Dualidade onda-partícula

Iniciante

Durante séculos, os cientistas discutiram sobre a luz. Ao passar por duas fendas estreitas, ela forma faixas claras e escuras, algo que só ondas conseguem. No entanto, quando a luz arranca elétrons de um metal (o efeito fotoelétrico), ela se comporta como uma chuva de pequenos pacotes de energia chamados fótons. Cada pacote carrega a energia $E=hf$, em que $f$ é a frequência, que define a cor, e $h$ é uma constante fixa minúscula, a constante de Planck; por isso um fóton violeta carrega mais energia que um vermelho. A luz não é apenas uma onda nem apenas um fluxo de partículas.

Os elétrons, que imaginamos como pequenas bolinhas, têm essa mesma dupla natureza. Acompanhe a animação passo a passo.

Passo 1. O canhão dispara elétrons um a um, tão devagar que só há um no caminho de cada vez. Cada um atinge a tela em um ponto e deixa um único ponto, como uma bolinha atingindo um alvo. Até aqui: partículas.

Passo 2. Onde o próximo ponto vai cair é puro acaso. Mas depois de algumas centenas de pontos, surge um padrão: faixas claras separadas por lacunas quase vazias. Essa é a marca de ondas vindas das duas fendas, que se somam em alguns lugares e se anulam em outros, como ondas em um lago.

Passo 3. Os elétrons voam sozinhos, então nenhum tem um parceiro com quem interferir. A onda de cada elétron precisa passar pelas duas fendas ao mesmo tempo.

Passo 4. Se você colocar um detector junto às fendas para ver por qual delas cada elétron passa, as faixas somem e os pontos se acumulam em uma única mancha lisa.

Teste você mesmo: o experimento é interrompido após apenas cinco elétrons. Você vê faixas? (Não: só cinco pontos dispersos. Faixas precisam de muitos pontos.)

Lembre-se: objetos quânticos se propagam como ondas e chegam como partículas.

Intermediário

Um elétron, um ponto

Na animação, um canhão de elétrons dispara contra uma parede com duas fendas estreitas, e uma tela atrás registra cada chegada. Só há um elétron em trajeto de cada vez: os primeiros seis aparecem em voo, depois a animação acelera enquanto o contador sobe. Cada chegada é um ponto isolado, o elétron inteiro, com toda a sua carga, detectado em um único ponto. Mesmo assim, depois de algumas centenas de chegadas, os pontos se agrupam em faixas claras separadas por lacunas quase vazias, o padrão de interferência que a luz forma atrás de duas fendas.

O elétron tem uma quantidade de movimento $p=mv$ e uma energia cinética $E$, expressa em elétron-volts: $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ é a energia que um elétron ganha ao atravessar 1 V. As fendas estão separadas por uma distância $d$, a tela fica a uma distância $L$ além delas, e o espaçamento das franjas $\Delta y$ separa faixas claras vizinhas.

O comprimento de onda de de Broglie

A luz é uma onda, mas a lição “Efeito fotoelétrico” mostrou que ela também chega em pacotes, os fótons, de energia $E=hf$, cada um com quantidade de movimento $p=h/\lambda$. Em 1924, Louis de Broglie inverteu a ideia e propôs que toda partícula com quantidade de movimento $p$ tem um comprimento de onda
$\lambda =\frac{h}{p}$

Aqui $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ é a constante de Planck. Como $h$ é tão pequeno, o comprimento de onda só se torna perceptível para partículas de massa muito pequena e velocidades moderadas: elétrons, nêutrons, átomos. A onda azul antes das fendas representa essa onda de matéria: não uma ondulação da substância do elétron, mas uma onda de probabilidade.

Uma partícula lenta tem energia cinética $E=\frac{1}{2}m{v}^2$, e como $p=mv$, isso equivale a $E=p^2/(2m)$, logo
$p=\sqrt{2mE}$

Um elétron acelerado a partir do repouso por uma tensão $V$ ganha $E=eV$, em que $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ é o módulo de sua carga. Quatro vezes a energia resulta em duas vezes a quantidade de movimento e metade do comprimento de onda.

Da energia ao espaçamento das franjas

Atrás das fendas, as duas partes da onda de matéria se sobrepõem e interferem como a luz faz em Difração e fenda dupla: onde os caminhos diferem por um número inteiro de comprimentos de onda, chegam muitos elétrons, e onde diferem por um número ímpar de meios comprimentos de onda, quase nenhum chega. Para ângulos pequenos, isso resulta em uma cadeia de três equações que resolve a maioria dos problemas:

• $\lambda =\frac{h}{p}$
• $p=\sqrt{2mE}$
• $\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$

A energia fornece a quantidade de movimento, a quantidade de movimento fornece o comprimento de onda, e o comprimento de onda fornece o espaçamento das franjas. Elétrons mais rápidos têm comprimento de onda menor e franjas mais estreitas; fendas mais próximas ou uma tela mais distante espalham as franjas. A última equação é a fórmula da fenda dupla para a luz, com o comprimento de onda de de Broglie.

