波粒二象性

入门

几个世纪以来，科学家们一直在争论光究竟是什么。光通过两条狭缝时，会形成明暗相间的条纹，这只有波才能做到。然而，当光把电子从金属中打出来时（即光电效应），它又表现得像一阵冰雹般打来的微小能量包，这些能量包称为光子。每个光子带有能量 $E=hf$，其中 $f$ 是频率（决定颜色），$h$ 是一个很小的固定常数，即普朗克常数；因此紫光光子比红光光子携带更多的能量。光既不只是波，也不只是粒子流。

电子常被想象成微小的球，但它也具有这种二象性。请一步一步地观看动画。

第 1 步。电子枪一个一个地发射电子，速度慢到任何时候都只有一个电子在路上。每个电子都打在屏上的一个点，留下一个亮点，就像弹珠击中靶子。到目前为止，它们像粒子。

第 2 步。下一个点落在哪里纯属偶然。但在数百个点之后，图样出现了：亮条纹之间隔着几乎空白的间隙。这是来自两条缝的波在某些位置相加、在另一些位置相消的标志，就像池塘上的涟漪。

第 3 步。电子是单独前进的，因此没有哪个电子有可以与之干涉的“伙伴”。每个电子自身的波必须同时穿过两条缝。

第 4 步。在缝旁放置探测器，看每个电子走的是哪条缝：条纹消失，落点堆积成一块平滑的光斑。

自我检验：实验只进行到五个电子就停止了。你看到条纹了吗？（没有：只有五个分散的点。条纹需要许多点才能显现。）

记住：量子物体以波的方式传播，以粒子的方式到达。

中级

一个电子，一个点

在动画中，电子枪向一面带有两条狭缝的墙发射电子，墙后的屏幕记录每一次落点。任何时候只有一个电子在路上：前六个会画出飞行的过程，之后动画加速，计数器不断上升。每个落点都是一个点，即整个电子及其全部电荷都被探测在一个位置上。然而，经过数百次落点后，这些点会聚集成亮条纹，条纹之间几乎是空白的间隙，这正是光通过双缝后形成的干涉图样。

电子具有动量 $p=mv$ 和动能 $E$，动能常以电子伏特表示：$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ 是电子在 1 V 电压下获得的能量。两条缝相距 $d$，屏位于其后距离 $L$ 处，条纹间距 $\Delta y$ 是相邻亮条纹之间的距离。

德布罗意波长

光是一种波，但“光电效应”一课表明，光也以光子的形式出现，每个光子能量为 $E=hf$，动量为 $p=h/\lambda$。1924 年，路易·德布罗意反过来提出：每个动量为 $p$ 的粒子都具有波长
$\lambda =\frac{h}{p}$

这里 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 是普朗克常数。由于 $h$ 极小，只有质量非常小、速度不太大的粒子，其波长才显著：如电子、中子、原子。缝前的蓝色波代表这种物质波：它不是电子物质的涟漪，而是一种概率波。

慢速粒子的动能为 $E=\frac{1}{2}m{v}^2$，由于 $p=mv$，这也就是 $E=p^2/(2m)$，因此
$p=\sqrt{2mE}$

静止的电子经电压 $V$ 加速后获得能量 $E=eV$，其中 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ 是电子电荷的大小。能量增至四倍，动量增至两倍，波长减半。

从能量到条纹间距

穿过双缝之后，物质波的两部分相互叠加并发生干涉，就像光在“衍射与双缝”一课中所做的那样：路径差为整数个波长处落下许多电子，路径差为奇数个半波长处，几乎没有电子落下。对于小角度，可以得到一组三式，足以解决大多数问题：

• $\lambda =\frac{h}{p}$
• $p=\sqrt{2mE}$
• $\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$

能量给出动量，动量给出波长，波长给出条纹间距。电子越快，波长越短，条纹越窄；缝距越近或屏越远，条纹越疏。最后一式就是光的双缝公式，只是其中的波长换成了德布罗意波长。

