Корпускулярно-волновой дуализм

Начальный

Учёные веками спорили о природе света. Пройдя через две узкие щели, свет рисует светлые и тёмные полосы — так умеют только волны. Но когда свет выбивает электроны из металла (фотоэффект), он ведёт себя как град крошечных порций энергии — фотонов. Каждая порция несёт энергию $E=hf$, где $f$ — частота, задающая цвет, а $h$ — очень маленькое постоянное число, постоянная Планка; поэтому фиолетовый фотон несёт больше энергии, чем красный. Свет — не просто волна и не просто поток частиц.

Электроны, которые мы представляем крошечными шариками, обладают той же двойственной природой. Проследите за анимацией шаг за шагом.

Шаг 1. Пушка выпускает электроны по одному, так редко, что в пути всегда только один. Каждый попадает в экран в одном месте и оставляет одну точку, как шарик, попавший в мишень. Пока это частицы.

Шаг 2. Куда упадёт следующая точка — дело случая. Но через несколько сотен точек проявляется картина: светлые полосы, разделённые почти пустыми промежутками. Это признак волн от двух щелей, которые в одних местах складываются, а в других гасят друг друга, как круги на воде.

Шаг 3. Электроны летят поодиночке, и интерферировать им не с кем. Значит, волна каждого электрона проходит сразу через обе щели.

Шаг 4. Поставьте у щелей детектор, чтобы видеть, через какую щель летит каждый электрон, — полосы исчезают, и точки собираются в одно ровное пятно.

Проверьте себя: опыт остановили после пяти электронов. Видны ли полосы? (Нет: только пять разбросанных точек. Для полос нужно много точек.)

Запомните: квантовые объекты распространяются как волны, а регистрируются как частицы.

Средний

Один электрон — одна точка

На анимации электронная пушка посылает электроны на стенку с двумя узкими щелями, а экран за ней регистрирует каждое попадание. В пути одновременно находится только один электрон: первые шесть показаны в полёте, потом анимация ускоряется, и счётчик быстро растёт. Каждое попадание — одна точка: электрон целиком, со всем своим зарядом, регистрируется в одном месте. И всё же после нескольких сотен попаданий точки собираются в яркие полосы, разделённые почти пустыми промежутками, — в интерференционную картину, какую свет даёт за двумя щелями.

У электрона есть импульс $p=mv$ и кинетическая энергия $E$, которую выражают в электронвольтах: $1\mathrm{эВ}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$ — энергия, которую электрон приобретает, пройдя разность потенциалов 1 В. Щели находятся на расстоянии $d$ друг от друга, экран — на расстоянии $L$ за ними, а $\Delta y$ — расстояние между соседними светлыми полосами.

Длина волны де Бройля

Свет — волна, но урок «Фотоэффект» показал, что он приходит и порциями — фотонами с энергией $E=hf$ и импульсом $p=h/\lambda$ у каждого. В 1924 году Луи де Бройль перевернул эту идею и предположил, что у любой частицы с импульсом $p$ есть длина волны
$\lambda =\frac{h}{p}$

Здесь $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$ — постоянная Планка. Поскольку $h$ ничтожно мала, длина волны заметна лишь у частиц очень малой массы при умеренных скоростях: у электронов, нейтронов, атомов. Синяя волна перед щелями изображает эту волну материи: не рябь «вещества» электрона, а волну вероятности.

У медленной частицы кинетическая энергия $E=\frac{1}{2}m{v}^2$, а так как $p=mv$, это $E=p^2/(2m)$, поэтому
$p=\sqrt{2mE}$

Электрон, разогнанный из состояния покоя напряжением $V$, приобретает энергию $E=eV$, где $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$ — модуль его заряда. Если энергию увеличить вчетверо, импульс вырастет вдвое, а длина волны уменьшится вдвое.

От энергии к расстоянию между полосами

За щелями две части волны материи перекрываются и интерферируют, как свет в уроке «Дифракция и опыт Юнга»: там, где разность хода равна целому числу длин волн, попадает много электронов, а там, где она равна нечётному числу полуволн, — почти ни одного. Для малых углов получается цепочка из трёх уравнений, которая решает большинство задач:

• $\lambda =\frac{h}{p}$
• $p=\sqrt{2mE}$
• $\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$

Энергия даёт импульс, импульс — длину волны, а длина волны — расстояние между полосами. У более быстрых электронов длина волны короче, а полосы уже; чем ближе друг к другу щели и чем дальше экран, тем шире полосы. Последнее уравнение — формула опыта Юнга для света, в которую подставлена длина волны де Бройля.

