Деление, синтез и E = mc²

Начальный

Шаг 1. В центре каждого атома находится крошечное ядро — плотный комок протонов и нейтронов. Число протонов определяет элемент: 92 — это уран, 1 — водород. Химические реакции затрагивают только внешние электроны; чтобы изменить ядро, нужна ядерная реакция.

Шаг 2. Деление — это раскалывание. В анимации синий нейтрон влетает в золотистое ядро урана-235. Ядро поглощает его, дрожит и раскалывается на два ядра поменьше — со вспышкой энергии и двумя-тремя новыми нейтронами. Осколки разлетаются в противоположные стороны.

Шаг 3. Каждый новый нейтрон может расколоть ещё одно ядро урана: это цепная реакция. Проследите, как ветвятся пунктирные пути: 1, 2, 4… На АЭС регулирующие стержни поглощают лишние нейтроны, чтобы каждое деление вызывало только одно следующее.

Шаг 4. Синтез — это слияние. Справа два ядра тяжёлого водорода несутся навстречу друг другу. Оба заряжены положительно, поэтому отталкиваются и тормозят. Только столкновение на огромной скорости, при миллионах градусов, позволяет им слиться в гелий, выбросив быстрый нейтрон. Солнце тоже светит за счёт синтеза: оно превращает обычный водород в гелий.

Шаг 5. Энергия не берётся из ничего — она лишь меняет форму. Откуда же она? Взвесьте всё очень точно: после любой из этих реакций частицы оказываются чуть легче. Недостающая масса превратилась в энергию: $E=m{c}^2$. Скорость света $c$ огромна, поэтому крупица массы даёт очень много энергии: при полном делении килограмма урана-235 выделяется столько же тепла, сколько при сгорании примерно 2700 тонн угля.

Проверьте себя: ядро гелия вместе с нейтроном весят больше или меньше, чем два ядра тяжёлого водорода, из которых они получились? (Меньше: разница выделилась в виде энергии.)

Средний

Что мы измеряем: ядра, массы и энергии

Ядро описывают двумя целыми числами: числом протонов $Z$, которое определяет элемент, и числом нейтронов $N$. Их сумма $A=Z+N$, массовое число, равна числу нуклонов. В ядре урана-235, ${}^{235}\mathrm{U}$, число протонов $Z=92$, а число нейтронов $N=143$. У изотопов одинаковое $Z$, но разное $N$: дейтерий, ${}^2\mathrm{H}$, и тритий, ${}^3\mathrm{H}$, — это водород с одним и с двумя нейтронами.

Массы ядер выражают в атомных единицах массы, $1\text{а. е. м.}=1,6605\times 10^{-27}\mathrm{кг}$ — это одна двенадцатая массы атома углерода-12. Энергии ядер выражают в мегаэлектронвольтах, $1\mathrm{МэВ}=1,602\times 10^{-13}\mathrm{Дж}$: это миллион электронвольт, тогда как на химическую связь приходится лишь несколько электронвольт. В таблицах приведены массы нейтральных атомов; в рассматриваемых реакциях электроны сокращаются.

Дефект массы: откуда берётся энергия

Откуда берётся энергия реакции? Отвечает специальная теория относительности: покоящееся тело обладает энергией покоя
$E=m{c}^2$
Отсюда следует, что система, отдавшая энергию, становится легче на эту энергию, делённую на $c^2$. Поскольку $c^2=8,99\times 10^{16}\mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$, ничтожная потеря массы уносит огромную энергию.

Дефект массы $\Delta m$ — это суммарная масса исходных частиц минус суммарная масса продуктов, а выделившаяся энергия, величина $Q$, равна
$Q=\Delta m{c}^2,1\text{а. е. м.}\cdot c^2=931,5\mathrm{МэВ}$
Отрицательное $Q$ означает, что для протекания реакции нужна энергия.

Ничто не уничтожается: нуклоны и заряд сохраняются ($1+235=141+92+3$ и $92=56+36$ при делении), но нуклоны оказываются связаны прочнее. Энергия, которая нужна, чтобы разобрать ядро на свободные протоны и нейтроны, называется энергией связи; в расчёте на один нуклон она растёт от 1,1 МэВ у дейтерия до примерно 8,8 МэВ около железа-56, а затем снижается до 7,6 МэВ у урана. Деление и синтез сдвигают нуклоны к этому максимуму, и избыток связи уходит в виде энергии.

Рабочие уравнения

Помимо $Q=\Delta m{c}^2$, основную работу выполняют ещё четыре соотношения: две реакции из анимации, рост цепной реакции и кинетическая энергия тела массой $m$ с импульсом $p$:

• $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n+173\mathrm{МэВ}$
• ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n+17,6\mathrm{МэВ}$
• $N_g=N_0{k}^g$
• $K=\frac{p^2}{2m}$

Чтобы найти энергию реакции, уравняйте её (одинаковые массовые числа и заряды в обеих частях), вычтите суммарные массы и умножьте на 931,5 МэВ на а. е. м. Чтобы узнать, кто эту энергию уносит, используйте импульс: если исходные частицы почти покоились, у продуктов импульсы равны по модулю и противоположны по направлению, и так как $K=p^2/(2m)$, более лёгкий продукт получает больше.

