动量与碰撞

动量 $p = m v$ ：为什么碰撞物体的总动量始终不变，而它们的动能 $K$ 却有时会改变。

同一次碰撞在两条轨道上演示：质量 1 kg 的小车以 4 m/s 撞上静止的 3 kg 小车。上方轨道上两车弹开；下方轨道上两车粘在一起。

学习本主题之前: 牛顿运动定律

入门

核心概念

动量等于质量乘以速度：一辆重而慢的车与一辆轻而快的车，可以具有相同的动量。
改变动量需要持续一段时间的推力：时间更长、力更柔和，效果相同，所以柔软着陆伤害更小。
碰撞中，一个物体失去的动量恰好是另一个物体获得的动量，因此总动量保持不变。
粘性碰撞保持总动量不变，但会把一部分动能转化为热、声音和凹痕。

为什么一辆慢慢滚动、装满瓶子的购物车很难停下，而一个飞来的乒乓球却很容易接住？下面四步解释这一现象。

第 1 步。把物体的质量乘以它的速度，得到它的动量，单位是千克米每秒。和速度一样，动量也有方向。一个重而慢的物体和一个轻而快的物体可以具有相同的动量：4 kg 的车以 1 m/s 运动，与 1 kg 的车以 4 m/s 运动，动量相同。

第 2 步。要改变动量，就必须持续施力一段时间，作用时间越长，力就可以越小。这就是你从墙上跳下来时要弯曲膝盖的原因：减速过程持续更久，你所受的力就更小。

第 3 步。碰撞中，两个物体以大小相等、方向相反的力相互推，作用时间也完全相同。因此一个物体失去的动量恰好是另一个物体获得的动量，只要没有摩擦力或墙壁等外部因素介入，总动量就保持不变。这就是动量守恒。

第 4 步。动画展示了同一次碰撞的两种结果：一辆轻而快的车撞上一辆静止的重车。装有弹性缓冲器时，轻车被弹回，重车滚走；装有粘性垫时，两车一起滚动，速度更慢。无论哪种情况，总动量都相同。不同的只是动能：弹性反弹保留了它，而粘性碰撞把其中一部分变成了热、声音和凹痕。

自我检测：一枚静止的烟花弹炸成两个质量相等的碎片，其中一块向东飞去，另一块会怎样？（它以相同速率向西飞去，因此总动量仍为零。）

中级

核心概念

$p = m v$ 是矢量：先选定正方向，与之相反的速度取负号。
在没有外部水平力的情况下，每次碰撞（无论弹性与否）都有 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ 。
完全非弹性碰撞：两者共同速度 $v^{'} = (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) / (m_{1} + m_{2})$ ；这里 $K$ 从 $8 J$ 降至 $2 J$ 。
弹性碰撞、靶静止： $v_{1}^{'} = (m_{1} - m_{2}) v_{1} / (m_{1} + m_{2})$ ， $v_{2}^{'} = 2 m_{1} v_{1} / (m_{1} + m_{2})$ ，且 $K$ 不变。

动量：质量乘以速度

物体的动量等于其质量与速度的乘积：
$p = m v$

动量的单位是千克米每秒（kg·m/s）。动量有方向：沿轨道选定正方向后，朝反方向运动的物体动量为负。质量与速度可以互相“补偿”：动画中以 4 m/s 到达的 1 kg 小车，动量为 $1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ ，与 4 kg 的车以 1 m/s 运动时的动量相同。

动量不等于动能。 $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ 没有方向，并且与速度的平方成正比：以 4 m/s 运动的 1 kg 小车动能为 8 J，而同样为 4 kg·m/s 的动量若由 4 kg 的物体以 1 m/s 运动提供，动能只有 2 J。

冲量与力-时间图

力会改变动量，改变量取决于力作用的时间长短。对于恒定的力，牛顿第二定律 $F = ma = m Δ v /Δ t$ 可写成 $F Δ t = Δ p$ 。乘积 $F Δ t$ 称为冲量 $J$ ，单位是牛顿秒（1 N·s = 1 kg·m/s）；当力随时间变化时，冲量等于力-时间图像下的面积。

同样的面积可以又高又窄，也可以又低又宽。一个 70 kg 的人从 1 m 高处跳下，落地时速度约为 4.4 m/s，地面必须消除约 310 kg·m/s 的动量。若双腿僵直着地，身体约在 0.02 s 内停下，平均合力约为 15 kN，超过体重的 20 倍；若弯曲膝盖，停止过程延长到 0.3 s，力减小到约 1 kN。

总动量为何守恒

两车碰撞时，各自都对对方施力。根据牛顿第三定律，两力在每一时刻大小相等、方向相反，并且作用时间相同，即接触的持续时间。两者的力-时间图像互为镜像，因此冲量大小相等、方向相反：小车 2 获得多少动量，小车 1 就失去多少。碰撞前后总量相同：
$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

带撇号的量表示碰撞后的速度，每个速度都保留其符号。这一定律并不关心两车之间的力是弹性的、粘性的还是爆炸性的，它只要求沿轨道方向没有外力，或外力太弱、太短而可以忽略：在 0.16 s 的接触时间内，0.3 N 的滚动摩擦力只使动量改变约 0.05 kg·m/s，约占总量的 1%。

弹性碰撞与非弹性碰撞

动量守恒只给出一个方程，而正碰的末速度有两个未知数；第二个条件与动能有关。弹性碰撞中动能守恒，例如钢球或弹簧缓冲器。非弹性碰撞中，一部分动能转化为热、声音和形变。在完全非弹性碰撞中，两物体粘在一起并具有同一速度。

对于这两种情形，末速度都有封闭公式；弹性公式假定物体 2 最初静止。

$v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
$v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1}}{m _{1} + m _{2}}, v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}$

第一式只需动量守恒；第二式同时用到两个定律，并且说明弹性碰撞中两物体的分离速率等于接近速率。质量相等时两者交换速度，如同牛顿摆。轻物体撞上重得多的物体时，几乎以原速率反弹，就像球撞墙；重物体撞上轻物体时几乎不减速，而轻物体飞出时速度接近 $2 v_{1}$ 。

