Elektromagnetische Wellen

Einsteiger

Woher kommt eine Radiowelle? Stell dir einen Metallstab vor, der an eine Wechselspannung angeschlossen ist. Elektronen werden den Stab hinauf gedrückt, dann hinunter, dann wieder hinauf, sodass seine beiden Enden abwechselnd positiv und negativ werden. Um den Stab herum gibt es ein elektrisches Feld, und jedes Mal, wenn die Ladungen die Seiten wechseln, kippt das Feld. Das alte Feld verschwindet nicht: Es entfernt sich vom Stab, während hinter ihm ein neues entsteht. Eine Welle aus elektrischem Feld breitet sich nach außen aus. Und während die Elektronen den Stab entlangrasen, bilden sie einen Strom, der ein Magnetfeld erzeugt, sodass auch eine magnetische Welle hinausläuft. Zusammen sind sie eine elektromagnetische Welle.

In der Animation spielt die schwingende Ladung links die Rolle der Antenne. Die blaue Welle und die Pfeile zeigen das elektrische Feld, die rote Welle das Magnetfeld. Sie steigen und fallen gemeinsam, im rechten Winkel zueinander und zur Ausbreitungsrichtung.

Weit entfernt rüttelt das elektrische Feld an den Elektronen in der Antenne eines Autos, und das Radio verwandelt dieses winzige Zittern wieder in Ton. Um Musik zu übertragen, verändert ein Sender die Stärke seiner Welle (AM) oder ihre Frequenz (FM). Diese Wellen brauchen keine Luft: Sie durchlaufen den leeren Raum, alle mit Lichtgeschwindigkeit, etwa 300.000 km pro Sekunde.

Radio ist ein Mitglied einer großen Familie. Von langen zu kurzen Wellen: Radio, Mikrowellen, Infrarot, sichtbares Licht, Ultraviolett, Röntgen- und Gammastrahlen. Die Farbleiste zeigt dieses Spektrum; unsere Augen sehen nur dessen schmales Regenbogenband.

Teste dich: Welche Strahlung durchquert den Raum schneller, Radiowellen oder Röntgenstrahlen? (Keine von beiden: Beide laufen mit Lichtgeschwindigkeit.)

Mittelstufe

Was schwingt

Eine elektromagnetische (EM) Welle ist ein laufendes Muster aus einem elektrischen Feld $\vec{E}$, in Volt pro Meter (V/m), und einem Magnetfeld $\vec{B}$, in Tesla (T). Nichts Materielles bewegt sich: An jedem Punkt wachsen die Felder, schrumpfen und kehren sich um, und das Muster wandert. Die Kraft von $\vec{E}$ auf die Elektronen einer Antenne oder deines Auges ist es, womit man die Welle nachweist.

Zwei Gesetze halten sie in Gang. Wie „Elektromagnetische Induktion“ zeigte, erzeugt ein sich änderndes Magnetfeld ein elektrisches Feld; Maxwell erkannte, dass ein sich änderndes elektrisches Feld ebenso ein Magnetfeld erzeugt. Jede Änderung erzeugt das andere Feld ein Stück weiter, sodass sich die Störung selbst fortpflanzt, ohne Drähte und ohne Medium.

Beschleunigte Ladungen setzen sie in Gang: Elektronen, die von einer Wechselspannung auf und ab durch eine Antenne getrieben werden, oder die goldene Ladung links in der Animation. Eine ruhende Ladung oder ein stetiger Strom erzeugt nur stetige Felder.

Transversal, phasengleich, mit einer Geschwindigkeit

Im Vakuum hat jede EM-Welle drei Eigenschaften, alle in der Animation zu sehen:

• Sie ist transversal: $\vec{E}$ (blau, senkrecht) und $\vec{B}$ (rot, waagerecht, perspektivisch gezeichnet) stehen aufeinander und auf der Ausbreitungsrichtung senkrecht, dem Pfeil $c$.
• Die beiden Felder schwingen in Phase: Sie erreichen ihre Maxima und gehen durch null an denselben Orten und zur selben Zeit.
• Sie läuft mit $c=3,00\times 10^{8}m/s$, unabhängig von ihrer Frequenz.

Die Welle läuft entlang $\vec{E}\times \vec{B}$: Dreht man die Finger der rechten Hand von $\vec{E}$ zu $\vec{B}$, zeigt der Daumen die Richtung. Mit $\vec{E}$ nach oben in der Zeichenebene und $\vec{B}$ aus ihr heraus läuft die Welle nach rechts; eine halbe Periode später haben sich beide umgekehrt, und sie läuft trotzdem nach rechts. Die Richtung von $\vec{E}$ ist die Polarisation, in der Animation senkrecht.

Die Geschwindigkeit folgt aus den beiden Gesetzen: $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$, wobei ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$ und ${\mu }_0=1,26\times 10^{-6}H/m$ die Konstanten der elektrischen Kräfte zwischen Ladungen und der magnetischen Kräfte zwischen Strömen sind, mit Batterien und Spulen gemessen. Sie ergeben $3,00\times 10^{8}m/s$, die Lichtgeschwindigkeit; in den 1860er-Jahren überzeugte das Maxwell, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist.

Die wichtigsten Gleichungen

Drei Beziehungen tragen auf dieser Stufe das meiste:

• $c=f\lambda$
• $E=cB$
• $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

Die erste ist die Regel aus „Grundlagen der Wellen“: In einer Periode schreitet die Welle um eine Wellenlänge voran. Da $c$ fest ist, halbiert die doppelte Frequenz die Wellenlänge: Entlang der Spektrumleiste nach rechts sinkt $\lambda$, und $f$ steigt.

