引力即时空弯曲

入门

在没有空气的地方同时释放一把锤子和一根羽毛，它们会同时落地，就像宇航员曾在月球上做过的那样。无论物体的质量或材料如何，所有物体都以相同的加速度下落。1915 年，爱因斯坦把这一事实当作线索：如果一切都以相同方式下落，也许下落并不是施加在物体上的作用，而是时间与空间本身的性质。

轨道上的航天器并非摆脱了引力：它一直在绕地球下落，乘员和他们的铅笔也一起下落，因此会漂浮起来。现在想象一个封闭的舱室。如果舱室自由下落，你就会漂浮，仿佛引力消失了。如果舱室是在远离任何行星的地方加速飞行的火箭，你又会被压向地板，仿佛受到了引力。从舱内你无法分辨这两种情况：这就是等效原理。

爱因斯坦的答案是广义相对论：质量和能量使时空弯曲，而不受外力作用的物体会沿着弯曲时空中尽可能笔直的路径运动。动画中的橡皮膜就是这种图景：恒星使网格凹陷，蓝色小球绕着凹陷持续运动，金色光线则偏离虚线的直线方向弯折。

时间也会弯曲。恒星上的慢钟转三圈时，远处的快钟转了四圈。在地球上这种效应很微小，但 GPS 卫星必须对其进行修正，否则定位每天大约会偏移 10 km。推到极端情况，理论预言了能够囚禁光的黑洞，以及 2015 年首次探测到的引力波。

自测：一名宇航员漂浮在空间站内。那里没有引力吗？（其实引力几乎与地面一样强：她之所以漂浮，是因为她和空间站一起下落。）

中级

变化的是什么，我们测量什么

无论物体的质量或材料如何，所有物体都以相同的加速度下落：实验已将这一结论验证到约 $10^{15}$ 分之一的精度。爱因斯坦的广义相对论（1915 年）按字面意思理解这一点：如果运动与物体无关，那么它就属于时空。质量和能量使时空弯曲，而不受力的自由下落物体会沿其中尽可能笔直的路径运动。站在地面上的你是例外：地面把你从自由下落的路径上推开，你将这种推力感受为重量。

公式中出现两种时间。固有时 $\tau$ 是时钟在其所在位置显示的时间，那里的一切过程都与它同步进行。远处时间 $t$ 是位于远离所有质量处的静止时钟的读数，作为共同的参考。到质量 $M$ 中心的距离 $r$ 是按周长定义的，$r=C/2\pi$，因为在弯曲空间中，从中心铺设的尺子量得的数值会略大一些。常数 $G$ 与 $c$ 通过 $GM/c^2$ 进入公式，而它是一个长度。

施瓦西半径决定尺度

这个长度的两倍就是施瓦西半径，
$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

太阳的施瓦西半径为 2.95 km，地球的为 8.9 mm，它与质量成正比：质量为 10 个太阳质量的黑洞，其施瓦西半径为 29.5 km。被压缩到自身 $r_s$ 以内的物体，任何东西都无法再逃出来，连光也不例外，而 $r_s$ 就成为其事件视界的半径。太阳的半径为 696,000 km，对它而言，2.95 km 只是一个尺度，而不是表面。

比值 $r_s/r$ 衡量距离 $r$ 处引力的强弱：地球表面为 $1.4\times 10^{-9}$，太阳表面为 $4.2\times 10^{-6}$，中子星表面约为 0.34，视界处为 1。所有相对论修正都是这一量级，这就是牛顿理论在太阳系中如此适用的原因。

常用公式

四个公式可以回答大多数实际问题。第一个是精确的；其余三个只在弱引力下成立，其中第三个还只适用于远低于 $c$ 的速度：

• $\tau =t\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx \frac{gh}{c^2}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx -\frac{v^2}{2c^2}$
• $\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}$

第一个公式给出静止于距离 $r$ 处的时钟相对于远处时间的走时速率；在视界处它降为零。当 $r_s/r$ 较小时，平方根接近 $1-GM/(r{c}^2)$，因此在行星附近，位于 $r+h$ 处的时钟相对于位于 $r$ 处的时钟，以 $GMh/(r^2{c}^2)=gh/c^2$ 的比例变快，这就是第二个公式。高 1 m 的时钟快 $1.1\times 10^{-16}$；高 1 km 时，每天增加 9.4 ns。