例题：动画中的两条轨道

两条轨道的初始条件相同： $m_{1} = 1 kg$ 以 $v_{1} = 4 m/s$ 到达， $m_{2} = 3 kg$ 静止等待。总动量为 $1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ ，动能为 $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^{2} = 8 J$ 。

在轨道 B 上，粘性垫把两车连在一起，它们共享同一速度：
$v^{'} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{1 + 3} = 1 m/s$
此时动能为 $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1^{2} = 2 J$ ：6 J 变成了热量，并压扁了粘性垫。在轨道 A 上，弹性缓冲器使碰撞为弹性碰撞：
$v_{1}^{'} = \frac{( 1 - 3 ) \cdot 4}{1 + 3} = - 2 m/s$
$v_{2}^{'} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 4}{1 + 3} = 2 m/s$
检验： $1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 2 = 4 kg \cdot m/s$ ，且 $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^{2} = 8 J$ 。两车以 4 m/s 的速率接近，并以 $2 - (- 2) = 4 m/s$ 的速率分开。

注意箭头。蓝色的 $p_{1}$ 箭头起始长 4 格（每格 1 kg·m/s）；在轨道 B 上缩短为 1 格，而在轨道 A 上则缩短至零后反向指向左侧，长 2 格。金色的 $p_{2}$ 箭头在 B 上增长到 3 格，在 A 上增长到 6 格。首尾相接时，两者总是合成 4 格，两个读数在整个过程中（包括接触期间）都显示 $p_{1} + p_{2} = 4.0 kg \cdot m/s$ 。在轨道 A 上反弹需要两倍的冲量：在同样的 0.16 s 内，小车 2 在 A 上获得 6 kg·m/s，平均力为 $6/0.16 = 37.5 N$ ；在 B 上只获得 3 kg·m/s，平均力为 18.75 N。

例题：追尾事故

一辆 1500 kg、速度 20 m/s 的汽车撞上同向行驶、速度 10 m/s 的 1000 kg 汽车的尾部，两车锁在一起。碰撞持续 0.1 s，路面摩擦可忽略，因此动量守恒：
$v^{'} = \frac{1500 \cdot 20 + 1000 \cdot 10}{1500 + 1000} = 16 m/s$

动能从 $\frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 2 0^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 1 0^{2} = 350 kJ$ 降至 $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 1 6^{2} = 320 kJ$ ：30 kJ 用于把金属压皱。

现在让小车反向行驶，速度 $v_{2} = - 10 m/s$ 。残骸以 $(1500 \cdot 20 - 1000 \cdot 10) /2500 = 8 m/s$ 运动，只保留 $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 8^{2} = 80 kJ$ ：损失 270 kJ，是前一种情形的九倍，因为两车以 30 m/s 而非 10 m/s 的速率相互接近。两车受到的平均力都是 180 kN，但小车的速度在 0.1 s 内改变 18 m/s，减速度约为 18 g；大车的速度只改变 12 m/s。

常见错误

忘记符号。轨道 A 上小车以 $- 2 m/s$ 反弹；若都取正号，动量之和将为 $2 + 6 = 8 kg \cdot m/s$ ，而不是 4。
认为粘性碰撞会消灭动量。轨道 B 上粘在一起的两车仍有 4 kg·m/s；消失的是动能，8 J 中的 6 J。
以为质量更大或速度更快的物体施力更大。两力大小相等、方向相反：轨道 A 上每辆车受力 37.5 N；速度变化较大的只是较轻的车，变化 6 m/s，而另一辆只变化 2 m/s。
忽略持续作用的外力。质量 0.5 kg 的球下落 1 s，因重力作用动量增加约 4.9 kg·m/s；只有球和地球共同构成的系统总动量才保持不变。因此应把两个碰撞物体都纳入系统。
对所有碰撞都套用弹性公式。这些公式假定动能无损失且靶静止；在轨道 B 上它们会预测 $- 2$ 和 $+ 2 m/s$ ，而不是共同的 1 m/s。

应用实例

安全气囊、头盔和汽车的吸能区会延长碰撞时间，使同样的动量变化只需较小的力。枪支会后坐：质量 4 kg 的步枪以 800 m/s 射出 10 g 的子弹，会以 $0.01 \cdot 800/4 = 2 m/s$ 向后反冲。火箭向后喷出燃气以向前运动，无需空气可推。接下来的《功、能与功率》讨论碰撞中保留或损失的动能；《角动量及其守恒》则把同样的思想应用到转动物体上。

高级

核心概念

$\int F d t = Δ p$ ；两物体在每一时刻都以大小相等、方向相反的力相互作用，因此内力不能改变 $\sum p$ 。
对称性加伽利略相对性：两个等质量物体迎面碰后粘在一起必须静止；在运动的车上看， $m \cdot 2 v = 2 m \cdot v$ 。
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ ；碰撞只把相对运动部分乘以 $e^{2}$ ，因此粘合（ $e = 0$ ）损失最多。
动量守恒体现空间的齐次性：它对每个分量都成立，在相对论（ $p = γm v$ ）中以及计入场的动量时依然成立。

动量形式的第二定律

本节用动量重写牛顿第二定律。这种形式可以推广：它适用于无法测量力的碰撞、多物体系统，以及本课后面要讲的火箭。

牛顿第二定律的一般形式不是 $F = ma$ ，而是 $F = d p / d t$ ，其中 $p = m v$ ：物体所受的合力等于其动量的变化率。对于恒定质量，两种形式一致，因为质量可以提到导数之外： $d (m v) / d t = m d v / d t = m a$ 。动量形式还能超越牛顿力学：在狭义相对论中 $γm v$ 取代了 $m v$ ，而在电磁学中场本身也携带动量。

把两边同乘以 $d t$ ，并在整个接触过程中求和，即从接触开始到接触结束。左边变为冲量 $J$ ，右边为动量的总变化。这就是冲量-动量定理：
$J = \int F d t = Δ p$

