矢量与相对运动

入门

有些量只需一个数就能完整描述：质量 2 kg、时间 10 s、温度 20 °C。这些是标量。另一些还需要方向：“车站离这里 2 km”并没有告诉你该走哪条街。速率（有多快）是标量；速度（有多快、朝哪个方向）是矢量，位移和力也是矢量。我们用箭头表示矢量：长度表示大小，箭头指向表示方向。

快速检验：“朝南 15 m/s”是速率还是速度？（速度：它有方向。）

两个矢量相加时，把第二个箭头的尾部接到第一个箭头的头部；合矢量从起点画到终点。向东走 3 m，再向北走 4 m，你离出发点 5 m。你走了 7 m，但你的位移是那条 5 m 的箭头。

速度的相加方式相同。在移动的人行道上，你以 1 m/s 行走，而传送带以 2 m/s 的速度带着你前进，那么站在旁边的人会看到你以 3 m/s 经过。如果你以 2 m/s 向后走，你就会和他保持并排：速度相互抵消。

快速检验：你以 1.5 m/s 朝火车尾部走，而火车以 20 m/s 前进。站台上的人看到你经过的速度是多少？（18.5 m/s，沿火车前进的方向。）

在动画中，一条小船要过一条 60 m 宽的河。划船的人瞄准对岸，但河水把船沿斜线带走。灰点显示每 3 秒它漂移 9 m，总共漂移 36 m。不过整个过程仍需 12 秒，与静水中相同：水流带来的是侧向运动，而不是延误。

中级

标量、矢量与分量

2 kg 的质量或 12 s 的时间，只需一个数加上单位即可完整描述。这类量是标量，像普通数字一样相加。位移、速度、加速度和力还需要方向：它们是矢量。矢量用箭头 $\vec{A}$ 表示；它的大小（模）写作 $|\vec{A}|$ 或简写为 $A$，且永远不为负。速率是速度矢量的模。

计算矢量时，先选两条互相垂直的坐标轴，再把箭头分别投影到每条轴上。若 $\vec{A}$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$（向 $y$ 轴方向测量），则它的分量与大小满足

• $A_x=A\cos \theta ,A_y=A\sin \theta$
• $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

分量带有正负号：当箭头指向 $x$ 轴负方向时，$A_x$ 为负。第二行就是勾股定理，方向由 $\tan \theta =A_y/A_x$ 求得。在本课中，$x$ 轴沿河流指向下游，$y$ 轴垂直于河流，指向对岸。

矢量的加法与减法

两个矢量相加时，把第二个矢量的尾部接到第一个矢量的头部；和矢量（合矢量）从第一个矢量的尾部指向最后一个矢量的头部。用分量表示时，规则就是逐轴相加：若 $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$，则 $C_x=A_x+B_x$，$C_y=A_y+B_y$，与顺序无关。

只有平行的箭头，大小才能直接相加。先走 5 m 再走 3 m：若方向相同得 8 m，若方向相反得 2 m，若成直角则为 $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5.83\mathrm{m}$；其他夹角的结果介于两者之间。减法即加上反向的箭头，$\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$：从同一起点画出时，它从 $\vec{B}$ 的头部指向 $\vec{A}$ 的头部。

相对速度：参考系链

速度总是相对于某个参照物测量的。设 $\vec{v}{}^{\prime }$ 为船相对于水的速度，$\vec{u}$ 为水相对于河岸的速度（即水流），$\vec{v}$ 为船相对于河岸的速度。每一秒内，船相对水前进 $\vec{v}{}^{\prime }$，而水把它沿河岸带走 $\vec{u}$，两段位移首尾相接相加：
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$

标签规则能让顺序保持清楚：${\vec{v}}_{boat/bank}={\vec{v}}_{boat/water}+{\vec{v}}_{water/bank}$。中间的标签相同并相消，只剩下船相对河岸。交换两个标签会使箭头反向：相对于水，河岸以 $-\vec{u}$ 的速度向上游移动。

