Gravitation als gekrümmte Raumzeit

Einsteiger

Lass einen Hammer und eine Feder dort fallen, wo keine Luft ist, wie einst ein Astronaut auf dem Mond, und sie landen gleichzeitig. Jeder Körper fällt mit derselben Beschleunigung, egal welche Masse oder welches Material er hat. Einstein nahm das 1915 als Hinweis: Wenn alles gleich fällt, ist das Fallen vielleicht nichts, was den Körpern angetan wird, sondern eine Eigenschaft von Raum und Zeit selbst.

Ein Raumschiff im Orbit ist nicht frei von Schwerkraft: Es fällt ständig um die Erde, und die Crew und ihre Stifte fallen mit, deshalb schweben sie. Stell dir jetzt eine geschlossene Kabine vor. Fällt sie frei, schwebst du, als wäre die Schwerkraft verschwunden. Ist es eine Rakete, die weit weg von jedem Planeten beschleunigt, wirst du wie durch Schwerkraft auf den Boden gedrückt. Von innen kannst du den Unterschied nicht erkennen: Das ist das Äquivalenzprinzip.

Einsteins Antwort ist die allgemeine Relativitätstheorie: Masse und Energie krümmen Raum und Zeit, und ein sich selbst überlassener Körper folgt dem geradesten Weg, den er durch diese gekrümmte Raumzeit finden kann. Das Gummituch in der Animation zeigt das: Der Stern erzeugt eine Delle im Gitter, die blaue Kugel kreist weiter um die Delle, und der goldene Lichtstrahl knickt von der gestrichelten geraden Linie weg.

Auch die Zeit ist gekrümmt. Die langsame Uhr auf dem Stern dreht sich dreimal, während sich die schnelle Uhr weit entfernt viermal dreht. Auf der Erde ist der Effekt winzig, aber GPS-Satelliten müssen ihn korrigieren, sonst würden die Positionen um etwa 10 km am Tag abweichen. Bis zum Äußersten getrieben, sagt die Theorie Schwarze Löcher voraus, die Licht einfangen, und Gravitationswellen, die 2015 erstmals nachgewiesen wurden.

Prüf dich selbst: Eine Astronautin schwebt in der Raumstation. Gibt es dort oben keine Schwerkraft? (Doch, fast so viel wie am Boden: Sie schwebt, weil sie zusammen mit der Station fällt.)

Mittelstufe

Was sich ändert und was wir messen

Jeder Körper fällt mit derselben Beschleunigung, unabhängig von Masse oder Material: Experimente bestätigen das auf etwa einen Teil in $10^{15}$. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie (1915) nimmt das wörtlich: Hängt die Bewegung nicht vom Körper ab, gehört sie zu Raum und Zeit. Masse und Energie krümmen die Raumzeit, und ein frei fallender Körper, der keine Kraft spürt, folgt darin dem geradesten Weg, den er finden kann. Du auf dem Boden bist die Ausnahme: Der Boden drückt dich von deiner freien Fallbahn weg, und diesen Druck spürst du als Gewicht.

In den Formeln treten zwei Arten von Zeit auf. Die Eigenzeit $\tau$ ist das, was eine Uhr an ihrem eigenen Ort anzeigt, und alle Vorgänge dort laufen im Takt mit ihr. Die Zeit $t$ weit weg ist die Anzeige einer ruhenden Uhr, weit von allen Massen entfernt, als gemeinsame Bezugsgröße. Der Abstand $r$ vom Zentrum einer Masse $M$ wird über den Umfang definiert, $r=C/2\pi$, denn im gekrümmten Raum ergibt ein Lineal vom Zentrum aus etwas mehr. Die Konstanten $G$ und $c$ gehen über $GM/c^2$ ein, und das ist eine Länge.

Der Schwarzschild-Radius setzt den Maßstab

Das Doppelte dieser Länge ist der Schwarzschild-Radius,
$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

Er beträgt 2,95 km für die Sonne und 8,9 mm für die Erde und wächst proportional zur Masse: 29,5 km für ein Schwarzes Loch von 10 Sonnenmassen. Ein Körper, der innerhalb seines eigenen $r_s$ zusammengepresst wird, lässt nichts mehr hinaus, nicht einmal Licht, und $r_s$ wird zum Radius seines Ereignishorizonts. Für die Sonne, deren Radius 696.000 km beträgt, sind die 2,95 km nur ein Maßstab, keine Oberfläche.

Das Verhältnis $r_s/r$ misst, wie stark die Schwerkraft im Abstand $r$ ist: $1,4\times 10^{-9}$ an der Erdoberfläche, $4,2\times 10^{-6}$ an der Sonnenoberfläche, etwa 0,34 auf einem Neutronenstern und 1 am Horizont. Jede relativistische Korrektur liegt in dieser Größenordnung, weshalb Newtons Theorie im Sonnensystem so gut funktioniert.

Die Arbeitsformeln

Vier Formeln beantworten die meisten praktischen Fragen. Die erste ist exakt; die anderen drei gelten nur bei schwacher Gravitation, und die dritte nur für Geschwindigkeiten weit unter $c$:

• $\tau =t\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx \frac{gh}{c^2}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx -\frac{v^2}{2c^2}$
• $\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}$

Die erste gibt die Rate einer ruhenden Uhr im Abstand $r$ im Vergleich zur Zeit weit weg; sie sinkt am Horizont auf null. Für kleines $r_s/r$ liegt die Wurzel nahe bei $1-GM/(r{c}^2)$, also gewinnt in der Nähe eines Planeten eine Uhr auf $r+h$ gegenüber einer auf $r$ den Bruchteil $GMh/(r^2{c}^2)=gh/c^2$, die zweite Formel. Eine Uhr 1 m höher geht um $1,1\times 10^{-16}$ schneller; 1 km höher gewinnt sie 9,4 ns am Tag.