它的价值恰恰在于它不需要什么条件。撞击过程中的力在几分之一秒内升降，细节通常未知，但决定此后运动的只是它的积分。一个 46 g 的高尔夫球在约 0.5 ms 的接触后以 70 m/s 离开球杆。其动量变化为 $0.046 \cdot 70 \approx 3.2 kg \cdot m/s$ ，因此平均力为 $0.046 \cdot 70/0.0005 \approx 6400 N$ ，与力随时间变化的形状无关。由于该定理是矢量方程，它对每个分量分别成立：水平冲量只改变 $p_{x}$ ，而 $p_{y}$ 不变。

内力成对抵消

无论两车之间互相推得多用力，它们的总动量为何保持不变？因为每一次推力都伴随着大小相等、方向相反的反推力。在动画中，质量 1 kg 的小车 1 以 4 m/s 到达，撞上静止的 3 kg 小车 2；在轨道 A 上它们通过弹性缓冲器相遇，在轨道 B 上则通过粘性垫相遇。图 1 显示了轨道 A 上的接触过程；一般性证明紧随其后。

图 1 跟踪持续时间为 $Δ t$ 的接触过程；时间轴 $t$ 被拉伸，使接触占据图的中部。自上而下阅读：最上面的条带是力：缓冲器以 $F$ 向前推小车 2，以 $- F$ 向后推小车 1。根据第三定律，两者在每一瞬间大小相等、方向相反。在此图中，接触期间力也是恒定的。

中间的图表示动量。由于 $d p / d t$ 等于力，每条动量曲线的斜率就是作用在该车上的力，恒定的力画出一条直线斜坡。 $p_{2}$ 以斜率 $F$ 从 0 上升到 6， $p_{1}$ 以斜率 $- F$ 从 4 下降到 $- 2 kg \cdot m/s$ ：小车 1 被弹回。小车 2 在 $Δ t = 0.16 s$ 内获得 6 kg·m/s，因此 $F = 6/0.16 = 37.5 N$ 。现在看虚线 $P = p_{1} + p_{2}$ 。两条斜坡互为镜像，因此一辆车获得的，另一辆在同一时刻失去， $P$ 在整个碰撞过程中保持在 4 kg·m/s，而不仅仅在碰撞前后。动画的专家层显示的正是同一组曲线。

这条平直线并不依赖于力恒定。真实的弹簧被压得越紧推得越用力，这会使斜坡弯成 S 形曲线；它们仍然互为镜像，其和仍然是平直的。

同样的记账方法适用于任意多个物体。作用在物体 $i$ 上的力，是系统中其他各物体 $j$ 对它施加的力 $F_{ij}$ （内力）之和，再加上来自系统外部的作用（外力）。把所有物体的 $d p_{i} / d t$ 相加。每一对内力在和中都出现两次，分别为 $F_{ij}$ 和 $F_{ji}$ ，而第三定律使 $F_{ij} + F_{ji} = 0$ 。只有外力留下。设 $P$ 为总动量， $M$ 为总质量， $v_{cm}$ 为质心速度， $F_{ext}$ 为所有外力之和：
$\frac{d P}{d t} = F_{ext}$
$P = \sum_{i} m_{i} v_{i} = M v_{cm}$
第二行是质心定义 $r_{cm} = \sum_{i} m_{i} r_{i} / M$ 求一次导数的结果。

因此总动量只因外力而改变，质心像一个质量为 $M$ 的质点那样运动，受到所有外力之和的推动。若 $F_{ext} = 0$ ，则 $P$ 恒定，无论内力多么复杂。若 $F_{ext}$ 只有一个分量为零，例如重力竖直作用时的水平分量，那么 $P$ 的该分量仍然守恒。

动能可以隐藏，动量不能

图 1 最下面一幅图显示两车的总动能 $K$ ，它的表现与 $P$ 大不相同。在轨道 A 上， $K$ 在接触期间下降，在两车都以 1 m/s 运动的瞬间降至 2 J，随后随着缓冲器把它们推开又回升到 8 J。失去的 6 J 并未真正损失：它在一瞬间储存在被压缩的缓冲弹簧中。在轨道 B 上，粘性垫使 $K$ 降至 2 J 并保持在那里（虚线）：6 J 已经用于使粘性垫变形和升温。

轨道 B 所需的力也更小。两车一起以 1 m/s 离开，因此小车 2 只获得 $3 \cdot 1 = 3 kg \cdot m/s$ ，在同样的 0.16 s 内平均力为 $3/0.16 = 18.75 N$ ，是轨道 A 的一半。两个图合起来传达了主要信息：能量可以暂存在物体内部，如弹性势能或热能，但动量无处可藏，并且在每一瞬间都保持平衡。

由对称性导出的守恒

动量守恒也可以不用第三定律而推导出来，依据的是两个关于对称性的表述。这一点很重要，因为第三定律并不严格成立（见下文“适用范围”），而动量守恒从未被观测到失效；对称性论证揭示了该定律的真正来源。

图 2 显示了从两个参考系观察同一次碰撞的情况，左侧为碰撞前，右侧为碰撞后。第一个假设是镜面对称。在上面一行，即地面参考系 $S$ 中，两个质量均为 $m$ 的相同小球以 $v$ 和 $- v$ 相向运动并粘在一起。此情形中没有任何东西偏爱左或右，因此质量为 $2 m$ 的粘合体不能向任一方向运动：它保持静止。

第二个假设是伽利略相对性：以恒定速度运动的观察者发现物理定律相同，只是每个速度都平移了相同的量。取 $S^{'}$ 为与右侧小球同速运动的小车的参考系，该小车相对地面以 $- v$ 运动。从该小车看，每个速度都增大了 $v$ ，正如两行之间的箭头 $+ v$ 所示。下面一行随之得出：右侧小球静止，左侧小球以 $2 v$ 到达，而在 $S$ 中静止的粘合体则以 $v$ 离开。