第三个是狭义相对论给出的运动时钟变慢效应。各个相对变化率按其正负号相加：高度使时钟变快，速度使时钟变慢。第四个公式给出光线的偏折角：若光线沿直线传播时会在距离 $b$ 处经过中心（即瞄准距离）；用 $r_s$ 表示时为 $\delta =2r_s/b$，单位为弧度。擦着太阳边缘经过时，偏折为 1.75″，这是 1919 年日食期间测得的结果。把牛顿定律应用于速度为 $c$ 的粒子，只能得到一半的偏折量，另一半来自空间的弯曲。

例题：动画中的时钟与光线

动画有所夸大：其中恒星的半径仅为 $1.8r_s$。恒星上的时钟位于 $r_1=2.16r_s$，远处的时钟位于 $r_2=22r_s$，因此它们的速率分别为
$\sqrt{1-1/2.16}=\sqrt{0.537}\approx 0.733$
$\sqrt{1-1/22}=\sqrt{0.955}\approx 0.977$

二者之比为 $0.733/0.977=0.750$，恰好是 3/4。在一圈中，远处时间前进 $12.0/0.977=12.28\mathrm{s}$，因此远处的时钟显示 ${\tau }_2=12.0\mathrm{s}$，恒星上的时钟显示 ${\tau }_1=0.733\cdot 12.28=9.0\mathrm{s}$：这分别是红色 ${\tau }_1$ 与绿色 ${\tau }_2$ 读数的最终值。每根指针按自身时间每 3 s 转一圈：恒星上转三圈，远处转四圈。

金色光线在 $b=8r_s$ 处经过。弱场公式给出 $\delta \approx 2/8=0.25\mathrm{rad}$，即 14.3°，但图中画出的精确路径偏折了 17.8°：离恒星这么近时，该公式已不够精确。蓝色小球绕行于 $r=10.4r_s$ 处。由于 $GM=r_s{c}^2/2$，其速度 $\sqrt{GM/r}$ 为 $c/\sqrt{20.8}\approx 0.22c$，即牛顿的圆轨道速度值；若以远处的秒计时，此处它是精确的。

例题：GPS 时钟

导航卫星在距地面 20,200 km 的轨道上运行，距地心 $r=6371+20200=26571\mathrm{km}$，而地面时钟位于地球半径 $R=6371\mathrm{km}$ 处。对地球而言 $GM/c^2=4.435\mathrm{mm}$。比较两个半径处的速率，卫星时钟相对地面时钟增快的比例为
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=4.435\mathrm{mm}\times \left(\frac{1}{6371\mathrm{km}}-\frac{1}{26571\mathrm{km}}\right)\approx 5.29\times 10^{-10}$
在 86,400 s 的一天中累积为 $+45.7\mu \mathrm{s}$。

卫星的速度为 $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{3.986\times 10^{14}/(2.657\times 10^7)}\approx 3.87km/s$，这使其时钟变慢 $v^2/(2c^2)\approx 8.3\times 10^{-11}$，即每天 $-7.2\mu \mathrm{s}$。净效应为 $+45.7-7.2=+38.5\mu \mathrm{s}$ 每天。定位依赖于信号的传播时间，而光在这段时间内传播 $c\cdot 38.5\mu \mathrm{s}\approx 11.5\mathrm{km}$，因此若不加修正，定位结果会在一天之内偏移数公里。卫星时钟因此被设计成走得慢约 $4.5\times 10^{-10}$。

读懂橡皮膜图

网格代表轨道平面，凹陷的深度与牛顿引力势 $\Phi =-GM/r$ 成比例（在恒星附近经过平滑处理）。深度也表明时钟变慢的程度，因为在弱场中 $d\tau /dt\approx 1+\Phi /c^2$。虚线灰线是没有恒星时光线的路径，黑色线段标出 $b$，$\delta$ 标注该直线与金色光线之间的夹角。专家视图还以紫色虚线路径加入了牛顿的预测。