Die zweite gilt an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt. In Tesla wirkt $B$ winzig, 10 nT neben 3,0 V/m, aber Größen in verschiedenen Einheiten lassen sich nicht vergleichen. Energien dagegen schon: Die Dichten $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ und $B^2/(2{\mu }_0)$ sind genau gleich, sodass jedes Feld die Hälfte der Energie trägt.

Die dritte liefert die Intensität $I$, die mittlere Leistung pro Quadratmeter (W/m²), aus der Amplitude $E_0$; das $\frac{1}{2}$ ist der Mittelwert von ${\sin }^2$ über eine Periode. Verdoppelt man $E_0$, vervierfacht sich die Leistung.

Durchgerechnetes Beispiel: das grüne Licht der Animation

Die Animation modelliert grünes Licht mit $\lambda =550\mathrm{nm}$, dem Abstand von Wellenberg zu Wellenberg, den das Lineal markiert. In Metern sind $550\mathrm{nm}=5,50\times 10^{-7}\mathrm{m}$, also gilt für Frequenz und Periode
$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{5,50\times 10^{-7}}\approx 5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
$T=\frac{1}{f}\approx 1,83\times 10^{-15}\mathrm{s}$

Das ist die Frequenz, die in der Anzeigetafel steht. Ein echter Zyklus dauert unter zwei Femtosekunden, ein gezeichneter 2 s, sodass das Bild etwa $10^{15}$-mal langsamer läuft als das Licht.

Die Feldamplitude ist $E_0=3,0V/m$, also gilt für die magnetische Amplitude und die Intensität
$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{3,0}{3,00\times 10^8}=1,0\times 10^{-8}\mathrm{T}=10\mathrm{nT}$
$I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2\approx 1,2\times 10^{-2}W/{\mathrm{m}}^2$

An Punkt P schwanken die Anzeigen zwischen $+3,0$ und $-3,0V/m$ sowie zwischen $+10$ und $-10\mathrm{nT}$: Wenn $E$ 1,5 V/m anzeigt, zeigt $B$ 5,0 nT, und beide gehen gemeinsam durch null. Die Pfeile, einer alle ein Achtel einer Wellenlänge (69 nm in der echten Welle), wachsen und schrumpfen im Takt. Die 12 mW/m² der erweiterten Ansicht bedeuten schwaches Licht, rund 80.000-mal schwächer als Sonnenlicht.

Durchgerechnetes Beispiel: UKW-Radio und Mikrowelle

Ein UKW-Sender strahlt bei 100 MHz. Zuerst umrechnen, $100\mathrm{MHz}=1,00\times 10^8\mathrm{Hz}$; dann
$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3,00\times 10^8}{1,00\times 10^8}=3,0\mathrm{m}$

100 MHz als $10^7\mathrm{Hz}$ zu lesen ergäbe 30 m, zehnmal zu lang. Eine Viertelwellen-Autoantenne ist daher 75 cm lang. Etwa 30 km von einem 100-kW-Sender beträgt die Amplitude ungefähr 0,10 V/m, also $B_0=0,10/(3,00\times 10^8)\approx 3,3\times 10^{-10}\mathrm{T}$ und $I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 0,10^2\approx 1,3\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$. Das Signal brauchte $3,0\times 10^4/(3,00\times 10^8)=1,0\times 10^{-4}\mathrm{s}$, um anzukommen.

Ein Mikrowellenherd bei 2,45 GHz nutzt $\lambda =3,00\times 10^8/(2,45\times 10^9)\approx 0,122\mathrm{m}$. Im Metallkasten reflektiert, bilden die Wellen ein stehendes Muster mit heißen Stellen im Abstand einer halben Wellenlänge, etwa 6,1 cm. Ohne Drehteller: Erhitze kurz eine Schicht Schokolade und miss den Abstand zwischen den weichen Stellen: $2\cdot 0,061\cdot 2,45\times 10^9\approx 3,0\times 10^{8}m/s$, die Lichtgeschwindigkeit aus der Küche.

Die Spektrumleiste lesen

Die Leiste unten ordnet die Familie nach Wellenlänge, lang links. Jedes Band hat seine eigene Wellenlänge, aber alle laufen mit derselben Geschwindigkeit. Die Grenzen sind Konventionen:

• Radio, länger als etwa 1 m: AM-Wellen um 300 m, UKW-Wellen mit 3 m.
• Mikrowellen, 1 mm bis 1 m: Radar, Handys, WLAN und Mikrowellenherde.
• Infrarot, 700 nm bis 1 mm: Wärmestrahlung, für deine Haut am stärksten bei etwa 10 µm.
• Sichtbares Licht, nur 400 bis 700 nm: das schmale umrandete Regenbogenband.
• Ultraviolett, unter 400 nm, dann Röntgen- und Gammastrahlen; die kürzesten sind weit kleiner als ein Atom.

Nach rechts steigt auch die Energie jedes Photons, $hf$ ($h=6,63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ ist das plancksche Wirkungsquantum). Diese Energie, nicht die Intensität, entscheidet, was eine Welle mit einem Molekül macht: Sichtbare Photonen von etwa 2 eV treiben das Sehen an, und nur solche über etwa 10 eV (Ultraviolett unter etwa 124 nm, Röntgen- und Gammastrahlen) ionisieren die meisten Atome.