Пример: электроны из анимации

У электронов на анимации $E=50\mathrm{эВ}$. Переведём энергию в джоули, найдём импульс при $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{кг}$, а затем длину волны:
$E=50\cdot 1,602\times 10^{-19}=8,01\times 10^{-18}\mathrm{Дж}$
$p=\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 8,01\times 10^{-18}}=3,82\times 10^{-24}\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\lambda =\frac{6,626\times 10^{-34}}{3,82\times 10^{-24}}=1,73\times 10^{-10}\mathrm{м}=0,173\mathrm{нм}$

Это те самые 0,17 нм на синем числовом индикаторе — примерно расстояние между атомами в кристалле. Скорость $v=p/m=4,2\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$ составляет всего 1,4 % скорости света, поэтому в формуле $p=\sqrt{2mE}$ релятивистскими поправками можно пренебречь.

Рисунок подписан «не в масштабе». Допустим, настоящие щели находятся на расстоянии $d=0,50\mathrm{мкм}$, а экран — на расстоянии $L=2,0\mathrm{м}$. Тогда
$\Delta y=\frac{1,73\times 10^{-10}\cdot 2,0}{0,50\times 10^{-6}}=6,9\times 10^{-4}\mathrm{м}=0,69\mathrm{мм}$

Фиолетовая метка $\Delta y$ рядом с экраном обозначает это расстояние. Если смотреть от щелей, соседние полосы разделяет угол всего $\lambda /d=3,5\times 10^{-4}\mathrm{рад}$, то есть 0,02°, поэтому для интерференции электронов нужны щели тоньше микрометра, длинный путь полёта или электронные линзы, увеличивающие картину.

Пример: одна длина волны, три частицы

Чтобы увидеть, как атомы расположены в кристалле, нужна длина волны, близкая к расстоянию между ними. Какую энергию должны иметь фотон, электрон и нейтрон, чтобы $\lambda =0,173\mathrm{нм}$ — значение из анимации?

Всем троим нужен один и тот же импульс, $p=h/\lambda =3,82\times 10^{-24}\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, но связь импульса с энергией у них разная. У фотона $E=pc$:
$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,626\times 10^{-34}\cdot 3,00\times 10^8}{1,73\times 10^{-10}}=1,15\times 10^{-15}\mathrm{Дж}=7,2\mathrm{кэВ}$
Это рентгеновский фотон. Электрону нужны 50 эВ, как выше. Для нейтрона с массой $m=1,675\times 10^{-27}\mathrm{кг}$
$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{(3,82\times 10^{-24}{)}^2}{2\cdot 1,675\times 10^{-27}}=4,36\times 10^{-21}\mathrm{Дж}=0,027\mathrm{эВ}$

Одна и та же длина волны обходится в 7,2 кэВ, 50 эВ или 0,027 эВ — разница в 260 000 раз, потому что длину волны задаёт импульс, а более тяжёлая частица набирает данный импульс при гораздо меньшей кинетической энергии. Нейтрон, летящий всего со скоростью $p/m=2280\mathrm{м}/\mathrm{с}$, обладает примерно тепловой энергией при комнатной температуре, поэтому нейтроны, замедленные в реакторе, подходят для изучения кристаллов. Именно так используют и рентгеновские лучи, и электроны, и нейтроны.

Как читать картину на экране

Правила, по которому можно предсказать, куда упадёт следующая точка, нет: волна задаёт лишь вероятность каждого места. При 10–20 точках экран выглядит случайным; около 200 полосы уже ясны, а после всех 560 тёмные промежутки почти пусты, и центры полос отстоят друг от друга на $\Delta y$.

В тёмном промежутке волны от двух щелей приходят со сдвигом на полволны и гасят друг друга, как в уроке «Интерференция и суперпозиция волн», поэтому при двух открытых щелях электронов там попадает меньше, чем при одной: второй путь делает попадание менее вероятным, чего не мог бы сделать никакой поток обычных частиц. К краям полосы тускнеют, потому что каждая щель шириной в четверть $d$ распространяет свою волну лишь в ограниченном диапазоне углов. Эта убывающая огибающая принимает в светлых полосах значения 1; 0,81; 0,41 и 0,09, а следующая полоса пришлась бы на нуль этой огибающей, чуть за краем экрана.