所以质量为 $m$ 、速度为 $2 v$ 的物体撞上静止的等质量物体，得到质量 $2 m$ 、速度 $v$ 的物体，下面一行也保持平衡： $m \cdot 2 v = 2 m \cdot v$ 。单靠速度不能平衡（ $2 v$ 进， $v$ 出），动能也不能（ $2 m v^{2}$ 进， $m v^{2}$ 出）；质量与速度的乘积才能平衡。用相同的单元组合出其他质量的物体，并重复同样的参考系变换，可以把结论推广到任意一对质量，而始终保持不变的量是 $\sum m v$ 。

这个论证也可以反过来用。任何两体碰撞，若从随质心运动的参考系来看，总动量都为零：物体以大小相等、方向相反的动量接近，就像上面一行那样。对于动画中的小车，该参考系以 1 m/s 运动。在其中，小车 1 带来 $+ 3$ ，小车 2 带来 $- 3 kg \cdot m/s$ ，而在轨道 B 上，粘合体就停下来。

一般表述是诺特定理（1918）：物理定律的每一个连续对称性都对应一个守恒量。若定律处处相同，即把整个装置移到别处不改变任何结果（空间是均匀的），动量就守恒。时间平移不变性给出能量守恒，转动不变性给出角动量守恒。由于它依赖于对称性，而不是第三定律，所以即使第三定律失效，动量守恒仍然成立。

质心参考系中的能量

一次碰撞最多能移除多少动能？末速度又是多少？在随质心运动的参考系中，这两个问题都变得简单。本节把动能分成任何碰撞都无法改变的一部分和碰撞可以改变的另一部分，并且无需解二次方程即可求出末速度。

图 3 把动画中两车的速度放在同一坐标轴 $v$ 上：小车 1， $m_{1} = 1 kg$ ，速度 $v_{1} = 4 m/s$ ；小车 2， $m_{2} = 3 kg$ ，速度 $v_{2} = 0$ ；每个方块的宽度表示其质量。虚线标出质心的速度，图中记为 $V$ ，公式中记为 $v_{cm}$ ：
$v_{cm} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4} = 1 m/s$

以虚线为基准，两车的速度为 $u_{1} = v_{1} - v_{cm} = + 3 m/s$ 和 $u_{2} = v_{2} - v_{cm} = - 1 m/s$ ：即上面一行的两个箭头。在此参考系中总动量为零， $m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 0$ ，因此箭头与质量成反比，重车离 $V$ 的距离是轻车的三分之一。

碰撞无法移动虚线，因为内力使总动量，进而 $v_{cm}$ ，保持不变。它只能改变 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ ，并且之后它们仍须满足 $m_{1} u_{1}^{'} + m_{2} u_{2}^{'} = 0$ 。因此两者按相同的因子改变。两车会分开而不会相互穿过，所以该因子为负或零，我们将其写为 $- e$ ：
$u_{i}^{'} = - e u_{i}$
数 $e$ 称为恢复系数。由于 $u_{1} - u_{2} = v_{1} - v_{2} = v_{rel}$ ，即相对速度，它也可以写成 $e = - v_{rel}^{'} / v_{rel}$ ：即碰撞后保留下来的相对运动的比例，弹性碰撞时为 1，粘合时为 0。

图 3 的下面一行是弹性情形 $e = 1$ ： $u_{1}^{'}$ 和 $u_{2}^{'}$ 是原来的箭头调转方向，因此末速度 $v_{1}^{'}$ 和 $v_{2}^{'}$ 是 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 关于虚线的镜像。要回到轨道参考系，再加上 $v_{cm}$ ：
$v_{i}^{'} = v_{cm} + u_{i}^{'} = v_{cm} - e (v_{i} - v_{cm})$
$v_{i}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{i}$
当 $e = 1$ 时， $v_{1}^{'} = 2 \cdot 1 - 4 = - 2 m/s$ ， $v_{2}^{'} = 2 \cdot 1 - 0 = + 2 m/s$ ，即轨道 A 的结果。较小的 $e$ 按相同的因子缩短两个箭头；当 $e = 0$ 时它们消失，两车都以 $V$ 一起离开，即轨道 B 的情形。

现在看动能。将 $v_{i} = v_{cm} + u_{i}$ 代入 $K = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}$ 并展开平方：
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + v_{cm} \sum_{i} m_{i} u_{i} + \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} u_{i}^{2}$
中间一项为零，因为 $\sum_{i} m_{i} u_{i} = 0$ 。剩下
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + K_{rel}$
其中 $M = m_{1} + m_{2}$ 。第一项是质心的动能，任何内力都不能改变它，因为动量决定了 $v_{cm}$ 。第二项 $K_{rel}$ 是相对质心运动的动能，碰撞只作用于它。对于两个物体，它只取决于相对速度。由 $m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 0$ 与 $u_{1} - u_{2} = v_{rel}$ 得 $u_{1} = m_{2} v_{rel} / M$ ， $u_{2} = - m_{1} v_{rel} / M$ ；于是 $\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} m_{2} (m_{2} + m_{1}) v_{rel}^{2} / M^{2}$ ，化简为
$K_{rel} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}, μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
其中 $μ$ 称为约化质量。

由于 $K_{rel}$ 与 $v_{rel}^{2}$ 成正比，碰撞会使它乘以 $e^{2}$ 。对于动画， $M = 4 kg$ ， $v_{cm} = 1 m/s$ ， $μ = 0.75 kg$ ， $v_{rel} = 4 m/s$ 。因此 8 J 分为 $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1^{2} = 2 J$ （任何碰撞都无法触及）和 $\frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 4^{2} = 6 J$ （相对运动）。弹性缓冲器把 6 J 全部还回。粘合（ $e = 0$ ）移除全部 6 J，这是动量守恒所允许的最大损失，而剩下的 2 J 就是轨道 B 保留的部分。

例题：半弹性缓冲器

给小车装上 $e = 0.5$ 的缓冲器：质量相同，小车 1 仍以 4 m/s 撞上静止的小车 2。求 (a) 末速度，(b) 损失的动能，(c) 若接触仍持续 0.16 s，求平均力，以及 (d) 使小车 1 静止的 $e$ 值。

