Dualité onde-corpuscule

Débutant

Pendant des siècles, les savants se sont disputés au sujet de la lumière. Envoyée à travers deux fentes étroites, elle dessine des bandes brillantes et sombres, ce que seules les ondes savent faire. Pourtant, quand elle arrache des électrons à un métal (l'effet photoélectrique), elle se comporte comme une pluie de minuscules paquets d'énergie, les photons. Chaque paquet porte l'énergie $E=hf$, où $f$ est la fréquence, qui fixe la couleur, et $h$ un tout petit nombre fixe, la constante de Planck. La lumière n'est ni simplement une onde, ni simplement un flot de particules.

Les électrons, que l'on imagine comme de minuscules billes, partagent cette double nature. Suivez l'animation pas à pas.

Étape 1. Le canon tire les électrons un par un, si lentement qu'un seul est en route à la fois. Chacun frappe l'écran en un seul endroit et y laisse un point, comme une bille qui touche une cible. Jusqu'ici : des particules.

Étape 2. L'endroit où tombe le point suivant relève du pur hasard. Mais après quelques centaines de points, une figure apparaît : des bandes brillantes séparées par des zones presque vides. C'est la marque d'ondes issues des deux fentes, qui s'additionnent à certains endroits et s'annulent à d'autres, comme des rides sur un étang.

Étape 3. Les électrons voyagent seuls : aucun n'a de partenaire avec qui interférer. L'onde de chaque électron doit donc passer par les deux fentes à la fois.

Étape 4. Placez un détecteur près des fentes pour voir laquelle chaque électron emprunte : les bandes disparaissent et les points s'entassent en une seule tache régulière.

Vérifiez-vous : on arrête l'expérience après cinq électrons seulement. Voit-on des bandes ? (Non : cinq points épars, sans plus.)

À retenir : les objets quantiques se propagent comme des ondes et arrivent comme des particules.

Intermédiaire

Un électron, un point

Dans l'animation, un canon à électrons envoie des électrons sur un mur percé de deux fentes étroites, et un écran placé derrière enregistre chaque arrivée. Un seul électron est en route à la fois : les six premiers sont dessinés en vol, puis l'animation s'accélère pendant que le compteur grimpe. Chaque arrivée est un point unique : l'électron entier, avec toute sa charge, est détecté en un seul endroit. Pourtant, après quelques centaines d'arrivées, les points s'entassent en bandes brillantes séparées par des zones presque vides, la figure d'interférence que dessine la lumière derrière deux fentes.

L'électron a une quantité de mouvement $p=mv$ et une énergie cinétique $E$, donnée en électronvolts : $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ est l'énergie que gagne un électron sous une tension de 1 V. Les fentes sont distantes de $d$, l'écran se trouve à la distance $L$ derrière elles, et l'interfrange $\Delta y$ sépare deux bandes brillantes voisines.

La longueur d'onde de de Broglie

La lumière est une onde, mais la leçon Effet photoélectrique a montré qu'elle arrive aussi par paquets, les photons, d'énergie $E=hf$ et de quantité de mouvement $p=h/\lambda$. En 1924, Louis de Broglie a retourné l'idée : toute particule de quantité de mouvement $p$ possède une longueur d'onde
$\lambda =\frac{h}{p}$

Ici, $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ est la constante de Planck. Comme $h$ est minuscule, une longueur d'onde n'est perceptible que pour des particules de très petite masse allant à vitesse modérée : électrons, neutrons, atomes. L'onde bleue devant les fentes représente cette onde de matière : non pas une ondulation de la substance de l'électron, mais une onde de probabilité.

Une particule lente a pour énergie cinétique $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ ; comme $p=mv$, cela s'écrit $E=p^2/(2m)$, d'où
$p=\sqrt{2mE}$

Un électron accéléré depuis le repos sous une tension $V$ gagne l'énergie $E=eV$, où $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ est la valeur absolue de sa charge. Une énergie quatre fois plus grande donne une quantité de mouvement double et une longueur d'onde deux fois plus petite.

De l'énergie à l'interfrange

Derrière les fentes, les deux parties de l'onde de matière se recouvrent et interfèrent, comme le fait la lumière dans la leçon Diffraction et fentes de Young : là où les chemins diffèrent d'un nombre entier de longueurs d'onde, beaucoup d'électrons arrivent ; là où ils diffèrent d'un nombre impair de demi-longueurs d'onde, presque aucun. Pour les petits angles, on obtient une chaîne de trois équations qui résout la plupart des problèmes :

• $\lambda =\frac{h}{p}$
• $p=\sqrt{2mE}$
• $\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$

L'énergie donne la quantité de mouvement, la quantité de mouvement donne la longueur d'onde, et la longueur d'onde donne l'interfrange. Des électrons plus rapides ont une longueur d'onde plus courte et des franges plus serrées ; des fentes plus rapprochées ou un écran plus éloigné écartent les franges. La dernière équation est la formule des fentes d'Young pour la lumière, avec la longueur d'onde de de Broglie.

