Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект

Начальный

Шаг 1: энергия ставит предел. Мяч, катящийся в горку, расплачивается скоростью за высоту. Если ему не хватает энергии добраться до вершины, он останавливается на полпути и скатывается обратно — каждый раз, ведь энергия не берётся из ниоткуда.

Шаг 2: очень маленькие объекты ведут себя как волны. Свет иногда ведёт себя как волна, а иногда как поток частиц (фотонов), и электроны тоже. Электрон описывается волной, которую обозначают $\psi$ (греческая буква «пси»). Где волна большая, электрон, скорее всего, и найдут; где она плоская — почти никогда. В анимации синяя линия — волна электрона, а закрашенный горб показывает, где он, вероятно, находится.

Шаг 3: волна может просочиться сквозь тонкую стену. Жёлтая линия — энергия электрона, а серая стена выше: мяч всегда вернулся бы назад. Смотрите: большая часть волны отражается, но за стеной появляется волна поменьше и движется дальше. При этом каждый электрон обнаруживают целиком — либо вернувшимся налево, либо прошедшим направо; здесь проходит примерно один из пяти. Это туннельный эффект. Свет тоже так умеет: запертый в стекле полным внутренним отражением, он может перескочить через очень тонкий воздушный зазор во второй кусок стекла.

Проверьте себя: стену сделали вдвое толще. Пройдёт больше электронов или меньше? Ответ: гораздо меньше, ведь внутри стены волна быстро затухает. А сквозь более низкую стену проходит больше.

Шаг 4: у запертой волны только определённые энергии. В ящике справа волна должна уместиться между стенками, как гитарная струна, поэтому разрешено только целое число полуволн, и у каждого варианта своя энергия. Электроны в атомах тоже заперты — поэтому у атомов есть уровни энергии.

Благодаря туннельному эффекту сливаются ядра в недрах Солнца и хранятся фотографии во флеш-памяти.

Средний

Волновая функция и вероятности

В квантовой механике у электрона нет определённой траектории. Его состояние — волновая функция $\psi (x)$, волна, которую никогда не видят непосредственно: детектор находит электрон целиком в одном месте, а волновая функция лишь говорит, насколько вероятно каждое место.

По правилу Борна $|\psi {|}^2$ — это вероятность на единицу длины, а вероятность найти частицу между двумя точками равна площади под этой кривой:
$P=\int |\psi {|}^{2}dx$

В анимации $|\psi {|}^2$ — фиолетовая заливка, а синяя линия — действительная часть волны, $\mathrm{Re}\psi$. Табло $P(\text{слева})$, $P(\text{в барьере})$ и $P(\text{справа})$ показывают площади заливки в трёх областях; по всей прямой они в сумме дают 1.

Уравнение Шрёдингера на диаграмме энергий

Для частицы с определённой энергией $E$ волновая функция подчиняется стационарному уравнению Шрёдингера:
$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$
Здесь $m$ — масса, $V(x)$ — потенциальная энергия, а $\hslash =h/2\pi$ — приведённая постоянная Планка. Читайте его как баланс энергии: кинетическая плюс потенциальная энергия равна $E$, а кинетическая часть определяется тем, насколько сильно изогнута $\psi$.

Анимация — диаграмма энергий: по горизонтали отложено положение, по вертикали — энергия. Серый барьер — это $V(x)$: ноль по обе стороны и $V_0$ внутри, а жёлтая линия — это $E$, вокруг неё нарисована волна. Там, где $E>V$, волна колеблется с длиной волны де Бройля
$\lambda =\frac{h}{p},p=\sqrt{2m(E-V)}$
как это и делает синяя волна по обе стороны от барьера.

Там, где $E<V$, классическая частица находиться не могла бы: её кинетическая энергия была бы отрицательной. У уравнения и там есть решения, но это экспоненты, а не волны, и убывающая из них постепенно затухает внутри стены.

Внутри барьера: затухание и прохождение

Внутри толстого барьера высотой $V_0$ волна затухает как $e^{-\kappa x}$ с постоянной затухания
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$
На длине затухания $1/\kappa$ амплитуда уменьшается в $e\approx 2,72$ раза. Чем больше нехватка энергии $V_0-E$ или масса частицы, тем больше $\kappa$ и тем быстрее затухание.

Тонкий барьер оставляет на другой стороне часть волны с той же длиной волны, но с меньшей амплитудой. Доля электронов, которые проходят, — это вероятность прохождения $T$, доля вернувшихся — $R$, и $R+T=1$. Для барьера шириной $a$, много большей $1/\kappa$,
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
Амплитуда умножается на $e^{-\kappa a}$, а вероятность — на её квадрат; множитель перед экспонентой, никогда не превышающий 4, зависит только от $E/V_0$.

Ширина стоит в показателе экспоненты, поэтому туннелирование чрезвычайно чувствительно к ней: каждые добавленные $1/(2\kappa )$ толщины уменьшают $T$ в $e$ раз. Для барьеров высотой в несколько электронвольт много электронов пропускают лишь слои толщиной не более нескольких нанометров.