(a) 质心仍以 $v_{cm} = 1 m/s$ 运动，且 $1 + e = 1.5$ ：
$v_{1}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{1} = 1.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 4 = - 0.5 m/s$
$v_{2}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{2} = 1.5 \cdot 1 - 0 = 1.5 m/s$
小车 1 缓慢地反弹回来。动量检验： $1 \cdot (- 0.5) + 3 \cdot 1.5 = 4 kg \cdot m/s$ ，与之前相同。

(b) 质心的 2 J 保持不变，相对运动的 6 J 乘以 $e^{2} = 0.25$ ： $K = 2 + 0.25 \cdot 6 = 3.5 J$ ，因此损失 $8 - 3.5 = 4.5 J$ 。直接计算： $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0. 5^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1. 5^{2} = 0.125 + 3.375 = 3.5 J$ 。

(c) 小车 2 获得 $3 \cdot 1.5 = 4.5 kg \cdot m/s$ 。当 $v_{2} = 0$ 时，公式给出 $v_{2}^{'} = (1 + e) v_{cm}$ ，因此这是粘合情形下 3 kg·m/s 的 $(1 + e)$ 倍。在 0.16 s 内，平均力为 $4.5/0.16 \approx 28 N$ ，介于轨道 B（ $e = 0$ ）的 18.75 N 与轨道 A（ $e = 1$ ）的 37.5 N 之间。

(d) 当 $v_{1}^{'} = 0$ 时小车 1 停止，即 $(1 + e) v_{cm} = e v_{1}$ ，亦即 $1 + e = 4 e$ ，所以 $e = 1/3$ 。此时小车 2 带走全部 4 kg·m/s，速度为 $4/3 \approx 1.33 m/s$ ，且 $K = 2 + 6/9 \approx 2.67 J$ 。一般地，当靶静止时，撞击者在 $e = m_{1} / m_{2}$ 时停止。因此，撞击者完全停下，只有在两物体质量相等时才说明碰撞是弹性的；这里则需要一个损耗相当大的缓冲器。

斜碰

在二维或三维中，动量守恒对每个分量各给出一个方程。对于平面内的两个物体，动量给出两个方程，若碰撞是弹性的，能量再给出第三个方程；但两个末速度共有四个分量。缺少的信息来自碰撞的几何形状：非正碰必须同时确定方向和速率。

图 4 显示了两个质量均为 $m$ 的相同小球的偏心弹性碰撞，小球 2 静止。小球 1 以速度 $v_{1}$ 运动，其路径与小球 2 的中心相差偏移量 $b$ 。因此，在接触时刻，连接两球中心的线与运动路径倾斜。对于无自旋的光滑小球，接触力沿着两球中心的连线作用，而与该线垂直的方向没有作用力。

把每个速度分解为沿中心连线的分量和垂直于它的分量。垂直于该线的方向没有力，因此这些分量不变。沿该线的方向则是一次等质量的正碰弹性碰撞，它会交换两者的速度：小球 1 把沿该线的全部分量交给小球 2。因此小球 2 沿中心连线以 $v_{2}^{'}$ 离开，而小球 1 仅保留与该线垂直的分量 $v_{1}^{'}$ ，它与 $v_{2}^{'}$ 垂直。若小球半径为 $R$ ，则中心连线与入射路径的夹角为 $φ$ ，其中 $sin φ = b / (2 R)$ ，碰撞后的速率为 $v_{2}^{'} = v_{1} cos φ$ 和 $v_{1}^{'} = v_{1} sin φ$ 。正碰（ $b = 0$ ）把一切都传给小球 2；擦边碰撞（ $b$ 接近 $2 R$ ）几乎不影响小球 1。

右侧的三角形无需用到接触的几何关系，就能得出直角。动量守恒（约去相等的质量）给出 $v_{1} = v_{1}^{'} + v_{2}^{'}$ ：三个速度首尾相接构成三角形。能量守恒给出 $v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2}$ 。将第一式平方得到 $v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2} + 2 v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'}$ ，与第二式比较，剩下 $v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'} = 0$ 。两条直角边在直角处相交：一次擦边的等质量弹性碰撞中，其中一球原本静止，碰后两球彼此成直角离开（正碰时，小球 1 直接停下）。无自旋击打的台球几乎如此，慢速质子撞击静止质子的径迹也是如此。

火箭与变质量

火箭在烧掉燃料时自身的质量在变化，因此不能直接对它应用 $F = m a$ 。安全的途径是对火箭与其喷出的燃气一起应用动量守恒。

设质量为 $m$ 、速度为 $v$ 的火箭远离其他作用力，它相对自身以速率 $w$ 向后喷出燃气。在很短的时间 $d t$ 内，其质量改变 $d m$ （为负值），速度改变 $d v$ ，并且质量为 $- d m$ 的燃气以速度 $v - w$ 离开。前后的动量必须相等：
$m v = (m + d m) (v + d v) + (- d m) (v - w)$
展开后，两边都有 $m v$ ，两项 $v d m$ 相消，而两个微小改变量的乘积 $d m d v$ 可以忽略。剩下 $m d v = - w d m$ 。两边除以 $m$ ，并从初始质量 $m_{0}$ 积分到最终质量 $m_{f}$ ，得到
$Δ v = w ln \frac{m _{0}}{m _{f}}$

只有排气速度和质量比起作用，而质量比只以对数的形式进入。若 $w = 3 km/s$ ，且燃料占发射质量的九成，则 $m_{0} / m_{f} = 10$ ， $Δ v = 3 ln 10 \approx 6.9 km/s$ 。这还不及低轨道所需的 7.8 km/s，而且尚未计入重力和空气阻力的损失。飞行途中抛弃空燃料箱，可以减小仍需加速的质量，这就是火箭采用多级结构的原因。

适用范围

牛顿动量 $m v$ 是一种近似，只适用于远低于光速 $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ 的速度。真正守恒的量是 $γm v$ ，其中 $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ 。在 $0.6 c$ 时， $γ = 1.25$ ，因此真实动量已比 $m v$ 大 25%；而在粒子碰撞中，动能甚至可以转化为新粒子的质量。对于 4 m/s 的小车，修正量的数量级为 $v^{2} / c^{2} \approx 2 \times 1 0^{- 16}$ 。