Häufige Fehler

• EM-Wellen brauchen kein Medium: Sonnenlicht durchquert 150 Millionen km nahezu Vakuum in 8,3 Minuten.
• Höhere Frequenz heißt nicht schneller: Ein Radarecho und ein Laserpuls, am Mond reflektiert, kehren beide nach etwa 2,6 s zurück.
• Das Magnetfeld ist nicht vernachlässigbar: 10 nT neben 3,0 V/m trägt gleich viel Energie. Seine Kraft auf ein Elektron mit der Geschwindigkeit $v$ beträgt jedoch höchstens $v/c$ der elektrischen Kraft, daher legt $\vec{E}$ die Polarisation fest.
• Glas ändert Geschwindigkeit und Wellenlänge, nicht die Frequenz: Mit $n=1,5$ wird grünes Licht auf $2,0\times 10^{8}m/s$ verlangsamt, und 550 nm schrumpft auf etwa 367 nm, während $f$ bei $5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ bleibt.
• „Strahlung“ ist nicht „radioaktiv“, und Leistung macht eine Welle nicht ionisierend: Die Photonen eines 1000-W-Ofens tragen $10^{-5}\mathrm{eV}$, ein einzelnes Röntgenphoton einige zehn keV.

Wo du ihnen begegnest

Radio, Fernsehen, Handys, WLAN, Satellitennavigation (19 cm), Radar und Mikrowellenöfen nutzen das langwellige Ende. Fernbedienungen, Glasfaserverbindungen (1,55 µm) und Wärmebildkameras nutzen Infrarot; UV-Lampen desinfizieren Wasser, Röntgenstrahlen bilden Knochen und Kristalle ab, und Gammastrahlen behandeln Tumoren.

Diese Lektion verbindet Elektrizität und Optik. „Polarisation des Lichts“ folgt der Richtung von $\vec{E}$; „Interferenz und Superposition“ sowie „Beugung und Doppelspalt“ addieren die Felder mehrerer Wellen; „Reflexion und Brechung“ verfolgt eine Welle in die Materie. „Schwarzkörperstrahlung und das Quant“ sowie „Der photoelektrische Effekt“ zeigen, dass Licht in Energiepaketen $hf$ emittiert und absorbiert wird.

Fortgeschritten

Maxwell-Gleichungen im leeren Raum

Licht, Radiowellen und Röntgenstrahlen sind alle Wellen aus elektrischen und magnetischen Feldern. Um zu sehen, warum solche Wellen existieren und warum sie alle mit einer festen Geschwindigkeit laufen, geht man von den Gesetzen des Elektromagnetismus in einem Gebiet ohne Ladungen und ohne Ströme aus. Dort haben sie eine auffallend symmetrische Form:
$\nabla \cdot \vec{E}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Hier ist $\vec{E}$ das elektrische Feld, $\vec{B}$ das Magnetfeld, und ${\mu }_0$ und ${\epsilon }_0$ sind die magnetische und die elektrische Feldkonstante des leeren Raums. Die Gesetze lesen wir einzeln. Die ersten beiden sind die gaußschen Gesetze: Ohne Ladungen im Gebiet beginnen oder enden keine Feldlinien darin. Das dritte ist das faradaysche Induktionsgesetz: Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld, das es umkreist. Das vierte ist das ampèresche Gesetz mit Maxwells Ergänzung, dem Verschiebungsstrom ${\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$: Ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld, das es umkreist. Die letzten beiden zusammen lassen jedes Feld das andere am Leben erhalten, ohne Ladung in der Nähe, und genau das braucht eine Welle.

Maxwells Term ist keine freie Wahl: Die Ladungserhaltung verlangt ihn. Wo Ladungen vorhanden sind, lautet das vierte Gesetz $\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$, mit $\vec{J}$ der Stromdichte. Bilde auf beiden Seiten die Divergenz. Die linke Seite ist null, denn eine Rotation hat nie eine Divergenz. Auf der rechten Seite verwandelt das gaußsche Gesetz $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$, mit $\rho$ der Ladungsdichte, den zweiten Term in ${\mu }_0\partial \rho /\partial t$. Übrig bleibt $\nabla \cdot \vec{J}+\partial \rho /\partial t=0$: Die Ladung, die aus einem kleinen Volumen herausfließt, ist genau die Ladung, die darin verloren geht. Ohne Maxwells Term würde derselbe Schritt $\nabla \cdot \vec{J}=0$ verlangen, was falsch ist an der Platte eines sich aufladenden Kondensators, wo Strom ankommt und keiner abfließt.

Warum die Front mit Lichtgeschwindigkeit läuft

Legende

$\sigma$	Ladung pro Flächeneinheit der bewegten Platte.	$C/{\mathrm{m}}^2$
$v_s$	Geschwindigkeit der Platte, in der oberen Ansicht nach unten.	$m/s$
$v$	Geschwindigkeit der Front, der Grenze des Bereichs mit Feld.	$m/s$
$\vec{E}$	Elektrisches Feld hinter der Front: in der oberen Ansicht nach oben, in der unteren aus der Zeichenebene heraus.	$V/m$
$\vec{B}$	Magnetfeld hinter der Front: in der oberen Ansicht aus der Zeichenebene heraus, in der unteren nach unten.	$\mathrm{T}$
$L$	Höhe der Schleife, entlang der Front gemessen.	$\mathrm{m}$
$vdt$	Wie weit die Front in der kurzen Zeit $dt$ vorrückt: die Breite des schraffierten Streifens.	$\mathrm{m}$

Bevor man eine Gleichung löst, zeigt ein Gedankenexperiment, wie eine Änderung des einen Feldes das andere erzeugt und wie sich das Paar gemeinsam fortbewegt. Es benutzt nur die Schleifenform des faradayschen Gesetzes und des Ampère-Maxwell-Gesetzes und liefert die Geschwindigkeit der Front direkt.

