तरंग-कण द्वैतता

इलेक्ट्रॉन और फ़ोटॉन तरंगों की तरह चलते हैं, परंतु कणों की तरह पकड़े जाते हैं: एक-एक करके दो झिरियों से भेजे जाने पर वे एकल बिंदुओं के रूप में पहुँचते हैं, और ये बिंदु मिलकर डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य $λ = h / p$ से तय व्यतिकरण-पट्टियाँ बनाते हैं।

इलेक्ट्रॉन एक-एक करके द्वि-झिरी से गुजरते हैं; हर एक पर्दे पर एकल बिंदु के रूप में पहुँचता है, फिर भी ये बिंदु मिलकर धारीदार व्यतिकरण प्रतिरूप बनाते हैं।

इस विषय से पहले: प्रकाश-विद्युत प्रभाव, विवर्तन और द्वि-झिरी

शुरुआती

मुख्य विचार

दो झिरियों के बाद प्रकाश चमकीली और अंधेरी धारियाँ बनाता है, जो केवल तरंगें कर सकती हैं।
प्रकाश ऊर्जा को फ़ोटॉन नामक पैकेटों में भी देता है, जिनमें से हर एक की ऊर्जा $E = h f$ होती है; ये पैकेट धातु से इलेक्ट्रॉन बाहर निकाल देते हैं।
एक-एक करके छोड़े जाने पर हर इलेक्ट्रॉन पर्दे पर एक छोटी गेंद की तरह एक बिंदु बनाता है।
सैकड़ों बिंदु मिलकर धारियाँ बनाते हैं, इसलिए हर अकेले इलेक्ट्रॉन की तरंग को दोनों झिरियों से गुजरना पड़ता है।
हर इलेक्ट्रॉन किस झिरी से गया, यह देखते ही धारियाँ गायब हो जाती हैं और एक चिकना धब्बा रह जाता है।

सदियों तक वैज्ञानिक प्रकाश के बारे में बहस करते रहे। दो संकरी झिरियों से गुज़ारने पर यह चमकीली और अंधेरी धारियाँ बनाता है, जो केवल तरंगें ही कर सकती हैं। फिर भी जब प्रकाश किसी धातु से इलेक्ट्रॉन मुक्त करता है (प्रकाश-विद्युत प्रभाव), तब वह फ़ोटॉन नामक सूक्ष्म ऊर्जा-पैकेटों की बौछार की तरह व्यवहार करता है। हर पैकेट में ऊर्जा $E = h f$ होती है, जहाँ $f$ आवृत्ति है, जो रंग तय करती है, और $h$ एक छोटी, स्थिर संख्या है, जिसे प्लैंक नियतांक कहते हैं; इसलिए बैंगनी फ़ोटॉन में लाल फ़ोटॉन से अधिक ऊर्जा होती है। प्रकाश न केवल तरंग है, न केवल कणों की धारा।

इलेक्ट्रॉन, जिन्हें हम छोटी गेंदों जैसा सोचते हैं, इस दोहरी प्रकृति को साझा करते हैं। एनीमेशन को चरण-दर-चरण देखिए।

चरण 1. बंदूक इलेक्ट्रॉनों को एक-एक करके इतनी धीमी चाल से छोड़ती है कि एक समय में केवल एक ही रास्ते पर होता है। हर एक पर्दे की एक जगह पर टकराता है और एक बिंदु छोड़ता है, जैसे कोई कंचा निशाने से टकराता है। अब तक: कणों जैसा व्यवहार।

चरण 2. अगला बिंदु कहाँ गिरेगा, यह पूरी तरह संयोग है। लेकिन कुछ सौ बिंदुओं के बाद एक प्रतिरूप उभरता है: चमकीली धारियाँ, जिनके बीच लगभग खाली अंतराल हैं। यह दोनों झिरियों से आ रही तरंगों के कुछ स्थानों पर जुड़ने और कुछ स्थानों पर निरस्त होने का चिह्न है, जैसे तालाब पर लहरें।

चरण 3. इलेक्ट्रॉन अकेले यात्रा करते हैं, इसलिए किसी के पास व्यतिकरण करने के लिए कोई साथी नहीं है। हर इलेक्ट्रॉन की अपनी तरंग को एक साथ दोनों झिरियों से गुज़रना होगा।

चरण 4. झिरियों के पास एक संसूचक लगाएँ, ताकि देखा जा सके कि हर इलेक्ट्रॉन किस झिरी का प्रयोग करता है: धारियाँ लुप्त हो जाती हैं और बिंदु मिलकर एक चिकना धब्बा बना देते हैं।

स्वयं जाँचें: प्रयोग केवल पाँच इलेक्ट्रॉनों के बाद रोक दिया गया है। क्या आपको धारियाँ दिखती हैं? (नहीं: केवल पाँच बिखरे बिंदु। धारियों के लिए बहुत सारे बिंदु चाहिए।)

याद रखें: क्वांटम वस्तुएँ तरंगों की तरह चलती हैं और कणों की तरह पहुँचती हैं।

मध्यम

मुख्य विचार

हर गतिमान कण की डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य $λ = h / p$ होती है, जहाँ $h = 6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ है।
50 eV ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की $λ \approx 0.17 nm$ होती है, जो लगभग क्रिस्टल में परमाणुओं के बीच की दूरी है।
इलेक्ट्रॉन-फ्रिंज भी प्रकाश के सूत्र $Δ y = λ L / d$ का पालन करती हैं: तेज़ इलेक्ट्रॉन पतली फ्रिंज देते हैं।
फेंकी गई गेंद की $λ \approx 1 0^{- 34} m$ होती है, इतनी छोटी कि वह कभी दिखाई देने योग्य रूप से विवर्तित नहीं होती।
तरंग तय करती है कि हर इलेक्ट्रॉन कहाँ पहुँचेगा, इसकी प्रायिकता; हर संसूचन एक ही बिंदु होता है।

एक इलेक्ट्रॉन, एक बिंदु

एनीमेशन में एक इलेक्ट्रॉन बंदूक दो संकरी झिरियों वाली दीवार की ओर इलेक्ट्रॉन दागती है, और उसके पीछे लगा पर्दा हर आगमन को दर्ज करता है। एक समय में केवल एक ही इलेक्ट्रॉन मार्ग में होता है: पहले छह रास्ते में दिखाए जाते हैं, फिर गिनती बढ़ते हुए एनीमेशन तेज़ हो जाता है। हर आगमन एक बिंदु है, यानी पूरा इलेक्ट्रॉन अपने सारे आवेश के साथ एक ही स्थान पर संसूचित होता है। फिर भी कुछ सौ आगमनों के बाद बिंदु चमकीली धारियों में जमा हो जाते हैं, जिनके बीच लगभग खाली अंतराल होते हैं; यह वही व्यतिकरण प्रतिरूप है जो प्रकाश दो झिरियों के पीछे बनाता है।

इलेक्ट्रॉन का संवेग $p = m v$ और गतिज ऊर्जा $E$ होती है, जिसे इलेक्ट्रॉनवोल्ट में व्यक्त किया जाता है: $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ वह ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन 1 V के पार प्राप्त करता है। झिरियाँ एक-दूसरे से दूरी $d$ पर हैं, पर्दा उनके आगे दूरी $L$ पर है, और फ्रिंज-अंतर $Δ y$ पड़ोसी चमकीली धारियों के बीच की दूरी है।

डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य

प्रकाश तरंग है, परंतु पाठ “प्रकाश-विद्युत प्रभाव” में दिखाया गया था कि वह फ़ोटॉन नामक पैकेटों में भी आता है, जिनमें से हर एक की ऊर्जा $E = h f$ और संवेग $p = h / λ$ होता है। 1924 में लुई डी ब्रॉग्ली ने इस विचार को उलट दिया और प्रस्ताव रखा कि संवेग $p$ वाले हर कण की एक तरंगदैर्घ्य होती है
$λ = \frac{h}{p}$

यहाँ $h = 6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ प्लैंक नियतांक है। चूँकि $h$ बहुत छोटा है, तरंगदैर्घ्य केवल बहुत कम द्रव्यमान वाले कणों के लिए, मध्यम चाल पर, ध्यान देने योग्य होती है: इलेक्ट्रॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु। झिरियों से पहले की नीली तरंग इसी पदार्थ-तरंग का प्रतिनिधित्व करती है: वह इलेक्ट्रॉन-द्रव्य की कोई लहर नहीं, बल्कि प्रायिकता की तरंग है।

एक धीमे कण की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^{2}$ होती है, और चूँकि $p = m v$ है, इसलिए $E = p^{2} / (2 m)$ , अतः
$p = 2 m E$

विराम से वोल्टेज $V$ के द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन $E = e V$ ऊर्जा प्राप्त करता है, जहाँ $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ उसके आवेश का परिमाण है। ऊर्जा चार गुना होने पर संवेग दो गुना और तरंगदैर्घ्य आधी हो जाती है।

ऊर्जा से फ्रिंज-अंतर तक

झिरियों के आगे पदार्थ-तरंग के दोनों भाग अधिव्यापित होते हैं और “विवर्तन और द्वि-झिरी” में वर्णित प्रकाश की तरह व्यतिकरण करते हैं: जहाँ पथ-अंतर तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या के बराबर होता है वहाँ बहुत-से इलेक्ट्रॉन पहुँचते हैं, और जहाँ वह आधी तरंगदैर्घ्यों की विषम संख्या होता है वहाँ लगभग कोई नहीं पहुँचता। छोटे कोणों के लिए यह तीन समीकरणों की एक शृंखला देता है, जो अधिकांश प्रश्नों को हल करती है:

$λ = \frac{h}{p}$
$p = 2 m E$
$Δ y = \frac{λ L}{d}$

ऊर्जा संवेग देती है, संवेग तरंगदैर्घ्य देता है, और तरंगदैर्घ्य फ्रिंज-अंतर देता है। तेज़ इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्घ्य छोटी होती है और फ्रिंज पतली; झिरियाँ पास हों या पर्दा दूर हो तो फ्रिंज फैल जाती हैं। अंतिम समीकरण प्रकाश का द्वि-झिरी सूत्र ही है, बस उसमें डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य का प्रयोग होता है।