例题：动画中的电子

动画中的电子具有 $E=50\mathrm{eV}$。先把能量换算为焦耳，再用 $m=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$ 求动量，最后求波长：
$E=50\cdot 1.602\times 10^{-19}=8.01\times 10^{-18}\mathrm{J}$
$p=\sqrt{2\cdot 9.11\times 10^{-31}\cdot 8.01\times 10^{-18}}=3.82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda =\frac{6.626\times 10^{-34}}{3.82\times 10^{-24}}=1.73\times 10^{-10}\mathrm{m}=0.173\mathrm{nm}$

这就是蓝色读数上的 0.17 nm，约等于晶体中原子的间距。速度 $v=p/m=4.2\times 10^{6}m/s$ 仅为光速的 1.4%，因此在 $p=\sqrt{2mE}$ 中忽略相对论是安全的。

示意图未按比例绘制。设真实的双缝间距 $d=0.50\mu \mathrm{m}$，屏距 $L=2.0\mathrm{m}$。则
$\Delta y=\frac{1.73\times 10^{-10}\cdot 2.0}{0.50\times 10^{-6}}=6.9\times 10^{-4}\mathrm{m}=0.69\mathrm{mm}$

屏旁紫色的 $\Delta y$ 标记代表这一间距。从缝处看去，相邻条纹之间的夹角仅为 $\lambda /d=3.5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$，即 0.02°，因此电子干涉需要比微米更细的缝、很长的飞行路程，或能放大图样的电子透镜。

例题：同一波长，三种粒子

要看清晶体中原子的排列，需要一个与原子间距接近的波长。要使光子、电子和中子的波长都为 $\lambda =0.173\mathrm{nm}$（即动画中的数值），它们各需要多少能量？

三者需要的动量相同，都是 $p=h/\lambda =3.82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$，但动量与能量的关系各不相同。对光子，$E=pc$：
$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6.626\times 10^{-34}\cdot 3.00\times 10^8}{1.73\times 10^{-10}}=1.15\times 10^{-15}\mathrm{J}=7.2\mathrm{keV}$
这是一个 X 射线光子。电子需要 50 eV，如上所述。对中子，取 $m=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$，
$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{(3.82\times 10^{-24}{)}^2}{2\cdot 1.675\times 10^{-27}}=4.36\times 10^{-21}\mathrm{J}=0.027\mathrm{eV}$

同样的波长需要 7.2 keV、50 eV 或 0.027 eV 的能量，能量相差 260,000 倍，因为波长由动量决定，而质量较大的粒子达到同样的动量所需的动能要小得多。中子的速度 $p/m=2280m/s$，其热运动能量约为室温下的热能，因此经反应堆减速的中子适合用于晶体研究。X 射线、电子和中子就是这样被用于研究的。

读懂屏上的图样

没有任何规则能说明下一个点会落在哪里：波只决定每个位置的概率。10 或 20 个点时，屏上看起来杂乱无章；约 200 个点时条纹清晰可见；全部 560 个点落下后，暗间隙几乎空白，条纹中心彼此相距 $\Delta y$。

在暗间隙处，来自两条缝的波相差半个波长而相互抵消，正如“干涉与叠加”一课所述。因此，双缝都开放时落在该处的电子反而比只开一条缝时少：多了一条路径，反而使到达变得更不可能，这是普通粒子流做不到的。条纹向两侧逐渐变淡，是因为每条缝宽为 $d$ 的四分之一，其波只能在有限的角度内扩散。该包络在各亮条纹处的取值为 1、0.81、0.41 和 0.09，下一条纹则恰好落在包络的零点上，位于屏边缘之外。

常见错误

• 电子之间并不相互干涉：任何时候只有一个电子在飞行，但 560 个单独发射的电子仍然堆积出条纹。每个电子自己的波穿过了两条缝。
• 电子在缝处绝不会被分裂：每次探测到的都是一个完整的电子，携带全部电荷 $1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$，位于单一的点上。
• 波长由动量决定，而不是由能量决定：50 eV 的电子与 0.027 eV 的中子具有相同的 0.17 nm 波长。另外，$p=\sqrt{2mE}$ 不适用于光子，光子的动量为 $p=E/c$。
• 大物体同样具有波长，只是无法观测：质量 0.15 kg、速度 30 m/s 的球，其 $p=4.5\mathrm{kg}\cdot m/s$，$\lambda =1.5\times 10^{-34}\mathrm{m}$，比质子的线度还小约 $10^{19}$ 倍。
• 电子越快，条纹越窄而不是越宽：速度加倍，$\lambda$ 和 $\Delta y$ 都减半，从 0.69 mm 变为 0.35 mm。

