电磁波

入门

无线电波从哪里来？想象一根金属棒接在交变电压上。电子被推着沿棒向上运动，然后向下，再向上，于是棒的两端轮流带正电和负电。棒的周围有电场，每当电荷交换一次，电场就翻转一次。旧的电场并不会消失：它离开金属棒向外移动，而身后会形成新的电场。电场的涟漪向外扩散。电子沿棒快速运动时形成电流，电流产生磁场，所以磁场的涟漪也向外传播。两者合在一起，就是电磁波。

在动画中，左侧振动的电荷扮演天线的角色。蓝色的波和箭头表示电场，红色的波表示磁场。它们同步起伏，彼此垂直，并且都垂直于传播方向。

在远处，电场使汽车天线中的电子抖动，收音机把这种微小的抖动还原为声音。为了传送音乐，电台改变波的强度（调幅 AM）或频率（调频 FM）。这些波不需要空气：它们穿过真空，全都以光速传播，约每秒30万公里。

无线电波只是一个大家族中的一员。从长到短依次为：无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和伽马射线。颜色条展示了这个光谱，我们的眼睛只能看到其中狭窄的彩虹波段。

自我检验：无线电波和X射线，哪一种在空间中传播得更快？（都不更快：两者都以光速传播。）

中级

振动的是什么

电磁波是由电场 $\vec{E}$ （单位为伏特每米 V/m）和磁场 $\vec{B}$ （单位为特斯拉 T）组成的行进图样。并没有实物在移动：在每一点，场都在增强、减弱并反向，而图样向前传播。$\vec{E}$ 对天线中的电子或你眼中的电子施加推力，正是这种推力使波被探测到。

两条定律使它持续下去。正如《电磁感应》一课所示，变化的磁场会产生电场；麦克斯韦则指出，变化的电场同样会产生磁场。每一次变化都在稍远处产生另一种场，于是扰动自行向外传播，无需导线，也无需介质。

加速运动的电荷激发它：由交变电压驱动、在天线中上下运动的电子，或动画左侧那个金色的电荷。静止的电荷或稳恒电流只产生稳定的场。

横波、同相、同一速度

在真空中，每一列电磁波都具有三个性质，在动画中均可看到：

• 它是横波：$\vec{E}$ （蓝色，竖直）与 $\vec{B}$ （红色，水平，以透视方式画出）彼此垂直，并且都垂直于传播方向，即箭头 $c$ 所示的方向。
• 两个场同相振动：它们在相同的位置和相同的时刻达到峰值，并同时经过零点。
• 无论频率如何，它都以 $c=3.00\times 10^{8}m/s$ 传播。

波沿 $\vec{E}\times \vec{B}$ 的方向传播：右手从 $\vec{E}$ 向 $\vec{B}$ 转动手指，拇指所指即为传播方向。若 $\vec{E}$ 指向纸面向上、$\vec{B}$ 指向纸外，则波向右传播；半个周期后两者都反向，但波仍然向右传播。$\vec{E}$ 的方向称为偏振方向，在动画中是竖直的。

速度由两条定律得出：$c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$ ，其中 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$ 和 ${\mu }_0=1.26\times 10^{-6}H/m$ 分别是电荷间电力和电流间磁力的常数，它们都是用电池和线圈测得的。两者给出 $3.00\times 10^{8}m/s$ ，即光速；1860年代，这一结果使麦克斯韦确信光是一种电磁波。

基本关系式

在这一层次中，三个关系式承担了大部分工作：

• $c=f\lambda$
• $E=cB$
• $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

第一个是《波的基础》中的规则：在一个周期内，波前进一个波长。由于 $c$ 固定，频率加倍则波长减半：沿光谱条向右，$\lambda$ 减小而 $f$ 增大。

第二个关系在每一点、每一时刻都成立。以特斯拉为单位时，$B$ 看起来很小：与 3.0 V/m 相比，它只有 10 nT，但不同单位的量不能直接比较。能量则可以比较：密度 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ 与 $B^2/(2{\mu }_0)$ 恰好相等，因此每个场各携带一半能量。

