功、能与功率

入门

日常说话中，拿着一个沉重的行李箱站十分钟很累。但在物理学中，这根本不算做功，因为“功”有精确的含义：只有当力使物体沿着力的方向移动时，力才做功。功 = 力 × 距离，单位是焦耳（J）。用 10 N 的力推着手推车前进 3 m，你做了 30 J 的功。

对物体做功会使它获得能量，即做功的能力。这里有两种重要的能量。被举高的物体具有高度能量（即重力势能）：重力 × 高度。把一袋 20 N 的面粉举到 1.5 m 高的架子上，它就储存了 30 J 的能量。运动的物体具有运动能量（即动能） $\frac{1}{2}m{v}^2$ 。因为速度是平方项，速度为两倍的汽车携带的能量是原来的四倍。

能量既不会凭空产生，也不会消失，它只会改变形式。让小球下落：它失去的高度能量，恰好等于它获得的运动能量。落地时，运动能量会使小球和地面瞬间变形，其中一部分变成热和声音，因此小球永远不会弹回原来的高度。

功率表示做功的快慢，单位是瓦特：1 W 即每秒 1 J。两个人把同一个箱子搬上同一段楼梯，做的功相同；走得快的人输出的功率更大。

自我检测：你以匀速把一个箱子搬过水平的房间。你向上的托力对箱子做了多少功？（没有：箱子沿水平方向移动，与你的托力垂直。）

在动画中，小球下落时，蓝色“高度”条缩短，金色“运动”条变长，绿色总量保持不变。

中级

功：沿位移方向的力

物理学中，只有当物体在力的作用下发生位移时，力才做功，而且只有沿运动方向的那部分力起作用。对于恒力 $F$ ，若位移 $d$ 与力的夹角为 $\theta$ ，则
$W=Fd\cos \theta$

功的单位是焦耳，$1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ，大约相当于把一个 100 g 的苹果举高 1 米所需的功。功是标量：它没有方向，但有正负。

力与位移之间的夹角决定了功的正负：

• 沿运动方向时，$\theta =0^{\circ }$ ，$W=Fd$ ：力向物体输入能量。
• 垂直于运动方向时，$\theta =90^{\circ }$ ，力不做功：例如滑动箱子下方的地面支持力，或拉着石头做圆周运动的绳子拉力。
• 与运动方向相反时，$\theta =180^{\circ }$ ，$W=-Fd$ ：摩擦力和刹车会从运动中带走能量。

当有几个力同时作用时，每个力各自做功，总功等于它们的代数和。

动能与动能定理

用恒定合力 $F$ 推质量为 $m$ 的小车，使其移动距离 $d$ 。由 $a=F/m$ ，把运动学关系 $v^2=v_0^2+2ad$ 乘以 $m/2$ ，得到 $Fd=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$ 。做功改变的是动能，
$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$
所有力做的总功等于它的变化量。这就是动能定理：
$W_{\mathrm{net}}=\Delta KE$

总功为正，物体加速；总功为负，物体减速。动能从不为负，与运动方向无关，并随速度的平方增大。

势能与能量守恒

质量为 $m$ 的小球从高度 $h_1$ 下落到 $h_2$ 时，无论路径如何，其重力 $mg$ 所做的功都是 $mg(h_1-h_2)$ ，因为每个微小位移中只有竖直分量与重力方向一致。仅取决于始末位置的功可以被储存并释放，因此我们把它记为势能：
$PE=mgh$

高度 $h$ 从你选定的零势能面量起，因为只有 $PE$ 的变化量才有意义。重力在物体下降、$PE$ 减少时做正功，在上升时做负功。

如果只有重力或理想弹簧做功，那么 $PE$ 减少的每一焦耳都会变成 $KE$ 的增加，机械能保持不变：
$KE+PE=\text{constant}\text{(no friction or drag)}$

因此，从高度 $h$ 静止释放的物体落地时速度为 $v=\sqrt{2gh}$ ，由 $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$ 得到。质量相消；在无摩擦的滑道上，轨道的形状也无关紧要：轨道对物体的支持力与运动方向垂直，不做功。

