Welle-Teilchen-Dualismus

Einsteiger

Jahrhundertelang stritten Wissenschaftler über das Licht. Durch zwei schmale Spalte geschickt, malt es helle und dunkle Streifen, was nur Wellen können. Doch wenn Licht Elektronen aus einem Metall löst (der Photoeffekt), verhält es sich wie ein Hagel winziger Energiepakete, die Photonen heißen. Jedes Paket trägt die Energie $E=hf$, wobei $f$ die Frequenz ist, die die Farbe bestimmt, und $h$ eine winzige feste Zahl ist, die Planck-Konstante; deshalb trägt ein violettes Photon mehr Energie als ein rotes. Licht ist weder nur eine Welle noch nur ein Strom von Teilchen.

Elektronen, die wir uns als winzige Kugeln vorstellen, haben dieselbe Doppelnatur. Verfolge die Animation Schritt für Schritt.

Schritt 1. Die Kanone schießt Elektronen einzeln ab, so langsam, dass immer nur eines unterwegs ist. Jedes trifft den Schirm an einer Stelle und hinterlässt einen Punkt, wie eine Murmel, die ein Ziel trifft. Bisher: Teilchen.

Schritt 2. Wo der nächste Punkt landet, ist reiner Zufall. Doch nach einigen hundert Punkten zeigt sich ein Muster: helle Streifen, getrennt durch fast leere Lücken. Das ist das Kennzeichen von Wellen, die aus den beiden Spalten kommen und sich an manchen Stellen verstärken und an anderen auslöschen, wie Wellen auf einem Teich.

Schritt 3. Die Elektronen fliegen einzeln, daher hat keines einen Partner, mit dem es interferieren könnte. Die Welle jedes Elektrons muss also gleichzeitig durch beide Spalte gehen.

Schritt 4. Stellt man einen Detektor an die Spalte, um festzustellen, welchen jedes Elektron nimmt, verschwinden die Streifen, und die Punkte häufen sich zu einem glatten Fleck.

Prüfe dich selbst: Das Experiment wird nach nur fünf Elektronen gestoppt. Siehst du Streifen? (Nein: nur fünf verstreute Punkte. Streifen brauchen viele Punkte.)

Merke: Quantenobjekte bewegen sich wie Wellen und kommen wie Teilchen an.

Mittelstufe

Ein Elektron, ein Punkt

In der Animation schießt eine Elektronenkanone auf eine Wand mit zwei schmalen Spalten, und ein dahinterliegender Schirm registriert jede Ankunft. Immer nur ein Elektron ist unterwegs: Die ersten sechs sind im Flug gezeichnet, danach beschleunigt die Animation, während der Zähler steigt. Jede Ankunft ist ein einzelner Punkt, das ganze Elektron mit seiner gesamten Ladung an einer Stelle nachgewiesen. Doch nach einigen hundert Ankünften verdichten sich die Punkte zu hellen Streifen, getrennt durch fast leere Lücken, dem Interferenzmuster, das Licht hinter zwei Spalten erzeugt.

Das Elektron hat einen Impuls $p=mv$ und eine kinetische Energie $E$, angegeben in Elektronenvolt: $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von 1 V gewinnt. Die Spalte liegen im Abstand $d$ voneinander, der Schirm steht im Abstand $L$ dahinter, und der Streifenabstand $\Delta y$ trennt benachbarte helle Streifen.

Die de-Broglie-Wellenlänge

Licht ist eine Welle, doch wie die Lektion „Der photoelektrische Effekt“ gezeigt hat, kommt es auch in Paketen an, den Photonen mit der Energie $E=hf$, von denen jedes einen Impuls $p=h/\lambda$ trägt. 1924 kehrte Louis de Broglie die Idee um und schlug vor, dass jedem Teilchen mit dem Impuls $p$ eine Wellenlänge zukommt
$\lambda =\frac{h}{p}$

Hier ist $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ die Planck-Konstante. Weil $h$ so winzig ist, wird eine Wellenlänge nur bei Teilchen sehr kleiner Masse und mäßiger Geschwindigkeit bemerkbar: Elektronen, Neutronen, Atome. Die blaue Welle vor den Spalten steht für diese Materiewelle: keine Welle aus Elektronenmaterie, sondern eine Welle der Wahrscheinlichkeit.

Ein langsames Teilchen hat die kinetische Energie $E=\frac{1}{2}m{v}^2$, und da $p=mv$ gilt, ist das $E=p^2/(2m)$, also
$p=\sqrt{2mE}$

Ein aus der Ruhe durch die Spannung $V$ beschleunigtes Elektron gewinnt $E=eV$, wobei $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ die Größe seiner Ladung ist. Die vierfache Energie ergibt den doppelten Impuls und die halbe Wellenlänge.

Von der Energie zum Streifenabstand

Hinter den Spalten überlappen sich die beiden Teile der Materiewelle und interferieren, wie es Licht bei Beugung und Doppelspalt tut: Wo sich die Wege um eine ganze Zahl von Wellenlängen unterscheiden, landen viele Elektronen, und wo sie sich um eine ungerade Zahl halber Wellenlängen unterscheiden, fast keines. Für kleine Winkel ergibt sich eine Kette aus drei Gleichungen, mit der sich die meisten Aufgaben lösen lassen:

• $\lambda =\frac{h}{p}$
• $p=\sqrt{2mE}$
• $\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$

Die Energie liefert den Impuls, der Impuls die Wellenlänge und die Wellenlänge den Streifenabstand. Schnellere Elektronen haben eine kürzere Wellenlänge und engere Streifen; engere Spalte oder ein weiter entfernter Schirm spreizen die Streifen. Die letzte Gleichung ist die Doppelspaltformel für Licht, mit der de-Broglie-Wellenlänge.