Zuerst die Quelle. Eine unendlich große flache Platte liegt in der $yz$-Ebene; Abbildung 1 zeigt sie von der Kante, als orangefarbene Linie links. Nimm $x$ nach rechts, weg von der Platte, $y$ nach oben auf dem Blatt und $z$ aus dem Blatt heraus. Die Platte trägt eine Ladung $\sigma$ pro Quadratmeter und liegt auf einer festen Platte mit entgegengesetzter Ladung, sodass es im Ruhezustand außerhalb kein Feld gibt. Zur Zeit $t=0$ wird die geladene Platte mit konstanter Geschwindigkeit $v_s$ entlang $-y$, also nach unten auf dem Blatt, in Bewegung gestoßen. Eine bewegte Ladungsschicht ist ein Strom, daher schaltet sich sofort ein Strom $\sigma v_s$ pro Meter Breite ein. Direkt neben der Platte gibt das ampèresche Gesetz das Feld einer Stromschicht, $B={\mu }_0\sigma v_s/2$, aus dem Blatt heraus, entlang $z$.

Weiter draußen kann das Feld nicht überall im selben Augenblick erscheinen. Angenommen, es füllt ein Gebiet hinter einer ebenen Front, die sich mit unbekannter Geschwindigkeit $v$ von der Platte entfernt (die gestrichelte Linie): hinter der Front gleichmäßig, davor null. Die beiden Schleifengesetze werden $v$ festlegen und ebenso das elektrische Feld, das mit $\vec{B}$ auftreten muss.

Abbildung 1 zeigt dieselbe Front aus zwei Richtungen, jedes Mal mit einer rechteckigen Schleife der Höhe $L$, die quer über der Front liegt. In einer kurzen Zeit $dt$ rückt die Front um $vdt$ vor, und die Schleife gewinnt den schraffierten Streifen Feld, mit der Fläche $Lvdt$.

Die obere Ansicht blickt entlang $z$. Die Schleife liegt in der $xy$-Ebene, also durchsetzt $\vec{B}$ (die Kreise mit Punkt, aus dem Blatt heraus) sie, und der magnetische Fluss durch die Schleife wächst um $BLvdt$, also mit der Rate $BLv$. Das faradaysche Gesetz sagt, dass ein sich ändernder Fluss ein elektrisches Feld braucht, das die Schleife umkreist. Die Seiten entlang $x$ tragen nichts bei, denn $\vec{E}$ entlang $y$ steht senkrecht auf ihnen, und die Seite vor der Front hat kein Feld. Nur die Seite der Länge $L$ hinter der Front zählt, also $EL=BLv$.

Die untere Ansicht blickt von oben entlang $y$ herab. Nun liegt die Schleife in der $xz$-Ebene, $\vec{E}$ durchsetzt sie (hier aus dem Blatt heraus), und $\vec{B}$ verläuft entlang der Seite der Schleife hinter der Front. Derselbe Streifen fügt elektrischen Fluss mit der Rate $ELv$ hinzu. Durch diese Schleife fließt kein Strom, also sagt das ampère-maxwellsche Gesetz, dass die Zirkulation von $\vec{B}$ gleich ${\mu }_0{\epsilon }_0$ mal dieser Rate ist; wieder zählt nur die Seite hinter der Front, also $BL={\mu }_0{\epsilon }_{0}ELv$. Die eingezeichneten Richtungen sind diejenigen, die beiden Gesetzen die richtigen Vorzeichen geben; hier zählen nur die Größen.

Kürze $L$, und die beiden Bedingungen lauten
$E=vB,B={\mu }_0{\epsilon }_{0}vE$
Setzt man die erste in die zweite ein: $B={\mu }_0{\epsilon }_0{v}^{2}B$. Beides kann nur gelten, wenn $v^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ ist:
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3,00\cdot 10^{8}m/s$

Nichts davon hängt von $\sigma$, von $v_s$ oder davon ab, wie plötzlich die Platte anfing: Wie heftig der Stoß auch ist, die Front hat diese eine Geschwindigkeit, aufgebaut aus zwei Konstanten, die mit Ladungen und Strömen gemessen werden. Maxwell erkannte, dass sie gleich der gemessenen Lichtgeschwindigkeit ist, und schloss, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist.

Hinter der Front gilt $E=cB=\sigma v_s/(2{\epsilon }_{0}c)$, denn ${\mu }_{0}c=1/({\epsilon }_{0}c)$. $\vec{E}$ zeigt entgegen der Geschwindigkeit der Platte, in Abbildung 1 nach oben auf dem Blatt, und $\vec{E}\times \vec{B}$ zeigt von der Platte weg, in die Richtung, in der sich die Front bewegt. Beachte, was das Feld aufzeichnet: wie schnell sich die Platte bewegt, nicht wo sie ist. Wenn die Platte also nach einer Zeit $\tau$ anhält, folgt der ersten Front eine zweite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und zwischen beiden läuft eine Feldschicht der Dicke $c\tau$ weiter, ohne dass irgendeine Ladung in der Nähe ist. Schüttelt man die Platte auf und ab, kopiert das auslaufende Feld ihren Geschwindigkeitsverlauf, verzögert um $x/c$ in einem Abstand $x$: eine ebene Welle.

