Dualidad onda-corpúsculo

Principiante

Durante siglos, los científicos discutieron sobre la luz. Al atravesar dos rendijas estrechas, dibuja franjas brillantes y oscuras, algo que solo saben hacer las ondas. Sin embargo, cuando arranca electrones de un metal (el efecto fotoeléctrico), se comporta como una lluvia de diminutos paquetes de energía llamados fotones. Cada paquete lleva la energía $E=hf$, donde $f$ es la frecuencia, que fija el color, y $h$ es un número fijo diminuto, la constante de Planck. La luz no es solo una onda ni solo un chorro de partículas.

Los electrones, que imaginamos como bolitas diminutas, comparten esta doble naturaleza. Sigue la animación paso a paso.

Paso 1. El cañón dispara los electrones de uno en uno, tan despacio que solo hay uno en camino cada vez. Cada uno choca con la pantalla en un único sitio y deja un punto, como una canica que da en una diana. Hasta aquí: partículas.

Paso 2. Dónde cae el siguiente punto es puro azar. Pero tras unos cientos de puntos aparece un dibujo: franjas brillantes separadas por huecos casi vacíos. Es la huella de ondas que salen de las dos rendijas y se suman en unos sitios y se anulan en otros, como las ondas en un estanque.

Paso 3. Los electrones viajan solos: ninguno tiene compañero con quien interferir. Así que la onda de cada electrón debe pasar por las dos rendijas a la vez.

Paso 4. Coloca un detector junto a las rendijas para ver por cuál pasa cada electrón: las franjas desaparecen y los puntos se amontonan en una sola mancha uniforme.

Comprueba lo aprendido: se detiene el experimento tras solo cinco electrones. ¿Se ven franjas? (No: solo cinco puntos dispersos.)

Para recordar: los objetos cuánticos viajan como ondas y llegan como partículas.

Intermedio

Un electrón, un punto

En la animación, un cañón de electrones dispara electrones contra una pared con dos rendijas estrechas, y una pantalla situada detrás registra cada llegada. Solo hay un electrón en camino cada vez: los seis primeros se dibujan en vuelo, y después la animación se acelera mientras el contador sube. Cada llegada es un único punto: el electrón entero, con toda su carga, detectado en un solo lugar. Sin embargo, tras unos cientos de llegadas los puntos se agolpan en franjas brillantes separadas por huecos casi vacíos, el patrón de interferencia que forma la luz detrás de dos rendijas.

El electrón tiene un momento lineal $p=mv$ y una energía cinética $E$, que se da en electronvoltios: $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ es la energía que gana un electrón al recorrer una diferencia de potencial de 1 V. Las rendijas están separadas una distancia $d$, la pantalla está a una distancia $L$ de ellas, y la interfranja $\Delta y$ es la separación entre franjas brillantes vecinas.

La longitud de onda de De Broglie

La luz es una onda, pero la lección Efecto fotoeléctrico mostró que también llega en paquetes, los fotones, de energía $E=hf$ y con un momento lineal $p=h/\lambda$. En 1924, Louis de Broglie le dio la vuelta a la idea y propuso que toda partícula con momento $p$ tiene una longitud de onda
$\lambda =\frac{h}{p}$

Aquí $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ es la constante de Planck. Como $h$ es tan pequeña, la longitud de onda solo se nota en partículas de masa muy pequeña y velocidad moderada: electrones, neutrones, átomos. La onda azul delante de las rendijas representa esta onda de materia: no una ondulación de la sustancia del electrón, sino una onda de probabilidad.

Una partícula lenta tiene una energía cinética $E=\frac{1}{2}m{v}^2$, y como $p=mv$ esto es $E=p^2/(2m)$, de modo que
$p=\sqrt{2mE}$

Un electrón acelerado desde el reposo a través de una tensión $V$ gana $E=eV$, donde $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ es el valor de su carga. Con cuatro veces la energía, el momento se duplica y la longitud de onda se reduce a la mitad.

De la energía a la interfranja

Más allá de las rendijas, las dos partes de la onda de materia se solapan e interfieren como lo hace la luz en la lección Difracción y experimento de la doble rendija: donde los caminos difieren en un número entero de longitudes de onda caen muchos electrones, y donde difieren en un número impar de semilongitudes de onda casi no cae ninguno. Para ángulos pequeños, esto da una cadena de tres ecuaciones que resuelve la mayoría de los problemas:

• $\lambda =\frac{h}{p}$
• $p=\sqrt{2mE}$
• $\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$

La energía da el momento, el momento da la longitud de onda y la longitud de onda da la interfranja. Los electrones más rápidos tienen una longitud de onda más corta y franjas más estrechas; con rendijas más próximas o una pantalla más lejana, las franjas se separan. La última ecuación es la fórmula de la doble rendija para la luz, con la longitud de onda de De Broglie.