Exemple résolu : les électrons de l'animation

Les électrons de l'animation ont $E=50\mathrm{eV}$. Convertissons l'énergie en joules, calculons la quantité de mouvement avec $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$, puis la longueur d'onde :
$E=50\cdot 1,602\times 10^{-19}=8,01\times 10^{-18}\mathrm{J}$
$p=\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 8,01\times 10^{-18}}=3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda =\frac{6,626\times 10^{-34}}{3,82\times 10^{-24}}=1,73\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,173\mathrm{nm}$

C'est le 0,17 nm de l'affichage bleu, à peu près la distance entre atomes dans un cristal. La vitesse, $v=p/m=4,2\times 10^{6}m/s$, ne vaut que 1,4 % de celle de la lumière : on peut donc ignorer la relativité dans $p=\sqrt{2mE}$.

Le dessin porte la mention « pas à l'échelle ». Supposons que les vraies fentes soient distantes de $d=0,50\mu \mathrm{m}$ et que l'écran se trouve à $L=2,0\mathrm{m}$. Alors
$\Delta y=\frac{1,73\times 10^{-10}\cdot 2,0}{0,50\times 10^{-6}}=6,9\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,69\mathrm{mm}$

Le repère violet $\Delta y$ à côté de l'écran représente cet interfrange. Vues depuis les fentes, deux bandes voisines ne sont séparées que de $\lambda /d=3,5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, soit 0,02°, ce qui explique pourquoi l'interférence d'électrons exige des fentes plus fines que le micromètre, un long trajet de vol ou des lentilles électroniques qui agrandissent la figure.

Exemple résolu : une longueur d'onde, trois particules

Pour voir comment les atomes sont rangés dans un cristal, il faut une longueur d'onde proche de leur écartement. Quelle énergie faut-il donner à un photon, à un électron et à un neutron pour que $\lambda =0,173\mathrm{nm}$, la valeur de l'animation ?

Tous trois ont besoin de la même quantité de mouvement, $p=h/\lambda =3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$, mais la relation entre quantité de mouvement et énergie n'est pas la même. Pour le photon, $E=pc$ :
$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,626\times 10^{-34}\cdot 3,00\times 10^8}{1,73\times 10^{-10}}=1,15\times 10^{-15}\mathrm{J}=7,2\mathrm{keV}$
c'est-à-dire un photon X. L'électron a besoin de 50 eV, comme plus haut. Pour le neutron, de masse $m=1,675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$,
$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{(3,82\times 10^{-24}{)}^2}{2\cdot 1,675\times 10^{-27}}=4,36\times 10^{-21}\mathrm{J}=0,027\mathrm{eV}$

La même longueur d'onde coûte 7,2 keV, 50 eV ou 0,027 eV, soit un facteur 260 000 en énergie, car la longueur d'onde est fixée par la quantité de mouvement et une particule plus lourde atteint une quantité de mouvement donnée avec bien moins d'énergie cinétique. Le neutron, à seulement $p/m=2280m/s$, a à peu près l'énergie d'agitation thermique à température ambiante : c'est pourquoi les neutrons ralentis dans un réacteur conviennent à l'étude des cristaux. Rayons X, électrons et neutrons servent à cela.

Lire la figure sur l'écran

Aucune règle ne dit où tombera le prochain point : l'onde ne fixe que la probabilité de chaque endroit. Avec 10 ou 20 points, l'écran semble aléatoire ; vers 200, les bandes sont nettes, et après les 560 points, les zones sombres sont presque vides, les centres des bandes étant distants d'un interfrange $\Delta y$.

Dans une zone sombre, les ondes issues des deux fentes arrivent décalées d'une demi-longueur d'onde et s'annulent, comme dans la leçon Interférences et superposition ; il y arrive donc moins d'électrons avec les deux fentes ouvertes qu'avec une seule : un second chemin rend l'arrivée moins probable, ce qu'aucun flux de particules ordinaires ne pourrait faire. Les bandes s'estompent vers les bords, parce que chaque fente, dont la largeur vaut le quart de $d$, n'étale son onde que sur un angle limité. Cette enveloppe décroissante prend les valeurs 1 ; 0,81 ; 0,41 et 0,09 aux bandes brillantes, et la bande suivante tomberait sur un zéro de cette enveloppe, juste au-delà du bord de l'écran.

Erreurs fréquentes

• Les électrons n'interfèrent pas entre eux : un seul est en vol à la fois, et pourtant 560 électrons envoyés un à un construisent les franges. L'onde de chaque électron passe par les deux fentes.
• Un électron n'est jamais coupé en deux aux fentes : chaque détection est un électron entier, avec toute sa charge $1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, en un seul point.
• La longueur d'onde est fixée par la quantité de mouvement, pas par l'énergie : un électron de 50 eV et un neutron de 0,027 eV ont la même longueur d'onde, 0,17 nm. Et $p=\sqrt{2mE}$ ne s'applique pas aux photons, pour lesquels $p=E/c$.
• Les gros objets ont eux aussi une longueur d'onde, mais inobservable : une balle de 0,15 kg à 30 m/s a $p=4,5\mathrm{kg}\cdot m/s$ et $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$, soit quelque $10^{19}$ fois moins qu'un proton.
• Des électrons plus rapides donnent des franges plus étroites, non plus larges : doubler la vitesse divise par deux $\lambda$ et $\Delta y$, qui passe de 0,69 mm à 0,35 mm.