Die Wellengleichung

Die Platte erzeugte eine ebene Front. Die Differentialform der Gesetze zeigt, dass ein Feldmuster beliebiger Form sich mit derselben Geschwindigkeit ausbreitet. Bilde die Rotation des faradayschen Gesetzes. Links benutze die Identität $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$, deren erster Term verschwindet, weil $\nabla \cdot \vec{E}=0$ ist. Rechts vertausche Rotation und Zeitableitung und setze für $\nabla \times \vec{B}$ das vierte Gesetz ein. Die Minuszeichen heben sich auf, und übrig bleibt
${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

Das ist die Wellengleichung aus „Grundlagen der Wellen“ mit $1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ an Stelle von $v^2$, also läuft jede Lösung mit $c$. Dieselben Schritte, ausgehend vom vierten Gesetz, liefern dieselbe Gleichung für $\vec{B}$. Das Minuszeichen im faradayschen Gesetz ist wesentlich: Es besagt, dass induzierte Felder der Änderung entgegenwirken, die sie verursacht. Mit einem Pluszeichen würden die Lösungen zeitlich exponentiell wachsen oder abklingen statt zu laufen, und es gäbe keine Wellen.

Ebene Welle: zwei Felder in Phase, im rechten Winkel

Legende

$x$	Achse in Ausbreitungsrichtung.	$\mathrm{m}$
$y$	Achse, entlang der $\vec{E}$ schwingt.
$z$	Achse, entlang der $\vec{B}$ schwingt; sie zeigt auf den Betrachter, im Bild nach unten links gezeichnet.
$\vec{E}$	Elektrisches Feld der Welle.	$V/m$
$\vec{B}$	Magnetfeld der Welle, in Phase mit $\vec{E}$.	$\mathrm{T}$
$E_0$	Amplitude des elektrischen Feldes.	$V/m$
$B_0$	Amplitude des Magnetfelds, gleich $E_0/c$.	$\mathrm{T}$
$\lambda$	Wellenlänge: der Abstand von einem Wellenberg zum nächsten.	$\mathrm{m}$
$c$	Geschwindigkeit der Welle in Ausbreitungsrichtung.	$m/s$

Die einfachste Lösung, eine sinusförmige ebene Welle, zeigt, wie $\vec{E}$ und $\vec{B}$ in allem Licht angeordnet sind. Abbildung 2 friert eine Welle ein, die entlang $x$ läuft, im Augenblick $t=0$:
$E=E_0\sin (kx-\omega t),\omega =ck$
Hier ist $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz; $\omega =ck$ ist das, was die Wellengleichung für diese Form verlangt.

In der Abbildung sind die Achsen rechtshändig, mit $z$ auf dich zeigend (auf dem Blatt nach unten links gezeichnet). Das elektrische Feld $\vec{E}$ (blau) schwingt entlang $y$, das Magnetfeld $\vec{B}$ (rot) entlang $z$. Beide sind Sinuskurven mit derselben Wellenlänge $\lambda$, dem Abstand von einem Wellenberg zum nächsten, und sie gehen an denselben Stellen durch null und erreichen dort ihre Maxima. Ihre Amplituden $E_0$ und $B_0$ haben verschiedene Einheiten, daher lassen sich die für sie gezeichneten Längen nicht vergleichen.

Warum steht $\vec{E}$ quer zur Ausbreitungsrichtung? In einer ebenen Welle hängen die Felder nur von $x$ und $t$ ab. Das gaußsche Gesetz reduziert sich dann auf $\nabla \cdot \vec{E}=\partial E_x/\partial x=0$, und die $x$-Komponente des ampère-maxwellschen Gesetzes liefert $\partial E_x/\partial t=0$, weil die Rotation eines solchen Feldes keine $x$-Komponente hat. Also ist $E_x$ höchstens eine Konstante, die nicht zur Welle gehört: Die Welle ist transversal, und wir dürfen $\vec{E}$ entlang $y$ annehmen.

Warum ist $\vec{B}$ entlang $z$ und im Takt mit $\vec{E}$? Die $z$-Komponente des faradayschen Gesetzes liefert $\partial B_z/\partial t=-\partial E_y/\partial x=-k{E}_0\cos (kx-\omega t)$. Zeitlich integriert ist die schwingende Lösung $B_z=(k/\omega )E_0\sin (kx-\omega t)$; die $y$-Komponente liefert $\partial B_y/\partial t=0$, also gibt es kein schwingendes $B_y$. Da $\omega /k=c$ ist,
$E=cB$

Damit steht $\vec{B}$ senkrecht auf $\vec{E}$ und ist mit ihm in Phase, mit $B_0=E_0/c$, und $\vec{E}\times \vec{B}$ zeigt entlang $+x$, der Ausbreitungsrichtung, die in der Abbildung mit $c$ markiert ist. Für eine Welle, die in Richtung $-x$ läuft, ergeben dieselben Schritte $B_z=-E_y/c$: Kehrt man die Ausbreitungsrichtung um, kehrt sich $\vec{B}$ relativ zu $\vec{E}$ um.

Der Graph der Expertenansicht der Animation zeigt dieselbe Welle in der Zeit statt im Raum: $E$ am Punkt P, eine Sinusfunktion mit der Amplitude 3,0 V/m, deren zwei Zyklen je 1,83 fs dauern, eine Periode von 550 nm grünem Licht. P liegt zwei Wellenlängen entlang der Welle, also ist dort $kx=4\pi$, und der Verlauf ist $E=E_0\sin (4\pi -\omega t)=-E_0\sin \omega t$: Er beginnt bei null und sinkt zuerst ab. Das ist die Momentaufnahme, rückwärts gelesen. Die Welle wandert in Richtung $+x$, also erreicht P als Nächstes der Teil der Welle, der links von ihm liegt, und der lag zur Zeit $t=0$ unter der Achse. Die $B$-Anzeige folgt dem Verlauf, mit $E/B=c$ zu jedem Zeitpunkt.