Exemplo resolvido: os elétrons da animação

Os elétrons da animação têm $E=50\mathrm{eV}$. Converta a energia para joules, encontre a quantidade de movimento com $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$ e depois o comprimento de onda:
$E=50\cdot 1,602\times 10^{-19}=8,01\times 10^{-18}\mathrm{J}$
$p=\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 8,01\times 10^{-18}}=3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda =\frac{6,626\times 10^{-34}}{3,82\times 10^{-24}}=1,73\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,173\mathrm{nm}$

Esse é o 0,17 nm da leitura azul, aproximadamente o espaçamento entre átomos em um cristal. A velocidade, $v=p/m=4,2\times 10^{6}m/s$, é apenas 1,4 % da velocidade da luz, então ignorar a relatividade em $p=\sqrt{2mE}$ é seguro.

O desenho não está em escala. Suponha que as fendas reais estejam separadas por $d=0,50\mu \mathrm{m}$ e que a tela esteja a $L=2,0\mathrm{m}$. Então
$\Delta y=\frac{1,73\times 10^{-10}\cdot 2,0}{0,50\times 10^{-6}}=6,9\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,69\mathrm{mm}$

A marca roxa $\Delta y$ ao lado da tela representa esse espaçamento. Vistas das fendas, as faixas vizinhas estão separadas por apenas $\lambda /d=3,5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, ou 0,02°, o que explica por que a interferência de elétrons exige fendas mais finas que um micrômetro, um longo percurso ou lentes eletrônicas que ampliem o padrão.

Exemplo resolvido: um comprimento de onda, três partículas

Para ver como os átomos estão dispostos em um cristal, é preciso um comprimento de onda próximo do espaçamento entre eles. Que energia um fóton, um elétron e um nêutron devem ter para que $\lambda =0,173\mathrm{nm}$, o valor da animação?

Os três precisam da mesma quantidade de movimento, $p=h/\lambda =3,82\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$, mas quantidade de movimento e energia se relacionam de maneiras diferentes. Para o fóton, $E=pc$:
$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,626\times 10^{-34}\cdot 3,00\times 10^8}{1,73\times 10^{-10}}=1,15\times 10^{-15}\mathrm{J}=7,2\mathrm{keV}$
que é um fóton de raios X. O elétron precisa de 50 eV, como acima. Para o nêutron, com $m=1,675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$,
$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{(3,82\times 10^{-24}{)}^2}{2\cdot 1,675\times 10^{-27}}=4,36\times 10^{-21}\mathrm{J}=0,027\mathrm{eV}$

O mesmo comprimento de onda custa 7,2 keV, 50 eV ou 0,027 eV, um fator de 260.000 na energia, porque o comprimento de onda é fixado pela quantidade de movimento, e uma partícula mais pesada atinge uma dada quantidade de movimento com muito menos energia cinética. O nêutron, com apenas $p/m=2280m/s$, tem aproximadamente a energia térmica da temperatura ambiente, por isso nêutrons desacelerados em um reator servem para estudos de cristais. Raios X, elétrons e nêutrons são usados dessa forma.

Lendo o padrão na tela

Nenhuma regra diz onde o próximo ponto vai cair: a onda fixa apenas a probabilidade de cada lugar. Com 10 ou 20 pontos, a tela parece aleatória; por volta de 200, as faixas ficam nítidas, e após todos os 560, as lacunas escuras estão quase vazias, com os centros das faixas separados por $\Delta y$.

Em uma lacuna escura, as ondas das duas fendas chegam meio comprimento de onda fora de fase e se anulam, como em Interferência e superposição; por isso chegam menos elétrons ali com as duas fendas abertas do que com apenas uma: um segundo caminho torna a chegada menos provável, algo que nenhum fluxo de partículas comuns poderia fazer. As faixas se apagam em direção às bordas porque cada fenda, com um quarto de $d$ de largura, espalha sua onda apenas por um ângulo limitado. Esse envelope decrescente vale 1, 0,81, 0,41 e 0,09 nas faixas claras, e a próxima estaria sobre um zero dele, logo além da borda da tela.