应用实例

第一个证明出现于 1927 年：戴维孙和革末用 54 eV 的电子轰击镍晶体，在 50° 处发现了强烈的束流，这正是波长 $\lambda =h/p=0.167\mathrm{nm}$ 的波从相距 0.215 nm 的原子列反射后相互加强之处，因为 $0.215\sin 50^{\circ }=0.165\mathrm{nm}$。电子显微镜在数万伏特下工作，波长仅为几皮米，比可见光短约 $10^5$ 倍，并能成像单个原子。由 60 个碳原子组成的分子也曾产生过条纹。

在“原子模型：玻尔原子”一课中，允许轨道是作为一条规则引入的；这里该规则有了理由：每条轨道恰好容纳整数个电子波长。在“薛定谔方程与隧穿效应”一课中，物质波有了自己的运动方程，并能穿过势垒泄漏；而专家层级则解释了为何观测电子会破坏条纹。

高级

像波一样到达的“颗粒”

本节提出了本课其余部分要解决的谜题。电子一个一个地射向一块带有两条缝的挡板，挡板后的屏记录每个电子的落点。取屏上一小段区域，记 $P_1$ 为只开缝 1 时电子落在该处的概率，$P_2$ 为只开缝 2 时的相应概率，$P_{12}$ 为两缝都开时的概率。

如果电子是弹丸，每个电子都只会穿过一条缝。两缝都开时，经缝 1 的弹丸落点与缝 2 关闭时的一样，经缝 2 的弹丸同理，因此计数只是简单相加：$P_{12}=P_1+P_2$。经典波的表现则不同。它连续地传递能量，而不是一份一份；相加的是波的高度，而不是能量。由于强度与高度的平方成正比，两缝都开时的强度并不等于两个单缝强度之和，于是出现了条纹。

电子的表现则两种图像都不允许。探测器每次只记录一个完整的电子，从不记录半个，这与弹丸一样。然而，这些记录会堆积出条纹图样，与波一样，而且 $P_{12}\ne P_1+P_2$：在暗条纹处，打开第二条缝反而使落点变少。弹丸的论证说明了这一点为何重要。任何认为每个电子都确定地经过某一条缝、并且在那里的表现与另一条缝关闭时相同的解释，都会直接得出 $P_{12}=P_1+P_2$。因此，实验排除了所有这类解释，无论它多么细致。下一节给出取而代之的规则。

振幅相加，概率不相加

量子力学保留了波的运算方法，但将其应用于概率。事件的每一种可能途径（这里即电子经缝 1 或经缝 2 到达选定点）都被赋予一个复数，称为概率振幅：第一种途径为 ${\psi }_1$，第二种为 ${\psi }_2$。该规则分两种情形。

当世界上没有任何东西能区分这些途径时，它们的振幅相加，概率则是总振幅的模的平方：
$\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2)$
前两项是单缝概率。最后一项即交叉项（或干涉项），可正可负，它正是与经典计数的全部差别所在。当某种记录显示了所走的途径时，各途径的概率则改为相加，交叉项不再存在。

要应用这一规则，我们需要振幅本身。动量为 $p$ 的自由粒子具有德布罗意波长 $\lambda =h/p$。沿长度为 $r$ 的路径，其振幅的相位增加 $kr$，其中 $k=p/\hslash =2\pi /\lambda$ 为波数，$\hslash =h/(2\pi )$。对于两条等宽的缝，振幅为 ${\psi }_j=A{e}^{ik{r}_j}$，其中 $r_1$ 和 $r_2$ 分别是到达选定点的两条路径的长度。两者大小相同，都为 $A$，仅相位不同，相差为
$\delta =k(r_2-r_1)$
以下的全部内容都来自这两个数的相加。