Ejemplo resuelto: los electrones de la animación

Los electrones de la animación tienen $E=50\mathrm{eV}$. Pasa la energía a julios, halla el momento con $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$ y después la longitud de onda:
$E=50\cdot 1,602\times 10^{-19}=8,01\times 10^{-18}\mathrm{J}$
$p=\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 8,01\times 10^{-18}}=3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda =\frac{6,626\times 10^{-34}}{3,82\times 10^{-24}}=1,73\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,173\mathrm{nm}$

Son los 0,17 nm de la lectura azul, más o menos la separación entre los átomos de un cristal. La velocidad, $v=p/m=4,2\times 10^{6}m/s$, es solo el 1,4 % de la velocidad de la luz, así que en $p=\sqrt{2mE}$ se puede despreciar la relatividad sin problema.

El dibujo indica que no está a escala. Supón que las rendijas reales están separadas $d=0,50\mu \mathrm{m}$ y que la pantalla está a $L=2,0\mathrm{m}$. Entonces
$\Delta y=\frac{1,73\times 10^{-10}\cdot 2,0}{0,50\times 10^{-6}}=6,9\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,69\mathrm{mm}$

La marca morada $\Delta y$ junto a la pantalla representa esta separación. Vistas desde las rendijas, las franjas vecinas distan solo $\lambda /d=3,5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, o 0,02°, y por eso la interferencia de electrones exige rendijas más finas que un micrómetro, un trayecto de vuelo largo o lentes de electrones que amplíen el patrón.

Ejemplo resuelto: una longitud de onda, tres partículas

Para ver cómo están ordenados los átomos de un cristal hace falta una longitud de onda próxima a su separación. ¿Qué energía deben tener un fotón, un electrón y un neutrón para que $\lambda =0,173\mathrm{nm}$, el valor de la animación?

Los tres necesitan el mismo momento, $p=h/\lambda =3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$, pero el momento y la energía se relacionan de manera distinta en cada uno. Para el fotón, $E=pc$:
$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,626\times 10^{-34}\cdot 3,00\times 10^8}{1,73\times 10^{-10}}=1,15\times 10^{-15}\mathrm{J}=7,2\mathrm{keV}$
que es un fotón de rayos X. El electrón necesita 50 eV, como antes. Para el neutrón, con $m=1,675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$,
$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{(3,82\times 10^{-24}{)}^2}{2\cdot 1,675\times 10^{-27}}=4,36\times 10^{-21}\mathrm{J}=0,027\mathrm{eV}$

La misma longitud de onda cuesta 7,2 keV, 50 eV o 0,027 eV, un factor de 260 000 en energía, porque la longitud de onda la fija el momento y una partícula más pesada alcanza un momento dado con mucha menos energía cinética. El neutrón, a solo $p/m=2280m/s$, tiene aproximadamente la energía térmica de la temperatura ambiente, y por eso los neutrones frenados en un reactor sirven para estudiar cristales. Los rayos X, los electrones y los neutrones se utilizan de este modo.

Cómo leer el patrón en la pantalla

Ninguna regla dice dónde caerá el siguiente punto: la onda solo fija la probabilidad de cada lugar. Con 10 o 20 puntos la pantalla parece aleatoria; hacia los 200 las franjas se ven con claridad, y tras los 560 las bandas oscuras están casi vacías, con los centros de las franjas separados una interfranja $\Delta y$.

En una banda oscura, las ondas de las dos rendijas llegan desfasadas media longitud de onda y se anulan, como en la lección Interferencia y superposición, de modo que con las dos rendijas abiertas caen allí menos electrones que con una sola: un segundo camino hace menos probable la llegada, algo que ninguna corriente de partículas ordinarias podría lograr. Las franjas se debilitan hacia los bordes porque cada rendija, de una cuarta parte de $d$ de ancho, extiende su onda solo dentro de un ángulo limitado. Esa envolvente decreciente toma los valores 1; 0,81; 0,41 y 0,09 en las franjas brillantes, y la siguiente franja caería sobre un cero de la envolvente, justo más allá del borde de la pantalla.

Errores frecuentes

• Los electrones no interfieren entre sí: solo hay uno en vuelo cada vez, y aun así 560 electrones enviados de uno en uno construyen las franjas. La onda de cada electrón pasa por las dos rendijas.
• Un electrón nunca se parte en las rendijas: cada detección es un electrón entero, con toda su carga de $1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, en un único punto.
• La longitud de onda la fija el momento, no la energía: un electrón de 50 eV y un neutrón de 0,027 eV comparten los mismos 0,17 nm. Y $p=\sqrt{2mE}$ no vale para los fotones, para los que $p=E/c$.
• Los objetos grandes también tienen longitud de onda, pero imposible de observar: una pelota de 0,15 kg a 30 m/s tiene $p=4,5\mathrm{kg}\cdot m/s$ y $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$, unas $10^{19}$ veces menor que un protón.
• Los electrones más rápidos dan franjas más estrechas, no más anchas: al duplicar la velocidad, tanto $\lambda$ como $\Delta y$ se reducen a la mitad, de 0,69 mm a 0,35 mm.