Rechenbeispiel: die Elektronen der Animation

Die Elektronen der Animation haben $E=50\mathrm{eV}$. Rechne die Energie in Joule um, bestimme den Impuls mit $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$ und dann die Wellenlänge:
$E=50\cdot 1,602\times 10^{-19}=8,01\times 10^{-18}\mathrm{J}$
$p=\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 8,01\times 10^{-18}}=3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda =\frac{6,626\times 10^{-34}}{3,82\times 10^{-24}}=1,73\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,173\mathrm{nm}$

Das ist die 0,17 nm auf der blauen Anzeige, etwa der Atomabstand in einem Kristall. Die Geschwindigkeit, $v=p/m=4,2\times 10^{6}m/s$, beträgt nur 1,4 % der Lichtgeschwindigkeit; daher ist es bei $p=\sqrt{2mE}$ unbedenklich, die Relativitätstheorie zu vernachlässigen.

Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu. Angenommen, die echten Spalte liegen $d=0,50\mu \mathrm{m}$ auseinander und der Schirm ist $L=2,0\mathrm{m}$ entfernt. Dann
$\Delta y=\frac{1,73\times 10^{-10}\cdot 2,0}{0,50\times 10^{-6}}=6,9\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,69\mathrm{mm}$

Die violette Marke $\Delta y$ neben dem Schirm steht für diesen Abstand. Von den Spalten aus gesehen liegen benachbarte Streifen nur $\lambda /d=3,5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, also 0,02°, auseinander. Deshalb braucht Elektroneninterferenz Spalte, die feiner als ein Mikrometer sind, einen langen Flugweg oder Elektronenlinsen, die das Muster vergrößern.

Rechenbeispiel: eine Wellenlänge, drei Teilchen

Um zu sehen, wie Atome in einem Kristall angeordnet sind, braucht man eine Wellenlänge nahe ihrem Abstand. Welche Energie müssen ein Photon, ein Elektron und ein Neutron haben, damit $\lambda =0,173\mathrm{nm}$ gilt, der Wert aus der Animation?

Alle drei brauchen denselben Impuls, $p=h/\lambda =3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$, doch Impuls und Energie hängen unterschiedlich zusammen. Für das Photon gilt $E=pc$:
$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,626\times 10^{-34}\cdot 3,00\times 10^8}{1,73\times 10^{-10}}=1,15\times 10^{-15}\mathrm{J}=7,2\mathrm{keV}$
Das ist ein Röntgenphoton. Das Elektron braucht 50 eV, wie oben. Für das Neutron, mit $m=1,675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$,
$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{(3,82\times 10^{-24}{)}^2}{2\cdot 1,675\times 10^{-27}}=4,36\times 10^{-21}\mathrm{J}=0,027\mathrm{eV}$

Dieselbe Wellenlänge kostet 7,2 keV, 50 eV oder 0,027 eV, ein Faktor von 260.000 bei der Energie. Das liegt daran, dass die Wellenlänge durch den Impuls festgelegt ist und ein schwereres Teilchen einen gegebenen Impuls mit weit weniger kinetischer Energie erreicht. Das Neutron hat bei nur $p/m=2280m/s$ etwa die thermische Energie bei Raumtemperatur; deshalb eignen sich in einem Reaktor abgebremste Neutronen für Kristalluntersuchungen. Röntgenstrahlen, Elektronen und Neutronen werden so eingesetzt.

Das Muster auf dem Schirm lesen

Keine Regel sagt, wo der nächste Punkt landen wird: Die Welle legt nur die Wahrscheinlichkeit jedes Ortes fest. Bei 10 oder 20 Punkten wirkt der Schirm zufällig; bei etwa 200 sind die Streifen klar, und nach allen 560 sind die dunklen Lücken fast leer, wobei die Streifenmitten einen Abstand $\Delta y$ voneinander haben.

In einer dunklen Lücke kommen die Wellen der beiden Spalte um eine halbe Wellenlänge außer Takt und löschen sich aus, wie bei Interferenz und Superposition. Deshalb landen dort bei zwei offenen Spalten weniger Elektronen als bei nur einem: Ein zweiter Weg macht das Ankommen unwahrscheinlicher, was kein Strom gewöhnlicher Teilchen könnte. Die Streifen verblassen zu den Rändern hin, weil jeder Spalt, ein Viertel von $d$ breit, seine Welle nur über einen begrenzten Winkel ausbreitet. Diese abklingende Hülle hat an den hellen Streifen die Werte 1, 0,81, 0,41 und 0,09, und der nächste läge genau auf einer Nullstelle, knapp außerhalb des Schirmrands.

Häufige Fehler

• Die Elektronen interferieren nicht miteinander: Immer nur eines ist unterwegs, und dennoch bauen 560 einzeln gesendete Elektronen die Streifen auf. Die Welle jedes Elektrons geht durch beide Spalte.
• Ein Elektron wird an den Spalten nie geteilt: Jeder Nachweis ist ein ganzes Elektron mit der vollen Ladung $1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ an einem einzigen Punkt.
• Die Wellenlänge wird vom Impuls bestimmt, nicht von der Energie: Ein 50-eV-Elektron und ein 0,027-eV-Neutron haben dieselben 0,17 nm. Und $p=\sqrt{2mE}$ gilt nicht für Photonen, für die $p=E/c$ gilt.
• Große Objekte haben ebenfalls eine Wellenlänge, nur eine unbeobachtbare: Ein Ball von 0,15 kg bei 30 m/s hat $p=4,5\mathrm{kg}\cdot m/s$ und $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$, etwa $10^{19}$-mal kleiner als ein Proton.
• Schnellere Elektronen ergeben engere Streifen, nicht breitere: Die doppelte Geschwindigkeit halbiert sowohl $\lambda$ als auch $\Delta y$, von 0,69 mm auf 0,35 mm.

