Фотоэффект

Начальный

Осветите чистую металлическую пластинку в откачанной трубке — и при подходящем свете из её поверхности вылетают электроны, а амперметр в цепи показывает ток. Это фотоэффект. Соберём то, что показывают опыты, по одному наблюдению за раз.

Наблюдение 1: решает цвет. В анимации яркая красная лампа заливает натриевую пластинку светом — и ничего не происходит, сколько ни жди. Слабый фиолетовый свет действует сразу.
Наблюдение 2: никакого ожидания. Даже очень слабый фиолетовый свет освобождает электроны в тот же миг, как приходит.
Наблюдение 3: яркость решает, сколько. Более яркий фиолетовый свет выбивает больше электронов, но ни одного более быстрого.
Наблюдение 4: синее — значит быстрее. Ультрафиолет выбивает электроны с большей скоростью, чем фиолетовый свет.

Световая волна, равномерно растекающаяся по пластинке, объясняет только третье наблюдение. Ответ Эйнштейна (1905): свет приходит крошечными порциями энергии — фотонами, и цвет задаёт энергию каждой порции. Красные фотоны несут мало, фиолетовые больше, ультрафиолетовые ещё больше. Электрон забирает по одному фотону — всё или ничего. Чтобы выйти, он должен заплатить фиксированную «плату за выход». Красный фотон заплатить её не может, и больше красных фотонов не помогут: толпа, где у каждого по одной монете, не купит билет за пять монет. Всё, что остаётся после платы, становится скоростью электрона.

Фотоэлектронные умножители с помощью этого эффекта считают отдельные фотоны, а матрицы фотоаппаратов и солнечные батареи используют близкий родственный эффект. За его объяснение Эйнштейн получил Нобелевскую премию.

Проверьте себя: ультрафиолет выбивает электроны из металла, и вы делаете его вдвое ярче. Электроны вылетают быстрее или их становится больше? (Больше, а наибольшая скорость та же.)

Средний

Что измеряет опыт

Два металлических электрода помещены в откачанную стеклянную трубку: пластинка, на которую падает свет (здесь натриевая), и коллектор, соединённый с ней через батарею и амперметр. В темноте прибор показывает нуль, потому что в вакууме нет носителей, которые переносили бы заряд с электрода на электрод. Свет подходящего цвета заставляет ток идти сразу: электроны, которые называют фотоэлектронами, вылетают из освещённой пластинки и достигают коллектора.

Экспериментатор меняет два свойства света: частоту $f$, которую мы видим как цвет, и интенсивность — мощность, приходящуюся на квадратный метр. Измеряют две вещи: фототок $I$, который показывает, сколько электронов приходит за секунду, и энергию самых быстрых электронов. Вопреки волновой картине, вылетают ли электроны и как быстро движутся самые быстрые из них, зависит только от частоты; интенсивность определяет лишь силу тока.

Свет порциями: фотон

В 1905 году Эйнштейн предположил, что свет поглощается и распространяется порциями энергии, которые теперь называют фотонами. Фотон с частотой $f$, или длиной волны $\lambda =c/f$, несёт энергию
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
где $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света. Более яркий свет одного цвета — это больше фотонов в секунду, а не фотоны большей энергии.

В атомной физике такие энергии измеряют в электронвольтах: это энергия, которую электрон приобретает, пройдя разность потенциалов 1 В; $1\mathrm{эВ}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$. Поскольку
$hc\approx 1240\mathrm{эВ}\cdot \mathrm{нм}$,
энергия фотона в электронвольтах равна 1240, делённому на длину волны в нанометрах: 3,10 эВ для фиолетового света с длиной волны 400 нм.

Баланс энергии: уравнение Эйнштейна

Электроны проводимости свободно движутся внутри металла, но чтобы вырвать даже самый слабо связанный из них, нужна вполне определённая энергия — работа выхода $\phi$: около 2,1 эВ для цезия, 2,28 эВ для натрия, 4,3 эВ для цинка и 5,1 эВ для золота. Электрон поглощает фотон целиком или не поглощает вовсе. Если $hf$ больше $\phi$, электрон «оплачивает» выход, а остаток сохраняет в виде кинетической энергии:
$E_{\mathrm{к},\max }=hf-\phi$

Слово «максимальная» существенно: со всей энергией $hf-\phi$ вылетает только электрон, который начинает с самого высокого занятого энергетического уровня и ничего не теряет на пути наружу. Электроны с более низких уровней или из глубины металла вылетают с меньшей энергией — от нуля до $E_{\mathrm{к},\max }$.