第三个关系由振幅 $E_0$ 给出强度 $I$ ，即每平方米的平均功率（W/m²）；其中 $\frac{1}{2}$ 是 ${\sin }^2$ 在一个周期内的平均值。若 $E_0$ 加倍，到达的功率变为四倍。

例题：动画中的绿光

动画用 $\lambda =550\mathrm{nm}$ 模拟绿光，即标尺所标出的相邻波峰间距。换算成米，$550\mathrm{nm}=5.50\times 10^{-7}\mathrm{m}$ ，于是频率和周期为
$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3.00\times 10^8}{5.50\times 10^{-7}}\approx 5.45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
$T=\frac{1}{f}\approx 1.83\times 10^{-15}\mathrm{s}$

这就是面板上显示的频率。真实的一个周期不到两飞秒，而动画中一个周期却持续2秒，因此画面比光慢约 $10^{15}$ 倍。

场的振幅为 $E_0=3.0V/m$ ，因此磁场振幅和强度为
$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{3.0}{3.00\times 10^8}=1.0\times 10^{-8}\mathrm{T}=10\mathrm{nT}$
$I=\frac{1}{2}\cdot 3.00\times 10^8\cdot 8.85\times 10^{-12}\cdot 3.0^2\approx 1.2\times 10^{-2}W/{\mathrm{m}}^2$

在 P 点，读数在 $+3.0$ 与 $-3.0V/m$ 之间摆动，磁场在 $+10$ 与 $-10\mathrm{nT}$ 之间摆动：当 $E$ 读数为 1.5 V/m 时，$B$ 读数为 5.0 nT，两者同时过零。箭头每隔八分之一个波长一个（真实波中约为 69 nm），同步地增大和减小。高级视图中的 12 mW/m² 表示较暗的光，比阳光弱约 80 000 倍。

例题：调频广播与微波炉

一座调频电台以 100 MHz 发射。先换算，$100\mathrm{MHz}=1.00\times 10^8\mathrm{Hz}$ ；然后
$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3.00\times 10^8}{1.00\times 10^8}=3.0\mathrm{m}$

若把 100 MHz 误读为 $10^7\mathrm{Hz}$ ，就会得到 30 m，是正确值的十倍。因此，四分之一波长的车载天线长 75 cm。距离 100 kW 发射机约 30 km 处，振幅约为 0.10 V/m，所以 $B_0=0.10/(3.00\times 10^8)\approx 3.3\times 10^{-10}\mathrm{T}$ ，$I=\frac{1}{2}\cdot 3.00\times 10^8\cdot 8.85\times 10^{-12}\cdot 0.10^2\approx 1.3\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$ 。信号抵达所需时间为 $3.0\times 10^4/(3.00\times 10^8)=1.0\times 10^{-4}\mathrm{s}$ 。

工作频率为 2.45 GHz 的微波炉使用 $\lambda =3.00\times 10^8/(2.45\times 10^9)\approx 0.122\mathrm{m}$ 。波在金属箱内反射，形成驻波图样，热点之间相距半个波长，约 6.1 cm。若去掉转盘，可短暂加热一层巧克力，测量软化点之间的间距：$2\cdot 0.061\cdot 2.45\times 10^9\approx 3.0\times 10^{8}m/s$ ，即厨房里测得的光速。

读懂光谱条

底部的光谱条按波长排列，长波在左。每个波段的波动都有自己的波长，但它们都以同一速度传播。这些界限只是约定：

• 无线电波，长于约 1 m：AM 波约 300 m，FM 波为 3 m。
• 微波，1 mm 至 1 m：雷达、手机、Wi-Fi 和微波炉。
• 红外线，700 nm 至 1 mm：热辐射，对皮肤而言在 10 µm 附近最强。
• 可见光，仅 400 至 700 nm：即那条窄窄的彩虹色带。
• 紫外线，短于 400 nm，然后是 X 射线和伽马射线，最短的比原子还小得多。

向右，每个光子的能量 $hf$ 也增大（$h=6.63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 为普朗克常数）。决定波如何作用于分子的是这个能量，而不是强度：约 2 eV 的可见光光子驱动视觉，只有高于约 10 eV 的光子（波长短于约 124 nm 的紫外线、X 射线和伽马射线）才能使大多数原子电离。

