Ondes électromagnétiques

Débutant

D'où vient une onde radio ? Imaginez une tige métallique reliée à une tension alternative. Les électrons sont poussés vers le haut de la tige, puis vers le bas, puis de nouveau vers le haut : ses deux extrémités deviennent tour à tour positives et négatives. Autour de la tige règne un champ électrique, qui s'inverse à chaque échange de charges. L'ancien champ ne disparaît pas : il s'éloigne de la tige pendant qu'un nouveau se forme derrière lui. Une ondulation de champ électrique se propage vers l'extérieur. Et pendant que les électrons filent le long de la tige, ils forment un courant, qui crée un champ magnétique : une ondulation magnétique part elle aussi. Ensemble, elles forment une onde électromagnétique.

Dans l'animation, la charge qui oscille à gauche joue le rôle de l'antenne. L'onde et les flèches bleues montrent le champ électrique, l'onde rouge le champ magnétique. Ils montent et descendent ensemble, perpendiculaires l'un à l'autre et à la direction de propagation.

Au loin, le champ électrique secoue les électrons de l'antenne d'une voiture, et l'autoradio retransforme ce minuscule frémissement en son. Pour transporter de la musique, une station fait varier l'intensité de son onde (AM) ou sa fréquence (FM). Ces ondes n'ont pas besoin d'air : elles traversent le vide, toutes à la vitesse de la lumière, environ 300 000 km par seconde.

La radio n'est qu'un membre d'une grande famille. Des ondes longues aux ondes courtes : radio, micro-ondes, infrarouge, lumière visible, ultraviolet, rayons X et rayons gamma. La barre colorée montre ce spectre ; nos yeux n'en voient que l'étroite bande arc-en-ciel.

Testez-vous : qui traverse l'espace le plus vite, les ondes radio ou les rayons X ? (Aucune des deux : toutes vont à la vitesse de la lumière.)

Intermédiaire

Ce qui ondule

Une onde électromagnétique (EM) est une configuration qui se déplace, faite d'un champ électrique $\vec{E}$, en volts par mètre (V/m), et d'un champ magnétique $\vec{B}$, en teslas (T). Aucune matière ne se déplace : en chaque point, les champs croissent, décroissent et s'inversent, et c'est la configuration qui voyage. La force exercée par $\vec{E}$ sur les électrons d'une antenne, ou de votre œil, est ce qui permet de détecter l'onde.

Deux lois l'entretiennent. Comme l'a montré la leçon Induction électromagnétique, un champ magnétique variable produit un champ électrique ; Maxwell a compris qu'un champ électrique variable produit de même un champ magnétique. Chaque variation crée l'autre champ un peu plus loin, si bien que la perturbation s'éloigne d'elle-même, sans fils et sans milieu.

Ce sont des charges accélérées qui la déclenchent : des électrons poussés de haut en bas le long d'une antenne par une tension alternative, ou la charge dorée à gauche dans l'animation. Une charge immobile ou un courant constant ne produit que des champs constants.

Transversale, en phase, à une seule vitesse

Dans le vide, toute onde EM possède trois propriétés, toutes visibles dans l'animation :

• Elle est transversale : $\vec{E}$ (bleu, vertical) et $\vec{B}$ (rouge, horizontal, dessiné en perspective) sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation, la flèche $c$.
• Les deux champs oscillent en phase : ils atteignent leur maximum et s'annulent aux mêmes endroits et aux mêmes instants.
• Elle se propage à $c=3,00\times 10^{8}m/s$, quelle que soit sa fréquence.

L'onde se propage dans le sens de $\vec{E}\times \vec{B}$ : enroulez les doigts de votre main droite de $\vec{E}$ vers $\vec{B}$, et votre pouce indique le sens. Avec $\vec{E}$ vers le haut de la page et $\vec{B}$ sortant de la page, l'onde va vers la droite ; une demi-période plus tard, les deux champs se sont inversés, et elle va toujours vers la droite. La direction de $\vec{E}$ est la polarisation, verticale dans l'animation.

La vitesse découle des deux lois : $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$, où ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$ et ${\mu }_0=1,26\times 10^{-6}H/m$ sont les constantes des forces électriques entre charges et des forces magnétiques entre courants, mesurées avec des piles et des bobines. Elles donnent $3,00\times 10^{8}m/s$, la vitesse de la lumière ; dans les années 1860, cela a convaincu Maxwell que la lumière est une onde électromagnétique.