Die dritte ist das Langsamerwerden bewegter Uhren aus der Speziellen Relativitätstheorie. Die relativen Abweichungen addieren sich mit ihren Vorzeichen: Höhe lässt eine Uhr gewinnen, Geschwindigkeit lässt sie verlieren. Die vierte gibt die Ablenkung eines Strahls, dessen gerade Bahn im Abstand $b$ am Zentrum vorbeiginge, dem Stoßparameter; mit $r_s$ lautet sie $\delta =2r_s/b$, in Radiant. Streift das Licht die Sonne, sind es 1,75″, wie bei der Sonnenfinsternis 1919 gemessen. Newtons Gesetz, auf ein Teilchen der Geschwindigkeit $c$ angewendet, ergibt die Hälfte; die andere Hälfte kommt vom gekrümmten Raum.

Beispiel: die Uhren und der Strahl der Animation

Die Animation übertreibt: Der Radius des Sterns beträgt nur $1,8r_s$. Die Uhr auf dem Stern steht bei $r_1=2,16r_s$, die ferne Uhr bei $r_2=22r_s$, also sind ihre Raten
$\sqrt{1-1/2,16}=\sqrt{0,537}\approx 0,733$
$\sqrt{1-1/22}=\sqrt{0,955}\approx 0,977$

Das Verhältnis ist $0,733/0,977=0,750$, genau 3/4. In einer Runde schreitet die Zeit weit weg um $12,0/0,977=12,28\mathrm{s}$ voran, sodass die ferne Uhr ${\tau }_2=12,0\mathrm{s}$ und die Uhr auf dem Stern ${\tau }_1=0,733\cdot 12,28=9,0\mathrm{s}$ zeigt: die Endwerte der roten ${\tau }_1$- und grünen ${\tau }_2$-Anzeige. Jeder Zeiger macht eine Umdrehung pro 3 s eigener Zeit: dreimal auf dem Stern, viermal weit weg.

Der goldene Strahl passiert bei $b=8r_s$. Die Formel für schwaches Feld liefert $\delta \approx 2/8=0,25\mathrm{rad}$, also 14,3°, der exakte gezeichnete Weg knickt aber um 17,8° ab: So nah am Stern versagt die Formel. Die blaue Kugel kreist bei $r=10,4r_s$. Da $GM=r_s{c}^2/2$ gilt, ist ihre Geschwindigkeit $\sqrt{GM/r}$ gleich $c/\sqrt{20,8}\approx 0,22c$, Newtons Wert für die Kreisbahn, hier exakt, wenn die Zeit in Sekunden der fernen Uhr gezählt wird.

Beispiel: GPS-Uhren

Navigationssatelliten kreisen 20.200 km über dem Boden, bei $r=6371+20200=26571\mathrm{km}$ vom Erdmittelpunkt, während die Uhr am Boden beim Erdradius $R=6371\mathrm{km}$ steht. Für die Erde gilt $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$. Vergleicht man die Raten bei beiden Radien, gewinnt die Satellitenuhr gegenüber einer Bodenuhr den Bruchteil
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=4,435\mathrm{mm}\times \left(\frac{1}{6371\mathrm{km}}-\frac{1}{26571\mathrm{km}}\right)\approx 5,29\times 10^{-10}$
was sich in einem Tag von 86.400 s zu $+45,7\mu \mathrm{s}$ summiert.

Der Satellit bewegt sich außerdem mit $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{3,986\times 10^{14}/(2,657\times 10^7)}\approx 3,87km/s$, was seine Uhr um $v^2/(2c^2)\approx 8,3\times 10^{-11}$ verlangsamt, also um $-7,2\mu \mathrm{s}$ pro Tag. Der Nettoeffekt ist $+45,7-7,2=+38,5\mu \mathrm{s}$ pro Tag. Positionen entstehen aus den Laufzeiten der Signale, und in dieser Zeit legt das Licht $c\cdot 38,5\mu \mathrm{s}\approx 11,5\mathrm{km}$ zurück; ohne Korrektur würden die Ortungen innerhalb eines Tages um Kilometer abweichen. Deshalb werden die Satellitenuhren so gebaut, dass sie um etwa $4,5\times 10^{-10}$ langsamer ticken.

Das Gummituch richtig lesen

Das Gitter ist die Bahnebene, und die Tiefe der Delle ist proportional zum newtonschen Potential $\Phi =-GM/r$ gezeichnet (nahe dem Stern geglättet). Die Tiefe zeigt auch, wie stark Uhren langsamer werden, denn bei schwachen Feldern gilt $d\tau /dt\approx 1+\Phi /c^2$. Die gestrichelte graue Linie ist der Lichtweg ohne den Stern, der schwarze Balken markiert $b$, und $\delta$ bezeichnet den Winkel zwischen dieser Linie und dem goldenen Strahl. Die Ansicht für Fortgeschrittene fügt Newtons Vorhersage als gestrichelten lila Weg hinzu.