Erros comuns

• Os elétrons não interferem entre si: só há um em voo de cada vez, e mesmo assim 560 elétrons enviados separadamente formam as franjas. A onda de cada elétron passa pelas duas fendas.
• Um elétron nunca se divide nas fendas: cada detecção é um elétron inteiro, com a carga completa $1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, em um único ponto.
• O comprimento de onda é determinado pela quantidade de movimento, não pela energia: um elétron de 50 eV e um nêutron de 0,027 eV têm o mesmo 0,17 nm. E $p=\sqrt{2mE}$ não se aplica a fótons, para os quais vale $p=E/c$.
• Objetos grandes também têm um comprimento de onda, apenas um inobservável: uma bola de 0,15 kg a 30 m/s tem $p=4,5\mathrm{kg}\cdot m/s$ e $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$, cerca de $10^{19}$ vezes menor que um próton.
• Elétrons mais rápidos geram franjas mais estreitas, não mais largas: dobrar a velocidade reduz à metade tanto $\lambda$ quanto $\Delta y$, de 0,69 mm para 0,35 mm.

Onde ela aparece

A primeira prova veio em 1927, quando Davisson e Germer espalharam elétrons de 54 eV em um cristal de níquel e encontraram um feixe forte a 50°, exatamente onde ondas de $\lambda =h/p=0,167\mathrm{nm}$, refletidas por fileiras de átomos separados por 0,215 nm, se reforçam, pois $0,215\sin 50^{\circ }=0,165\mathrm{nm}$. Microscópios eletrônicos operam com dezenas de quilovolts, gerando comprimentos de onda de alguns picômetros, cerca de $10^5$ vezes menores que os da luz visível, e conseguem obter imagens de átomos isolados. Moléculas com 60 átomos de carbono também já produziram franjas.

Modelos atômicos: o átomo de Bohr apresentou suas órbitas permitidas como uma regra; aqui a regra ganha uma razão, pois cada órbita comporta um número inteiro de comprimentos de onda do elétron. Equação de Schrödinger e tunelamento dá à onda de matéria sua própria equação de movimento e a deixa vazar através de barreiras, e o nível avançado explica por que observar os elétrons destrói as franjas.

Avançado

Pedaços que chegam como uma onda

Esta seção apresenta o enigma que o resto da lição resolve. Elétrons são disparados um a um contra uma placa com duas fendas, e uma tela atrás registra onde cada um chega. Escolha um pequeno trecho da tela e chame de $P_1$ a probabilidade de um elétron chegar ali com apenas a fenda 1 aberta, $P_2$ a mesma probabilidade com apenas a fenda 2 aberta, e $P_{12}$ a probabilidade com as duas abertas.

Se os elétrons fossem bolinhas, cada um passaria por uma das fendas. Com as duas abertas, as bolinhas que passam pela fenda 1 chegariam exatamente como chegariam com a fenda 2 fechada, e o mesmo vale para a fenda 2; as contagens simplesmente se somariam: $P_{12}=P_1+P_2$. Uma onda clássica se comporta de outro modo. Ela entrega sua energia continuamente, não em pacotes, e o que se soma é a altura da onda, não a energia. Como a intensidade cresce com o quadrado da altura, a intensidade com as duas fendas abertas não é a soma das duas intensidades de fenda única, e surgem franjas.

Os elétrons fazem algo que nenhuma das duas imagens permite. O detector registra um elétron inteiro de cada vez, nunca uma fração, como as bolinhas. Mesmo assim, os registros formam um padrão de franjas, como uma onda, e $P_{12}\ne P_1+P_2$: em uma franja escura, abrir a segunda fenda torna as chegadas mais raras. O argumento das bolinhas mostra por que isso importa. Qualquer descrição em que cada elétron passa por uma fenda definida e se comporta ali como se a outra estivesse fechada leva diretamente a $P_{12}=P_1+P_2$. O experimento, portanto, exclui todas essas descrições, por mais detalhadas que sejam. A próxima seção apresenta a regra que as substitui.

Amplitudes se somam, probabilidades não

A mecânica quântica mantém a aritmética das ondas, mas a aplica às probabilidades. Cada caminho pelo qual um evento pode acontecer (aqui, o elétron chegar ao ponto escolhido pela fenda 1 ou pela fenda 2) recebe um número complexo, sua amplitude de probabilidade: ${\psi }_1$ para o primeiro caminho, ${\psi }_2$ para o segundo. A regra tem dois casos.

Quando nada no mundo distingue os caminhos, suas amplitudes se somam, e a probabilidade é o quadrado do módulo do total:
$\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2)$
Os dois primeiros termos são as probabilidades de fenda única. O último, o termo cruzado (ou termo de interferência), pode ser positivo ou negativo, e é toda a diferença em relação à contagem clássica. Quando algum registro mostra por qual caminho se passou, as probabilidades dos caminhos separados se somam, e o termo cruzado desaparece.