Les équations à retenir

Trois relations font l'essentiel du travail à ce niveau :

• $c=f\lambda$
• $E=cB$
• $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

La première est la règle vue dans Notions de base sur les ondes : en une période, l'onde avance d'une longueur d'onde. Comme $c$ est fixée, doubler la fréquence divise la longueur d'onde par deux : le long de la barre du spectre, vers la droite, $\lambda$ diminue et $f$ augmente.

La deuxième vaut en tout point et à tout instant. En teslas, $B$ paraît minuscule, 10 nT à côté de 3,0 V/m, mais on ne peut pas comparer des grandeurs d'unités différentes. Les énergies, si : les densités $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ et $B^2/(2{\mu }_0)$ sont exactement égales, de sorte que chaque champ porte la moitié de l'énergie.

La troisième donne l'intensité $I$, la puissance moyenne par mètre carré (W/m²), à partir de l'amplitude $E_0$ ; le $\frac{1}{2}$ est la moyenne de ${\sin }^2$ sur une période. Doublez $E_0$ et la puissance est multipliée par quatre.

Exemple résolu : la lumière verte de l'animation

L'animation modélise une lumière verte de longueur d'onde $\lambda =550\mathrm{nm}$, la distance entre deux crêtes que repère la règle. En mètres, $550\mathrm{nm}=5,50\times 10^{-7}\mathrm{m}$ ; la fréquence et la période valent donc
$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{5,50\times 10^{-7}}\approx 5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
$T=\frac{1}{f}\approx 1,83\times 10^{-15}\mathrm{s}$

C'est la fréquence affichée dans le panneau. Un vrai cycle dure moins de deux femtosecondes, un cycle dessiné 2 s : l'image défile donc environ $10^{15}$ fois plus lentement que la lumière.

L'amplitude du champ vaut $E_0=3,0V/m$ ; l'amplitude magnétique et l'intensité sont donc
$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{3,0}{3,00\times 10^8}=1,0\times 10^{-8}\mathrm{T}=10\mathrm{nT}$
$I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2\approx 1,2\times 10^{-2}W/{\mathrm{m}}^2$

Au point P, les affichages oscillent entre $+3,0$ et $-3,0V/m$ et entre $+10$ et $-10\mathrm{nT}$ : quand $E$ indique 1,5 V/m, $B$ indique 5,0 nT, et les deux s'annulent ensemble. Les flèches, une par huitième de longueur d'onde (69 nm dans l'onde réelle), grandissent et rétrécissent de concert. Les 12 mW/m² de la vue experte correspondent à une lumière faible, quelque 80 000 fois plus faible que celle du Soleil.

Exemple résolu : la radio FM et le four à micro-ondes

Une station FM émet à 100 MHz. Convertissez d'abord : $100\mathrm{MHz}=1,00\times 10^8\mathrm{Hz}$ ; ensuite
$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3,00\times 10^8}{1,00\times 10^8}=3,0\mathrm{m}$

Lire 100 MHz comme $10^7\mathrm{Hz}$ donne 30 m, soit dix fois trop long. Une antenne de voiture en quart d'onde mesure donc 75 cm. À environ 30 km d'un émetteur de 100 kW, l'amplitude vaut à peu près 0,10 V/m ; ainsi $B_0=0,10/(3,00\times 10^8)\approx 3,3\times 10^{-10}\mathrm{T}$ et $I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 0,10^2\approx 1,3\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$. Le signal a mis $3,0\times 10^4/(3,00\times 10^8)=1,0\times 10^{-4}\mathrm{s}$ pour arriver.

Un four à micro-ondes à 2,45 GHz utilise $\lambda =3,00\times 10^8/(2,45\times 10^9)\approx 0,122\mathrm{m}$. Réfléchies dans la boîte métallique, les ondes forment un motif stationnaire dont les points chauds sont distants d'une demi-longueur d'onde, soit environ 6,1 cm. Retirez le plateau tournant, chauffez brièvement une couche de chocolat et mesurez l'écart entre les zones ramollies : $2\cdot 0,061\cdot 2,45\times 10^9\approx 3,0\times 10^{8}m/s$, la vitesse de la lumière mesurée dans une cuisine.