Пример: реакции из анимации

Начнём с деления. Возьмём массы атомов: 235,0439 а. е. м. для урана-235, 140,9144 а. е. м. для бария-141, 91,9262 а. е. м. для криптона-92 и 1,0087 а. е. м. для нейтрона:
$m_{\mathrm{до}}=235,0439+1,0087=236,0526\text{а. е. м.}$
$m_{\mathrm{после}}=140,9144+91,9262+3\cdot 1,0087=235,8667\text{а. е. м.}$
$\Delta m=236,0526-235,8667\approx 0,186\text{а. е. м.},Q\approx 0,186\cdot 931,5\approx 173\mathrm{МэВ}$

Именно эти значения $\Delta m$ и $Q$ стоят на подписях при первом делении. Затем счётчик делений доходит до 3 и до 7 (ненадолго задерживаясь на 5), а индикатор энергии — до 520 и 1213 МэВ: по одному $Q$ на каждое деление. 173 МэВ — примерно в сорок миллионов раз больше, чем 4 эВ, которые даёт сгорание атома углерода.

Около 160 МэВ становится кинетической энергией двух осколков. Остальные 13 МэВ достаются трём нейтронам (примерно 6 МэВ) и мгновенным гамма-квантам (примерно 7 МэВ). Ядро урана практически покоилось, поэтому осколки разлетаются с равными по модулю и противоположными импульсами, и более лёгкий криптон получает большую долю: $160\cdot 141/233\approx 97\mathrm{МэВ}$ против 63 МэВ у бария. Их скорости, $0,048c$ и $0,031c$, отличаются в $141/92\approx 1,5$ раза — это и показывают две зелёные стрелки $v$. Окружающее топливо вскоре останавливает осколки, и их энергия превращается в тепло.

Синтез считается так же, но дефект массы здесь в десять раз меньше, поэтому нужно больше знаков после запятой: 2,014102 а. е. м. для дейтерия, 3,016049 а. е. м. для трития, 4,002603 а. е. м. для гелия-4 и 1,008665 а. е. м. для нейтрона.
$\Delta m=5,030151-5,011268=0,018883\text{а. е. м.},Q=0,018883\cdot 931,5\approx 17,6\mathrm{МэВ}$

И здесь импульсы равны по модулю и противоположны по направлению. Нейтрон, который в четыре раза легче ядра гелия, летит в четыре раза быстрее и уносит четыре пятых энергии, $\frac{4}{5}\cdot 17,6\approx 14,1\mathrm{МэВ}$, против 3,5 МэВ у гелия: это две подписи энергии рядом с продуктами.

Пример: год на атомной станции

Большой реактор вырабатывает 3000 МВт тепловой мощности, которую турбины превращают примерно в 1000 МВт электрической. Сколько урана-235 он делит за год и какая масса при этом исчезает? В году $3,156\times 10^7\mathrm{с}$, поэтому
$E=Pt=3,0\times 10^9\mathrm{Вт}\cdot 3,156\times 10^7\mathrm{с}=9,47\times 10^{16}\mathrm{Дж}$
Считая около 200 МэВ, то есть $3,20\times 10^{-11}\mathrm{Дж}$, на одно деление (с учётом последующих распадов осколков), получаем число делений
$N_{\mathrm{дел}}=\frac{9,47\times 10^{16}\mathrm{Дж}}{3,20\times 10^{-11}\mathrm{Дж}}=2,96\times 10^{27}$

Это $2,96\times 10^{27}/(6,02\times 10^{23}\mathrm{мол}{\mathrm{ь}}^{-1})=4,91\times 10^3\mathrm{моль}$ урана-235, или $4,91\times 10^3\mathrm{моль}\cdot 0,235\mathrm{кг}/\mathrm{моль}\approx 1150\mathrm{кг}$. Исчезающая масса намного меньше, $\Delta m=E/c^2\approx 1,05\mathrm{кг}$, — около тысячной доли разделившегося урана.

Угольная станция, дающая столько же тепла, при 30 МДж на килограмм сожгла бы более трёх миллионов тонн угля, но потеряла бы те же 1,05 кг массы.

Как читать стрелки и счётчики

Каждая зелёная стрелка — это скорость. Поскольку в начале полный импульс почти равен нулю, два продукта движутся в противоположные стороны со скоростями, обратно пропорциональными их массам: 141 к 92 у криптона и бария, 4 к 1 у нейтрона и ядра гелия. В части анимации с синтезом налетающие стрелки относятся как 3 : 2: более лёгкое ядро дейтерия должно двигаться быстрее, чтобы его импульс сравнялся с импульсом ядра трития. Обе стрелки укорачиваются, потому что отталкивание положительных ядер их тормозит.