常见错误

• 电磁波不需要介质：阳光穿过约 1.5 亿公里的近真空，只需 8.3 分钟。
• 频率高并不意味着传播快：无线电回波和激光脉冲从月球反射回来，都需约 2.6 s。
• 磁场不可忽略：3.0 V/m 旁边的 10 nT 携带相等的能量。然而，它对速度为 $v$ 的电子的作用力至多是电场力的 $v/c$ ，因此 $\vec{E}$ 决定偏振方向。
• 玻璃改变速度和波长，但不改变频率：取 $n=1.5$ 时，绿光减慢至 $2.0\times 10^{8}m/s$ ，550 nm 缩短至约 367 nm，而 $f$ 保持 $5.45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ 不变。
• “辐射”不等于“放射性”，功率也不会使波产生电离：一台 1000 W 微波炉的光子只携带 $10^{-5}\mathrm{eV}$ ，而单个 X 射线光子携带数万电子伏特。

生活中的应用

无线电、电视、手机、Wi-Fi、卫星导航（19 cm）、雷达和微波炉使用长波长一端。遥控器、光纤链路（1.55 µm）和热成像相机使用红外线；紫外灯用于水的消毒，X 射线用于拍摄骨骼和晶体，伽马射线用于治疗肿瘤。

本课连接了电学与光学。《光的偏振》一课研究 $\vec{E}$ 的方向；《干涉与叠加》和《衍射与双缝》叠加多列波的场；《反射与折射》则研究波进入物质后的情况。《黑体辐射与量子》和《光电效应》表明，光以一份一份能量 $hf$ 的形式被发射和吸收。

高级

真空中的麦克斯韦方程

光、无线电波和X射线都是电场与磁场的波动。要理解这种波为什么存在、为什么都以同一固定速度传播，应从无电荷、无电流区域中的电磁学定律出发。在那里，这些定律具有非常对称的形式：
$\nabla \cdot \vec{E}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

这里 $\vec{E}$ 为电场，$\vec{B}$ 为磁场，${\mu }_0$ 和 ${\epsilon }_0$ 分别为真空磁导率和真空介电常数。逐条来看：前两条是高斯定律，区域内没有电荷，因此场线不会在此起始或终止。第三条是法拉第定律：随时间变化的磁场会产生环绕它的电场。第四条是安培定律加上麦克斯韦的补充项，即位移电流 ${\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ ：随时间变化的电场会产生环绕它的磁场。后两条合在一起，使两个场在附近没有电荷时能够互相维持，而这正是波所需要的。

麦克斯韦的补充项并非可以随意选取：电荷守恒要求它存在。若有电荷，第四条定律为 $\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ ，其中 $\vec{J}$ 为电流密度。对两边取散度。左边为零，因为旋度的散度永远为零。右边，高斯定律 $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$ （$\rho$ 为电荷密度）把第二项变为 ${\mu }_0\partial \rho /\partial t$ 。剩下的是 $\nabla \cdot \vec{J}+\partial \rho /\partial t=0$ ：流出任一小体积的电荷恰好等于该体积内电荷的减少量。若没有麦克斯韦项，同一步骤将要求 $\nabla \cdot \vec{J}=0$ ，而这在充电电容器的极板处并不成立：那里电流流入，却没有电流流出。

为什么波前以光速运动

图例

$\sigma$	运动平面上单位面积的电荷。	$C/{\mathrm{m}}^2$
$v_s$	平面的速度，在上图中指向页面下方。	$m/s$
$v$	前沿的速度，即有场的区域的边缘。	$m/s$
$\vec{E}$	前沿后方的电场：上图中指向页面上方，下图中指出页面。	$V/m$
$\vec{B}$	前沿后方的磁场：上图中指出页面，下图中指向页面下方。	$\mathrm{T}$
$L$	回路的高度，沿前沿方向测量。	$\mathrm{m}$
$vdt$	前沿在短时间 $dt$ 内前进的距离：即阴影条带的宽度。	$\mathrm{m}$