हल किया उदाहरण: एनीमेशन के इलेक्ट्रॉन

एनीमेशन के इलेक्ट्रॉनों की $E = 50 eV$ है। ऊर्जा को जूल में बदलें, $m = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ से संवेग निकालें, फिर तरंगदैर्घ्य:
$E = 50 \cdot 1.602 \times 1 0^{- 19} = 8.01 \times 1 0^{- 18} J$
$p = 2 \cdot 9.11 \times 1 0^{- 31} \cdot 8.01 \times 1 0^{- 18} = 3.82 \times 1 0^{- 24} kg \cdot m/s$
$λ = \frac{6.626 \times 1 0 ^{- 34}}{3.82 \times 1 0 ^{- 24}} = 1.73 \times 1 0^{- 10} m = 0.173 nm$

यही नीले पाठ्यांक पर दिखने वाला 0.17 nm है, जो लगभग क्रिस्टल में परमाणुओं के बीच की दूरी है। चाल $v = p / m = 4.2 \times 1 0^{6} m/s$ है, जो प्रकाश की चाल का केवल 1.4 % है; इसलिए $p = 2 m E$ में आपेक्षिकता को अनदेखा करना सुरक्षित है।

आरेख पैमाने पर नहीं है। मान लें कि वास्तविक झिरियाँ $d = 0.50 μ m$ दूर हैं और पर्दा $L = 2.0 m$ दूर है। तब
$Δ y = \frac{1.73 \times 1 0 ^{- 10} \cdot 2.0}{0.50 \times 1 0 ^{- 6}} = 6.9 \times 1 0^{- 4} m = 0.69 mm$

पर्दे के बगल में बैंगनी $Δ y$ चिह्न इसी अंतर को दर्शाता है। झिरियों से देखने पर पड़ोसी धारियाँ केवल $λ / d = 3.5 \times 1 0^{- 4} rad$ , यानी 0.02°, के कोण पर होती हैं; इसीलिए इलेक्ट्रॉन-व्यतिकरण के लिए एक माइक्रोमीटर से बारीक झिरियाँ, लंबा उड़ान-पथ, या प्रतिरूप को बड़ा करने वाले इलेक्ट्रॉन-लेंस चाहिए।

हल किया उदाहरण: एक तरंगदैर्घ्य, तीन कण

क्रिस्टल में परमाणुओं की व्यवस्था देखने के लिए ऐसी तरंगदैर्घ्य चाहिए जो उनकी दूरी के निकट हो। एनीमेशन के मान $λ = 0.173 nm$ के लिए एक फ़ोटॉन, एक इलेक्ट्रॉन और एक न्यूट्रॉन की ऊर्जा कितनी होनी चाहिए?

तीनों को समान संवेग $p = h / λ = 3.82 \times 1 0^{- 24} kg \cdot m/s$ चाहिए, परंतु संवेग और ऊर्जा का संबंध अलग-अलग है। फ़ोटॉन के लिए, $E = p c$ :
$E = \frac{h c}{λ} = \frac{6.626 \times 1 0 ^{- 34} \cdot 3.00 \times 1 0 ^{8}}{1.73 \times 1 0 ^{- 10}} = 1.15 \times 1 0^{- 15} J = 7.2 keV$
जो एक X-किरण फ़ोटॉन है। इलेक्ट्रॉन को ऊपर की तरह 50 eV चाहिए। न्यूट्रॉन के लिए, $m = 1.675 \times 1 0^{- 27} kg$ लेकर,
$E = \frac{p ^{2}}{2 m} = \frac{( 3.82 \times 1 0 ^{- 24} ) ^{2}}{2 \cdot 1.675 \times 1 0 ^{- 27}} = 4.36 \times 1 0^{- 21} J = 0.027 eV$

वही तरंगदैर्घ्य 7.2 keV, 50 eV या 0.027 eV ऊर्जा माँगती है, यानी ऊर्जा में लगभग 260,000 गुना का अंतर; क्योंकि तरंगदैर्घ्य संवेग से तय होती है, और भारी कण किसी दिए गए संवेग तक बहुत कम गतिज ऊर्जा से पहुँच जाता है। न्यूट्रॉन की चाल केवल $p / m = 2280 m/s$ है, और उसकी ऊर्जा लगभग कमरे के ताप की ऊष्मीय ऊर्जा जितनी है; इसीलिए रिएक्टर में धीमे किए गए न्यूट्रॉन क्रिस्टल-अध्ययन के लिए उपयुक्त हैं। एक्स-किरणें, इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रॉन इसी तरह प्रयुक्त होते हैं।

पर्दे पर प्रतिरूप पढ़ना

यह नियम नहीं बताता कि अगला बिंदु कहाँ गिरेगा: तरंग केवल हर स्थान की प्रायिकता तय करती है। 10 या 20 बिंदुओं पर पर्दा बेतरतीब लगता है; लगभग 200 पर धारियाँ साफ़ होती हैं, और सभी 560 के बाद गहरे अंतराल लगभग खाली होते हैं, जिनमें धारियों के केंद्र एक-दूसरे से $Δ y$ दूरी पर होते हैं।

एक गहरे अंतराल में दोनों झिरियों से आ रही तरंगें आधी तरंगदैर्घ्य बेमेल होकर निरस्त हो जाती हैं, जैसा “व्यतिकरण और अध्यारोपण” में होता है। इसलिए दोनों झिरियाँ खुली होने पर वहाँ उतने इलेक्ट्रॉन नहीं पहुँचते जितने केवल एक झिरी खुली होने पर पहुँचते; एक दूसरा मार्ग आगमन को और कम संभाव्य बना देता है, जो साधारण कणों की धारा नहीं कर सकती। धारियाँ किनारों की ओर फीकी पड़ती हैं, क्योंकि हर झिरी, जो $d$ के एक-चौथाई चौड़ी है, अपनी तरंग को सीमित कोण तक ही फैलाती है। यह क्षीण होता आवरण चमकीली धारियों पर मान 1, 0.81, 0.41 और 0.09 लेता है, और अगली धारी इसके शून्य पर पड़ती, जो पर्दे के किनारे से बस बाहर है।

सामान्य गलतियाँ

इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे से व्यतिकरण नहीं करते: एक समय में केवल एक ही उड़ान में होता है, फिर भी एक-एक करके भेजे गए 560 इलेक्ट्रॉन फ्रिंज बनाते हैं। हर इलेक्ट्रॉन की अपनी तरंग दोनों झिरियों से गुज़रती है।
इलेक्ट्रॉन झिरियों पर कभी नहीं बँटता: हर संसूचन एक पूरा इलेक्ट्रॉन है, जिसका पूरा आवेश $1.602 \times 1 0^{- 19} C$ है, और वह एक ही बिंदु पर मिलता है।
तरंगदैर्घ्य संवेग से तय होती है, ऊर्जा से नहीं: 50 eV का इलेक्ट्रॉन और 0.027 eV का न्यूट्रॉन एक ही 0.17 nm साझा करते हैं। और $p = 2 m E$ फ़ोटॉनों पर लागू नहीं होता, जिनके लिए $p = E / c$ है।
बड़ी वस्तुओं की भी तरंगदैर्घ्य होती है, बस वह अदृश्य है: 30 m/s पर चलती 0.15 kg की गेंद का $p = 4.5 kg \cdot m/s$ और $λ = 1.5 \times 1 0^{- 34} m$ है, जो प्रोटॉन के आकार से लगभग $1 0^{19}$ गुना छोटी है।
तेज़ इलेक्ट्रॉन चौड़ी नहीं, पतली फ्रिंज देते हैं: चाल दोगुनी करने पर $λ$ और $Δ y$ दोनों आधे हो जाते हैं, यानी 0.69 mm से 0.35 mm।

यह कहाँ दिखता है

पहला प्रमाण 1927 में आया, जब डेविसन और जर्मर ने 54 eV के इलेक्ट्रॉनों को निकिल क्रिस्टल से बिखेरा और 50° पर एक तेज़ पुंज पाया, ठीक वहीं जहाँ $λ = h / p = 0.167 nm$ वाली तरंगें 0.215 nm दूर परमाणु-पंक्तियों से परावर्तित होकर प्रबल होती हैं, क्योंकि $0.215 sin 5 0^{\circ} = 0.165 nm$ । इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी दसियों किलोवोल्ट पर चलते हैं, जिससे कुछ पिकोमीटर की तरंगदैर्घ्य मिलती है, जो दृश्य प्रकाश से लगभग $1 0^{5}$ गुना छोटी है, और वे अकेले परमाणुओं का चित्र ले सकते हैं। 60 कार्बन परमाणुओं वाले अणुओं ने भी फ्रिंज बनाई हैं।

“परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” में उसकी अनुमत कक्षाएँ एक नियम के रूप में आई थीं; यहाँ उस नियम को कारण मिलता है, क्योंकि हर कक्षा में इलेक्ट्रॉन-तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या समाती है। “श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन” पदार्थ-तरंग को अपना गति-समीकरण देता है और उसे अवरोधों के आर-पार रिसने देता है, तथा उन्नत स्तर बताता है कि इलेक्ट्रॉनों को देखने से फ्रिंज क्यों नष्ट हो जाती हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

आयाम पहले जुड़ते हैं, फिर वर्ग किए जाते हैं: $∣ ψ_{1} + ψ_{2} ∣^{2}$ में अंतर-पद $2 Re (\overset{ˉ}{ψ}_{1} ψ_{2})$ होता है, इसलिए $P_{12} \neq = P_{1} + P_{2}$ ।
संसूचन विच्छिन्न होते हैं: एकल आगमनों का हिस्टोग्राम $∣ ψ ∣^{2}$ की ओर अभिसरित होता है, जिसका प्रकीर्णन $1/ n$ कोटि का होता है।
यदि कोई उपकरण बता सके कि किस झिरी का प्रयोग हुआ, तो प्रायिकताएँ जुड़ती हैं, $P = P_{1} + P_{2}$ , और फ्रिंज लुप्त हो जाती हैं।
जो फ़ोटॉन झिरियों को अलग कर सके, वह इलेक्ट्रॉन को कम से कम लगभग $h / d$ का धक्का देता है, यानी पूरी एक फ्रिंज जितना; अनिश्चितता इस सिद्धांत को संगत रखती है।
बड़ी वस्तुओं के लिए $λ = h / p$ अति छोटा होता है: फ्रिंज इतनी बारीक कि कोई संसूचक उन्हें नहीं देख पाता, और विसंसक्ति मिलकर केवल शास्त्रीय वक्र छोड़ती है।

तरंग की तरह पहुँचते “गुच्छे”