Частые ошибки

• Электроны не интерферируют друг с другом: в полёте только один, а 560 электронов, посланных поодиночке, создают полосы. Волна каждого электрона проходит через обе щели.
• На щелях электрон не делится: каждая регистрация — один целый электрон с полным зарядом $1,602\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$ в одной точке.
• Длину волны задаёт импульс, а не энергия: у электрона в 50 эВ и нейтрона в 0,027 эВ она одна и та же — 0,17 нм. А формула $p=\sqrt{2mE}$ к фотонам неприменима: у них $p=E/c$.
• У больших тел длина волны тоже есть, просто ненаблюдаемая: у мяча массой 0,15 кг при 30 м/с $p=4,5\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{м}$ — примерно в $10^{19}$ раз меньше размера протона.
• Более быстрые электроны дают более узкие полосы, а не более широкие: при удвоении скорости $\lambda$ и $\Delta y$ уменьшаются вдвое, с 0,69 мм до 0,35 мм.

Где это встречается

Первое доказательство пришло в 1927 году, когда Дэвиссон и Джермер рассеивали электроны с энергией 54 эВ на кристалле никеля и обнаружили сильный пучок под углом 50° — как раз там, где усиливаются волны с $\lambda =h/p=0,167\mathrm{нм}$, отражённые от рядов атомов с шагом 0,215 нм, так как $0,215\sin 50^{\circ }=0,165\mathrm{нм}$. Электронные микроскопы работают при десятках киловольт, где длина волны составляет несколько пикометров, примерно в $10^5$ раз меньше, чем у видимого света, — поэтому с их помощью можно разглядеть отдельные атомы. Полосы получены даже для молекул из 60 атомов углерода.

В уроке «Модели атома: атом Бора» допустимые орбиты вводились как правило; здесь у правила появляется причина: на каждой орбите укладывается целое число электронных длин волн. Урок «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» даёт волне материи собственное уравнение движения и позволяет ей просачиваться сквозь барьеры, а экспертный уровень объясняет, почему наблюдение за электронами разрушает полосы.

Продвинутый

Целые порции, а картина как у волны

Этот раздел ставит загадку, которую решает остальной урок. Электроны по одному посылают на пластину с двумя щелями, а экран за ней регистрирует, куда попал каждый. Выберем небольшой участок экрана и обозначим через $P_1$ вероятность попадания электрона на него при открытой только щели 1, через $P_2$ — то же при открытой только щели 2, а через $P_{12}$ — вероятность при двух открытых щелях.

Будь электроны дробинками, каждый проходил бы через одну щель или через другую. При двух открытых щелях дробинки, прошедшие через щель 1, ложились бы так же, как при закрытой щели 2, и то же для щели 2, поэтому числа попаданий просто складывались бы: $P_{12}=P_1+P_2$. Классическая волна ведёт себя иначе. Она переносит энергию непрерывно, а не порциями, и складывается у неё высота волны, а не энергия. Так как интенсивность пропорциональна квадрату высоты, интенсивность при двух открытых щелях не равна сумме интенсивностей от каждой щели по отдельности, и возникают полосы.

Электроны делают то, чего не допускает ни одна из этих картин. Детектор щёлкает от одного целого электрона за раз, никогда не от его доли, как в случае дробинок. Но щелчки складываются в картину полос, как в случае волны, и $P_{12}\ne P_1+P_2$: на тёмной полосе открытие второй щели делает попадания реже. Рассуждение с дробинками показывает, почему это важно. Любое объяснение, в котором каждый электрон проходит через одну определённую щель и ведёт себя там так, как вёл бы себя при закрытой другой, приводит прямо к $P_{12}=P_1+P_2$. Поэтому опыт исключает все такие объяснения, сколь угодно подробные. Правило, которое их заменяет, дано в следующем разделе.

Складываются амплитуды, а не вероятности

Квантовая механика сохраняет арифметику волн, но применяет её к вероятностям. Каждому способу, которым может произойти событие (здесь — электрон попадает в выбранную точку через щель 1 или через щель 2), сопоставляется комплексное число — амплитуда вероятности: ${\psi }_1$ для первого способа, ${\psi }_2$ для второго. У правила два случая.

Если ничто в мире не отличает способы друг от друга, их амплитуды складываются, а вероятность равна квадрату модуля суммы:
$\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2)$
Первые два слагаемых — вероятности для каждой щели в отдельности. Последнее, перекрёстный (или интерференционный) член, может быть положительным и отрицательным, и именно в нём вся разница с классическим подсчётом. Если какая-то запись показывает, каким путём пошла частица, то вместо этого складываются вероятности отдельных путей, и перекрёстного члена нет.

