Дифракция и опыт Юнга

Начальный

Шаг 1: свет немного огибает препятствия. Мы выравниваем предметы «на глаз», глядя вдоль них, потому что свет обычно идёт прямо. Но пропустите свет через очень узкую щель — и за ней он расходится веером. Такое расплывание называют дифракцией. Звук делает то же самое в открытой двери — поэтому мы слышим человека за углом; для света отверстие должно быть крошечным, ведь световые волны очень короткие. Чем уже щель, тем шире расходится свет. Крошечные пули пролетели бы прямо; так расходятся только волны.

Шаг 2: две щели. Теперь дадим свету две узкие близко расположенные щели. Каждая испускает свою серию круговых волн, и обе серии накладываются. Там, где гребень от одной щели встречает гребень от другой, они складываются, и экран светлый. Где гребень встречает впадину, они гасят друг друга, и экран остаётся тёмным. Такое сложение волн называют интерференцией.

В анимации прямые волны приходят слева, расходятся от обеих щелей, и экран покрывается светлыми и тёмными полосами; оранжевые столбики показывают яркость каждой точки.

Шаг 3: откуда полосы. Центральная полоса светлая, потому что она одинаково удалена от обеих щелей и волны приходят в такт. Сдвиньтесь чуть выше — и один путь удлинится: на полволны длиннее — темнота, на целую волну — следующая светлая полоса.

Томас Юнг провёл этот опыт около 1801 года, и он убедил физиков, что свет — волна: свет, сложенный со светом, может дать темноту. Закройте одну щель — и полосы исчезнут, останется одно ровное пятно.

Проверьте себя: в некоторой точке экрана один путь длиннее другого ровно на две длины волны. Там светло или темно? (Светло: гребни снова приходят вместе.)

Средний

Дифракция: волны расходятся за отверстием

Кажется, что свет распространяется по прямым линиям, поэтому у теней чёткие края. И всё же любая волна, пройдя через отверстие, расходится в стороны: это и есть дифракция. По принципу Гюйгенса каждая точка волнового фронта служит источником вторичных волн, а волна за отверстием — их сумма. Широкое отверстие воссоздаёт прямой пучок; узкое действует почти как один источник, и волна расходится кругами.

Для длины волны $\lambda$ и отверстия шириной $a$ угол расхождения составляет около $\lambda /a$ радиан. Звук с длиной волны около 1 м свободно проходит через дверной проём и заполняет всю комнату; зелёный свет с $\lambda \approx 500\mathrm{нм}$, проходя через отверстие шириной 1 мм, расходится всего на полмиллиметра на каждый метр пути. Чтобы увидеть дифракцию света, щель должна быть шириной в доли миллиметра.

Две щели, освещённые одной волной

В анимации прямые гребни приходят к двум узким щелям, расположенным на расстоянии $d$ друг от друга; на расстоянии $L$ за ними стоит экран. Один и тот же гребень достигает обеих щелей одновременно, поэтому они посылают вторичные волны в такт: это когерентные источники. Будет ли точка экрана, удалённая от щелей на расстояния $r_1$ и $r_2$, светлой или тёмной, зависит от разности хода $\Delta r=r_2-r_1$.

Если один путь длиннее на целое число длин волн, гребень приходит вместе с гребнем; если на нечётное число полуволн — гребень встречает впадину:

• $\Delta r=m\lambda \text{(максимум)}$
• $\Delta r=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(минимум)}$

Здесь $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ — порядок полосы. Центральная полоса, $m=0$, светлая, потому что ось одинаково удалена от обеих щелей; ниже оси порядки отрицательны, выше — положительны, как на табло анимации.

От разности хода к углу

Когда экран далеко ($L\gg d$), оба пути к точке почти параллельны и наклонены к центральной оси под углом $\theta$. Перпендикуляр, опущенный из верхней щели на нижний путь, отсекает маленький прямоугольный треугольник: его гипотенуза равна $d$, а катет, лежащий против угла $\theta$, и есть добавочный путь,
$\Delta r=d\sin \theta$

Поэтому условия светлых и тёмных полос превращаются в условия на угол:
$d\sin \theta =m\lambda \text{(максимум)}$
$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(минимум)}$
Поскольку $\sin \theta \le 1$, с каждой стороны помещается не больше $d/\lambda$ порядков.