Où on le rencontre

La première preuve date de 1927 : Davisson et Germer ont envoyé des électrons de 54 eV sur un cristal de nickel et trouvé un faisceau intense à 50°, exactement là où se renforcent des ondes de longueur d'onde $\lambda =h/p=0,167\mathrm{nm}$ réfléchies par des rangées d'atomes distantes de 0,215 nm, puisque $0,215\sin 50^{\circ }=0,165\mathrm{nm}$. Les microscopes électroniques fonctionnent sous quelques dizaines de kilovolts, ce qui donne des longueurs d'onde de quelques picomètres, environ $10^5$ fois plus courtes que celles de la lumière visible, et permettent d'imager des atomes isolés. Des molécules de 60 atomes de carbone ont elles aussi produit des franges.

Dans la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr, les orbites permises étaient posées comme une règle ; ici, la règle trouve sa raison, car chaque orbite contient un nombre entier de longueurs d'onde de l'électron. La leçon Équation de Schrödinger et effet tunnel donne à l'onde de matière sa propre équation d'évolution et lui permet de traverser des barrières, et le niveau expert explique pourquoi observer les électrons détruit les franges.

Avancé

Des grains qui arrivent comme une onde

Cette section pose l'énigme que le reste de la leçon résout. On tire des électrons un par un sur une plaque percée de deux fentes, et un écran placé derrière enregistre l'endroit où chacun arrive. Choisissons un petit morceau de l'écran, et appelons $P_1$ la probabilité qu'un électron y arrive quand seule la fente 1 est ouverte, $P_2$ la même probabilité quand seule la fente 2 est ouverte, et $P_{12}$ la probabilité quand les deux sont ouvertes.

Si les électrons étaient des grains, chacun passerait par l'une ou l'autre des fentes. Avec les deux fentes ouvertes, les grains passant par la fente 1 arriveraient exactement comme lorsque la fente 2 est fermée, et de même pour la fente 2 : les comptages s'additionneraient donc simplement, $P_{12}=P_1+P_2$. Une onde classique se comporte autrement. Elle transporte son énergie de façon continue, et non par paquets, et ce qui s'additionne, c'est la hauteur de l'onde, pas son énergie. Comme l'intensité est proportionnelle au carré de la hauteur, l'intensité avec les deux fentes ouvertes n'est pas la somme des intensités de chaque fente seule, et des franges apparaissent.

Les électrons font ce qu'aucune des deux images n'autorise. Le détecteur fait un clic pour un électron entier à la fois, jamais pour une fraction, comme pour des grains. Pourtant les clics construisent une figure de franges, comme pour une onde, et $P_{12}\ne P_1+P_2$ : sur une frange sombre, ouvrir la seconde fente rend les arrivées plus rares. L'argument des grains montre pourquoi c'est important. Tout récit où chaque électron passe par une fente bien définie, en s'y comportant comme si l'autre était fermée, mène droit à $P_{12}=P_1+P_2$. L'expérience exclut donc tous les récits de ce genre, aussi détaillés soient-ils. La section suivante donne la règle qui les remplace.

Les amplitudes s'ajoutent, pas les probabilités

La mécanique quantique garde l'arithmétique des ondes, mais l'applique aux probabilités. À chaque façon dont un événement peut se produire (ici, l'électron atteint le point choisi en passant par la fente 1, ou par la fente 2), on associe un nombre complexe, son amplitude de probabilité : ${\psi }_1$ pour la première façon, ${\psi }_2$ pour la seconde. La règle comporte deux cas.

Quand rien dans le monde ne distingue ces façons, leurs amplitudes s'ajoutent, et la probabilité est le carré du module du total :
$\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2)$
Les deux premiers termes sont les probabilités de chaque fente seule. Le dernier, le terme croisé (ou terme d'interférence), peut être positif ou négatif, et c'est toute la différence avec le décompte classique. Quand un enregistrement indique quel chemin a été suivi, ce sont au contraire les probabilités des chemins séparés qui s'ajoutent, et le terme croisé est absent.

Pour utiliser la règle, il faut les amplitudes elles-mêmes. Une particule libre de quantité de mouvement $p$ a la longueur d'onde de de Broglie $\lambda =h/p$. Le long d'un chemin de longueur $r$, la phase de son amplitude avance de $kr$, où $k=p/\hslash =2\pi /\lambda$ est le nombre d'onde et $\hslash =h/(2\pi )$. Pour deux fentes identiques, les amplitudes valent ${\psi }_j=A{e}^{ik{r}_j}$, où $r_1$ et $r_2$ sont les longueurs des deux chemins jusqu'au point choisi. Elles ont la même taille $A$ et ne diffèrent que par la phase, de
$\delta =k(r_2-r_1)$
Tout ce qui suit vient de l'addition de deux tels nombres.