Пример: барьер из анимации

Электрон с энергией $E=3\mathrm{эВ}$ налетает на барьер высотой $V_0=4\mathrm{эВ}$ и шириной $a=0,25\mathrm{нм}$ — это значения, написанные на сцене. Вершина барьера на 1 эВ, то есть на $1,60\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, выше энергии электрона, поэтому
$\kappa =\frac{\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 1,60\times 10^{-19}}}{1,055\times 10^{-34}}\approx 5,12\times 10^9{\mathrm{м}}^{-1}=5,12\mathrm{н}{\mathrm{м}}^{-1}$
а длина затухания $1/\kappa =0,195\mathrm{нм}$ немного меньше ширины барьера.

Тогда $2\kappa a=2\cdot 5,12\cdot 0,25=2,56$ и $e^{-2,56}\approx 0,077$. Множитель перед экспонентой равен $16\cdot 0,75\cdot 0,25=3$, поэтому
$T\approx 3\cdot 0,077\approx 0,23$
Точная формула экспертного уровня даёт 0,214, а движущийся пакет, в котором есть небольшой разброс энергий, — 0,218. К этому значению и приходят показания табло: $P(\text{справа})=0,22$ и $P(\text{слева})=0,78$.

Вне барьера $\lambda =h/\sqrt{2mE}=0,708\mathrm{нм}$, и прошедшая волна имеет ту же длину волны, но лишь около $\sqrt{0,22}\approx 0,47$ амплитуды падающей. Перед барьером падающая и отражённая волны накладываются и образуют высокие пики на расстоянии $\lambda /2=0,354\mathrm{нм}$ друг от друга. Примерно через 4 с табло показывают 0,80 слева, 0,10 в барьере и 0,10 справа: на мгновение десятая часть вероятности оказывается внутри стены.

Пример: сканирующий туннельный микроскоп

Тонкое металлическое остриё удерживают на доле нанометра над проводящей поверхностью. Для электронов у верхнего края заполненных уровней зазор — барьер, вершина которого лежит примерно на одну работу выхода выше них, здесь $V_0-E=4,5\mathrm{эВ}$, а ток пропорционален прохождению, $I\propto e^{-2\kappa d}$, где $d$ — ширина зазора. Во сколько раз изменится ток, если остриё приблизить на 0,1 нм?

Поскольку $\kappa$ растёт как корень из нехватки энергии, $\kappa =5,12\cdot \sqrt{4,5}\approx 10,9\mathrm{н}{\mathrm{м}}^{-1}$, а множитель перед экспонентой в отношении сокращается: $I_2/I_1=e^{2\kappa \Delta d}=e^{2\cdot 10,9\cdot 0,1}=e^{2,17}\approx 8,8$. При более круглом значении $\kappa \approx 10\mathrm{н}{\mathrm{м}}^{-1}$ получается $e^2\approx 7$: сдвиг меньше половины диаметра атома увеличивает ток в несколько раз.

Бугорок высотой всего 0,01 нм меняет ток в $e^{0,217}\approx 1,24$ раза, то есть на 24 %, а атомная ступенька высотой 0,2 нм — примерно в 77 раз. Петля обратной связи двигает остриё так, чтобы при сканировании ток оставался постоянным, и тогда высота острия очерчивает поверхность атом за атомом.

Запертые волны: уровни энергии в ящике

Теперь запрём электрон в ящике шириной $L$, где внутри $V=0$, а стенки он пройти не может. Волновая функция должна обращаться в нуль у обеих стенок, как гитарная струна, закреплённая с двух концов, поэтому укладывается только целое число полуволн, $L=n\lambda /2$. Тогда $p=h/\lambda =nh/(2L)$, и кинетическая энергия $p^2/2m$ даёт разрешённые энергии
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$
где $n=1,2,3,\dots$ — число полуволн; $n=0$ означало бы отсутствие волны вовсе, поэтому наименьшая энергия никогда не равна нулю.

Уровни растут как $n^2$, в отношении 1 : 4 : 9, как в ящике анимации, подписанном $E_1$, $4E_1$ и $9E_1$. Каждая стоячая волна сохраняет неизменную заливку $|{\psi }_n{|}^2$: состояние с определённой энергией стационарно. При $L=1\mathrm{нм}$ получаем $E_1=(6,626\times 10^{-34}{)}^2/(8\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 10^{-18})\approx 6,0\times 10^{-20}\mathrm{Дж}=0,38\mathrm{эВ}$, поэтому $E_2=1,50\mathrm{эВ}$ и $E_3=3,38\mathrm{эВ}$. Переход с $n=3$ на $n=2$ высвобождает $5E_1=1,88\mathrm{эВ}$ — красный фотон с длиной волны около 660 нм. Чем меньше ящик, тем дальше друг от друга уровни, как $1/L^2$.