Wo man ihm begegnet

Der erste Beweis kam 1927, als Davisson und Germer 54-eV-Elektronen an einem Nickelkristall streuten und einen starken Strahl bei 50° fanden, genau dort, wo sich Wellen mit $\lambda =h/p=0,167\mathrm{nm}$, die an Atomreihen im Abstand von 0,215 nm reflektiert werden, verstärken, da $0,215\sin 50^{\circ }=0,165\mathrm{nm}$ gilt. Elektronenmikroskope arbeiten mit Zehntausenden Volt und erzeugen Wellenlängen von einigen Pikometern, etwa $10^5$-mal kürzer als sichtbares Licht, und können einzelne Atome abbilden. Auch Moleküle aus 60 Kohlenstoffatomen haben schon Streifen erzeugt.

Atommodelle: das bohrsche Atom führte seine erlaubten Bahnen als Regel ein; hier bekommt die Regel eine Begründung, denn jede Bahn fasst eine ganze Zahl von Elektronenwellenlängen. Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt gibt der Materiewelle eine eigene Bewegungsgleichung und lässt sie durch Barrieren sickern, und die fortgeschrittene Stufe erklärt, warum das Beobachten der Elektronen die Streifen zerstört.

Fortgeschritten

Klumpen, die wie eine Welle ankommen

Dieser Abschnitt stellt das Rätsel vor, das der Rest der Lektion auflöst. Elektronen werden einzeln auf eine Platte mit zwei Spalten geschossen, und ein dahinterliegender Schirm registriert, wo jedes landet. Man wählt einen kleinen Bereich des Schirms und nennt $P_1$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron dort landet, wenn nur Spalt 1 offen ist, $P_2$ dasselbe bei nur offenem Spalt 2 und $P_{12}$ die Wahrscheinlichkeit bei beiden offenen Spalten.

Wären Elektronen Kügelchen, würde jedes durch einen der beiden Spalte gehen. Bei beiden offenen Spalten würden die Kügelchen, die durch Spalt 1 kommen, genauso landen wie bei geschlossenem Spalt 2, und entsprechend für Spalt 2; die Zählungen würden sich also einfach addieren: $P_{12}=P_1+P_2$. Eine klassische Welle verhält sich anders. Sie gibt ihre Energie kontinuierlich ab, nicht in Paketen, und was sich addiert, ist die Höhe der Welle, nicht ihre Energie. Weil die Intensität mit dem Quadrat der Höhe wächst, ist die Intensität bei beiden offenen Spalten nicht die Summe der beiden Einzelspalt-Intensitäten, und es entstehen Streifen.

Elektronen tun etwas, das beide Bilder nicht zulassen. Der Detektor klickt jeweils mit einem ganzen Elektron, nie mit einem Bruchteil, wie bei Kügelchen. Doch die Klicks bauen ein Streifenmuster auf, wie bei einer Welle, und $P_{12}\ne P_1+P_2$: An einem dunklen Streifen führt das Öffnen des zweiten Spalts dazu, dass seltener Elektronen ankommen. Das Kügelchen-Argument zeigt, warum das wichtig ist. Jede Beschreibung, in der jedes Elektron durch einen bestimmten Spalt geht und sich dort so verhält, als wäre der andere Spalt geschlossen, führt direkt zu $P_{12}=P_1+P_2$. Das Experiment schließt daher jede solche Beschreibung aus, egal wie detailliert sie ist. Der nächste Abschnitt gibt die Regel, die sie ersetzt.

Amplituden addieren sich, Wahrscheinlichkeiten nicht

Die Quantenmechanik behält die Rechenregeln der Wellen bei, wendet sie aber auf Wahrscheinlichkeiten an. Jeder Weg, auf dem ein Ereignis eintreten kann (hier: das Elektron erreicht den gewählten Punkt über Spalt 1 oder über Spalt 2), erhält eine komplexe Zahl, seine Wahrscheinlichkeitsamplitude: ${\psi }_1$ für den ersten Weg, ${\psi }_2$ für den zweiten. Die Regel hat zwei Fälle.

Wenn nichts in der Welt die Wege unterscheidet, addieren sich ihre Amplituden, und die Wahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat der Summe:
$\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2)$
Die ersten beiden Terme sind die Einzelspalt-Wahrscheinlichkeiten. Der letzte, der Kreuzterm (oder Interferenzterm), kann positiv oder negativ sein, und er ist der ganze Unterschied zur klassischen Zählung. Wenn eine Aufzeichnung zeigt, welchen Weg man genommen hat, addieren sich stattdessen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wege, und der Kreuzterm entfällt.

Um die Regel anzuwenden, brauchen wir die Amplituden selbst. Ein freies Teilchen mit dem Impuls $p$ hat die de-Broglie-Wellenlänge $\lambda =h/p$. Entlang eines Weges der Länge $r$ schreitet die Phase seiner Amplitude um $kr$ voran, wobei $k=p/\hslash =2\pi /\lambda$ die Wellenzahl ist und $\hslash =h/(2\pi )$. Für zwei gleiche Spalte sind die Amplituden ${\psi }_j=A{e}^{ik{r}_j}$, wobei $r_1$ und $r_2$ die Längen der beiden Wege zum gewählten Punkt sind. Sie haben dieselbe Größe $A$ und unterscheiden sich nur in der Phase, um
$\delta =k(r_2-r_1)$
Alles Folgende entsteht aus der Addition zweier solcher Zahlen.