第三定律也并不严格成立。两个相互垂直运动的电荷之间的磁作用力大小不等、方向不相反，因此它们的机械动量之和会改变。只有把电磁场中储存的动量也计入，总量才能平衡。光本身也携带动量，能量为 $E$ 的光的动量为 $p = E / c$ 。在大气层之外，太阳光提供 1361 W/m²；对于完全吸收它的薄片，这给出压强 $1361/ (3.00 \times 1 0^{8}) \approx 4.5 \times 1 0^{- 6} N/ m^{2}$ ，即每平方米约 4.5 µN，足以驱动太阳帆。

在量子力学中，动量与波长相联系， $p = h / λ$ ，而它的守恒在迄今观测到的每一次相互作用中都成立。它甚至曾预言过粒子的存在。在 β 衰变中，发射出的电子似乎破坏了能量守恒，因为它的能量在每次衰变中各不相同。1930 年，泡利提出一种看不见的中性粒子带走了这部分差额。后来对反冲原子核的测量表明，它还带走了动量：电子与原子核并没有以大小相等、方向相反的动量飞散。中微子于 1956 年被探测到。

接下来学什么

旋转不变性引向《角动量及其守恒》，而第二定律的转动形式则引向《转动动力学与力矩》。碰撞的能量方面见于《功、能与功率》。气体压强是无数分子撞击器壁每平方米每秒传递的动量，如《气体分子动理论》所示；而 $γm v$ ，以及能量转化为质量，则属于《狭义相对论》。在《粒子与相互作用：标准模型》中，动量与能量的平衡揭示了不留轨迹的粒子。

核心公式

动量

p = m v

动量把物体所含物质的多少与运动的快慢结合在一起。它是沿速度方向的矢量，沿一条直线运动时，其正负号给出方向。质量或速度增加一倍，动量也增加一倍，因此一个轻而快的物体与一个重而慢的物体可以具有相同的动量。

符号
$p$	动量	$kg \cdot m/s$
$m$	物体的质量	$kg$
$v$	物体的速度（带符号）	$m/s$

适用条件: 在牛顿力学中严格成立。接近光速时变为 $γm v$ ，大于 $m v$ ；光虽无质量，仍携带动量 $E / c$ 。

示例: 动画中 1 kg 的小车以 4 m/s 运动： $p = 1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ 。3 kg 的小车要达到相同动量，只需 1.33 m/s。

两体碰撞中的动量守恒

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

接触期间，两物体以大小相等、方向相反的力相互作用，且作用时间相同，因此它们的动量变化大小相等、方向相反，总和保持不变。未加撇号的速度为碰撞前的速度，加撇号的为碰撞后的速度，均保留符号。它适用于所有类型的碰撞：弹性、非弹性或爆炸。

符号
$m_{1}$	物体 1 的质量	$kg$
$m_{2}$	物体 2 的质量	$kg$
$v_{1}$	碰撞前物体 1 的速度	$m/s$
$v_{2}$	碰撞前物体 2 的速度	$m/s$
$v_{1}^{'}$	碰撞后物体 1 的速度	$m/s$
$v_{2}^{'}$	碰撞后物体 2 的速度	$m/s$

适用条件: 仅当碰撞期间沿该直线的合外力为零或可忽略时成立。它对每个分量分别成立，但单凭它并不能确定两个末速度：还需要第二个条件，例如能量平衡。

示例: 轨道 A： $1 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 2 = 4 kg \cdot m/s$ 。

完全非弹性碰撞后的共同速度

v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}

两物体粘在一起时共享同一末速度，因此总动量除以总质量即可。这也是碰撞前后质心的速度。动能总是减少，减少量为 $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ 。

符号
$v^{'}$	粘合后整体的共同速度	$m/s$
$m_{1}$	物体 1 的质量	$kg$
$m_{2}$	物体 2 的质量	$kg$
$v_{1}$	碰撞前物体 1 的速度	$m/s$
$v_{2}$	碰撞前物体 2 的速度	$m/s$

适用条件: 要求动量守恒（撞击期间无显著外力），且碰撞后物体一起运动。方向相反的速度以相反的符号代入。

示例: 轨道 B： $v^{'} = (1 \cdot 4 + 3 \cdot 0) / (1 + 3) = 1 m/s$ ，动能从 8 J 降至 2 J。

靶静止的弹性正碰

v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1}}{m _{1} + m _{2}}, v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}

同时求解动量守恒和动能守恒，得到这两个速度。两物体以接近时的速率分开，即 $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = v_{1}$ 。若 $m_{1} < m_{2}$ ，撞击者反弹（ $v_{1}^{'} < 0$ ）；质量相等时交换速度；靶非常重时，撞击者以近似 $- v_{1}$ 的速度被弹回。

符号
$v_{1}^{'}$	碰撞后撞击者的速度	$m/s$
$v_{2}^{'}$	碰撞后靶的速度	$m/s$
$m_{1}$	撞击者的质量	$kg$
$m_{2}$	靶的质量，初始静止	$kg$
$v_{1}$	碰撞前撞击者的速度	$m/s$

适用条件: 仅适用于完全弹性的正碰，且物体 2 初始静止。若靶在运动，使用 $v_{i}^{'} = 2 v_{cm} - v_{i}$ ，或改在靶静止的参考系中计算。

示例: 轨道 A： $v_{1}^{'} = (1 - 3) \cdot 4/4 = - 2 m/s$ ， $v_{2}^{'} = 2 \cdot 1 \cdot 4/4 = 2 m/s$ 。

冲量-动量定理

J = \int F d t = Δ p

对牛顿第二定律 $F = d p / d t$ 积分，可见动量的变化等于冲量，即力-时间图像下的面积。只有这块面积有意义：大力短时间与小力长时间，可以给出相同的变化。它是矢量方程，对每个分量都成立。

符号
$J$	力施加的冲量	$N \cdot s$
$F$	物体所受的合力，可随时间变化	$N$
$t$	时间，在力作用的区间上积分	$s$
$Δ p$	动量的变化，末值减初值	$kg \cdot m/s$