Lies das Gummituch als Bild, nicht als Theorie. Eine Kugel rollt nur deshalb in eine echte Delle, weil die Schwerkraft der Erde sie hinunterzieht; der Vergleich erklärt Schwerkraft also mit Schwerkraft. Er zeigt außerdem nur den gekrümmten Raum, während bei langsamen Körpern fast die ganze Schwerkraft aus der Krümmung der Zeit kommt; der gekrümmte Raum spielt vor allem bei schnellen Körpern wie Licht eine Rolle.

Häufige Fehler

• Erwarten, dass sich eine langsame Uhr langsam anfühlt. Neben der Sternuhr bei $2,16r_s$ laufen deine Armbanduhr, dein Herz und deine Atome ganz normal; erst ein Vergleich zeigt, dass du 9 Jahre alterst, während ein ferner Beobachter 12 Jahre altert.
• Die Vorzeichen bei GPS falsch setzen. Schwächere Schwerkraft lässt die Satellitenuhr 45,7 µs pro Tag gewinnen und die Geschwindigkeit lässt sie 7,2 µs verlieren, also ist der Nettowert +38,5 µs, nicht 52,9 µs.
• Bei großen Höhen $gh/c^2$ verwenden. Für GPS ergibt das $9,81\cdot 2,02\times 10^7/c^2\approx 2,2\times 10^{-9}$, viermal zu viel, weil $g$ mit der Höhe schwächer wird; verwende stattdessen $GM/c^2(1/R-1/r)$.
• $r_s$ für die Größe eines Körpers halten oder ein Schwarzes Loch für einen Staubsauger. Die 2,95 km der Sonne liegen tief in ihr, und ein Schwarzes Loch mit der Masse der Sonne würde die Erdbahn unverändert lassen, denn außerhalb der Masse zählt nur $M$.

Wo es vorkommt

Jede Satellitennavigation hängt von diesen Korrekturen ab, und optische Atomuhren bemerken heute schon einen Höhenunterschied von wenigen Zentimetern. Der Gravitationslinseneffekt vergrößert entfernte Galaxien und kartiert unsichtbare Dunkle Materie. Schatten Schwarzer Löcher werden seit 2019 abgebildet, und Gravitationswellen verschmelzender Schwarzer Löcher werden seit 2015 registriert.

Diese Lektion verbindet die Spezielle Relativitätstheorie, die die Eigenzeit und den Geschwindigkeitsterm liefert, mit Gravitation und Umlaufbahnen, ihrem Grenzfall schwacher Felder. Und weil Energie Masse hat, wie Kernspaltung, Kernfusion und E = mc² zeigt, krümmt jede Form von Energie die Raumzeit, auch Licht und Druck.

Fortgeschritten

Krümmung von innen messen

Wie könnten Wesen, die innerhalb eines Raums leben, erkennen, dass er gekrümmt ist, ohne ihn zu verlassen? Sie können messen. Zeichne um eine Materieansammlung eine Kugel und miss ihre Oberfläche $A$. Im flachen Raum legt die Fläche den Radius fest: $A=4\pi r^2$, also muss der Radius $\sqrt{A/4\pi }$ sein. Miss nun den Radius direkt, indem du Lineale vom Mittelpunkt bis zur Kugel aneinanderlegst. Ergeben die Lineale mehr als $\sqrt{A/4\pi }$, ist der Raum gekrümmt, und die Differenz, Überschussradius genannt, gibt an, wie stark.

Legende

$M$	Masse innerhalb der Kugel.	$\mathrm{kg}$
$A$	Fläche der Kugel, für die der Ring steht.	${\mathrm{m}}^2$
$\sqrt{A/4\pi }$	Radius, den der flache Raum für die Fläche $A$ ergäbe.	$\mathrm{m}$
$r$	Mit Linealen von $M$ entlang der Fläche bis zum Ring gemessener Radius.	$\mathrm{m}$
$\Delta r$	Überschussradius, $r-\sqrt{A/4\pi }$; bei Materie von ungefähr gleichmäßiger Dichte ist er $GM/(3c^2)$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 1 zeigt denselben Test eine Dimension niedriger, damit er sich zeichnen lässt. Die gekrümmte Fläche ist der Raum, der Ring steht für die Kugel mit der Fläche $A$, und die Masse $M$ sitzt am Grund der Mulde. Die Fläche ist als Teil einer Kugel gezeichnet, denn so sieht der Raum innerhalb von Materie gleichmäßiger Dichte aus. Schau zuerst auf die gestrichelte Linie: Sie ist der horizontale Abstand von der Achse zum Ring, der Radius $\sqrt{A/4\pi }$, den der flache Raum für einen Ring dieser Größe ergäbe. Verfolge nun die mit $r$ markierte Kurve: Ein Lineal von $M$ zum Ring kann die Mulde nicht abkürzen, es muss der Neigung der Fläche folgen und misst daher eine größere Strecke. Der Balken darunter stellt die beiden Längen nebeneinander, $r=\sqrt{A/4\pi }+\Delta r$. Das zusätzliche Stück $\Delta r$ ist der Überschussradius, den Wesen auf der Fläche messen würden.

Einsteins Gravitationsgesetz in seiner einfachsten Form beziffert diesen Überschuss. Nimm eine kleine Kugel um Materie von ungefähr gleichmäßiger Dichte mit der Masse $M$ im Inneren. Dann übertrifft der gemessene Radius den Flachraum-Wert um
$\Delta r=r-\sqrt{A/4\pi }=\frac{GM}{3c^2}$

Dabei ist $G$ Newtons Gravitationskonstante und $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Da $G/c^2$ so klein ist, ist der Effekt winzig. Für die Erde, als gleichmäßig angenommen, gilt $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$, der Überschussradius beträgt also nur etwa 1,5 mm; für Jupiter sind es 0,47 m. Keine Vermessung könnte das nachweisen. Die Stärke des Gesetzes liegt in seiner Allgemeingültigkeit.