令 $x$ 轴指向下游、$y$ 轴横穿河流，船头正对对岸时 $\vec{v}{}^{\prime }=(0,v^{\prime })$，水流 $\vec{u}=(u,0)$，因此 $\vec{v}=(u,v^{\prime })$。两个分量相互独立：横穿河流的分量单独决定过宽度为 $d$ 的河所需的时间，沿河的分量单独决定被带往下游的距离。于是对地速度、过河时间与漂移分别为
$|\vec{v}|=\sqrt{v^{\prime 2}+u^2}$
$t=\frac{d}{v^{\prime }},x=\frac{ud}{v^{\prime }}$

例题：动画中的船

划船者相对水的速度为 $v^{\prime }=5m/s$，水流速度为 $u=3m/s$，河宽 $d=60\mathrm{m}$。船头正对对岸。
$|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5.83m/s$
$t=\frac{60}{5}=12\mathrm{s},x=3\cdot 12=36\mathrm{m}$

船的航迹与正对岸方向的夹角为 $\phi$，$\tan \phi =u/v^{\prime }=3/5$，所以 $\phi \approx 31^{\circ }$，偏向下游。相对地面，船走过的路程为 $\sqrt{60^2+36^2}\approx 70\mathrm{m}$，这也等于 $5.83\cdot 12$。这些就是读数的最终值：$y=v^{\prime }t$ 与 $x=ut$ 匀速增长，当 $t$ 达到 12 s 时分别停在 60 m 和 36 m。

船上的箭头画出了这一加法：金色的 $\vec{v}{}^{\prime }$ 正对对岸，蓝色的 $\vec{u}$ 从它的头部开始，绿色的 $\vec{v}$ 沿虚线航迹封闭三角形。每 3 s 一个的灰色标记显示漂移每次增加 9 m，依次为 9、18、27 和 36 m，而船同时向对岸前进了 15 m：航迹是直线，因为两个分量都不变化。

例题：侧风中的飞机

一架轻型飞机相对空气以 250 km/h 飞向正北方 360 km 外的机场，而风以 70 km/h 向东吹。空气扮演水的角色：$v^{\prime }=250km/h$，$u=70km/h$，$d=360\mathrm{km}$。

如果飞行员直接朝北飞，飞机需要 $360/250=1.44\mathrm{h}$ 才能向北飞完 360 km，而在此期间风会把它带到机场以东约 $70\cdot 1.44\approx 101\mathrm{km}$ 处。要沿正北方向的直线航线飞行，她必须使机头部分偏向迎风方向，让 $\vec{v}{}^{\prime }$ 的向西分量抵消风。此时相对空气的速度就是斜边：
$\sin \alpha =\frac{u}{v^{\prime }},t=\frac{d}{\sqrt{v^{\prime 2}-u^2}}$

这里 $\sin \alpha =70/250=0.28$，所以她的机头朝北偏西 $\alpha \approx 16.3^{\circ }$。对地速度为 $\sqrt{250^2-70^2}=240km/h$，飞行时间为 $360/240=1.5\mathrm{h}$。这一修正只多花 3.6 分钟，却消除了 101 km 的偏差。飞行员把 $\alpha$ 称为风修正角。

读懂速度三角形

每个相对速度问题都是由 $\vec{v}{}^{\prime }$、$\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 组成的三角形；先判断哪条边是斜边。船头正对对岸时，$\vec{v}{}^{\prime }$ 与 $\vec{u}$ 是两条直角边，对地速度是斜边，比二者中的任何一个都长：5.83 m/s。若船必须沿直线横穿河流，则 $\vec{v}$ 变成直角边，$\vec{v}{}^{\prime }$ 成为斜边，有效速度缩小为 $\sqrt{5^2-3^2}=4m/s$，过河需 15 s。专家视角中的第二条船正是这样做的。