Чтобы пользоваться правилом, нужны сами амплитуды. У свободной частицы с импульсом $p$ длина волны де Бройля равна $\lambda =h/p$. Вдоль пути длиной $r$ фаза её амплитуды растёт на $kr$, где $k=p/\hslash =2\pi /\lambda$ — волновое число, а $\hslash =h/(2\pi )$. Для двух одинаковых щелей ${\psi }_j=A{e}^{ik{r}_j}$, где $r_1$ и $r_2$ — длины двух путей до выбранной точки. Амплитуды одинаковы по величине $A$ и различаются только фазой, на
$\delta =k(r_2-r_1)$
Всё дальнейшее получается из сложения двух таких чисел.

Две стрелки и их сумма

Обозначения

${\psi }_1$	Амплитуда попадания через щель 1: стрелка длиной $A$, направление которой — фаза.
${\psi }_2$	Амплитуда попадания через щель 2: тоже длиной $A$, повёрнута относительно ${\psi }_1$ на $\delta$.
$\psi$	Полная амплитуда при двух открытых щелях: диагональ ${\psi }_1+{\psi }_2$.
$A$	Длина каждой из двух стрелок (одинаковые щели).
$\delta$	Разность фаз двух амплитуд: угол между стрелками.	$\mathrm{рад}$

Сложить два комплексных числа — значит сложить две стрелки, и рисунок 1 использует это, чтобы сделать перекрёстный член видимым. Каждая амплитуда изображена стрелкой на комплексной плоскости: её длина — модуль $A$, а направление — фаза. Важен только угол $\delta$ между ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$: если повернуть обе стрелки вместе на один и тот же угол, никакие длины не изменятся, а значит, не изменятся и вероятности.

Сумма $\psi$ — диагональ ромба, построенного на двух стрелках (это ромб, потому что обе стороны имеют одну длину $A$). Посмотрите теперь на другую диагональ, пунктирную. Диагонали ромба делят друг друга пополам и пересекаются под прямым углом; на рисунке это отмечено. Значит, половина $\psi$ — катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого ${\psi }_1$ имеет длину $A$, а угол при начале координат равен $\delta /2$. Этот катет равен $A\cos (\delta /2)$, а удвоив его, получаем
$|\psi |=2A\cos \frac{\delta }{2}$
для $\delta$ от 0 до $\pi$; для больших углов берут модуль косинуса.

Возведя в квадрат и воспользовавшись равенством $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$, разделяем результат на две части правила:
$|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2\frac{\delta }{2}=2A^2+2A^2\cos \delta$
Первое слагаемое, $2A^2$, — сумма при известном пути $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$; второе, $2A^2\cos \delta$, — перекрёстный член. Картину фиксируют два случая. При $\delta =0$ стрелки сонаправлены, поэтому $|\psi |=2A$ и $|\psi {|}^2=4A^2$, вдвое больше значения при известном пути. При $\delta =\pi$ они направлены противоположно и гасят друг друга, так что $|\psi {|}^2=0$: электрон туда не попадает никогда, хотя каждая щель в отдельности посылала бы туда какие-то электроны.

Почему амплитуды должны быть комплексными числами, а не вещественными волнами? Каждая амплитуда несёт ещё и временной множитель $e^{-iEt/\hslash }$, где $E$ — энергия электрона. Энергия сохраняется на обоих путях, поэтому множитель у них одинаков: он поворачивает обе стрелки рисунка 1 вместе и выпадает из $|\psi {|}^2$. Поэтому стационарный пучок даёт стационарную скорость счёта. Вещественная волна вроде $\cos (kr-\omega t)$ заставила бы колебаться во времени саму вероятность, чего никогда не наблюдают.

От разности хода к полосам

Обозначения

$d$	Расстояние между двумя щелями.	$\mathrm{м}$
$L$	Расстояние от пластины со щелями до экрана.	$\mathrm{м}$
$y$	Высота $P$ над осью, проходящей через середину между щелями.	$\mathrm{м}$
$P$	Точка экрана, в которой складываются две амплитуды.
$\theta$	Угол между осью и прямой от середины между щелями до $P$.	$\mathrm{рад}$
$r_1$	Длина пути от щели 1 до $P$.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Длина пути от щели 2 до $P$.	$\mathrm{м}$
$r_2-r_1$	Дополнительная длина пути 2, остающаяся после того, как дуга отложила $r_1$; для далёкого экрана около $d\sin \theta$.	$\mathrm{м}$

Разность фаз $\delta$ зависит от того, куда попадает электрон. Рисунок 2 показывает геометрию, которая превращает положение на экране в разность хода, а значит, и в фазу.