Das vollständige Gesetz verlangt dasselbe für jede kleine Kugel, um jedes Ereignis (einen Punkt im Raum zu einem Augenblick) und für jeden Beobachter, wie auch immer er sich bewegt. Alle diese Bedingungen zugleich aufzuschreiben, braucht drei Bausteine. Die Metrik ist die Tabelle, die Schritte in den Koordinaten in die Zeiten und Längen umrechnet, die Uhren und Lineale tatsächlich messen. Der Einstein-Tensor $G_{\mu \nu }$ fasst die Krümmung zusammen; er wird aus zweiten Ableitungen der Metrik gebildet, so wie die Biegung einer Kurve aus der zweiten Ableitung ihres Graphen kommt. Der Energie-Impuls-Tensor $T_{\mu \nu }$ fasst Dichte und Fluss von Energie und Impuls zusammen. Das Gesetz lautet dann
$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

Krümmung steht links, Materie rechts. Die Kopplung $8\pi G/c^4\approx 2,1\times 10^{-43}{\mathrm{N}}^{-1}$ ist extrem klein, deshalb ist die Raumzeit sehr steif: Riesige Energiedichten erzeugen nur geringe Krümmung. Im leeren Raum gilt $T_{\mu \nu }=0$, also $G_{\mu \nu }=0$, und trotzdem ist die Raumzeit dort nicht flach, denn $G_{\mu \nu }$ enthält nur einen Teil der Krümmung. Der verbleibende Teil ist das Gezeitenfeld, das eine fallende Staubwolke entlang der Linie zur Masse hin streckt und seitlich zusammendrückt.

Gang der Uhren aus dem Äquivalenzprinzip

Schwerkraft krümmt nicht nur den Raum; sie verändert auch die Rate der Zeit, sodass Uhren weiter oben schneller laufen. Das folgt allein aus dem Äquivalenzprinzip: In einem kleinen geschlossenen Raum kann kein Experiment ein gleichmäßiges Gravitationsfeld von einer gleichmäßigen Beschleunigung unterscheiden.

Legende

$g$	Beschleunigung der Rakete (links); Stärke des Gravitationsfelds am Boden, nach unten gerichtet (rechts).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$c$	Geschwindigkeit des Lichtimpulses, der von der Bodenuhr zur Deckenuhr gesendet wird.	$m/s$
$h$	Höhe der Kabine: der Abstand zwischen den beiden Uhren.	$\mathrm{m}$
$gh/c$	Geschwindigkeit, die die Decke gewinnt, während der Puls steigt; sie bestimmt die Doppler-Verschiebung $gh/c^2$.	$m/s$

Abbildung 2 erzählt das Argument zweimal. Beginne links. Weit weg von jedem Planeten beschleunigt eine Raketenkabine der Höhe $h$ mit $g$ nach oben, mit einer Uhr am Boden und einer an der Decke. Die Bodenuhr sendet einen Lichtpuls mit der Geschwindigkeit $c$ nach oben. Der Puls braucht etwa die Zeit $h/c$, bis er ankommt, und in dieser Zeit wird die Decke um $g\cdot (h/c)$ schneller. Wenn sie den Puls empfängt, entfernt sich die Decke also schneller, als sich der Boden beim Senden entfernte, um die Geschwindigkeit $gh/c$ (der kurze Pfeil oben). Ein Empfänger, der sich entfernt, sieht Licht zu einer niedrigeren Frequenz verschoben, um den Bruchteil (Geschwindigkeit)/$c$, hier $gh/c^2$.

Angenommen, die Bodenuhr sendet einen Puls pro Tick. Auf dem Weg geht kein Puls verloren, trotzdem empfängt die Decke sie mit einer Rate, die um den Bruchteil $gh/c^2$ niedriger ist als ihr eigener Takt. Pulse, die von der Decke nach unten gesendet werden, kommen mit höherer Frequenz an, weil sich der Boden auf sie zubewegt. Alle an Bord sind sich also einig: Die Deckenuhr läuft schnell und die Bodenuhr langsam, um den Bruchteil $gh/c^2$.

Rechts steht dieselbe Kabine auf dem Boden, in einem Gravitationsfeld $g$, das nach unten zeigt. Nach dem Äquivalenzprinzip kann innen niemand diesen Raum von der Rakete unterscheiden, also muss das Ergebnis dasselbe sein: In einem Gravitationsfeld läuft eine um $h$ höhere Uhr um $gh/c^2$ schneller.

In Bodennähe ist $gh$ der Anstieg des Gravitationspotentials $\Phi$, der potentiellen Energie pro Masseeinheit. Die Regel gilt daher für jedes statische Potential, das in großer Entfernung null ist. Während eine weit entfernte Uhr die Zeit $dt$ zählt, zählt eine ruhende Uhr am Potential $\Phi$ ihre eigene Zeit, die Eigenzeit $d\tau$, und
$\frac{d\tau }{dt}\approx 1+\frac{\Phi }{c^2}$

Da $\Phi$ nahe einer Masse negativ ist, laufen Uhren dort langsam. Um eine Masse $M$ gilt $\Phi =-GM/r$, und die Regel ist die Form erster Ordnung der exakten Rate, die unten gefunden wird, $\sqrt{1-r_s/r}\approx 1-GM/(r{c}^2)$, wobei $r_s=2GM/c^2$ der Schwarzschild-Radius der Masse ist.