Частые ошибки

• Электрон не теряет энергию в барьере. За ним длина волны по-прежнему 0,708 нм, поэтому электрон с энергией 3 эВ выходит с теми же 3 эВ; меньше только амплитуда.
• Электрон не делится на части. $P(\text{справа})=0,22$ означает, что примерно 22 из каждых 100 электронов обнаруживаются за барьером, и каждый — целиком.
• Прохождение не обратно пропорционально ширине: при увеличении ширины с 0,25 нм до 0,5 нм $T$ падает с 0,214 до 0,018, примерно в двенадцать раз, потому что удвоение ширины возводит экспоненциальный множитель в квадрат.
• Масса важна не меньше энергии. Для протона с теми же 3 эВ при том же барьере $\kappa$ больше в $\sqrt{1836}\approx 43$ раза, поэтому $2\kappa a\approx 110$ и $T\approx 6\times 10^{-48}$.

Где это встречается

Флеш-память хранит каждый бит как заряд на изолированном затворе: его записывают и стирают, пропуская электроны сквозь изолирующий слой толщиной в несколько нанометров. Туннельные диоды, сканирующие туннельные микроскопы и вылет альфа-частиц из ядер подчиняются правилу этого урока, а протоны в недрах Солнца сливаются только благодаря туннелированию.

Те же волновые правила управляют светом в уроке «Отражение и преломление», где полностью отражённый пучок может пройти через тонкий зазор. Ядра туннелируют в уроках «Радиоактивность и период полураспада» и «Деление, синтез и E = mc²»; урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» строит энергетические зоны из электронных волн, а в уроке «Модели атома: атом Бора» встречаются родственники уровней в ящике.

Продвинутый

Одна частота, много длин волн

Туннелирование — волновой эффект, поэтому начнём с волны частицы с определённой энергией и посмотрим, как она меняется, когда потенциальная энергия меняется вдоль пути. Два правила определяют почти всё дальнейшее: частота одинакова повсюду, а длина волны подстраивается под местную кинетическую энергию. Там, где кинетическая энергия была бы отрицательной, волна не обрывается резко, а затухает.

Обозначения

$E$	Энергия состояния: одно значение на всю волну.	$\mathrm{Дж}$
$V(x)$	Потенциальная энергия в точке $x$, серым: $0$, $\frac{3}{4}E$ и $\frac{5}{4}E$.	$\mathrm{Дж}$
$\psi$	Волновая функция: её вещественная часть в один момент времени.	${\mathrm{м}}^{-1/2}$
$x$	Координата вдоль линии движения.	$\mathrm{м}$
${\lambda }_1$	Длина волны на самом низком уровне, где $E-V$ наибольшая.	$\mathrm{м}$
${\lambda }_2$	Длина волны на среднем уровне, где $E-V$ в четыре раза меньше: ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$.	$\mathrm{м}$
${\kappa }^{-1}$	Длина затухания там, где $V>E$: на ней $\psi$ падает до $1/e$ своего значения на краю.	$\mathrm{м}$

На рисунке 1 показано одно состояние с энергией $E$ (фиолетовая линия), пересекающее три горизонтальных уровня потенциальной энергии $V(x)$ (серые). Ниже синяя кривая — волновая функция $\psi$ в один момент времени. На самом низком уровне $V=0$, и волна колеблется с длиной волны ${\lambda }_1$. На среднем уровне $V=\frac{3}{4}E$, так что кинетическая энергия $E-V$ составляет лишь четверть прежней: волна растягивается до ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$, а её гребни становятся выше. На самом высоком уровне $V=\frac{5}{4}E$ лежит выше $E$. Там волна перестаёт колебаться и затухает: на коротком расстоянии ${\kappa }^{-1}$, отмеченном справа, она падает до $1/e$ своего значения на краю. Обратите внимание и на два перехода между уровнями: в них кривая непрерывна и не имеет излома.

Почему частота общая. Когда $V$ не зависит от времени, состояние с определённой энергией имеет вид $\psi (x)e^{-i\omega t}$: неизменная в пространстве форма, умноженная на один колеблющийся множитель, с одной и той же циклической частотой $\omega =E/\hslash$ при любом $x$. Ничто в потенциале не меняется со временем, поэтому ничто не может заставить одну часть волны колебаться быстрее другой. Свет, входящий в стекло, ведёт себя так же: он сохраняет частоту и меняет лишь длину волны. Одна частота на всю волну означает одну энергию на всё движение. Это закон сохранения энергии на языке волн.

Почему меняется длина волны. Заданная энергия по-разному делится между кинетической и потенциальной в разных местах. Если записать $\hslash \omega =p^2/2m+V(x)$ и решить относительно импульса, получится местный импульс $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$, а с ним и местная длина волны $h/p(x)$. Где $V$ падает, $p$ больше, и волны сгущаются; где $V$ растёт, они растягиваются. На среднем уровне рисунка 1 кинетическая энергия в четыре раза меньше, поэтому $p$ вдвое меньше, а длина волны вдвое больше: от ${\lambda }_1$ к ${\lambda }_2$. Гребни там выше потому, что более медленная частица дольше находится на каждом участке пути, а значит, её там вероятнее найти.