Energie, Intensität und Impuls

Legende

$c\Delta t$	Länge des Rohrs: wie weit die Welle in der Zeit $\Delta t$ vorankommt.	$\mathrm{m}$
$A$	Querschnitt des Rohrs: die Fläche, die die Energie durchquert.	${\mathrm{m}}^2$
$u$	Im Feld gespeicherte Energie pro Volumeneinheit im Rohr.	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{E}$	Elektrisches Feld der Welle im Rohr.	$V/m$
$\vec{S}$	Leistung pro Flächeneinheit durch die Fläche, in Ausbreitungsrichtung.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$c$	Geschwindigkeit der Welle und der von ihr getragenen Energie.	$m/s$

Eine Welle trägt Energie von ihrer Quelle weg; so wärmt das Sonnenlicht die Erde. Um zu finden, wie viel Leistung jeden Quadratmeter durchquert, verfolgt Abbildung 3 die Energie durch eine Fläche $A$, die quer zum Weg der Welle gehalten wird.

Die Felder speichern Energie mit der Dichte $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+B^2/(2{\mu }_0)$, Joule pro Kubikmeter: dieselben Ausdrücke wie für das Feld im Kondensator und in der Spule. Das ganze Muster bewegt sich mit $c$, ohne seine Form zu ändern. In einer Zeit $\Delta t$ wird also die Fläche $A$ von der gesamten Energie im Rohr mit Querschnitt $A$ und der Länge $c\Delta t$ dahinter durchquert, also $uAc\Delta t$. Teilt man durch $A$ und durch $\Delta t$, ist die Leistung pro Quadratmeter $cu$.

Nun benutzen wir die Verbindung $B=E/c$ der ebenen Welle zusammen mit $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$. Der magnetische Term wird $B^2/(2{\mu }_0)=E^2/(2{\mu }_0{c}^2)=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$, sodass die beiden Hälften von $u$ gleich sind, $u={\epsilon }_0{E}^2$, und die Leistung pro Quadratmeter $c{\epsilon }_0{E}^2$ beträgt. Der poyntingsche Satz, die Energieerhaltung für Felder, schreibt dies allgemein als den Vektor $\vec{S}$ der Abbildung:
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$

Für die ebene Welle ist sein Betrag $EB/{\mu }_0=E^2/({\mu }_{0}c)=c{\epsilon }_0{E}^2$, wie oben gefunden, und er zeigt in Ausbreitungsrichtung.

Das Feld des sichtbaren Lichts kehrt sich etwa $10^{15}$-mal pro Sekunde um, viel zu schnell für jeden Detektor; gemessen wird daher der Mittelwert über viele Zyklen. Der Mittelwert von ${\sin }^2$ über einen Zyklus ist die Hälfte, also gilt für die Intensität
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

Für die 3,0 V/m der Animation ergibt das die 12 mW/m² der Anzeigetafel, mit einer mittleren Energiedichte von $4,0\times 10^{-11}J/{\mathrm{m}}^3$. Sonnenlicht am Boden, etwa 1,0 kW/m², entspricht $E_0\approx 870V/m$ und einer magnetischen Amplitude von 2,9 µT.

Die Felder tragen auch Impuls, $S/c^2$ pro Kubikmeter. Da er sich mit $c$ bewegt, trifft dieser Impuls eine Oberfläche mit der Rate $S/c$ pro Quadratmeter. Eine schwarze Fläche absorbiert ihn und spürt daher einen Druck $I/c$; ein Spiegel wirft ihn zurück und spürt doppelt so viel. Sonnenlicht auf einer schwarzen Fläche am Boden drückt mit 3,3 µPa; auf einem Spiegel oberhalb der Atmosphäre, wo die Intensität 1361 W/m² beträgt, ergibt sich eine Kraft von etwa 9 N pro Quadratkilometer. Dieser winzige, unablässige Schub treibt Sonnensegel an und bläst die Staubschweife der Kometen von der Sonne weg.

Strahlung beschleunigter Ladungen

Legende

$q$	Die gestoßene Ladung.	$\mathrm{C}$
$O$	Ort, an dem die Ladung vor dem Stoß ruhte.
$a$	Beschleunigung der Ladung während des Stoßes.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$vt$	Strecke, die die Ladung bis zur Zeit $t$ von $O$ zurückgelegt hat.	$\mathrm{m}$
$ct$	Radius der äußeren Kugel: wie weit sich die Nachricht vom Stoß in der Zeit $t$ ausgebreitet hat.	$\mathrm{m}$
$c\tau$	Dicke der Schale: wie weit sich die Nachricht während des Stoßes ausbreitet, also in der Zeit $\tau$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Winkel zwischen einer Feldlinie und der Richtung des Stoßes.	$\mathrm{rad}$
$\vec{E}$	Seitliches Feld in der Schale, das Strahlungsfeld: entgegengesetzt zum seitlichen Anteil der Beschleunigung.	$V/m$
$c$	Geschwindigkeit, mit der sich die Schale und der Knick darin nach außen ausbreiten.	$m/s$

Bisher waren die Wellen einfach gegeben. Dieser Abschnitt zeigt, woher sie kommen: von Ladungen, deren Geschwindigkeit sich ändert. Eine ruhende Ladung hat ihr Coulomb-Feld. Eine Ladung mit konstanter Geschwindigkeit trägt dieses Feld mit sich, denn in ihrem eigenen Bezugssystem ruht sie. Nur eine Beschleunigung sendet eine Welle aus, und Abbildung 4 zeigt, warum.