यह खंड उस पहेली को प्रस्तुत करता है जिसे पाठ का बाकी भाग हल करता है। दो झिरियों वाली एक प्लेट पर इलेक्ट्रॉन एक-एक करके दागे जाते हैं, और उसके पीछे का पर्दा दर्ज करता है कि हर इलेक्ट्रॉन कहाँ गिरता है। पर्दे का एक छोटा हिस्सा चुनें और $P_{1}$ को वह प्रायिकता मानें कि केवल झिरी 1 खुली होने पर इलेक्ट्रॉन वहाँ गिरता है, $P_{2}$ वही प्रायिकता केवल झिरी 2 खुली होने पर, और $P_{12}$ दोनों खुली होने पर की प्रायिकता।

यदि इलेक्ट्रॉन छोटी गोलियाँ (पेलेट) होते, तो हर एक या तो एक झिरी से गुजरता या दूसरी से। दोनों झिरियाँ खुली होने पर झिरी 1 से निकली गोलियाँ वहीं गिरतीं जहाँ झिरी 2 बंद होने पर गिरतीं, और झिरी 2 की गोलियाँ भी इसी प्रकार; इसलिए गिनतियाँ सीधे जुड़ जातीं: $P_{12} = P_{1} + P_{2}$ । एक शास्त्रीय तरंग अलग व्यवहार करती है। वह ऊर्जा लगातार देती है, टुकड़ों में नहीं, और जुड़ती है तरंग की ऊँचाई, ऊर्जा नहीं। चूँकि तीव्रता ऊँचाई के वर्ग के अनुपात में होती है, दोनों झिरियाँ खुली होने पर तीव्रता दोनों एकल-झिरी तीव्रताओं का योग नहीं होती, और फ्रिंज उभर आती हैं।

इलेक्ट्रॉन वह करते हैं जो दोनों चित्रों में से कोई भी नहीं होने देता। संसूचक हर बार एक पूरे इलेक्ट्रॉन पर क्लिक करता है, कभी आधे पर नहीं, जैसे गोलियों के साथ होता है। फिर भी ये क्लिक तरंग की तरह फ्रिंज प्रतिरूप बनाते हैं, और $P_{12} \neq = P_{1} + P_{2}$ है: अंधेरी फ्रिंज पर दूसरी झिरी खोलने से आगमन और दुर्लभ हो जाते हैं। गोली-तर्क दिखाता है कि यह क्यों मायने रखता है। कोई भी व्याख्या, जिसमें हर इलेक्ट्रॉन किसी एक निश्चित झिरी से गुजरता है और वहाँ वैसा ही व्यवहार करता है जैसा दूसरी झिरी बंद होने पर करता, सीधे $P_{12} = P_{1} + P_{2}$ तक ले जाती है। इसलिए प्रयोग ऐसी हर व्याख्या को, चाहे वह कितनी भी विस्तृत हो, नकार देता है। अगला खंड उसकी जगह लेने वाला नियम देता है।

आयाम जुड़ते हैं, प्रायिकताएँ नहीं

क्वांटम यांत्रिकी तरंगों का गणित रखती है, पर उसे प्रायिकताओं पर लागू करती है। किसी घटना के हर संभावित मार्ग (यहाँ, इलेक्ट्रॉन का झिरी 1 से या झिरी 2 से चुने हुए बिंदु तक पहुँचना) को एक सम्मिश्र संख्या दी जाती है, जिसे उसका प्रायिकता आयाम कहते हैं: पहले मार्ग के लिए $ψ_{1}$ , दूसरे के लिए $ψ_{2}$ । नियम की दो स्थितियाँ हैं।

जब दुनिया में कुछ भी इन मार्गों में अंतर नहीं करता, तब उनके आयाम जुड़ते हैं, और प्रायिकता कुल आयाम के परिमाण का वर्ग होती है:
$ψ = ψ_{1} + ψ_{2}$
$∣ ψ ∣^{2} = ∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2} + 2 Re (ψ_{1}^{*} ψ_{2})$
पहले दो पद एकल-झिरी प्रायिकताएँ हैं। अंतिम पद, अर्थात अंतर-पद (या व्यतिकरण-पद), धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, और यही शास्त्रीय गणना से पूरा अंतर है। जब कोई अभिलेख दिखाता है कि कौन-सा मार्ग लिया गया, तब अलग-अलग मार्गों की प्रायिकताएँ इसके बजाय जुड़ती हैं, और अंतर-पद नहीं रहता।

नियम का प्रयोग करने के लिए हमें स्वयं आयाम चाहिए। संवेग $p$ वाले मुक्त कण की डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य $λ = h / p$ होती है। लंबाई $r$ वाले मार्ग पर उसके आयाम का कला-कोण $k r$ बढ़ जाता है, जहाँ $k = p /ℏ = 2 π / λ$ तरंग-संख्या है और $ℏ = h / (2 π)$ । दो समान झिरियों के लिए आयाम $ψ_{j} = A e^{ik r_{j}}$ हैं, जहाँ $r_{1}$ और $r_{2}$ चुने हुए बिंदु तक दोनों मार्गों की लंबाइयाँ हैं। उनका परिमाण समान, $A$ , है और वे केवल कला में भिन्न हैं, कला-अंतर है
$δ = k (r_{2} - r_{1})$
आगे का सब कुछ ऐसी दो संख्याओं के जोड़ से निकलता है।

दो तीर और उनका योग

दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ना दो तीरों को जोड़ना है, और चित्र 1 इसी से अंतर-पद को दृश्य बनाता है। हर आयाम सम्मिश्र तल में एक तीर के रूप में बना है: उसकी लंबाई उसका परिमाण $A$ है और दिशा उसकी कला है। केवल $ψ_{1}$ और $ψ_{2}$ के बीच का कोण $δ$ मायने रखता है, क्योंकि दोनों तीरों को एक साथ उतने ही कोण से घुमाने से कोई लंबाई नहीं बदलती, और इसलिए कोई प्रायिकता भी नहीं।

योग $ψ$ उन दो तीरों पर बने समचतुर्भुज का एक विकर्ण है (समचतुर्भुज इसलिए, क्योंकि दोनों भुजाओं की लंबाई $A$ है)। अब दूसरा, बिंदुकित विकर्ण देखें। समचतुर्भुज के विकर्ण चित्र में चिह्नित समकोण पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः $ψ$ का आधा एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा है, जिसका कर्ण $ψ_{1}$ है, जिसकी लंबाई $A$ है, और मूल-बिंदु पर जिसका कोण $δ /2$ है। वह भुजा $A cos (δ /2)$ है, और उसे दोगुना करने पर
$∣ ψ ∣ = 2 A cos \frac{δ}{2}$
मिलता है, $δ$ के 0 और $π$ के बीच होने पर; बड़े कोणों के लिए कोसाइन का परिमाण लें।

वर्ग करने और $2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x$ का प्रयोग करने पर परिणाम नियम के दो भागों में बँट जाता है:
$∣ ψ ∣^{2} = 4 A^{2} cos^{2} \frac{δ}{2} = 2 A^{2} + 2 A^{2} cos δ$
पहला पद, $2 A^{2}$ , मार्ग-सूचना वाला योग $∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2}$ है; दूसरा, $2 A^{2} cos δ$ , अंतर-पद है। दो स्थितियाँ चित्र को स्पष्ट करती हैं। जब $δ = 0$ होता है तो तीर एक ही दिशा में होते हैं, अतः $∣ ψ ∣ = 2 A$ और $∣ ψ ∣^{2} = 4 A^{2}$ , जो मार्ग-सूचना वाले मान का दोगुना है। जब $δ = π$ होता है तो वे विपरीत दिशाओं में होते हैं और निरस्त हो जाते हैं, अतः $∣ ψ ∣^{2} = 0$ : वहाँ कोई इलेक्ट्रॉन कभी नहीं पहुँचता, यद्यपि कोई एक झिरी अकेले भी कुछ भेजती।

आयाम वास्तविक तरंगें न होकर सम्मिश्र संख्याएँ क्यों होने चाहिए? हर आयाम के साथ एक समय-गुणक $e^{- i Et /ℏ}$ भी होता है, जहाँ $E$ इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा है। दोनों मार्गों पर ऊर्जा संरक्षित रहती है, इसलिए गुणक दोनों के लिए समान है: वह चित्र 1 के दोनों तीरों को एक साथ घुमाता है और $∣ ψ ∣^{2}$ से बाहर निकल जाता है। इसलिए स्थिर पुंज स्थिर गणना-दर देता है। इसके विपरीत, $cos (k r - ω t)$ जैसी वास्तविक तरंग स्वयं प्रायिकता को समय के साथ दोलित करा देती, जो कभी नहीं देखा गया।

पथ-अंतर से फ्रिंज तक

कला-अंतर $δ$ इस पर निर्भर करता है कि इलेक्ट्रॉन कहाँ गिरता है। चित्र 2 वह ज्यामिति देता है जो पर्दे पर की स्थिति को पथ-अंतर में, और इस प्रकार कला में, बदल देती है।

दो झिरियाँ, जिन्हें 1 और 2 नाम दिया गया है, $d$ दूरी पर हैं, और पर्दा प्लेट के पीछे दूरी $L$ पर खड़ा है। पर्दे का एक बिंदु $P$ दोनों झिरियों के बीच से गुजरने वाली अक्ष से ऊपर ऊँचाई $y$ पर है; उस बीच के बिंदु से देखें तो $P$ अक्ष से कोण $θ$ पर है। $P$ तक दो मार्ग पहुँचते हैं: एक झिरी 1 से, लंबाई $r_{1}$ का, और दूसरा झिरी 2 से, लंबाई $r_{2}$ का। चूँकि $P$ अक्ष के ऊपर है, मार्ग 2 अधिक लंबा है।

यह ज्ञात करने के लिए कि वह कितना लंबा है, झिरी 1 से होकर $P$ को केंद्र मानकर खींचे गए चाप का अनुसरण करें। चाप का हर बिंदु $P$ से दूरी $r_{1}$ पर है; यह $P$ पर अभिसरित होते एक तरंगाग्र का टुकड़ा है, जिसके सभी बिंदु एक साथ पहुँचते हैं। जहाँ चाप मार्ग 2 को काटता है, वहाँ उसने $P$ से पीछे की ओर मापकर लंबाई $r_{1}$ अलग कर दी है। झिरी के सिरे पर मार्ग 2 का जो बचा हुआ भाग है, यानी मोटा खंड, वही अतिरिक्त लंबाई $r_{2} - r_{1}$ है।