Lire la barre du spectre

La barre du bas classe la famille par longueur d'onde, les plus longues à gauche ; l'ondulation de chaque bande a sa propre longueur d'onde, mais toutes avancent à la même vitesse. Les limites sont des conventions :

• Radio, au-delà de 1 m environ : ondes AM vers 300 m, ondes FM de 3 m.
• Micro-ondes, de 1 mm à 1 m : radar, téléphones mobiles, Wi-Fi et fours.
• Infrarouge, de 700 nm à 1 mm : rayonnement thermique, le plus intense près de 10 µm pour votre peau.
• Lumière visible, de 400 à 700 nm seulement : l'étroite bande arc-en-ciel encadrée.
• Ultraviolet, en dessous de 400 nm, puis rayons X et rayons gamma, les plus courts avec une longueur d'onde bien inférieure à la taille d'un atome.

En allant vers la droite, l'énergie de chaque photon, $hf$, augmente aussi ($h=6,63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ est la constante de Planck). C'est cette énergie, et non l'intensité, qui décide de ce qu'une onde fait à une molécule : les photons visibles, d'environ 2 eV, déclenchent la vision, et seuls ceux qui dépassent environ 10 eV (ultraviolet en dessous de 124 nm environ, rayons X, rayons gamma) ionisent la plupart des atomes.

Erreurs fréquentes

• Les ondes EM n'ont besoin d'aucun milieu : la lumière du Soleil traverse 150 millions de km de quasi-vide en 8,3 minutes.
• Une fréquence plus élevée n'est pas plus rapide : un écho radio et une impulsion laser renvoyés par la Lune reviennent tous deux au bout d'environ 2,6 s.
• Le champ magnétique n'est pas négligeable : 10 nT à côté de 3,0 V/m porte une énergie égale à celle du champ électrique. Sa force sur un électron de vitesse $v$ vaut en revanche au plus $v/c$ de la force électrique, si bien que c'est $\vec{E}$ qui définit la polarisation.
• Le verre modifie la vitesse et la longueur d'onde, pas la fréquence : avec $n=1,5$, la lumière verte ralentit à $2,0\times 10^{8}m/s$ et les 550 nm se réduisent à environ 367 nm, tandis que $f$ reste égale à $5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$.
• « Rayonnement » ne veut pas dire « radioactif », et la puissance ne rend pas une onde ionisante : les photons d'un four de 1000 W portent $10^{-5}\mathrm{eV}$, un seul photon X en porte des dizaines de keV.

Où on le rencontre

La radio, la télévision, les téléphones mobiles, le Wi-Fi, la navigation par satellite (19 cm), le radar et les fours à micro-ondes exploitent l'extrémité des grandes longueurs d'onde. Les télécommandes, les liaisons par fibre optique (1,55 µm) et les caméras thermiques utilisent l'infrarouge ; les lampes à ultraviolets désinfectent l'eau, les rayons X permettent d'imager les os et les cristaux, et les rayons gamma traitent les tumeurs.

Cette leçon fait le lien entre l'électricité et l'optique. La leçon Polarisation de la lumière suit la direction de $\vec{E}$ ; Interférences et superposition, puis Diffraction et fentes de Young, additionnent les champs de plusieurs ondes ; Réflexion et réfraction suit une onde dans la matière. Rayonnement du corps noir et quanta, puis Effet photoélectrique, montrent que la lumière est émise et absorbée par paquets d'énergie $hf$.

Avancé

Les équations de Maxwell dans le vide

La lumière, les ondes radio et les rayons X sont tous des ondes de champ électrique et magnétique. Pour comprendre pourquoi de telles ondes existent, et pourquoi elles se propagent toutes à une même vitesse fixe, partons des lois de l'électromagnétisme dans une région sans charges ni courants. Elles y prennent une forme remarquablement symétrique :
$\nabla \cdot \vec{E}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Ici $\vec{E}$ est le champ électrique, $\vec{B}$ le champ magnétique, et ${\mu }_0$ et ${\epsilon }_0$ sont les constantes magnétique et électrique du vide. Lisons les lois une à une. Les deux premières sont les lois de Gauss : en l'absence de charges, aucune ligne de champ ne commence ni ne finit dans la région. La troisième est la loi de Faraday : un champ magnétique variable dans le temps produit un champ électrique qui tourne autour de lui. La quatrième est la loi d'Ampère avec l'ajout de Maxwell, le courant de déplacement ${\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ : un champ électrique variable dans le temps produit un champ magnétique qui tourne autour de lui. Les deux dernières lois permettent ensemble à chaque champ d'entretenir l'autre sans aucune charge à proximité, et c'est exactement ce dont une onde a besoin.