在求解任何方程之前，一个思想实验可以展示一个场的变化如何产生另一个场，以及二者如何一起向外运动。它只用到法拉第定律的回路形式和安培-麦克斯韦定律，并直接给出波前的速度。

先看源。一个无限大的平面位于 $yz$ 平面内；图1以侧视图显示它，即左侧的橙色线。取 $x$ 轴向右，远离平面；$y$ 轴向页面上方；$z$ 轴指出页面。平面上每平方米带有电荷 $\sigma$ ，并位于一个带相反电荷的固定平面上，因此静止时平面外没有场。在 $t=0$ 时，带电平面被猛然推动，沿 $-y$ 方向（页面向下）以恒定速度 $v_s$ 运动。运动的电荷平面就是电流，因此每米宽度上立即出现大小为 $\sigma v_s$ 的电流。紧贴平面处，安培定律给出电流片的场 $B={\mu }_0\sigma v_s/2$ ，方向指出页面（沿 $z$）。

在更远处，场不可能同时出现在各处。因此假设它充满一个区域，该区域以一个平坦的前沿（虚线）为界，前沿以某个未知速度 $v$ 远离平面运动：前沿后方场均匀，前沿前方为零。两个回路定律将确定 $v$ 以及必须与 $\vec{B}$ 伴随的电场。

图1从两个方向画出同一前沿，每次都有一个高度为 $L$ 的矩形回路横跨前沿。在很短的时间 $dt$ 内，前沿前进 $vdt$ ，回路获得阴影条带中的场，其面积为 $Lvdt$ 。

上图沿 $z$ 方向观察。回路位于 $xy$ 平面内，因此 $\vec{B}$ （带圆点的圈，指出页面）穿过它，穿过回路的磁通量增加 $BLvdt$ ，即变化率为 $BLv$ 。法拉第定律指出，变化的磁通需要一个环绕回路的电场。沿 $x$ 方向的两条边没有贡献，因为沿 $y$ 方向的 $\vec{E}$ 与它们垂直，而前沿前方的那条边没有场。只有前沿后方长度为 $L$ 的那条边起作用，因此 $EL=BLv$ 。

下图从上方沿 $y$ 方向向下观察。此时回路位于 $xz$ 平面内，$\vec{E}$ 穿过它（此处指出页面），而 $\vec{B}$ 沿回路位于前沿后方的那条边。同一条带增加了电通量，变化率为 $ELv$ 。没有电流穿过此回路，因此安培-麦克斯韦定律表明 $\vec{B}$ 的环流等于 ${\mu }_0{\epsilon }_0$ 乘以该变化率；同样只有前沿后方的边起作用，因此 $BL={\mu }_0{\epsilon }_{0}ELv$ 。图中画出的方向是使两个定律符号正确的方向；这里只关心大小。

消去 $L$ ，两个条件变为
$E=vB,B={\mu }_0{\epsilon }_{0}vE$
把第一式代入第二式：$B={\mu }_0{\epsilon }_0{v}^{2}B$ 。只有当 $v^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ 时两者才能同时成立：
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3.00\cdot 10^{8}m/s$

这一结果与 $\sigma$ 、$v_s$ 以及平面启动得多突然都无关：无论推动多猛烈，前沿都具有这同一个速度，它由两个用电荷与电流测得的常数构成。麦克斯韦发现它等于测得的光速，于是得出结论：光是一种电磁波。

前沿后方 $E=cB=\sigma v_s/(2{\epsilon }_{0}c)$ ，因为 ${\mu }_{0}c=1/({\epsilon }_{0}c)$ 。$\vec{E}$ 与平面速度反向，在图1中指向页面上方；$\vec{E}\times \vec{B}$ 指向远离平面的方向，即前沿运动的方向。注意场记录的是：平面运动得多快，而不是它在哪里。因此，如果平面在时间 $\tau$ 后停止，一个符号相反的第二前沿将跟随第一个，两者之间有一层厚度为 $c\tau$ 的场，在附近没有电荷的情况下继续前进。使平面上下抖动，外向的场会复制其速度历史，在距离 $x$ 处延迟 $x/c$ ：这就是平面波。