适用条件: 对物体所受的合力始终成立。对于物体系统，内力相互抵消，只有外部冲量能改变总动量。

示例: 轨道 A 上，小车 2 在 0.16 s 内获得 6 kg·m/s：平均力为 $6/0.16 = 37.5 N$ 。

相对运动的动能与约化质量

K_{rel} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}, μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}

两物体的动能分为两部分：质心部分 $\frac{1}{2} M v_{cm}^{2}$ （任何内力都无法改变），以及此处的相对部分。恢复系数为 $e$ 的碰撞使 $K_{rel}$ 乘以 $e^{2}$ ，因此 $K_{rel}$ 是碰撞能转化为热和形变的最大能量。当另一物体远重于它时，约化质量小于两个质量中的任何一个，且接近较轻的那个。

符号
$K_{rel}$	相对运动的动能	$J$
$μ$	约化质量	$kg$
$v_{rel}$	相对速度， $v_{1} - v_{2}$	$m/s$
$m_{1}$	物体 1 的质量	$kg$
$m_{2}$	物体 2 的质量	$kg$

适用条件: 牛顿力学，适用于任意两个物体、任意维数（取相对速度的大小）。计算碰撞损失时，使用碰撞前瞬间的相对速度。

示例: 动画： $μ = 1 \cdot 3/4 = 0.75 kg$ ， $K_{rel} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 4^{2} = 6 J$ ，恰为轨道 B 上损失的能量。

词汇表

动量: 质量乘以速度， $p = m v$ ：一个沿速度方向的矢量。与动能不同，它有方向，并且只与速度成正比增长，而不是与速度的平方成正比。
冲量: 力作用一段时间所产生的动量变化：恒力为 $F Δ t$ ，一般情况下为力-时间图像下的面积。较小的力作用较长时间与较大的力短暂作用，可以给出相同的冲量。
动量守恒: 只要系统不受合外力，其总动量就保持不变。无论弹性与否，它在每次碰撞和爆炸中都成立。
孤立系统: 所选取的一组物体，其所受的合外力为零，或在所关注的时间内可以忽略。两车在 0.16 s 接触期间是一个很好的例子。
内力与外力: 内力作用于所选系统内部的物体之间，根据牛顿第三定律成对抵消；外力来自系统之外。只有外力能改变总动量。
弹性碰撞: 碰撞前后总动能相同的碰撞，例如钢球或弹簧缓冲器。在弹性正碰中，两物体以接近时的速率分开。
非弹性碰撞: 一部分动能转化为热、声音或永久形变的碰撞。总动量依然守恒。
完全非弹性碰撞: 物体粘在一起并以共同速度运动的碰撞。它损失的动能是动量守恒所允许的最大份额：在动画中为 8 J 中的 6 J。
恢复系数: 分离速率与接近速率之比， $e = - v_{rel}^{'} / v_{rel}$ 。弹性碰撞时为 1，完全非弹性碰撞时为 0。
质心: 系统的质量加权平均位置。其速度 $v_{cm} = P / M$ 由总动量决定，因此物体之间的任何碰撞都无法改变它。
质心参考系: 随质心运动的参考系，其中总动量为零。每次两体碰撞在该参考系中看起来都是对称的：物体以大小相等、方向相反的动量接近。
反冲: 推动另一物体向前的物体自身向后的运动，例如枪支发射子弹或火箭喷出燃气。从静止出发时，两者的动量大小相等、方向相反。

物理量
$p$	动量	$kg \cdot m/s$	质量乘以速度，正负号沿所选坐标轴给出方向。1 kg 的小车以 4 m/s 运动，动量为 4 kg·m/s。
$m$	质量	$kg$	物体的惯性：动量变化相同时，质量越大，速度变化越小。
$v$	速度	$m/s$	物体沿轨道的速度，正负号给出方向；未加撇号的速度为碰撞前的速度。
$v^{'}$	碰撞后的速度	$m/s$	撇号表示碰撞后的值。没有下标时， $v^{'}$ 是粘在一起的物体的共同速度。
$J$	冲量	$N \cdot s$	力对时间的积分，等于它引起的动量变化；1 N·s 即 1 kg·m/s。
$F$	力	$N$	对物体的推或拉；合力等于物体动量的变化率， $F = d p / d t$ 。
$v_{cm}$	质心速度	$m/s$	总动量除以总质量， $P / M$ ，任何碰撞都不改变它：在动画中为 1 m/s。
$v_{rel}$	相对速度	$m/s$	从物体 2 看到的物体 1 的速度， $v_{1} - v_{2}$ ：在动画中碰撞前为 4 m/s。
$μ$	约化质量	$kg$	$m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ ，与相对运动相对应的质量。它小于两个质量中的任何一个：对于 1 kg 与 3 kg 的小车，为 0.75 kg。
$K_{rel}$	相对运动的动能	$J$	动能中碰撞可以改变的部分， $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ ：在动画中为 6 J，小车粘在一起时全部损失。