Если $hf$ меньше $\phi$, ни один фотон в одиночку не может освободить электрон, а копить несколько фотонов электрон не способен: свою небольшую добавку энергии он отдаёт металлу в виде тепла задолго до прихода следующего фотона. Предельный случай $hf=\phi$ определяет граничную частоту и граничную длину волны:

• $f_0=\frac{\phi }{h}$
• ${\lambda }_0=\frac{hc}{\phi }$

Граница — это минимальная частота, но максимальная длина волны: свет с длиной волны больше ${\lambda }_0$ ничего не освобождает, как бы он ни был интенсивен.

Пример: натриевая пластинка из анимации

В анимации пластинка натриевая, $\phi =2,28\mathrm{эВ}$, поэтому ${\lambda }_0=1240/2,28\approx 544\mathrm{нм}$ — это зелёная область спектра, а $f_0\approx 5,51\times 10^{14}\mathrm{Гц}$. Яркая красная лампа с длиной волны 700 нм даёт $hf=1240/700=1,77\mathrm{эВ}$ и $hf-\phi =1,77-2,28=-0,51\mathrm{эВ}$. Ни один из её 14 фотонов не освобождает электрон, а красная надпись сообщает: нет эмиссии.

Фиолетовый свет 400 нм даёт $hf=3,10\mathrm{эВ}$ и $E_{\mathrm{к},\max }=3,10-2,28=0,82\mathrm{эВ}$; ультрафиолет 250 нм даёт $hf=4,96\mathrm{эВ}$ и $E_{\mathrm{к},\max }=2,68\mathrm{эВ}$. Это значения на индикаторах $\lambda$, $hf$ и $hf-\phi$. Поскольку $0,82\mathrm{эВ}=1,31\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, самые быстрые фиолетовые электроны движутся со скоростью $v=\sqrt{2E_{\mathrm{к},\max }/m}\approx 5,4\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$; самые быстрые ультрафиолетовые достигают $9,7\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Это показывают синие стрелки скорости. Один электрон из трёх вылетает с $E_{\mathrm{к},\max }$; остальные потеряли часть энергии внутри металла и сохраняют 45 % или 75 % её, поэтому их стрелки короче. Стрелка самого быстрого ультрафиолетового электрона в $\sqrt{2,68/0,82}\approx 1,8$ раза длиннее, чем у самого быстрого фиолетового. Когда фиолетовый свет становится ярким, девять фотонов освобождают девять электронов вместо трёх, а показание остаётся равным 0,82 эВ.

Пример: цинковая пластинка в ультрафиолете

Чистая цинковая пластинка, $\phi =4,3\mathrm{эВ}$, освещена ультрафиолетовой линией ртутной лампы с длиной волны 254 нм. Действует ли на неё видимый свет, как быстры самые быстрые электроны и какова сила тока?

Граница для цинка ${\lambda }_0=1240/4,3\approx 288\mathrm{нм}$ лежит уже в ультрафиолете, поэтому фиолетовый свет, который действует на натрий, здесь ничего не освобождает. При 254 нм $hf=1240/254=4,88\mathrm{эВ}$ и $E_{\mathrm{к},\max }=4,88-4,3=0,58\mathrm{эВ}$: самые быстрые электроны движутся со скоростью около $4,5\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Пусть на пластинку приходит 1,0 мВт такого света. При $4,88\mathrm{эВ}=7,82\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$ на фотон за секунду приходит около $1,3\times 10^{15}$ фотонов. Чистый металл превращает их в электроны плохо: если один фотон из тысячи освобождает электрон, то за секунду вылетает $1,3\times 10^{12}$ электронов, и ток равен $I\approx 1,3\times 10^{12}\cdot 1,602\times 10^{-19}\approx 2\times 10^{-7}\mathrm{А}$, то есть 0,2 мкА. Удвоение мощности лампы удваивает ток, но 0,58 эВ не меняет.

Как читать диаграмму энергий и графики

На диаграмме энергий энергия электрона изображается высотой. Электроны заполняют металл до верхнего уровня, а покоящийся электрон сразу за поверхностью лежит на $\phi$ выше. Фотон поднимает один электрон ровно на $hf$. Для фиолетового света 3,10 эВ делятся на 2,28 эВ, нужные для выхода, и 0,82 эВ движения; красному свету с 1,77 эВ недостаёт 0,51 эВ, и полученная электроном энергия превращается в тепло.