应把这张膜看作图画，而非理论本身。真实的凹陷中，小球之所以滚入，只是因为地球引力把它向下拉，因此这个类比是用引力来解释引力。它还只显示了空间的弯曲，而对于缓慢运动的物体，几乎全部引力都来自时间的弯曲；空间弯曲主要对光这类高速物体才重要。

常见错误

• 以为身旁的慢钟会让人感觉时间变慢。在 $2.16r_s$ 处的恒星时钟旁边，你的手表、心跳和原子都正常运行；只有通过比较才能看出：你变老了 9 年，而远处的观测者变老了 12 年。
• 搞错 GPS 的正负号。引力较弱使卫星时钟每天增加 45.7 µs，速度使其每天减少 7.2 µs，因此净值为 +38.5 µs，而不是 52.9 µs。
• 在大高度下仍使用 $gh/c^2$。对 GPS 而言，它给出 $9.81\cdot 2.02\times 10^7/c^2\approx 2.2\times 10^{-9}$，是正确值的四倍，因为 $g$ 会随高度减小；应改用 $GM/c^2(1/R-1/r)$。
• 把 $r_s$ 当作天体的大小，或把黑洞想象成吸尘器。太阳的 2.95 km 深藏在太阳内部，而质量与太阳相同的黑洞会使地球轨道保持不变，因为在质量之外，只有 $M$ 起作用。

应用之处

每一次卫星导航定位都依赖这些修正，而光学原子钟现在能察觉仅几厘米的高度变化。引力透镜放大遥远的星系，并描绘出看不见的暗物质。自 2019 年起，黑洞的阴影已被成像，而合并黑洞产生的引力波自 2015 年起已被记录。

本课把《狭义相对论》（提供固有时与速度项）与《万有引力与轨道》（即其弱场极限）联系起来。并且，正如《裂变、聚变与 E = mc²》所示，能量具有质量，因此每一种形式的能量都会使时空弯曲，包括光和压强在内。

高级

从内部测量曲率

生活在空间之中的存在，如何在不跳出空间的情况下判断它是否弯曲？它们可以测量。在某些物质周围画一个球面，并测量其表面积 $A$。在平直空间中，面积决定半径：$A=4\pi r^2$，因此半径必为 $\sqrt{A/4\pi }$。现在直接测量半径：从中心到球面首尾相接地铺设尺子。如果尺子的读数大于 $\sqrt{A/4\pi }$，说明空间是弯曲的，而这一差值（称为超额半径）就表示弯曲的程度。

图例

$M$	球面内的质量。	$\mathrm{kg}$
$A$	圆环所代表的球面面积。	${\mathrm{m}}^2$
$\sqrt{A/4\pi }$	面积为 $A$ 的平直空间给出的半径。	$\mathrm{m}$
$r$	沿薄膜从 $M$ 铺设尺子直至圆环所测得的半径。	$\mathrm{m}$
$\Delta r$	超额半径 $r-\sqrt{A/4\pi }$；对于大致均匀密度的物质，它等于 $GM/(3c^2)$。	$\mathrm{m}$

图 1 展示的是低一维的同一测试，以便于绘制。弯曲的薄膜代表空间，圆环代表面积为 $A$ 的球面，质量 $M$ 位于凹陷的底部。薄膜被画成球面的一部分，因为这正是均匀密度物质内部空间的形状。先看虚线：它是从轴到圆环的水平距离，即平直空间中对于这样大小的圆环会给出的半径 $\sqrt{A/4\pi }$。现在沿着标有 $r$ 的曲线看：从 $M$ 铺向圆环的尺子不能穿过凹陷，只能沿着薄膜的斜坡铺设，因此读数更长。下方的横条把两段长度并列表示：$r=\sqrt{A/4\pi }+\Delta r$。多出的部分 $\Delta r$ 就是生活在薄膜上的存在所测得的超额半径。

爱因斯坦引力定律以其最简单的形式给出了这一超额的数值。取一个围绕大致均匀密度物质的小球面，球内质量为 $M$。那么测得的半径会比平直空间的值多出
$\Delta r=r-\sqrt{A/4\pi }=\frac{GM}{3c^2}$