Dónde aparece

La primera prueba llegó en 1927, cuando Davisson y Germer enviaron electrones de 54 eV contra un cristal de níquel y hallaron un haz intenso a 50°, justo donde se refuerzan las ondas de $\lambda =h/p=0,167\mathrm{nm}$ reflejadas en filas de átomos separadas 0,215 nm, pues $0,215\sin 50^{\circ }=0,165\mathrm{nm}$. Los microscopios electrónicos funcionan a decenas de kilovoltios, lo que da longitudes de onda de unos pocos picómetros, unas $10^5$ veces más cortas que las de la luz visible, y permiten obtener imágenes de átomos individuales. También se han obtenido franjas con moléculas de 60 átomos de carbono.

En la lección Modelos atómicos: el átomo de Bohr, las órbitas permitidas aparecían como una regla; aquí la regla recibe una razón, porque cada órbita contiene un número entero de longitudes de onda del electrón. La lección Ecuación de Schrödinger y efecto túnel da a la onda de materia su propia ecuación de movimiento y le permite filtrarse a través de barreras, y el nivel experto explica por qué observar los electrones destruye las franjas.

Avanzado

Granos que llegan como una onda

Esta sección plantea el enigma que el resto de la lección resuelve. Se disparan electrones de uno en uno contra una placa con dos rendijas, y una pantalla situada detrás registra dónde cae cada uno. Elige un pequeño tramo de la pantalla y llama $P_1$ a la probabilidad de que un electrón caiga allí con solo la rendija 1 abierta, $P_2$ a la misma con solo la rendija 2 abierta, y $P_{12}$ a la probabilidad con las dos abiertas.

Si los electrones fueran perdigones, cada uno pasaría por una rendija o por la otra. Con las dos rendijas abiertas, los perdigones que pasan por la rendija 1 caerían igual que con la rendija 2 cerrada, y lo mismo para la rendija 2, así que las cuentas simplemente se sumarían: $P_{12}=P_1+P_2$. Una onda clásica se comporta de otra manera. Entrega su energía de forma continua, no en grumos, y lo que se suma es la altura de la onda, no su energía. Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la altura, la intensidad con las dos rendijas abiertas no es la suma de las intensidades de cada rendija por separado, y aparecen franjas.

Los electrones hacen lo que ninguna de las dos imágenes permite. El detector hace clic con un electrón entero cada vez, nunca con una fracción, como con perdigones. Sin embargo, los clics van formando un patrón de franjas, como con una onda, y $P_{12}\ne P_1+P_2$: en una franja oscura, abrir la segunda rendija hace las llegadas más raras. El argumento de los perdigones muestra por qué esto importa. Cualquier explicación en la que cada electrón pase por una rendija definida, y se comporte allí como lo haría con la otra cerrada, lleva directamente a $P_{12}=P_1+P_2$. El experimento descarta, por tanto, todas esas explicaciones, por detalladas que sean. La siguiente sección da la regla que las sustituye.

Las amplitudes se suman, las probabilidades no

La mecánica cuántica conserva la aritmética de las ondas, pero la aplica a las probabilidades. A cada manera en que puede ocurrir un suceso (aquí, que el electrón llegue al punto elegido por la rendija 1 o por la rendija 2) se le asigna un número complejo, su amplitud de probabilidad: ${\psi }_1$ para la primera manera, ${\psi }_2$ para la segunda. La regla tiene dos casos.

Cuando nada en el mundo distingue las maneras, sus amplitudes se suman, y la probabilidad es el módulo al cuadrado del total:
$\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2)$
Los dos primeros términos son las probabilidades de cada rendija por separado. El último, el término cruzado (o de interferencia), puede ser positivo o negativo, y es toda la diferencia con el recuento clásico. Cuando algún registro muestra qué camino se siguió, se suman en cambio las probabilidades de los caminos por separado, y el término cruzado desaparece.