वास्तविक पर्दा $d$ से लाखों गुना दूर है, इसलिए दोनों मार्ग लगभग समांतर हैं और छोटा चाप लगभग दोनों के लंबवत एक सीधी रेखा है। चाप, मोटा खंड और दोनों झिरियों के बीच की प्लेट मिलकर कर्ण $d$ वाला एक छोटा समकोण त्रिभुज बनाते हैं। झिरी 1 पर इसका कोण $θ$ है, क्योंकि चाप मार्गों के लंबवत है और प्लेट अक्ष के लंबवत है। उस कोण के सामने की भुजा अतिरिक्त लंबाई है:
$r_{2} - r_{1} \approx d sin θ$
और चित्र 1 का कला-अंतर है
$δ = k (r_{2} - r_{1}) = \frac{2 π d s i n θ}{λ}$

चमकीली फ्रिंज वहाँ हैं जहाँ चित्र 1 के तीर एक ही दिशा में होते हैं, यानी $δ = 2 πm$ , जहाँ $m$ पूर्ण संख्या है; अर्थात $d sin θ = mλ$ : अतिरिक्त लंबाई तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या है। कोण बहुत छोटे हैं, अतः $sin θ \approx y / L$ , और चमकीली फ्रिंज $y_{m} = mλ L / d$ पर स्थित हैं। वे समान दूरी पर हैं, दूरी है
$Δ y = \frac{λ L}{d}$
और अंधेरी फ्रिंज उनके ठीक बीच में हैं, जहाँ $δ$ , $π$ का विषम गुणज है।

हिस्टोग्राम पढ़ना

चित्र 3 सिद्धांत को गिने गए इलेक्ट्रॉनों के सामने रखता है। एनीमेशन का विशेषज्ञ स्तर इसी को बनाता है: 560 इलेक्ट्रॉन, जिन्हें स्क्रीन-निर्देशांक $y$ के साथ उनके गिरने के स्थान के अनुसार एक-तिहाई फ्रिंज चौड़े खानों में छाँटा गया है। हर सुनहरी पट्टी की ऊँचाई $n$ उसके खाने के इलेक्ट्रॉनों की संख्या है। पट्टियों के ऊपर दो वक्र खींचे गए हैं, दोनों प्रति-खाना गणना में मापे गए हैं: ठोस वक्र क्वांटम पूर्वानुमान $∣ ψ ∣^{2}$ है, और बिंदुकित वक्र मार्ग-सूचना वाला योग $∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2}$ है, अर्थात वह प्रतिरूप जो अपेक्षित होगा यदि हर इलेक्ट्रॉन की झिरी दर्ज की गई होती।

पहले दोनों वक्रों की तुलना करें। समान झिरियों के लिए $∣ ψ ∣^{2} = 4 A^{2} cos^{2} (δ /2)$ है, जो हर चमकीली फ्रिंज पर बिंदुकित मान $2 A^{2}$ का दोगुना है और हर अंधेरी पर शून्य। अंतर-पद $2 A^{2} cos δ$ हर फ्रिंज के आधे भाग में धनात्मक और दूसरे आधे में ऋणात्मक है, इसलिए एक फ्रिंज पर यह औसतन शून्य है। अतः दोनों वक्र लगभग समान क्षेत्र घेरते हैं: व्यतिकरण आगमनों को अंधेरी पट्टियों से चमकीली पट्टियों में ले जाता है, पर न कोई बनाता है न मिटाता है।

अगला, केंद्र से दूर दोनों वक्रों का धीमा ह्रास। यह एकल-झिरी गुणक है। हर झिरी की अपनी चौड़ाई है, यहाँ $a = d /4$ , और एक ही झिरी के अलग-अलग भागों की तरंगें भी आपस में व्यतिकरण करती हैं। परिणामस्वरूप $A$ स्थिर नहीं है, बल्कि आवरण $sin β / β$ के माध्यम से $y$ पर निर्भर करता है, जहाँ $β = πa y / (λ L)$ । यह आवरण पहली बार $β = π$ पर, यानी $y = λ L / a = 4Δ y$ पर शून्य होता है, जो अक्ष के नीचे दाईं ओर का चिह्न है। कोटि 0 से 3 की चमकीली फ्रिंज पर तीव्रता-आवरण $(sin β / β)^{2}$ अपने केंद्रीय मान का 1, 0.81, 0.41 और 0.09 है, और कोटि 4 अनुपस्थित है क्योंकि वह ठीक शून्य पर पड़ती है। पर्दा लगभग $3.2Δ y$ पर समाप्त होता है, जहाँ पट्टियाँ रुक जाती हैं।

अंत में, पट्टियाँ ठोस वक्र के सामने। एनीमेशन में केंद्रीय खाने में 560 में से 94 इलेक्ट्रॉन और हर प्रथम-कोटि के खाने में 77 इलेक्ट्रॉन समाप्त होते हैं। वक्र प्रति खाना लगभग 104 पर शिखर पर है, फिर भी एक आदर्श प्रयोग में भी केंद्रीय पट्टी उससे थोड़ी छोटी रहेगी। पट्टी अपने पूरे खाने के भीतर की हर गिनती जोड़ती है, इसलिए वह वक्र का एक-तिहाई फ्रिंज पर औसत लेती है; और शिखर पर केंद्रित उस चौड़ाई पर $cos^{2}$ का माध्य 0.91 है।

वास्तविक प्रयोग में हर गिनती भी उतार-चढ़ाव करती है: जिस खाने में $n$ इलेक्ट्रॉन अपेक्षित हैं, उसमें लगभग $n \pm n$ पहुँचते हैं। केंद्रीय खाने के लिए यह 10 % का सापेक्ष प्रकीर्णन है, और प्रति खाना 10,000 गिनतियों पर ही प्रकीर्णन 1 % तक गिरता है। इसीलिए पहले कुछ दर्जन बिंदु शोर जैसे लगते हैं। तरंग अनेक आगमनों के वितरण की भविष्यवाणी करती है; वह कभी नहीं बताती कि अगला अकेला इलेक्ट्रॉन कहाँ गिरेगा।

इलेक्ट्रॉनों को देखना

यह खंड स्पष्ट प्रश्न पूछता है: क्या हम सीधे यह नहीं देख सकते कि हर इलेक्ट्रॉन किस झिरी का प्रयोग करता है? झिरियों के ठीक पीछे का क्षेत्र प्रकाशित करें, ताकि हर गुजरता इलेक्ट्रॉन एक फ़ोटॉन बिखेरे और एक चमक दिखाए कि वह कहाँ गया। तब हर इलेक्ट्रॉन केवल एक झिरी पर देखा जाएगा, कभी दोनों पर नहीं। इलेक्ट्रॉनों को उनकी चमक से छाँटें: जो झिरी 1 पर देखे गए, उनके गिरने का प्रतिरूप $∣ ψ_{1} ∣^{2}$ है, और जो झिरी 2 पर, उनका $∣ ψ_{2} ∣^{2}$ । मिलकर वे चित्र 3 का बिंदुकित वक्र बनाते हैं। एक बार मार्ग दर्ज हो जाए, तो नियम के अनुसार प्रायिकताएँ जुड़ती हैं, और फ्रिंज गायब हो जाती हैं।

क्या प्रकाश को इतना कोमल बनाया जा सकता है कि वह इलेक्ट्रॉनों को विचलित न करे? मंद प्रकाश से कुछ नहीं होता, क्योंकि प्रकाश फ़ोटॉनों में आता है: मंद का अर्थ है दुर्लभ फ़ोटॉन, कमज़ोर फ़ोटॉन नहीं। कोई इलेक्ट्रॉन या तो एक पूरा फ़ोटॉन बिखेरता है, स्थित हो जाता है और चिकने प्रतिरूप में मिल जाता है, या कोई फ़ोटॉन नहीं बिखेरता और फ्रिंज में रहता है। दूसरा विकल्प है नरम फ़ोटॉन। तरंगदैर्घ्य $λ_{γ}$ वाला फ़ोटॉन संवेग $h / λ_{γ}$ रखता है, इसलिए लंबी तरंगदैर्घ्य कोमल धक्का देती है। पर चमक को केवल अपनी तरंगदैर्घ्य जितनी सीमा तक ही स्थित किया जा सकता है। दूरी $d$ पर स्थित झिरियों को पहचानने के लिए $λ_{γ}$ लगभग $d$ से कम चाहिए, और इसलिए फ़ोटॉन का संवेग कम से कम लगभग $h / d$ होना चाहिए। अगला खंड दिखाता है कि इस आकार का धक्का फ्रिंज मिटाने के लिए ठीक पर्याप्त है।

फ्रिंज के आकार का एक धक्का

चित्र 4 एक ऐसे फ़ोटॉन से होने वाले धक्के की तुलना फ्रिंज के अंतर से करता है। बाईं ओर, इलेक्ट्रॉन संवेग $p$ के साथ पहुँचता है। फ़ोटॉन अज्ञात दिशा में उससे टकराकर उसे अधिकतम लगभग $h / d$ का पार्श्व संवेग देता है: वह तीर जो $p$ की नोक से नए संवेग $p^{'}$ की नोक तक जाता है। धक्का छोटा और पार्श्व है, इसलिए $p^{'}$ की लंबाई $p$ जितनी ही रहती है, पर वह अधिकतम लगभग $(h / d) / p$ कोण से घूम जाता है। $p = h / λ$ के साथ यह कोण $λ / d$ है।

दाईं ओर, वही कोण उपकरण में दिखता है। झिरियों से देखने पर प्रतिरूप के केंद्र और अगले चमकीले फ्रिंज के बीच, जो दूरी $L$ पर स्थित पर्दे पर दूरी $Δ y$ पर है, कोण $Δ y / L$ होता है, और $Δ y = λ L / d$ होने से $Δ y / L = λ / d$ है। अतः इतना मज़बूत धक्का जो झिरी पहचान सके, इलेक्ट्रॉन को अधिकतम उतने कोण तक घुमा देता है जितना पड़ोसी फ्रिंज के बीच होता है, और वह भी किसी यादृच्छिक दिशा में। हर गिरने का बिंदु यादृच्छिक रूप से अधिकतम लगभग एक पूरी फ्रिंज जितना खिसक जाता है, और चमकीली व अंधेरी पट्टियाँ एक-दूसरे में घुल जाती हैं।