Deux flèches et leur somme

Légende

${\psi }_1$	Amplitude d'arrivée par la fente 1 : une flèche de longueur $A$ dont la direction est la phase.
${\psi }_2$	Amplitude d'arrivée par la fente 2 : de longueur $A$ aussi, tournée de $\delta$ par rapport à ${\psi }_1$.
$\psi$	Amplitude totale avec les deux fentes ouvertes : la diagonale ${\psi }_1+{\psi }_2$.
$A$	Longueur de chacune des deux flèches (fentes identiques).
$\delta$	Déphasage des deux amplitudes : l'angle entre les flèches.	$\mathrm{rad}$

Additionner deux nombres complexes revient à additionner deux flèches, et la figure 1 s'en sert pour rendre visible le terme croisé. Chaque amplitude est dessinée comme une flèche dans le plan complexe : sa longueur est son module $A$ et sa direction est sa phase. Seul compte l'angle $\delta$ entre ${\psi }_1$ et ${\psi }_2$, car tourner les deux flèches ensemble du même angle ne change aucune longueur, donc aucune probabilité.

La somme $\psi$ est une diagonale du losange construit sur les deux flèches (un losange, car les deux côtés ont la même longueur $A$). Regardez maintenant l'autre diagonale, en tirets. Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu à angle droit, ce que la figure marque. La moitié de $\psi$ est donc un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est ${\psi }_1$, de longueur $A$, et dont l'angle à l'origine vaut $\delta /2$. Ce côté vaut $A\cos (\delta /2)$, et en le doublant on obtient
$|\psi |=2A\cos \frac{\delta }{2}$
pour $\delta$ compris entre 0 et $\pi$ ; pour des angles plus grands, on prend la valeur absolue du cosinus.

En élevant au carré, et avec $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$, on sépare le résultat en les deux parties de la règle :
$|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2\frac{\delta }{2}=2A^2+2A^2\cos \delta$
Le premier terme, $2A^2$, est la somme à chemin connu $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$ ; le second, $2A^2\cos \delta$, est le terme croisé. Deux cas fixent l'image. Quand $\delta =0$, les flèches sont alignées, donc $|\psi |=2A$ et $|\psi {|}^2=4A^2$, le double de la valeur à chemin connu. Quand $\delta =\pi$, elles sont de sens opposés et s'annulent, donc $|\psi {|}^2=0$ : aucun électron n'arrive jamais là, alors que chaque fente seule en enverrait quelques-uns.

Pourquoi les amplitudes doivent-elles être des nombres complexes plutôt que des ondes réelles ? Chaque amplitude porte aussi un facteur temporel $e^{-iEt/\hslash }$, où $E$ est l'énergie de l'électron. L'énergie se conserve sur les deux chemins, donc le facteur est le même pour les deux : il fait tourner ensemble les deux flèches de la figure 1 et disparaît de $|\psi {|}^2$. Un faisceau stationnaire donne donc un taux de comptage stationnaire. Une onde réelle comme $\cos (kr-\omega t)$ ferait au contraire osciller la probabilité elle-même au cours du temps, ce qu'on n'observe jamais.

De la différence de marche aux franges

Légende

$d$	Distance entre les deux fentes.	$\mathrm{m}$
$L$	Distance de la plaque à fentes à l'écran.	$\mathrm{m}$
$y$	Hauteur de $P$ au-dessus de l'axe passant par le milieu des fentes.	$\mathrm{m}$
$P$	Point de l'écran où les deux amplitudes sont additionnées.
$\theta$	Angle entre l'axe et la droite allant du milieu des fentes à $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_1$	Longueur du chemin de la fente 1 à $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Longueur du chemin de la fente 2 à $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2-r_1$	Longueur supplémentaire du chemin 2, celle qui reste une fois que l'arc a reporté $r_1$ ; environ $d\sin \theta$ pour un écran lointain.	$\mathrm{m}$

Le déphasage $\delta$ dépend de l'endroit où l'électron arrive. La figure 2 donne la géométrie qui transforme une position sur l'écran en différence de marche, puis en phase.

Deux fentes, numérotées 1 et 2, sont distantes de $d$, et l'écran se trouve à la distance $L$ derrière la plaque. Un point $P$ de l'écran est à la hauteur $y$ au-dessus de l'axe qui passe par le milieu des fentes ; vu de ce milieu, $P$ est à l'angle $\theta$ de l'axe. Deux chemins mènent à $P$ : l'un de longueur $r_1$ depuis la fente 1, l'autre de longueur $r_2$ depuis la fente 2. Comme $P$ est au-dessus de l'axe, le chemin 2 est le plus long.