Para usar la regla hacen falta las propias amplitudes. Una partícula libre de momento $p$ tiene la longitud de onda de De Broglie $\lambda =h/p$. A lo largo de un camino de longitud $r$, la fase de su amplitud avanza $kr$, donde $k=p/\hslash =2\pi /\lambda$ es el número de onda y $\hslash =h/(2\pi )$. Para dos rendijas iguales, las amplitudes son ${\psi }_j=A{e}^{ik{r}_j}$, donde $r_1$ y $r_2$ son las longitudes de los dos caminos hasta el punto elegido. Tienen el mismo tamaño $A$ y solo se diferencian en la fase, en
$\delta =k(r_2-r_1)$
Todo lo que sigue sale de sumar dos números así.

Dos flechas y su suma

Leyenda

${\psi }_1$	Amplitud de llegar por la rendija 1: una flecha de longitud $A$ cuya dirección es su fase.
${\psi }_2$	Amplitud de llegar por la rendija 2: también de longitud $A$, girada $\delta$ respecto de ${\psi }_1$.
$\psi$	Amplitud total con las dos rendijas abiertas: la diagonal ${\psi }_1+{\psi }_2$.
$A$	Longitud de cada una de las dos flechas (rendijas iguales).
$\delta$	Diferencia de fase de las dos amplitudes: el ángulo entre las flechas.	$\mathrm{rad}$

Sumar dos números complejos es sumar dos flechas, y la figura 1 lo usa para hacer visible el término cruzado. Cada amplitud se dibuja como una flecha en el plano complejo: su longitud es su módulo $A$ y su dirección es su fase. Solo importa el ángulo $\delta$ entre ${\psi }_1$ y ${\psi }_2$, porque girar las dos flechas juntas el mismo ángulo no cambia ninguna longitud y, por tanto, ninguna probabilidad.

La suma $\psi$ es una diagonal del rombo construido sobre las dos flechas (un rombo, porque los dos lados tienen la misma longitud $A$). Fíjate ahora en la otra diagonal, discontinua. Las diagonales de un rombo se cortan por la mitad en ángulo recto, como se marca en la figura. Así, la mitad de $\psi$ es un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es ${\psi }_1$, de longitud $A$, y cuyo ángulo en el origen es $\delta /2$. Ese cateto vale $A\cos (\delta /2)$, y al duplicarlo resulta
$|\psi |=2A\cos \frac{\delta }{2}$
para $\delta$ entre 0 y $\pi$; para ángulos mayores se toma el valor absoluto del coseno.

Al elevar al cuadrado, y usando $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$, el resultado se separa en las dos partes de la regla:
$|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2\frac{\delta }{2}=2A^2+2A^2\cos \delta$
El primer término, $2A^2$, es la suma con camino conocido $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$; el segundo, $2A^2\cos \delta$, es el término cruzado. Dos casos fijan la imagen. Cuando $\delta =0$ las flechas se alinean, así que $|\psi |=2A$ y $|\psi {|}^2=4A^2$, el doble del valor con camino conocido. Cuando $\delta =\pi$ apuntan en sentidos opuestos y se anulan, así que $|\psi {|}^2=0$: ningún electrón llega nunca allí, aunque cada rendija por sí sola enviaría algunos.

¿Por qué las amplitudes han de ser números complejos y no ondas reales? Cada amplitud lleva además un factor temporal $e^{-iEt/\hslash }$, donde $E$ es la energía del electrón. La energía se conserva a lo largo de los dos caminos, de modo que el factor es el mismo para ambos: hace girar juntas las dos flechas de la figura 1 y desaparece de $|\psi {|}^2$. Un haz constante da, por tanto, un ritmo de cuentas constante. Una onda real como $\cos (kr-\omega t)$ haría en cambio oscilar en el tiempo la propia probabilidad, algo que nunca se observa.

De la diferencia de camino a las franjas

Leyenda

$d$	Distancia entre las dos rendijas.	$\mathrm{m}$
$L$	Distancia de la placa a la pantalla.	$\mathrm{m}$
$y$	Altura de $P$ sobre el eje que pasa por el punto medio de las rendijas.	$\mathrm{m}$
$P$	Punto de la pantalla donde se suman las dos amplitudes.
$\theta$	Ángulo entre el eje y la recta que va del punto medio de las rendijas a $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_1$	Longitud del camino de la rendija 1 a $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Longitud del camino de la rendija 2 a $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2-r_1$	Longitud adicional del camino 2, la que queda una vez que el arco ha marcado $r_1$; unos $d\sin \theta$ para una pantalla lejana.	$\mathrm{m}$

La diferencia de fase $\delta$ depende del lugar donde llega el electrón. La figura 2 da la geometría que convierte una posición de la pantalla en una diferencia de camino y, con ella, en una fase.

Dos rendijas, numeradas 1 y 2, están separadas una distancia $d$, y la pantalla está a una distancia $L$ detrás de la placa. Un punto $P$ de la pantalla está a una altura $y$ sobre el eje que pasa por el punto medio de las rendijas; visto desde ese punto medio, $P$ está a un ángulo $\theta$ del eje. Dos caminos llegan a $P$: uno de longitud $r_1$ desde la rendija 1 y otro de longitud $r_2$ desde la rendija 2. Como $P$ está por encima del eje, el camino 2 es el más largo.