例题：动画中下落的小球

2 kg 的小球从静止状态、高度 $h_0=18\mathrm{m}$ 处释放。以地面为 $h=0$ ，它在开始时的能量全部为势能：
$E=mg{h}_0=2\cdot 9.81\cdot 18\approx 353\mathrm{J}$

下落到一半高度，即 $h=9\mathrm{m}$ 处时，其中一半已经转化：$PE\approx 177\mathrm{J}$ ，$KE\approx 177\mathrm{J}$ ，因此 $v=\sqrt{2KE/m}\approx 13.3m/s$ 。落地前一刻 $PE=0$ ，$KE=E$ ：
$v=\sqrt{2g{h}_0}=\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 18}\approx 18.8m/s$

这些就是 $PE$ 、$KE$ 和 $v$ 读数上显示的数值；最后一帧，即落地前的瞬间，显示 $KE=E$ 且 $PE=0$ 。整个下落过程中，蓝色 $PE$ 条与金色 $KE$ 条之和始终等于绿色 $E$ 条，同时速度箭头 $v$ 变长。

下落持续 $\sqrt{2h_0/g}\approx 1.92\mathrm{s}$ ，但下落到一半高度的时刻是 1.35 s。在时间过半，即 0.96 s 时，小球只下降了 4.5 m，只有四分之一的能量，即 88 J，发生了转化。能量是按高度分配的，而不是按时间分配的，而且小球每秒经过的高度越来越大：动画中相隔 0.4 s 的淡色残影越拉越开。

例题：拉载重雪橇

一名小孩在水平雪地上把一个 25 kg 的雪橇从静止开始拉动 20 m。绳子与地面成 $30^{\circ }$ ，张力为 60 N，雪橇滑板受到的摩擦力为 30 N。到达终点时雪橇的速度多大？

绳子做功 $60\cdot 20\cdot \cos 30^{\circ }\approx 1039\mathrm{J}$ ，摩擦力方向向后，做功 $30\cdot 20\cdot \cos 180^{\circ }=-600\mathrm{J}$ 。重力和雪面的支持力都是竖直的，与运动方向垂直，因此不做功。总功为 439 J，由静止出发，动能定理给出
$v=\sqrt{\frac{2W_{\mathrm{net}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 439}{25}}\approx 5.9m/s$

牛顿定律得出的结果相同：拉力向前的分量 $60\cos 30^{\circ }\approx 52\mathrm{N}$ ，减去摩擦力后合力为 22 N，因此 $a\approx 0.88m/{\mathrm{s}}^2$ ，$v^2=2\cdot 0.88\cdot 20\approx 35{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$ 。能量方法既不需要加速度，也不需要时间。

功率与读取能量图像

功率是做功的快慢，单位为瓦特，$1\mathrm{W}=1J/s$ ：
$P=\frac{W}{t}$
对于沿运动方向作用、物体速率为 $v$ 的力，在短时间 $\Delta t$ 内做功为 $Fv\Delta t$ ，因此 $P=Fv$ 。拉动结束时，绳子的输出功率为 $52\cdot 5.93\approx 308\mathrm{W}$ ，但由于雪橇从静止开始，在 6.7 s 内的平均功率只有 154 W。

在力-距离图像上，曲线下方的面积即为功：恒力时为矩形 $Fd$ ，弹簧的力随伸长量增大（$F=kx$ ）时为三角形 $\frac{1}{2}k{x}^2$ 。在能量-时间图像上，斜率即为功率。下落小球所受重力的功率 $mgv$ 从零开始增加，落地时达到 $2\cdot 9.81\cdot 18.8\approx 369\mathrm{W}$ ，因此金色条起初填充缓慢，之后越来越快。

常见误区

• 做功不等于费力。静止地拿着 20 kg 的行李箱十分钟，对箱子不做功；你的肌肉消耗化学能只是为了保持紧张。
• 动能并不与速度成正比。一辆 1200 kg 的汽车从 15 m/s 加速到 30 m/s，其 $KE$ 由 135 kJ 增至 540 kJ，因此在相同的制动力下，它需要四倍的制动距离。
• 功可以为负。摩擦力对雪橇做了 $-600\mathrm{J}$ 的功：这部分能量离开了运动，以热的形式出现在滑板和雪中。
• $PE$ 的数值只有相对于零势能面才有意义。小球相对于地面有 353 J，相对于其出发点为 0 J，但无论哪种取法，下落释放的都是 353 J。
• 只有重力做功时，较重的物体并不会落得更快。从 18 m 高处释放的 4 kg 小球携带 706 J，是原来的两倍，但落地速度仍为 18.8 m/s：质量相消。