Вблизи оси верно приближение малых углов $\sin \theta \approx \mathrm{tg}\theta =y/L$, где $y$ — высота точки на экране. Поэтому светлая полоса порядка $m$ находится на высоте $y_m=m\lambda L/d$, а полосы расположены равномерно; расстояние между ними, ширина полосы, равно
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
Красный свет, сближение щелей и удаление экрана — всё это делает полосы шире.

Пример: картина в анимации

Рисунок выполнен не в масштабе. В пикселях $\lambda =8$, $d=50$ и $L=220$, поэтому щели разнесены всего на 6,25 длины волны, а у настоящих — на сотни длин волн. Формула для малых углов даёт
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{8\cdot 220}{50}=35,2\mathrm{пикс}$

У первой светлой полосы $\sin {\theta }_1=\lambda /d=0,16$, откуда ${\theta }_1=9,2^{\circ }$. Её точное положение, где $r_2-r_1=\lambda$, — 35,9 пикс. выше центра; это длина отметки $\Delta y$ рядом с экраном: при 9° формула для малых углов занижает результат лишь на 2 %.

Проследите за точкой-зондом, которая поднимается по экрану: за ней тянутся зелёный путь $r_1$ от верхней щели и фиолетовый путь $r_2$ от нижней. Табло показывает $-1,76\lambda$ внизу, 0 на центральной полосе, 0,50 на первой тёмной, 1,00 на первой светлой и 1,50 на второй тёмной, а вверху — 1,76. Значит, на экране умещаются три светлые полосы ($m=0,\pm 1$) и четыре тёмные; второй порядок, под углом 18,7°, лежит чуть дальше края экрана, который виден под углом 16,5°.

Оранжевые столбики показывают боковые полосы всего примерно в три четверти высоты центральной: их ослабляет ширина каждой щели, о чём речь пойдёт на экспертном уровне.

Пример: измерение длины волны света

Свет с $\lambda =600\mathrm{нм}$ падает на щели, расстояние между которыми $d=0,25\mathrm{мм}$, а экран стоит на расстоянии $L=1,0\mathrm{м}$. Выразив все длины в метрах, получаем
$\Delta y=\frac{600\times 10^{-9}\cdot 1,0}{0,25\times 10^{-3}}=2,4\times 10^{-3}\mathrm{м}=2,4\mathrm{мм}$
Первая полоса лежит под углом ${\theta }_1=\lambda /d=2,4\times 10^{-3}\mathrm{рад}$, около 0,14°, и приближение малых углов здесь работает превосходно. Такие мелкие полосы — одна из причин, по которым этот эффект так долго оставался незамеченным.

Если рассуждать в обратную сторону, формула $\lambda =d\Delta y/L$ позволяет измерять длины волн. С теми же щелями и экраном десять промежутков между полосами лазерной указки занимают 26 мм (измерение сразу десяти промежутков уменьшает погрешность в десять раз), поэтому $\Delta y=2,6\mathrm{мм}$ и
$\lambda =\frac{d\Delta y}{L}=\frac{(0,25\times 10^{-3})\cdot (2,6\times 10^{-3})}{1,0}=6,5\times 10^{-7}\mathrm{м}=650\mathrm{нм}$

Белый свет содержит сразу все длины волн. Центральная полоса белая, но фиолетовый свет (400 нм) даёт полосы через 1,6 мм, а красный (700 нм) — через 2,8 мм, поэтому каждая полоса первого порядка — маленький спектр, фиолетовый внутри и красный снаружи; после двух-трёх порядков цвета перекрываются и сливаются в беловатое свечение.

Как читать полосы на экране

Полоски и оранжевые столбики показывают интенсивность $I$ — мощность, приходящуюся на каждый квадратный метр экрана. Для двух узких одинаковых щелей она меняется по плавной кривой ${\cos }^2$: светлые полосы и тёмные промежутки одинаковой ширины, причём каждая тёмная полоса лежит посередине между двумя светлыми. В анимации первая тёмная и первая светлая полосы находятся в 17,8 пикс. и 35,9 пикс. от центра.

Амплитуды складываются, а интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды: на светлой полосе амплитуда удваивается, и интенсивность в $2^2=4$ раза больше, чем от одной щели, а на тёмной она равна нулю. В среднем по многим полосам интенсивность ровно вдвое больше, чем у одной щели, потому что свет, которого не хватает в тёмных полосах, ушёл в светлые. Закройте одну щель — и полосы исчезнут, сменившись широким ровным пятном.