Die Energieerhaltung liefert dasselbe Ergebnis. Licht der Energie $E$ hat die Masse $E/c^2$, also gewinnt es beim Fallen über eine Höhe $h$ die Energie $Egh/c^2$, den Bruchteil $gh/c^2$ seiner Energie; beim Aufsteigen verliert es diesen Bruchteil. Die Energie eines Photons ist proportional zu seiner Frequenz, also sinkt seine Frequenz um denselben Bruchteil.

Pound und Rebka maßen die Verschiebung 1960 über einen 22,5 m hohen Turm: ein Bruchteil von nur $2,5\times 10^{-15}$. 1976 bestätigte eine Wasserstoffmaser-Uhr, die auf etwa 10.000 km Höhe geflogen wurde, es weit genauer.

Das Diagramm der Umlaufuhr

Satelliten tragen Uhren, und für sie zählen beide Effekte: Höhe lässt eine Uhr schnell laufen, Geschwindigkeit lässt sie langsam laufen. Das Diagramm für Fortgeschrittene wendet beide auf eine Uhr auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$, gemessen vom Erdmittelpunkt, an, verglichen mit einer Uhr am Boden beim Erdradius $R$.

Höhe: Das Potential steigt von $-GM/R$ am Boden auf $-GM/r$ im Orbit, also gewinnt die Umlaufuhr nach der obigen Regel den Bruchteil $GM/c^2(1/R-1/r)$ jeder Sekunde (grüne Kurve). Geschwindigkeit: Die Spezielle Relativitätstheorie verlangsamt eine bewegte Uhr um den Faktor $\sqrt{1-v^2/c^2}\approx 1-v^2/(2c^2)$, und auf einer Kreisbahn gilt $v^2=GM/r$, also verliert die Uhr $GM/(2r{c}^2)$ jeder Sekunde (blaue Kurve). Die Summe (rote Kurve) ist
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{3}{2r}\right)$

Das Diagramm multipliziert diese Bruchteile mit den 86.400 Sekunden eines Tages. Eine streifende Bahn bei $r=R$ gewinnt nichts durch die Höhe und verliert 30,1 µs am Tag, alles davon durch die Geschwindigkeit. Mit zunehmender Höhe steigt der grüne Gewinn gegen 60,1 µs am Tag, sein Wert für eine unendlich weit entfernte Uhr, während der blaue Verlust mit $1/r$ schrumpft. Die rote Kurve schneidet null, wo $1/R=3/(2r)$ gilt, also bei $r=1,5R$, etwa 3.190 km Höhe: Niedrigere Bahnen verlieren Zeit, höhere gewinnen. Die Raumstation, 400 km hoch, verliert 24,7 µs am Tag, sodass eine Astronautin nach sechs Monaten an Bord etwa 4,5 ms jünger zurückkehrt. GPS-Uhren, etwa 20.200 km hoch, gewinnen 38,5 µs am Tag, und der rechte Rand des Diagramms bei 25.000 km erreicht 41,8 µs.

Freier Fall als längste Eigenzeit

Newton beschreibt das Fallen mit Kräften. Die Allgemeine Relativitätstheorie ersetzt sie durch eine Regel über Uhren: Zwischen zwei Ereignissen folgt ein freier Körper der Weltlinie (seinem Weg durch Raum und Zeit), auf der seine eigene Uhr die meiste Zeit anzeigt. In flacher Raumzeit ist diese Weltlinie gerade, mit konstanter Geschwindigkeit; deshalb kommt der reisende Zwilling der Speziellen Relativitätstheorie, der umkehrt, jünger zurück.

Nahe dem Boden konkurrieren zwei Effekte, wie im letzten Abschnitt: Höhe lässt eine Uhr um $gh/c^2$ schnell laufen, Geschwindigkeit lässt sie um $v^2/(2c^2)$ langsam laufen. Entlang eines Weges mit der Höhe $h(t)$ und der Geschwindigkeit $v(t)$ ist die Eigenzeit also
$\tau =\int \left(1+\frac{gh}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\right)dt$

Höhe zahlt sich aus, Geschwindigkeit kostet. Der beste Weg steigt hoch genug, um Zeit zu gewinnen, aber nicht so schnell, dass seine Geschwindigkeit den Gewinn auffrisst.

Legende

$t$	Zeit seit dem Wurf.	$\mathrm{s}$
$h$	Höhe des Balls über dem Boden.	$\mathrm{m}$
$T$	Zeit vom Wurf bis zum Fangen.	$\mathrm{s}$
$H_1$	Scheitelhöhe eines niedrigen Weges, $H_2/2$.	$\mathrm{m}$
$H_2$	Scheitelhöhe des Weges des freien Falls, $g{T}^2/8$.	$\mathrm{m}$
$H_3$	Scheitelhöhe eines hohen Weges, $2H_2=g{T}^2/4$.	$\mathrm{m}$
$H$	Scheitelhöhe eines Weges.	$\mathrm{m}$
$\Delta \tau$	Eigenzeit, die eine Uhr auf dem Weg gegenüber einer am Boden gelassenen Uhr gewinnt.	$\mathrm{s}$

Abbildung 3 prüft die Regel an einem Ball, der nach oben geworfen und eine Zeit $T$ später gefangen wird. Das linke Feld zeigt drei Wege zwischen denselben beiden Ereignissen, alle Bögen $h=4H(t/T)(1-t/T)$, die sich nur in ihrer Scheitelhöhe $H$ unterscheiden: einen niedrigen, $H_1$; den Weg des freien Falls, dem der Ball tatsächlich folgt, $H_2$; und einen hohen, $H_3$. Welcher gibt einer mitgeführten Uhr die meiste Zeit?