Zwei Pfeile und ihre Summe

Legende

${\psi }_1$	Amplitude für die Ankunft über Spalt 1: ein Pfeil der Länge $A$, dessen Richtung seine Phase ist.
${\psi }_2$	Amplitude für die Ankunft über Spalt 2: ebenfalls der Länge $A$, gegenüber ${\psi }_1$ um $\delta$ gedreht.
$\psi$	Gesamtamplitude bei beiden offenen Spalten: die Diagonale ${\psi }_1+{\psi }_2$.
$A$	Länge jedes der beiden Pfeile (gleiche Spalte).
$\delta$	Phasendifferenz der beiden Amplituden: der Winkel zwischen den Pfeilen.	$\mathrm{rad}$

Die Addition zweier komplexer Zahlen ist die Addition zweier Pfeile, und Abbildung 1 macht damit den Kreuzterm sichtbar. Jede Amplitude wird als Pfeil in der komplexen Ebene gezeichnet: Seine Länge ist ihr Betrag $A$, seine Richtung ist die Phase. Nur der Winkel $\delta$ zwischen ${\psi }_1$ und ${\psi }_2$ zählt, denn wenn man beide Pfeile um denselben Winkel dreht, ändert sich keine Länge und damit keine Wahrscheinlichkeit.

Die Summe $\psi$ ist eine Diagonale der Raute, die aus den beiden Pfeilen gebildet wird (eine Raute, weil beide Seiten dieselbe Länge $A$ haben). Schaut man nun auf die andere, gestrichelte Diagonale: Die Diagonalen einer Raute halbieren sich gegenseitig im rechten Winkel, wie in der Abbildung markiert. Die Hälfte von $\psi$ ist also eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse ${\psi }_1$ mit der Länge $A$ ist und dessen Winkel am Ursprung $\delta /2$ beträgt. Diese Kathete ist $A\cos (\delta /2)$, und verdoppelt man sie, erhält man
$|\psi |=2A\cos \frac{\delta }{2}$
für $\delta$ zwischen 0 und $\pi$; für größere Winkel nimmt man den Betrag des Kosinus.

Quadriert man und nutzt die Beziehung $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$, zerfällt das Ergebnis in die beiden Teile der Regel:
$|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2\frac{\delta }{2}=2A^2+2A^2\cos \delta$
Der erste Term, $2A^2$, ist die Summe der Einzelweg-Wahrscheinlichkeiten $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$; der zweite, $2A^2\cos \delta$, ist der Kreuzterm. Zwei Fälle machen das Bild deutlich. Bei $\delta =0$ liegen die Pfeile in einer Linie, also $|\psi |=2A$ und $|\psi {|}^2=4A^2$, doppelt so viel wie beim Einzelweg. Bei $\delta =\pi$ zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen und heben sich auf, also $|\psi {|}^2=0$: Dort kommt nie ein Elektron an, obwohl jeder Spalt allein einige schicken würde.

Warum müssen die Amplituden komplexe Zahlen sein und nicht reelle Wellen? Jede Amplitude trägt außerdem einen Zeitfaktor $e^{-iEt/\hslash }$, wobei $E$ die Energie des Elektrons ist. Die Energie bleibt auf beiden Wegen erhalten, daher ist der Faktor auf beiden gleich: Er dreht beide Pfeile der Abbildung 1 gemeinsam und fällt aus $|\psi {|}^2$ heraus. Ein stetiger Strahl ergibt daher eine stetige Zählrate. Eine reelle Welle wie $\cos (kr-\omega t)$ würde dagegen die Wahrscheinlichkeit selbst in der Zeit schwingen lassen, was nie beobachtet wird.

Vom Wegunterschied zu den Streifen

Legende

$d$	Abstand der beiden Spalte.	$\mathrm{m}$
$L$	Abstand von der Spaltplatte zum Schirm.	$\mathrm{m}$
$y$	Höhe von $P$ über der Achse durch die Mitte der Spalte.	$\mathrm{m}$
$P$	Punkt des Schirms, an dem die beiden Amplituden addiert werden.
$\theta$	Winkel zwischen der Achse und der Linie von der Mitte der Spalte zu $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_1$	Länge des Weges von Spalt 1 zu $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Länge des Weges von Spalt 2 zu $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2-r_1$	Zusätzliche Länge von Weg 2, übrig, nachdem der Bogen $r_1$ abgetragen hat; etwa $d\sin \theta$ bei einem fernen Schirm.	$\mathrm{m}$

Die Phasendifferenz $\delta$ hängt davon ab, wo das Elektron landet. Abbildung 2 zeigt die Geometrie, die eine Position auf dem Schirm in einen Wegunterschied und damit in eine Phase übersetzt.

Zwei Spalte, mit 1 und 2 bezeichnet, liegen im Abstand $d$ voneinander, und der Schirm steht im Abstand $L$ hinter der Platte. Ein Punkt $P$ des Schirms liegt in der Höhe $y$ über der Achse durch die Mitte der Spalte; von diesem Mittelpunkt aus gesehen liegt $P$ unter dem Winkel $\theta$ zur Achse. Zwei Wege führen zu $P$: einer der Länge $r_1$ von Spalt 1 und einer der Länge $r_2$ von Spalt 2. Da $P$ über der Achse liegt, ist Weg 2 der längere.