संख्याओं में: नीचे दिए गए हल किए उदाहरण के 50 eV इलेक्ट्रॉनों और 0.50 µm दूर झिरियों के लिए, 0.50 µm का फ़ोटॉन इलेक्ट्रॉन के संवेग का केवल 1/2900 ले जाता है, फिर भी 2.0 m दूर पर्दे पर वह गिरने के बिंदु को अधिकतम 0.69 mm खिसका सकता है, यानी पूरी एक फ्रिंज। जब $λ_{γ}$ , $d$ से अधिक हो जाता है, तो फ्रिंज फिर लौटने लगती हैं, क्योंकि चमक अब यह नहीं दिखाती कि किस झिरी का प्रयोग हुआ।

यह समझौता (trade-off) प्रकाश के प्रयोग की कमी नहीं है; यही अनिश्चितता सिद्धांत है, जो एक ही दिशा में स्थिति और संवेग के प्रसार $Δ x$ और $Δ p$ को सीमित करता है:
$Δ x Δ p \geq \frac{ℏ}{2}$
इलेक्ट्रॉन को किसी एक झिरी पर स्थित करने से उसकी पार्श्व स्थिति $d$ से बेहतर सीमा में बँध जाती है, इसलिए उसका पार्श्व संवेग, चाहे कुछ भी उसे स्थित करे, कम से कम $ℏ/ d$ कोटि तक फैलना चाहिए। ऊपर का अनुमान कोटि के गुणकों के भीतर सही है; नीचे का हल किया उदाहरण एक अलग संसूचक के लिए सटीक योग देता है। यह सीमा हर उपकरण पर लागू होनी चाहिए। एक इलेक्ट्रॉन जिसे स्थित किया गया हो और फिर भी अविचलित रखा गया हो, उसे फ्रिंज बनानी होंगी, क्योंकि उसे कुछ विचलित नहीं कर रहा; और कोई फ्रिंज नहीं बनानी होंगी, क्योंकि उसका मार्ग ज्ञात है और प्रायिकताएँ जुड़ती हैं: सिद्धांत स्वयं से विरोधाभासी हो जाएगा। यह सीमा प्रकृति की है, अनाड़ी उपकरणों की नहीं।

आंशिक मार्ग-सूचना

वास्तविक संसूचक कुछ भी न दर्ज करने और मार्ग को पूरी तरह दर्ज करने के बीच कहीं भी हो सकते हैं, और बीच में फ्रिंज ठीक उतनी ही मात्रा में फीकी पड़ती हैं। यह समझने के लिए संसूचक को स्वयं एक क्वांटम तंत्र मानें। यदि इलेक्ट्रॉन झिरी 1 से गुजरता है, तो संसूचक अवस्था $∣ D_{1} ⟩$ में समाप्त होता है; यदि झिरी 2 से, तो $∣ D_{2} ⟩$ में। उनका अधिव्यापन $⟨ D_{1} ∣ D_{2} ⟩$ एक सम्मिश्र संख्या है, जिसका परिमाण 0 और 1 के बीच है और जो मापता है कि दोनों अवस्थाएँ कितनी मिलती-जुलती हैं। इलेक्ट्रॉन और संसूचक मिलकर अवस्था $ψ_{1} ∣ D_{1} ⟩ + ψ_{2} ∣ D_{2} ⟩$ में समाप्त होते हैं, और जब केवल इलेक्ट्रॉन का गिरने का बिंदु देखा जाता है, तब इस योग का वर्ग-परिमाण अधिव्यापन को अंतर-पद में ले जाता है:
$∣ ψ ∣^{2} = ∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2} + 2 Re (ψ_{1}^{*} ψ_{2} ⟨ D_{1} ∣ D_{2} ⟩)$

समान अवस्थाएँ (अधिव्यापन 1) कुछ दर्ज नहीं करतीं और पूरी फ्रिंज छोड़ती हैं; लंबकोणीय अवस्थाएँ (अधिव्यापन 0) मार्ग को पूर्ण रूप से दर्ज करती हैं और कोई फ्रिंज नहीं छोड़तीं। बीच में परिणाम दो संख्याओं से वर्णित होता है। फ्रिंज को उनकी दृश्यता से मापा जाता है
$V = \frac{P _{m a x} - P _{m i n}}{P _{m a x} + P _{m i n}}$
जहाँ $P_{m a x}$ और $P_{m i n}$ एक चमकीली फ्रिंज और उसकी पड़ोसी अंधेरी फ्रिंज पर प्रायिकताएँ हैं; इस प्रकार पूर्ण फ्रिंज के लिए $V = 1$ और किसी भी फ्रिंज के अभाव में $V = 0$ । समान आयामों के लिए $V = ∣ ⟨ D_{1} ∣ D_{2} ⟩ ∣$ । मार्ग-सूचना को विभेद्यता $D$ से मापा जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि संसूचक से झिरी का सर्वोत्तम संभव अनुमान $(1 + D) /2$ प्रायिकता से सही हो: $D = 0$ सिक्का उछालने जैसा है और $D = 1$ निश्चितता है। तब
$V^{2} + D^{2} \leq 1$
जब संसूचक एक निश्चित क्वांटम अवस्था में शुरू होता है, तब समान चिह्न लगता है। मार्ग का आंशिक ज्ञान आंशिक फ्रिंज देता है; पूर्ण ज्ञान और पूर्ण फ्रिंज कभी साथ नहीं आते।

अभिलेख को किसी को पढ़ना नहीं है; उसे केवल मौजूद होना है। इलेक्ट्रॉन से टकराकर लौटता गैस-अणु ऐसा ही एक संसूचक है, और झिरियों से भेजे गए बड़े अणु के लिए, उड़ान के दौरान गर्म अणु द्वारा उत्सर्जित ऊष्मीय विकिरण का फ़ोटॉन भी। ऐसी हर घटना अधिव्यापन को 1 से छोटे एक और गुणक से गुणा कर देती है, और बहुत-सी घटनाओं के बाद अंतर-पद समाप्त हो जाता है। परिवेश में व्यतिकरण के इस खो जाने को विसंसक्ति (decoherence) कहते हैं, और यही कारण है कि पदार्थ-तरंग प्रयोगों को उच्च निर्वात चाहिए।

हल किया उदाहरण: एक पीछे हटती झिरी-प्लेट

1920 के दशक के अंत में आइंस्टीन और बोर की बहसों में एक प्रस्ताव यह था कि झिरी-प्लेट के पीछे हटने से इलेक्ट्रॉन का मार्ग पढ़ा जाए। मध्यम उदाहरण के वास्तविक पैमाने पर एनीमेशन के 50 eV इलेक्ट्रॉन लें ( $λ = 0.173 nm$ , $d = 0.50 μ m$ , $L = 2.0 m$ , अतः $Δ y = 0.69 mm$ ), और प्लेट को पार्श्व में खिसकने के लिए स्वतंत्र मानें। प्लेट का संवेग कितनी अच्छी तरह ज्ञात होना चाहिए, और फ्रिंज का क्या होता है?

चरण 1, दो प्रतिक्षेप। पर्दे के केंद्र तक झिरी 1 से गुज़रकर पहुँचने वाला इलेक्ट्रॉन, जो अक्ष से $d /2$ ऊपर है, अक्ष की ओर $d / (2 L)$ कोण से विक्षेपित होता है; झिरी 2 से वह उसी कोण से दूसरी दिशा में विक्षेपित होता है। उसका पार्श्व संवेग किसी एक ओर $p d / (2 L)$ बदल जाता है, और संवेग-संरक्षण से प्लेट विपरीत धक्का लेती है। प्लेट के दो संभावित धक्के इतने भिन्न हैं
$δ p = \frac{p d}{L} = \frac{h}{Δ y} = \frac{6.626 \times 1 0 ^{- 34}}{6.94 \times 1 0 ^{- 4}} = 9.5 \times 1 0^{- 31} kg \cdot m/s$
जहाँ मध्य चरण $p = h / λ$ और $Δ y = λ L / d$ का प्रयोग करता है। (यहाँ $δ p$ एक संवेग-अंतर है, कला $δ$ नहीं।)

चरण 2, प्लेट की स्थिति। दोनों धक्कों को विश्वसनीय रूप से अलग पहचानने के लिए प्लेट के संवेग का प्रसार $δ p$ से काफ़ी कम होना चाहिए; मानक विचलन $σ_{p} = δ p /4 = 2.4 \times 1 0^{- 31} kg \cdot m/s$ लें। मानक विचलन ही अनिश्चितता सिद्धांत के प्रसार हैं, इसलिए प्लेट की स्थिति कम से कम इतनी फैली होनी चाहिए
$σ_{x} = \frac{ℏ}{2 σ _{p}} = \frac{1.055 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \cdot 2.4 \times 1 0 ^{- 31}} = 2.2 \times 1 0^{- 4} m$

चरण 3, फ्रिंज। यह $Δ y / π$ है, लगभग एक-तिहाई फ्रिंज। प्रतिरूप झिरियों से जुड़ा है, इसलिए उसकी स्थिति उतनी ही अनिश्चित है जितनी प्लेट की। गाउसीय प्रसार $σ_{x}$ पर $cos^{2}$ फ्रिंज का औसत लेने पर उनका कंट्रास्ट $e^{- 2 π^{2} σ_{x}^{2} /Δ y^{2}} = e^{- 2} = 0.14$ से गुणा हो जाता है। पिछले खंड का संसूचक-नियम दूसरी ओर से वही उत्तर देता है। प्लेट की दो संभावित अंतिम अवस्थाएँ चौड़ाई $σ_{p}$ वाले प्रसार हैं जिनके केंद्र $δ p$ दूर हैं, और वे $e^{- δ p^{2} / (8 σ_{p}^{2})} = e^{- 2}$ तक अधिव्यापित होते हैं। अतः $V = 0.14$ और $D = 1 - e^{- 4} = 0.99$ : मार्ग लगभग निश्चित रूप से ज्ञात है, और फ्रिंज लगभग लुप्त हैं।

चरण 4, ढीली प्लेट। यदि उसका संवेग केवल $σ_{p} = δ p$ तक ज्ञात हो, तो फ्रिंज 88 % दृश्यता बनाए रखती हैं, पर मार्ग केवल $D = 0.47$ के साथ प्रकट होता है। दोनों स्थितियों में $V^{2} + D^{2} = 1$ है: निश्चित क्वांटम अवस्था में प्लेट सीमा पर बैठती है, और कोई भी प्लेट इससे बेहतर नहीं कर सकती।