Para usar a regra, precisamos das próprias amplitudes. Uma partícula livre de quantidade de movimento $p$ tem comprimento de onda de de Broglie $\lambda =h/p$. Ao longo de um caminho de comprimento $r$, a fase de sua amplitude avança $kr$, em que $k=p/\hslash =2\pi /\lambda$ é o número de onda e $\hslash =h/(2\pi )$. Para duas fendas iguais, as amplitudes são ${\psi }_j=A{e}^{ik{r}_j}$, em que $r_1$ e $r_2$ são os comprimentos das duas rotas até o ponto escolhido. Elas têm o mesmo tamanho $A$ e diferem apenas na fase, por
$\delta =k(r_2-r_1)$
Tudo o que segue vem de somar esses dois números.

Duas setas e sua soma

Legenda

${\psi }_1$	Amplitude de chegada pela fenda 1: uma seta de comprimento $A$ cuja direção é sua fase.
${\psi }_2$	Amplitude de chegada pela fenda 2: também de comprimento $A$, girada de ${\psi }_1$ por $\delta$.
$\psi$	Amplitude total com as duas fendas abertas: a diagonal ${\psi }_1+{\psi }_2$.
$A$	Comprimento de cada uma das duas setas (fendas iguais).
$\delta$	Diferença de fase das duas amplitudes: o ângulo entre as setas.	$\mathrm{rad}$

Somar dois números complexos é somar duas setas, e a Figura 1 usa isso para tornar visível o termo cruzado. Cada amplitude é desenhada como uma seta no plano complexo: seu comprimento é o módulo $A$ e sua direção é a fase. Só o ângulo $\delta$ entre ${\psi }_1$ e ${\psi }_2$ importa, pois girar as duas setas juntas pelo mesmo ângulo não altera nenhum comprimento, e portanto nenhuma probabilidade.

A soma $\psi$ é uma diagonal do losango construído sobre as duas setas (um losango, pois os dois lados têm o mesmo comprimento $A$). Agora observe a outra diagonal, tracejada. As diagonais de um losango se cortam ao meio em ângulo reto, marcado na figura. Assim, metade de $\psi$ é um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é ${\psi }_1$, de comprimento $A$, e cujo ângulo na origem é $\delta /2$. Esse cateto vale $A\cos (\delta /2)$, e dobrando-o obtemos
$|\psi |=2A\cos \frac{\delta }{2}$
para $\delta$ entre 0 e $\pi$; para ângulos maiores, toma-se o módulo do cosseno.

Elevar ao quadrado, usando $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$, separa o resultado nas duas partes da regra:
$|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2\frac{\delta }{2}=2A^2+2A^2\cos \delta$
O primeiro termo, $2A^2$, é a soma dos caminhos $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$; o segundo, $2A^2\cos \delta$, é o termo cruzado. Dois casos fixam a imagem. Quando $\delta =0$, as setas se alinham, então $|\psi |=2A$ e $|\psi {|}^2=4A^2$, o dobro do valor de caminho separado. Quando $\delta =\pi$, elas apontam em sentidos opostos e se cancelam, logo $|\psi {|}^2=0$: nenhum elétron chega ali, embora cada fenda sozinha enviasse alguns.

Por que as amplitudes precisam ser números complexos e não ondas reais? Cada amplitude também carrega um fator de tempo $e^{-iEt/\hslash }$, em que $E$ é a energia do elétron. A energia se conserva ao longo dos dois caminhos, então o fator é o mesmo para ambos: ele gira as duas setas da Figura 1 juntas e desaparece de $|\psi {|}^2$. Um feixe constante, portanto, dá uma taxa de contagem constante. Uma onda real como $\cos (kr-\omega t)$ faria a própria probabilidade oscilar no tempo, o que nunca é observado.

Da diferença de caminho às franjas

Legenda

$d$	Distância entre as duas fendas.	$\mathrm{m}$
$L$	Distância da placa de fendas até a tela.	$\mathrm{m}$
$y$	Altura de $P$ acima do eixo pelo meio das fendas.	$\mathrm{m}$
$P$	Ponto da tela onde as duas amplitudes são somadas.
$\theta$	Ângulo entre o eixo e a linha do meio das fendas até $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_1$	Comprimento da rota da fenda 1 até $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Comprimento da rota da fenda 2 até $P$.	$\mathrm{m}$
$r_2-r_1$	Comprimento extra da rota 2, que sobra depois que o arco marca $r_1$; cerca de $d\sin \theta$ para uma tela distante.	$\mathrm{m}$

A diferença de fase $\delta$ depende de onde o elétron chega. A Figura 2 mostra a geometria que transforma uma posição na tela em uma diferença de caminho, e portanto em uma fase.

Duas fendas, rotuladas 1 e 2, estão a uma distância $d$ uma da outra, e a tela fica a uma distância $L$ atrás da placa. Um ponto $P$ da tela está a uma altura $y$ acima do eixo que passa pelo meio das fendas; visto desse ponto médio, $P$ está em um ângulo $\theta$ em relação ao eixo. Duas rotas chegam a $P$: uma de comprimento $r_1$, a partir da fenda 1, e outra de comprimento $r_2$, a partir da fenda 2. Como $P$ está acima do eixo, a rota 2 é a mais longa.