两个箭头及其和

图例

${\psi }_1$	经缝 1 到达的振幅：长度为 $A$ 的箭头，其方向即为相位。
${\psi }_2$	经缝 2 到达的振幅：长度同样为 $A$，由 ${\psi }_1$ 转过 $\delta$ 得到。
$\psi$	两缝都开时的总振幅：对角线 ${\psi }_1+{\psi }_2$。
$A$	两个箭头的长度（缝等宽时）。
$\delta$	两个振幅的相位差：两箭头之间的夹角。	$\mathrm{rad}$

两个复数相加就是两个箭头相加，图 1 借此使交叉项清晰可见。每个振幅都画成复平面上的一个箭头：其长度为模 $A$，其方向为相位。只有 ${\psi }_1$ 与 ${\psi }_2$ 之间的夹角 $\delta$ 有意义，因为把两个箭头一起转过相同的角度，不会改变任何长度，也就不会改变概率。

合振幅 $\psi$ 是以两个箭头为边所作菱形的一条对角线（之所以是菱形，是因为两边长度都为 $A$）。现在看另一条虚线对角线。菱形的两条对角线在图中标出的位置互相垂直平分。因此，$\psi$ 的一半是一个直角三角形的一条直角边，该三角形的斜边为 ${\psi }_1$，长为 $A$，原点处的角为 $\delta /2$。这条直角边长为 $A\cos (\delta /2)$，加倍即得
$|\psi |=2A\cos \frac{\delta }{2}$
适用于 $\delta$ 在 0 与 $\pi$ 之间；对于更大的角度，取余弦的模即可。

取平方，并利用 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，结果便分为规则中的两部分：
$|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2\frac{\delta }{2}=2A^2+2A^2\cos \delta$
第一项 $2A^2$ 即路径信息已知时的和 $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$；第二项 $2A^2\cos \delta$ 即交叉项。两种情形可以确定图景。当 $\delta =0$ 时箭头同向，于是 $|\psi |=2A$，$|\psi {|}^2=4A^2$，是路径信息已知时数值的两倍。当 $\delta =\pi$ 时它们方向相反而相互抵消，于是 $|\psi {|}^2=0$：尽管单独开任一条缝都会有电子到达，此处却不会有任何电子到达。

为什么振幅必须是复数，而不能是实数波？每个振幅还带有时间因子 $e^{-iEt/\hslash }$，其中 $E$ 为电子的能量。能量沿两条路径都守恒，因此该因子对两者相同：它使图 1 中的两个箭头一起转动，并在 $|\psi {|}^2$ 中消去。因此，稳定的束流给出稳定的计数率。而像 $\cos (kr-\omega t)$ 这样的实数波，则会使概率本身随时间振荡，这种现象从未被观测到。

从路径差到条纹

图例

$d$	两缝之间的距离。	$\mathrm{m}$
$L$	挡板到屏的距离。	$\mathrm{m}$
$y$	$P$ 相对于两缝中点轴线的高度。	$\mathrm{m}$
$P$	屏上两振幅相加的点。
$\theta$	从两缝中点到 $P$ 的连线与轴线之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$r_1$	从缝 1 到 $P$ 的路径长度。	$\mathrm{m}$
$r_2$	从缝 2 到 $P$ 的路径长度。	$\mathrm{m}$
$r_2-r_1$	路径 2 多出的长度，即圆弧截取 $r_1$ 之后剩下的部分；对于远屏约为 $d\sin \theta$。	$\mathrm{m}$

相位差 $\delta$ 取决于电子落在何处。图 2 给出了几何关系，将屏上的位置转换为路径差，进而转换为相位。

标记为 1 和 2 的两条缝相距 $d$，屏位于挡板后方距离 $L$ 处。屏上的一点 $P$ 位于穿过两缝中点的轴线上方高度 $y$ 处；从该中点看去，$P$ 与轴线的夹角为 $\theta$。到达 $P$ 的有两条路径：一条来自缝 1，长度为 $r_1$；另一条来自缝 2，长度为 $r_2$。由于 $P$ 位于轴线上方，路径 2 较长。