这里 $G$ 是牛顿引力常量，$c$ 是光速。由于 $G/c^2$ 极小，这一效应也极其微弱。若将地球视为均匀体，$GM/c^2=4.435\mathrm{mm}$，因此超额半径仅约 1.5 mm；对木星而言则为 0.47 m。任何测量都无法探测到这些数值。该规律的威力在于其普适性。

完整的定律要求对每一个小球面、围绕每一个事件（某一时刻空间中的一点）以及每一位观测者（无论其如何运动）都成立。要同时写出所有这些条件，需要三个要素。度规是一张对照表，它把坐标中的步长换算为时钟与尺子实际测得的时间与长度。爱因斯坦张量 $G_{\mu \nu }$ 汇集了曲率；它由度规的二阶导数构成，正如曲线的弯曲来自其函数图像的二阶导数。应力-能量张量 $T_{\mu \nu }$ 汇集了能量与动量的密度和流动。于是定律写为
$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

曲率位于左侧，物质位于右侧。耦合常数 $8\pi G/c^4\approx 2.1\times 10^{-43}{\mathrm{N}}^{-1}$ 极其微小，因此时空非常“刚硬”：即使能量密度极大，也只能产生轻微的弯曲。在真空中 $T_{\mu \nu }=0$，因此 $G_{\mu \nu }=0$，然而那里的时空并非平直的，因为 $G_{\mu \nu }$ 只包含了曲率的一部分。剩下的部分是潮汐场，它会沿着指向质量的方向拉伸下落的尘埃云，并在侧向挤压它。

由等效原理得到的时钟速率

引力不仅使空间弯曲，还会改变时间的流逝速率，使位置更高的时钟走得更快。仅凭等效原理即可推出这一点：在一个小的封闭房间内，任何实验都无法区分均匀引力场与匀加速运动。

图例

$g$	左图为火箭的加速度；右图为地面上引力场的强度，方向向下。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$c$	从舱底时钟发出至舱顶时钟的光脉冲速度。	$m/s$
$h$	舱室的高度：两只时钟之间的距离。	$\mathrm{m}$
$gh/c$	脉冲上升期间舱顶获得的速度；它决定多普勒频移 $gh/c^2$。	$m/s$

图 2 以两种方式讲述了这一论证。先看左侧。在远离任何行星的地方，一个高度为 $h$ 的火箭舱以加速度 $g$ 向上加速，舱底和舱顶各有一个时钟。舱底的时钟以速度 $c$ 向上发出一个光脉冲。该脉冲需要约 $h/c$ 的时间才能到达，而在这段时间内，舱顶也在加速，速度增加了 $g\cdot (h/c)$。因此，当它接收到脉冲时，舱顶远离的速度比发出脉冲时舱底的速度快，快出的部分为 $gh/c$（顶部的短箭头）。远离的接收者看到的光会发生多普勒频移，频率降低，降低的比例为（速度）/$c$，此处即 $gh/c^2$。

假设舱底时钟每走一个刻度发出一个脉冲。途中没有丢失任何脉冲，但舱顶接收脉冲的频率比其自身时钟的走时频率低，低的比例为 $gh/c^2$。从舱顶向下发出的脉冲会以更高的频率到达，因为舱底正朝它们运动。因此舱内所有人都同意：舱顶的时钟走得快，舱底的时钟走得慢，相差的比例为 $gh/c^2$。

右侧是同一个舱室静止在地面上，处于方向向下、强度为 $g$ 的引力场中。依等效原理，舱内无法区分这个房间与火箭舱，因此结果必然相同：在引力场中，高出 $h$ 的时钟走得快 $gh/c^2$。

在地面附近，$gh$ 就是引力势 $\Phi$（单位质量的势能）的增量。因此，只要将远处的势取为零，该规律对任意静态势都成立。当远处的时钟记录时间 $dt$ 时，处于势 $\Phi$ 处的静止时钟记录的是它自身的固有时 $d\tau$，且
$\frac{d\tau }{dt}\approx 1+\frac{\Phi }{c^2}$