Berechne die Zeit $\Delta \tau$, die die reisende Uhr gegenüber einer am Boden zurückgelassenen gewinnt, indem du die beiden Terme über den Flug mittelst. Die mittlere Höhe eines solchen Bogens beträgt zwei Drittel seiner Scheitelhöhe, $2H/3$. Die Geschwindigkeit ist $v=dh/dt=(4H/T)(1-2t/T)$, und der Mittelwert von $(1-2t/T{)}^2$ über den Flug ist $1/3$, also ist der Mittelwert von $v^2/2$ gleich $8H^2/(3T^2)$. Multipliziert man jeden Mittelwert mit der Flugzeit $T$ und teilt durch $c^2$, erhält man
$\Delta \tau =\frac{T}{c^2}\left(\frac{2}{3}gH-\frac{8H^2}{3T^2}\right)$

Die rechte Grafik trägt diesen Gewinn gegen $H$ auf: eine umgedrehte Parabel. Sie erreicht ihr Maximum, wo ihre Steigung $2g/3-16H/(3T^2)$ null ist, bei $H_2=g{T}^2/8$. Das ist genau die Höhe des freien Falls: Ein Ball, der unter der Schwerkraft $T/2$ lang aufsteigt, erreicht $\frac{1}{2}g(T/2{)}^2=g{T}^2/8$. Für $T=3\mathrm{s}$ liegt der Gipfel bei 11,0 m, und der Gewinn ist $g^2{T}^3/(24c^2)\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{s}$. Der niedrige Weg $H_1$, halb so hoch, gewinnt drei Viertel davon. Der Weg $H_3=g{T}^2/4$, doppelt so hoch, gewinnt nichts: Seine zusätzliche Geschwindigkeit hebt den Vorteil der Höhe genau auf.

Dasselbe gilt für jedes Potential, wobei $gh$ durch $\Phi$ ersetzt wird. Multipliziere den Integranden mit $-m{c}^2$: Das Integral wird $\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$. Der erste Term trägt für jeden Weg denselben Betrag bei, also ist es dasselbe, $\tau$ möglichst groß zu machen, wie $\int (\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$ möglichst klein zu machen. Das ist das Prinzip der kleinsten Wirkung der newtonschen Mechanik, deren Bewegungsgleichung $\vec{a}=-\nabla \Phi$ lautet. Die Masse $m$ kürzt sich heraus, daher fällt jeder Körper gleich: Die Universalität des freien Falls steckt in der Geometrie. Genau genommen ist $\tau$ nur gegenüber benachbarten Wegen ein Maximum.

Die Schwarzschild-Geometrie

Die bisherigen Regeln sind Näherungen für schwaches Feld. Außerhalb einer kugelförmigen, nicht rotierenden Masse, etwa eines Sterns oder eines Schwarzen Lochs, hat die Feldgleichung eine exakte Lösung, die Karl Schwarzschild 1916 fand. Sie ist eine Metrik: Sie gibt die Eigenzeit $d\tau$ zwischen zwei benachbarten Ereignissen aus ihren Koordinatenabständen,
$c^{2}d{\tau }^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-r_s/r}-r^{2}d{\Omega }^2$

Dabei ist $t$ die Zeit einer weit entfernten Uhr, $r$ ist so gewählt, dass ein Kreis um das Zentrum den Umfang $2\pi r$ hat, $d\Omega$ ist der kleine Winkel zwischen den beiden Ereignissen, vom Zentrum aus gesehen, und $r_s=2GM/c^2$. Daraus folgen sofort zwei Aussagen. Für eine ruhende Uhr gilt $dr=d\Omega =0$, und die Metrik ergibt $d\tau =\sqrt{1-r_s/r}dt$: der exakte Gang der Uhr. Für ein Lineal entlang des Radius gilt $dt=d\Omega =0$, und die gemessene Länge ist $dr/\sqrt{1-r_s/r}$, mehr als $dr$. Diese Dehnung radialer Abstände ist der Überschussradius aus dem ersten Abschnitt.

Die Ablenkung des Lichts

Licht, das an einer Masse vorbeigeht, wird abgelenkt, und die Größe der Ablenkung unterscheidet die Allgemeine Relativitätstheorie von Newtons Theorie: Newtonsches Denken liefert nur die Hälfte dessen, was beobachtet wird.