Pour trouver de combien, suivons l'arc de cercle de centre $P$ qui passe par la fente 1. Chaque point de l'arc est à la distance $r_1$ de $P$ ; c'est un morceau de front d'onde qui converge vers $P$, et dont tous les points arrivent en phase. L'endroit où l'arc coupe le chemin 2 a donc reporté une longueur $r_1$, mesurée en remontant depuis $P$. Ce qui reste du chemin 2 du côté des fentes, le segment épais, est la longueur supplémentaire $r_2-r_1$.

L'écran réel est des millions de fois plus loin que $d$, donc les deux chemins sont presque parallèles et le petit arc est presque un segment perpendiculaire aux deux. L'arc, le segment épais et la plaque entre les fentes forment alors un petit triangle rectangle d'hypoténuse $d$. Son angle à la fente 1 vaut $\theta$, car l'arc est perpendiculaire aux chemins et la plaque perpendiculaire à l'axe. Le côté opposé à cet angle est la longueur supplémentaire :
$r_2-r_1\approx d\sin \theta$
et le déphasage de la figure 1 est
$\delta =k(r_2-r_1)=\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$

Les franges brillantes sont là où les flèches de la figure 1 sont alignées, $\delta =2\pi m$ avec $m$ entier, c'est-à-dire $d\sin \theta =m\lambda$ : la longueur supplémentaire est un nombre entier de longueurs d'onde. Les angles sont minuscules, donc $\sin \theta \approx y/L$, et les franges brillantes se trouvent en $y_m=m\lambda L/d$. Elles sont équidistantes, séparées d'un interfrange
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
et les franges sombres sont exactement entre elles, là où $\delta$ est un multiple impair de $\pi$.

Lire l'histogramme

Légende

$n$	Nombre d'électrons arrivés dans un intervalle de largeur $\Delta y/3$.
$y$	Position le long de l'écran, mesurée depuis le centre de la figure d'interférence.	$\mathrm{m}$
$|\psi {|}^2$	Densité de probabilité avec les deux fentes ouvertes (trait plein), en comptages par intervalle.
$|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$	Somme à chemin connu : la figure obtenue quand la fente de chaque électron est enregistrée (tirets), d'aire presque égale.
$\Delta y$	Distance entre franges brillantes voisines, $\lambda L/d$ ; le facteur de fente unique s'annule pour la première fois en $4\Delta y$.	$\mathrm{m}$

La figure 3 confronte la théorie à des électrons comptés. C'est ce que construit le niveau expert de l'animation : 560 électrons, classés selon l'endroit où ils sont arrivés le long de la coordonnée d'écran $y$, en intervalles d'un tiers d'interfrange de largeur. La hauteur $n$ de chaque barre dorée est le nombre d'électrons de son intervalle. Deux courbes sont tracées au-dessus des barres, toutes deux en comptages par intervalle : la courbe en trait plein est la prédiction quantique $|\psi {|}^2$, et la courbe en tirets est la somme à chemin connu $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$, la figure attendue si la fente de chaque électron était enregistrée.

Comparons d'abord les deux courbes. Pour deux fentes identiques, $|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2(\delta /2)$, soit le double de la valeur en tirets $2A^2$ sur chaque frange brillante, et zéro sur chaque frange sombre. Le terme croisé $2A^2\cos \delta$ est positif sur une moitié de chaque frange et négatif sur l'autre, donc sa moyenne sur une frange est nulle. Les deux courbes délimitent par conséquent presque la même aire : l'interférence déplace des arrivées des bandes sombres vers les bandes brillantes, mais n'en crée ni n'en détruit aucune.

Vient ensuite la lente décroissance des deux courbes quand on s'éloigne du centre. C'est le facteur de fente unique. Chaque fente a sa propre largeur, ici $a=d/4$, et les ondes issues de différentes parties d'une même fente interfèrent aussi entre elles. Il en résulte que $A$ n'est pas constante mais dépend de $y$ par l'enveloppe $\sin \beta /\beta$, avec $\beta =\pi ay/(\lambda L)$. L'enveloppe s'annule pour la première fois en $\beta =\pi$, c'est-à-dire en $y=\lambda L/a=4\Delta y$, le repère de droite sous l'axe. Sur les franges brillantes d'ordres 0 à 3, l'enveloppe d'intensité $(\sin \beta /\beta {)}^2$ vaut 1 ; 0,81 ; 0,41 et 0,09 de sa valeur centrale, et l'ordre 4 manque, car il tombe exactement sur le zéro. L'écran s'arrête vers $3,2\Delta y$, là où les barres s'arrêtent.

Enfin, les barres face à la courbe en trait plein. Dans l'animation, l'intervalle central finit avec 94 des 560 électrons et chaque intervalle du premier ordre avec 77. La courbe culmine près de 104 par intervalle, mais même un tirage parfait laisserait la barre centrale un peu en dessous. Une barre compte tout ce qui tombe dans son intervalle : elle moyenne donc la courbe sur un tiers de frange, et la moyenne de ${\cos }^2$ sur cette largeur, centrée sur un maximum, vaut 0,91.