Para hallar cuánto más largo, sigue el arco con centro en $P$ que pasa por la rendija 1. Todos los puntos del arco están a una distancia $r_1$ de $P$; es un trozo de frente de onda que converge en $P$, cuyos puntos llegan todos en fase. Allí donde el arco corta el camino 2 ha marcado, por tanto, una longitud $r_1$, medida desde $P$ hacia atrás. Lo que queda del camino 2 en el lado de las rendijas, el segmento grueso, es la longitud adicional $r_2-r_1$.

La pantalla real está millones de veces más lejos que $d$, así que los dos caminos son casi paralelos y el arco corto es casi un segmento perpendicular a ambos. El arco, el segmento grueso y la placa entre las rendijas forman entonces un pequeño triángulo rectángulo de hipotenusa $d$. Su ángulo en la rendija 1 es $\theta$, porque el arco es perpendicular a los caminos y la placa es perpendicular al eje. El cateto opuesto a ese ángulo es la longitud adicional:
$r_2-r_1\approx d\sin \theta$
y la diferencia de fase de la figura 1 es
$\delta =k(r_2-r_1)=\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$

Las franjas brillantes están donde las flechas de la figura 1 se alinean, $\delta =2\pi m$ con $m$ entero, es decir, $d\sin \theta =m\lambda$: la longitud adicional es un número entero de longitudes de onda. Los ángulos son diminutos, así que $\sin \theta \approx y/L$, y las franjas brillantes están en $y_m=m\lambda L/d$. Están igualmente espaciadas, separadas una interfranja
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
y las franjas oscuras quedan justo en medio de ellas, donde $\delta$ es un múltiplo impar de $\pi$.

Cómo leer el histograma

Leyenda

$n$	Número de electrones que cayeron en un intervalo de ancho $\Delta y/3$.
$y$	Posición a lo largo de la pantalla, medida desde el centro del patrón.	$\mathrm{m}$
$|\psi {|}^2$	Densidad de probabilidad con las dos rendijas abiertas (curva continua), a escala de cuentas por intervalo.
$|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$	Suma con camino conocido: el patrón cuando se registra la rendija de cada electrón (curva discontinua), con casi la misma área.
$\Delta y$	Distancia entre franjas brillantes vecinas, $\lambda L/d$; el factor de una sola rendija se anula por primera vez en $4\Delta y$.	$\mathrm{m}$

La figura 3 enfrenta la teoría con los electrones contados. Es lo que construye la capa experta de la animación: 560 electrones, clasificados según el lugar donde cayeron a lo largo de la coordenada de la pantalla $y$ en intervalos de un tercio de interfranja de ancho. La altura $n$ de cada barra dorada es el número de electrones de su intervalo. Sobre las barras se trazan dos curvas, ambas a escala de cuentas por intervalo: la continua es la predicción cuántica $|\psi {|}^2$, y la discontinua es la suma con camino conocido $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$, el patrón que se esperaría si se registrara la rendija de cada electrón.

Primero compara las dos curvas. Para rendijas iguales, $|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2(\delta /2)$, que en cada franja brillante es el doble del valor discontinuo $2A^2$ y en cada franja oscura es cero. El término cruzado $2A^2\cos \delta$ es positivo en una mitad de cada franja y negativo en la otra, así que su promedio a lo largo de una franja es cero. Las dos curvas encierran, por ello, casi la misma área: la interferencia traslada llegadas de las bandas oscuras a las brillantes, pero no crea ni destruye ninguna.

Después, la caída lenta de ambas curvas al alejarse del centro. Es el factor de una sola rendija. Cada rendija tiene una anchura propia, aquí $a=d/4$, y las ondas de distintas partes de una misma rendija también interfieren entre sí. Como resultado, $A$ no es constante, sino que depende de $y$ a través de la envolvente $\sin \beta /\beta$, con $\beta =\pi ay/(\lambda L)$. La envolvente se anula por primera vez en $\beta =\pi$, es decir, en $y=\lambda L/a=4\Delta y$, la marca de la derecha bajo el eje. En las franjas brillantes de órdenes 0 a 3, la envolvente de intensidad $(\sin \beta /\beta {)}^2$ vale 1; 0,81; 0,41 y 0,09 de su valor central, y falta el orden 4, porque cae exactamente sobre el cero. La pantalla termina en torno a $3,2\Delta y$, donde se acaban las barras.