由于 $\Phi$ 在质量附近为负，那里的时钟走得慢。围绕质量 $M$ 时，$\Phi =-GM/r$，该规律是下文给出的精确速率 $\sqrt{1-r_s/r}\approx 1-GM/(r{c}^2)$ 的一阶形式，其中 $r_s=2GM/c^2$ 是该质量的施瓦西半径。

能量守恒给出相同的结果。能量为 $E$ 的光具有质量 $E/c^2$，因此它在下落高度 $h$ 的过程中获得能量 $Egh/c^2$，即其能量的 $gh/c^2$ 比例；上升时则失去这一比例。光子的能量与其频率成正比，因此其频率按相同比例降低。

庞德和雷布卡于 1960 年在 22.5 m 高的塔上测得了这一频移：比例仅为 $2.5\times 10^{-15}$。1976 年，一台氢脉泽钟被送上约 10,000 km 的高度，以更高的精度证实了这一结果。

轨道时钟图

卫星携带时钟，对它们而言两种效应都很重要：高度使时钟走得快，速度使时钟走得慢。专家图将两者同时应用于半径为 $r$（自地心算起）的圆轨道上的时钟，并与位于地球半径 $R$ 处的地面时钟进行比较。

高度：引力势从地面的 $-GM/R$ 升至轨道上的 $-GM/r$，因此依上述规律，轨道时钟每秒增快 $GM/c^2(1/R-1/r)$ 的比例（绿色曲线）。速度：狭义相对论以因子 $\sqrt{1-v^2/c^2}\approx 1-v^2/(2c^2)$ 使运动时钟变慢，而在圆轨道上 $v^2=GM/r$，因此时钟每秒损失 $GM/(2r{c}^2)$ 的比例（蓝色曲线）。总量（红色曲线）为
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{3}{2r}\right)$

图中将这些比例乘以一天的 86,400 秒。贴地轨道（$r=R$）处不因高度获得任何增益，每天损失 30.1 µs，全部来自速度。随着高度增加，绿色增益升至每天 60.1 µs，即无限远处时钟的值，而蓝色损失则按 $1/r$ 减小。红色曲线在 $1/R=3/(2r)$ 处过零，即 $r=1.5R$，约为 3,190 km 的高度：较低的轨道会损失时间，较高的轨道则获得时间。位于 400 km 高处的空间站每天损失 24.7 µs，因此宇航员在上面待六个月，会比地面上的人年轻约 4.5 ms。约 20,200 km 高的 GPS 时钟每天增快 38.5 µs，而图的右端在 25,000 km 处达到 41.8 µs。

作为最长固有时的自由下落

牛顿用力来描述下落。广义相对论则用一条关于时钟的规律取代了力：在两个事件之间，自由物体沿着使自身时钟记录时间最长的世界线（即它在时空中的路径）运动。在平直时空中，这条世界线是匀速直线的；这正是《狭义相对论》中那位掉头返回的旅行双胞胎回到家时更年轻的原因。

在地面附近，两种效应相互竞争，正如上一节所述：高度使时钟以 $gh/c^2$ 的比例变快，速度使时钟以 $v^2/(2c^2)$ 的比例变慢。因此，沿着高度为 $h(t)$、速度为 $v(t)$ 的路径，固有时为
$\tau =\int \left(1+\frac{gh}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\right)dt$

高度带来收益，速度则付出代价。最优路径应爬升到足够高以获取时间，但又不能快到其速度抵消了所获得的收益。

图例

$t$	抛出后的时间。	$\mathrm{s}$
$h$	球在地面以上的高度。	$\mathrm{m}$
$T$	从抛出到接住的时间。	$\mathrm{s}$
$H_1$	低路径的最高点，$H_2/2$。	$\mathrm{m}$
$H_2$	自由下落路径的最高点，$g{T}^2/8$。	$\mathrm{m}$
$H_3$	高路径的最高点，$2H_2=g{T}^2/4$。	$\mathrm{m}$
$H$	路径的最高点。	$\mathrm{m}$
$\Delta \tau$	沿路径运动的时钟相对于留在地面的时钟所获得的固有时。	$\mathrm{s}$