Частые ошибки

• Тёмные полосы — не тени от перегородки между щелями: первую тёмную полосу освещают обе щели, а если закрыть любую из них, яркость этой точки составит лишь четверть яркости центрального пика.
• Если раздвинуть щели, полосы не разойдутся, а сожмутся. Ширина полосы обратно пропорциональна $d$, поэтому уменьшение $d$ вдвое, с 0,25 мм до 0,125 мм, удваивает $\Delta y$ с 2,4 мм до 4,8 мм.
• Формула $\Delta y=\lambda L/d$ верна только при малых углах: для щелей, расстояние между которыми равно двум длинам волн, первый порядок лежит под углом 30°, где $y=L\mathrm{tg}30^{\circ }=0,58L$, а не $0,5L$.
• Две отдельные лампы и даже два лазера не дают видимых полос: их фазы меняются гораздо быстрее, чем глаз успевает за ними уследить, и остаётся лишь сумма интенсивностей. Обе щели должны освещаться одной и той же волной.

Где это встречается

Решётки с сотнями штрихов на миллиметр измеряют длины волн в большинстве спектрометров, а радужные переливы на компакт-диске создают его дорожки с шагом 1,6 мкм. Дифракция ограничивает и резкость изображения: свет, проходящий в телескоп или через зрачок глаза диаметром $D$, расходится примерно на $\lambda /D$, как объясняется в уроке «Глаз, фотоаппарат и телескоп».

Рентгеновские лучи с длиной волны около 0,1 нм дифрагируют на рядах атомов в кристалле и показывают, где эти атомы находятся. Электроны и даже целые молекулы по одному выстраивают те же полосы — это отправная точка урока «Корпускулярно-волновой дуализм». Дальше урок «Поляризация света» переходит к другому свойству световых волн: направлению, в котором они колеблются.

Продвинутый

Складываем два поля

Полосы от двух щелей получаются при сложении самих волн, а не их яркостей, поэтому сначала нужно правильно сложить два поля. Пусть щели расположены на расстоянии $d$ друг от друга, а в далёкой точке, в направлении $\theta$ (угол отсчитывается от направления прямо вперёд), расстояния до щелей равны $r_1$ и $r_2$. Каждая щель даёт поле одной и той же амплитуды $E_0$ и круговой частоты $\omega$: $E_0\cos (\omega t-k{r}_1)$ от первой и $E_0\cos (\omega t-k{r}_2)$ от второй, где $k=2\pi /\lambda$ — волновое число. Слагаемое $\omega t$ у них общее, поэтому важна только разность фаз:
$\phi =k(r_2-r_1)=kd\sin \theta$
В последнем равенстве использована разность хода в дальней зоне $r_2-r_1=d\sin \theta$; насколько она точна, проверяет следующий раздел.

Обозначения

$E_0$	Амплитуда поля одной щели; обе щели дают одинаковую.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\phi$	Разность фаз двух полей, $\phi =kd\sin \theta$: поворот от штриховой линии — продолжения первой стрелки — ко второй стрелке.	$\mathrm{рад}$
$\phi /2$	Половина разности фаз: угол между результирующей и первым фазором.	$\mathrm{рад}$
$E$	Результирующая (полное поле): сумма двух фазоров, замыкающая треугольник.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$

На рисунке 1 два поля складываются как фазоры. Фазор — это стрелка, длина которой равна амплитуде колебания, а направление задаёт фазу; сложение двух колебаний одной частоты тогда сводится к сложению двух стрелок, приставленных друг к другу: начало второй — к концу первой. Синяя стрелка — поле первой щели, длины $E_0$. Зелёная стрелка начинается в конце синей и изображает поле второй щели: та же длина $E_0$, но повёрнутая на $\phi$ относительно штриховой линии — продолжения синей стрелки. Фиолетовая стрелка $E$ идёт от начала первой к концу второй, так что это полное поле.

Теперь посмотрим на форму. Две равные стороны образуют равнобедренный треугольник, поэтому его углы при основании равны, а вместе они равны внешнему углу $\phi$ при стыке стрелок: каждый равен $\phi /2$. Штриховая высота, проведённая из стыка, пересекает $E$ под прямым углом и разрезает треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $E_0$ и углом $\phi /2$ в начале синей стрелки. Значит, половина результирующей равна $E_0\cos (\phi /2)$, а вся она —
$E=2E_0|\cos (\phi /2)|$
Модуль сохраняет $E$ положительной, когда $\phi$ переходит через $\pi$ и косинус становится отрицательным. Две проверки: при $\phi =0$ стрелки лежат на одной прямой и $E=2E_0$; при $\phi =\pi$ они направлены в противоположные стороны и гасят друг друга.