Для одного цвета выше границы график фототока от интенсивности — прямая, проходящая через начало координат, а график $E_{\mathrm{к},\max }$ от интенсивности — горизонтальная линия. График $E_{\mathrm{к},\max }$ от частоты равен нулю до $f_0$, а затем идёт прямой с наклоном $h$: наклон одинаков для всех металлов, а начинается прямая у каждого металла от своей $f_0=\phi /h$. Этот график рисует продвинутый уровень анимации.

Частые ошибки

• Более яркий свет не делает электроны быстрее: если утроить яркость фиолетового света в анимации, электронов вылетит втрое больше, но у каждого по-прежнему не более 0,82 эВ.
• Ожидание ниже границы не помогает: красная лампа могла бы светить на натрий часами, и каждому фотону с энергией 1,77 эВ по-прежнему не хватало бы до 2,28 эВ.
• Работу выхода вычитают, а не прибавляют: фиолетовые фотоны на натрии дают $3,10-2,28=0,82\mathrm{эВ}$, а не 5,38 эВ.
• Граница принадлежит металлу, а не свету: свет 400 нм освобождает электроны из натрия, но не из цинка, граница которого 288 нм.
• Переведите электронвольты в джоули, прежде чем пользоваться формулой $E_{\mathrm{к}}=\frac{1}{2}m{v}^2$: 0,82 эВ — это $1,31\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, и получается 540 км/с, а если подставить 0,82 напрямую, выйдет $1,3\times 10^{15}\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — быстрее света.

Где это встречается

Фотоэлектронные умножители считают отдельные фотоны в медицинских сканерах, детекторах частиц и телескопах, усиливая сигнал каждого фотоэлектрона примерно в миллион раз. Так же устроены приборы ночного видения, а космические аппараты на солнечном свету заряжаются до нескольких вольт положительного потенциала, потому что ультрафиолет выбивает электроны из их обшивки. Солнечные батареи и матрицы фотоаппаратов используют внутренний фотоэффект, при котором фотон поднимает электрон внутри полупроводника, а не выбивает его наружу.

Кванты $hf$ проходят через всю остальную современную физику. В уроке «Модели атома: атом Бора» атомы излучают и поглощают фотоны, энергия которых равна разности двух уровней; урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» обращает этот эффект; урок «Корпускулярно-волновой дуализм» приписывает длину волны и электронам.

Продвинутый

Измерение энергии: задерживающее напряжение

Загадку фотоэффекта решают два измерения: сколько электронов за секунду покидает освещённый металл и какую кинетическую энергию несут самые быстрые из них. Первое — просто ток. Для второго нужен приём, задерживающее напряжение, и рисунок 1 показывает, как он работает.

Обозначения

$I$	Фототок: заряд, переносимый за секунду электронами, которые достигают коллектора.	$\mathrm{А}$
$V$	Напряжение коллектора относительно освещённой пластины; отрицательные значения возвращают электроны.	$\mathrm{В}$
$V_0$	Задерживающее напряжение для фиолетового света: ток обращается в нуль при $V=-V_0$.	$\mathrm{В}$
$V_0^{\prime }$	Задерживающее напряжение для ультрафиолета; больше $V_0$, потому что каждый ультрафиолетовый фотон несёт больше энергии.	$\mathrm{В}$
$I_1$	Фототок при слабом фиолетовом свете; его плато — ток насыщения.	$\mathrm{А}$
$I_2$	Фототок при ярком фиолетовом свете, фотонов в секунду втрое больше, чем для $I_1$.	$\mathrm{А}$
$I_3$	Фототок при ультрафиолетовом свете, нарисованный с наибольшим числом фотонов в секунду.	$\mathrm{А}$

Установка — вакуумная трубка с двумя электродами: натриевой пластиной, на которую падает свет, и обращённым к ней коллектором. На коллектор подано напряжение $V$, отсчитываемое относительно освещённой пластины, а прибор регистрирует фототок $I$ — заряд, переносимый за секунду электронами, которые достигли коллектора. На рисунке 1 показаны три серии измерений: слабый фиолетовый свет ($I_1$), более яркий свет того же фиолетового цвета ($I_2$) и ультрафиолетовый свет ($I_3$).