实际应用

过山车的设计从 $KE+PE$ 出发：从最低点以上 40 m 处静止释放的车厢，最高只能到达 $\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 40}\approx 28m/s$ ，约合 100 km/h。水力发电站把水的势能转化为电能：每一吨水下落 100 m，约产生 0.98 MJ 的能量。

后面的课程也沿用同样的能量核算：“简单机械：杠杆、滑轮与齿轮”（没有任何机械输出的功会超过输入的功）、“弹性：胡克定律、应力与应变”（被拉伸弹簧中的能量）、“简谐运动”、“伯努利原理”、“电场与电势”，以及“热力学第一定律与热机”，后者把热量也纳入了这笔账。

高级

功作为线积分

规则 $W=Fd\cos \theta$ 需要恒力与直线路径。实际中的力随位置变化，实际的路径也会弯曲，因此我们需要一个能同时应对两者的功的定义。本课的其余内容都建立在这一定义之上。

图例

$A$	路径的起点。
$B$	路径的终点。
$d\vec{r}$	沿路径的一个短小段，长度为 $dr$ 。	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	小段起点处质点所受的力。	$\mathrm{N}$
$\theta$	$\vec{F}$ 与小段之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$F\cos \theta$	$\vec{F}$ 沿小段方向的分量，是唯一做功的部分。	$\mathrm{N}$

图 1 显示一个质点沿曲线路径从 $A$ 运动到 $B$ ，其所受的力随位置不断变化。思路是把路径切成足够短的小段，使每一段几乎是直线，且力在该段内几乎不变。在这样一小段内，简单的规则又一次成立。

看放大后的小段 $d\vec{r}$ ：它是一个长度为 $dr$ 、沿路径方向的箭头。在其起点处，力为 $\vec{F}$ ，与该段成夹角 $\theta$ 。曲线上的小圆点标出其他小段的起点；每个起点都有各自的力和各自的夹角。

只有 $\vec{F}$ 沿小段方向的分量才会推动质点沿该段前进；与之垂直的分量只会使质点侧向偏移。要找出沿小段方向的分量，可从 $\vec{F}$ 的箭头末端向小段所在直线作虚线垂线：它截出的绿色线段长度为 $F\cos \theta$ 。这一小段做的功，等于该分量乘以小段长度：
$dW=F\cos \theta dr=\vec{F}\cdot d\vec{r}$

点积之所以出现，正是因为它恰好就是这个量：一个矢量在另一个矢量方向上的分量，乘以另一个矢量的长度。从 $A$ 到 $B$ 的总功是所有小段功的和。随着小段越来越短，求和变为线积分
$W={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^B\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)$
第二种形式把点积按分量写出，这也是通常计算该积分的方式。

由此可立即得出两个结论。对于直线路径上的恒力，$\vec{F}$ 可以提到积分号外，各小段相加即为位移，于是又得到 $W=Fd\cos \theta$ 。另外，用 $dW$ 除以该小段所用的时间 $dt$ （其中 $d\vec{r}/dt=\vec{v}$ ），即得到力在每一时刻输出的功率 $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$ 。

功不是物体所具有的东西，它描述的是一个过程：施力者把一定量的能量传递给受力的物体。

动能定理的推导

线积分只有与运动联系起来才变得有用。牛顿第二定律建立了这种联系，由此得出的结果即动能定理：作用在质点上的总功等于其动能 $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$ 的变化量。

先从 $KE$ 随时间的变化入手。速度平方是速度与自身的点积，$v^2=\vec{v}\cdot \vec{v}$ ，由乘积法则，其变化率为 $2\vec{v}\cdot d\vec{v}/dt$ 。因此，对于质量为 $m$ 的质点，
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=m\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \vec{v}$
最后一步用到牛顿第二定律 $md\vec{v}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{net}}$ ：$KE$ 的变化率就是合力的功率。