要求出长多少，可沿以 $P$ 为圆心、经过缝 1 的圆弧作图。圆弧上每一点到 $P$ 的距离都是 $r_1$；它是汇聚到 $P$ 的一段波前，其上各点同时到达。因此，圆弧与路径 2 相交处，已从 $P$ 出发沿路径 2 量取了长度 $r_1$。路径 2 在缝端剩下的部分，即粗线段，就是额外的长度 $r_2-r_1$。

实际的屏距远大于 $d$（达数百万倍），因此两条路径几乎平行，而那段短圆弧几乎是与两者都垂直的直线。于是，圆弧、粗线段和两缝之间的挡板构成一个斜边为 $d$ 的小直角三角形。由于圆弧与路径垂直、挡板与轴线垂直，它在缝 1 处的角为 $\theta$。该角的对边即为额外长度：
$r_2-r_1\approx d\sin \theta$
图 1 中的相位差为
$\delta =k(r_2-r_1)=\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$

亮条纹出现在图 1 中的箭头同向排列之处，即 $\delta =2\pi m$，其中 $m$ 为整数，也就是 $d\sin \theta =m\lambda$：额外长度为整数个波长。角度很小，因此 $\sin \theta \approx y/L$，亮条纹位于 $y_m=m\lambda L/d$ 处。它们等距排列，间距为
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
暗条纹恰好位于两亮条纹中间，此处 $\delta$ 为 $\pi$ 的奇数倍。

读懂直方图

图例

$n$	落在宽度为 $\Delta y/3$ 的区间内的电子数。
$y$	沿屏的位置，从图样中心量起。	$\mathrm{m}$
$|\psi {|}^2$	两缝都开时的概率密度（实线），按每区间计数标度。
$|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$	路径信息已知时的和：每个电子所走的缝都被记录时的图样（虚线），与实线所围面积几乎相同。
$\Delta y$	相邻亮条纹之间的距离，$\lambda L/d$；单缝因子在 $4\Delta y$ 处首次为零。	$\mathrm{m}$

图 3 将理论与实际计数的电子进行对比。这正是动画专家层级所构建的内容：560 个电子按其沿屏坐标 $y$ 的落点分入宽度为条纹三分之一的区间中。每根金色柱的高度 $n$ 即其区间内的电子数。柱上叠加两条曲线，均按每区间计数标度：实线为量子预测 $|\psi {|}^2$，虚线为路径信息已知时的和 $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$，即若记录了每个电子所走缝时所预期的图样。

先比较两条曲线。对于等宽的缝，$|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2(\delta /2)$，在每个亮条纹处是虚线值 $2A^2$ 的两倍，在每个暗条纹处为零。交叉项 $2A^2\cos \delta$ 在每个条纹的一半范围内为正，另一半为负，因此在一个条纹范围内平均为零。所以两条曲线所围面积几乎相同：干涉只是把落点从暗带移到亮带，并不会产生或消灭任何落点。

其次，两条曲线都随离中心距离增大而缓慢下降，这是单缝因子的作用。每条缝本身都有宽度，此处为 $a=d/4$，同一条缝不同部分发出的波也会相互干涉。因此 $A$ 并非常数，而是通过包络 $\sin \beta /\beta$ 依赖于 $y$，其中 $\beta =\pi ay/(\lambda L)$。包络首先在 $\beta =\pi$ 处即 $y=\lambda L/a=4\Delta y$ 处为零，即轴下方右侧的标记。在 0 至 3 级亮条纹处，强度包络 $(\sin \beta /\beta {)}^2$ 为其中心值的 1、0.81、0.41 和 0.09 倍，第 4 级缺失，因为它恰好落在零点上。屏的范围约到 $3.2\Delta y$ 处，柱子在此停止。

最后，比较柱子与实线。在动画中，中央区间最终有 560 个电子中的 94 个，每个一级区间有 77 个。曲线在每区间约 104 处达到峰值，但即使是完美的实验，中央柱子也会略低于曲线。柱子统计了整个区间内的所有电子，因此它是对曲线在三分之一条纹宽度上的平均；以峰值为中心、在该宽度上 ${\cos }^2$ 的平均值为 0.91。