图 3 用一个向上抛出、经过时间 $T$ 后接住的球来检验这一规律。左图展示了同一对事件之间的三条路径，它们都是拱形曲线 $h=4H(t/T)(1-t/T)$，仅在最高点高度 $H$ 上有所不同：一条较低的路径 $H_1$；球实际遵循的自由下落路径 $H_2$；以及一条较高的路径 $H_3$。哪一条能让随之运动的时钟获得最多的时间？

通过对飞行过程中的两项取平均，计算运动时钟相对于留在地面的时钟所多获得的时间 $\Delta \tau$。这种拱形路径的平均高度为其最高点的三分之二，即 $2H/3$。速度为 $v=dh/dt=(4H/T)(1-2t/T)$，而 $(1-2t/T{)}^2$ 在整个飞行过程中的平均值为 $1/3$，因此 $v^2/2$ 的平均值为 $8H^2/(3T^2)$。将每个平均值乘以飞行时间 $T$，再除以 $c^2$，得到
$\Delta \tau =\frac{T}{c^2}\left(\frac{2}{3}gH-\frac{8H^2}{3T^2}\right)$

右图以 $H$ 为横轴绘出该增益：是一条倒置的抛物线。其斜率 $2g/3-16H/(3T^2)$ 为零处即为峰值，位于 $H_2=g{T}^2/8$。这恰好是自由下落的高度：在重力作用下上升 $T/2$ 时间的球，爬升高度为 $\frac{1}{2}g(T/2{)}^2=g{T}^2/8$。当 $T=3\mathrm{s}$ 时，峰值为 11.0 m，增益为 $g^2{T}^3/(24c^2)\approx 1.2\times 10^{-15}\mathrm{s}$。较低的路径 $H_1$ 高度只有一半，其增益为该值的四分之三。路径 $H_3=g{T}^2/4$ 高度为两倍，增益为零：其多出的速度恰好抵消了高度带来的好处。

同样的论证适用于任意势，只需将 $gh$ 替换为 $\Phi$。将被积函数乘以 $-m{c}^2$：积分变为 $\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$。第一项对每条路径增加的量相同，因此使 $\tau$ 最大等价于使 $\int (\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$ 最小。这正是牛顿力学的最小作用量原理，其运动方程为 $\vec{a}=-\nabla \Phi$。质量 $m$ 从方程中消去，因此所有物体都以相同方式下落：自由下落的普适性已内含于几何之中。严格来说，$\tau$ 只是相对于邻近路径的极大值。

施瓦西几何

到目前为止的规律都是弱场近似。在球对称、不自转的质量（如恒星或黑洞）之外，场方程有一个精确解，由卡尔·施瓦西于 1916 年求得。这是一个度规：它根据两个邻近事件的坐标间隔给出二者之间的固有时 $d\tau$，
$c^{2}d{\tau }^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-r_s/r}-r^{2}d{\Omega }^2$

这里 $t$ 是远处时钟的时间，选取 $r$ 使得围绕中心的圆周长为 $2\pi r$，$d\Omega$ 是从中心看两个事件之间的微小角度，且 $r_s=2GM/c^2$。由此可立即得到两个结论。对于静止的时钟，$dr=d\Omega =0$，度规给出 $d\tau =\sqrt{1-r_s/r}dt$：即精确的时钟速率。对于沿径向铺设的尺子，$dt=d\Omega =0$，它所测得的长度为 $dr/\sqrt{1-r_s/r}$，比 $dr$ 更长。这种径向距离的拉伸就是第一节中的超额半径。

光线的弯折

经过质量附近的光线会发生弯折，而弯折的大小正是广义相对论有别于牛顿理论之处：牛顿的推理只能给出所观测到的偏折量的一半。

图例

$M$	使光线偏折的质量。	$\mathrm{kg}$
$b$	瞄准距离：$M$ 到光线入射直线的距离。	$\mathrm{m}$
$c$	光速，沿光线方向。	$m/s$
$\delta$	广义相对论中的偏折角，$4GM/(c^{2}b)=2{\delta }_N$。	$\mathrm{rad}$
${\delta }_N$	仅来自时间部分的偏折角，如牛顿理论：$2GM/(c^{2}b)$。	$\mathrm{rad}$