Две щели, обозначенные 1 и 2, находятся на расстоянии $d$ друг от друга, а экран — на расстоянии $L$ за пластиной. Точка $P$ экрана лежит на высоте $y$ над осью, проходящей через середину между щелями; из этой середины $P$ видна под углом $\theta$ к оси. В $P$ ведут два пути: длиной $r_1$ от щели 1 и длиной $r_2$ от щели 2. Так как $P$ выше оси, путь 2 длиннее.

Чтобы узнать, насколько он длиннее, проведём дугу с центром в $P$ через щель 1. Каждая точка дуги находится на расстоянии $r_1$ от $P$; это часть волнового фронта, сходящегося в $P$, все точки которого приходят в одной фазе. Поэтому там, где дуга пересекает путь 2, от $P$ уже отложена длина $r_1$. То, что остаётся от пути 2 у щелей, — жирный отрезок — и есть дополнительная длина $r_2-r_1$.

Реальный экран удалён в миллионы раз дальше, чем $d$, поэтому оба пути почти параллельны, а короткая дуга почти прямая и перпендикулярна обоим. Тогда дуга, жирный отрезок и пластина между щелями образуют маленький прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$. Его угол при щели 1 равен $\theta$, потому что дуга перпендикулярна путям, а пластина перпендикулярна оси. Противолежащий этому углу катет и есть дополнительная длина:
$r_2-r_1\approx d\sin \theta$
а разность фаз с рисунка 1 равна
$\delta =k(r_2-r_1)=\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$

Светлые полосы — там, где стрелки рисунка 1 сонаправлены, $\delta =2\pi m$ при целом $m$, то есть $d\sin \theta =m\lambda$: дополнительная длина равна целому числу длин волн. Углы крошечные, поэтому $\sin \theta \approx y/L$, и светлые полосы находятся в точках $y_m=m\lambda L/d$. Они расположены через равные промежутки
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
а тёмные полосы лежат посередине между ними, где $\delta$ — нечётное кратное $\pi$.

Как читать гистограмму

Обозначения

$n$	Число электронов, попавших в интервал шириной $\Delta y/3$.
$y$	Положение вдоль экрана, отсчитанное от центра картины.	$\mathrm{м}$
$|\psi {|}^2$	Плотность вероятности при двух открытых щелях (сплошная кривая) в масштабе числа отсчётов на интервал.
$|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$	Сумма при известном пути: картина, получающаяся, когда щель каждого электрона записана (пунктирная кривая), с почти той же площадью.
$\Delta y$	Расстояние между соседними светлыми полосами, $\lambda L/d$; множитель одной щели впервые обращается в нуль при $4\Delta y$.	$\mathrm{м}$

Рисунок 3 сопоставляет теорию с сосчитанными электронами. Именно это строит экспертный слой анимации: 560 электронов, рассортированных по тому, где они попали вдоль координаты экрана $y$, на интервалы шириной в треть расстояния между полосами. Высота $n$ каждого золотого столбика — число электронов в его интервале. Поверх столбиков проведены две кривые, обе в масштабе числа отсчётов на интервал: сплошная — квантовое предсказание $|\psi {|}^2$, а пунктирная — сумма при известном пути $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$, то есть картина, которую ожидали бы, если бы щель каждого электрона была записана.

Сначала сравним две кривые. Для одинаковых щелей $|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2(\delta /2)$, и на каждой светлой полосе это вдвое больше пунктирного значения $2A^2$, а на каждой тёмной — нуль. Перекрёстный член $2A^2\cos \delta$ положителен на одной половине каждой полосы и отрицателен на другой, поэтому в среднем по полосе он равен нулю. Значит, обе кривые ограничивают почти одну и ту же площадь: интерференция переносит попадания из тёмных полос в светлые, но не создаёт и не уничтожает их.

Теперь о медленном спаде обеих кривых при удалении от центра. Это множитель одной щели. У каждой щели своя ширина, здесь $a=d/4$, и волны от разных частей одной щели тоже интерферируют между собой. В результате $A$ не постоянна, а зависит от $y$ через огибающую $\sin \beta /\beta$, где $\beta =\pi ay/(\lambda L)$. Огибающая впервые обращается в нуль при $\beta =\pi$, то есть при $y=\lambda L/a=4\Delta y$, — это правая отметка под осью. На светлых полосах порядков от 0 до 3 огибающая интенсивности $(\sin \beta /\beta {)}^2$ составляет 1; 0,81; 0,41 и 0,09 от центрального значения, а порядка 4 нет, так как он приходится точно на нуль. Экран заканчивается примерно на $3,2\Delta y$, где обрываются столбики.