Детектор не успевает следить за быстрыми колебаниями поля. Он измеряет интенсивность, пропорциональную среднему по времени квадрату поля, то есть $I\propto E^2$. Возводя $E$ в квадрат и записывая $\phi /2=\pi d\sin \theta /\lambda$, получаем
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right)$

Здесь $I_0$ — интенсивность в центре, где два поля приходят в одной фазе. Амплитуда там удваивается, поэтому $I_0$ вчетверо больше интенсивности $I_1$ одной щели. (В уроке «Интерференция и суперпозиция волн» $I_0$ означала один источник; здесь это центральный пик.) Энергия не создаётся: среднее значение ${\cos }^2$ по многим полосам равно $\frac{1}{2}$, поэтому средняя интенсивность составляет $I_0/2=2I_1$ — ровно то, что дают обе щели вместе. Интерференция лишь переносит свет из тёмных полос в светлые.

Насколько точна разность хода?

Полученный выше результат использовал $r_2-r_1=d\sin \theta$, то есть считал два луча к точке параллельными. Это точно лишь на бесконечном расстоянии, поэтому стоит знать ошибку на реальном экране.

Отсчитаем расстояние $R$ и угол $\theta$ от середины между щелями. Теорема косинусов даёт каждое точное расстояние: $r^2=R^2+d^2/4\pm Rd\sin \theta$, со знаком плюс для более далёкой щели. Разложим каждый квадратный корень по степеням $d/R$. В обоих расстояниях есть один и тот же член второго порядка $d^2{\cos }^2\theta /(8R)$, и в разности он сокращается; первая оставшаяся поправка — третьего порядка:
$\Delta r=d\sin \theta \left(1-\frac{d^2{\cos }^2\theta }{8R^2}\right)$
Значит, относительная ошибка не больше $(d/R{)}^2/8$: она убывает как квадрат $d/R$.

В анимации на первой светлой полосе $d/R\approx 0,22$, поэтому поправка составляет всего 0,6 %. На экране точная кривая $r_2-r_1=\lambda$ (гипербола) пересекает его на высоте 35,9 пикс., формула дальней зоны с $y=L\mathrm{tg}\theta$ даёт 35,7 пикс., а формула для малых углов $y=\lambda L/d$ — 35,2 пикс.

Щель конечной ширины

До сих пор каждая щель была точкой, которая посылает одну и ту же амплитуду $E_0$ во все стороны. У настоящей щели есть ширина $a$, и каждая её часть служит источником, поэтому яркость зависит от направления. Сложение этих частей даёт медленную огибающую под полосами.

Обозначения

$E_0$	Длина дуги: амплитуда в направлении вперёд, где все полоски в фазе.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$E$	Результирующая полосок: хорда от начала дуги до её конца.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\rho$	Радиус дуги (штриховой), в единицах поля.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\beta$	Половина центрального угла дуги; $2\beta =ka\sin \theta$ — разность фаз между краями щели.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 2 части одной щели складываются фазорами. Разобьём щель на много узких полосок одинаковой ширины; каждая посылает крошечный фазор, показанный точками вдоль синей кривой. В направлении $\theta$ путь от каждой полоски длиннее, чем от соседней, на одну и ту же малую величину, поэтому каждый фазор повёрнут относительно предыдущего на один и тот же малый угол. Цепочка равных стрелок, каждая из которых повёрнута на один и тот же угол, изгибается равномерно: она идёт по дуге окружности, здесь радиуса $\rho$ (штриховые радиусы).