Dans un tirage réel, chaque comptage fluctue aussi : un intervalle où l'on attend $n$ électrons en reçoit environ $n\pm \sqrt{n}$. Pour l'intervalle central, cela fait une dispersion relative de 10 %, et elle ne tombe à 1 % qu'à 10 000 comptages par intervalle. C'est pourquoi les premières dizaines de points ressemblent à du bruit. L'onde prédit la distribution de nombreuses arrivées ; elle ne dit jamais où tombera le prochain électron.

Observer les électrons

Cette section pose la question évidente : pourquoi ne pas simplement regarder par quelle fente passe chaque électron ? Éclairons la région juste derrière les fentes, de sorte que chaque électron qui passe diffuse un photon et qu'un éclair montre où il est allé. Chaque électron est alors vu à une fente, jamais aux deux. Trions les électrons selon leur éclair : ceux vus à la fente 1 arrivent selon $|{\psi }_1{|}^2$, ceux vus à la fente 2 selon $|{\psi }_2{|}^2$. Ensemble, ils forment la courbe en tirets de la figure 3. Une fois le chemin enregistré, les probabilités s'ajoutent, comme le dit la règle, et les franges disparaissent.

Peut-on rendre la lumière assez douce pour ne pas perturber les électrons ? Une lumière plus faible n'y change rien, car la lumière vient en photons : plus faible veut dire des photons plus rares, pas plus faibles. Un électron diffuse soit un photon entier, et il est alors repéré et rejoint la figure lisse, soit aucun, et il rejoint les franges. L'autre possibilité est d'utiliser des photons plus doux. Un photon de longueur d'onde ${\lambda }_{\gamma }$ porte la quantité de mouvement $h/{\lambda }_{\gamma }$, donc une longueur d'onde plus grande donne un choc plus doux. Mais un éclair ne peut être localisé qu'à environ sa propre longueur d'onde près. Pour distinguer des fentes distantes de $d$, il faut donc ${\lambda }_{\gamma }$ inférieure à environ $d$, et ainsi une quantité de mouvement du photon d'au moins environ $h/d$. La section suivante montre qu'un choc de cette taille suffit juste à effacer les franges.

Un choc de la taille d'un interfrange

Légende

$\vec{p}$	Quantité de mouvement de l'électron avant la diffusion du photon.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Quantité de mouvement après le choc : de même longueur, tournée d'un petit angle.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$h/d$	Plus grand choc latéral dû à un photon de longueur d'onde assez courte pour distinguer les fentes.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda /d$	Plus grand angle dont le choc tourne la trajectoire de l'électron ; c'est aussi l'angle entre deux franges brillantes voisines.	$\mathrm{rad}$
$\Delta y$	Distance sur l'écran entre le centre de la figure et la frange brillante suivante, $\lambda L/d$.	$\mathrm{m}$

La figure 4 compare le choc donné par un tel photon à l'écart des franges. À gauche, l'électron arrive avec la quantité de mouvement $\vec{p}$. Le photon se diffuse sur lui dans une direction inconnue et lui communique une quantité de mouvement latérale pouvant aller jusqu'à environ $h/d$ : c'est la flèche allant de la pointe de $\vec{p}$ à la pointe de la nouvelle quantité de mouvement ${\vec{p}}^{\prime }$. Le choc est petit et latéral, donc ${\vec{p}}^{\prime }$ garde la longueur de $\vec{p}$ mais est tournée d'un angle pouvant atteindre environ $(h/d)/p$. Avec $p=h/\lambda$, cet angle vaut $\lambda /d$.

À droite, le même angle apparaît dans le dispositif. Vus depuis les fentes, le milieu de la figure et la frange brillante suivante, à la distance $\Delta y$ sur un écran à la distance $L$, sont séparés d'un angle $\Delta y/L$, et $\Delta y/L=\lambda /d$ puisque $\Delta y=\lambda L/d$. Un choc assez fort pour trouver la fente fait donc tourner l'électron d'un angle pouvant atteindre celui qui sépare deux franges voisines, dans une direction aléatoire. Chaque point d'arrivée est déplacé au hasard d'une quantité pouvant atteindre environ une frange entière, et les bandes brillantes et sombres se fondent les unes dans les autres.

En chiffres, pour les électrons de 50 eV de l'exemple résolu ci-dessous et des fentes distantes de 0,50 µm, un photon de 0,50 µm ne porte que 1/2900 de la quantité de mouvement de l'électron, et pourtant, sur un écran à 2,0 m, il peut décaler le point d'arrivée de 0,69 mm au plus, soit une frange entière. Dès que ${\lambda }_{\gamma }$ dépasse $d$, les franges commencent à revenir, parce que l'éclair ne montre plus quelle fente a été utilisée.