Legende

$M$	Masse, die den Strahl ablenkt.	$\mathrm{kg}$
$b$	Stoßparameter: der Abstand von $M$ zur einlaufenden Geraden des Strahls.	$\mathrm{m}$
$c$	Lichtgeschwindigkeit entlang des Strahls.	$m/s$
$\delta$	Ablenkung in der Allgemeinen Relativitätstheorie, $4GM/(c^{2}b)=2{\delta }_N$.	$\mathrm{rad}$
${\delta }_N$	Ablenkung allein durch den Zeitanteil, wie in Newtons Theorie: $2GM/(c^{2}b)$.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 4 verfolgt einen Lichtstrahl an der Masse $M$ vorbei. Weit links läuft der Strahl geradlinig mit der Geschwindigkeit $c$; der Stoßparameter $b$ ist der Abstand von $M$ zu dieser einlaufenden Geraden. Weit rechts verlaufen beide gezeichneten Wege wieder geradlinig, entlang der gestrichelten Linien, aber gedreht: einer um den Winkel ${\delta }_N$, der andere um $\delta$, doppelt so viel. Der Rest dieses Abschnitts erklärt den Faktor zwei.

Licht bewegt sich mit $d\tau =0$. Beschreibe seinen Weg durch $u=1/r$ als Funktion des Winkels $\phi$ um die Masse, wobei ein Strich $d/d\phi$ bedeutet. Setzt man $d\tau =0$ in die Schwarzschild-Metrik ein und nutzt die erhaltene Energie und den Drehimpuls, folgt
$u^{\prime \prime }+u=\frac{3GM}{c^2}{u}^2$

Ohne die rechte Seite ist die Lösung eine Gerade; der kleine Term auf der rechten Seite biegt sie. Das ist die Gleichung, die die Animation für ihren goldenen Strahl integriert.

Um den Faktor zwei zu sehen, betrachte die Metrik im schwachen Feld. Dort ist der Faktor vor $c^{2}d{t}^2$ gleich $g_{tt}\approx 1+2\Phi /c^2$, und der Faktor vor dem quadrierten Raumschritt ist $g_{rr}\approx -(1-2\Phi /c^2)$: Beide weichen vom flachen Raum um denselben Betrag ab, $2\Phi /c^2$. Ein langsamer Körper legt pro Zeiteinheit sehr wenig Raum zurück, daher wirkt nur der Zeitanteil auf ihn, und dieser allein ergibt Newtons Schwerkraft. Auf Licht angewendet würde der Zeitanteil allein den Weg um ${\delta }_N=2GM/(c^{2}b)$ ablenken, den Winkel, den Newtons Theorie für ein Teilchen der Geschwindigkeit $c$ ergibt. Aber Licht durchquert ebenso viel Raum wie Zeit, $|d\vec{x}|=cdt$, also wirkt der Raumanteil auf es ebenso stark wie der Zeitanteil, und die Ablenkung verdoppelt sich:
$\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}=2{\delta }_N$

Da $4GM/c^2=2r_s$ gilt, ist das auch $\delta =2r_s/b$. In der Animation geht der Strahl bei $b=8r_s$ vorbei: Newtons lila Weg wird um 7,2° abgelenkt, diese Formel ergibt $0,25\mathrm{rad}=14,3°$, und der exakte goldene Strahl dreht sich um 17,8°, weil die Formel so nah an der Masse versagt. Am Sonnenrand, $b\approx 2,4\times 10^5{r}_s$, ergibt die Formel 1,75″, und Radioteleskope bestätigen das auf besser als 0,1 %.

Merkur und die Radien im starken Feld

Bei einem Planeten erscheint derselbe zusätzliche Term in seiner Bahngleichung, $u^{\prime \prime }+u=GM/{\ell }^2+3GM{u}^2/c^2$, wobei $\ell$ der Drehimpuls pro Masseeinheit ist. Ohne den letzten Term sind die Lösungen newtonsche Ellipsen, die sich nach einem Umlauf schließen. Der zusätzliche Term lässt die Ellipse bei jeder Runde ein wenig vorwärts drehen: Ihr sonnennächster Punkt rückt vor um
$\Delta \phi =\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$

wobei $a$ die große Halbachse der Ellipse und $e$ ihre Exzentrizität ist. Für Merkur mit $a=5,79\times 10^{10}\mathrm{m}$ und $e=0,206$ ergibt sich $5,0\times 10^{-7}\mathrm{rad}$ pro Umlauf, oder 43″ in den 415 Umläufen pro Jahrhundert: genau der Teil von Merkurs Perihelverschiebung, den die Anziehung der anderen Planeten nicht erklären konnte.

Im starken Feld markieren dieselben Gleichungen drei Radien. Am Horizont, $r_s$, sinkt die Rate $\sqrt{1-r_s/r}$ einer ruhenden Uhr auf null. An der Photonensphäre, $1,5r_s$, kann Licht die Masse umkreisen, aber instabil. Auf der innersten stabilen Kreisbahn, $3r_s$, enden stabile Bahnen; sie bildet den inneren Rand der Scheiben aus heißem Gas um Schwarze Löcher.

Aufgabe: eine Uhr auf der Kugel

Wie schnell läuft eine Uhr auf einer Umlaufbahn genau? Setze eine Uhr auf die blaue Kugel der Animation, die den Stern bei $r=10,4r_s$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ umkreist. In der Zeit der fernen Uhr gilt das keplersche Gesetz für Kreisbahnen in dieser Geometrie exakt: ${\omega }^2=GM/r^3$. Auf der Bahn ist $r$ konstant, also $dr=0$, und der Winkel schreitet um $d\Omega =\omega dt$ voran. Setzt man dies in die Metrik ein und teilt durch $c^{2}d{t}^2$, ergibt sich
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}-\frac{r^2{\omega }^2}{c^2}}$

Mit dem keplerschen Gesetz und $GM=r_s{c}^2/2$ ist der letzte Term $r^2{\omega }^2/c^2=GM/(r{c}^2)=r_s/(2r)$, also
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}$
Bei $r=10,4r_s$ ergibt das $\sqrt{1-1,5/10,4}=\sqrt{0,856}\approx 0,925$.