波动方程

平面产生了平坦的前沿。场定律的微分形式表明，任何形状的场图样都以相同速度传播。对法拉第定律取旋度。左边使用恒等式 $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$ ，其第一项因 $\nabla \cdot \vec{E}=0$ 而为零。右边，交换旋度与时间导数，并代入第四条定律中的 $\nabla \times \vec{B}$ 。负号相消，得到
${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

这就是《波的基础》中的波动方程，只是以 $1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ 代替了 $v^2$ ，因此每个解都以 $c$ 传播。从第四条定律出发，用同样的步骤可得 $\vec{B}$ 的相同方程。法拉第定律中的负号至关重要：它表示感应场反对引起它的变化。若是正号，解将随时间指数增长或衰减而不再传播，也就不会有波。

平面波：两个同相且互相垂直的场

图例

$x$	沿传播方向的坐标轴。	$\mathrm{m}$
$y$	$\vec{E}$ 振动所沿的坐标轴。
$z$	$\vec{B}$ 振动所沿的坐标轴；它指向观察者，在图中画为向左下。
$\vec{E}$	波的电场。	$V/m$
$\vec{B}$	波的磁场，与 $\vec{E}$ 同相。	$\mathrm{T}$
$E_0$	电场的振幅。	$V/m$
$B_0$	磁场的振幅，等于 $E_0/c$ 。	$\mathrm{T}$
$\lambda$	波长：相邻两个波峰之间的距离。	$\mathrm{m}$
$c$	波的速度，沿传播方向。	$m/s$

最简单的解，即正弦平面波，展示了所有光中 $\vec{E}$ 与 $\vec{B}$ 的排列方式。图2在 $t=0$ 时刻冻结了一列沿 $x$ 方向传播的波：
$E=E_0\sin (kx-\omega t),\omega =ck$
这里 $k=2\pi /\lambda$ 为波数，$\omega$ 为角频率；$\omega =ck$ 正是该形状满足波动方程所要求的关系。

图中坐标轴为右手系，$z$ 轴指向观察者（页面上绘为向左下）。电场 $\vec{E}$ （蓝色）沿 $y$ 方向振动，磁场 $\vec{B}$ （红色）沿 $z$ 方向。两者都是波长为 $\lambda$ 的正弦曲线（即相邻波峰间距），它们在相同位置过零并达到峰值。它们的振幅 $E_0$ 与 $B_0$ 单位不同，因此图中所画长度不能相互比较。

为什么 $\vec{E}$ 与传播方向垂直？在平面波中，场只依赖于 $x$ 和 $t$ 。高斯定律于是化为 $\nabla \cdot \vec{E}=\partial E_x/\partial x=0$ ，而安培-麦克斯韦定律的 $x$ 分量给出 $\partial E_x/\partial t=0$ ，因为这种场的旋度没有 $x$ 分量。所以 $E_x$ 至多是常数，它不属于波动的一部分：该波是横波，我们可以取 $\vec{E}$ 沿 $y$ 方向。

为什么 $\vec{B}$ 沿 $z$ 方向，并且与 $\vec{E}$ 同步？法拉第定律的 $z$ 分量给出 $\partial B_z/\partial t=-\partial E_y/\partial x=-k{E}_0\cos (kx-\omega t)$ 。对时间积分，振荡解为 $B_z=(k/\omega )E_0\sin (kx-\omega t)$ ；$y$ 分量给出 $\partial B_y/\partial t=0$ ，因此没有振荡的 $B_y$ 。由于 $\omega /k=c$ ，
$E=cB$

所以 $\vec{B}$ 与 $\vec{E}$ 垂直且同相，其中 $B_0=E_0/c$ ，$\vec{E}\times \vec{B}$ 指向 $+x$ ，即图中标注 $c$ 的传播方向。对于沿 $-x$ 方向传播的波，同样步骤给出 $B_z=-E_y/c$ ：反转传播方向会使 $\vec{B}$ 相对 $\vec{E}$ 反向。