Um zu sehen, um wie viel länger, folge dem Bogen mit Mittelpunkt $P$, der durch Spalt 1 verläuft. Jeder Punkt des Bogens ist von $P$ um $r_1$ entfernt; er ist ein Stück einer Wellenfront, die auf $P$ zuläuft und deren Punkte alle in Phase ankommen. Wo der Bogen Weg 2 schneidet, hat er also auf ihm die Länge $r_1$, von $P$ aus gemessen, abgetragen. Was von Weg 2 am Spaltende übrig bleibt, das dicke Segment, ist die zusätzliche Länge $r_2-r_1$.

Der reale Schirm ist millionenfach weiter entfernt als $d$, daher verlaufen die beiden Wege nahezu parallel, und der kurze Bogen ist fast eine Gerade, senkrecht zu beiden Wegen. Der Bogen, das dicke Segment und die Platte zwischen den Spalten bilden dann ein kleines rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $d$. Sein Winkel an Spalt 1 ist $\theta$, weil der Bogen senkrecht auf den Wegen steht und die Platte senkrecht auf der Achse. Die dem Winkel gegenüberliegende Seite ist die zusätzliche Länge:
$r_2-r_1\approx d\sin \theta$
und die Phasendifferenz aus Abbildung 1 ist
$\delta =k(r_2-r_1)=\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$

Helle Streifen liegen dort, wo die Pfeile aus Abbildung 1 in einer Linie liegen, $\delta =2\pi m$ mit einer ganzen Zahl $m$, also $d\sin \theta =m\lambda$: Die zusätzliche Länge ist eine ganze Zahl von Wellenlängen. Die Winkel sind winzig, daher gilt $\sin \theta \approx y/L$, und die hellen Streifen liegen bei $y_m=m\lambda L/d$. Sie sind gleichmäßig verteilt, im Abstand
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
und die dunklen Streifen liegen genau dazwischen, dort wo $\delta$ ein ungerades Vielfaches von $\pi$ ist.

Das Histogramm lesen

Legende

$n$	Anzahl der Elektronen, die in einem Intervall der Breite $\Delta y/3$ landeten.
$y$	Position auf dem Schirm, von der Mitte des Musters aus gemessen.	$\mathrm{m}$
$|\psi {|}^2$	Wahrscheinlichkeitsdichte bei beiden offenen Spalten (durchgezogene Kurve), auf Zählungen pro Intervall skaliert.
$|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$	Summe der Einzelwege: das Muster, wenn der Spalt jedes Elektrons aufgezeichnet wird (gestrichelte Kurve), mit nahezu derselben Fläche.
$\Delta y$	Abstand benachbarter heller Streifen, $\lambda L/d$; der Einzelspalt-Faktor verschwindet erstmals bei $4\Delta y$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 3 stellt die Theorie den gezählten Elektronen gegenüber. Sie zeigt, was die fortgeschrittene Stufe der Animation aufbaut: 560 Elektronen, sortiert nach dem Ort ihrer Landung entlang der Schirmkoordinate $y$ in Intervalle von einem Drittel eines Streifens. Die Höhe $n$ jedes goldenen Balkens ist die Anzahl der Elektronen in seinem Intervall. Über den Balken liegen zwei Kurven, beide auf Zählungen pro Intervall skaliert: Die durchgezogene Kurve ist die Quantenvorhersage $|\psi {|}^2$, die gestrichelte Kurve ist die Summe der Einzelwege $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$, das Muster, das man erwartet, wenn der Spalt jedes Elektrons registriert wird.

Zuerst die beiden Kurven vergleichen. Für gleiche Spalte gilt $|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2(\delta /2)$, also an jedem hellen Streifen das Doppelte des gestrichelten Wertes $2A^2$ und an jedem dunklen Streifen null. Der Kreuzterm $2A^2\cos \delta$ ist über die Hälfte jedes Streifens positiv und über die andere Hälfte negativ, er mittelt sich also über einen Streifen zu null. Die beiden Kurven umschließen daher nahezu dieselbe Fläche: Interferenz verschiebt Ankünfte aus den dunklen Bändern in die hellen, erzeugt oder vernichtet aber keine.

Als Nächstes das langsame Abklingen beider Kurven von der Mitte nach außen. Das ist der Einzelspaltfaktor. Jeder Spalt hat eine eigene Breite, hier $a=d/4$, und Wellen aus verschiedenen Teilen desselben Spalts interferieren ebenfalls miteinander. Dadurch ist $A$ nicht konstant, sondern hängt über die Hülle $\sin \beta /\beta$ von $y$ ab, mit $\beta =\pi ay/(\lambda L)$. Die Hülle verschwindet zuerst bei $\beta =\pi$, also bei $y=\lambda L/a=4\Delta y$, der rechten Marke unterhalb der Achse. An den hellen Streifen der Ordnungen 0 bis 3 beträgt die Intensitätshülle $(\sin \beta /\beta {)}^2$ 1, 0,81, 0,41 und 0,09 ihres Zentralwerts; die Ordnung 4 fehlt, weil sie genau auf die Nullstelle fällt. Der Schirm endet bei etwa $3,2\Delta y$, dort, wo die Balken aufhören.