Начнём справа на рисунке 1, где $V$ положительно. Коллектор притягивает электроны, каждый электрон, вылетевший из пластины, собирается, и каждая кривая выходит на плато — ток насыщения. Плато считает электроны в секунду, поэтому для света одного цвета оно пропорционально числу фотонов, приходящих за секунду: у $I_2$ фотонов втрое больше, чем у $I_1$, и плато втрое выше. Ультрафиолетовая серия нарисована с наибольшим числом фотонов в секунду, так что её плато самое высокое. Плато говорит, сколько электронов вылетает, но никогда — как быстро они движутся.

Теперь пойдём влево, где $V$ отрицательно. Коллектор теперь отталкивает электроны, и чтобы добраться до него, электрон должен подняться на холм потенциальной энергии высотой $e|V|$, где $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$ — элементарный заряд. Преодолеет его только электрон, покинувший пластину с кинетической энергией больше этой. Электроны вылетают с разбросом энергий и направлений (откуда он берётся, показывает рисунок 2), поэтому по мере того как $V$ становится всё отрицательнее, самые медленные возвращаются первыми, и ток убывает постепенно. Он обращается в нуль при $V=-V_0$, когда даже самые быстрые электроны, с наибольшей кинетической энергией $E_{\mathrm{к},\max }$, как раз возвращаются:
$e{V}_0=E_{\mathrm{к},\max }$

Напряжение $V_0$ называется задерживающим. Оно превращает измерение энергии в показание вольтметра: электрон, остановленный ровно 1 В, имел кинетическую энергию 1 эВ, где электронвольт — энергия, которую электрон приобретает, пройдя 1 В, то есть $1,602\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$. Для натрия $V_0=0,82\mathrm{В}$ при фиолетовом свете 400 нм и $2,68\mathrm{В}$ при ультрафиолете 250 нм — таковы значения на индикаторе $V_0$ в анимации. Значит, самые быстрые электроны несут 0,82 эВ и 2,68 эВ.

Теперь сравните, где кривые на рисунке 1 доходят до нуля. Две фиолетовые кривые различаются по высоте втрое, но обе обращаются в нуль при одном и том же $-V_0$. Ультрафиолетовая кривая $I_3$ доходит до нуля при $-V_0^{\prime }$, дальше влево, потому что её электроны быстрее. То же верно для любого набора измерений: при любой интенсивности света одного цвета ток обращается в нуль при одном и том же напряжении, а для каждого цвета это напряжение своё. Интенсивность задаёт ток; частота задаёт энергию. В этом вся загадка на одном рисунке, а остальная часть объяснения показывает, почему так.

Закон сохранения энергии для одного фотона

Почему энергия должна зависеть только от цвета? Ответ Эйнштейна, 1905 год: свет поглощается целыми квантами — фотонами, каждый из которых несёт энергию $hf$, где $f$ — частота света, а $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$ — постоянная Планка. Рисунок 2 прослеживает энергию одного фотона от поглощения до того момента, когда его электрон оказывается вне металла.

Обозначения

$E$	Энергия электрона.	$\mathrm{Дж}$
$E_F$	Уровень Ферми: наивысшее занятое состояние электрона в металле.	$\mathrm{Дж}$
$E_0$	Уровень вакуума: энергия электрона, покоящегося сразу за поверхностью металла.	$\mathrm{Дж}$
$\phi$	Работа выхода: расстояние от $E_F$ до $E_0$, наименьшая энергия, освобождающая электрон.	$\mathrm{Дж}$
$hf$	Энергия поглощённого фотона, одинаковая для обоих электронов.	$\mathrm{Дж}$
$\epsilon$	На сколько ниже уровня Ферми стартует второй электрон: дополнительная энергия, которую он должен потратить на выход.	$\mathrm{Дж}$
$K{E}_{\max }$	Кинетическая энергия $E_{\mathrm{к},\max }$ вне металла у электрона, стартующего с уровня Ферми: $hf-\phi$.	$\mathrm{Дж}$
$KE$	Кинетическая энергия $E_{\mathrm{к}}$ вне металла у электрона, стартующего на $\epsilon$ ниже: $hf-\phi -\epsilon$.	$\mathrm{Дж}$

По вертикальной оси рисунка 2 отложена энергия $E$ электрона. В металле электроны проводимости заполняют доступные состояния снизу вверх до наивысшего занятого уровня — уровня Ферми $E_F$; закрашенная полоса — это заполненные состояния. Электрон, покоящийся сразу за поверхностью, имеет энергию уровня вакуума $E_0$. Разность между ними, $\phi =E_0-E_F$, — работа выхода: наименьшая энергия, которая выводит электрон из металла. Для натрия она равна 2,28 эВ.