沿河方向，三角形退化为一条直线：顺流划船时，船相对地面的速度为 $5+3=8m/s$，逆流时仅为 $5-3=2m/s$。如果水流比划船者更快，即 $u>v^{\prime }$，那么任何船头方向都无法让船沿直线横穿河流。

常见错误

• 把速度当作普通数字相加。划船者的 5 m/s 与水流的 3 m/s 只有同向时才得 8 m/s；成直角时得 5.83 m/s。
• 以为水流会延误过河。它在横向上没有分量，所以船头正对对岸的船仍需要 $60/5=12\mathrm{s}$；水流改变的是靠岸的位置，而不是时间。
• 混淆船头朝向与航迹。船头指向 $\vec{v}{}^{\prime }$，但船沿 $\vec{v}$ 运动，这里偏向下游 31°：船头显示朝向，虚线轨迹显示航迹。
• 正弦与余弦互换。余弦对应与角相邻的边：一根绳以与水平方向成 20° 的仰角施加 50 N 的拉力，水平分量为 $50\cos 20^{\circ }\approx 47\mathrm{N}$，竖直分量为 $50\sin 20^{\circ }\approx 17\mathrm{N}$。
• 以为水流会在往返中相互抵消。逆流 60 m 以 2 m/s 划行、再以 8 m/s 返回，共需 $30+7.5=37.5\mathrm{s}$，而静水中为 24 s：慢的那段耗时更长，所以占的比重更大。

应用场景

飞行员和渡船船员要修正风与水流的影响；被离岸流卷住的游泳者被告知要沿着海滩方向游，即横穿水流。竖直落下的雨滴速度为 6 m/s，在一辆以 18 m/s 行驶的汽车侧窗上划出的斜纹与竖直方向约成 72°，因为相对于汽车，雨滴还在向后运动。航天器对接时要使速度与空间站的速度匹配，而不是与地球的速度匹配。

同样的工具贯穿整个力学。抛体运动把抛掷分解为相互独立的水平运动与竖直运动，正如船的横向与纵向运动；牛顿运动定律把力视为矢量；圆周运动表明，仅仅改变方向就能使速度发生变化。

高级

什么使一个量成为矢量

矢量通常被介绍为既有大小又有方向的量。这是个好的开始，但确切的判断标准不同：它是看该量的分量在坐标轴转动时如何变化。这一检验很重要，因为正是它使我们能够在任意坐标轴上写出矢量定律。

图例

$\vec{r}$	同一个位移：两幅图中是同一支箭头。	$\mathrm{m}$
$x$	$\vec{r}$ 沿原第一轴的分量。	$\mathrm{m}$
$y$	$\vec{r}$ 沿原第二轴的分量。	$\mathrm{m}$
$\bar{x}$	$\vec{r}$ 沿转动后第一轴的分量。	$\mathrm{m}$
$\bar{y}$	$\vec{r}$ 沿转动后第二轴的分量。	$\mathrm{m}$
$\beta$	坐标轴逆时针转过的角度。	$\mathrm{rad}$

图 1 把同一个位移 $\vec{r}$ 画了两次。左图中，从 $\vec{r}$ 的箭头末端向两条坐标轴作垂线，垂足到原点的距离就是分量 $x$ 与 $y$。右图中，坐标轴逆时针转过角度 $\beta$，而箭头 $\vec{r}$ 没有移动。用新坐标轴作垂线，同样的作图给出新分量 $\bar{x}$ 与 $\bar{y}$。箭头在画出任何坐标轴之前就已存在；而它的分量并非如此。

要求新分量，需把 $\vec{r}$ 拆成两段旧分量：沿旧第一轴的 $x$ 与沿旧第二轴的 $y$，再把每一段投影到新轴上。新第一轴与旧第一轴成角 $\beta$，与旧第二轴成 $90^{\circ }-\beta$，所以这两段分别贡献 $x\cos \beta$ 与 $y\sin \beta$。新第二轴与旧第一轴成 $90^{\circ }+\beta$，与旧第二轴成 $\beta$，所以两段分别贡献 $-x\sin \beta$ 与 $y\cos \beta$。合起来为：
$\bar{x}=x\cos \beta +y\sin \beta ,\bar{y}=-x\sin \beta +y\cos \beta$