现在对从开始到结束的时间积分。在时间 $dt$ 内，质点走过的小段为 $d\vec{r}=\vec{v}dt$ ，因此 ${\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \vec{v}$ 对时间的积分就变成了沿路径的线积分：
$\Delta KE=\int {\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot d\vec{r}=W_{\mathrm{net}}$

这一推导没有对力或路径作任何假设。因此，无论该力是否具有势能，该定理对质点所受的合力都成立。

不做功的力

有些力始终作用在物体上，却从不改变它的速率。找出这些力可以简化能量问题，因为它们在能量平衡中会被消去。

图例

$h$	离地面的起始高度：即小球下降的距离。	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	小球的重力，竖直向下。	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	轨道对小球的支持力，与轨道表面垂直。	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	小球的速度，沿轨道方向。	$m/s$

图 2 显示一个小球从静止开始，沿任意形状的无摩擦滑道滑下，起始高度为离地面 $h$ 。它受两个力作用：竖直向下的重力 $m\vec{g}$ ，以及轨道的支持力 $\vec{N}$ 。光滑轨道只能沿与其表面垂直的方向施力。小球沿该表面运动，因此其速度 $\vec{v}$ 沿轨道方向。小方框标出 $\vec{N}$ 与 $\vec{v}$ 之间的直角：在任一时刻 $\vec{N}\cdot \vec{v}=0$ ，因此 $\vec{N}$ 的功率为零，无论轨道如何弯曲，支持力都不做功。

一般情况下同样成立。把任一力分解为沿速度方向的分量和垂直于速度的分量。只有沿 $\vec{v}$ 方向的分量会改变速率；垂直分量只会使路径弯曲。无摩擦轨道的支持力、单摆摆线的张力以及作用于运动电荷的磁力，都与 $\vec{v}$ 垂直，因此都不做功。在图 2 中，于是只剩重力单独改变动能。

为求重力的功，设 $y$ 为任一时刻小球离地面的高度：开始时 $y=h$ ，结束时 $y=0$ 。重力竖直向下，因此只有 $\vec{v}$ 的竖直分量，即 $dy/dt$ ，有贡献：
$m\vec{g}\cdot \vec{v}=-mg\frac{dy}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(mgy\right)$
负号的出现是因为重力向下，而 $y$ 向上计量。因此在整个下滑过程中，重力做功 $mgh$ ，它只取决于下降的高度，而与轨道形状无关。由此定理得 $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$ ：任意形状的无摩擦滑道，到达底部时速率都相同，即 $v=\sqrt{2gh}$ 。

反过来读这个功率方程：$KE$ 增长的速率恰好等于 $mgy$ 减小的速率。在没有其他力做功的情况下，和 $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy$ 因此沿任意路径保持不变。这里的能量守恒并不是额外的假设：它由牛顿第二定律连同力的形式共同推出。

能量图像所示的内容

动画的高级视图针对本课的下落小球，把这些能量随时间的变化画成图线，因此可以实时观察能量的核算过程。

质量 $m=2\mathrm{kg}$ 的小球从静止、高度 $h_0=18\mathrm{m}$ 处释放，自由下落。经过时间 $t$ 后，其高度为 $h=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$ ，速率为 $v=gt$ 。将其代入 $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$ 与 $PE=mgh$ ，得
$KE(t)=\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2,PE(t)=mg{h}_0-\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2$
系数为 $\frac{1}{2}m{g}^2\approx 96.2J/{\mathrm{s}}^2$ 。金色的 $KE$ 抛物线开口向上，蓝色的 $PE$ 抛物线与之互为镜像。两者相加时 $t^2$ 项相消，因此绿色总量保持为平直线，恒为 $mg{h}_0\approx 353\mathrm{J}$ ：$dE/dt=0$ 。

$KE$ 曲线的斜率即重力输出的功率 $dKE/dt=m{g}^{2}t=mgv$ ，对重力而言即 $\vec{F}\cdot \vec{v}$ 。释放瞬间它为零，下落时间过半时约为 184 W，落地时为 $2\cdot 9.81\cdot 18.8\approx 369\mathrm{W}$ 。下落持续 $\sqrt{2h_0/g}\approx 1.92\mathrm{s}$ ，因此平均功率为 $353/1.92\approx 184\mathrm{W}$ ：恰为最终值的一半，因为 $v$ 与时间成正比增长。$PE(t)$ 的斜率恰好相反，图像由此体现 $W=-\Delta PE$ 。