Что происходит там, где $V>E$. Классическая частица никогда не может там оказаться, так как её кинетическая энергия $E-V$ была бы отрицательной: это классически запрещённая область. В формуле квадратный корень из отрицательного числа мнимый, $p=i\hslash \kappa$, с вещественной постоянной затухания
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }$
Подстановка в плоскую волну $e^{ipx/\hslash }$ превращает её в вещественную экспоненту $e^{-\kappa x}$. Уравнение допускает и растущее решение $e^{+\kappa x}$, но в запрещённой области, которая тянется без конца, оно заставило бы $\psi$ неограниченно расти, поэтому его отбрасывают. Итак, амплитуда в запрещённую область проникает, но затухает там в $e$ раз на каждой длине $1/\kappa$. На рисунке 1 величина $V-E$ на верхнем уровне равна $E-V$ на среднем, поэтому $\kappa$ равно волновому числу среднего уровня $2\pi /{\lambda }_2$, а длина затухания ${\kappa }^{-1}={\lambda }_2/2\pi$: волна исчезает примерно на шестой части длины волны.

Свет затухает так же, и это можно увидеть на лабораторном столе. Луч идёт в стекле с показателем преломления $n$ под углом $\theta$ к нормали к поверхности, за которой воздух. Картина волны вдоль поверхности должна совпадать по обе стороны, поэтому составляющая волнового вектора вдоль поверхности, $k_y=n\omega \sin \theta /c$, в воздухе та же. Но в воздухе весь волновой вектор имеет длину лишь $\omega /c$. За предельным углом полного отражения, где $n\sin \theta >1$, составляющая вдоль поверхности уже сама по себе длиннее, поэтому квадрат составляющей поперёк зазора отрицателен:
$k_x^2=(\omega /c{)}^2-k_y^2=(\omega /c{)}^2(1-n^2{\sin }^2\theta )$
Тогда $k_x=i\kappa$ мнимо, и поле в воздухе затухает как $e^{-\kappa x}$. Для $n=1,5$ при 60° получаем $\kappa {\lambda }_0=2\pi \sqrt{n^2{\sin }^2\theta -1}\approx 5,2$, где ${\lambda }_0$ — длина волны в вакууме. Зелёный свет с длиной волны 550 нм затухает на длине около 0,1 мкм. Поднесите так близко второй блок стекла, и часть света перейдёт через зазор в него. Это нарушенное полное внутреннее отражение: проникновение сквозь барьер для фотонов.

Сшивка на краях: точное прохождение

Теперь сделаем запрещённую область конечной: барьер с разрешённой областью по обе стороны. Затухающая волна доходит до дальней стороны с уменьшенной, но не нулевой амплитудой и там снова порождает бегущую волну. Чтобы узнать, сколько проходит, решим волновое уравнение в каждой области и сошьём решения на краях.

Обозначения

$V_0$	Высота барьера.	$\mathrm{Дж}$
$E$	Энергия волны, ниже вершины барьера.	$\mathrm{Дж}$
$a$	Ширина барьера.	$\mathrm{м}$
$\psi$	Волновая функция: её вещественная часть в один момент времени.	${\mathrm{м}}^{-1/2}$
$x$	Координата вдоль линии движения.	$\mathrm{м}$
$r$	Амплитуда отражённой волны при падающей волне амплитуды 1.
$t$	Амплитуда прошедшей волны за барьером в том же масштабе.

На рисунке 2 показана волна единичной амплитуды, приходящая слева на барьер высотой $V_0$ и шириной $a$. Она нарисована для $E=\frac{3}{4}{V}_0$ и $\kappa a=1,6$, то есть для барьера чуть тоньше половины длины волны. Перед барьером падающая волна (стрелка 1) и отражённая (стрелка $r$) накладываются и образуют почти стоячую волну. Внутри кривая загибается от оси и опускается. За барьером вправо идёт одна волна с амплитудой $t$, и оттуда ничто не возвращается. Длины стрелок — это амплитуды: здесь $|r|=0,94$ и $|t|=0,34$. Две точки отмечают края, где $\psi$ и её наклон ${\psi }^{\prime }$ должны иметь одинаковые значения по обе стороны.

Почему они должны совпадать? Перепишем уравнение Шрёдингера как утверждение о кривизне:
$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\psi$
Там, где $V<E$, кривизна противоположна по знаку $\psi$, поэтому кривая всегда загибается к оси и колеблется. Там, где $V>E$, знак тот же, поэтому кривая загибается от оси, как $e^{\pm \kappa x}$. На краю $V$ скачет на конечную величину, значит, кривизна тоже скачет, но остаётся конечной. Конечная кривизна, действующая на исчезающе малом расстоянии, не может изменить наклон, поэтому ${\psi }^{\prime }$ непрерывна; а кривая с конечным наклоном не может совершить скачок, поэтому непрерывна и $\psi$. Вот почему кривая на рисунке 2 проходит через точки без излома.

Теперь вычисление. Поместим барьер на отрезок $0<x<a$ и положим $V=0$ вне его. Снаружи волновое число равно $k=\sqrt{2mE}/\hslash$, внутри постоянная затухания равна $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$. Слева $\psi =e^{ikx}+r{e}^{-ikx}$: падающая волна единичной амплитуды плюс отражённая. Внутри $\psi =C{e}^{\kappa x}+D{e}^{-\kappa x}$; растущее слагаемое на этот раз допустимо, потому что барьер кончается раньше, чем оно успеет неограниченно вырасти. Справа остаётся только $\psi =t{e}^{ikx}$, потому что с этой стороны ничто не приходит.