На какой угол поворачивается дуга? Пути от двух краёв щели различаются на $a\sin \theta$, поэтому первый и последний фазоры различаются по фазе на $ka\sin \theta$. Направление вдоль дуги поворачивается на тот же угол, на который дуга опирается в центре, так что этот центральный угол равен $ka\sin \theta$. Обозначим его $2\beta$; на рисунке 2 он нарисован как две половины $\beta$ по обе стороны от штриховой биссектрисы. При $k=2\pi /\lambda$
$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$

Теперь сравним дугу и хорду. Строго вперёд, при $\theta =0$, все полоски в фазе, цепочка — прямая линия, и её длина равна полной амплитуде $E_0$. В любом другом направлении крошечные фазоры столь же длинны, поэтому дуга по-прежнему имеет длину $E_0$, а так как длина дуги равна радиусу, умноженному на угол, $E_0=2\rho \beta$. Результирующая — фиолетовая хорда $E$ от начала дуги до её конца. Штриховая биссектриса разрезает её на две половины по $\rho \sin \beta$, так что $E=2\rho \sin \beta$. Деление одного на другое убирает $\rho$:
$E=E_0\frac{\sin \beta }{\beta }$

Хорда всегда короче дуги, и она обращается в нуль, когда дуга замыкается. При $2\beta =2\pi$ цепочка сворачивается в полную окружность справа на рисунке 2, её конец возвращается в начало (фиолетовая точка), и $E=0$. Это происходит, когда пути от краёв различаются на одну длину волны:
$a\sin \theta =\lambda \text{(первый ноль огибающей)}$
Тот же нуль получается без фазоров, при разбиении на пары. Разделим щель на верхнюю и нижнюю половины. У каждой полоски верхней половины есть парная на $a/2$ ниже, путь от которой тогда длиннее на $\lambda /2$, поэтому они гасят друг друга; так же гасят друг друга и все остальные пары.

В двойной щели каждая щель посылает в направлении $\theta$ амплитуду $E_0\sin \beta /\beta$, одну и ту же для обеих. Если подставить её вместо $E_0$ в результат рисунка 1, картина двух щелей окажется произведением быстрых полос и медленной огибающей:
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right){\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$

Это график из экспертного слоя анимации, где в формуле $\sin \theta$ записан как $y/L$. Там $a=14\mathrm{пикс}=1,75\lambda$ и $d=6,25\lambda$. Первые боковые пики золотой кривой достигают 0,77 высоты центрального пика, где касаются штриховой огибающей; на краях экрана огибающая опускается до 0,37, а её первый нуль, при 34,8°, лежит далеко за экраном.

Светлая полоса, попавшая точно на нуль огибающей, пропадает. При $d=3a$ третий порядок находится при $\sin \theta =3\lambda /d=\lambda /a$ — на первом нуле огибающей — и исчезает. Вообще, когда $d/a$ — целое число $n$, пропадают порядки $n$, $2n$, …

Картина в дальней зоне как преобразование Фурье

Суммы фазоров на рисунках 1 и 2 — два случая одного правила: амплитуда в дальней зоне есть преобразование Фурье отверстия. Это правило сразу объясняет, почему два множителя перемножаются и почему мелкие детали дают широкие картины.

Обозначения

$A$	Пропускание отверстия: 1 внутри щели, 0 на перегородке.
$x$	Положение поперёк отверстия, вдоль линии, соединяющей щели.	$\mathrm{м}$
$a$	Ширина каждой щели.	$\mathrm{м}$
$d$	Расстояние между центрами двух щелей.	$\mathrm{м}$
$I$	Интенсивность картины в направлении $\theta$: золотые полосы под штриховой огибающей.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$\sin \theta$	Синус угла $\theta$ выходящего света, отсчитываемого от направления вперёд; горизонтальная ось картины.
$\lambda /d$	Период полос: расстояние между соседними светлыми полосами по $\sin \theta$.
$\lambda /a$	Значение $\sin \theta$ в первых нулях огибающей; кружками отмечены места, где полоса пропадает.

На рисунке 3 отверстие стоит над своей картиной в дальней зоне. Верхний график — пропускание $A$ в зависимости от положения $x$ поперёк отверстия: $A=1$ внутри каждой щели и $A=0$ на перегородке между ними. Ширина щелей $a$ (фиолетовый отрезок), расстояние между их центрами $d$ (золотой отрезок). Нижний график — интенсивность $I$ в зависимости от $\sin \theta$: золотые полосы под штриховой фиолетовой огибающей. Сопоставьте цвета. Золотое расстояние $d$ задаёт золотой период полос $\lambda /d$, а фиолетовая ширина $a$ — фиолетовую огибающую, первые нули которой находятся при $\sin \theta =\pm \lambda /a$. Здесь $d=3a$, поэтому третья полоса с каждой стороны попадает на нуль огибающей и пропадает — в местах, отмеченных кружками.