Para descobrir quanto mais longa, siga o arco centrado em $P$ que passa pela fenda 1. Cada ponto do arco está a uma distância $r_1$ de $P$; ele é um pedaço de uma frente de onda convergindo para $P$, cujos pontos chegam todos em fase. Onde o arco encontra a rota 2, ele já marcou um comprimento $r_1$, medido a partir de $P$. O que resta da rota 2 na extremidade da fenda, o segmento grosso, é o comprimento extra $r_2-r_1$.

A tela real está milhões de vezes mais distante do que $d$, então as duas rotas são quase paralelas, e o arco curto é quase uma reta perpendicular a ambas. O arco, o segmento grosso e a placa entre as fendas formam então um pequeno triângulo retângulo com hipotenusa $d$. Seu ângulo na fenda 1 é $\theta$, porque o arco é perpendicular às rotas e a placa é perpendicular ao eixo. O lado oposto a esse ângulo é o comprimento extra:
$r_2-r_1\approx d\sin \theta$
e a diferença de fase da Figura 1 é
$\delta =k(r_2-r_1)=\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$

As franjas claras estão onde as setas da Figura 1 se alinham, $\delta =2\pi m$ com $m$ inteiro, ou seja, $d\sin \theta =m\lambda$: o comprimento extra é um número inteiro de comprimentos de onda. Os ângulos são minúsculos, então $\sin \theta \approx y/L$, e as franjas claras ficam em $y_m=m\lambda L/d$. Elas são igualmente espaçadas, por
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
e as franjas escuras ficam exatamente no meio, onde $\delta$ é um múltiplo ímpar de $\pi$.

Lendo o histograma

Legenda

$n$	Número de elétrons que chegaram em uma faixa de largura $\Delta y/3$.
$y$	Posição na tela, medida a partir do centro do padrão.	$\mathrm{m}$
$|\psi {|}^2$	Densidade de probabilidade com as duas fendas abertas (curva sólida), escalada para contagens por faixa.
$|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$	Soma dos caminhos: o padrão quando a fenda de cada elétron é registrada (curva tracejada), com quase a mesma área.
$\Delta y$	Distância entre franjas claras vizinhas, $\lambda L/d$; o fator de fenda única se anula pela primeira vez em $4\Delta y$.	$\mathrm{m}$

A Figura 3 confronta a teoria com elétrons contados. Ela mostra o que o nível avançado da animação constrói: 560 elétrons, ordenados pelo lugar onde chegaram ao longo da coordenada de tela $y$, em faixas de um terço de franja de largura. A altura $n$ de cada barra dourada é o número de elétrons naquela faixa. Sobre as barras, há duas curvas, ambas escaladas para contagens por faixa: a curva sólida é a previsão quântica $|\psi {|}^2$, e a curva tracejada é a soma dos caminhos separados $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$, o padrão esperado se a fenda de cada elétron fosse registrada.

Primeiro, compare as duas curvas. Para fendas iguais, $|\psi {|}^2=4A^2{\cos }^2(\delta /2)$, que é o dobro do valor tracejado $2A^2$ em cada franja clara e zero em cada franja escura. O termo cruzado $2A^2\cos \delta$ é positivo em metade de cada franja e negativo na outra metade, então sua média é zero ao longo de uma franja. As duas curvas delimitam, portanto, quase a mesma área: a interferência desloca chegadas das faixas escuras para as claras, mas não cria nem destrói nenhuma.

Depois, a queda lenta das duas curvas afastando-se do centro. Esse é o fator de fenda única. Cada fenda tem uma largura própria, aqui $a=d/4$, e ondas de partes diferentes de uma mesma fenda também interferem entre si. Com isso, $A$ não é constante, mas depende de $y$ pelo envelope $\sin \beta /\beta$, com $\beta =\pi ay/(\lambda L)$. O envelope se anula primeiro em $\beta =\pi$, ou seja, em $y=\lambda L/a=4\Delta y$, a marca à direita embaixo do eixo. Nas franjas claras de ordens 0 a 3, a intensidade do envelope $(\sin \beta /\beta {)}^2$ vale 1, 0,81, 0,41 e 0,09 do seu valor central; a ordem 4 não aparece, porque cai exatamente sobre o zero. A tela termina por volta de $3,2\Delta y$, onde as barras param.

Por fim, as barras contra a curva sólida. Na animação, a faixa central fica com 94 dos 560 elétrons e cada faixa de primeira ordem com 77. A curva atinge o pico perto de 104 por faixa, mas mesmo uma execução perfeita deixaria a barra central um pouco abaixo dela. Uma barra conta tudo dentro da sua faixa, então ela faz a média da curva sobre um terço de franja, e a média de ${\cos }^2$ nessa largura, centrada em um pico, é 0,91.