Получаем четыре неизвестных — $r$, $C$, $D$ и $t$, — а края дают четыре условия: непрерывность $\psi$ и ${\psi }^{\prime }$ при $x=0$ и при $x=a$. Это четыре линейных уравнения, и если исключить $C$ и $D$, остаётся
$t=\frac{e^{-ika}}{\mathrm{ch}\kappa a+i\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\mathrm{sh}\kappa a}$
Вероятность прохождения — квадрат его модуля, то есть единица, делённая на квадрат модуля знаменателя:
$|t{|}^2={\left[{\mathrm{ch}}^2\kappa a+{\left(\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\right)}^2{\mathrm{sh}}^2\kappa a\right]}^{-1}$
Заменим ${\mathrm{ch}}^2$ на $1+{\mathrm{sh}}^2$. Два слагаемых с ${\mathrm{sh}}^2$ тогда объединяются с коэффициентом $1+({\kappa }^2-k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2=({\kappa }^2+k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2$. Так как ${\kappa }^2+k^2=2m{V}_0/{\hslash }^2$, этот коэффициент равен $V_0^2/(4E(V_0-E))$, и
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\mathrm{sh}}^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]}^{-1}$

Почему $|t{|}^2$ — доля прошедших частиц? Плотность потока вероятности $j=(\hslash /m)\mathrm{Im}({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime })$ показывает, сколько вероятности протекает через точку за секунду. В стационарном состоянии вероятность нигде не копится, поэтому $j$ одинакова при всех $x$. Слева она равна $(\hslash k/m)(1-|r{|}^2)$ — падающий поток минус отражённый, — а справа $(\hslash k/m)|t{|}^2$. Приравняв их, получаем $|r{|}^2+|t{|}^2=1$: каждая частица либо отражается, либо проходит. Скорость $\hslash k/m$ по обе стороны одна и та же, поэтому $T=|t{|}^2$ — доля прошедших. На рисунке 2 по стрелкам $|r{|}^2=0,88$ и $|t{|}^2=0,12$, что в сумме даёт 1, а 12 %, которые проходят, и есть $T$. Формула согласуется с этим: при $E=\frac{3}{4}{V}_0$ множитель $V_0^2/(4E(V_0-E))$ равен $4/3$, $\mathrm{sh}1,6=2,38$ и $T=1/(1+\frac{4}{3}\cdot 5,65)=0,12$.

Для толстого барьера, $\kappa a\gg 1$, возможны два упрощения. Во-первых, $\mathrm{sh}\kappa a=\frac{1}{2}(e^{\kappa a}-e^{-\kappa a})\approx \frac{1}{2}{e}^{\kappa a}$, потому что вторая экспонента ничтожна. Во-вторых, слагаемое с ${\mathrm{sh}}^2$ тогда огромно, поэтому единицей в скобках можно пренебречь и скобку можно сразу обратить:
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
Множитель перед экспонентой никогда не превышает 4 — это его значение при $E=\frac{1}{2}{V}_0$, — поэтому всё решает экспонента: каждая добавленная длина затухания $1/\kappa$ ширины делит $T$ на $e^2\approx 7,4$.

Как прохождение убывает с шириной

Точную формулу трудно прочесть с первого взгляда. График $T$ в зависимости от ширины показывает два режима: плавное начало для тонких барьеров и чистую экспоненту для толстых.

Обозначения

$\ln T$	Натуральный логарифм вероятности прохождения; 0 означает $T=1$.
$a$	Ширина барьера.	$\mathrm{м}$
$T$	Точная вероятность прохождения для барьера шириной $a$.
$e^{-2\kappa a}$	Закон для толстого барьера, здесь $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: штриховая прямая.
$\kappa a$	Ширина в длинах затухания $1/\kappa$; штриховая отметка при $\kappa a=2$ — место, где кривая переходит в прямую.
$a_0$	Ширина барьера анимации, 0,25 нм.	$\mathrm{м}$
$\Delta a$	Шаг по ширине барьера.	$\mathrm{м}$
$\Delta (\ln T)$	Изменение $\ln T$ на этом шаге, $-2\kappa \Delta a$: $T$ умножается на $e^{-2\kappa \Delta a}$.

На рисунке 3 построен точный график $T(a)$ при $E=3\mathrm{эВ}$ и $V_0=4\mathrm{эВ}$ до $a=0,6\mathrm{нм}$; на уровне «Продвинутый» в анимации нарисована та же кривая. Здесь она дана в логарифмическом масштабе, как $\ln T$ в зависимости от $a$, потому что в таком масштабе экспонента — прямая линия. Для электрона при $V_0-E=1\mathrm{эВ}$ получаем $\kappa =5,12\mathrm{н}{\mathrm{м}}^{-1}$, то есть одна длина затухания составляет около 0,2 нм.