Eine Runde dauert 12,28 s Zeit der fernen Uhr, also zeigt die Uhr der Kugel $0,925\cdot 12,28\approx 11,4\mathrm{s}$. Vergleiche die beiden stillstehenden Uhren der Animation. Die ferne Uhr bei $22r_s$ läuft mit $\sqrt{1-1/22}=0,977$ und zeigt 12,0 s; die Sternuhr bei $2,16r_s$ läuft mit 0,733 und zeigt 9,0 s. Die Uhr der Kugel bleibt hinter der fernen Uhr zurück, liegt aber deutlich vor der Sternuhr.

Die Rate zerfällt in einen Faktor für jeden Effekt. Der Schwerkraftfaktor, $\sqrt{1-1/10,4}=0,951$, ist die Rate einer ruhenden Uhr bei diesem Radius. Der Bewegungsfaktor, $\sqrt{1-0,231^2}=0,973$, ist die Verlangsamung der Speziellen Relativitätstheorie für die Geschwindigkeit $0,231c$, die ein ruhender Beobachter neben der Bahn misst. Ihr Produkt ist $0,951\cdot 0,973\approx 0,925$. Diese Geschwindigkeit übersteigt den newtonschen Wert $\sqrt{GM/r}=0,219c$, weil die Uhr des ruhenden Beobachters selbst langsam läuft und er die Umlaufzeit der Kugel daher in weniger Sekunden misst.

Vergleiche nun eine Umlaufuhr mit einer am Radius $R$ ruhenden, deren Rate $\sqrt{1-r_s/R}$ ist. Die Umlaufuhr läuft schneller, wenn $1-3r_s/(2r)>1-r_s/R$ gilt, also wenn $r>1,5R$. Das ist die Nullstelle der roten Erdkurve, 3.190 km über dem Boden; hier aber ist das Ergebnis exakt und gilt auch im starken Feld. Für die Sternuhr bei $2,16r_s$ liegt die Grenzbahn bei $3,24r_s$, knapp außerhalb der letzten stabilen Bahn bei $3r_s$.

Gültigkeitsgrenzen

Die Formeln für schwaches Feld brauchen $r_s/r\ll 1$ und $v\ll c$. In der Nähe des Sterns der Animation versagen sie sichtbar: Für die Sternuhr ergibt die Rate $1-r_s/(2r)$ im schwachen Feld 0,769 statt der exakten 0,733, und die Ablenkformel verfehlt die exakten 17,8° um 3,5°. Im Sonnensystem liegen die Fehler in der Größenordnung $(r_s/r{)}^2$, etwa $2\times 10^{-11}$ selbst an der Sonnenoberfläche. Ein Neutronenstern ist anders: Mit 1,4 Sonnenmassen innerhalb eines Radius von 12 km hat er $r_s/r=0,34$, und eine Uhr an seiner Oberfläche läuft mit 0,81. Die Erdkurve lässt außerdem einen kleinen Effekt weg, die Drehung der Bodenuhr, die etwa 0,1 µs am Tag ausmacht.

Die Theorie hat bisher jeden Test bestanden: die Lichtablenkung und Radioverzögerungen nahe der Sonne, Merkurs Bahn, Uhren, die schrumpfenden Bahnen von Doppelpulsaren und seit 2015 Gravitationswellen. Die erste nachgewiesene Welle stammte von zwei verschmelzenden Schwarzen Löchern mit etwa 36 und 29 Sonnenmassen; sie veränderte die 4 km langen Arme der LIGO-Detektoren um etwa $4\times 10^{-18}\mathrm{m}$.

Die eigentliche Grenze ist quantenphysikalisch. Die Theorie sagt Singularitäten voraus, im Inneren Schwarzer Löcher und am Anfang des expandierenden Universums, wo die Krümmung über alle Grenzen wächst. Lange davor, nahe der Planck-Länge $\sqrt{\hslash G/c^3}\approx 1,6\times 10^{-35}\mathrm{m}$, müssen Quanteneffekte der Gravitation übernehmen, und keine geprüfte Theorie beschreibt sie bisher.

Wohin das führt

Die Spezielle Relativitätstheorie ist der flache, gravitationsfreie Grenzfall, und ihr Zwillingseffekt kehrt hier als Regel der längsten Eigenzeit zurück. Gravitation und Umlaufbahnen ist der Grenzfall schwacher Felder und langsamer Bewegung. So wie beschleunigte Ladungen in Elektromagnetische Wellen abstrahlen, strahlen beschleunigte Massen Gravitationswellen mit $c$ ab, allerdings nur über sich ändernde Quadrupole, da die Impulserhaltung Dipolstrahlung verbietet. Kernspaltung, Kernfusion und E = mc² erklärt, warum jede Energieform in $T_{\mu \nu }$ zählt.

Zusammen mit der Quantentheorie sollte ein Schwarzes Loch wie die Schwarzkörper aus „Schwarzkörperstrahlung und das Quant“ leuchten, bei der Temperatur $T=\hslash c^3/(8\pi GM{k}_B)$, etwa $6\times 10^{-8}\mathrm{K}$ für eine Sonnenmasse. „Teilchen und Kräfte: das Standardmodell“ beschreibt jede bekannte Wechselwirkung außer der Gravitation; beide zu verbinden ist das große offene Problem.