若改用高度而非时间作横坐标，两种能量都会是直线：$PE=mgh$ 与 $KE=mg(h_0-h)$ 。随时间变化的曲线只是反映了：小球加速时，每秒经过的高度越来越大。

保守力与势能

重力的功只取决于小球的起点和终点。具有这种性质的力很特殊：它们的功可以被储存并再次释放，而这种储存就是势能。

若某力从点 $A$ 到点 $B$ 所做的功沿任意两点之间的每条路径都相同，则该力为保守力。等价地，它沿任意闭合回路所做的功为零：沿一条路径去、沿另一条路径回，两部分功相互抵消。重力、理想弹簧力和静电力都是保守力。由于其做功只取决于端点，因此可以写成位置函数的减少量，即势能 $U$ ：
$W_{A\to B}=-(U_B-U_A)$
式中只出现 $U$ 的差值，因此 $U$ 只能确定到一个加性常量：零点可以任意选取。

对于重力，还有一个完全不涉及动力学的论证，说明为什么应当用重量乘以高度作为需要跟踪的量。设想理想机械（杠杆、滑轮）用一个重物下降来提起另一个重物，并称一台机械为可逆的，若将其反向运行能恰好还原它原来的全部过程。假设某台机械在驱动重物下降相同高度的条件下，能把负载提得比一台可逆机械更高。将这台机械正向运行，而将可逆机械反向运行：驱动重物最终回到原位，但负载却升得更高，且没有付出代价。如此反复，就会形成永动机，而这从未被观察到。因此，没有任何机械能超过可逆机械，而所有可逆机械的效果完全相同。平衡的杠杆以精确的比例用重量换取高度，因此它们共同保持不变的，就是重量乘以高度的总和。

读取势能图像

$U$ 对位置的图像，无需求解任何运动方程，即可一目了然地看出物体能到达哪里、在哪里折返，以及受力方向。

图例

$x$	物体沿直线的位置。	$\mathrm{m}$
$U$	物体在位置 $x$ 处的势能。	$\mathrm{J}$
$E$	总能量 $KE+U$ ：恒定，以水平线表示。	$\mathrm{J}$
$KE$	动能：水平线 $E$ 与曲线 $U$ 之间的间隙。	$\mathrm{J}$
$F$	标记点处作用于物体的力 $-dU/dx$ ：指向下坡，且斜率越陡越大。在标有 $F=0$ 的两点处为零。	$\mathrm{N}$
$x_1$	左侧折返点，$U=E$ 。	$\mathrm{m}$
$x_2$	右侧折返点，$U=E$ 。	$\mathrm{m}$

图 3 绘出沿直线运动的物体的势能 $U(x)$ ，其中 $x$ 为其位置。水平线表示其总能量 $E=KE+U$ ，只要仅保守力做功，它就保持不变。由于 $KE=E-U$ ，每个 $x$ 处的动能就等于水平线 $E$ 与其下方曲线之间金色间隙的高度。

动能不可能为负，因此物体只能处于曲线位于 $E$ 线上或其下方的位置。在折返点 $x_1$ 和 $x_2$ 处，即 $U=E$ 时，间隙消失：物体在该瞬间停止并折返，于是它像碗中的弹珠一样在两点之间往复运动。右侧的山丘高于 $E$ ，因此具有该能量的物体无法越过它。

该图像同样给出了力。当物体移动 $dx$ 时，力做功 $Fdx$ ，而对保守力而言，这一功等于势能的减少量 $-dU$ 。令 $Fdx=-dU$ ，得
$F=-\frac{dU}{dx}$
在三维情形下为 $\vec{F}=-\nabla U$ 。由于负号的存在，在任一 $U(x)$ 图像上，力都指向下坡方向。在图 3 中，画在势阱底部与 $x_2$ 之间斜坡上的箭头 $F$ 指向势阱底部；曲线越陡，力越大。斜率为零处力为零，即图中标出 $F=0$ 的两点。