Пойдём по сплошной кривой $T$ слева. Она начинается с $T=1$, то есть $\ln T=0$, поскольку без барьера нет отражения. С этого уровня она сходит плавно: при малых $a$ $\mathrm{sh}\kappa a\approx \kappa a$, поэтому $T\approx [1+1,33(\kappa a{)}^2{]}^{-1}$, где $1,33=V_0^2/(4E(V_0-E))$. Точные значения всё ещё равны 0,92 при 0,05 нм и 0,72 при 0,1 нм. За штриховой отметкой при $\kappa a=2$ кривая практически прямая. Треугольник показывает её наклон: шаг $\Delta a$ уменьшает $\ln T$ на $\Delta (\ln T)=-2\kappa \Delta a$, так что каждые следующие 0,1 нм умножают $T$ на $e^{-1,02}\approx 0,36$. Кружок отмечает барьер анимации, $a_0=0,25\mathrm{нм}$, где $T=0,214$.

Штриховая линия — закон для толстого барьера. Для этих энергий $16(E/V_0)(1-E/V_0)=16\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=3$, поэтому $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: прямая, которая начинается от $\ln 3\approx 1,1$ и к которой присоединяется точная кривая. Для тонких барьеров закон плох. При $a=0$ он даёт 3, больше любой вероятности, а при 0,25 нм — 0,232, на 8 % выше. Начиная с 0,4 нм он совпадает с точным значением в пределах 2 %.

Анимация посылает волновой пакет, а не волну одной энергии: энергии в нём разбросаны на 0,34 эВ около 3 эВ. Поскольку $T$ круто растёт с $E$ (большая энергия означает меньшее $\kappa$), более быстрые компоненты проходят легче. Поэтому прохождение пакета, 0,218, немного выше 0,214 для волны с энергией 3 эВ, а прошедшие электроны в среднем имеют 3,08 эВ против 2,99 эВ у отражённых.

А если энергия выше барьера, $E>V_0$? Классически прошли бы все частицы. В формуле $V_0-E$ теперь отрицательно, и $\kappa$ становится мнимым: $\kappa =iq$, где $q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hslash$ — вещественное волновое число над барьером. Тогда $\mathrm{sh}\kappa a$ превращается в $i\sin qa$, и ${\mathrm{sh}}^2\kappa a$, и $V_0-E$ меняют знак, так что
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sin }^2(qa)}{4E(E-V_0)}\right]}^{-1}$
Теперь $T$ колеблется с шириной, а не падает. Он достигает 1 лишь при резонансах $qa=n\pi$, когда в барьере укладывается целое число полуволн и волны, отражённые от его двух краёв, гасят друг друга. При любой другой ширине часть волны отражается, хотя у частицы энергии с запасом. Для электрона с энергией 3 эВ над барьером высотой 2 эВ $q=5,12\mathrm{н}{\mathrm{м}}^{-1}$: с ростом ширины $T$ опускается до 0,75 и возвращается к 1 при $a=0,61\mathrm{нм}$, 1,23 нм и так далее.

Гладкие барьеры и альфа-распад

Настоящие барьеры редко бывают прямоугольными: их высота меняется вдоль пути постепенно. Закон для толстого барьера распространяется на них слой за слоем, и самое известное его применение объясняет, почему одни ядра живут миллиарды лет, а другие — меньше микросекунды.

Обозначения

$V(r)$	Потенциальная энергия альфа-частицы на расстоянии $r$ от центра: яма внутри ядра, электрическое отталкивание снаружи.	$\mathrm{Дж}$
$Q$	Энергия, выделяющаяся при распаде: энергия альфа-частицы, то есть $E$ из формул.	$\mathrm{Дж}$
$\alpha$	Альфа-частица, запертая в яме.
$r$	Расстояние от центра ядра.	$\mathrm{м}$
$r_1$	Поверхность ядра, где начинается барьер.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Внешняя точка поворота, где снова $V=Q$ и барьер кончается.	$\mathrm{м}$
$\kappa (r)$	Постоянная затухания $\sqrt{2m(V-Q)}/\hslash$ на расстоянии $r$; при $r_2$ она спадает до нуля.	${\mathrm{м}}^{-1}$
$dr$	Ширина одного тонкого слоя барьера; слой умножает амплитуду на $e^{-\kappa dr}$.	$\mathrm{м}$
$\int \kappa dr$	Площадь под $\kappa (r)$ от $r_1$ до $r_2$: показатель в $T\approx e^{-2\int \kappa dr}$.

На рисунке 4 показан барьер, удерживающий альфа-частицу внутри ядра урана-238. Координатой вдоль движения теперь служит расстояние $r$ от центра, играющее роль $x$. На верхней панели — потенциальная энергия $V(r)$ и энергия $Q$, выделяющаяся при распаде, которая играет роль $E$. Внутри поверхности ядра $r_1$ сильное взаимодействие создаёт глубокую яму (она лишь намечена), и альфа-частица $\alpha$ заперта в ней. Сразу за $r_1$ электрическое отталкивание поднимает $V$ намного выше $Q$. Оно спадает как $1/r$ и снова встречает $Q$ во внешней точке поворота $r_2$, где барьер кончается. На нижней панели построена постоянная затухания $\kappa (r)=\sqrt{2m(V(r)-Q)}/\hslash$ на том же отрезке: она наибольшая при $r_1$ и спадает до нуля при $r_2$.