Schließlich die Balken gegen die durchgezogene Kurve. In der Animation enthält der mittlere Balken 94 der 560 Elektronen und jeder Balken erster Ordnung 77. Die Kurve erreicht ihr Maximum bei etwa 104 pro Intervall, doch selbst ein perfekter Durchlauf würde den mittleren Balken etwas unter ihr lassen. Ein Balken zählt alles innerhalb seines Intervalls, er mittelt die Kurve also über ein Drittel eines Streifens, und der Mittelwert von ${\cos }^2$ über diese Breite, zentriert auf einem Maximum, ist 0,91.

In einem echten Durchlauf schwankt zudem jede Zählung: Ein Intervall, das $n$ Elektronen erwartet, erhält etwa $n\pm \sqrt{n}$. Für das mittlere Intervall ergibt das eine relative Streuung von 10 %, und die Streuung sinkt erst bei 10.000 Zählungen pro Intervall auf 1 %. Deshalb sehen die ersten paar Dutzend Punkte wie Rauschen aus. Die Welle sagt die Verteilung vieler Ankünfte voraus; sie sagt nie, wo das nächste einzelne Elektron landen wird.

Die Elektronen beobachten

Dieser Abschnitt stellt die naheliegende Frage: Warum schaut man nicht einfach nach, welchen Spalt jedes Elektron benutzt? Man beleuchtet den Bereich direkt hinter den Spalten, sodass jedes vorbeifliegende Elektron ein Photon streut und ein Lichtblitz zeigt, welchen Weg es nahm. Dann wird jedes Elektron an einem Spalt gesehen, nie an beiden. Sortiert man die Elektronen nach ihrem Blitz, landen die an Spalt 1 gesehenen mit dem Muster $|{\psi }_1{|}^2$, die an Spalt 2 gesehenen mit $|{\psi }_2{|}^2$. Zusammen ergeben sie die gestrichelte Kurve der Abbildung 3. Sobald der Weg aufgezeichnet ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten, wie es die Regel verlangt, und die Streifen verschwinden.

Könnte das Licht so sanft sein, dass es die Elektronen nicht stört? Schwächeres Licht hilft nicht, denn Licht kommt in Photonen: Schwächer heißt seltenere Photonen, nicht schwächere. Ein Elektron streut entweder ein ganzes Photon, wird lokalisiert und reiht sich in das glatte Muster ein, oder es streut keines und reiht sich in die Streifen ein. Die andere Möglichkeit sind weichere Photonen. Ein Photon mit der Wellenlänge ${\lambda }_{\gamma }$ trägt den Impuls $h/{\lambda }_{\gamma }$, eine größere Wellenlänge bedeutet also einen sanfteren Stoß. Ein Blitz lässt sich aber nur auf etwa seine eigene Wellenlänge genau lokalisieren. Um Spalte im Abstand $d$ zu unterscheiden, braucht man daher ${\lambda }_{\gamma }$ unterhalb von etwa $d$ und damit einen Photonenimpuls von mindestens etwa $h/d$. Der nächste Abschnitt zeigt, dass ein Stoß dieser Größe gerade ausreicht, um die Streifen auszuwaschen.

Ein Stoß von der Größe einer Streifenbreite

Legende

$\vec{p}$	Impuls des Elektrons vor der Streuung des Photons.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Impuls nach dem Stoß: gleiche Länge, um einen kleinen Winkel gedreht.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$h/d$	Größter seitlicher Stoß durch ein Photon, dessen Wellenlänge kurz genug ist, um die Spalte zu unterscheiden.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda /d$	Größter Winkel, um den der Stoß den Weg des Elektrons dreht; auch der Winkel zwischen benachbarten hellen Streifen.	$\mathrm{rad}$
$\Delta y$	Abstand auf dem Schirm von der Mitte des Musters bis zum nächsten hellen Streifen, $\lambda L/d$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 vergleicht den Stoß eines solchen Photons mit dem Abstand der Streifen. Links kommt das Elektron mit dem Impuls $\vec{p}$ an. Das Photon streut in einer unbekannten Richtung an ihm und übergibt einen seitlichen Impuls von höchstens etwa $h/d$: der Pfeil von der Spitze von $\vec{p}$ zur Spitze des neuen Impulses ${\vec{p}}^{\prime }$. Der Stoß ist klein und seitlich gerichtet, daher behält ${\vec{p}}^{\prime }$ die Länge von $\vec{p}$, wird aber um einen Winkel von höchstens etwa $(h/d)/p$ gedreht. Mit $p=h/\lambda$ beträgt dieser Winkel $\lambda /d$.

Rechts erscheint derselbe Winkel in der Apparatur. Von den Spalten aus gesehen liegen die Mitte des Musters und der nächste helle Streifen, im Abstand $\Delta y$ auf einem Schirm im Abstand $L$, unter einem Winkel von $\Delta y/L$ auseinander, und $\Delta y/L=\lambda /d$, weil $\Delta y=\lambda L/d$ gilt. Ein Stoß, der stark genug ist, den Spalt zu finden, lenkt das Elektron also um höchstens den Winkel zwischen benachbarten Streifen ab, in eine zufällige Richtung. Jeder Auftreffpunkt wird zufällig um bis zu etwa einen ganzen Streifen verschoben, und die hellen und dunklen Bänder verschmieren ineinander.

In Zahlen: Für die 50-eV-Elektronen der unten folgenden Aufgabe und Spalte im Abstand von 0,50 µm trägt ein Photon mit 0,50 µm nur 1/2900 des Impulses des Elektrons, kann aber auf einem 2,0 m entfernten Schirm den Auftreffpunkt um bis zu 0,69 mm verschieben, einen ganzen Streifen. Sobald ${\lambda }_{\gamma }$ größer als $d$ wird, kehren die Streifen zurück, weil der Blitz nicht mehr zeigt, welcher Spalt benutzt wurde.