वैधता की सीमाएँ

संबंध $p = 2 m E$ , जहाँ $E$ गतिज ऊर्जा है, आपेक्षिकता को अनदेखा करता है। 50 eV पर यह हानिरहित है, जो इलेक्ट्रॉन की विराम ऊर्जा $m c^{2} = 511 keV$ का दस-हज़ारवाँ भाग है। पर 100 kV के इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में $p c = E^{2} + 2 E m c^{2}$ से निकला सटीक संवेग $λ = 3.70 pm$ देता है, जबकि सरल सूत्र 3.88 pm देता है, यानी लगभग 5 % अधिक लंबा। स्वयं संबंध $λ = h / p$ सटीक ही रहता है; बदलता केवल $p$ और $E$ के बीच का संबंध है।

फ्रिंज सूत्र को छोटे कोण और दूर-क्षेत्र में स्थित पर्दा चाहिए, $L ≫ d^{2} / λ$ , जो उदाहरण में 1.4 mm है, जबकि $L = 2 m$ है। फ्रिंज के लिए सुसंगत पुंज भी चाहिए: एक छोटा स्रोत, ताकि दोनों झिरियों को एक ही तरंग मिले, और लगभग एक ही ऊर्जा, ताकि सभी इलेक्ट्रॉन एक ही तरंगदैर्घ्य और एक ही फ्रिंज-अंतर साझा करें।

बड़ी वस्तुओं के लिए तरंग वास्तविक है, पर अदृश्य है, दो कारणों से। पहला तरंगदैर्घ्य है। 30 m/s पर चलती 0.15 kg की गेंद का $λ = 1.5 \times 1 0^{- 34} m$ है: 10 cm दूर झिरियों के पीछे, 10 m दूर पर्दे पर फ्रिंज $1.5 \times 1 0^{- 32} m$ दूरी पर होतीं, और प्रोटॉन जितने आकार का संसूचक उनमें से लगभग $1 0^{17}$ को एक चिकने वक्र में औसत कर देता। दूसरा है विसंसक्ति: हवा में गेंद से हर सेकंड लगभग $5 \times 1 0^{25}$ अणु टकराते हैं, और हर टक्कर एक मार्ग-अभिलेख है। फिर भी क्वांटम और शास्त्रीय वस्तुओं के बीच कोई तीखी सीमा ज्ञात नहीं है। 60 कार्बन परमाणुओं के अणुओं ने, 220 m/s पर $λ = 2.5 pm$ के साथ, 100 nm आवर्तकाल की जाली के पीछे फ्रिंज बनाई हैं, और बाद में लगभग 2000 परमाणुओं वाले अणुओं ने भी।

इसके बाद क्या आता है

“श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन” आयाम को एक तरंग-फलन में बदलता है, जो अपने ही समीकरण का पालन करता है, जहाँ $E = ℏ ω$ और $p = ℏ k$ है, और उसे ऐसे अवरोधों के आर-पार रिसने देता है जिन्हें शास्त्रीय कण कभी पार नहीं कर सकता। “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” की कक्षाएँ वे हैं जिनमें तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या समाती है, $2 π r = nλ$ , जो कोणीय संवेग $n ℏ$ के तुल्य है। “अर्धचालक, डायोड और एलईडी” में आवर्ती क्रिस्टल की इलेक्ट्रॉन-तरंगें ऊर्जा-बैंड बनाती हैं। “कण और बल: मानक मॉडल” हर कण को किसी क्षेत्र का क्वांटम मानता है, और हर प्रक्रिया की गणना उसके वैकल्पिक इतिहासों के आयाम जोड़कर करता है, जिन्हें अन्योन्य-क्रिया आरेखों से दर्शाया जाता है: इस पाठ का नियम अपने सबसे सामान्य रूप में।

मुख्य सूत्र

डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य

λ = \frac{h}{p}

संवेग $p$ वाले हर कण के साथ एक तरंग जुड़ी होती है, जिसकी तरंगदैर्घ्य प्लैंक नियतांक को संवेग से भाग देने पर मिलती है। यह संबंध फ़ोटॉन के लिए सही है (जिसका संवेग $h / λ$ है); इसे 1924 में पदार्थ तक बढ़ाया गया और 1927 में इलेक्ट्रॉन विवर्तन से पुष्ट हुआ। तरंगदैर्घ्य केवल संवेग पर निर्भर करती है, ऊर्जा या द्रव्यमान पर अलग-अलग नहीं।

चिह्न
$λ$	डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य	$m$
$h$	प्लैंक नियतांक, $6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$	$J \cdot s$
$p$	कण का संवेग	$kg \cdot m/s$

कब लागू होता है: हर कण के लिए लागू; यदि $p$ आपेक्षिक संवेग हो तो आपेक्षिक चाल पर भी। यह प्रायिकता-आयाम की तरंगदैर्घ्य देता है; कुछ भी भौतिक रूप से नहीं दोलित होता।

उदाहरण: एनीमेशन के 50 eV इलेक्ट्रॉन: $λ = 6.626 \times 1 0^{- 34} / (3.82 \times 1 0^{- 24}) = 1.73 \times 1 0^{- 10} m = 0.17 nm$ ।

गतिज ऊर्जा से संवेग

p = 2 m E

$E = \frac{1}{2} m v^{2}$ और $p = m v$ से $v$ हटाने पर $E = p^{2} / (2 m)$ मिलता है, इसलिए संवेग दोगुने द्रव्यमान और गतिज ऊर्जा के गुणनफल का वर्गमूल है। विराम से वोल्टेज $V$ से त्वरित इलेक्ट्रॉन की $E = e V$ होती है।

चिह्न
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$
$E$	गतिज ऊर्जा	$J$

कब लागू होता है: केवल प्रकाश की चाल से बहुत कम चाल के लिए, $E ≪ m c^{2}$ (इलेक्ट्रॉन के लिए 511 keV); 100 keV पर यह $p$ को लगभग 5 % कम आँकता है। फ़ोटॉनों पर लागू नहीं होता, जिनके लिए $p = E / c$ है।

उदाहरण: $E = 50 eV = 8.01 \times 1 0^{- 18} J$ के लिए: $p = 2 \cdot 9.11 \times 1 0^{- 31} \cdot 8.01 \times 1 0^{- 18} = 3.82 \times 1 0^{- 24} kg \cdot m/s$ ।

फ्रिंज-अंतर

Δ y = \frac{λ L}{d}

चमकीली फ्रिंज वहाँ होती हैं जहाँ दोनों झिरियों से पथ-अंतर $d sin θ$ तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या होता है। छोटे कोणों के लिए $sin θ \approx y / L$ , इसलिए चमकीली फ्रिंज $y_{m} = mλ L / d$ पर होती हैं, जो $λ L / d$ दूरी पर हैं। यह प्रकाश का सूत्र है; कणों के लिए $λ$ डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य है, इसलिए संवेग बढ़ने पर अंतर घटता है।

चिह्न
$Δ y$	पड़ोसी चमकीली फ्रिंज के बीच की दूरी	$m$
$λ$	तरंगदैर्घ्य (कणों के लिए डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य)	$m$
$L$	झिरियों से पर्दे तक की दूरी	$m$
$d$	झिरियों के केंद्रों के बीच की दूरी	$m$

कब लागू होता है: छोटे कोणों और दूर-क्षेत्र वाले पर्दे के लिए, $L ≫ d^{2} / λ$ । हर झिरी की चौड़ाई एकल-झिरी आवरण के माध्यम से फ्रिंज की चमक बदलती है, पर उनका अंतर नहीं।

उदाहरण: 50 eV के इलेक्ट्रॉन ( $λ = 0.173 nm$ ), झिरियाँ $0.50 μ m$ दूर, पर्दा 2.0 m पर: $Δ y = 0.69 mm$ ।

प्रायिकता-आयामों का अध्यारोपण

ψ = ψ_{1} + ψ_{2}

जब कोई इलेक्ट्रॉन पर्दे के किसी बिंदु तक दो ऐसे मार्गों से पहुँच सकता है जो कोई चिह्न नहीं छोड़ते, तो उस बिंदु तक पहुँचने का आयाम दोनों मार्गों के आयामों का योग होता है। आयाम सम्मिश्र संख्याएँ हैं: परिमाण प्रायिकता तय करता है, और तय की गई हर तरंगदैर्घ्य पर कला $2 π$ बढ़ती है, इसलिए अलग-अलग लंबाई के मार्ग अलग कलाओं के साथ पहुँचते हैं।

चिह्न
$ψ$	दोनों झिरियाँ खुली होने पर उस बिंदु तक पहुँचने का आयाम
$ψ_{1}$	झिरी 1 से उस बिंदु तक पहुँचने का आयाम
$ψ_{2}$	झिरी 2 से उस बिंदु तक पहुँचने का आयाम

कब लागू होता है: केवल उन विकल्पों के लिए जिन्हें कुछ भी अलग नहीं करता, यहाँ तक कि सिद्धांततः भी नहीं। यदि कोई अभिलेख दिखाता है कि किस झिरी का प्रयोग हुआ, तो प्रायिकताएँ इसके बजाय जुड़ती हैं: $∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2}$ ।

उदाहरण: पर्दे के केंद्र में दोनों मार्ग समान लंबे हैं, इसलिए $ψ_{1} = ψ_{2}$ और $ψ = 2 ψ_{1}$ : प्रायिकता केवल एक झिरी खुली होने पर की चार गुना है, यानी दोनों एकल-झिरी प्रायिकताओं के योग की दोगुनी।

व्यतिकरण सहित प्रायिकता

∣ ψ ∣^{2} = ∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2} + 2 Re (ψ_{1}^{*} ψ_{2})

प्रायिकता कुल आयाम के परिमाण का वर्ग है। $∣ ψ_{1} + ψ_{2} ∣^{2}$ का विस्तार करने पर दो एकल-झिरी प्रायिकताएँ और एक अंतर-पद मिलता है, जो समान परिमाण के लिए $2∣ ψ_{1} ∣^{2} cos δ$ है, जहाँ $δ$ दोनों मार्गों के बीच कला-अंतर है। अंतर-पद चमकीली फ्रिंज पर धनात्मक, अंधेरी पर ऋणात्मक है और औसतन शून्य होता है, इसलिए व्यतिकरण आगमनों को इधर-उधर करता है, उनका कुल योग बदले बिना।