这条规则才是真正的定义。矢量就是其分量随坐标轴变化的方式与位移完全相同的任何量。

速度通过了这一检验。它是位移 $\Delta \vec{r}$ 除以时间 $\Delta t$，而 $\Delta t$ 是标量，在任何坐标轴上都相同，因此除以它不会破坏这一规则。加速度是速度的变化量除以时间，同理也通过；力也是如此。再看一个矢量方程，例如 $\vec{F}=m\vec{a}$ 或 $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$。它表明等号两边的分量相等。当坐标轴转动时，两边都按同一线性规则变化，所以若在一组坐标轴上相等，则在所有坐标轴上都相等。沿河流取 $x$ 轴只是为了方便，并非物理上的需要。

有些分量的组合在坐标轴转动时完全不变，它们被称为不变量。长度就是一个：把上面两条等式平方后相加，交叉项相消，${\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$，因此 ${\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=x^2+y^2$。更一般地，两个矢量的标量积$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y=AB\cos \gamma$（其中 $\gamma$ 为两箭头之间的夹角）在任何坐标轴上都相同。

以本课的船为例，船头正对着宽 60 m 的河的对岸。相对于水，它的速度为 $\vec{v}{}^{\prime }=(0,5)m/s$，水流为 $\vec{u}=(3,0)m/s$，相对于河岸的速度为 $\vec{v}=(3,5)m/s$，其大小为 $\sqrt{34}\approx 5.83m/s$。于是 $\vec{v}{}^{\prime }\cdot \vec{v}=0\cdot 3+5\cdot 5=25{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$，且 $\cos \gamma =25/(5\cdot 5.83)\approx 0.857$，得 $\gamma \approx 31^{\circ }$。这就是船头所指方向与船实际行进方向之间的夹角，仅凭分量即可求得，无需作图。把坐标轴转过 $\beta \approx 59^{\circ }$，使 $\bar{x}$ 沿着航迹，则对地速度读作 $(5.83,0)m/s$：数字不同，箭头相同，长度也相同。

因此，大小与方向并不完全足够。绕某个轴转动 90° 的书本既有轴又有角度，但绕不同轴的两次转动并不像矢量那样相加：交换顺序，书本会处于不同的位置，而 $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$。只有很小的转动才满足交换律，且只在一阶近似下成立。这就是为什么角速度（极小转动的变化率）是矢量，而有限转动不是。

改变参考系：伽利略变换

图 1 转动的是坐标轴。相对运动则要问：当坐标轴本身移动时会发生什么？从运动平台上测得的位置、速度和加速度与从地面测得的相比如何？答案就是伽利略变换，它告诉我们哪些量所有观察者都会取得一致。

图例

$S$	河岸系：黑色坐标轴静止于地面。
$S^{\prime }$	水系：紫色坐标轴与 $S$ 的平行，随水流漂移。
$\vec{u}t$	时间 $t$ 内 $S^{\prime }$ 的原点被带动的距离。	$\mathrm{m}$
$P$	时刻 $t$ 时的船。
$\vec{r}{}^{\prime }$	船在水系中的位置，从 $S^{\prime }$ 的原点测量。	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	船在河岸系中的位置，从 $S$ 的原点测量。	$\mathrm{m}$
$\vec{u}$	水系相对河岸系的速度：水流。	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	船相对水的速度。	$m/s$
$\vec{v}$	船相对河岸的速度。	$m/s$