Поглощение фотона поднимает электрон ровно на $hf$: это фиолетовые стрелки, одинаковые для обоих электронов. Сначала проследим за электроном слева. Он стартует с уровня Ферми, поэтому ему нужно лишь $\phi$, чтобы достичь уровня вакуума. Если по дороге наружу он ничего не теряет, остаток остаётся у него как кинетическая энергия — синяя стрелка над $E_0$. Лучше не может ни один электрон, так что это максимум:
$E_{\mathrm{к},\max }=hf-\phi$

Теперь проследим за электроном справа. Он стартует на энергию $\epsilon$ ниже уровня Ферми, поэтому на выход ему нужно потратить ещё $\epsilon$, и тот же фотон оставляет ему всего
$E_{\mathrm{к}}=hf-\phi -\epsilon$
Его синяя стрелка короче на $\epsilon$. Электроны из более глубоких состояний и электроны, теряющие энергию при столкновениях на пути к поверхности, вылетают ещё медленнее: это и есть разброс энергий, из-за которого кривые на рисунке 1 спадают постепенно. При $\epsilon =0$ снова получаем $E_{\mathrm{к},\max }=hf-\phi$. Уравнение Эйнштейна — это закон сохранения энергии для одного фотона и одного электрона, и ничего более; вся новая физика заключена в утверждении, что свет приходит квантами величины $hf$.

Стрелки нарисованы в масштабе для ультрафиолета на натрии: $hf=4,96\mathrm{эВ}$ и $\phi =2,28\mathrm{эВ}$ дают $E_{\mathrm{к},\max }=2,68\mathrm{эВ}$, в точности то $e{V}_0$, которое измерено на рисунке 1, а электрон, стартующий на $\epsilon =0,9\mathrm{эВ}$ ниже, вылетает с $1,78\mathrm{эВ}$.

В этих подсчётах скрыта одна тонкость: свободный электрон не может поглотить фотон. Чтобы понять почему, пусть электрон массы $m$ покоится и поглощает фотон энергии $E$, который несёт также импульс $E/c$. Тогда у электрона была бы энергия $m{c}^2+E$ и импульс $p=E/c$. Но теория относительности связывает энергию частицы с её импульсом: квадрат энергии должен равняться $(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2=(m{c}^2{)}^2+E^2$. Квадрат $m{c}^2+E$ больше этой величины на $2m{c}^{2}E$, значит, энергия и импульс не могут сохраняться одновременно. Импульс должен забрать что-то ещё — кристаллическая решётка или поверхность, поэтому эффект относится к электронам, связанным в металле, а не к изолированным.

Работа выхода — тоже не константа, относящаяся только к свету. Тот же барьер управляет термоэлектронной эмиссией, в которой электроны освобождает тепло: случайное тепловое движение даёт немногим из них достаточно энергии, чтобы перебраться через барьер, и ток определяется множителем $e^{-\phi /kT}$, где $k$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура. При комнатной температуре $kT\approx 0,025\mathrm{эВ}$, и для натрия этот множитель меньше $10^{-38}$: эмиссии нет вовсе. У вольфрамовой нити ($\phi \approx 4,5\mathrm{эВ}$) при 2500 К $kT\approx 0,22\mathrm{эВ}$, множитель достигает примерно $10^{-9}$, и этого хватает для полезного тока. Тепло платит за выход случайно, по несколько электронов за раз; фотон платит сразу.

Прямая и её наклон

Уравнение Эйнштейна даёт чёткое проверяемое предсказание: в зависимости от частоты $E_{\mathrm{к},\max }$ — прямая, наклон которой один и тот же для всех металлов. Рисунок 3 изображает это предсказание; именно так $h$ впервые и измерили с помощью света.