在实际实验中，每个计数还会涨落：期望有 $n$ 个电子的区间，实际约接收 $n\pm \sqrt{n}$ 个。对于中央区间，相对涨落为 10%，只有在每区间达到 10,000 个计数时，涨落才降至 1%。这就是为什么最初的几十个点看起来像噪声。波预言的是大量落点的分布，它从不说明下一个单独的电子会落在哪里。

观测电子

本节提出一个显而易见的问题：为什么不直接观察每个电子用的是哪条缝？在缝后的区域打上光，使每个经过的电子散射一个光子，闪光便显示它的去向。于是每个电子都只会在一条缝处被看到，绝不会同时在两条缝处。按闪光对电子分类：在缝 1 处被看到的电子，其落点呈 $|{\psi }_1{|}^2$ 图样；在缝 2 处被看到的，则呈 $|{\psi }_2{|}^2$ 图样。二者合起来就是图 3 中的虚线。一旦路径被记录，概率便如规则所言相加，条纹随之消失。

能否把光调得足够柔和，使其不扰动电子？调暗光并无帮助，因为光以光子的形式存在：调暗意味着光子更稀少，而不是每个光子更弱。电子要么散射一个完整的光子，从而被定位并融入平滑的图样；要么一个光子也不散射，留在条纹之中。另一种办法是使用更软的光子。波长为 ${\lambda }_{\gamma }$ 的光子带有动量 $h/{\lambda }_{\gamma }$，因此波长越长，反冲越柔和。但闪光只能将位置定位到约其自身波长的范围内。要分辨相距 $d$ 的两条缝，需要 ${\lambda }_{\gamma }$ 小于约 $d$，因而光子动量至少约为 $h/d$。下一节将说明，这一大小的反冲恰好足以抹去条纹。

相当于一个条纹大小的反冲

图例

$\vec{p}$	电子在光子散射前的动量。	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	反冲之后的动量：长度相同，但转过一个小角度。	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$h/d$	足够短波长的光子所能给予的最大侧向反冲，它能够分辨两缝。	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda /d$	反冲所能使电子路径转过的最大角度；也是相邻亮条纹之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$\Delta y$	图样中心到下一条亮条纹的屏上距离，$\lambda L/d$。	$\mathrm{m}$

图 4 比较了单个此类光子引起的反冲与条纹间距。左图中，电子以动量 $\vec{p}$ 到达。光子以未知方向与之散射，并给予其侧向动量，最大约为 $h/d$：即从 $\vec{p}$ 的箭头尖端指向新动量 ${\vec{p}}^{\prime }$ 箭头尖端的矢量。反冲很小且沿侧向，因此 ${\vec{p}}^{\prime }$ 的长度与 $\vec{p}$ 相同，但转过的角度最大约为 $(h/d)/p$。由于 $p=h/\lambda$，该角度即为 $\lambda /d$。

右图中，同一角度出现在实验装置中。从缝处看去，图样中心与下一条亮条纹（位于距离 $L$ 处屏上相距 $\Delta y$ 的位置）之间的夹角为 $\Delta y/L$，且由于 $\Delta y=\lambda L/d$，有 $\Delta y/L=\lambda /d$。因此，足以确定缝的反冲，会使电子以随机方向偏转，最大偏转角为相邻条纹之间的夹角。每个落点都被随机移动，最多约一整个条纹，于是明暗条纹相互模糊。

具体数值如下：对于下文例题中的 50 eV 电子与间距为 0.50 µm 的双缝，一个波长为 0.50 µm 的光子仅携带电子动量的 1/2900，但在相距 2.0 m 的屏上，它仍可使落点移动最多 0.69 mm，即一整个条纹。一旦 ${\lambda }_{\gamma }$ 超过 $d$，条纹便开始重现，因为闪光不再能显示所用的是哪条缝。