参考系是一组坐标轴加上一只时钟。图 2 使用两个参考系。河岸系 $S$ 的黑色坐标轴固定在地面上。水系 $S^{\prime }$ 的紫色坐标轴与 $S$ 的平行，并以恒定速度 $\vec{u}$ 随水流漂移。两组坐标轴在 $t=0$ 时重合，且两个参考系读的是同一只时钟，因此 $t$ 在两者中意义相同。

图 2 左侧是时刻 $t$ 的快照。$S^{\prime }$ 的原点已沿河流被带动了 $\vec{u}t$ 的距离：对于 3 m/s 的水流，12 s 后即向下游 36 m。船在点 $P$，它从共同原点出发，正对对岸。在水系中，它位于离 $S^{\prime }$ 原点 $\vec{r}{}^{\prime }$ 处，即紫色坐标轴上方 60 m。在河岸系中，它位于离 $S$ 原点 $\vec{r}$ 处。三个箭头构成一个三角形：从 $S$ 原点直接到 $P$，等同于先到 $S^{\prime }$ 原点，再到 $P$。因此，在 $S^{\prime }$ 中位于 $\vec{r}{}^{\prime }$ 的点，在 $S$ 中位于
$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$

对 $t$ 求导。因为 $\vec{u}$ 为常量，$d(\vec{u}t)/dt=\vec{u}$，速度相加：
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$
对于从共同原点匀速运动的船，左图三角形的每一边都是 $t$ 乘以某个速度，因此将每一边都除以 $t$，就得到图 2 右侧的速度三角形。再求一次导。常量 $\vec{u}$ 的导数为零，因此它完全消失：
$\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }$

速度取决于观察者；加速度则不然。质量与力同样能取得一致，因此若 $\vec{F}=m\vec{a}$ 在 $S$ 中成立，那么它在 $S^{\prime }$ 中也成立。牛顿定律成立的参考系称为惯性系。结论是：任何相对于惯性系做匀速运动的参考系本身也是惯性系，而且在其内部完成的任何力学实验都无法揭示这种运动。这就是力学的相对性原理。伽利略用一艘平稳航行的船舱说明了这一点：从瓶中滴下的水滴会笔直落下，就像在港口时一样。

这种变换也是一种工具：在最简单的参考系中解决问题，然后再加上 $\vec{u}$。在水系中，河流就像一片静止的湖。船笔直地以 5 m/s 穿过，需要 $60/5=12\mathrm{s}$，而河岸则以 3 m/s 向上游滑过。36 m 的漂移不过是渡河期间滑过的那段河岸长度。同样的速度三角形也能使星光偏转。地球以 30 km/s 绕太阳运行，因此以光速 $c$ 到达的光，看起来来自偏转了至多 $v/c\approx 10^{-4}\mathrm{rad}$（约 20 角秒）的方向。这就是光行差，由詹姆斯·布拉德利在 1720 年代发现。

所有方向同时考虑：速度图

划船者只选择船头方向；水流是既定的。对于给定的目标，船能达到哪些对地速度，哪个方向最好？一张图，即速度图，可以同时回答所有方向的问题。这里画的是 $u<v^{\prime }$ 的情形，与本课中 3 m/s 的水流和 5 m/s 的划船者相同。

图例

$x$	沿河流的轴，指向下游。
$y$	垂直于河流的轴，指向对岸。
$O$	图的起点，$\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 由此开始。
$\vec{u}$	水流速度，从 $O$ 画出。	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	船相对水的速度：其长度始终为 $v^{\prime }$，因此其末端留在圆上。	$m/s$
$\vec{v}$	船相对河岸的速度，$\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$。	$m/s$
$\theta$	航向：$\vec{v}{}^{\prime }$ 相对正对方向（竖直虚线）向上游偏转的角度。	$\mathrm{rad}$