Обозначения

$K{E}_{\max }$	Наибольшая кинетическая энергия фотоэлектронов, $E_{\mathrm{к},\max }=hf-\phi$.	$\mathrm{Дж}$
$f$	Частота света.	$\mathrm{Гц}$
$f_0$	Граничная частота натрия, $\phi /h$: там, где его прямая пересекает ось $f$.	$\mathrm{Гц}$
$f_0^{\prime }$	Граничная частота цинка, больше, потому что больше его работа выхода.	$\mathrm{Гц}$
$\phi$	Работа выхода натрия: пунктирное продолжение пересекает ось энергии в точке $-\phi$.	$\mathrm{Дж}$
$\Delta f$	Шаг вдоль оси частот, сделанный в любом месте прямой.	$\mathrm{Гц}$
$h\Delta f$	Подъём прямой на этом шаге, везде одинаковый: наклон прямой равен $h$.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 3 построена зависимость $E_{\mathrm{к},\max }=hf-\phi$ от частоты $f$ света; толстая линия — натрий. Сначала посмотрите на маленький треугольник на ней: шаг $\Delta f$ вправо поднимает прямую на $h\Delta f$, где бы на прямой этот шаг ни делался. Именно это и значит, что наклон равен $h$.

Затем посмотрите, где прямая пересекает оси. Ось частот она пересекает на граничной частоте $f_0=\phi /h$, где энергии фотона как раз хватает, чтобы освободить электрон, без остатка. Ниже $f_0$ электроны не вылетают, как бы ярок ни был свет, так что измерять нечего. Продолженная ниже $f_0$ (пунктир), прямая — это экстраполяция, а не измерение; она пересекает ось энергии в точке $-\phi$, на глубине $\phi$ под осью частот, и считывание этого отрезка — один из способов найти работу выхода.

Тонкая линия относится к металлу с большей работой выхода — цинку, $\phi \approx 4,3\mathrm{эВ}$. Наклон у неё тот же, $h$, поэтому она идёт параллельно линии натрия, но начинается при большей граничной частоте $f_0^{\prime }=4,3\mathrm{эВ}/h\approx 1,04\times 10^{15}\mathrm{Гц}$, уже в ультрафиолете.

На экспертном уровне анимации линия натрия нарисована с тремя точками. Красная точка при $4,28\times 10^{14}\mathrm{Гц}$ лежит ниже границы $f_0=5,51\times 10^{14}\mathrm{Гц}$ и находится на нуле: электронов нет. Фиолетовая точка при $7,49\times 10^{14}\mathrm{Гц}$ лежит на 0,82 эВ, ультрафиолетовая при $1,20\times 10^{15}\mathrm{Гц}$ — на 2,68 эВ: это два задерживающих напряжения с рисунка 1. Слабый и яркий фиолетовый свет дают одну общую точку, потому что интенсивность на этом графике вообще не фигурирует.

В лаборатории измеряют $V_0$, а не $E_{\mathrm{к},\max }$. Деление уравнения Эйнштейна на $e$ даёт
$V_0=\frac{h}{e}f-\frac{\phi }{e}$
прямую с наклоном $h/e=4,14\times 10^{-15}\mathrm{В}\cdot \mathrm{с}$: задерживающее напряжение растёт примерно на 0,41 В на каждые $10^{14}\mathrm{Гц}$. Наклон универсален, от металла зависит только отрезок на оси, так что прямые для цезия, натрия и цинка параллельны, как на рисунке 3. Милликен, сомневавшийся в световых квантах Эйнштейна, измерял такие прямые в 1914–1916 годах и получил значение $h$, совпадающее с нынешним с точностью около 1 %. В формулировке Нобелевской премии Эйнштейна за 1921 год назван именно этот закон, а не теория относительности.

Почему классическая волна не справляется

Свет как классическая волна прекрасно объясняет интерференцию и дифракцию, так зачем вообще понадобилась новая идея? Затем, что волновая картина ошибается во всех трёх наблюдениях рисунка 1.

Первое — время. Волна передаёт энергию непрерывно, распределяя её по всему фронту, а электрон может собрать её лишь примерно с площади своего атома, около $10^{-20}{\mathrm{м}}^2$. В слабом свете 0,01 Вт/м² на эту площадь приходится $0,01\cdot 10^{-20}=10^{-22}\mathrm{Вт}$, поэтому накопить работу выхода натрия, $2,28\mathrm{эВ}=3,65\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, пришлось бы
$t=\frac{3,65\times 10^{-19}\mathrm{Дж}}{10^{-22}\mathrm{Вт}}\approx 3650\mathrm{с}$
около часа. Опыты не находят никакой задержки — вплоть до нескольких наносекунд, которые они способны разрешить.

Второе — энергия. Более яркий свет создаёт более сильное электрическое поле, которое должно сильнее раскачивать электроны и выбрасывать их быстрее; рисунок 1 показывает, что более яркий свет даёт больше электронов, а не более быстрые. Третье — граница. При достаточном времени волна любой частоты должна передать достаточно энергии, однако ниже $f_0$ ничего не вылетает, сколько ни жди. Все три предсказания не сбываются.