Eine Ladung $q$ ruht bei $O$ bis $t=0$. Dann wird sie entlang $x$ mit der Beschleunigung $a$ für eine kurze Zeit $\tau$ gestoßen und driftet danach mit der kleinen Geschwindigkeit $v=a\tau$ weiter, sodass sie eine Zeit $t$ später den Abstand $vt$ von $O$ hat. Die Abbildung übertreibt $v/c$; die Argumentation verlangt $v\ll c$.

Die Nachricht vom Stoß breitet sich mit $c$ nach außen aus, daher fallen die Feldlinien (im Querschnitt gezeichnet) zur Zeit $t$ in drei Zonen. Außerhalb der Kugel mit Radius $ct$ um $O$ ist die Nachricht noch nicht angekommen: Die Linien zeigen noch von $O$ weg, dorthin, wo die Ladung wäre, hätte sie sich nie bewegt. Innerhalb der Kugel mit Radius $c(t-\tau )$ hat sich die Ladung, soweit das Feld weiß, die ganze Zeit gleichmäßig bewegt, und ihre Linien zeigen von dort weg, wo sie jetzt ist. In der dünnen Schale der Dicke $c\tau$ zwischen beiden Kugeln muss jede Linie ihren äußeren Teil mit ihrem inneren verbinden; da beide Teile gegeneinander versetzt sind, verläuft die Linie seitlich durch die Schale. Dieser seitliche Verlauf ist der Knick.

Seine Größe liest man aus der Abbildung ab. Eine Linie, die unter dem Winkel $\theta$ zur Stoßrichtung abgeht, wird um $vt\sin \theta$ seitlich verschoben, also um den Anteil der Verschiebung $vt$, der quer zur Linie liegt, und sie vollzieht diese Verschiebung innerhalb einer Schale, die nur $c\tau$ dick ist. In der Schale folgt das Feld der Linie, also ist das Verhältnis seines seitlichen Anteils $E_{\perp }$ zu seinem radialen Anteil $E_r$ das Verhältnis dieser beiden Längen. Mit $v=a\tau$ und $r=ct$ für den Radius der Schale:
$\frac{E_{\perp }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$
Der radiale Anteil ist immer noch das Coulomb-Feld, $E_r=q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$, denn nach dem gaußschen Gesetz lässt die Schale gleich viele Feldlinien hindurch wie zuvor. Multipliziert man beides, erhält man das seitliche Feld, den Pfeil $\vec{E}$ in der Abbildung.

Achte auf die Potenzen von $r$. Der radiale Anteil fällt mit $1/r^2$, der seitliche aber nur mit $1/r$, weil die Verschiebung $vt$ mit der Ausbreitung der Schale wächst, während ihre Dicke $c\tau$ bleibt. Weit von der Ladung dominiert daher der Knick. Er ist das Strahlungsfeld und bewegt sich mit der Schale nach außen mit $c$.

Für einen Stoß, der sich zeitlich glatt ändert, und für Geschwindigkeiten weit unter $c$, ergibt dasselbe Argument das Feld in einem Abstand $r$ und einem Winkel $\theta$ zur Richtung der Beschleunigung:
$E(r,t)=\frac{qa(t-r/c)\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$
Drei Dinge fallen auf. Das Feld ist transversal und, für eine positive Ladung, dem seitlichen Anteil der Beschleunigung entgegengesetzt. Es wird von der Beschleunigung zum früheren Zeitpunkt $t-r/c$ bestimmt, als die Nachricht losging. Und seine Intensität, proportional zu $E^2$, geht mit ${\sin }^2\theta /r^2$: null entlang der Beschleunigungsrichtung und am größten im rechten Winkel dazu. Deshalb strahlt ein senkrechter Radiomast, dessen Ladungen auf und ab schießen, sein Signal entlang des Bodens aus.

Die Gesamtleistung ergibt sich aus der Addition der Intensität $c{\epsilon }_0{E}^2$ über eine Kugel mit Radius $r$. Die Kugelfläche, proportional zu $r^2$, hebt das $1/r^2$ auf, und ${\sin }^2\theta$ mittelt sich über alle Richtungen zu zwei Dritteln; so ergibt sich die larmorsche Formel:
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

Das $1/r$-Gesetz ist es, das Energie entweichen lässt: Die Leistung durch eine Kugel, proportional zu $E^2{r}^2$, ist in jedem Radius gleich, während ein Feld mit $1/r^2$ nichts bis in große Entfernungen tragen würde. Deshalb kommt das Sternlicht noch nach vielen Lichtjahren an.

In der Animation schwingt die goldene Ladung, daher ist ihre Beschleunigung $a=-{\omega }^{2}y$ stets entgegengesetzt zu ihrer Auslenkung $y$. Das abgestrahlte Feld ist der Beschleunigung entgegengesetzt, folgt also der Auslenkung: Die blaue Welle neben der Ladung steigt und fällt mit ihr, und der Punkt P, zwei Wellenlängen entfernt, empfängt jede Bewegung zwei Perioden (3,7 fs) später. Synchrotronlicht und Röntgenröhren gehorchen derselben Regel.