Por último, las barras frente a la curva continua. En la animación, el intervalo central termina con 94 de los 560 electrones y cada intervalo de primer orden con 77. La curva alcanza su máximo cerca de 104 por intervalo, pero incluso una ejecución perfecta dejaría la barra central algo por debajo. Una barra cuenta todo lo que cae en su intervalo, así que promedia la curva en un tercio de franja, y el promedio de ${\cos }^2$ en esa anchura, centrada en un máximo, es 0,91.

En una ejecución real, además, cada cuenta fluctúa: un intervalo en el que se esperan $n$ electrones recibe unos $n\pm \sqrt{n}$. Para el intervalo central eso es una dispersión relativa del 10 %, y esa dispersión solo baja al 1 % con 10 000 cuentas por intervalo. Por eso las primeras decenas de puntos parecen ruido. La onda predice la distribución de muchas llegadas; nunca dice dónde caerá el siguiente electrón individual.

Observar a los electrones

Esta sección plantea la pregunta obvia: ¿por qué no mirar simplemente por qué rendija pasa cada electrón? Ilumina la región justo detrás de las rendijas, de modo que cada electrón que pasa disperse un fotón y un destello muestre por dónde fue. Entonces cada electrón se ve en una rendija, nunca en las dos. Clasifica los electrones según su destello: los vistos en la rendija 1 caen con el patrón $|{\psi }_1{|}^2$, y los vistos en la rendija 2 con $|{\psi }_2{|}^2$. Juntos forman la curva discontinua de la figura 3. Una vez registrado el camino, las probabilidades se suman, como dice la regla, y las franjas desaparecen.

¿Se podría hacer la luz tan suave que no perturbara a los electrones? Una luz más tenue no ayuda, porque la luz viene en fotones: más tenue significa fotones más escasos, no más débiles. Un electrón o bien dispersa un fotón entero, queda localizado y se une al patrón liso, o bien no dispersa ninguno y se une a las franjas. La otra opción son fotones más suaves. Un fotón de longitud de onda ${\lambda }_{\gamma }$ lleva un momento $h/{\lambda }_{\gamma }$, así que una longitud de onda mayor da un golpe más suave. Pero un destello solo puede localizarse con una precisión de aproximadamente su propia longitud de onda. Distinguir rendijas separadas una distancia $d$ exige, por tanto, una ${\lambda }_{\gamma }$ inferior a unos $d$ y, con ello, un momento del fotón de al menos unos $h/d$. La siguiente sección muestra que un golpe de este tamaño es justo el necesario para borrar las franjas.

Un golpe del tamaño de una interfranja

Leyenda

$\vec{p}$	Momento del electrón antes de que el fotón se disperse.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Momento tras el golpe: de la misma longitud, girado un ángulo pequeño.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$h/d$	Mayor golpe lateral de un fotón de longitud de onda lo bastante corta para distinguir las rendijas.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda /d$	Mayor ángulo que el golpe puede girar la trayectoria del electrón; es también el ángulo entre franjas brillantes vecinas.	$\mathrm{rad}$
$\Delta y$	Distancia en la pantalla del centro del patrón a la siguiente franja brillante, $\lambda L/d$.	$\mathrm{m}$

La figura 4 compara el golpe de uno de esos fotones con la separación de las franjas. A la izquierda, el electrón llega con momento $\vec{p}$. El fotón se dispersa en él en una dirección desconocida y le comunica un momento lateral de hasta unos $h/d$: la flecha que va de la punta de $\vec{p}$ a la punta del nuevo momento ${\vec{p}}^{\prime }$. El golpe es pequeño y lateral, así que ${\vec{p}}^{\prime }$ conserva la longitud de $\vec{p}$, pero queda girado un ángulo de hasta unos $(h/d)/p$. Con $p=h/\lambda$, ese ángulo es $\lambda /d$.

A la derecha, el mismo ángulo aparece en el montaje. Vistos desde las rendijas, el centro del patrón y la siguiente franja brillante, a una distancia $\Delta y$ en una pantalla a distancia $L$, están separados un ángulo $\Delta y/L$, y $\Delta y/L=\lambda /d$ porque $\Delta y=\lambda L/d$. Así, un golpe suficientemente fuerte para hallar la rendija gira al electrón hasta el ángulo entre franjas vecinas, en una dirección aleatoria. Cada punto de llegada se desplaza al azar hasta aproximadamente una franja entera, y las bandas brillantes y oscuras se funden entre sí.

En números, para los electrones de 50 eV del ejemplo resuelto de más abajo y unas rendijas separadas 0,50 µm, un fotón de 0,50 µm lleva solo 1/2900 del momento del electrón y, sin embargo, en una pantalla a 2,0 m puede desplazar el punto de llegada hasta 0,69 mm, una franja entera. En cuanto ${\lambda }_{\gamma }$ supera a $d$, las franjas empiezan a volver, porque el destello ya no muestra qué rendija se usó.