Dieser Zielkonflikt ist keine Schwäche der Verwendung von Licht. Es ist die Unschärferelation, die die Streuungen $\Delta x$ und $\Delta p$ einer Position und eines Impulses in derselben Richtung begrenzt:
$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$
Das Festlegen des Elektrons auf einen Spalt fixiert seine seitliche Position auf besser als etwa $d$, daher muss sich sein seitlicher Impuls um mindestens die Größenordnung $\hslash /d$ streuen, egal welches Gerät die Ortung übernimmt. Die obige Abschätzung ist bis auf Faktoren der Größenordnung 1 genau; die unten folgende Aufgabe rechnet die exakte Summe für einen anderen Detektor. Die Grenze muss für jede Apparatur gelten. Ein Elektron, das lokalisiert und dennoch ungestört wäre, müsste Streifen bilden, weil es nichts gestört hat, und keine, weil sein Weg bekannt ist und sich Wahrscheinlichkeiten addieren: Die Theorie würde sich selbst widersprechen. Die Grenze gehört zur Natur, nicht zu ungeschickten Instrumenten.

Teilweise Weginformation

Echte Detektoren können irgendwo zwischen gar keiner Aufzeichnung und einer vollständigen Aufzeichnung des Weges liegen, und die Streifen verblassen dazwischen genau im richtigen Maß. Um zu sehen, wie, behandelt man den Detektor selbst als Quantensystem. Passiert das Elektron Spalt 1, endet der Detektor im Zustand $|D_1⟩$; passiert es Spalt 2, im Zustand $|D_2⟩$. Ihr Überlapp $⟨D_1|D_2⟩$ ist eine komplexe Zahl mit einem Betrag zwischen 0 und 1, die misst, wie ähnlich die beiden Zustände sind. Elektron und Detektor enden gemeinsam im Zustand ${\psi }_1|D_1⟩+{\psi }_2|D_2⟩$, und wenn nur der Auftreffpunkt des Elektrons beobachtet wird, überträgt das Betragsquadrat dieser Summe den Überlapp auf den Kreuzterm:
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2⟨D_1|D_2⟩)$

Identische Zustände (Überlapp 1) zeichnen nichts auf und lassen volle Streifen; orthogonale Zustände (Überlapp 0) zeichnen den Weg perfekt auf und lassen keine. Dazwischen beschreiben zwei Zahlen das Ergebnis. Die Streifen werden über ihre Sichtbarkeit gemessen
$V=\frac{P_{\max }-P_{\min }}{P_{\max }+P_{\min }}$
wobei $P_{\max }$ und $P_{\min }$ die Wahrscheinlichkeiten an einem hellen Streifen und am benachbarten dunklen sind, sodass $V=1$ für perfekte Streifen und $V=0$ für keine gilt. Bei gleichen Amplituden ist $V=|⟨D_1|D_2⟩|$. Die Weginformation wird über die Unterscheidbarkeit $D$ gemessen, definiert so, dass die bestmögliche Vermutung des Spalts aus dem Detektor mit der Wahrscheinlichkeit $(1+D)/2$ richtig ist: $D=0$ ist ein Münzwurf und $D=1$ ist Gewissheit. Dann gilt
$V^2+D^2\le 1$
mit Gleichheit, wenn der Detektor in einem bestimmten Quantenzustand startet. Teilweises Wissen über den Weg erkauft teilweise Streifen; volles Wissen und volle Streifen treten nie zusammen auf.

Niemand muss die Aufzeichnung lesen; sie muss nur existieren. Ein Gasmolekül, das vom Elektron abprallt, ist ein solcher Detektor, und bei einem großen Molekül, das durch die Spalte geschickt wird, auch ein Photon der Wärmestrahlung, das das warme Molekül im Flug abgibt. Jedes solche Ereignis multipliziert den Überlapp mit einem weiteren Faktor kleiner als 1, und nach vielen davon ist der Kreuzterm verschwunden. Dieser Verlust der Interferenz an die Umgebung heißt Dekohärenz, und deshalb brauchen Materiewellenexperimente ein Hochvakuum.

Rechenaufgabe: eine zurückweichende Spaltplatte

In den Debatten zwischen Einstein und Bohr Ende der 1920er Jahre war ein Vorschlag, den Weg des Elektrons am Rückstoß der Spaltplatte abzulesen. Man nehme die 50-eV-Elektronen der Animation im realen Maßstab des mittleren Beispiels ($\lambda =0,173\mathrm{nm}$, $d=0,50\mu \mathrm{m}$, $L=2,0\mathrm{m}$, also $\Delta y=0,69\mathrm{mm}$) mit einer Platte, die seitlich gleiten kann. Wie genau muss der Impuls der Platte bekannt sein, und was geschieht mit den Streifen?

Schritt 1, die beiden Rückstöße. Ein Elektron, das durch Spalt 1, im Abstand $d/2$ über der Achse, die Mitte des Schirms erreicht, wird um den Winkel $d/(2L)$ zur Achse hin abgelenkt; über Spalt 2 wird es um denselben Winkel in die andere Richtung abgelenkt. Sein seitlicher Impuls ändert sich um $pd/(2L)$ in die eine oder andere Richtung, und nach dem Impulserhaltungssatz erhält die Platte den entgegengesetzten Stoß. Die beiden möglichen Stöße der Platte unterscheiden sich um
$\delta p=\frac{pd}{L}=\frac{h}{\Delta y}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{6,94\times 10^{-4}}=9,5\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$
wobei der mittlere Schritt $p=h/\lambda$ und $\Delta y=\lambda L/d$ nutzt. (Hier ist $\delta p$ eine Impulsdifferenz, nicht die Phase $\delta$.)