动画中高级级别的图表以时间而非空间展示同一个波：P 点处的 $E$ 是一条振幅为 3.0 V/m 的正弦曲线，其每个周期持续 1.83 fs，正是 550 nm 绿光的一个周期。P 点位于波的两个波长处，因此那里 $kx=4\pi$ ，曲线为 $E=E_0\sin (4\pi -\omega t)=-E_0\sin \omega t$ ：它从零开始，先下降。这是倒着读取的快照。波向 $+x$ 方向运动，因此下一个到达 P 的是它左侧的部分，而在 $t=0$ 时该部分位于轴下方。$B$ 读数跟随这条曲线，每一时刻都满足 $E/B=c$ 。

能量、强度与动量

图例

$c\Delta t$	管的长度：在时间 $\Delta t$ 内波前进的距离。	$\mathrm{m}$
$A$	管的截面：能量穿过的面片。	${\mathrm{m}}^2$
$u$	管中场所储存的单位体积能量。	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{E}$	管内波的电场。	$V/m$
$\vec{S}$	穿过面片的单位面积功率，沿传播方向。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$c$	波的速度，也是它所携带能量的速度。	$m/s$

波把能量从源带走，太阳光使地球变暖正是如此。为了求出每平方米穿过的功率，图3跟踪能量穿过一个横跨波路径、面积为 $A$ 的面片。

场以能量密度 $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+B^2/(2{\mu }_0)$ （单位为每立方米焦耳）储存能量，其表达式与电容器中的电场和线圈中的磁场相同。整个图样以 $c$ 运动且形状不变，因此在时间 $\Delta t$ 内，面 $A$ 被其后方长度为 $c\Delta t$ 、截面为 $A$ 的管中的全部能量穿过，即 $uAc\Delta t$ 。除以 $A$ 和 $\Delta t$ ，每平方米的功率为 $cu$ 。

现在利用平面波关系 $B=E/c$ 以及 $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ 。磁项变为 $B^2/(2{\mu }_0)=E^2/(2{\mu }_0{c}^2)=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ ，因此 $u$ 的两半相等，$u={\epsilon }_0{E}^2$ ，每平方米功率为 $c{\epsilon }_0{E}^2$ 。坡印廷定理，即场的能量守恒定理，一般地将其写成图中的矢量 $\vec{S}$ ：
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$

对于平面波，其大小为 $EB/{\mu }_0=E^2/({\mu }_{0}c)=c{\epsilon }_0{E}^2$ ，与上面所求一致，并沿传播方向。

可见光的场每秒反转约 $10^{15}$ 次，远快于任何探测器所能跟踪，因此测得的是许多周期的平均值。${\sin }^2$ 在一个周期内的平均值为一半，因此强度为
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

对于动画中 3.0 V/m 的场，这就是面板上的 12 mW/m²，平均能量密度为 $4.0\times 10^{-11}J/{\mathrm{m}}^3$ 。地面上的阳光约为 1.0 kW/m²，对应 $E_0\approx 870V/m$ 以及 2.9 µT 的磁振幅。

场还携带动量，每立方米为 $S/c^2$ 。以 $c$ 运动，该动量到达表面的速率为每平方米 $S/c$ 。黑色表面吸收它，因此受到的压强为 $I/c$ ；镜面将其反射，受到的压强是其两倍。地面上黑色表面受到的阳光压强为 3.3 µPa；在大气层外、强度为 1361 W/m² 的镜面上，每平方公里受力约 9 N。这种微小而持续的推力驱动太阳帆，并把彗星的尘埃尾吹离太阳。

加速电荷的辐射

图例

$q$	被推动的电荷。	$\mathrm{C}$
$O$	推动前电荷所在的位置。
$a$	推动期间电荷的加速度。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$vt$	到时刻 $t$ 时，电荷离开 $O$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$ct$	外球面的半径：时间 $t$ 内推动的消息传播的距离。	$\mathrm{m}$
$c\tau$	壳层的厚度：推动持续时间 $\tau$ 内消息传播的距离。	$\mathrm{m}$
$\theta$	场线与推动方向之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$\vec{E}$	壳层中的横向场，即辐射场：与加速度横向部分的方向相反。	$V/m$
$c$	壳层及其中拐折向外扩展的速度。	$m/s$