Вот это правило. Далеко от отверстия путь от полоски шириной $dx$ в точке $x$ отличается на $x\sin \theta$ от пути от полоски при $x=0$ — по той же геометрии, что и для двух щелей, — поэтому разность фаз равна $kx\sin \theta$. Запишем каждый вклад комплексной экспонентой, умножим на пропускание $A(x)$ и сложим по всем полоскам:
$E(\theta )\propto \int A(x)e^{-iqx}dx,q=k\sin \theta$
Этот интеграл — преобразование Фурье функции $A(x)$, где $q$ играет роль пространственной частоты.

Он воспроизводит оба прежних результата. Две очень узкие щели в точках $x=\pm d/2$ дают $e^{-iqd/2}+e^{iqd/2}=2\cos (qd/2)$, а так как $qd/2=\pi d\sin \theta /\lambda$, его квадрат — это полосы ${\cos }^2$. Одна щель шириной $a$, от $-a/2$ до $a/2$, даёт $a\sin (qa/2)/(qa/2)=a\sin \beta /\beta$, потому что $qa/2=\beta$: это огибающая.

Две широкие щели — это одна широкая щель, скопированная в два места. На языке преобразований отверстие есть свёртка одной щели с парой узких щелей, а преобразование свёртки равно произведению преобразований. Вот почему множитель полос и огибающая перемножаются.

Преобразование показывает и взаимность, лежащую в основе любой дифракции: деталь размера $s$ в отверстии создаёт структуру в угловом масштабе $\lambda /s$. На рисунке 3 большое расстояние $d$ даёт мелкие полосы, а малая ширина $a$ — широкую огибающую. Линза строит картину дальней зоны в своей фокальной плоскости, то есть на конечном расстоянии, а рентгеновские картины, раскрывшие строение кристаллов, — это квадраты модулей преобразования Фурье электронной плотности кристалла.

Много щелей: дифракционная решётка

Добавление щелей с тем же шагом оставляет светлые полосы на тех же местах, но делает их гораздо уже и ярче. Именно эта резкость делает решётку точным прибором для измерения длин волн.

Обозначения

$E_0$	Амплитуда поля одной щели: длина каждого фазора.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\phi$	Сдвиг фаз между соседними щелями, $\phi =kd\sin \theta$: поворот от одного фазора к следующему.	$\mathrm{рад}$
$E$	Результирующая всех фазоров: замыкающая сторона многоугольника.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$

В левой половине рисунка 4 складываются поля $N=5$ одинаковых щелей с шагом $d$. Каждая синяя стрелка имеет длину $E_0$ и повёрнута на один и тот же угол $\phi =kd\sin \theta$ относительно предыдущей; угол отмечен у одного из стыков. Равные стрелки с равными поворотами вычерчивают часть правильного многоугольника, поэтому все его вершины лежат на одной окружности (штриховая). Фиолетовая результирующая $E$ — замыкающая сторона многоугольника, от начала первой стрелки до конца последней.

Окружность даёт длину $E$. Хорда, опирающаяся на центральный угол $\alpha$ в окружности радиуса $\rho$, имеет длину $2\rho \sin (\alpha /2)$. Каждая сторона повёрнута на $\phi$, поэтому, как и на рисунке 2, она опирается на угол $\phi$ в центре, и $E_0=2\rho \sin (\phi /2)$. Замыкающая сторона охватывает все $N$ сторон и опирается на угол $N\phi$, поэтому $E=2\rho |\sin (N\phi /2)|$. Деление убирает $\rho$, а возведение в квадрат даёт
$I=I_1{\left(\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right)}^2$
где $I_1$ — интенсивность от одной щели. При $N=2$ отношение равно $\sin \phi /\sin (\phi /2)=2\cos (\phi /2)$, так что снова получается $4I_1{\cos }^2(\phi /2)$ — результат для двух щелей.

Всякий раз, когда $\phi$ кратно $2\pi$, все стрелки направлены одинаково и выстраиваются в линию: $E=N{E}_0$, и интенсивность достигает $N^2{I}_1$. Эти главные максимумы остаются там же, где $d\sin \theta =m\lambda$, как и для двух щелей. При удалении от максимума цепочка сворачивается и впервые замыкается при $\phi =2\pi /N$: это правая половина рисунка 4, замкнутый пятиугольник с $E=0$ (фиолетовая точка). Поэтому полуширина каждого максимума, от вершины до первого нуля, составляет $1/N$ расстояния $2\pi$ между максимумами, то есть он в $N/2$ раз уже, чем для двух щелей. Между соседними максимумами лежат $N-1$ нулей и $N-2$ слабых побочных пиков. Свет лишь собирается в максимумы, а не создаётся: средняя интенсивность по-прежнему равна $N{I}_1$.