Наконец, столбики и сплошная кривая. На анимации центральный интервал заканчивается с 94 электронами из 560, а каждый интервал первого порядка — с 77. Кривая достигает максимума около 104 на интервал, но даже идеальный опыт оставил бы центральный столбик чуть ниже неё. Столбик считает всё, что попало в его интервал, то есть усредняет кривую по трети полосы, а среднее значение ${\cos }^2$ по такой ширине вокруг максимума равно 0,91.

В реальном опыте каждый отсчёт ещё и флуктуирует: в интервале, где ожидают $n$ электронов, их оказывается примерно $n\pm \sqrt{n}$. Для центрального интервала это относительный разброс 10 %, и до 1 % он падает лишь при 10 000 отсчётах на интервал. Поэтому первые несколько десятков точек похожи на шум. Волна предсказывает распределение множества попаданий; где окажется следующий отдельный электрон, она не говорит никогда.

Наблюдение за электронами

Этот раздел задаёт очевидный вопрос: почему бы просто не посмотреть, через какую щель идёт каждый электрон? Осветим область сразу за щелями, чтобы каждый пролетающий электрон рассеивал фотон, а вспышка показывала, куда он ушёл. Тогда каждый электрон виден у одной щели, никогда не у обеих. Рассортируем электроны по вспышкам: те, что видны у щели 1, ложатся по закону $|{\psi }_1{|}^2$, а те, что у щели 2, — по закону $|{\psi }_2{|}^2$. Вместе они образуют пунктирную кривую рисунка 3. Когда путь записан, вероятности складываются, как говорит правило, и полосы исчезают.

Нельзя ли сделать свет настолько мягким, чтобы он не возмущал электроны? Более тусклый свет не помогает, потому что свет состоит из фотонов: тусклее — значит фотоны реже, а не слабее. Электрон либо рассеивает целый фотон, и тогда его положение найдено и он присоединяется к гладкой картине, либо не рассеивает ни одного и присоединяется к полосам. Остаётся ещё вариант — более мягкие фотоны. Фотон с длиной волны ${\lambda }_{\gamma }$ несёт импульс $h/{\lambda }_{\gamma }$, поэтому большая длина волны даёт более слабый толчок. Но вспышку можно локализовать лишь с точностью порядка её собственной длины волны. Чтобы различить щели на расстоянии $d$ друг от друга, нужна поэтому ${\lambda }_{\gamma }$ меньше примерно $d$, а значит, импульс фотона не менее примерно $h/d$. Следующий раздел показывает, что толчок такой величины как раз достаточен, чтобы смыть полосы.

Толчок размером с расстояние между полосами

Обозначения

$\vec{p}$	Импульс электрона до рассеяния фотона.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
${\vec{p}}^{\prime }$	Импульс после толчка: той же длины, повёрнут на малый угол.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$h/d$	Наибольший поперечный толчок от фотона, длина волны которого достаточно мала, чтобы различить щели.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\lambda /d$	Наибольший угол, на который толчок поворачивает путь электрона; он же — угол между соседними светлыми полосами.	$\mathrm{рад}$
$\Delta y$	Расстояние на экране от центра картины до следующей светлой полосы, $\lambda L/d$.	$\mathrm{м}$

Рисунок 4 сравнивает толчок от одного такого фотона с расстоянием между полосами. Слева электрон приходит с импульсом $\vec{p}$. Фотон рассеивается на нём в неизвестном направлении и сообщает ему поперечный импульс до примерно $h/d$: это стрелка от конца $\vec{p}$ к концу нового импульса ${\vec{p}}^{\prime }$. Толчок мал и поперечен, поэтому ${\vec{p}}^{\prime }$ сохраняет длину $\vec{p}$, но повёрнут на угол до примерно $(h/d)/p$. При $p=h/\lambda$ этот угол равен $\lambda /d$.

Справа тот же угол виден в установке. Если смотреть от щелей, середина картины и соседняя светлая полоса, находящаяся на расстоянии $\Delta y$ на экране на расстоянии $L$, разделены углом $\Delta y/L$, а $\Delta y/L=\lambda /d$, так как $\Delta y=\lambda L/d$. Значит, толчок, достаточно сильный, чтобы найти щель, поворачивает электрон на угол, доходящий до угла между соседними полосами, причём в случайную сторону. Каждая точка попадания смещается случайно примерно до целой полосы, и светлые и тёмные полосы размываются.

В числах: для электронов в 50 эВ из примера ниже и щелей на расстоянии 0,50 мкм друг от друга фотон с длиной волны 0,50 мкм несёт лишь 1/2900 импульса электрона, но на экране в 2,0 м от щелей может сместить точку попадания до 0,69 мм, то есть на целую полосу. Как только ${\lambda }_{\gamma }$ превысит $d$, полосы начинают возвращаться, потому что вспышка уже не показывает, какая щель использована.