图 4 追踪一束经过质量 $M$ 旁的光线。在左侧远处，光线以速度 $c$ 沿直线传播；瞄准距离 $b$ 是 $M$ 到这条入射直线的距离。在右侧远处，两条画出的路径再次沿虚线成为直线，但方向已经偏转：一条偏转角为 ${\delta }_N$，另一条为 $\delta$，是前者的两倍。本节其余部分将解释这个二倍因子。

光沿 $d\tau =0$ 传播。以 $u=1/r$ 描述其路径，将其表示为绕质量的角度 $\phi$ 的函数，其中撇号表示 $d/d\phi$。在施瓦西度规中令 $d\tau =0$，并利用守恒的能量与角动量，得到
$u^{\prime \prime }+u=\frac{3GM}{c^2}{u}^2$

若没有右边的项，解就是一条直线；右边的小项使其弯曲。这正是动画中为金色光线积分求解的方程。

要看清这个二倍因子，可以看弱场中的度规。此时 $c^{2}d{t}^2$ 前的因子为 $g_{tt}\approx 1+2\Phi /c^2$，空间步长平方前的因子为 $g_{rr}\approx -(1-2\Phi /c^2)$：二者与平直空间的偏离量相同，均为 $2\Phi /c^2$。慢速物体单位时间内穿过的空间极少，因此只有时间部分对其起作用，而这一部分单独就给出牛顿引力。若将时间部分单独应用于光，将得到偏折角 ${\delta }_N=2GM/(c^{2}b)$，即牛顿理论对速度为 $c$ 的粒子给出的角度。然而光穿过的空间与时间一样多，$|d\vec{x}|=cdt$，因此空间部分对它的作用与时间部分同样强，偏折量加倍：
$\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}=2{\delta }_N$

由于 $4GM/c^2=2r_s$，这也可写为 $\delta =2r_s/b$。在动画中，光线在 $b=8r_s$ 处经过：牛顿的紫色路径偏折 7.2°，本公式给出 $0.25\mathrm{rad}=14.3°$，而精确的金色光线偏折了 17.8°，因为离质量如此之近，弱场公式已不够精确。在太阳边缘，$b\approx 2.4\times 10^5{r}_s$，本公式给出 1.75″，射电望远镜已将其证实到优于 0.1%。

水星与强场半径

对于行星，其轨道方程中出现了同样的附加项 $u^{\prime \prime }+u=GM/{\ell }^2+3GM{u}^2/c^2$，其中 $\ell$ 为单位质量的角动量。若没有最后一项，解为牛顿椭圆，每转一圈即闭合。附加项使椭圆在每一圈中都略微向前转动：其离太阳最近的点向前推进
$\Delta \phi =\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$

其中 $a$ 为椭圆的半长轴，$e$ 为其偏心率。对于水星，取 $a=5.79\times 10^{10}\mathrm{m}$ 与 $e=0.206$，每圈的进动为 $5.0\times 10^{-7}\mathrm{rad}$，即一个世纪的 415 圈中合计 43″：恰好是其他行星的引力无法解释的那一部分水星近日点进动。

在强场中，同样的方程划出三个特征半径。在视界 $r_s$ 处，静止时钟的速率 $\sqrt{1-r_s/r}$ 降为零。在光子球 $1.5r_s$ 处，光可以绕质量运行，但这种运行是不稳定的。在最内层稳定圆轨道 $3r_s$ 处，稳定轨道终止；它构成了黑洞周围热气体盘的内边缘。

例题：骑在小球上的时钟

轨道上的时钟究竟运行得多快？在动画中的蓝色小球上放一只时钟，它以角速度 $\omega$ 绕恒星运行，半径为 $r=10.4r_s$。以远处时间计，在此几何中圆轨道的开普勒定律精确成立：${\omega }^2=GM/r^3$。在轨道上 $r$ 保持不变，因此 $dr=0$，角度前进 $d\Omega =\omega dt$。将这些代入度规并除以 $c^{2}d{t}^2$，得到
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}-\frac{r^2{\omega }^2}{c^2}}$

利用开普勒定律和 $GM=r_s{c}^2/2$，最后一项为 $r^2{\omega }^2/c^2=GM/(r{c}^2)=r_s/(2r)$，因此
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}$
在 $r=10.4r_s$ 处，它等于 $\sqrt{1-1.5/10.4}=\sqrt{0.856}\approx 0.925$。