При 500 штрихах на миллиметр шаг решётки равен 2,0 мкм. Для света с длиной волны 600 нм $\lambda /d=0,3$, поэтому $\sin \theta =m\lambda /d$ равен 0,3; 0,6 и 0,9 в первых трёх порядках: они уходят под углами 17,5°, 36,9° и 64,2°. Четвёртому порядку потребовалось бы $\sin \theta =1,2$, и его не существует.

Две близкие длины волны считаются разрешёнными, когда максимум одной попадает на первый нуль другой. Возьмём угол максимума порядка $m$ для $\lambda +\Delta \lambda$, где $d\sin \theta =m(\lambda +\Delta \lambda )$. Там фазовый шаг для $\lambda$ равен $2\pi m+2\pi m\Delta \lambda /\lambda$, и он должен превышать $2\pi m$ на шаг первого нуля $2\pi /N$. Условие $m\Delta \lambda /\lambda =1/N$ даёт разрешающую способность
$\lambda /\Delta \lambda =mN$
Жёлтые линии натрия, 589,0 и 589,6 нм, требуют примерно 1000 штрихов в первом порядке. 2 см такой решётки содержат 10 000 штрихов и в первом порядке разделяют линии, отстоящие на 0,06 нм при 600 нм.

Задача: размеры щелей по картине

Лазерный свет с длиной волны 600 нм проходит через двойную щель, и экран на расстоянии 1,0 м показывает полосы через 2,4 мм. К краям полосы ослабевают, а пятая с каждой стороны, на расстоянии ±12 мм, пропала, так что в центральной части остаются девять полос. Найдите расстояние между щелями $d$, ширину щели $a$ и яркость каждой полосы.

Расстояние между полосами даёт расстояние между щелями. Соседние светлые полосы различаются по пути на одну длину волны, поэтому для малых углов $\Delta y=\lambda L/d$, и
$d=\lambda L/\Delta y=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(2,4\times 10^{-3})=0,25\mathrm{мм}$

Пропавшая полоса даёт ширину. Она лежит на первом нуле огибающей, $a\sin \theta =\lambda$, который для малых углов находится при $y=\lambda L/a=12\mathrm{мм}$, поэтому
$a=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(12\times 10^{-3})=0,050\mathrm{мм}$
Значит, $d=5a$, и потому пропадает именно пятый порядок. Проверка дальней зоны: $a^2/\lambda =4,2\mathrm{мм}$, много меньше 1,0 м, так что формулы дальней зоны применимы.

На полосе порядка $m$ имеем $\sin \theta =m\lambda /d$, поэтому $\beta =\pi a\sin \theta /\lambda =\pi ma/d=\pi m/5$. У каждой светлой полосы ${\cos }^2=1$, поэтому её яркость задаётся одной огибающей: $(\sin \beta /\beta {)}^2$ даёт 1; 0,88; 0,57; 0,25 и 0,05 от центральной для $m$ от 0 до 4, а затем 0 при $m=5$. За этим провалом полосы возвращаются боковой группой, самая яркая из которых остаётся ниже 5 % яркости центра.

В анимации $d/a=50/14=3,57$ — не целое число, поэтому ни один порядок не пропадает полностью. Первые порядки достигают 0,77, вторые — 0,31, а третьи — лишь 0,033, чуть внутри нуля огибающей при $m=3,57$; достаточно широкий экран показал бы семь полос в центральной части. Щели, расширенные до $a=d/3\approx 16,7\mathrm{пикс}$, убрали бы третий порядок точно.

Один квант за другим

Та же картина сохраняется, когда свет так слаб, что приходит по одному фотону, и она возникает и для электронов. Здесь правило сложения полей становится центральным правилом квантовой механики.

Будем ослаблять свет, пока фотоны не начнут приходить по одному: экран регистрирует одиночные вспышки в случайных точках, но за многие тысячи вспышек они складываются в те же полосы ${\cos }^2$. Электроны ведут себя так же, с длиной волны де Бройля $\lambda =h/p$, где $p$ — импульс, а $h$ — постоянная Планка. После ускорения напряжением 100 В у электрона $\lambda =0,123\mathrm{нм}$, поэтому щели на расстоянии 1 мкм дали бы полосы через 0,12 мм на экране в 1 м от них.