चिह्न
$∣ ψ ∣^{2}$	दोनों झिरियाँ खुली होने पर आगमन की प्रायिकता
$∣ ψ_{1} ∣^{2}$	केवल झिरी 1 से आगमन की प्रायिकता, झिरी 2 बंद होने पर
$∣ ψ_{2} ∣^{2}$	केवल झिरी 2 से आगमन की प्रायिकता, झिरी 1 बंद होने पर
$ψ_{1}^{*}$	आयाम $ψ_{1}$ का सम्मिश्र संयुग्मी
$ψ_{2}$	झिरी 2 से आयाम
$Re$	सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग

कब लागू होता है: जब तक कुछ भी मार्ग दर्ज नहीं करता। जिस संसूचक की अंतिम अवस्थाएँ $∣ D_{1} ⟩$ और $∣ D_{2} ⟩$ हैं, वह अंतर-पद को उनके अधिव्यापन $⟨ D_{1} ∣ D_{2} ⟩$ से गुणा करता है; पूर्ण मार्ग-सूचना होने पर अंतर-पद लुप्त हो जाता है।

उदाहरण: समान आयामों के लिए, $∣ ψ ∣^{2}$ चमकीली फ्रिंज पर $4∣ ψ_{1} ∣^{2}$ और अंधेरी पर 0 के बीच झूलता है: विशेषज्ञ ग्राफ़ में ठोस वक्र बिंदुकित वक्र का दोगुना शिखर पर है।

अनिश्चितता सिद्धांत

Δ x Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

एक ही दिशा में स्थिति और संवेग के प्रसार दोनों एक साथ छोटे नहीं हो सकते: उनका गुणनफल कम से कम $ℏ/2$ है। यह तरंग-वर्णन से निकलता है, क्योंकि लंबाई $Δ x$ में सीमित तरंग को अनेक तरंगदैर्घ्य, और इसलिए अनेक संवेग, मिलाने पड़ते हैं। दोहरी झिरी में इसका अर्थ है: इलेक्ट्रॉन को एक झिरी पर पहचानने वाला संसूचक उसे लगभग एक फ्रिंज जितने कोण से पार्श्व धक्का देता है, जो प्रतिरूप को मिटा देता है।

चिह्न
$Δ x$	स्थिति का प्रसार (मानक विचलन)	$m$
$Δ p$	उसी दिशा में संवेग का प्रसार (मानक विचलन)	$kg \cdot m/s$
$ℏ$	समानीत प्लैंक नियतांक, $h / (2 π) = 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$	$J \cdot s$

कब लागू होता है: एक ही अक्ष पर स्थिति और संवेग के लिए, यानी $x$ और $p_{x}$ ; $x$ और $p_{y}$ के संयोजन पर यह कोई सीमा नहीं लगाता। समानता केवल गाउसीय तरंग-पैकेट के लिए लागू होती है।

उदाहरण: $Δ x = 0.10 nm$ (परमाणु के आकार) के भीतर सीमित इलेक्ट्रॉन का $Δ p \geq 1.055 \times 1 0^{- 34} / (2 \cdot 1.0 \times 1 0^{- 10}) = 5.3 \times 1 0^{- 25} kg \cdot m/s$ है, यानी वेग का प्रसार कम से कम 580 km/s।

शब्दावली

तरंग-कण द्वैतता: इलेक्ट्रॉन और फ़ोटॉन जैसी क्वांटम वस्तुएँ तरंगों की तरह चलती हैं, जिनका विवर्तन और व्यतिकरण होता है, फिर भी उनका संसूचन हमेशा एक बिंदु पर पूरे कणों के रूप में होता है। यह दो चित्र नहीं, एक ही सिद्धांत है: तरंग हर संसूचन की प्रायिकता देती है।
फ़ोटॉन: प्रकाश का क्वांटम, ऊर्जा $E = h f$ और संवेग $p = h / λ$ वाला पैकेट। किसी भी तीव्रता का प्रकाश एक-एक फ़ोटॉन करके उत्सर्जित और अवशोषित होता है; मंद प्रकाश का अर्थ है कम फ़ोटॉन, कमज़ोर फ़ोटॉन नहीं।
पदार्थ तरंग: गतिमान कण की तरंग, जिसे डी ब्रॉग्ली तरंग भी कहते हैं, जिसकी तरंगदैर्घ्य $λ = h / p$ है: 50 eV के इलेक्ट्रॉन के लिए 0.17 nm। यह प्रायिकता-आयाम की तरंग है, कण के द्रव्य की कोई लहर नहीं।
इलेक्ट्रॉन विवर्तन: क्रिस्टलों, झिरियों या किनारों पर इलेक्ट्रॉन-तरंगों का फैलना और व्यतिकरण। यह पहली बार 1927 में देखा गया, जब निकिल क्रिस्टल से बिखरे इलेक्ट्रॉन उन दिशाओं में निकले जिन्हें $λ = h / p$ पूर्वानुमानित करता है।
व्यतिकरण फ्रिंज: उन जगहों पर अधिक और कम आगमनों की वैकल्पिक पट्टियाँ जहाँ दो झिरियों से आ रही तरंगें अधिव्यापित होती हैं: जहाँ वे एक साथ पहुँचती हैं वहाँ चमकीली, और जहाँ वे निरस्त होती हैं वहाँ अंधेरी। दो झिरियों के पीछे पड़ोसी चमकीली फ्रिंज $Δ y = λ L / d$ दूरी पर होती हैं।
प्रायिकता-आयाम: किसी घटना के हर संभावित मार्ग को दी गई सम्मिश्र संख्या; प्रायिकता कुल आयाम के परिमाण का वर्ग है। हर तय की गई तरंगदैर्घ्य पर इसकी कला $2 π$ बढ़ती है।
अध्यारोपण: उन विकल्पों के आयामों का जोड़ जो कोई अभिलेख नहीं छोड़ते, $ψ = ψ_{1} + ψ_{2}$ । तब प्रायिकताएँ योज्य नहीं रहतीं: अंतर-पद किसी परिणाम को अधिक संभाव्य बना सकता है या उसे पूरी तरह असंभव कर सकता है।
बॉर्न नियम: किसी स्थान पर कण के संसूचन की प्रायिकता वहाँ के $∣ ψ ∣^{2}$ के समानुपाती होती है। एकल आगमन यादृच्छिक होते हैं, पर उनका हिस्टोग्राम $∣ ψ ∣^{2}$ की ओर बढ़ता है, और $n$ गिनतियों वाले खाने में प्रकीर्णन लगभग $n$ होता है।
मार्ग-सूचना: कण किस झिरी से गुजरा, इसका कोई भी अभिलेख, चाहे उसे पढ़ा गया हो या नहीं। पूर्ण सूचना अंतर-पद और फ्रिंज हटा देती है, केवल $∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2}$ बचता है; आंशिक सूचना केवल उन्हें कमज़ोर करती है।
फ्रिंज दृश्यता: प्रतिरूप का कंट्रास्ट, $V = (P_{m a x} - P_{m i n}) / (P_{m a x} + P_{m i n})$ : अंधेरी फ्रिंज खाली हों तो 1, फ्रिंज न हों तो 0। मार्ग-विभेद्यता $D$ के साथ, $V^{2} + D^{2} \leq 1$ ।
अनिश्चितता सिद्धांत: एक दिशा में स्थिति और संवेग दोनों एक साथ तीखे नहीं हो सकते: $Δ x Δ p \geq ℏ/2$ , जहाँ $Δ x$ मीटर में और $Δ p$ kg·m/s में है। यह तरंगों का गुण है, उपकरणों की खामी नहीं; यह किसी भी उपकरण को फ्रिंज मिटाए बिना झिरी पहचानने से रोकता है।
विसंसक्ति (decoherence): जब कोई तंत्र अपने परिवेश में मार्ग के चिह्न छोड़ता है, जैसे टकराते गैस-अणु या उत्सर्जित ऊष्मीय विकिरण, तब व्यतिकरण का लोप होता है। बड़ी, गर्म वस्तुएँ कभी फ्रिंज नहीं दिखातीं, इसका एक कारण यही है।

राशियाँ
$λ$	डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य	$m$	कण की पदार्थ-तरंग की तरंगदैर्घ्य, $h / p$ ; एनीमेशन के 50 eV इलेक्ट्रॉनों के लिए 0.17 nm।
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$	धीमे कण का द्रव्यमान गुणा वेग, $m v$ ; और फ़ोटॉन के लिए $E / c$ । अकेला यही डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य तय करता है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	कण का द्रव्यमान: इलेक्ट्रॉन का $9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ , न्यूट्रॉन का $1.675 \times 1 0^{- 27} kg$ ।
$E$	गतिज ऊर्जा	$J$	गति की ऊर्जा, $\frac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2 m)$ , जिसे प्रायः इलेक्ट्रॉनवोल्ट में दिया जाता है: $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ , जो इलेक्ट्रॉन को 1 V पार करने पर मिलती है।
$h$	प्लैंक नियतांक	$J \cdot s$	वह नियतांक जो क्वांटम प्रभावों का पैमाना तय करता है, SI की परिभाषा के अनुसार ठीक $6.62607015 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ।
$ℏ$	समानीत प्लैंक नियतांक	$J \cdot s$	$h / (2 π) \approx 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ , जब कलाएँ रेडियन में मापी जाती हैं तब का स्वाभाविक रूप: $p = ℏ k$ जहाँ $k = 2 π / λ$ ।
$d$	झिरी-अंतर	$m$	दोनों झिरियों के केंद्रों के बीच की दूरी; इलेक्ट्रॉनों के लिए आमतौर पर एक माइक्रोमीटर से कम।
$L$	झिरी से पर्दे की दूरी	$m$	झिरियों वाली दीवार से उस पर्दे तक की दूरी जो आगमन दर्ज करता है।
$Δ y$	फ्रिंज-अंतर	$m$	पर्दे पर पड़ोसी चमकीली फ्रिंज के बीच की दूरी, $λ L / d$ ।
$ψ$	प्रायिकता-आयाम		किसी बिंदु पर आगमन का सम्मिश्र आयाम; $∣ ψ ∣^{2}$ वहाँ किसी छोटे संसूचक पर एक गिनती की प्रायिकता है, इसलिए यहाँ यह एक शुद्ध संख्या है। $ψ_{1}$ और $ψ_{2}$ इसके हर झिरी से होकर जाने वाले भाग हैं।