这两点都是平衡点，但性质不同。势阱底部是 $U$ 的极小值：无论向哪一侧发生微小位移，都会受到指向它的力，因此平衡是稳定的。山顶是极大值：微小位移会遇到把物体推得更远的力，因此平衡是不稳定的。作为验证，弹簧势能 $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ 可以还原出胡克定律 $F=-kx$ 。

摩擦、热与完整的能量平衡

并非所有的力都是保守力。摩擦力是日常生活中最常见的例外，把它计入后，能量账目才算完整。

动摩擦力的功随路径长度增大而增大，无论物体朝哪个方向滑动，它都是负的，因为摩擦力总是阻碍滑动。因此，往返一次之后，摩擦力的总功不为零而是负值，所以无法用势能来描述。把总功分为保守力所做的功（即 $-\Delta U$ ）与其余部分 $W_{\mathrm{nc}}$ （非保守功）。于是动能定理 $\Delta KE=-\Delta U+W_{\mathrm{nc}}$ 变为
$\Delta KE+\Delta U=W_{\mathrm{nc}}$
$W_{\mathrm{nc}}$ 包括使其为负的摩擦和阻力，也包括为正的贡献，例如发动机或肌肉的推力。

下面用数字说明这种影响。质量为 2 kg 的物块从动画中 18 m 的高度释放，沿与水平面成夹角 $\alpha$ 的直斜面滑下，动摩擦因数 $\mu =0.2$ 。法向力为 $mg\cos \alpha$ ，因此摩擦力为 $\mu mg\cos \alpha$ ，它作用于整个斜面，斜面长度为 $h_0/\sin \alpha$ 。二者之积即为摩擦力的功：
$W_{\mathrm{nc}}=-\mu mg\cos \alpha \cdot \frac{h_0}{\sin \alpha }=-\frac{\mu mg{h}_0}{\tan \alpha }$
在 $30^{\circ }$ 斜面上，这一功为 $-122\mathrm{J}$ ，于是还剩 $353-122=231\mathrm{J}$ 的动能，到达底部时速率为 15.2 m/s。在 $60^{\circ }$ 斜面上，它仅为 $-41\mathrm{J}$ ，物块到达时速率为 17.7 m/s。下降高度相同，路径不同，做功也不同：这正是非保守力的特征。

能量并没有消失。摩擦使两个接触表面的原子振动起来，这种无规则运动就是热能。在原子尺度上，作用力是保守的；摩擦力只是把有序运动转变为无序运动。在水平地面上滑动距离 $d$ 、受法向力 $N$ 压迫的物块，会产生 $\mu Nd$ 的热能。计入这部分热能后，能量严格守恒：这正是从力学角度看到的热力学第一定律。热量永远不会自行汇集回物块的运动中，这是一条单行道，由热力学第二定律描述。

例题：小球落在弹簧上

本题把重力与弹簧纳入同一个能量平衡，并说明在很短的距离内使下落物体停下，需要多大的力。

图例

$m$	小球的质量。	$\mathrm{kg}$
$k$	弹簧的劲度系数。	$N/m$
$h_0$	释放点相对于弹簧顶端的高度。	$\mathrm{m}$
$x$	下落最低点处弹簧的压缩量。	$\mathrm{m}$
$h_0+x$	从释放点到最低点的总下落距离。	$\mathrm{m}$

图 4 给出了题设。动画中质量 $m=2\mathrm{kg}$ 的小球，从静止开始在轻质弹簧上方 $h_0=18\mathrm{m}$ 处释放，该弹簧劲度系数为 $k=5000N/m$ ，竖直放置，顶端与地面齐平。小球停止时，弹簧被压缩了多少，即 $x$ 为多少？在图的右侧，小球先下落 $h_0$ 到达弹簧，然后在压缩弹簧的过程中再下落 $x$ ，因此总下落高度为 $h_0+x$ 。图未按比例绘制：实际的 $x$ 比 $h_0$ 小约五十倍。

小球的始末状态都是静止的，因此 $\Delta KE=0$ 。若无能量损失，整个下落过程中重力所做的全部功必须最终储存在弹簧中：即最初的 353 J，再加上小球沉到地面以下时额外释放的 $mgx$ 。于是
$mg(h_0+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
代入数值后，这是关于 $x$ 的二次方程，其正根即为答案：
$2500x^2-19.62x-353.16=0,x\approx 0.380\mathrm{m}$