Em uma execução real, cada contagem também flutua: uma faixa que espera $n$ elétrons recebe cerca de $n\pm \sqrt{n}$. Para a faixa central, isso dá uma dispersão relativa de 10 %, e a dispersão cai para 1 % só com 10.000 contagens por faixa. É por isso que as primeiras dezenas de pontos parecem ruído. A onda prevê a distribuição de muitas chegadas; ela nunca diz onde o próximo elétron individual vai cair.

Observando os elétrons

Esta seção faz a pergunta óbvia: por que não simplesmente observar por qual fenda cada elétron passa? Ilumine a região logo atrás das fendas, de modo que cada elétron que passa espalha um fóton e um clarão mostra por onde ele foi. Assim, cada elétron é visto em uma fenda, nunca nas duas. Separando os elétrons pelo clarão, os vistos na fenda 1 chegam com o padrão $|{\psi }_1{|}^2$, e os vistos na fenda 2 com $|{\psi }_2{|}^2$. Juntos, formam a curva tracejada da Figura 3. Uma vez registrado o caminho, as probabilidades se somam, como diz a regra, e as franjas desaparecem.

A luz poderia ser suave o bastante para não perturbar os elétrons? Luz mais fraca não ajuda, porque a luz vem em fótons: mais fraca significa fótons mais raros, não mais fracos. Um elétron ou espalha um fóton inteiro, é localizado e se junta ao padrão liso, ou não espalha nenhum e se junta às franjas. A outra opção são fótons mais suaves. Um fóton de comprimento de onda ${\lambda }_{\gamma }$ carrega a quantidade de movimento $h/{\lambda }_{\gamma }$, então um comprimento de onda maior dá um empurrão mais suave. Mas um clarão só pode localizar algo com precisão de cerca do seu próprio comprimento de onda. Para distinguir fendas separadas por uma distância $d$, é preciso, portanto, ${\lambda }_{\gamma }$ abaixo de cerca de $d$, e assim uma quantidade de movimento do fóton de pelo menos cerca de $h/d$. A próxima seção mostra que um empurrão desse tamanho é exatamente o suficiente para apagar as franjas.

Um empurrão do tamanho de uma franja

Legenda

$\vec{p}$	Quantidade de movimento do elétron antes de o fóton espalhar.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Quantidade de movimento após o empurrão: mesmo comprimento, girada por um pequeno ângulo.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$h/d$	Maior empurrão lateral de um fóton de comprimento de onda curto o bastante para distinguir as fendas.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\lambda /d$	Maior ângulo pelo qual o empurrão desvia o caminho do elétron; também o ângulo entre franjas claras vizinhas.	$\mathrm{rad}$
$\Delta y$	Distância na tela do centro do padrão até a franja clara seguinte, $\lambda L/d$.	$\mathrm{m}$

A Figura 4 compara o empurrão de um desses fótons com o espaçamento das franjas. À esquerda, o elétron chega com quantidade de movimento $\vec{p}$. O fóton é espalhado por ele em uma direção desconhecida e lhe transfere uma quantidade de movimento lateral de até cerca de $h/d$: a seta da ponta de $\vec{p}$ até a ponta da nova quantidade de movimento ${\vec{p}}^{\prime }$. O empurrão é pequeno e lateral, então ${\vec{p}}^{\prime }$ mantém o comprimento de $\vec{p}$, mas é girada por um ângulo de até cerca de $(h/d)/p$. Com $p=h/\lambda$, esse ângulo é $\lambda /d$.

À direita, o mesmo ângulo aparece no aparato. Visto das fendas, o meio do padrão e a franja clara seguinte, a uma distância $\Delta y$ em uma tela a uma distância $L$, formam um ângulo de $\Delta y/L$, e $\Delta y/L=\lambda /d$ porque $\Delta y=\lambda L/d$. Assim, um empurrão forte o bastante para localizar a fenda desvia o elétron em até o ângulo entre franjas vizinhas, em direção aleatória. Cada ponto de chegada é deslocado aleatoriamente em até cerca de uma franja inteira, e as faixas claras e escuras se misturam.

Em números, para os elétrons de 50 eV do problema resolvido abaixo e fendas separadas por 0,50 µm, um fóton de 0,50 µm carrega apenas 1/2900 da quantidade de movimento do elétron, mas, em uma tela a 2,0 m, pode deslocar o ponto de chegada em até 0,69 mm, uma franja inteira. Quando ${\lambda }_{\gamma }$ excede $d$, as franjas voltam, porque o clarão já não mostra qual fenda foi usada.