С фотонами все три факта следуют сразу. Поглощение происходит по принципу «всё или ничего», поэтому эмиссия начинается, как только приходит первый фотон. Энергия $hf$ каждого фотона определяется цветом, так что более яркий свет — это больше фотонов, а не более крупные фотоны. А фотон с энергией меньше $\phi$ ничего не освобождает, сколько бы их ни приходило. Счётчик фотонов делает зернистость света слышимой: ослабьте свет, и он не защёлкает тише; его одинаковые щелчки просто станут реже.

Фотон несёт и импульс, $p=h/\lambda =E/c$, поэтому $E^2-(pc{)}^2=0$: это частица нулевой массы, как теория относительности и требует от всего, что движется со скоростью $c$. Рассеяние рентгеновских лучей на электронах, изученное Комптоном, подтвердило этот импульс в 1923 году. Где именно приземлится данный фотон, можно предсказать лишь как вероятность, и эта вероятность следует интенсивности классической волны, поэтому волновая картина по-прежнему верно описывает интерференцию.

Одно предостережение: полуклассическая модель, в которой электроны подчиняются квантовой механике, а свет остаётся классической волной, тоже даёт и границу, и ток, пропорциональный интенсивности, и мгновенную эмиссию. Так что фотоэффект указывает на фотоны, но не доказывает их. Доказательство дали опыты с одиночными фотонами: антигруппировка в 1977 году, когда выяснилось, что свет от одного атома никогда не выдаёт два фотона в один и тот же момент, и в 1986 году — открытие, что один фотон, посланный на делитель пучка, никогда не регистрируется по обе стороны одновременно.

За пределами однофотонной границы

Простой закон предполагает один фотон на электрон, холодный металл и электрон, который должен покинуть вещество. Если снять каждое из этих допущений или прочитать закон в обратную сторону, получатся четыре важных обобщения.

• Интенсивные лазерные импульсы доставляют фотоны так плотно, что электрон может поглотить сразу $n$ из них: $E_{\mathrm{к},\max }=nhf-\phi$. Скорость процесса растёт как $n$-я степень интенсивности, поэтому нужен очень сильный свет. Два фотона красного света из анимации, $2\cdot 1,77=3,54\mathrm{эВ}$, освободили бы из натрия электроны с энергией до 1,26 эВ — больше, чем дают одиночные фиолетовые фотоны.
• При любой температуре выше абсолютного нуля несколько электронов лежат чуть выше уровня Ферми, поэтому граница не вполне резкая, а размыта на несколько $kT$. Аккуратные измерения $\phi$ подгоняют форму этого теплового хвоста.
• Фотоэмиссионная спектроскопия читает уравнение в обратную сторону. При известном $hf$ (обычно это ультрафиолет или рентгеновские лучи) измеренная кинетическая энергия даёт энергию связи $E_{\mathrm{св}}$ каждого электрона, его глубину под уровнем Ферми ($\epsilon$ на рисунке 2), через $E_{\mathrm{к}}=hf-E_{\mathrm{св}}-\phi$.
• В полупроводнике фотону не обязательно освобождать электрон из вещества, достаточно перебросить его через запрещённую зону — энергетический промежуток между заполненными состояниями и пустыми состояниями, в которых электрон может переносить ток: 1,12 эВ в кремнии. Электрон остаётся внутри и добавляется к току в веществе. Поэтому кремниевые солнечные элементы и датчики камер реагируют на все длины волн короче примерно 1100 нм.

Задача: измерение постоянной Планка

Прямая на рисунке 3 превращает два показания задерживающего напряжения в измерение $h$. Представьте, что вам неизвестны ни $h$, ни $\phi$, а есть только показания анимации: 0,82 В при 400 нм и 2,68 В при 250 нм.

Сначала частоты. Из $f=c/\lambda$ получаем $7,495\times 10^{14}\mathrm{Гц}$ и $1,1992\times 10^{15}\mathrm{Гц}$, значит, $\Delta f=4,497\times 10^{14}\mathrm{Гц}$, тогда как $\Delta V_0=2,68-0,82=1,86\mathrm{В}$.