Пунктирные линии — пути нейтронов. Каждое из первых делений освобождает три нейтрона, два из которых раскалывают новые ядра, поэтому каждое деление вызывает $k=2$ новых. В поколении $g$ тогда $N_g=N_0{k}^g=2^g$ делений, если начать с $N_0=1$: 1, 2 и 4. Бомба — это цепная реакция с $k>1$ в плотном металле, а поколения в ней следуют друг за другом примерно через десять наносекунд. В энергетическом реакторе поддерживают $k=1$: регулирующие стержни из бора или кадмия поглощают лишние нейтроны, а замедлитель, например вода, тормозит остальные, потому что медленные нейтроны делят уран-235 гораздо охотнее.

Частые ошибки

• Нуклоны не уничтожаются. Массовое число сходится, $1+235=141+92+3$; масса уменьшается потому, что осколки связаны прочнее — примерно на 0,8 МэВ на нуклон.
• Равенство $E=m{c}^2$ — не особенность ядер. При горении угля масса тоже убывает, примерно на $3\times 10^{-10}$ своей величины; при делении — примерно на тысячную долю, при D–T-синтезе — на четыре тысячных.
• Деление и синтез не отменяют друг друга. Обе реакции сдвигают нуклоны к максимуму энергии связи около железа; деление железа или синтез за его пределами потребовали бы энергии.
• Учитывайте каждую частицу. Если в уравнении деления забыть три вылетающих нейтрона, получится $\Delta m=3,21\text{а. е. м.}$ и почти 3000 МэВ — в семнадцать раз больше правильного.
• Следите за единицами. Умножайте массу в а. е. м. на 931,5 МэВ или сначала переведите её в килограммы: $0,0189\cdot 1,66\times 10^{-27}\mathrm{кг}\cdot 8,99\times 10^{16}{\mathrm{м}}^2/{\mathrm{с}}^2=2,82\times 10^{-12}\mathrm{Дж}$ — снова 17,6 МэВ.

Где это встречается

Около десятой части электроэнергии в мире дают реакторы деления. Солнце сливает водород в гелий и каждую секунду превращает в свет около 4,3 миллиона тонн массы; термоядерные установки стремятся делать то же самое на Земле на D–T-топливе. Осколки деления радиоактивны, и это возвращает нас к уроку «Радиоактивность и период полураспада», а энергия покоя $m{c}^2$ берётся из урока «Специальная теория относительности». Дальше урок «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» объясняет, как ядра проскальзывают сквозь кулоновский барьер, а урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» показывает, что удерживает протоны и нейтроны вместе.

Продвинутый

Масса как запасённая энергия

Обозначения

$E$	Энергия; ось направлена к более высоким энергиям.	$\mathrm{Дж}$
$Z{m}_p{c}^2$	Энергия покоя $Z$ протонов реакции, находящихся далеко друг от друга и покоящихся.	$\mathrm{Дж}$
$N{m}_n{c}^2$	Энергия покоя $N$ нейтронов реакции, находящихся далеко друг от друга и покоящихся.	$\mathrm{Дж}$
$E_i$	Энергия покоя исходных частиц: ядра ${}^{235}\mathrm{U}$ и нейтрона.	$\mathrm{Дж}$
$E_f$	Энергия покоя продуктов: ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ и трёх нейтронов.	$\mathrm{Дж}$
$B_i$	Энергия связи исходных частиц, $\sum B(\text{до})$: на сколько их уровень лежит ниже свободных нуклонов.	$\mathrm{Дж}$
$B_f$	Энергия связи продуктов, $\sum B(\text{после})$: на сколько их уровень лежит ниже свободных нуклонов.	$\mathrm{Дж}$
$Q$	Энергия, выделяющаяся в реакции: $Q=E_i-E_f=B_f-B_i$.	$\mathrm{Дж}$
${}^{235}U$	Ядро урана-235, с 92 протонами и 143 нейтронами.
${}^{141}Ba$	Ядро бария-141, осколок деления.
${}^{92}Kr$	Ядро криптона-92, второй осколок.
$n$	Нейтрон (синий); $3n$ — три свободных нейтрона.

И деление, и синтез выделяют энергию, перестраивая нуклоны, а сколько энергии они выделят, можно узнать по одним лишь массам. Почему так, показывает рисунок 1. Это энергетический баланс деления из анимации, $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n$, нарисованный в масштабе.

Начнём с верхней линии. Возьмём все $Z=92$ протона и $N=144$ нейтрона, участвующие в реакции (143 нейтрона урана и один налетающий), и представим, что они находятся далеко друг от друга и покоятся. Их энергия тогда равна просто энергии покоя, $Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2$, где $m_p$ и $m_n$ — массы протона и нейтрона.

Теперь пусть нуклоны соберутся в ядра. Сильное взаимодействие притягивает их друг к другу, поэтому энергия уменьшается. Величина этого уменьшения — энергия связи $B$: энергия, которую пришлось бы затратить, чтобы снова разнести нуклоны. Слева исходные частицы, ядро ${}^{235}\mathrm{U}$ и нейтрон $n$, находятся на уровне $E_i$, на глубине $B_i$ ниже верхней линии. Справа продукты, ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ и три свободных нейтрона, находятся на уровне $E_f$, на глубине $B_f$ ниже неё. Короткая ступенька между двумя нижними уровнями — это энергия, переданная окружающей среде:
$Q=E_i-E_f=B_f-B_i$
Обратите внимание, как она мала: около одной десятой любой из глубин. До деления нуклоны связаны почти так же прочно, как после него; деление лишь немного усиливает связь.