分三步作出图 3。首先从点 $O$ 画出水流 $\vec{u}$。接着把船相对于水的速度 $\vec{v}{}^{\prime }$ 接在 $\vec{u}$ 的箭头末端。它的长度固定为 $v^{\prime }$，但划船者可以任意指向，因此其末端可以位于以 $\vec{u}$ 末端为圆心、半径为 $v^{\prime }$ 的虚线圆上的任何位置。最后，对地速度 $\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$ 从 $O$ 延伸到圆上的那一点。

图中展示的是一个方向。过 $\vec{u}$ 末端的竖直虚线是正对对岸的方向，而 $\vec{v}{}^{\prime }$ 向其左侧（即上游方向）偏转了角度 $\theta$。现在看点 $O$ 的位置。由于 $u<v^{\prime }$，$O$ 位于圆内，因此从 $O$ 出发、朝任何方向的直线都会与圆相交：每一个 $\vec{v}$ 的方向都是可能的，包括正对对岸。圆顶给出最大的横向分量 $v^{\prime }$ 本身，因此过河最快。

要把图画转化为数值，使用图角上的坐标轴：$x$ 沿河流指向下游，$y$ 横穿河流指向对岸。向上游偏转即指向 $x$ 的负方向，因此
$\vec{v}{}^{\prime }=(-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta ),\vec{v}=(u-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta )$
只有横向分量 $v^{\prime }\cos \theta$ 才能使船跨过宽度 $d$，因此它决定过河时间。在此期间，沿河方向的分量使船向下游漂移 $x$：
$t(\theta )=\frac{d}{v^{\prime }\cos \theta },x(\theta )=\frac{(u-v^{\prime }\sin \theta )d}{v^{\prime }\cos \theta }$

无论水流如何，过河在 $\theta =0$ 时最快，此时 $\cos \theta$ 最大：$60/5=12\mathrm{s}$，漂移 $3\cdot 12=36\mathrm{m}$。当 $\vec{v}{}^{\prime }$ 的逆流分量抵消水流，即 $v^{\prime }\sin \theta =u$ 时，漂移为零。记此方向为 $\alpha$：$\sin \alpha =u/v^{\prime }=0.6$，所以 $\alpha \approx 36.9^{\circ }$。此时 $\cos \alpha =0.8$，对地速度为 $\vec{v}=(0,4)m/s$，恰为 3-4-5 三角形，过河需 $60/4=15\mathrm{s}$。介于两者之间的方向则是以时间换取漂移。在 $\theta =20^{\circ }$ 时，船用 $60/(5\cos 20^{\circ })\approx 12.8\mathrm{s}$ 过河，并在下游 $(3-5\sin 20^{\circ })\cdot 12.8\approx 16.5\mathrm{m}$ 处靠岸。这就是图 3 按比例画出的方向。

动画中“高级”图层的图表只显示横向运动。每条 $y(t)$ 都是直线，其斜率就是该船的横向速度：正对对岸的船为 5 m/s，经 12 s 到达虚线 $y=d$；而朝上游偏转 36.9° 的紫色船为 4 m/s，经 15 s 到达。该图无法显示漂移。在对岸，第一条船向下游靠岸 36 m，第二条船则恰好在其出发点的正对岸。

当水流不均匀时

到目前为止，水流处处相同。真实的河流中央最快，靠近河岸处几乎停止。这会改变船的靠岸位置吗？出人意料的是，影响很小，其原因值得一看。

取剖面 $u(y)=4u_{\mathrm{m}}(y/d)(1-y/d)$。它在两岸 $y=0$ 与 $y=d$ 处为零，并在河中央 $y=d/2$ 处达到最大值 $u_{\mathrm{m}}$；取 $u_{\mathrm{m}}=4.5m/s$。船头正对对岸的船，其横穿河流的速度仍为 $v^{\prime }$，因为水流只沿河流方向推动。因此 $y=v^{\prime }t$，它仍在 12 s 后过河。沿河方向，它的速度就是当地水流 $dx/dt=u(y)$。由于 $y$ 稳定增长，按 $y$ 而非 $t$ 追踪船更方便：由 $dt=dy/v^{\prime }$，每一小段横穿增加 $dx=u(y)dy/v^{\prime }$，对整个宽度求和得到
$x=\frac{1}{v^{\prime }}{\int }_0^{d}u(y)dy=\frac{\bar{u}d}{v^{\prime }}$
其中 $\bar{u}$ 是沿宽度的平均水流。