Этот компромисс — не слабость света как средства наблюдения. Это принцип неопределённости, ограничивающий разбросы $\Delta x$ и $\Delta p$ координаты и импульса вдоль одного направления:
$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$
Найти электрон у одной щели — значит определить его поперечную координату лучше, чем примерно $d$, поэтому разброс его поперечного импульса не может быть меньше порядка $\hslash /d$, чем бы ни выполнялось это определение. Приведённая оценка верна с точностью до множителей порядка 1; пример ниже делает точный расчёт для другого детектора. Предел должен выполняться для любого прибора. Электрон, положение которого найдено, но который не возмущён, должен был бы давать полосы, потому что ничто его не возмущало, и не давать их, потому что его путь известен, а вероятности складываются, — теория противоречила бы сама себе. Предел принадлежит природе, а не неловким приборам.

Частичная информация о пути

Реальные детекторы могут находиться где угодно между «ничего не записывает» и «записывает путь полностью», и между этими крайностями полосы слабеют ровно настолько, насколько нужно. Чтобы понять как, рассмотрим сам детектор как квантовую систему. Если электрон проходит через щель 1, детектор оказывается в состоянии, обозначаемом $|D_1⟩$; если через щель 2 — в состоянии $|D_2⟩$. Их перекрытие $⟨D_1|D_2⟩$ — комплексное число с модулем от 0 до 1, показывающее, насколько похожи два состояния. Электрон и детектор вместе оказываются в состоянии ${\psi }_1|D_1⟩+{\psi }_2|D_2⟩$, и когда наблюдается только точка попадания электрона, квадрат модуля этой суммы вносит перекрытие в перекрёстный член:
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2⟨D_1|D_2⟩)$

Одинаковые состояния (перекрытие 1) ничего не записывают и оставляют полные полосы; ортогональные состояния (перекрытие 0) записывают путь полностью и не оставляют полос. Между этими случаями результат описывают два числа. Полосы измеряются видностью
$V=\frac{P_{\max }-P_{\min }}{P_{\max }+P_{\min }}$
где $P_{\max }$ и $P_{\min }$ — вероятности на светлой полосе и на соседней тёмной, так что $V=1$ для идеальных полос и $V=0$, когда полос нет. При равных амплитудах $V=|⟨D_1|D_2⟩|$. Информация о пути измеряется различимостью $D$, определённой так, что наилучшая возможная догадка о щели, сделанная по детектору, верна с вероятностью $(1+D)/2$: $D=0$ — это подбрасывание монеты, а $D=1$ — уверенность. Тогда
$V^2+D^2\le 1$
причём равенство достигается, когда детектор вначале находится в определённом квантовом состоянии. Частичное знание пути оставляет лишь частичные полосы; полное знание и полные полосы никогда не бывают вместе.

Никому не нужно читать запись; она лишь должна существовать. Такой детектор — молекула газа, отскочившая от электрона, а для крупной молекулы, летящей через щели, — фотон теплового излучения, который нагретая молекула испускает на лету. Каждое такое событие умножает перекрытие на ещё один множитель меньше 1, и после многих событий перекрёстный член исчезает. Эта потеря интерференции в пользу окружения называется декогеренцией, и именно поэтому опыты с волнами материи требуют высокого вакуума.

Пример: отдача пластины со щелями

В спорах Эйнштейна и Бора конца 1920-х годов одно из предложений состояло в том, чтобы определять путь электрона по отдаче пластины со щелями. Возьмём электроны в 50 эВ из анимации в реальном масштабе примера среднего уровня ($\lambda =0,173\mathrm{нм}$, $d=0,50\mathrm{мкм}$, $L=2,0\mathrm{м}$, так что $\Delta y=0,69\mathrm{мм}$) и пластину, способную свободно скользить вбок. С какой точностью нужно знать импульс пластины и что произойдёт с полосами?

Шаг 1, две отдачи. Электрон, достигающий центра экрана через щель 1, находящуюся на расстоянии $d/2$ над осью, отклоняется к оси на угол $d/(2L)$; через щель 2 он отклоняется в другую сторону на тот же угол. Его поперечный импульс меняется на $pd/(2L)$ в ту или другую сторону, и по закону сохранения импульса пластина получает противоположный толчок. Два возможных толчка пластины отличаются на
$\delta p=\frac{pd}{L}=\frac{h}{\Delta y}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{6,94\times 10^{-4}}=9,5\times 10^{-31}\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
где средний шаг использует $p=h/\lambda$ и $\Delta y=\lambda L/d$. (Здесь $\delta p$ — разность импульсов, а не разность фаз $\delta$.)