Почему эта энергия должна проявляться как изменение массы? Представьте закрытый ящик с идеально теплоизолирующими стенками, внутри которого находятся ядро урана-235 и медленный нейтрон, и поставьте его на весы. Пусть деление произойдёт внутри. Осколки разлетаются, и их кинетическая энергия превращается в тепло стенок, но из ящика ничего не выходит, поэтому его полная энергия не меняется, а вместе с ней и масса. Теперь откройте окошко и выпустите тепло: ящик станет легче ровно на $Q/c^2$. Недостающая масса, дефект массы, не уничтожена; это масса, которую унесла выделившаяся энергия.

Общее правило такое: масса любого составного тела равна его полной внутренней энергии, делённой на $c^2$, то есть энергиям покоя его частей плюс их кинетическая и потенциальная энергии. Внутри ядра сильное взаимодействие делает потенциальную энергию большой и отрицательной, поэтому ядро весит меньше свободных нуклонов. Этот недостаток массы, умноженный на $c^2$, и есть энергия связи, глубина уровня ниже верхней линии на рисунке 1:
$B=(Z{m}_p+N{m}_n-M)c^2$
Здесь $M$ — масса ядра. В таблицах приводят массы нейтральных атомов, вместе с электронами; тогда вместо $m_p$ берут массу атома водорода $m_{\mathrm{H}}$, чтобы массы электронов сократились.

Теперь подведём баланс. Перепишем определение в виде $M{c}^2=Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2-B$ для каждого ядра и сложим всё до реакции и после неё. При делении и при синтезе дейтерия с тритием (D–T-синтез, ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n$) число протонов и число нейтронов в сумме сохраняются по отдельности. Значит, энергии покоя нуклонов с обеих сторон одинаковы и сокращаются; свободный нейтрон просто считается ядром с $B=0$. Остаются только энергии связи:
$Q=\sum B(\text{после})-\sum B(\text{до})$
В обозначениях рисунка 1 имеем $B_i=\sum B(\text{до})$ и $B_f=\sum B(\text{после})$, так что это то же самое $Q=B_f-B_i$. Реакция выделяет энергию, когда её продукты связаны прочнее, чем исходные частицы, а сколько именно, говорит таблица масс — какими бы ни были подробности сил и способ распада ядра.

Как читать кривую энергии связи

Обозначения

$A$	Массовое число: число нуклонов в ядре.
$B/A$	Удельная энергия связи: полная энергия связи $B$, делённая на $A$, то есть средняя связь одного нуклона. Пунктирная линия отмечает $8\mathrm{МэВ}$.	$\mathrm{Дж}$
${}^{2}H$	Дейтерий, $B/A=1,112\mathrm{МэВ}$.
${}^{3}H$	Тритий, $B/A=2,827\mathrm{МэВ}$.
${}^{4}He$	Гелий-4, $B/A=7,074\mathrm{МэВ}$: продукт D–T-синтеза.
${}^{56}Fe$	Железо-56, $B/A=8,790\mathrm{МэВ}$, вблизи вершины кривой.
${}^{92}Kr$	Криптон-92, $B/A=8,513\mathrm{МэВ}$: осколок деления.
${}^{141}Ba$	Барий-141, $B/A=8,326\mathrm{МэВ}$: второй осколок.
${}^{235}U$	Уран-235, $B/A=7,591\mathrm{МэВ}$: делящееся ядро.

Кривая энергии связи показывает, насколько прочно связано каждое ядро, а значит, какие реакции вообще могут выделять энергию. На рисунке 2 удельная энергия связи, то есть энергия связи на один нуклон $B/A$, показана в зависимости от массового числа $A$ — числа нуклонов; ось логарифмическая, чтобы поместились и лёгкие, и тяжёлые ядра. Точки — измеренные ядра. Фиолетовая кривая — формула капельной модели из следующего раздела, построенная начиная с $A=10$ (на графике экспертного уровня анимации тот же рисунок, но кривая золотая).

Читайте график слева направо. Кривая круто поднимается через самые лёгкие ядра: 1,112 МэВ на нуклон у дейтерия ${}^2\mathrm{H}$, 2,827 МэВ у трития ${}^3\mathrm{H}$ и 7,074 МэВ у гелия-4. Максимум, 8,790 МэВ, приходится на область железа-56, ${}^{56}\mathrm{Fe}$, а затем кривая медленно спадает до 7,591 МэВ у урана-235. Любая реакция, поднимающая нуклоны по кривой, выделяет энергию. На крутом левом склоне это значит соединять лёгкие ядра: синтез. На пологом правом склоне — расщеплять тяжёлые: деление.