到目前为止，波都是直接给定的。本节说明它们从哪里来：来自速度发生变化的电荷。静止的电荷有其库仑场。以恒定速度运动的电荷会携带着它的场一起运动，因为在它自己的参考系中它是静止的。只有加速度才会发出波，图4说明了原因。

电荷 $q$ 在 $O$ 处静止，直到 $t=0$ 。然后它沿 $x$ 方向以加速度 $a$ 被推动一段短时间 $\tau$ ，之后以较小的速度 $v=a\tau$ 继续漂移，因此再过时间 $t$ ，它距 $O$ 为 $vt$ 。图中夸大了 $v/c$ ；论证要求 $v\ll c$ 。

推动的消息以 $c$ 向外传播，因此在时刻 $t$ ，场线（以截面画出）分为三个区域。在以 $O$ 为中心、半径为 $ct$ 的球面之外，消息尚未到达：场线仍指向离开 $O$ 的方向，即若电荷从未移动时它所在的位置。在半径为 $c(t-\tau )$ 的球面之内，就场所知，电荷一直在稳定运动，其场线指向它现在所在位置的方向。在两球面之间厚度为 $c\tau$ 的薄壳中，每条场线都必须把其外部分与内部分连接起来；由于两部分错开，场线在壳层中横向延伸。这种横向伸展就是拐折。

从图中可以读出它的大小。与推动方向成角 $\theta$ 离开的场线，其横向位移为 $vt\sin \theta$ ，即偏移量 $vt$ 垂直于场线的分量，而它只在厚度为 $c\tau$ 的壳层内完成这一位移。在壳层内，场跟随场线，因此其横向分量 $E_{\perp }$ 与径向分量 $E_r$ 之比，就是这两个长度之比。利用 $v=a\tau$ 以及壳层半径 $r=ct$ ，
$\frac{E_{\perp }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$
径向分量仍是库仑场 $E_r=q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$ ，因为由高斯定律，壳层所通过的场线数与以前相同。两者相乘即得横向场，即图中的箭头 $\vec{E}$ 。

看 $r$ 的幂次。径向分量按 $1/r^2$ 衰减，但横向分量只按 $1/r$ 衰减，因为壳层扩大时偏移 $vt$ 增大，而其厚度保持为 $c\tau$ 。因此在远离电荷处，拐折占主导。它就是辐射场，并随壳层以 $c$ 向外运动。

对于随时间平滑变化的推动，且速度远小于 $c$ 时，同样的论证给出距离 $r$ 、与加速度方向成角 $\theta$ 处的场：
$E(r,t)=\frac{qa(t-r/c)\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$
三点值得注意。场是横向的，对于正电荷而言与加速度的横向部分方向相反。它由较早时刻 $t-r/c$ 的加速度决定，即消息发出的时刻。其强度与 $E^2$ 成正比，按 ${\sin }^2\theta /r^2$ 变化：沿加速度方向为零，与之垂直处最大。这就是为什么电荷上下奔涌的竖直无线电塔会把信号沿地面方向发射出去。

总功率来自把强度 $c{\epsilon }_0{E}^2$ 在半径为 $r$ 的球面上积分。球面面积与 $r^2$ 成正比，抵消了 $1/r^2$ ，而 ${\sin }^2\theta$ 在所有方向上的平均值为三分之二，由此得到拉莫尔公式：
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

$1/r$ 定律正是能量得以逃逸的原因：穿过球面的功率（与 $E^2{r}^2$ 成正比）在每个半径处都相同，而若场按 $1/r^2$ 衰减，就无法把能量带到远处。这也是为什么经过许多光年后星光仍能到达我们。

在动画中，金色电荷做振荡，因此其加速度 $a=-{\omega }^{2}y$ 始终与其位移 $y$ 相反。辐射场与加速度相反，因此它跟随位移：电荷旁的蓝色波随之上下起伏，而相距两个波长的 P 点，每次运动都在两个周期（3.7 fs）之后才接收到。同步辐射和X射线管遵循同样的规律。

例题：一盏1 W的绿色灯

一盏小灯以各方向均匀发出 $P=1.0\mathrm{W}$ 的 550 nm 绿光。在什么距离处其场振幅为动画中的 3.0 V/m ？距离加倍时会发生什么变化？在该处正对放置的 1.0 cm² 黑色卡片上受到什么力？它每秒吸收多少光子？