Schritt 2, die Position der Platte. Um die beiden Stöße zuverlässig zu unterscheiden, muss die Streuung des Plattenimpulses deutlich kleiner als $\delta p$ sein; man nehme eine Standardabweichung ${\sigma }_p=\delta p/4=2,4\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$. Standardabweichungen sind die Streuungen der Unschärferelation, also muss die Position der Platte mindestens um
${\sigma }_x=\frac{\hslash }{2{\sigma }_p}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\cdot 2,4\times 10^{-31}}=2,2\times 10^{-4}\mathrm{m}$
gestreut sein.

Schritt 3, die Streifen. Das ist $\Delta y/\pi$, etwa ein Drittel eines Streifens. Das Muster ist an die Spalte gebunden, also ist es in seiner Position so unsicher wie die Platte. Mittelt man die ${\cos }^2$-Streifen über eine Gauß-Streuung ${\sigma }_x$, wird ihr Kontrast mit $e^{-2{\pi }^2{\sigma }_x^2/\Delta y^2}=e^{-2}=0,14$ multipliziert. Die Detektorregel des vorigen Abschnitts liefert dasselbe Ergebnis von der anderen Seite. Die beiden möglichen Endzustände der Platte sind Streuungen der Breite ${\sigma }_p$, deren Mittelpunkte um $\delta p$ auseinanderliegen, und ihr Überlapp beträgt $e^{-\delta p^2/(8{\sigma }_p^2)}=e^{-2}$. Also $V=0,14$ und $D=\sqrt{1-e^{-4}}=0,99$: Der Weg ist fast sicher bekannt, und die Streifen sind nahezu verschwunden.

Schritt 4, eine lockerere Platte. Ist ihr Impuls nur auf ${\sigma }_p=\delta p$ bekannt, behalten die Streifen 88 % Sichtbarkeit, aber der Weg wird nur mit $D=0,47$ verraten. Beide Fälle ergeben $V^2+D^2=1$: Eine Platte in einem bestimmten Quantenzustand liegt auf der Grenze, und keine Platte schneidet besser ab.

Grenzen der Gültigkeit

Die Beziehung $p=\sqrt{2mE}$, mit $E$ der kinetischen Energie, ignoriert die Relativität. Bei 50 eV ist das unbedenklich, ein Zehntausendstel der Ruheenergie des Elektrons $m{c}^2=511\mathrm{keV}$. In einem 100-kV-Elektronenmikroskop dagegen ergibt der exakte Impuls aus $pc=\sqrt{E^2+2Em{c}^2}$ $\lambda =3,70\mathrm{pm}$, während die einfache Formel 3,88 pm liefert, etwa 5 % zu lang. Die Beziehung $\lambda =h/p$ selbst bleibt exakt; nur der Zusammenhang zwischen $p$ und $E$ ändert sich.

Die Streifenformel braucht kleine Winkel und einen Schirm im Fernfeld, $L\gg d^2/\lambda$, was im Beispiel 1,4 mm gegenüber $L=2\mathrm{m}$ ist. Streifen brauchen außerdem einen kohärenten Strahl: eine kleine Quelle, damit beide Spalte dieselbe Welle erhalten, und nahezu eine einzige Energie, damit alle Elektronen eine Wellenlänge und einen Streifenabstand teilen.

Bei großen Objekten ist die Welle real, aber unsichtbar, aus zwei Gründen. Der erste ist die Wellenlänge. Ein Ball von 0,15 kg bei 30 m/s hat $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$: Hinter Spalten im Abstand von 10 cm würde ein 10 m entfernter Schirm Streifen im Abstand $1,5\times 10^{-32}\mathrm{m}$ tragen, und ein Detektor von der Größe eines Protons würde etwa $10^{17}$ davon zu einer glatten Kurve mitteln. Der zweite ist die Dekohärenz: In Luft wird der Ball etwa $5\times 10^{25}$-mal pro Sekunde von Molekülen getroffen, und jedes davon ist eine Weginformation. Dennoch ist keine scharfe Grenze zwischen Quanten- und klassischen Objekten bekannt. Moleküle aus 60 Kohlenstoffatomen mit $\lambda =2,5\mathrm{pm}$ bei 220 m/s haben hinter einem Gitter mit 100 nm Periode Streifen erzeugt, und später auch Moleküle aus etwa 2000 Atomen.

Wohin das führt

„Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt“ macht aus der Amplitude eine Wellenfunktion mit eigener Gleichung, mit $E=\hslash \omega$ und $p=\hslash k$, und lassen sie durch Barrieren sickern, die ein klassisches Teilchen nie überwinden könnte. Die Bahnen des bohrschen Atoms aus „Atommodelle: das bohrsche Atom“ sind jene, die eine ganze Zahl von Wellenlängen aufnehmen, $2\pi r=n\lambda$, was einem Drehimpuls $n\hslash$ entspricht. In „Halbleiter, Dioden und LEDs“ bilden Elektronenwellen in einem periodischen Kristall Energiebänder. „Teilchen und Kräfte: das Standardmodell“ behandelt jedes Teilchen als Quant eines Feldes und berechnet jeden Prozess, indem es die Amplituden seiner alternativen Verläufe addiert, dargestellt als Wechselwirkungsdiagramme: die Regel dieser Lektion in ihrer allgemeinsten Form.