Шаг 2, координата пластины. Чтобы надёжно различить два толчка, разброс импульса пластины должен быть заметно меньше $\delta p$; возьмём стандартное отклонение ${\sigma }_p=\delta p/4=2,4\times 10^{-31}\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$. Стандартные отклонения — это разбросы принципа неопределённости, поэтому координата пластины должна иметь разброс не менее
${\sigma }_x=\frac{\hslash }{2{\sigma }_p}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\cdot 2,4\times 10^{-31}}=2,2\times 10^{-4}\mathrm{м}$

Шаг 3, полосы. Это $\Delta y/\pi$, около трети полосы. Картина привязана к щелям, поэтому её положение так же неопределённо, как положение пластины. Усреднение полос ${\cos }^2$ по гауссову разбросу ${\sigma }_x$ умножает их контраст на $e^{-2{\pi }^2{\sigma }_x^2/\Delta y^2}=e^{-2}=0,14$. Правило детектора из предыдущего раздела даёт тот же ответ с другой стороны. Два возможных конечных состояния пластины — распределения шириной ${\sigma }_p$ с центрами, отстоящими на $\delta p$, и их перекрытие равно $e^{-\delta p^2/(8{\sigma }_p^2)}=e^{-2}$. Значит, $V=0,14$ и $D=\sqrt{1-e^{-4}}=0,99$: путь известен почти наверняка, а полосы почти исчезли.

Шаг 4, более свободная пластина. Если её импульс известен лишь с точностью ${\sigma }_p=\delta p$, полосы сохраняют видность 88 %, но путь раскрывается лишь с $D=0,47$. В обоих случаях $V^2+D^2=1$: пластина в определённом квантовом состоянии лежит на границе, и никакая пластина не даёт лучшего результата.

Границы применимости

Соотношение $p=\sqrt{2mE}$, где $E$ — кинетическая энергия, не учитывает релятивизм. При 50 эВ это безвредно: 50 эВ — одна десятитысячная энергии покоя электрона $m{c}^2=511\mathrm{кэВ}$. Однако в электронном микроскопе на 100 кВ точный импульс, найденный из $pc=\sqrt{E^2+2Em{c}^2}$, даёт $\lambda =3,70\mathrm{пм}$, тогда как простая формула даёт 3,88 пм, то есть примерно на 5 % больше. Само соотношение $\lambda =h/p$ остаётся точным; меняется только связь между $p$ и $E$.

Формула для полос требует малых углов и экрана в дальней зоне, $L\gg d^2/\lambda$, что в примере составляет 1,4 мм при $L=2\mathrm{м}$. Для полос нужен также когерентный пучок: малый источник, чтобы обе щели получали одну и ту же волну, и почти одна энергия, чтобы у всех электронов были одна длина волны и одно расстояние между полосами.

У больших тел волна реальна, но невидима, по двум причинам. Первая — длина волны. У мяча массой 0,15 кг при 30 м/с $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{м}$: за щелями на расстоянии 10 см друг от друга экран в 10 м от них нёс бы полосы с шагом $1,5\times 10^{-32}\mathrm{м}$, и детектор размером с протон усреднил бы около $10^{17}$ из них в гладкую кривую. Вторая — декогеренция: в воздухе по мячу ударяет около $5\times 10^{25}$ молекул в секунду, и каждая из них — запись о пути. И всё же резкой границы между квантовыми и классическими телами не известно. Молекулы из 60 атомов углерода с $\lambda =2,5\mathrm{пм}$ при 220 м/с дали полосы за решёткой с периодом 100 нм, а позже их дали и молекулы примерно из 2000 атомов.

Куда это ведёт

Урок «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» превращает амплитуду в волновую функцию, подчиняющуюся собственному уравнению, с $E=\hslash \omega$ и $p=\hslash k$, и позволяет ей просачиваться сквозь барьеры, которые классическая частица никогда бы не преодолела. Орбиты из урока «Модели атома: атом Бора» — те, на которых укладывается целое число длин волн, $2\pi r=n\lambda$, что равносильно моменту импульса $n\hslash$. В уроке «Полупроводники, диоды и светодиоды» электронные волны в периодическом кристалле образуют энергетические зоны. Урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» рассматривает каждую частицу как квант поля и вычисляет каждый процесс, складывая амплитуды его альтернативных историй, изображаемых диаграммами взаимодействия: это правило нашего урока в самом общем виде.