Чтобы справиться с барьером переменной высоты, разрежем его на тонкие слои шириной $dr$, как золотую полоску. Если $\kappa$ мало меняется на одной длине затухания, то есть $|d\kappa /dr|\ll {\kappa }^2$, каждый слой ведёт себя как тонкий кусок однородного барьера и умножает амплитуду на $e^{-\kappa dr}$. При перемножении множителей всех слоёв их показатели складываются, поэтому амплитуда умножается на $e^{-\int \kappa dr}$, где $\int \kappa dr$ — закрашенная площадь под кривой. Вероятность — квадрат амплитуды, что удваивает показатель:
$T\approx \exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right)$
Это оценка ВКБ, названная по именам Венцеля, Крамерса и Бриллюэна. В ней отброшен множитель порядка 1, как и тройка у прямоугольного барьера, потому что всё решает показатель. Для прямоугольного барьера площадь просто равна $\kappa a$, и оценка возвращает $e^{-2\kappa a}$.

Георгий Гамов применил это в 1928 году, чтобы объяснить альфа-распад. За пределами действия сильного взаимодействия дочернее ядро с зарядом $Ze$ отталкивает альфа-частицу с зарядом $2e$ с потенциальной энергией
$V=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
это кривая рисунка 4. Для урана-238 дочернее ядро — торий, $Z=90$. Барьер имеет максимум около 28 МэВ на поверхности ядра, примерно в 9 фм от центра, тогда как выделяющаяся энергия составляет лишь $Q=4,27\mathrm{МэВ}$. Поэтому альфа-частице нужно протуннелировать до места, где $V$ снова падает до $Q$, примерно в 61 фм от центра. Интеграл даёт $2\int \kappa dr\approx 88$, откуда $T\approx e^{-88}\approx 6\times 10^{-39}$.

Чтобы перейти к времени жизни, используем ту же идею, что и в задаче ниже. Внутри ядра альфа-частица ударяется о стенку примерно $10^{21}$ раз в секунду, и при каждом ударе шанс вылететь равен $T$. Вероятность вылета за секунду составляет около $10^{21}\cdot 6\times 10^{-39}=6\times 10^{-18}$, так что частица вылетает примерно через $10^{17}$ с: это несколько миллиардов лет. Это верный порядок величины для измеренного периода полураспада 4,5 миллиарда лет — настоящий успех для оценки, показатель которой равен 88.

Показатель круто зависит от энергии. Полоний-212 выделяет 8,95 МэВ. Его внешняя точка поворота приближается к 26 фм, барьер становится тоньше и ниже, показатель падает примерно до 33, а период полураспада составляет всего 0,3 мкс. Падение показателя на 55 — это множитель $e^{55}\approx 10^{24}$: примерное удвоение энергии, с 4,3 до 9 МэВ, укорачивает период полураспада примерно в $10^{24}$ раз. Эта крутая закономерность была измерена ещё раньше как эмпирический закон Гейгера — Неттола; туннелирование её объясняет.

Связанные состояния и нулевая энергия

Те же условия сшивки позволяют не только считать прошедшие частицы. Применённые к частице, запертой между стенками, они дают её уровни энергии.

Начнём с ящика с бесконечно высокими стенками. Тогда $\kappa$ в стенках бесконечно, волна вообще не может в них проникнуть, и $\psi$ должна обращаться в нуль при $x=0$ и $x=L$. Внутри, где $V=0$, решения — $\sin kx$ и $\cos kx$. Условие при $x=0$ оставляет только $\sin kx$, а условие при $x=L$ требует $kL=n\pi$, где $n$ — натуральное число: в ящике должно уместиться целое число полуволн. Остаётся
${\psi }_n=\sqrt{2/L}\sin (n\pi x/L)$
где множитель $\sqrt{2/L}$ делает полную вероятность равной 1. Энергия — это кинетическая энергия ${\hslash }^2{k}_n^2/2m$ при $k_n=n\pi /L$:
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$

В яме конечной глубины стенки не вполне жёсткие. Внутри решение колеблется; снаружи оно должно затухать по обе стороны; а на каждой стенке обе части должны сойтись с одним и тем же значением и наклоном. При большинстве энергий внутренняя волна подходит к стенке с неверным наклоном, и внешняя часть должна была бы расти неограниченно. Лишь особые энергии позволяют обеим сшивкам удаться одновременно: квантование — граничное условие, а не дополнительный постулат. Хвосты также позволяют волне немного выйти за стенки, как будто ящик чуть шире, поэтому длина волны больше, а энергия ниже. Для ямы шириной 1 нм и глубиной 4 эВ нижний уровень равен 0,26 эВ, а не 0,38 эВ, как в ящике с бесконечными стенками.

