetze schreiben $\vec{F}=m\vec{a}$ als Vektorgesetz, das in den hier behandelten Inertialsystemen gilt. Kreisbewegung findet die Beschleunigung eines Körpers, der sich mit konstanter Schnelligkeit dreht, durch Subtraktion von Geschwindigkeitsvektoren, und Arbeit, Energie und Leistung verwendet das Skalarprodukt, $W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$. Impuls und Stöße wechselt oft genau durch diese Galilei-Verschiebung ins Schwerpunktsystem, und Schall und Doppler-Effekt hängt von den Geschwindigkeiten von Quelle und Hörer relativ zur Luft ab.

Eine Frage bleibt offen. Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen enthält eine Geschwindigkeit, $q\vec{v}\times \vec{B}$: Geschwindigkeit relativ zu welchem Bezugssystem? Spezielle Relativitätstheorie antwortet: Sobald man die gemeinsame Uhr aufgibt, vermischen sich elektrische und magnetische Felder von einem Bezugssystem zum anderen.