这种权衡并非使用光的缺陷。它正是不确定性原理，该原理限制了沿同一方向的位置与动量的散布 $\Delta x$ 和 $\Delta p$：
$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$
将电子定位在某一条缝处，就把它的侧向位置限制在好于约 $d$ 的范围内，因此无论用什么装置定位，其侧向动量的散布至少为 $\hslash /d$ 的量级。上述估算只精确到数量级为 1 的因子；下文的例题则针对另一种探测器给出了精确的求和。该极限对任何装置都必须成立。一个被定位却未受扰动的电子，既因未受扰动而应当形成条纹，又因其路径已知且概率相加而不应形成条纹：理论将自相矛盾。这一极限属于自然界本身，而不是笨拙仪器的缺陷。

部分路径信息

实际的探测器可以处于完全不记录与完美记录路径之间的任何状态，而条纹会在两者之间按相应程度减弱。为说明这一点，应将探测器本身视为一个量子系统。若电子经过缝 1，探测器处于态 $|D_1⟩$；若经过缝 2，则处于 $|D_2⟩$。二者的交叠 $⟨D_1|D_2⟩$ 是一个复数，其模在 0 与 1 之间，用来衡量两个状态的相似程度。电子与探测器最终共同处于态 ${\psi }_1|D_1⟩+{\psi }_2|D_2⟩$；当只观测电子的落点时，该和的模平方会把交叠带入交叉项：
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2⟨D_1|D_2⟩)$

相同的状态（交叠为 1）不记录任何信息，条纹完整保留；正交的状态（交叠为 0）则完美记录路径，条纹完全消失。在两者之间，有两个量描述结果。条纹的强弱由其可见度来衡量
$V=\frac{P_{\max }-P_{\min }}{P_{\max }+P_{\min }}$
其中 $P_{\max }$ 与 $P_{\min }$ 分别为一条亮条纹处和相邻暗条纹处的概率，因此完美条纹的 $V=1$，无条纹时 $V=0$。对于等振幅的情形，$V=|⟨D_1|D_2⟩|$。路径信息则用可分辨度 $D$ 来衡量，其定义使得依据探测器所能做出的关于缝的最佳猜测，以概率 $(1+D)/2$ 为正确：$D=0$ 相当于掷硬币，$D=1$ 则完全确定。于是
$V^2+D^2\le 1$
当探测器处于确定的量子态时取等号。路径的部分信息只换来部分条纹；完整的信息与完整的条纹永远不会同时出现。

无需有人读取记录，它只需要存在。与电子碰撞后弹回的气体分子就是这样一种探测器；对于穿过双缝的大分子，温热分子在飞行中发出的热辐射光子也是这样一种探测器。每发生一次此类事件，交叠都会再乘以一个小于 1 的因子，多次之后，交叉项便消失了。这种干涉向周围环境的丢失称为退相干，这也正是物质波实验需要高真空的原因。

例题：可反冲的缝板

在 20 世纪 20 年代末爱因斯坦与玻尔的争论中，有一种提议是通过缝板的反冲来读取电子的路径。取动画中的 50 eV 电子，采用中级例题的真实尺度（$\lambda =0.173\mathrm{nm}$，$d=0.50\mu \mathrm{m}$，$L=2.0\mathrm{m}$，因此 $\Delta y=0.69\mathrm{mm}$），并设挡板可以侧向滑动。挡板的动量需要被测得多精确，条纹又会发生什么变化？

第一步，两种反冲。经缝 1 到达屏中心的电子（缝 1 位于轴线上方 $d/2$ 处）会向轴线偏转，偏转角为 $d/(2L)$；经缝 2 时，它则以相同的角度向另一方向偏转。其侧向动量改变为 $pd/(2L)$（方向取决于所经缝），根据动量守恒，挡板获得相反的反冲。挡板两种可能的反冲相差
$\delta p=\frac{pd}{L}=\frac{h}{\Delta y}=\frac{6.626\times 10^{-34}}{6.94\times 10^{-4}}=9.5\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$
其中中间一步用到 $p=h/\lambda$ 与 $\Delta y=\lambda L/d$。（此处 $\delta p$ 为动量之差，不是相位 $\delta$。）