Стрелки на рисунке 2 — это две реакции из анимации, маркеры которых так же поднимаются по кривой. Стрелки синтеза идут от ${}^2\mathrm{H}$ и ${}^3\mathrm{H}$ вверх к ${}^4\mathrm{He}$. Стрелки деления идут от ${}^{235}\mathrm{U}$ к двум его осколкам, криптону-92 (8,513 МэВ) и барию-141 (8,326 МэВ), оба выше урана. Поскольку $B/A$, умноженное на $A$, есть энергия связи $B$ ядра, правило $Q=\sum B(\text{после})-\sum B(\text{до})$ даёт обе энергии без единой массы; свободные нейтроны считаются нулём:
$Q_{\mathrm{синт}}=4\cdot 7,074-2\cdot 1,112-3\cdot 2,827=17,59\mathrm{МэВ}$
$Q_{\mathrm{дел}}=141\cdot 8,326+92\cdot 8,513-235\cdot 7,591=173,3\mathrm{МэВ}$

На один нуклон эти два процесса сильно различаются. D–T-синтез выделяет около 3,5 МэВ на каждый из своих пяти нуклонов, за один крутой подъём. Деление даёт на нуклон гораздо меньше. Из 235 нуклонов урана 233 остаются связанными в осколках, каждый примерно на 0,81 МэВ прочнее, чем раньше (средняя энергия связи на нуклон у осколков, 8,400 МэВ, минус 7,591 МэВ). Остальные два уходят свободными нейтронами и теряют каждый свои 7,591 МэВ энергии связи. Баланс, $233\cdot 0,809-2\cdot 7,591\approx 173\mathrm{МэВ}$, — то же самое $Q$: большой итог деления получается из большого числа нуклонов, а не из большого выигрыша на каждый.

Железо задаёт предел для обоих процессов. Если сливать ядра тяжелее железа или делить ядра легче железа, нуклоны сдвигаются вниз по склону, к менее прочной связи, и реакция не выделяет, а поглощает энергию.

Почему у кривой есть максимум: капельная модель

Форма кривой возникает из борьбы двух сил: ядерной силы, связывающей каждый нуклон с его соседями, и электрического отталкивания протонов. Простая модель, в которой ядро — капля заряженной жидкости, учитывает обе и даёт кривую рисунка 2.

Начнём с ядерной силы. Она велика, но близкодействующая: действует лишь на расстояниях около $10^{-15}\mathrm{м}$ — и насыщается: каждый нуклон связан только с ближайшими соседями, сколько бы других ни было вокруг. Отсюда два следствия. Во-первых, нуклоны упаковываются одинаково в любом ядре, поэтому плотность у всех ядер примерно одна и та же; объём растёт пропорционально $A$, а радиус равен $R=r_0{A}^{1/3}$ при $r_0\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{м}$. Во-вторых, связь ведёт себя как в жидкости. Каждый нуклон внутри вносит одинаковый вклад, поэтому энергия связи растёт с объёмом, как $a_{V}A$. У нуклонов на поверхности соседей меньше, поэтому вычитается член, пропорциональный площади поверхности, $a_S{A}^{2/3}$. В лёгких ядрах значительная доля нуклонов лежит на поверхности: потому кривая слева так круто поднимается.

Дальше — отталкивание. Шар радиуса $R$ с равномерно распределённым по нему зарядом $Ze$ запасает электрическую энергию $\frac{3}{5}{Z}^2{e}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$. Подставив $R=r_0{A}^{1/3}$, получаем член $a_C{Z}^2/A^{1/3}$ с коэффициентом
$a_C=\frac{3}{5}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\approx 0,72\mathrm{МэВ}$

Наконец, принцип запрета Паули: никакие два нейтрона и никакие два протона не могут находиться в одном состоянии, поэтому каждый сорт частиц заполняет свою лестницу энергетических уровней. Ядро, в котором нейтронов больше, чем протонов, вынуждено размещать лишние нейтроны на более высоких ступенях, а это требует энергии. Этот член асимметрии обращается в нуль при $N=Z$. Вместе четыре члена дают
$B=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\frac{a_C{Z}^2}{A^{1/3}}-\frac{a_A(N-Z{)}^2}{A}$
где $a_V=15,75$, $a_S=17,8$, $a_C=0,711$ и $a_A=23,7\mathrm{МэВ}$ подогнаны по измеренным массам; именно эти значения лежат в основе кривой рисунка 2. Подогнанное значение $a_C$ хорошо согласуется с оценкой выше.

Теперь о максимуме. Сам по себе объёмный член даёт каждому нуклону одну и ту же связь и сделал бы $B/A$ постоянной. Поверхностный член сильнее всего снижает $B/A$ в лёгких ядрах. Кулоновский — в тяжёлых: поскольку $Z$ примерно пропорционально $A$, он растёт как $A^{5/3}$, быстрее объёмного члена. В уране-235 он стоит 975 МэВ из полной энергии связи 1784 МэВ. Между этими двумя потерями и лежит максимум около железа. Два ядра поменьше удерживают те же 92 протона, затрачивая в сумме меньше электрической энергии, потому что каждый протон теперь отталкивается только протонами своего осколка; поверхностная энергия немного растёт, но выигрыш в кулоновской энергии больше, и деление высвобождает разницу.