对于这条抛物线，平均值为 $\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{\mathrm{m}}=3m/s$，所以船仍在下游 36 m 处靠岸。不过它的路径现在是一条曲线。在两岸水流为零，船离岸和靠岸时都是直线横穿；在河中央它的倾斜最大，与正对岸方向成角 $\phi$，$\tan \phi =4.5/5$，约为 42°。决定漂移的只有沿宽度的平均水流。

固定船头的情形也是如此。船头朝上游偏 36.9° 时，相对于水以 3 m/s 向上游、4 m/s 横穿。靠近河岸时水流弱于 3 m/s，船在上游方向赢得地面；河中央水流更强，船失去地面。由于平均值恰为 3 m/s，船仍会在 15 s 后恰好到达对岸正对处，但途中它会在靠近第一岸处向上游偏移 4.3 m，而在靠近第二岸处向下游偏移 4.3 m。要全程保持直线，船头必须不断转动，使 $v^{\prime }\sin \theta =u(y)$ 在每一点都成立。河中央需要至多 64°，此时 $\sin \theta =0.9$，而横向速度变慢使过河约需 17.9 s。

例题：汛期的河流

暴雨后水流升至 $u=6.25m/s$，快于划船者的 5 m/s。船还能正对起点靠岸吗？如果不能，哪个船头方向让它最接近，代价是多少时间？

图例

$x$	沿河流的轴，指向下游。
$y$	垂直于河流的轴，指向对岸。
$O$	图的起点，$\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 由此开始。
$\vec{u}$	汛期水流速度，从 $O$ 画出。	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	最佳航向下船相对水的速度；其末端即切线与圆的切点。	$m/s$
$\vec{v}$	船相对河岸的速度，沿切线：漂移最小的方向。	$m/s$
$\theta$	最佳航向：$\vec{v}{}^{\prime }$ 与正对方向（竖直虚线）之间的夹角。	$\mathrm{rad}$

图 4 是图 3 的速度图，为汛期重画。箭头 $\vec{u}$ 现在比圆的半径 5 m/s 更长，因此 $O$ 位于圆外。于是从 $O$ 到圆上的每个箭头 $\vec{v}$ 都部分朝下游：不可能正对靠岸。公式也说明了这一点，它需要 $\sin \theta =u/v^{\prime }=6.25/5=1.25$。船头正对对岸仍给出最快的过河时间 12 s，但漂移达到 $6.25\cdot 12=75\mathrm{m}$。

哪个方向的漂移最小？船沿 $\vec{v}$ 运动，而漂移等于 $d$ 乘以 $\vec{v}$ 与正对岸方向之间夹角的正切。因此最佳的 $\vec{v}$ 是在仍能触及圆的前提下，向上游倾斜得最远的那个：即从 $O$ 作的圆的切线，在图 4 中画出。微积分也证实了这一点。用商法则对 $x(\theta )$ 求导，并利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$：
$\frac{dx}{d\theta }=\frac{u\sin \theta -v^{\prime }}{v^{\prime }{\cos }^2\theta }d=0\Rightarrow \sin \theta =\frac{v^{\prime }}{u}=0.8$

因此船朝上游偏 $\theta \approx 53.1^{\circ }$，即图 4 中标出的角，且 $\cos \theta =0.6$。它横穿的速度为 $5\cdot 0.6=3m/s$，沿河的速度为 $6.25-5\cdot 0.8=2.25m/s$。过河需 $60/3=20\mathrm{s}$，漂移为 $2.25\cdot 20=45\mathrm{m}$。一般地，$x_{\min }=d\sqrt{u^2-v^{\prime 2}}/v^{\prime }$。