Le terme de Maxwell n'est pas un choix libre : la conservation de la charge l'exige. En présence de charges, la quatrième loi s'écrit $\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$, où $\vec{J}$ est la densité de courant. Prenons la divergence des deux membres. Celle de gauche est nulle, parce que la divergence d'un rotationnel est toujours nulle. À droite, la loi de Gauss $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$, où $\rho$ est la densité de charge, transforme le second terme en ${\mu }_0\partial \rho /\partial t$. Il reste $\nabla \cdot \vec{J}+\partial \rho /\partial t=0$ : la charge qui sort d'un petit volume est exactement celle qui disparaît à l'intérieur. Sans le terme de Maxwell, la même étape exigerait $\nabla \cdot \vec{J}=0$, ce qui est faux sur l'armature d'un condensateur en charge, où le courant arrive et où rien ne repart.

Pourquoi le front avance à la vitesse de la lumière

Légende

$\sigma$	Charge par unité d'aire de la nappe en mouvement.	$C/{\mathrm{m}}^2$
$v_s$	Vitesse de la nappe, vers le bas de la page sur la vue du haut.	$m/s$
$v$	Vitesse du front, le bord de la région où règne le champ.	$m/s$
$\vec{E}$	Champ électrique derrière le front : vers le haut sur la vue du haut, hors de la page sur celle du bas.	$V/m$
$\vec{B}$	Champ magnétique derrière le front : hors de la page sur la vue du haut, vers le bas sur celle du bas.	$\mathrm{T}$
$L$	Hauteur de la boucle, mesurée le long du front.	$\mathrm{m}$
$vdt$	Distance dont le front avance pendant un court instant $dt$ : largeur de la bande ombrée.	$\mathrm{m}$

Avant de résoudre la moindre équation, une expérience de pensée montre comment la variation d'un champ crée l'autre et comment la paire s'éloigne ensemble. Elle n'utilise que les formes de circulation de la loi de Faraday et de la loi d'Ampère–Maxwell, et elle donne directement la vitesse du front.

D'abord la source. Une nappe plane infinie occupe le plan $yz$ ; la figure 1 la montre de profil, comme le trait orange à gauche. Prenons $x$ vers la droite, en s'éloignant de la nappe, $y$ vers le haut de la page et $z$ vers l'extérieur de la page. La nappe porte une charge $\sigma$ par mètre carré et repose sur une nappe fixe de charge opposée ; au repos, il n'y a donc aucun champ à l'extérieur. À $t=0$, la nappe chargée est brusquement mise en mouvement vers le bas de la page, selon $-y$, à la vitesse constante $v_s$. Une nappe de charge en mouvement est un courant : un courant $\sigma v_s$ par mètre de largeur s'établit donc aussitôt. Tout près de la nappe, la loi d'Ampère donne le champ d'une nappe de courant, $B={\mu }_0\sigma v_s/2$, dirigé hors de la page, selon $z$.

Plus loin, le champ ne peut pas apparaître partout au même instant. Supposons donc qu'il remplisse une région derrière un front plan qui s'éloigne de la nappe à une vitesse inconnue $v$ (la droite en pointillés) : uniforme derrière le front, nul devant. Les deux lois de circulation fixeront à la fois $v$ et le champ électrique qui doit accompagner $\vec{B}$.

La figure 1 dessine le même front vu sous deux angles, chaque fois avec une boucle rectangulaire de hauteur $L$ placée en travers du front. En un court instant $dt$, le front avance de $vdt$, et la boucle gagne la bande ombrée de champ, d'aire $Lvdt$.

La vue du haut regarde le long de $z$. La boucle est dans le plan $xy$ ; $\vec{B}$ (les points cerclés, hors de la page) la traverse, et le flux magnétique à travers la boucle augmente de $BLvdt$, c'est-à-dire au rythme $BLv$. D'après la loi de Faraday, un flux variable exige un champ électrique qui circule autour de la boucle. Les côtés selon $x$ ne contribuent pas, car $\vec{E}$, dirigé selon $y$, leur est perpendiculaire, et le côté situé devant le front est dans une région sans champ. Seul compte le côté de longueur $L$ derrière le front, d'où $EL=BLv$.