Esse compromisso não é uma fraqueza de usar luz. É o princípio da incerteza, que limita as dispersões $\Delta x$ e $\Delta p$ de uma posição e de uma quantidade de movimento na mesma direção:
$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$
Localizar o elétron em uma fenda fixa sua posição lateral com precisão melhor que cerca de $d$, então sua quantidade de movimento lateral precisa se espalhar pelo menos na ordem de $\hslash /d$, seja qual for o aparelho que faz a localização. A estimativa acima é boa a fatores da ordem de 1; o problema resolvido abaixo calcula a soma exata para um detector diferente. O limite precisa valer para todo aparato. Um elétron que foi localizado e ainda assim não foi perturbado teria de formar franjas, porque nada o perturbou, e não formar nenhuma, porque seu caminho é conhecido e as probabilidades se somam: a teoria se contradiria. O limite pertence à natureza, não a instrumentos desajeitados.

Informação parcial do caminho

Detectores reais podem estar em qualquer ponto entre não registrar nada e registrar o caminho perfeitamente, e as franjas se apagam exatamente na medida certa entre esses extremos. Para ver como, trate o próprio detector como um sistema quântico. Se o elétron passa pela fenda 1, o detector termina no estado $|D_1⟩$; se passa pela fenda 2, em $|D_2⟩$. A sobreposição deles, $⟨D_1|D_2⟩$, é um número complexo de módulo entre 0 e 1, que mede o quanto os dois estados são parecidos. Elétron e detector terminam juntos no estado ${\psi }_1|D_1⟩+{\psi }_2|D_2⟩$, e, quando apenas o ponto de chegada do elétron é observado, o quadrado do módulo dessa soma leva a sobreposição para o termo cruzado:
$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}({\psi }_1^{\ast }{\psi }_2⟨D_1|D_2⟩)$

Estados idênticos (sobreposição 1) não registram nada e deixam as franjas inteiras; estados ortogonais (sobreposição 0) registram o caminho perfeitamente e não deixam franja alguma. No meio, dois números descrevem o resultado. As franjas são medidas pela visibilidade
$V=\frac{P_{\max }-P_{\min }}{P_{\max }+P_{\min }}$
onde $P_{\max }$ e $P_{\min }$ são as probabilidades em uma franja clara e na escura vizinha, de modo que $V=1$ para franjas perfeitas e $V=0$ para nenhuma. Para amplitudes iguais, $V=|⟨D_1|D_2⟩|$. A informação do caminho é medida pela distinguibilidade $D$, definida de modo que o melhor palpite possível da fenda, feito a partir do detector, acerte com probabilidade $(1+D)/2$: $D=0$ é cara ou coroa e $D=1$ é certeza. Então
$V^2+D^2\le 1$
com igualdade quando o detector começa em um estado quântico definido. Conhecimento parcial do caminho compra franjas parciais; conhecimento total e franjas totais nunca coexistem.

Ninguém precisa ler o registro; basta que ele exista. Uma molécula de gás que colide com o elétron é um desses detectores, e, para uma molécula grande enviada pelas fendas, também o é um fóton de radiação térmica que a molécula quente emite em voo. Cada evento desses multiplica a sobreposição por outro fator menor que 1, e depois de muitos deles o termo cruzado desaparece. Essa perda de interferência para o entorno chama-se decoerência, e é por isso que experimentos com ondas de matéria precisam de alto vácuo.

Problema resolvido: uma placa de fenda que recua

Nos debates entre Einstein e Bohr no fim da década de 1920, uma proposta era ler o caminho do elétron pelo recuo da placa de fendas. Tomemos os elétrons de 50 eV da animação, na escala real do exemplo intermediário ($\lambda =0,173\mathrm{nm}$, $d=0,50\mu \mathrm{m}$, $L=2,0\mathrm{m}$, logo $\Delta y=0,69\mathrm{mm}$), com uma placa livre para deslizar lateralmente. Com que precisão a quantidade de movimento da placa precisa ser conhecida, e o que acontece com as franjas?

Passo 1, os dois recuos. Um elétron que chega ao centro da tela pela fenda 1, a uma distância $d/2$ acima do eixo, é desviado em direção ao eixo por um ângulo $d/(2L)$; pela fenda 2, é desviado no sentido oposto pelo mesmo ângulo. Sua quantidade de movimento lateral muda em $pd/(2L)$ em um sentido ou no outro, e, pela conservação da quantidade de movimento, a placa recebe o empurrão oposto. Os dois possíveis empurrões da placa diferem por
$\delta p=\frac{pd}{L}=\frac{h}{\Delta y}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{6,94\times 10^{-4}}=9,5\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$
onde o passo do meio usa $p=h/\lambda$ e $\Delta y=\lambda L/d$. (Aqui $\delta p$ é uma diferença de quantidade de movimento, não a fase $\delta$.)