Нижний уровень никогда не равен нулю. При $n=0$ получилось бы $\psi =0$ всюду, то есть вообще никакой частицы. То же говорит принцип неопределённости. В основном состоянии разброс координаты равен $\Delta x=0,18L$, а импульс, по модулю $\pi \hslash /L$ в любом из двух направлений, имеет разброс $\Delta p=\pi \hslash /L$. Их произведение $\Delta x\Delta p\approx 0,57\hslash$ лишь немного выше минимума $\hslash /2$, который допускает принцип. Поэтому удержание частицы в области размера $L$ стоит кинетической энергии порядка ${\hslash }^2/(m{L}^2)$ — нулевой энергии. Она не даёт атомам схлопнуться: если приблизить электрон к ядру, потенциальная энергия понизится, но эта кинетическая плата вырастет.

Задача: протекающая ловушка

Поставим два барьера из анимации, каждый высотой 4 эВ и толщиной 0,25 нм, на расстоянии $L=2\mathrm{нм}$ друг от друга и поместим между ними электрон с энергией около 3 эВ. Как долго электрон остаётся в ловушке и как это зависит от толщины стенок?

Будем считать электрон частицей, которая летает туда и обратно со скоростью $v=\sqrt{2E/m}=1,03\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$, то есть 1,03 нм за фемтосекунду, и при каждом ударе о стенку имеет шанс $T$ вылететь. Между ударами он один раз пересекает промежуток, поэтому бьётся о стенку каждые $L/v=1,95\mathrm{фс}$. Вероятность вылета в единицу времени — скорость утечки — равна $\Gamma =Tv/L$. Постоянная вероятность в единицу времени означает, что число оставшихся внутри убывает как $e^{-\Gamma t}$, а среднее время жизни равно $1/\Gamma$:
$\tau =\frac{L}{vT}=\frac{1,95\mathrm{фс}}{T}$
При стенках из анимации толщиной 0,25 нм $T=0,214$ и $\tau \approx 9\mathrm{фс}$. При стенках толщиной 1 нм $T=1,06\times 10^{-4}$ и $\tau \approx 18\mathrm{пс}$. При стенках толщиной 2 нм $T=3,8\times 10^{-9}$ и $\tau \approx 0,5\mathrm{мкс}$.

Заметьте закономерность. По закону для толстого барьера каждый добавленный нанометр стенки делит $T$ и тем самым умножает время жизни на $e^{2\kappa \cdot 1\mathrm{нм}}=e^{10,25}$, то есть примерно на 28 000: это в точности переход от 18 пс к 0,5 мкс. Протону в такой же ловушке пришлось бы куда хуже. Его масса в 1836 раз больше, поэтому при той же энергии он движется в 43 раза медленнее и сталкивается с $\kappa$ в 43 раза большим, ведь обе величины растут как $\sqrt{m}$. Даже при стенках 0,25 нм $T$ падает примерно до $6\times 10^{-48}$, а $\tau$ вырастает до порядка $10^{34}$ с, что намного больше возраста Вселенной. Картина многократных отскоков груба при $T=0,214$, когда электрон уходит за несколько отскоков, и точна, когда $T$ мало, как при альфа-распаде.

Границы применимости

Всё сказанное здесь нерелятивистское. Электрон с энергией 3 эВ движется со скоростью 0,34 % скорости света, а его энергия составляет $6\times 10^{-6}$ энергии покоя, 511 кэВ, поэтому уравнение Шрёдингера описывает его отлично. Прямоугольный барьер и бесконечный ящик — идеализации. Например, в туннельном переходе электрон наводит заряд в соседнем металле и притягивается к нему, и это притяжение скругляет и понижает барьер. Это увеличивает $T$, но сохраняет экспоненциальную зависимость от ширины.

Модель к тому же одномерна. В трёх измерениях значение имеет только движение поперёк барьера, поэтому электрон, подлетающий под углом и имеющий меньше энергии в этом направлении, туннелирует хуже. Внутри твёрдого тела электрон откликается на силы так, как если бы имел другую массу, — эффективную, и она заменяет $m$. В арсениде галлия она равна 0,067 массы свободного электрона, что уменьшает $\kappa$ примерно в четыре раза и позволяет электронам туннелировать через слои толщиной в несколько нанометров в резонансно-туннельных диодах. Наконец, потенциал считался неизменным, а электрон — единственным. В очень малых переходах заряд одного электрона меняет потенциал настолько, что блокирует следующий.

Что дальше

Урок «Корпускулярно-волновой дуализм» ввёл амплитуду и её вероятности, а этот урок дал ей уравнение. Урок «Радиоактивность и период полураспада» показывает экспоненциальный закон распада, который порождает протекающая ловушка, а урок «Деление, синтез и E = mc²» — туннелирование, благодаря которому ядра сливаются в звёздах. Урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» применяет те же условия сшивки к периодическому потенциалу, где они дают энергетические зоны.

Урок «Отражение и преломление» разбирает полное внутреннее отражение, нарушенная форма которого — оптический двойник туннелирования. Орбиты из урока «Модели атома: атом Бора» уступают место трёхмерному уравнению Шрёдингера, решение которого для водорода даёт те же уровни $-13,6\mathrm{эВ}/n^2$ и формы орбиталей, а урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» делает ту же волновую механику релятивистской.