क्विज़

शुरुआती इलेक्ट्रॉन एक-एक करके दो झिरियों से भेजे जाते हैं। एक अकेला इलेक्ट्रॉन पर्दे पर क्या बनाता है?
1. एक हल्का धारीदार प्रतिरूप
2. एक ही स्थान पर एक बिंदु
3. दो बिंदु, हर झिरी के पीछे एक
4. जब तक बहुत-से इलेक्ट्रॉन न पहुँचें, कुछ नहीं
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उत्तर: B. एक ही स्थान पर एक बिंदु
हर इलेक्ट्रॉन एक स्थान पर संसूचित होता है, कण की तरह। धारियाँ तभी दिखती हैं जब ऐसे बहुत-से बिंदु जमा हो जाते हैं।
शुरुआती हज़ारों इलेक्ट्रॉन एक-एक करके पहुँचने के बाद बिंदु कौन-सा प्रतिरूप बनाते हैं?
1. दो चमकीली पट्टियाँ, हर झिरी के पीछे एक
2. बिंदुओं का समान फैलाव
3. तरंगों की तरह व्यतिकरण करती चमकीली और अंधेरी धारियाँ
4. बीच में एक अकेला बिंदु
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उत्तर: C. तरंगों की तरह व्यतिकरण करती चमकीली और अंधेरी धारियाँ
बिंदु चमकीली धारियों में जमा होते हैं, जिनके बीच लगभग खाली अंतराल होते हैं: यह व्यतिकरण प्रतिरूप है, जो तरंग के दोनों झिरियों से गुजरने का चिह्न है।
शुरुआती एक संसूचक जोड़ा जाता है जो दिखाता है कि हर इलेक्ट्रॉन किस झिरी से गुजरा। धारियों का क्या होता है?
1. और तीखी हो जाती हैं
2. एक ओर खिसक जाती हैं
3. कुछ नहीं बदलता
4. लुप्त हो जाती हैं, एक चिकना धुंधला धब्बा रह जाता है
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उत्तर: D. लुप्त हो जाती हैं, एक चिकना धुंधला धब्बा रह जाता है
मार्ग जानने से व्यतिकरण नष्ट हो जाता है: इलेक्ट्रॉन तब ऐसे व्यवहार करते हैं जैसे हर एक केवल एक झिरी से गुजरा हो। बिंदु तब हर झिरी के अकेले प्रतिरूप को जोड़ देते हैं, जो मिलकर एक चिकना धब्बा बन जाते हैं।
मध्यम इलेक्ट्रॉन इतनी धीमी चाल से दोहरी झिरी से भेजे जाते हैं कि उपकरण में कभी एक से अधिक इलेक्ट्रॉन नहीं होता। फिर भी फ्रिंज बनती हैं। इससे क्या सिद्ध होता है?
1. हर इलेक्ट्रॉन की तरंग दोनों झिरियों से गुजरती है और स्वयं से व्यतिकरण करती है
2. इलेक्ट्रॉन पर्दे पर एक-दूसरे से व्यतिकरण करते हैं
3. झिरियाँ आवेशित हो जाती हैं और इलेक्ट्रॉनों को धारियों में मोड़ देती हैं
4. हर इलेक्ट्रॉन दो आधों में बँटकर, एक-एक झिरी से गुजरता है
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उत्तर: A. हर इलेक्ट्रॉन की तरंग दोनों झिरियों से गुजरती है और स्वयं से व्यतिकरण करती है
कोई दो इलेक्ट्रॉन कभी एक साथ उड़ान में नहीं होते, इसलिए वे एक-दूसरे से व्यतिकरण नहीं कर सकते। हर इलेक्ट्रॉन की अपनी तरंग दोनों झिरियों से गुजरती है, और उसका व्यतिकरण तय करता है कि वह इलेक्ट्रॉन कहाँ पहुँचने की सबसे अधिक संभावना रखता है; फिर भी वह हर बार एक पूरे कण के रूप में, एक ही बिंदु पर, संसूचित होता है।
मध्यम इलेक्ट्रॉनों के दोहरी झिरी प्रयोग में उनकी चाल बढ़ा दी जाती है। फ्रिंज-अंतर का क्या होता है?
1. यह बढ़ता है
2. यह घटता है
3. यह वही रहता है
4. फ्रिंज लुप्त हो जाती हैं
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उत्तर: B. यह घटता है
तेज़ इलेक्ट्रॉन का संवेग अधिक होता है, इसलिए λ = h/p छोटा होता है, और Δy = λ·L/d भी छोटा हो जाता है।
मध्यम हम कभी यह क्यों नहीं देखते कि फेंकी गई टेनिस गेंद दरवाज़े से होकर विवर्तित हो रही है?
1. बड़ी वस्तुओं की कोई तरंगदैर्घ्य नहीं होती
2. वह तरंग बनने के लिए बहुत धीमी चाल से चलती है
3. उसकी डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य द्वार के आकार की तुलना में बहुत ही छोटी है
4. गुरुत्वाकर्षण व्यतिकरण नष्ट कर देता है
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उत्तर: C. उसकी डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य द्वार के आकार की तुलना में बहुत ही छोटी है
हर गतिमान वस्तु की λ = h/p होती है, परंतु गेंद के लिए, क्वांटम पैमाने पर, p बहुत बड़ा है, इसलिए λ ≈ 10⁻³⁴ m है: कोई भी छिद्र इस आकार के आसपास भी नहीं है।
उन्नत दोहरी झिरी में |ψ|² = |ψ₁|² + |ψ₂|² + 2·Re(ψ₁*·ψ₂)। कौन-सा पद फ्रिंज उत्पन्न करता है?
1. |ψ₁|²
2. |ψ₂|²
3. |ψ₁|² + |ψ₂|²
4. 2·Re(ψ₁*·ψ₂)
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उत्तर: D. 2·Re(ψ₁*·ψ₂)
अंतर-पद दोनों मार्गों के कला-अंतर के साथ दोलन करता है। उसके बिना (जब मार्ग ज्ञात हो) केवल चिकना योग |ψ₁|² + |ψ₂|² बचता है।
उन्नत एक मार्ग-संसूचक जोड़ा जाता है, जिसकी दो अंतिम अवस्थाओं का वास्तविक अधिव्यापन ⟨D₁|D₂⟩ = 0.6 है, और दोनों झिरियों से आयाम समान हैं। फ्रिंज-दृश्यता V कितनी है?
1. 0.6
2. 0.36
3. 0.4
4. 0, क्योंकि कोई भी संसूचक फ्रिंज नष्ट कर देता है
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उत्तर: A. 0.6
संसूचक के साथ |ψ|² = |ψ₁|² + |ψ₂|² + 2·Re(ψ₁*·ψ₂·⟨D₁|D₂⟩) है, इसलिए समान आयामों के लिए अंतर-पद, और उसके साथ V, 0.6 से गुणित होता है। मार्ग-विभेद्यता D = √(1 − 0.6²) = 0.8 है, और V² + D² = 1: आंशिक मार्ग-सूचना फ्रिंज को केवल आंशिक रूप से मिटाती है।

$ψ_{1}$	झिरी 1 से आगमन का आयाम: लंबाई $A$ का तीर, जिसकी दिशा उसकी कला है।
$ψ_{2}$	झिरी 2 से आगमन का आयाम: लंबाई भी $A$ , जो $ψ_{1}$ से $δ$ घूमा हुआ है।
$ψ$	दोनों झिरियाँ खुली होने पर कुल आयाम: विकर्ण $ψ_{1} + ψ_{2}$ ।
$A$	दो तीरों में से हर एक की लंबाई (समान झिरियों के लिए)।
$δ$	दो आयामों का कला-अंतर: दोनों तीरों के बीच का कोण।	$rad$

$d$	दोनों झिरियों के बीच की दूरी।	$m$
$L$	प्लेट से पर्दे तक की दूरी।	$m$
$y$	$P$ की, दोनों झिरियों के मध्य से गुजरने वाली अक्ष से ऊँचाई।	$m$
$P$	पर्दे का वह बिंदु जहाँ दो आयाम जोड़े जाते हैं।
$θ$	दोनों झिरियों के मध्य से $P$ तक की रेखा और अक्ष के बीच का कोण।	$rad$
$r_{1}$	झिरी 1 से $P$ तक मार्ग की लंबाई।	$m$
$r_{2}$	झिरी 2 से $P$ तक मार्ग की लंबाई।	$m$
$r_{2} - r_{1}$	मार्ग 2 की अतिरिक्त लंबाई, चाप द्वारा $r_{1}$ अलग करने के बाद बची हुई; दूर के पर्दे के लिए लगभग $d sin θ$ ।	$m$

$n$	$Δ y /3$ चौड़ाई वाले खाने में गिरे इलेक्ट्रॉनों की संख्या।
$y$	पर्दे के साथ स्थिति, प्रतिरूप के केंद्र से मापी गई।	$m$
$∣ ψ ∣^{2}$	दोनों झिरियाँ खुली होने पर प्रायिकता-घनत्व (ठोस वक्र), प्रति-खाना गिनती में।
$∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2}$	मार्ग-सूचना वाला योग: वह प्रतिरूप जब हर इलेक्ट्रॉन की झिरी दर्ज हो (बिंदुकित वक्र), जो ठोस वक्र के लगभग समान क्षेत्र घेरता है।
$Δ y$	पड़ोसी चमकीली फ्रिंज के बीच की दूरी, $λ L / d$ ; एकल-झिरी गुणक $4Δ y$ पर पहली बार शून्य होता है।	$m$

$p$	फ़ोटॉन के बिखरने से पहले इलेक्ट्रॉन का संवेग।	$kg \cdot m/s$
$p^{'}$	धक्के के बाद का संवेग: लंबाई वही, पर एक छोटे कोण से घूमा हुआ।	$kg \cdot m/s$
$h / d$	पर्याप्त छोटी तरंगदैर्घ्य वाले फ़ोटॉन से अधिकतम पार्श्व धक्का, जो दोनों झिरियों को पहचान सके।	$kg \cdot m/s$
$λ / d$	धक्के से इलेक्ट्रॉन के मार्ग का अधिकतम घूर्णन कोण; पड़ोसी चमकीली फ्रिंज के बीच का कोण भी।	$rad$
$Δ y$	प्रतिरूप के केंद्र से अगली चमकीली फ्रिंज तक पर्दे पर दूरी, $λ L / d$ ।	$m$