Durchgerechnetes Beispiel: eine grüne Lampe mit 1 W

Eine kleine Lampe strahlt $P=1,0\mathrm{W}$ grünes Licht von 550 nm gleichmäßig in alle Richtungen ab. In welchem Abstand beträgt ihre Feldamplitude die 3,0 V/m der Animation? Was ändert sich im doppelten Abstand? Welche Kraft wirkt auf eine schwarze Karte von 1,0 cm², die dort frontal gehalten wird, und wie viele Photonen absorbiert sie pro Sekunde?

In einer Entfernung $r$ verteilt sich das Watt auf eine Kugelfläche $4\pi r^2$, also gilt $I=P/(4\pi r^2)$. Setzt man dies gleich $\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ und löst nach $r$ auf:
$r=\sqrt{\frac{P}{2\pi c{\epsilon }_0{E}_0^2}}=\sqrt{\frac{1,0}{2\pi \cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2}}\approx 2,6\mathrm{m}$

Bei 5,2 m durchquert dasselbe Watt eine viermal größere Kugel, also sinkt die Intensität auf ein Viertel, auf 3,0 mW/m². Die Amplitude geht mit der Wurzel aus der Intensität, sie halbiert sich also nur, auf 1,5 V/m, wie es das $1/r$-Gesetz verlangt.

Bei 2,6 m beträgt die Intensität 12 mW/m², also absorbiert die Karte $1,2\times 10^{-2}\cdot 1,0\times 10^{-4}=1,2\times 10^{-6}\mathrm{W}$. Ein Absorber spürt den Druck $I/c$, also ist die Kraft die absorbierte Leistung geteilt durch $c$: $F=1,2\times 10^{-6}/(3,00\times 10^8)=4,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$. Der Druck, $4,0\times 10^{-11}\mathrm{Pa}$, ist gleich der mittleren Energiedichte des Strahls, wie es für jeden Absorber gilt, denn beide sind $I/c$.

Die Frequenz des Lichts ist $f=c/\lambda =5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, und jedes Photon trägt die Energie $hf$, mit $h$ dem planckschen Wirkungsquantum: $hf=6,63\times 10^{-34}\cdot 5,45\times 10^{14}\approx 3,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$, also etwa 2,3 eV. Die Karte absorbiert daher $1,2\times 10^{-6}/(3,6\times 10^{-19})\approx 3,3\times 10^{12}$ Photonen pro Sekunde. Das sind viel zu viele, als dass ihre Körnigkeit sichtbar würde, also ist die glatte klassische Welle hier eine ausgezeichnete Beschreibung.

Grenzen der Gültigkeit

Die klassische Theorie behandelt Ausbreitung, Interferenz, Beugung und Polarisation bei jeder Frequenz. Sie versagt dort, wo Materie Energie mit dem Feld austauscht, denn das geschieht in Quanten $hf$: 2,3 eV für grünes Licht, $4\times 10^{-7}\mathrm{eV}$ für UKW-Radio, einige zehn keV für medizinische Röntgenstrahlen. Die meisten Atome brauchen etwa 10 eV, um ein Elektron zu verlieren, daher ionisieren nur Wellenlängen unter etwa 124 nm, egal wie schwach der Strahl ist. Wenn nur wenige Photonen vorhanden sind, liefert die Welle nur die Wahrscheinlichkeit, eines nachzuweisen.

Sie versagt auch im Inneren von Atomen. Ein Elektron, das wie im klassischen Wasserstoffatom umläuft, mit $a\approx 9,0\times 10^{22}m/{\mathrm{s}}^2$, würde nach der larmorschen Formel $4,7\times 10^{-8}\mathrm{W}$ abstrahlen und in etwa 16 ps spiralförmig in den Kern stürzen. Atome sind stabil; warum, erklärt „Atommodelle: das bohrsche Atom“.

In Materie verlangsamt sich die Welle auf $c/n$, wobei die Brechzahl $n$ von der Frequenz abhängt. Leiter absorbieren sie: Meerwasser schwächt eine 10-kHz-Welle etwa alle 2,5 m um den Faktor $e$, weshalb U-Boote sehr niedrige Frequenzen nutzen. Im Vakuum sind die Gleichungen linear, sodass sich Strahlen kreuzen, ohne sich zu stören. Schließlich ist $c$ exakt: Seit 1983 ist der Meter so definiert, dass $c=299792458m/s$ gilt.

Wohin das führt

Die maxwellschen Gleichungen legen eine Geschwindigkeit $c$ fest, ohne zu sagen, relativ zu was; „Spezielle Relativitätstheorie“ macht sie für jeden Inertialbeobachter gleich und mischt $\vec{E}$ und $\vec{B}$, wenn sich das Bezugssystem ändert. „Polarisation des Lichts“ folgt der Richtung von $\vec{E}$; „Interferenz und Superposition“ sowie „Beugung und Doppelspalt“ addieren Felder; „Prismen, Dispersion und Farbe“ führt die geringere Geschwindigkeit im Glas auf Elektronen zurück, die wie die oben beschriebene Platte wieder abstrahlen. „Schwarzkörperstrahlung und das Quant“, „Der photoelektrische Effekt“ und „Welle-Teilchen-Dualismus“ behandeln die Quanten $hf$; „Teilchen und Kräfte: das Standardmodell“ macht das Photon zum Träger der elektromagnetischen Kraft. Gravitationswellen („Gravitation als gekrümmte Raumzeit“) laufen ebenfalls mit $c$: 2017 erreichten die einer Neutronenstern-Verschmelzung die Erde innerhalb von 2 s nach deren Gammastrahlen.