在距离 $r$ 处，这一瓦特的功率分布在面积为 $4\pi r^2$ 的球面上，因此 $I=P/(4\pi r^2)$ 。令其等于 $\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ 并解出 $r$ ：
$r=\sqrt{\frac{P}{2\pi c{\epsilon }_0{E}_0^2}}=\sqrt{\frac{1.0}{2\pi \cdot 3.00\times 10^8\cdot 8.85\times 10^{-12}\cdot 3.0^2}}\approx 2.6\mathrm{m}$

在 5.2 m 处，同样的一瓦穿过的球面大四倍，因此强度降为四分之一，即 3.0 mW/m²。振幅与强度的平方根成正比，因此它只减半，变为 1.5 V/m，符合 $1/r$ 定律。

回到 2.6 m 处，强度为 12 mW/m²，因此卡片吸收 $1.2\times 10^{-2}\cdot 1.0\times 10^{-4}=1.2\times 10^{-6}\mathrm{W}$ 。吸收体受到的压强为 $I/c$ ，因此力等于吸收功率除以 $c$ ：$F=1.2\times 10^{-6}/(3.00\times 10^8)=4.0\times 10^{-15}\mathrm{N}$ 。压强 $4.0\times 10^{-11}\mathrm{Pa}$ 等于光束的平均能量密度，对任何吸收体都是如此，因为二者都是 $I/c$ 。

光的频率为 $f=c/\lambda =5.45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ ，每个光子携带能量 $hf$ ，其中 $h$ 为普朗克常数：$hf=6.63\times 10^{-34}\cdot 5.45\times 10^{14}\approx 3.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ ，约 2.3 eV。因此卡片每秒吸收 $1.2\times 10^{-6}/(3.6\times 10^{-19})\approx 3.3\times 10^{12}$ 个光子。这个数目大到完全显不出光的颗粒性，因此在这里平滑的经典波是极好的描述。

适用范围的限制

经典理论在每个频率上都能处理传播、干涉、衍射和偏振。它在物质与场交换能量之处失效，因为这种交换以 $hf$ 为量子进行：绿光为 2.3 eV，FM 无线电为 $4\times 10^{-7}\mathrm{eV}$ ，医用X射线为数万 eV。大多数原子需要约 10 eV 才能失去一个电子，因此只有波长短于约 124 nm 的光才能电离，无论光束多弱。当光子很少时，波只给出探测到一个光子的概率。

在原子内部它同样失效。像经典氢原子中那样绕行的电子，其 $a\approx 9.0\times 10^{22}m/{\mathrm{s}}^2$ ，按拉莫尔公式会辐射 $4.7\times 10^{-8}\mathrm{W}$ ，并在约 16 ps 内螺旋落入原子核。原子是稳定的；解释其原因始于《原子模型：玻尔原子》一课。

在物质中，波的速度减慢为 $c/n$ ，其中折射率 $n$ 取决于频率。导体会吸收它：海水使 10 kHz 的波每 2.5 m 左右减弱为 $e$ 分之一，这就是潜艇使用极低频率的原因。在真空中，方程是线性的，因此光束相交而不互相干扰。最后，$c$ 是精确的：自 1983 年起，米的定义使 $c=299792458m/s$ 。

下一步

麦克斯韦方程确定了速度 $c$ ，但没有说明相对于什么。《狭义相对论》使其对每个惯性观察者都相同，并在参考系改变时混合 $\vec{E}$ 与 $\vec{B}$ 。《光的偏振》研究 $\vec{E}$ 的方向；《干涉与叠加》和《衍射与双缝》叠加场；《棱镜、色散与颜色》则把玻璃中较慢的速度追溯到像上面那张带电平面一样再辐射的电子。《黑体辐射与量子》《光电效应》和《波粒二象性》讨论量子 $hf$ ；《粒子与相互作用：标准模型》使光子成为电磁力的载体。引力波（《引力即时空弯曲》）同样以 $c$ 传播：2017 年，一次中子星并合的引力波与其伽马射线的到达时间相差不到 2 s。