图 4 中标出的直角并非偶然。圆的切线与接触点处的半径垂直，而这里的半径就是 $\vec{v}{}^{\prime }$，所以最佳的 $\vec{v}$ 与 $\vec{v}{}^{\prime }$ 垂直。标量积可以验证：$\vec{v}{}^{\prime }=(-4,3)m/s$，$\vec{v}=(2.25,3)m/s$，则 $(-4)(2.25)+3\cdot 3=0$。与船头正对对岸相比，船头偏向上游可节省 30 m 的漂移，代价是多花 8 s。

水系给出一个独立的核对。在那里，船以 5 m/s 沿其航向运动 20 s，位移为 $\vec{r}{}^{\prime }=(-80,60)\mathrm{m}$，而水流把一切带向下游 $6.25\cdot 20=125\mathrm{m}$。于是 $\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$ 给出靠岸点 $(45,60)\mathrm{m}$，与前面的结果一致。

适用范围的限制

$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ 基于两个假设：运动参考系保持恒定速度且不转动，所有观察者共用一只时钟和一把尺子。这两个假设各在某些情况下会失效，了解它们在何处失效是有用的。

设参考系 $S^{\prime }$ 相对于 $S$ 以 $\vec{A}$ 加速。变换会多出一项 $\frac{1}{2}\vec{A}{t}^2$，两次求导得 $\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }+\vec{A}$：观察者在加速度上不再一致。在以 2 m/s² 刹车的火车中，掉落的球相对于地面没有水平加速度，因此相对于火车，它向前偏斜，加速度为 2 m/s²，仿佛被某种并不存在的力推动。这类表观力称为虚拟力或惯性力。旋转参考系还会增加两种：离心加速度和科里奥利加速度。

地球就是这样一个旋转参考系，但它转得很慢，$\Omega \approx 7.29\times 10^{-5}rad/s$。对于以 5.83 m/s 运动、位于纬度 45° 的船，侧向科里奥利加速度 $2\Omega v\sin 45^{\circ }$ 约为 $6\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$。在 12 s 的过河中，它使船偏移 $\frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{-4}\cdot 12^2\approx 4\mathrm{cm}$。对于持续数日、覆盖数千公里的洋流和风暴，它却是决定性的。

更深一层，伽利略运动学假定所有观察者共用一只时钟，并且大家对长度的测量结果一致。光不遵从这一点：光速在每个惯性系中都是 $c\approx 3.00\times 10^{8}m/s$。狭义相对论以
$v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}$
取代沿一条直线的速度相加，其结果永远不超过 $c$。从以 $0.6c$ 运动的飞船上以 $0.6c$ 向前发射的探测器，速度为 $1.2c/1.36\approx 0.88c$，而不是 $1.2c$。对于本例中的船，修正量的数量级为 $v^{\prime }u/c^2\approx 1.7\times 10^{-16}$，远低于任何可测量的范围：伽利略速度相加是相对论定律的低速极限。

此后的发展

《抛体运动》把抛掷分解为匀速的水平运动与匀加速的竖直运动，二者彼此独立，正如船沿河与横穿河的运动。《牛顿运动定律》把 $\vec{F}=m\vec{a}$ 写成在此讨论的惯性系中成立的矢量定律。《圆周运动》通过矢量相减求出匀速率转动物体的加速度；《功、能与功率》则使用标量积 $W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$。《动量与碰撞》常借助这种伽利略平移转换到质心系；《声音与多普勒效应》则取决于声源与听者相对于空气的速度。

有一个问题仍然悬而未决。《运动电荷受到的磁场力》中含有速度项 $q\vec{v}\times \vec{B}$：这里的速度是相对于哪个参考系？《狭义相对论》给出答案：一旦放弃共用时钟，电场与磁场在不同参考系之间会相互混合。