Esta compensación no es una debilidad de usar la luz. Es el principio de incertidumbre, que limita las dispersiones $\Delta x$ y $\Delta p$ de una posición y un momento a lo largo de la misma dirección:
$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$
Localizar el electrón en una rendija fija su posición lateral con una precisión mejor que unos $d$, así que su momento lateral debe dispersarse al menos del orden de $\hslash /d$, sea lo que sea lo que hace la localización. La estimación anterior es buena salvo factores del orden de 1; el ejemplo resuelto de más abajo hace la cuenta exacta para otro detector. El límite tiene que cumplirse para todo aparato. Un electrón localizado y sin embargo no perturbado tendría que formar franjas, porque nada lo perturbó, y no formarlas, porque su camino es conocido y las probabilidades se suman: la teoría se contradiría a sí misma. El límite pertenece a la naturaleza, no a la torpeza de los instrumentos.

Información parcial del camino

Los detectores reales pueden estar en cualquier punto entre no registrar nada y registrar el camino a la perfección, y entre medias las franjas se debilitan justo en la medida adecuada. Para ver cómo, trata el propio detector como un sistema cuántico. Si el electrón pasa por la rendija 1, el detector acaba en el estado que se escribe $|D_1⟩$; si pasa por la rendija 2, en $|D_2⟩$. Su solapamiento $⟨D_1|D_2⟩$ es un número complejo, de módulo entre 0 y 1, que mide cuánto se parecen los dos estados. El electrón y el detector acaban juntos en el estado ${\psi }_1|D_1⟩+{\psi }_2|D_2⟩$, y cuando solo se observa el punto de llegada del electrón, el módulo al cuadrado de esta suma lleva el solapamiento al término cruzado:
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2⟨D_1|D_2⟩)$

Estados idénticos (solapamiento 1) no registran nada y dejan las franjas completas; estados ortogonales (solapamiento 0) registran el camino a la perfección y no dejan ninguna. Entre medias, dos números describen el resultado. Las franjas se miden por su visibilidad
$V=\frac{P_{\max }-P_{\min }}{P_{\max }+P_{\min }}$
donde $P_{\max }$ y $P_{\min }$ son las probabilidades en una franja brillante y en la oscura contigua, de modo que $V=1$ para franjas perfectas y $V=0$ para ninguna. Para amplitudes iguales, $V=|⟨D_1|D_2⟩|$. La información del camino se mide por la distinguibilidad $D$, definida de modo que la mejor conjetura posible de la rendija, hecha a partir del detector, acierta con probabilidad $(1+D)/2$: $D=0$ es un cara o cruz y $D=1$ es certeza. Entonces
$V^2+D^2\le 1$
con igualdad cuando el detector parte de un estado cuántico definido. Un conocimiento parcial del camino compra franjas parciales; el conocimiento completo y las franjas completas nunca se dan juntos.

Nadie tiene que leer el registro; basta con que exista. Una molécula de gas que rebota en el electrón es un detector así, y lo es también, para una molécula grande enviada a través de las rendijas, un fotón de radiación térmica que la molécula caliente emite en vuelo. Cada suceso de este tipo multiplica el solapamiento por otro factor menor que 1, y tras muchos de ellos el término cruzado ha desaparecido. Esta pérdida de interferencia en favor del entorno se llama decoherencia, y es la razón de que los experimentos de ondas de materia necesiten un vacío elevado.

Ejemplo resuelto: una placa de rendijas que retrocede

En los debates de finales de los años veinte entre Einstein y Bohr, una propuesta fue leer el camino del electrón a partir del retroceso de la placa de rendijas. Toma los electrones de 50 eV de la animación a la escala real del ejemplo intermedio ($\lambda =0,173\mathrm{nm}$, $d=0,50\mu \mathrm{m}$, $L=2,0\mathrm{m}$, de modo que $\Delta y=0,69\mathrm{mm}$), con una placa libre de deslizar lateralmente. ¿Con qué precisión hay que conocer el momento de la placa y qué ocurre con las franjas?

Paso 1, los dos retrocesos. Un electrón que llega al centro de la pantalla por la rendija 1, a una distancia $d/2$ sobre el eje, se desvía hacia el eje un ángulo $d/(2L)$; por la rendija 2 se desvía en sentido contrario el mismo ángulo. Su momento lateral cambia en $pd/(2L)$ en un sentido o en otro, y por conservación del momento la placa recibe el golpe opuesto. Los dos golpes posibles de la placa difieren en
$\delta p=\frac{pd}{L}=\frac{h}{\Delta y}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{6,94\times 10^{-4}}=9,5\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$
donde el paso intermedio usa $p=h/\lambda$ y $\Delta y=\lambda L/d$. (Aquí $\delta p$ es una diferencia de momentos, no la fase $\delta$.)