Ce compromis n'est pas une faiblesse de la lumière comme moyen d'observation. C'est le principe d'incertitude, qui limite les dispersions $\Delta x$ et $\Delta p$ d'une position et d'une quantité de mouvement selon une même direction :
$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$
Situer l'électron à une fente fixe sa position latérale à mieux que $d$ environ, donc sa quantité de mouvement latérale doit se disperser d'au moins de l'ordre de $\hslash /d$, quel que soit l'instrument qui le situe. L'estimation ci-dessus est bonne à des facteurs de l'ordre de 1 près ; l'exemple résolu ci-dessous fait le calcul exact pour un autre détecteur. La limite doit valoir pour tout appareil. Un électron situé mais non perturbé devrait faire des franges, puisque rien ne l'a perturbé, et n'en faire aucune, puisque son chemin est connu et que les probabilités s'ajoutent : la théorie se contredirait. La limite appartient à la nature, non à la maladresse des instruments.

Information de chemin partielle

Les vrais détecteurs peuvent se situer n'importe où entre ne rien enregistrer et enregistrer parfaitement le chemin, et entre les deux les franges s'estompent exactement de la bonne quantité. Pour voir comment, traitons le détecteur lui-même comme un système quantique. Si l'électron passe par la fente 1, le détecteur finit dans l'état noté $|D_1⟩$ ; s'il passe par la fente 2, dans l'état $|D_2⟩$. Leur recouvrement $⟨D_1|D_2⟩$ est un nombre complexe, de module compris entre 0 et 1, qui mesure à quel point les deux états se ressemblent. L'électron et le détecteur finissent ensemble dans l'état ${\psi }_1|D_1⟩+{\psi }_2|D_2⟩$, et quand on n'observe que le point d'arrivée de l'électron, le carré du module de cette somme fait entrer le recouvrement dans le terme croisé :
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2⟨D_1|D_2⟩)$

Des états identiques (recouvrement 1) n'enregistrent rien et laissent des franges complètes ; des états orthogonaux (recouvrement 0) enregistrent parfaitement le chemin et n'en laissent aucune. Entre les deux, deux nombres décrivent le résultat. Les franges se mesurent par leur visibilité
$V=\frac{P_{\max }-P_{\min }}{P_{\max }+P_{\min }}$
où $P_{\max }$ et $P_{\min }$ sont les probabilités sur une frange brillante et sur la frange sombre voisine, de sorte que $V=1$ pour des franges parfaites et $V=0$ pour aucune. Pour des amplitudes égales, $V=|⟨D_1|D_2⟩|$. L'information de chemin se mesure par la discernabilité $D$, définie de sorte que la meilleure estimation possible de la fente, faite à partir du détecteur, soit juste avec la probabilité $(1+D)/2$ : $D=0$ est un tirage à pile ou face et $D=1$ une certitude. Alors
$V^2+D^2\le 1$
avec égalité quand le détecteur part d'un état quantique bien défini. Une connaissance partielle du chemin ne donne que des franges partielles ; connaissance complète et franges complètes ne vont jamais ensemble.

Personne n'a besoin de lire l'enregistrement ; il suffit qu'il existe. Une molécule de gaz qui rebondit sur l'électron est un tel détecteur, et il en va de même, pour une grosse molécule envoyée à travers les fentes, d'un photon de rayonnement thermique que la molécule chaude émet en vol. Chaque événement de ce genre multiplie le recouvrement par un nouveau facteur inférieur à 1, et après de nombreux événements le terme croisé a disparu. Cette perte d'interférence au profit de l'environnement s'appelle la décohérence, et c'est pourquoi les expériences d'ondes de matière exigent un vide poussé.

Exemple résolu : la plaque à fentes qui recule

Dans les débats de la fin des années 1920 entre Einstein et Bohr, une proposition consistait à lire le chemin de l'électron dans le recul de la plaque à fentes. Prenons les électrons de 50 eV de l'animation à l'échelle réelle de l'exemple intermédiaire ($\lambda =0,173\mathrm{nm}$, $d=0,50\mu \mathrm{m}$, $L=2,0\mathrm{m}$, donc $\Delta y=0,69\mathrm{mm}$), avec une plaque libre de glisser latéralement. Avec quelle précision faut-il connaître la quantité de mouvement de la plaque, et que deviennent les franges ?

Étape 1, les deux reculs. Un électron qui atteint le centre de l'écran en passant par la fente 1, à la distance $d/2$ au-dessus de l'axe, est dévié vers l'axe d'un angle $d/(2L)$ ; par la fente 2, il est dévié dans l'autre sens du même angle. Sa quantité de mouvement latérale change de $pd/(2L)$ dans un sens ou dans l'autre, et, par conservation de la quantité de mouvement, la plaque reçoit le choc opposé. Les deux chocs possibles subis par la plaque diffèrent de
$\delta p=\frac{pd}{L}=\frac{h}{\Delta y}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{6,94\times 10^{-4}}=9,5\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$
où l'étape du milieu utilise $p=h/\lambda$ et $\Delta y=\lambda L/d$. (Ici $\delta p$ est une différence de quantités de mouvement, et non le déphasage $\delta$.)