Та же борьба объясняет, почему у тяжёлых ядер избыток нейтронов. Кулоновский член выгоден при меньшем числе протонов, член асимметрии — при $N=Z$, и с ростом ядра баланс смещается в сторону нейтронов: в уране-235 143 нейтрона на 92 протона. Осколки наследуют этот избыток. У бария-141 85 нейтронов, тогда как у самого тяжёлого стабильного изотопа, бария-138, их лишь 82; из-за лишних нейтронов осколки радиоактивны.

Барьер деления

Обозначения

$\epsilon$	Вытянутость: насколько капля растянута из шара в вытянутую форму того же объёма.
$E$	Энергия ядра при данной форме, отсчитанная от энергии шара.	$\mathrm{Дж}$
$E_B$	Высота барьера деления над шаром: около 6 МэВ для урана.	$\mathrm{Дж}$
${}^{236}{U}^{\ast }$	Энергия возбуждения ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$, образованного ${}^{235}\mathrm{U}$ и медленным нейтроном: 6,5 МэВ, выше барьера.	$\mathrm{Дж}$
${}^{239}{U}^{\ast }$	Энергия возбуждения ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$, образованного ${}^{238}\mathrm{U}$ и медленным нейтроном: 4,8 МэВ, ниже барьера.	$\mathrm{Дж}$

Кривая говорит, что уран выделил бы энергию, разделившись, так почему же ядро урана не делится само? Ответ — на рисунке 3. На нём показана энергия $E$ ядра, отсчитанная от энергии шара, в зависимости от его вытянутости $\epsilon$ — малого числа, которое показывает, насколько капля растянута из шара в вытянутую форму того же объёма. Формы под осью — шар, растянутая капля и капля перед разрывом.

При растяжении капли меняются два члена капельной модели. Поверхность растёт, поэтому поверхностная энергия $E_S$ увеличивается на $\frac{2}{5}{\epsilon }^2{E}_S$. Протоны в среднем отдаляются друг от друга, поэтому кулоновская энергия $E_C$ уменьшается на $\frac{1}{5}{\epsilon }^2{E}_C$. Итоговое изменение, $(\frac{2}{5}{E}_S-\frac{1}{5}{E}_C){\epsilon }^2$, положительно, пока $E_C<2E_S$: тогда кривая от шара идёт вверх, и небольшое растяжение возвращается назад. По капельной модели $E_C/E_S=(a_C/a_S)Z^2/A$, поэтому условие записывается как $Z^2/A<2a_S/a_C\approx 50$.

Уран, у которого $Z^2/A\approx 36$, это условие выполняет: он лежит в ямке слева на рисунке 3. Чтобы разделиться, его сначала нужно растянуть через горб — барьер деления, высота которого $E_B$ около 6 МэВ. За вершиной кулоновская энергия берёт верх, и энергия неуклонно падает, пока ядро образует шейку и разрывается надвое: это стрелка, идущая вниз справа.

Откуда берётся энергия, чтобы преодолеть барьер? Захваченный нейтрон приносит в ядро свою энергию связи в виде энергии возбуждения, и две синие стрелки на рисунке 3 показывают, сколько именно. Уран-235 и медленный нейтрон образуют ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$ (звёздочка означает возбуждённое ядро) с энергией возбуждения 6,5 МэВ, больше барьера: его стрелка перелетает через горб, и ядро делится. Это и есть короткая дрожь ядра в анимации. Уран-238 и медленный нейтрон образуют ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$ всего с 4,8 МэВ: его стрелка упирается в стенку горба и останавливается. Разница — в спаривании. Нуклоны связаны прочнее, когда образуют пары; нейтрон, добавленный к урану-235, завершает пару, а нейтрон, добавленный к урану-238, остаётся одиноким. Чтобы разделить уран-238, налетающий нейтрон должен принести недостающую энергию в виде кинетической, около 1 МэВ.

Поэтому реакторы работают на редком изотопе, уране-235, которого в природном уране всего 0,7 %: он делится нейтронами любой энергии. Медленные нейтроны он захватывает гораздо охотнее быстрых, поэтому в реакторах нейтроны замедляют.

Цепная реакция и запаздывающие нейтроны

При каждом делении освобождаются два или три нейтрона, в реакции из анимации — три, и они могут делить другие ядра. Коэффициент размножения $k$ — это среднее число нейтронов одного деления, которые вызывают следующее деление. Через $g$ поколений $N_0$ нейтронов превращаются в $N_g=N_0{k}^g$. При $k<1$ цепь затухает, при $k=1$ идёт ровно, при $k>1$ нарастает. Реактор работает при $k=1$.

Как быстро нарастает цепь, зависит от времени между поколениями. Если бы каждый нейтрон вылетал в момент деления (мгновенный нейтрон), поколение длилось бы около $10^{-4}\mathrm{с}$, то есть $10^4$ поколений в секунду. Тогда даже $k=1,001$ умножило бы мощность за одну секунду на $1,001^{10^4}\approx 2\times 10^4$ — слишком быстро для любого механического управления.