一圈需要 12.28 s 的远处时间，因此小球上的时钟读数为 $0.925\cdot 12.28\approx 11.4\mathrm{s}$。比较动画中两只静止的时钟。位于 $22r_s$ 处的远处时钟以 $\sqrt{1-1/22}=0.977$ 运行，读数为 12.0 s；位于 $2.16r_s$ 处的恒星时钟以 0.733 运行，读数为 9.0 s。小球上的时钟落后于远处的时钟，但仍远远领先于恒星时钟。

速率可以按两种效应分解为两个因子。引力因子 $\sqrt{1-1/10.4}=0.951$ 是位于该半径处静止时钟的速率。运动因子 $\sqrt{1-0.231^2}=0.973$ 是狭义相对论对轨道旁静止观测者所测得的速度 $0.231c$ 造成的变慢。二者之积为 $0.951\cdot 0.973\approx 0.925$。这一速度超过了牛顿值 $\sqrt{GM/r}=0.219c$，原因在于静止观测者自身的时钟走得慢，因此他用更少的秒数为小球计时。

现在比较轨道时钟与静止于半径 $R$ 处的时钟，后者的速率为 $\sqrt{1-r_s/R}$。当 $1-3r_s/(2r)>1-r_s/R$，即 $r>1.5R$ 时，轨道时钟走得更快。这就是红色地球曲线的零点，位于 3,190 km 的高度，但此处的结果是精确的，在强场中同样成立。对于位于 $2.16r_s$ 处的恒星时钟，其临界轨道（两者持平）位于 $3.24r_s$，恰好在最后一个稳定轨道 $3r_s$ 的外侧。

适用范围的限制

弱场公式要求 $r_s/r\ll 1$ 且 $v\ll c$。在动画中的恒星附近，它们明显失效：对于恒星时钟，弱场速率 $1-r_s/(2r)$ 给出 0.769，而精确值为 0.733；偏折公式与精确的 17.8° 相差 3.5°。在太阳系中，误差量级为 $(r_s/r{)}^2$，即使在太阳表面也只有约 $2\times 10^{-11}$。中子星则不同：其内含 1.4 个太阳质量，半径为 12 km，因此 $r_s/r=0.34$，其表面的时钟以 0.81 运行。地球图还忽略了一个小效应，即地面时钟随地球自转的运动，其大小约为每天 0.1 µs。

迄今为止，该理论已通过了所有检验：太阳附近的光线偏折和无线电延迟、水星轨道、时钟、双星脉冲星轨道的衰减，以及自 2015 年起的引力波。首次探测到的引力波来自两个分别约为 36 和 29 个太阳质量的合并黑洞；它使 LIGO 探测器那 4 km 长的臂改变了约 $4\times 10^{-18}\mathrm{m}$。

真正的极限来自量子力学。该理论预言了奇点：在黑洞内部以及膨胀宇宙的起点，曲率会无限增长。在此之前很久，即接近普朗克长度 $\sqrt{\hslash G/c^3}\approx 1.6\times 10^{-35}\mathrm{m}$ 时，引力的量子效应必定接管，而目前尚无经过检验的理论能够描述它们。

延伸方向

《狭义相对论》是平直、无引力的极限，其双生子效应在此以最长固有时的规律重新出现。《万有引力与轨道》则是弱场、低速的极限。正如加速运动的电荷会在《电磁波》中辐射电磁波一样，加速运动的质量以 $c$ 辐射引力波，不过只能通过变化的四极矩辐射，因为动量守恒禁止偶极辐射。《裂变、聚变与 E = mc²》解释了为何每一种形式的能量都计入 $T_{\mu \nu }$。

与量子理论结合后，黑洞应当像《黑体辐射与量子》中的黑体那样发光，其温度为 $T=\hslash c^3/(8\pi GM{k}_B)$，对于一个太阳质量的黑洞约为 $6\times 10^{-8}\mathrm{K}$。《粒子与相互作用：标准模型》描述了除引力之外所有已知的相互作用；将二者统一起来，是一个重大的未解问题。