Paso 2, la posición de la placa. Para distinguir con fiabilidad los dos golpes, la dispersión del momento de la placa debe ser bastante menor que $\delta p$; toma una desviación típica ${\sigma }_p=\delta p/4=2,4\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$. Las desviaciones típicas son las dispersiones del principio de incertidumbre, así que la posición de la placa debe tener entonces una dispersión de al menos
${\sigma }_x=\frac{\hslash }{2{\sigma }_p}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\cdot 2,4\times 10^{-31}}=2,2\times 10^{-4}\mathrm{m}$

Paso 3, las franjas. Eso es $\Delta y/\pi$, aproximadamente un tercio de franja. El patrón está ligado a las rendijas, así que es tan incierto en posición como la placa. Promediar las franjas de ${\cos }^2$ sobre una dispersión gaussiana ${\sigma }_x$ multiplica su contraste por $e^{-2{\pi }^2{\sigma }_x^2/\Delta y^2}=e^{-2}=0,14$. La regla del detector de la sección anterior da la misma respuesta desde el otro lado. Los dos estados finales posibles de la placa son distribuciones de anchura ${\sigma }_p$ cuyos centros difieren en $\delta p$, y se solapan en $e^{-\delta p^2/(8{\sigma }_p^2)}=e^{-2}$. Así, $V=0,14$ y $D=\sqrt{1-e^{-4}}=0,99$: el camino se conoce casi con certeza y las franjas casi han desaparecido.

Paso 4, una placa más suelta. Si su momento solo se conoce con ${\sigma }_p=\delta p$, las franjas conservan una visibilidad del 88 %, pero el camino solo se revela con $D=0,47$. En ambos casos $V^2+D^2=1$: una placa en un estado cuántico definido está en la frontera, y ninguna placa lo hace mejor.

Límites de validez

La relación $p=\sqrt{2mE}$, con $E$ la energía cinética, ignora la relatividad. Esto es inofensivo a 50 eV, una diezmilésima de la energía en reposo del electrón $m{c}^2=511\mathrm{keV}$. En un microscopio electrónico de 100 kV, sin embargo, el momento exacto, a partir de $pc=\sqrt{E^2+2Em{c}^2}$, da $\lambda =3,70\mathrm{pm}$, mientras que la fórmula simple da 3,88 pm, un 5 % demasiado larga. La relación $\lambda =h/p$ sigue siendo exacta; solo cambia el vínculo entre $p$ y $E$.

La fórmula de las franjas necesita ángulos pequeños y una pantalla en campo lejano, $L\gg d^2/\lambda$, que en el ejemplo son 1,4 mm frente a $L=2\mathrm{m}$. Las franjas también necesitan un haz coherente: una fuente pequeña, para que las dos rendijas reciban la misma onda, y una energía casi única, para que todos los electrones compartan una longitud de onda y una separación de franjas.

Para objetos grandes, la onda es real pero invisible, por dos razones. La primera es la longitud de onda. Una pelota de 0,15 kg a 30 m/s tiene $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$: tras unas rendijas separadas 10 cm, una pantalla a 10 m tendría franjas separadas $1,5\times 10^{-32}\mathrm{m}$, y un detector del tamaño de un protón promediaría unas $10^{17}$ de ellas en una curva lisa. La segunda es la decoherencia: en el aire la pelota recibe unos $5\times 10^{25}$ choques de moléculas por segundo, cada uno un registro del camino. Aun así, no se conoce una frontera nítida entre objetos cuánticos y clásicos. Moléculas de 60 átomos de carbono, con $\lambda =2,5\mathrm{pm}$ a 220 m/s, han formado franjas tras una red de periodo 100 nm, y más tarde también lo han hecho moléculas de unos 2000 átomos.

Hacia dónde lleva esto

La lección Ecuación de Schrödinger y efecto túnel convierte la amplitud en una función de onda que obedece su propia ecuación, con $E=\hslash \omega$ y $p=\hslash k$, y la deja filtrarse a través de barreras que una partícula clásica jamás cruzaría. Las órbitas de la lección Modelos atómicos: el átomo de Bohr son las que contienen un número entero de longitudes de onda, $2\pi r=n\lambda$, lo que equivale a un momento angular $n\hslash$. En la lección Semiconductores, diodos y LED, las ondas de electrones en un cristal periódico forman bandas de energía. La lección Partículas y fuerzas: el modelo estándar trata cada partícula como un cuanto de un campo y calcula cada proceso sumando las amplitudes de sus historias alternativas, dibujadas como diagramas de interacción: es la regla de esta lección en su forma más general.