Управление держится на запаздывающих нейтронах. Около 0,65 % нейтронов деления вылетают не в момент разрыва, а спустя секунды, из осколков при их распаде. Ожидание их растягивает среднее поколение примерно до 0,1 с, и то же $k=1,001$ увеличивает мощность лишь примерно на 1 % в секунду — достаточно медленно, чтобы успевали двигаться регулирующие стержни. Так получается, только пока цепи нужны запаздывающие нейтроны. Выше $k\approx 1,0065$ цепь растёт уже на одних мгновенных нейтронах, и быстрое размножение возвращается, поэтому реактор всегда должен оставаться ниже этого значения.

Синтез: кулоновский барьер и туннелирование

Обозначения

$r$	Расстояние между центрами двух ядер.	$\mathrm{м}$
$U$	Потенциальная энергия пары: электрическое отталкивание при $r>r_n$, ядерное притяжение внутри.	$\mathrm{Дж}$
$U_C$	Высота кулоновского холма при контакте: около 0,4 МэВ.	$\mathrm{Дж}$
$E$	Энергия столкновения пары: 10 кэВ в примере из текста.	$\mathrm{Дж}$
$r_n$	Расстояние контакта, на котором вступают в действие ядерные силы: около 3,5 фм.	$\mathrm{м}$
$r_t$	Точка поворота, где $U=E$: около 144 фм для 10 кэВ.	$\mathrm{м}$
$P$	Вероятность того, что пара туннелирует сквозь барьер от $r_t$ до $r_n$.

При синтезе трудность обратная. Соединяемые ядра оба положительны, поэтому отталкиваются, а ядерные силы схватывают их только при касании. Препятствие показано на рисунке 4. На нём потенциальная энергия $U$ пары дейтерий–тритий в зависимости от расстояния $r$ между их центрами. Вдали друг от друга $U$ — это их электрическое отталкивание, $e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$: красная кривая, поднимающаяся влево. На расстоянии контакта $r_n$, около 3,5 фм, вступают в действие ядерные силы, и пара проваливается в глубокую ядерную яму внизу слева. Вершина красного холма, при $r_n$, — кулоновский барьер $U_C$. При $e^2/(4\pi {\epsilon }_0)=1,44\mathrm{МэВ}\mathrm{фм}$
$U_C=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n}=\frac{1,44\mathrm{МэВ}\mathrm{фм}}{3,5\mathrm{фм}}\approx 0,4\mathrm{МэВ}$

Теперь проследим за парой, которая приближается справа с энергией столкновения $E$ (фиолетовая стрелка). С классической точки зрения она поднимается на холм, пока вся её кинетическая энергия не станет потенциальной, то есть там, где $U=E$; это точка поворота $r_t$, где пара останавливается и поворачивает назад. В плазме при $1,2\times 10^8\mathrm{К}$ тепловая энергия равна $k_{\mathrm{B}}T=10\mathrm{кэВ}$. Пара, летящая лоб в лоб с энергией 10 кэВ, поворачивает назад при $r_t=1,44\mathrm{МэВ}\mathrm{фм}/0,010\mathrm{МэВ}=144\mathrm{фм}$, примерно в 40 раз дальше, чем $r_n$. Классически она никогда не сольётся.

Квантовая механика это меняет. Ядро ещё и ведёт себя как волна, а волна может просачиваться в область, куда частица классически попасть не может. Это туннелирование: пунктирная стрелка на рисунке 4 от $r_t$ до $r_n$, которую пара преодолевает с вероятностью $P$. В анимации это шаг с подписью «туннелирование», где замедлившиеся ядра перескакивают последний участок. Для D–T при энергии столкновения $E$
$P\approx e^{-\sqrt{E_G/E}}$
где энергия Гамова $E_G\approx 1,2\mathrm{МэВ}$ — константа, определяемая зарядами и массами пары. $P$ очень мала, но круто растёт с энергией: $2\times 10^{-5}$ при 10 кэВ, $2\times 10^{-3}$ при 30 кэВ.

Поэтому конкурируют два эффекта. В плазме быстрые ядра редки, а их число быстро убывает с энергией; медленных ядер много, но туннелируют они почти никогда. Произведение этих двух величин имеет максимум значительно выше тепловой энергии, поэтому в плазме при 10 кэВ большинство актов синтеза происходит у немногих пар с энергиями около 30 кэВ.

Термоядерная плазма отдаёт больше энергии, чем теряет, только если она достаточно плотная, достаточно горячая и удерживается достаточно долго. Условие накладывается на произведение плотности $n$, температуры $T$ и времени удержания $\tau$: $nT\tau$ должно достигать примерно $3\times 10^{21}\mathrm{кэВ}\cdot \mathrm{с}/{\mathrm{м}}^3$, например $10^{20}$ ионов в кубическом метре при 10 кэВ в течение 3 с.