额外项只使结果改变了 1%：若不计它，则 $x=\sqrt{2\cdot 353/5000}\approx 0.376\mathrm{m}$ 。小球所受的最大力 $kx\approx 1900\mathrm{N}$ ，约为其重力的 97 倍。防撞垫和吸能车身则相反：它们在更长的距离上吸收能量，距离加倍意味着平均力减半。

同一问题也可以用势能图像来理解。在小球接触弹簧期间，把势能写成压缩量 $x$ 的函数（上面的答案是 $x$ 的最大值），并取弹簧顶端处 $U=0$ ：
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$
弹簧项随弹簧被压缩而增大；重力项随小球下沉而减小。$U$ 的极小值位于 $dU/dx=kx-mg=0$ 处，即 $x=mg/k\approx 3.9\mathrm{mm}$ ：此处弹簧力与重力平衡，小球可以停留在弹簧上。下落的最低点并不是这一极小值，而是满足 $U=E$ 的折返点，与图 3 中的情形相同。若无能量损失，小球会弹起，以 18.8 m/s 的速率离开弹簧，并回升到 18 m 的高度。

适用范围

本课的两个能量公式都是近似，而定理本身针对的是质点。下面说明每个公式在何处失效。

$mgh$ 是引力势能 $U=-GMm/r$ 在近地表处的形式，其中 $M$ 为地球质量，$r$ 为到地心的距离。精确地说，把质量从地表（半径 $R\approx 6371\mathrm{km}$ ）提升高度 $h$ ，需要 $mghR/(R+h)$ 的功。因此 $mgh$ 偏大的比例约为 $h/R$ ：对于 18 m 的下落，为 $3\times 10^{-6}$ ；但若提升到空间站所在的 400 km 高度，则偏大 6 %。让 $h$ 无限增大，得到的是彻底逃离地球所需的能量 $mgR$ ，约为每千克 62.5 MJ，它对应的逃逸速度为 11.2 km/s。

$\frac{1}{2}m{v}^2$ 是相对论动能 $(\gamma -1)m{c}^2$ 在低速时的形式，其中 $c$ 为光速，$\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ 。第一级修正为能量增加一个比例 $\frac{3}{4}{v}^2/c^2$ ：对于速率为 18.8 m/s 的小球，约为 $3\times 10^{-15}$ ；而在光速一半时，经典公式会少算 19 %。能量也具有质量：小球的 353 J 对应于 $353/c^2\approx 4\times 10^{-15}\mathrm{kg}$ 。

该定理针对的是质点。对于会自转、会变形或自身具有能量储存的物体，沿质心路径取的积分 $\int {\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot d{\vec{r}}_{\mathrm{cm}}$ 只给出质心运动动能的变化。当你起跳时，地面会把你向上推，但受力点并不移动，因此地面不做功：你的动能来自肌肉中的化学能。一个从 18 m 高处无滑动滚下的实心球，将其动能的七分之二转化为自转，于是到达底部时速率为 15.9 m/s，而非 18.8 m/s。在原子尺度上，量子力学取而代之：能量仍然守恒，但束缚态能量只能取分立的能级，而且粒子甚至可以出现在 $U>E$ 的区域，这是经典力学所禁止的。

后续延伸

埃米·诺特于 1918 年证明，能量守恒源于一种对称性：物理定律今天与明天相同。在力学范围内，同样的能量核算贯穿于其他课程：“动量与碰撞”按动能是否保留来划分碰撞类型，“转动动力学与力矩”加入了自转的能量，“万有引力与轨道”则用 $U=-GMm/r$ 讨论轨道与逃逸速度。“弹性：胡克定律、应力与应变”以及“简谐运动”，都以 $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ 为基础。

在力学之外，“电场与电势”把 $U$ 变为单位电荷的能量，“伯努利原理”把能量平衡应用于流动的流体，“热力学第一定律与热机”则让热量成为能量账目中的完整一员。狭义相对论用 $(\gamma -1)m{c}^2$ 取代 $\frac{1}{2}m{v}^2$ ；“裂变、聚变与 E = mc²”衡量原子核中储存的能量；“薛定谔方程与隧穿效应”则说明，在经典运动需要负动能的地方会发生什么。