练习

入门质量 1000 kg、速度 2 m/s 的汽车，与质量 50 kg、速度 8 m/s 的跑步者，谁的动量更大？
1. 汽车
2. 跑步者
3. 两者动量相同
4. 都不是：动量只在碰撞时才存在
显示答案
答案: A. 汽车
p = m·v：汽车为 1000 × 2 = 2000 kg·m/s，跑步者为 50 × 8 = 400 kg·m/s。速度本身并不能决定。
入门一个 40 kg 的孩子和一个 80 kg 的成人静止站在冰面上，面对面，然后互相推开。接下来会发生什么？
1. 两人以相同的速度滑开
2. 只有推得更用力的那个人会动
3. 孩子比成人滑得更快，方向相反
4. 两人向同一方向运动
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答案: C. 孩子比成人滑得更快，方向相反
总动量原为零，现在仍为零，因此两者的动量大小相等、方向相反：40 ×（孩子的速度）= 80 ×（成人的速度），孩子的速度是成人的两倍。两人受到的推力相同（牛顿第三定律），与谁在推无关。
入门一辆运动的小车撞上一辆静止的大车，两车粘在一起。粘在一起后的两车如何运动？
1. 比小车到达时更快
2. 向前，但比小车到达时更慢
3. 向后
4. 完全停下
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答案: B. 向前，但比小车到达时更慢
总动量保持不变，但现在由更多的质量共享，因此共同速度更低，且方向与原来相同。
中级一辆 2 kg 的小车以 3 m/s 运动，撞上一辆静止的 1 kg 小车，两车粘在一起。它们的共同速度是多少？
1. 1 m/s
2. 1.5 m/s
3. 2 m/s
4. 3 m/s
显示答案
答案: C. 2 m/s
v' = m₁·v₁ / (m₁ + m₂) = 6 ÷ 3 = 2 m/s。若只除以运动的质量，会得到 3 m/s；若取速度的平均值，则得到 1.5 m/s。
中级一个 0.5 kg 的球以 4 m/s 撞上墙壁，并以 4 m/s 的速率沿原路弹回。它的动量变化量的大小是多少？
1. 0 kg·m/s
2. 2 kg·m/s
3. 4 kg·m/s
4. 8 kg·m/s
显示答案
答案: C. 4 kg·m/s
Δp = m·(v' − v) = 0.5 × (−4 − 4) = −4 kg·m/s。速率相同但方向相反，因此变化量不为零。
中级 1 kg 的小车以 4 m/s 撞上静止的 3 kg 小车。哪种结果是不可能的？
1. 两车以 1 m/s 的速度一起运动
2. 1 kg 的小车以 2 m/s 反弹，3 kg 的小车以 2 m/s 运动
3. 1 kg 的小车停止，3 kg 的小车以 1.33 m/s 运动
4. 1 kg 的小车以 4 m/s 反弹，3 kg 的小车以 2.67 m/s 运动
显示答案
答案: D. 1 kg 的小车以 4 m/s 反弹，3 kg 的小车以 2.67 m/s 运动
四种结果的总动量都保持为 4 kg·m/s，但最后一种的动能为 ½·1·4² + ½·3·2.67² ≈ 18.7 J，超过了可用的 8 J。碰撞可以保留或损失动能，但若没有能量来源（例如爆炸），它不能凭空产生动能。
高级一个力 F(t) 在短时间内作用于一个物体。其动量的变化量等于：
1. ∫F·dx
2. ∫F·dt
3. F·Δx
4. ½·F·Δt²
显示答案
答案: B. ∫F·dt
由 F = dp/dt 对时间积分，得 Δp = ∫F·dt，即冲量。∫F·dx 是功，它改变的是动能。
高级一个运动的物体粘在一个静止的相同物体上。损失的动能占初始动能的几分之几？
1. 0
2. 1/4
3. 1/2
4. 3/4
显示答案
答案: C. 1/2
损失的能量为 K_rel = ½·μ·v²，其中 μ = m/2，即初始 ½·m·v² 的一半。另一半保留为质心运动。

$t$	三个图共用的时间轴。	$s$
$Δ t$	接触持续时间。	$s$
$F$	缓冲器作用于小车 2 的力；小车 1 受到 $- F$ 。此处为恒定力，是 $p_{2}$ 斜坡的斜率。	$N$
$p$	沿轨道的动量：中间图的纵轴。	$kg \cdot m/s$
$p_{1}$	小车 1 的动量：接触期间从 4 降至 $- 2$ 。	$kg \cdot m/s$
$p_{2}$	小车 2 的动量：接触期间从 0 升至 6。	$kg \cdot m/s$
$P$	总动量 $p_{1} + p_{2}$ （虚线）：整个过程保持为 4。	$kg \cdot m/s$
$K$	两车的总动能。	$J$
$A$	轨道 A，弹性缓冲器： $K$ 在接触中途降至 2 J，然后回到 8 J。
$B$	轨道 B，粘性垫（虚线）： $K$ 降至 2 J 并保持在此。

$S$	地面参考系（上排）。
$S^{'}$	随右侧小球运动的小车的参考系，相对地面以 $- v$ 运动（下排）。
$m$	两个相同小球各自的质量；粘在一起后为 $2 m$ 。	$kg$
$v$	每个小球在 $S$ 中的速率； $+ v$ 是从 $S$ 到 $S^{'}$ 每个速度的平移量。所有箭头采用同一比例，因此 $2 v$ 的长度是 $v$ 的两倍。	$m/s$

$v$	速度：轴上的位置即速度。	$m/s$
$V$	质心速度（虚线），在公式中写作 $v_{cm}$ 。	$m/s$
$m_{1}$	小车 1 的质量（一个方块宽）。	$kg$
$m_{2}$	小车 2 的质量（三个方块宽）。	$kg$
$v_{1}$	碰撞前小车 1 的速度。	$m/s$
$v_{2}$	碰撞前小车 2 的速度。	$m/s$
$u_{1}$	小车 1 相对于质心的速度， $v_{1} - V$ 。	$m/s$
$u_{2}$	小车 2 相对于质心的速度， $v_{2} - V$ 。	$m/s$
$v_{1}^{'}$	碰撞后小车 1 的速度。	$m/s$
$v_{2}^{'}$	碰撞后小车 2 的速度。	$m/s$
$u_{1}^{'}$	碰撞后小车 1 相对于质心的速度： $- e u_{1}$ ，此处即 $- u_{1}$ 。	$m/s$
$u_{2}^{'}$	碰撞后小车 2 相对于质心的速度： $- e u_{2}$ ，此处即 $- u_{2}$ 。	$m/s$

$m$	两个相同小球各自的质量。	$kg$
$b$	偏移量：小球 1 的路径与过小球 2 中心的平行线之间的距离。	$m$
$v_{1}$	碰撞前小球 1 的速度；小球 2 静止。	$m/s$
$v_{1}^{'}$	碰撞后小球 1 的速度，垂直于中心连线。	$m/s$
$v_{2}^{'}$	碰撞后小球 2 的速度，沿中心连线。	$m/s$