Задача: что разгоняет осколки

Задача. При делении из анимации два осколка уносят около 160 МэВ кинетической энергии, большую часть из 173 МэВ; остальное берут нейтроны и гамма-кванты. Какая сила даёт эту энергию, на каком расстоянии друг от друга находятся осколки в момент разделения и как они делят энергию между собой?

Сила должна действовать на расстояниях, много бо́льших радиуса действия ядерных сил, значит, это электрическое отталкивание между 56 протонами бария и 36 протонами криптона. Представим осколки как два заряда, которые начинают с покоя, когда расстояние между их центрами равно $d$. Пока они разлетаются, их электрическая потенциальная энергия целиком переходит в кинетическую:
$K_{\mathrm{сум}}=\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}d}=\frac{56\cdot 36\cdot 1,44\mathrm{МэВ}\mathrm{фм}}{d}=\frac{2903\mathrm{МэВ}\mathrm{фм}}{d}$

Шаг 1, расстояние. Если бы осколки были соприкасающимися шарами с радиусами $r_0{A}^{1/3}=6,2$ и $5,4\mathrm{фм}$, то $d=11,7\mathrm{фм}$, и формула дала бы около 250 МэВ — больше всего $Q$. Реальным 160 МэВ соответствует большее начальное расстояние, $d=2903/160=18,1\mathrm{фм}$. Значит, в момент разделения осколки — не шары, а вытянутые формы, соединённые тонкой шейкой, и их центры примерно на 6 фм дальше друг от друга, чем у соприкасающихся шаров. Энергия деформации не пропадает: она нагревает осколки, и они остывают, испуская нейтроны.

Шаг 2, распределение. Делящееся ядро почти покоится, поэтому осколки разлетаются с равными и противоположными импульсами. При $K=p^2/(2m)$ и одинаковом $p$ кинетическая энергия обратно пропорциональна массе, так что более лёгкий осколок получает большую долю: $K_{\mathrm{Kr}}=160\cdot 141/233=97\mathrm{МэВ}$ и $K_{\mathrm{Ba}}=63\mathrm{МэВ}$. Импульс у обоих одинаков, $p=\sqrt{2mK}\approx 4070\mathrm{МэВ}/c$.

Шаг 3, как быстро. На расстоянии $r$ кинетическая энергия равна потенциальной энергии, потерянной к этому моменту, $K(r)=K_{\mathrm{сум}}(1-d/r)$. Поэтому уже к $r=10d\approx 180\mathrm{фм}$ у осколков 90 % их энергии — а это всё ещё глубоко внутри электронного облака атома, поперечник которого около $10^5\mathrm{фм}$. Энергию деления доставляет электрическое отталкивание, и почти целиком в крохотной области вокруг ядра.

Границы применимости

Капельная модель — подгонка, а не теория. Для тяжёлых ядер она совпадает с данными примерно до 0,5 % (1786 МэВ для урана-235 против измеренных 1784 МэВ), но не учитывает оболочечную структуру: как электроны в атомах, нуклоны заполняют оболочки, и ядра с 2, 8, 20, 28, 50, 82 или 126 протонами или нейтронами, магические числа, особенно устойчивы. Поэтому для ${}^4\mathrm{He}$ модель даёт лишь 16 МэВ связи вместо измеренных 28,3 МэВ, для деления из анимации предсказывает 162 МэВ вместо 173 МэВ и расщепила бы уран на две равные половины, тогда как оболочечные эффекты делают деление несимметричным — в основном на осколки около $A=95$ и $A=140$.

Ещё две части расчёта тоже приближённые. Распределение энергии по формуле $K=p^2/(2m)$ нерелятивистское. При D–T-синтезе нейтрон получает четыре пятых от 17,59 МэВ, то есть 14,07 МэВ, и летит со скоростью $0,17c$; точный релятивистский расчёт двух тел с истинными массами даёт 14,03 МэВ, на 0,3 % меньше. И запись $Q$ как разности энергий связи требует раздельного сохранения $Z$ и $N$. Там, где слабое взаимодействие превращает протоны в нейтроны, как в суммарной реакции на Солнце $4{}^1\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+2e^{+}+2\nu$, на каждый превращённый протон в расчёт входит разность масс нейтрона и атома водорода, 0,78 МэВ: выделяется $28,3-2\cdot 0,78=26,7\mathrm{МэВ}$, то есть 0,7 % массы. Точными при этих энергиях остаются законы сохранения энергии, импульса, заряда и числа нуклонов.

Что дальше

Урок «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» превращает множитель $e^{-\sqrt{E_G/E}}$ в расчёт. Урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» показывает, откуда берутся ядерные силы (это остаточное проявление сильного взаимодействия, которое связывает кварки глюонами), и описывает слабое взаимодействие, благодаря которому Солнце превращает протоны в нейтроны. Если оглянуться назад, то «Специальная теория относительности» даёт $E=m{c}^2$, «Радиоактивность и период полураспада» описывает распадающиеся осколки, поставляющие запаздывающие нейтроны, «Закон Кулона» объясняет барьер, а «Импульс и столкновения» показывает, как энергия делится между продуктами.