Étape 2, la position de la plaque. Pour distinguer sûrement les deux chocs, la dispersion de la quantité de mouvement de la plaque doit être bien inférieure à $\delta p$ ; prenons un écart-type ${\sigma }_p=\delta p/4=2,4\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$. Les écarts-types sont les dispersions du principe d'incertitude, donc la position de la plaque doit alors être dispersée d'au moins
${\sigma }_x=\frac{\hslash }{2{\sigma }_p}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\cdot 2,4\times 10^{-31}}=2,2\times 10^{-4}\mathrm{m}$

Étape 3, les franges. Cela fait $\Delta y/\pi$, environ un tiers de frange. La figure est liée aux fentes, donc elle est aussi incertaine en position que la plaque. Moyenner les franges en ${\cos }^2$ sur une dispersion gaussienne ${\sigma }_x$ multiplie leur contraste par $e^{-2{\pi }^2{\sigma }_x^2/\Delta y^2}=e^{-2}=0,14$. La règle du détecteur de la section précédente donne la même réponse vue de l'autre côté. Les deux états finaux possibles de la plaque sont des distributions de largeur ${\sigma }_p$ dont les centres diffèrent de $\delta p$, et leur recouvrement vaut $e^{-\delta p^2/(8{\sigma }_p^2)}=e^{-2}$. Donc $V=0,14$ et $D=\sqrt{1-e^{-4}}=0,99$ : le chemin est connu presque à coup sûr, et les franges ont presque disparu.

Étape 4, une plaque plus lâche. Si sa quantité de mouvement n'est connue qu'à ${\sigma }_p=\delta p$ près, les franges gardent une visibilité de 88 %, mais le chemin n'est révélé qu'avec $D=0,47$. Dans les deux cas $V^2+D^2=1$ : une plaque dans un état quantique bien défini est sur la frontière, et aucune plaque ne fait mieux.

Limites de validité

La relation $p=\sqrt{2mE}$, où $E$ est l'énergie cinétique, ignore la relativité. C'est sans conséquence à 50 eV, soit un dix-millième de l'énergie de masse de l'électron $m{c}^2=511\mathrm{keV}$. Dans un microscope électronique de 100 kV, en revanche, la quantité de mouvement exacte, tirée de $pc=\sqrt{E^2+2Em{c}^2}$, donne $\lambda =3,70\mathrm{pm}$, alors que la formule simple donne 3,88 pm, soit environ 5 % de trop. La relation $\lambda =h/p$ elle-même reste exacte ; seul le lien entre $p$ et $E$ change.

La formule des franges exige de petits angles et un écran en champ lointain, $L\gg d^2/\lambda$, soit 1,4 mm dans l'exemple contre $L=2\mathrm{m}$. Les franges demandent aussi un faisceau cohérent : une petite source, pour que les deux fentes reçoivent la même onde, et une énergie presque unique, pour que tous les électrons aient la même longueur d'onde et le même interfrange.

Pour les gros objets, l'onde est réelle mais invisible, pour deux raisons. La première est la longueur d'onde. Une balle de 0,15 kg à 30 m/s a $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$ : derrière des fentes distantes de 10 cm, un écran à 10 m porterait des franges séparées de $1,5\times 10^{-32}\mathrm{m}$, et un détecteur de la taille d'un proton en moyennerait quelque $10^{17}$ en une courbe lisse. La seconde est la décohérence : dans l'air, la balle est frappée par environ $5\times 10^{25}$ molécules par seconde, dont chacune est un enregistrement de chemin. Pourtant, on ne connaît aucune frontière nette entre objets quantiques et classiques. Des molécules de 60 atomes de carbone, avec $\lambda =2,5\mathrm{pm}$ à 220 m/s, ont produit des franges derrière un réseau de période 100 nm, et, plus tard, des molécules d'environ 2000 atomes aussi.

Et ensuite

La leçon Équation de Schrödinger et effet tunnel transforme l'amplitude en une fonction d'onde qui obéit à sa propre équation, avec $E=\hslash \omega$ et $p=\hslash k$, et la laisse fuir à travers des barrières qu'une particule classique ne pourrait jamais franchir. Les orbites de la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr sont celles qui contiennent un nombre entier de longueurs d'onde, $2\pi r=n\lambda$, ce qui équivaut à un moment cinétique $n\hslash$. Dans la leçon Semi-conducteurs, diodes et LED, les ondes d'électrons dans un cristal périodique forment des bandes d'énergie. La leçon Particules et forces : le modèle standard traite chaque particule comme le quantum d'un champ et calcule chaque processus en additionnant les amplitudes de ses histoires alternatives, dessinées sous forme de diagrammes d'interaction : c'est la règle de cette leçon dans sa forme la plus générale.