第二步，挡板的位置。要可靠地区分两种反冲，挡板动量的散布必须远小于 $\delta p$；取标准差 ${\sigma }_p=\delta p/4=2.4\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$。标准差即不确定性原理中的散布，因此挡板的位置至少须散布为
${\sigma }_x=\frac{\hslash }{2{\sigma }_p}=\frac{1.055\times 10^{-34}}{2\cdot 2.4\times 10^{-31}}=2.2\times 10^{-4}\mathrm{m}$

第三步，条纹。这相当于 $\Delta y/\pi$，约为三分之一个条纹。图样固定于缝上，因此其位置与挡板一样不确定。将 ${\cos }^2$ 条纹对高斯分布（宽度 ${\sigma }_x$）求平均，会使其对比度乘以 $e^{-2{\pi }^2{\sigma }_x^2/\Delta y^2}=e^{-2}=0.14$。上一节的探测器规则从另一方面给出了同样的结果。挡板两种可能的末态是宽度为 ${\sigma }_p$、中心相差 $\delta p$ 的分布，二者的重叠为 $e^{-\delta p^2/(8{\sigma }_p^2)}=e^{-2}$。因此 $V=0.14$，$D=\sqrt{1-e^{-4}}=0.99$：路径几乎可以确定，条纹几乎消失。

第四步，较松散的挡板。若其动量仅被测得到 ${\sigma }_p=\delta p$ 的精度，条纹仍保有 88% 的可见度，但路径仅以 $D=0.47$ 的程度被揭示。两种情形均有 $V^2+D^2=1$：处于确定量子态的挡板位于该边界上，而任何挡板都不可能做得更好。

适用范围的限制

关系式 $p=\sqrt{2mE}$（其中 $E$ 为动能）忽略了相对论效应。在 50 eV 下这无伤大雅，它仅为电子静止能量 $m{c}^2=511\mathrm{keV}$ 的万分之一。然而，在 100 kV 的电子显微镜中，由 $pc=\sqrt{E^2+2Em{c}^2}$ 给出的精确动量得到 $\lambda =3.70\mathrm{pm}$，而简单公式给出 3.88 pm，偏长约 5%。关系式 $\lambda =h/p$ 本身仍然精确；改变的只是 $p$ 与 $E$ 之间的联系。

条纹公式要求小角度，且屏位于远场，即 $L\gg d^2/\lambda$；在该例中该量为 1.4 mm，远小于 $L=2\mathrm{m}$。条纹还需要相干束流：源要足够小，使两条缝接收到相同的波；能量也要近似单一，使所有电子具有相同的波长，从而具有相同的条纹间距。

对于大物体，波是真实存在的，但却不可见，原因有两个。第一是波长。质量 0.15 kg、速度 30 m/s 的球，其 $\lambda =1.5\times 10^{-34}\mathrm{m}$：若在相距 10 cm 的双缝后放置距离 10 m 的屏，条纹间距将为 $1.5\times 10^{-32}\mathrm{m}$，而一个质子大小的探测器会将其中约 $10^{17}$ 个条纹平均为一条光滑的曲线。第二是退相干：在空气中，该球每秒被约 $5\times 10^{25}$ 个分子碰撞，每次碰撞都构成一次路径记录。然而，量子物体与经典物体之间并不存在已知的明确界限。由 60 个碳原子组成的分子，在速度为 220 m/s 时 $\lambda =2.5\mathrm{pm}$，已在周期为 100 nm 的光栅后产生条纹；此后，约含 2000 个原子的分子也做到了这一点。

延伸与联系

在“薛定谔方程与隧穿效应”一课中，振幅被转化为一个遵循自身方程的波函数，满足 $E=\hslash \omega$ 与 $p=\hslash k$，并使其能够穿越经典粒子永远无法越过的势垒。在“原子模型：玻尔原子”一课中，轨道即是恰好容纳整数个波长的轨道，即 $2\pi r=n\lambda$，这等价于角动量 $n\hslash$。在“半导体、二极管与发光二极管”一课中，周期性晶体中的电子波形成能带。在“粒子与相互作用：标准模型”一课中，每种粒子都被视为某个场的量子，每个过程则通过将其各种替代历史的振幅相加来计算，这些历史以相互作用图表示：这正是本课规则的最一般形式。