Затем запишем $e{V}_0=hf-\phi$ для каждой длины волны и вычтем. Работа выхода в обоих уравнениях одна и та же и сокращается, остаётся $e\Delta V_0=h\Delta f$:
$h=\frac{e\Delta V_0}{\Delta f}=\frac{1,602\times 10^{-19}\cdot 1,86}{4,497\times 10^{14}}\approx 6,63\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$

Зная $h$, по любому показанию найдём $\phi$. При 400 нм энергия фотона равна $hc/\lambda =1240/400=3,10\mathrm{эВ}$ (используем $hc\approx 1240\mathrm{эВ}\cdot \mathrm{нм}$), поэтому $\phi =hf-e{V}_0=3,10-0,82=2,28\mathrm{эВ}$. Теперь прямая предсказывает задерживающее напряжение для любой другой длины волны, например $V_0=1240/300-2,28=1,85\mathrm{В}$ при 300 нм.

Теперь уберём коллектор и направим ультрафиолет на изолированный натриевый шар радиусом $R=1,0\mathrm{см}$. Каждый вылетевший электрон делает шар более положительным, так что каждому следующему электрону приходится выбираться из растущего потенциала шара $V$, теряя по дороге $eV$. Эмиссия прекращается, когда $eV$ достигает $E_{\mathrm{к},\max }$, то есть при $V=2,68\mathrm{В}$: шар заряжается до задерживающего напряжения. Потенциал шара равен $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$, где ${\epsilon }_0$ — электрическая постоянная, а $4\pi {\epsilon }_0=1,11\times 10^{-10}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$, поэтому конечный заряд равен
$Q=4\pi {\epsilon }_{0}RV=1,11\times 10^{-10}\cdot 0,010\cdot 2,68\approx 3,0\times 10^{-12}\mathrm{Кл}$
или $Q/e\approx 1,9\times 10^7$ недостающих электронов. Более яркий свет заряжает шар быстрее, но не до более высокого потенциала.

Границы применимости

Чистый закон на рисунке 3 опирается на идеализации. На практике важны три: поверхность, трубка и диапазон энергий фотонов.

Работа выхода принадлежит поверхности, а не только металлу: она зависит от того, какая грань кристалла выходит на поверхность, и меняется даже от одного слоя адсорбированных атомов. Опубликованные значения для натрия лежат примерно от 2,3 до 2,75 эВ, а плёнка цезия может снизить работу выхода поверхности ниже 1,5 эВ. Квантовый выход тоже идеализирован: анимация освобождает по одному электрону на каждый фотон выше границы, тогда как чистые металлы дают заметно меньше одного электрона на сотню фотонов, а лучшие катоды фотоэлектронных умножителей — около одного на четыре.

В реальной трубке обычно два разных металла, пластина и коллектор, а между двумя разными металлами, соединёнными в цепь, возникает контактная разность потенциалов, равная разности их работ выхода, делённой на $e$. Она смещает измеряемую точку обращения тока в нуль: в идеальной трубке $e{V}_0$ на самом деле равно $hf$ минус работа выхода коллектора, а не пластины. Смещение одинаково при любой частоте, поэтому наклон $h/e$ не затрагивается, и именно поэтому наклон — надёжный результат.

Эти энергии ничтожны по сравнению с энергией покоя электрона, 511 кэВ: самые быстрые ультрафиолетовые электроны, с энергией 2,68 эВ, движутся со скоростью $9,7\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$, то есть 0,3 % от $c$, так что формула $\frac{1}{2}m{v}^2$ точна. Рентгеновские лучи в десятки кэВ выбивают электроны внутренних оболочек так быстро, что нужна теория относительности. При ещё больших энергиях преобладают другие процессы: выше примерно 30 кэВ комптоновское рассеяние в воде и мягких тканях превосходит фотопоглощение, а выше 1,022 МэВ, удвоенной энергии покоя электрона, фотон может родить пару электрон–позитрон.

Куда это ведёт

Постоянная $h$ впервые появилась в уроке «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты», в спектре нагретых тел; здесь она стала свойством самого света. К спектральным линиям формулу $hf=E_2-E_1$ применяет урок «Модели атома: атом Бора»; урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» запускает внутренний эффект в обратную сторону, с фотонами, энергия которых близка к ширине запрещённой зоны; урок «Корпускулярно-волновой дуализм» прослеживает одиночные фотоны через двойную щель и придаёт электронам длину волны $h/p$. Импульс фотона связывает тему с уроками «Специальная теория относительности» и «Импульс и столкновения», а урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» представляет фотон как переносчик электромагнитного взаимодействия.