Правило то же, что для полей, но применённое к амплитудам вероятности. Каждому способу попасть в точку соответствует комплексная амплитуда: ${\varphi }_1$ через одну щель и ${\varphi }_2$ через другую, а вероятность прихода туда равна квадрату модуля их суммы:
$P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2=|{\varphi }_1{|}^2+|{\varphi }_2{|}^2+2|{\varphi }_1||{\varphi }_2|\cos (k\Delta r)$
Первые два слагаемых — картины от одной щели. Последнее слагаемое — интерференция, здесь $k=p/\hslash$ и $\hslash =h/(2\pi )$; без него щели просто складывали бы свои однощелевые картины, без полос.

Если регистрировать, через какую щель прошла каждая частица, перекрёстное слагаемое исчезает, а вместе с ним и полосы. Причина — толчок, который даёт измерение. Свет, способный различить щели, должен иметь длину волны меньше примерно $d$, поэтому каждый его фотон несёт импульс не меньше примерно $h/d$. При рассеянии такого фотона направление движения частицы отклоняется на угол до примерно $(h/d)/p=\lambda /d$ — это угловая ширина одной полосы, — и толчки случайной величины размывают полосы, как объясняется в уроке «Корпускулярно-волновой дуализм».

Границы применимости

Скалярная теория, использованная здесь, описывает свет одной волновой амплитудой, не учитывая направление его электрического поля, а щели считает отверстиями в идеально чёрном экране. Это хорошо работает для щелей шириной в несколько длин волн. Щель, более узкая, чем длина волны, не имеет нуля огибающей ($a\sin \theta =\lambda$ требует $a\ge \lambda$), почти равномерно рассеивает свет за собой и по-разному пропускает поле, направленное вдоль щели и поперёк неё, — это поляризационный эффект, который скалярная картина не учитывает.

Полосам нужна и когерентность: волны должны сохранять постоянное соотношение фаз. Разброс длин волн $\Delta \lambda$ ограничивает длину когерентности, то есть разность хода, на которой фаза остаётся устойчивой, величиной около ${\lambda }^2/\Delta \lambda$. Для белого света это около 1 мкм, всего две длины волны или около того, поэтому цвета видны лишь примерно в первых двух порядках, тогда как лазер, когерентный на расстояниях от сантиметров до метров, даёт полосы далеко от центра.

Размывает картину и источник с угловым размером $\alpha$. Каждая его точка создаёт собственную копию картины, смещённую по углу в соответствии с её направлением, и копии стирают друг друга, как только $\alpha$ приближается к угловому расстоянию между полосами $\lambda /d$. Для щелей на расстоянии 0,25 мм из задачи это 2,4 мрад, но Солнце занимает 9,3 мрад, поэтому прямой солнечный свет даёт полосы лишь при расстоянии между щелями меньше примерно 0,06 мм. Вот почему в классических установках свет сначала пропускают через маленькое отверстие или одиночную щель. Частичная когерентность снижает видность $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })$ ниже 1.

Наконец, формула огибающей предполагает дальнюю зону, $L\gg a^2/\lambda$; ближе, в режиме Френеля, форма картины меняется с расстоянием. Положения полос двух щелей требуют лишь $d\ll L$, как показал раздел о разности хода. Вот почему полосы в анимации подчиняются $d\sin \theta =m\lambda$, хотя $d^2/\lambda =312\mathrm{пикс}$ больше $L=220\mathrm{пикс}$.

Что дальше

Много щелей образует решётку — основу большинства спектрометров, а записываемые ими линейчатые спектры ведут к уроку «Модели атома: атом Бора». Круглое отверстие диаметром $D$ расплывает свет в пятно с угловым радиусом $1,22\lambda /D$ — это предел разрешения из урока «Глаз, фотоаппарат и телескоп». Поля, которые здесь складываются, — это поля из урока «Электромагнитные волны», а направление их колебаний — тема урока «Поляризация света».

Правило амплитуд $P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2$ — ядро квантовой механики: урок «Корпускулярно-волновой дуализм» выстраивает его из отдельных электронов, а «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» превращает его в волновое уравнение для вещества.