Passo 2, a posição da placa. Para distinguir os dois empurrões de modo confiável, a dispersão da quantidade de movimento da placa deve ser bem menor que $\delta p$; tomemos um desvio padrão ${\sigma }_p=\delta p/4=2,4\times 10^{-31}\mathrm{kg}\cdot m/s$. Desvios padrão são as dispersões da incerteza, então a posição da placa deve ter dispersão de pelo menos
${\sigma }_x=\frac{\hslash }{2{\sigma }_p}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\cdot 2,4\times 10^{-31}}=2,2\times 10^{-4}\mathrm{m}$

Passo 3, as franjas. Isso é $\Delta y/\pi$, cerca de um terço de franja. O padrão é preso às fendas, então é tão incerto em posição quanto a placa. Ao fazer a média das franjas ${\cos }^2$ sobre uma dispersão gaussiana ${\sigma }_x$, o contraste delas é multiplicado por $e^{-2{\pi }^2{\sigma }_x^2/\Delta y^2}=e^{-2}=0,14$. A regra do detector da seção anterior dá a mesma resposta pelo outro lado. Os dois possíveis estados finais da placa são dispersões de largura ${\sigma }_p$ cujos centros distam $\delta p$, e se sobrepõem em $e^{-\delta p^2/(8{\sigma }_p^2)}=e^{-2}$. Logo $V=0,14$ e $D=\sqrt{1-e^{-4}}=0,99$: o caminho é conhecido quase com certeza, e as franjas quase desaparecem.

Passo 4, uma placa mais solta. Se sua quantidade de movimento é conhecida apenas até ${\sigma }_p=\delta p$, as franjas mantêm 88 % de visibilidade, mas o caminho é revelado apenas com $D=0,47$. Os dois casos dão $V^2+D^2=1$: uma placa em um estado quântico definido fica na fronteira, e nenhuma placa faz melhor.

Limites de validade

A relação $p=\sqrt{2mE}$, com $E$ a energia cinética, ignora a relatividade. Isso é inofensivo a 50 eV, um décimo de milésimo da energia de repouso do elétron $m{c}^2=511\mathrm{keV}$. Mas em um microscópio eletrônico de 100 kV, a quantidade de movimento exata, a partir de $pc=\sqrt{E^2+2Em{c}^2}$, dá $\lambda =3,70\mathrm{pm}$, enquanto a fórmula simples dá 3,88 pm, cerca de 5 % maior. A relação $\lambda =h/p$ em si continua exata; só a ligação entre $p$ e $E$ muda.

A fórmula das franjas exige ângulos pequenos e uma tela em campo distante, $L\gg d^2/\lambda$, que é 1,4 mm no exemplo contra $L=2\mathrm{m}$. As franjas também exigem um feixe coerente: uma fonte pequena, para que ambas as fendas recebam a mesma onda, e quase uma única energia, para que todos os elétrons compartilhem um comprimento de onda e um espaçamento de franjas.

Para objetos grandes, a onda é real, mas invisível, por duas razões. A primeira é o comprimento de onda. Uma bola de 0,15 kg a 30 m/s tem $\lambda =1,5\times 10^{-34}\mathrm{m}$: atrás de fendas separadas por 10 cm, uma tela a 10 m teria franjas separadas por $1,5\times 10^{-32}\mathrm{m}$, e um detector do tamanho de um próton faria a média de cerca de $10^{17}$ delas em uma curva lisa. A segunda é a decoerência: no ar, a bola é atingida por cerca de $5\times 10^{25}$ moléculas por segundo, e cada uma é um registro de caminho. Ainda assim, não se conhece uma fronteira nítida entre objetos quânticos e clássicos. Moléculas de 60 átomos de carbono, com $\lambda =2,5\mathrm{pm}$ a 220 m/s, já formaram franjas atrás de uma rede de período 100 nm, e, mais tarde, também moléculas de cerca de 2000 átomos.

Para onde isso leva

A equação de Schrödinger e tunelamento transforma a amplitude em uma função de onda que obedece à sua própria equação, com $E=\hslash \omega$ e $p=\hslash k$, e a deixa vazar por barreiras que uma partícula clássica nunca atravessaria. As órbitas de Modelos atômicos: o átomo de Bohr são aquelas que comportam um número inteiro de comprimentos de onda, $2\pi r=n\lambda$, o que equivale a um momento angular $n\hslash$. Em Semicondutores, diodos e LEDs, ondas de elétrons em um cristal periódico formam bandas de energia. Partículas e forças: o Modelo Padrão trata cada partícula como um quantum de um campo e calcula cada processo somando as amplitudes de suas histórias alternativas, representadas por diagramas de interação: a regra desta lição em sua forma mais geral.