La vue du bas regarde vers le bas le long de $y$, d'en haut. La boucle est maintenant dans le plan $xz$ ; $\vec{E}$ la traverse (ici hors de la page) et $\vec{B}$ est dirigé le long du côté de la boucle situé derrière le front. La même bande ajoute du flux électrique au rythme $ELv$. Aucun courant ne traverse cette boucle : la loi d'Ampère–Maxwell dit donc que la circulation de $\vec{B}$ vaut ${\mu }_0{\epsilon }_0$ fois ce rythme ; là encore, seul compte le côté derrière le front, d'où $BL={\mu }_0{\epsilon }_{0}ELv$. Les sens dessinés sont ceux qui donnent aux deux lois les bons signes ; seules les valeurs comptent ici.

Simplifions par $L$ : les deux conditions deviennent
$E=vB,B={\mu }_0{\epsilon }_{0}vE$
Reportons la première dans la seconde : $B={\mu }_0{\epsilon }_0{v}^{2}B$. Les deux ne peuvent être vraies ensemble que si $v^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ :
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3,00\cdot 10^{8}m/s$

Rien de tout cela ne dépend de $\sigma$, de $v_s$ ni de la brutalité du démarrage de la nappe : quelle que soit la violence de la secousse, le front n'a que cette vitesse, construite à partir de deux constantes que l'on mesure avec des charges et des courants. Maxwell a vu qu'elle est égale à la vitesse mesurée de la lumière et en a conclu que la lumière est une onde électromagnétique.

Derrière le front, $E=cB=\sigma v_s/(2{\epsilon }_{0}c)$, puisque ${\mu }_{0}c=1/({\epsilon }_{0}c)$. $\vec{E}$ est dirigé à l'opposé de la vitesse de la nappe, vers le haut de la page sur la figure 1, et $\vec{E}\times \vec{B}$ pointe en s'éloignant de la nappe, dans le sens où avance le front. Remarquons ce que le champ enregistre : la rapidité du mouvement de la nappe, non sa position. Si la nappe s'arrête au bout d'un temps $\tau$, un second front de signe opposé suit le premier, et entre les deux une tranche de champ d'épaisseur $c\tau$ poursuit sa route sans aucune charge à proximité. Si l'on secoue la nappe de haut en bas, le champ émis recopie l'historique de sa vitesse, avec un retard $x/c$ à la distance $x$ : c'est une onde plane.

L'équation d'onde

La nappe a produit un front plan. La forme différentielle des lois montre qu'une configuration de champ de forme quelconque se propage à la même vitesse. Prenons le rotationnel de la loi de Faraday. À gauche, utilisons l'identité $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$, dont le premier terme s'annule puisque $\nabla \cdot \vec{E}=0$. À droite, permutons le rotationnel et la dérivée par rapport au temps, puis remplaçons $\nabla \times \vec{B}$ à l'aide de la quatrième loi. Les signes moins se compensent, et il reste
${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

C'est l'équation d'onde de la leçon Notions de base sur les ondes, avec $1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ à la place de $v^2$ : toute solution se propage donc à la vitesse $c$. Les mêmes étapes, à partir de la quatrième loi, donnent la même équation pour $\vec{B}$. Le signe moins de la loi de Faraday est essentiel : il dit que les champs induits s'opposent à la variation qui les cause. Avec un signe plus, les solutions croîtraient ou décroîtraient exponentiellement au lieu de se propager, et il n'y aurait pas d'ondes.

Une onde plane : deux champs en phase, à angle droit

Légende

$x$	Axe selon la direction de propagation.	$\mathrm{m}$
$y$	Axe selon lequel oscille $\vec{E}$.
$z$	Axe selon lequel oscille $\vec{B}$ ; il est dirigé vers vous, dessiné vers le bas et la gauche.
$\vec{E}$	Champ électrique de l'onde.	$V/m$
$\vec{B}$	Champ magnétique de l'onde, en phase avec $\vec{E}$.	$\mathrm{T}$
$E_0$	Amplitude du champ électrique.	$V/m$
$B_0$	Amplitude du champ magnétique, égale à $E_0/c$.	$\mathrm{T}$
$\lambda$	Longueur d'onde : distance d'une crête à la suivante.	$\mathrm{m}$
$c$	Vitesse de l'onde, selon la direction de propagation.	$m/s$

La solution la plus simple, une onde plane sinusoïdale, montre comment $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont disposés dans toute lumière. La figure 2 en fige une qui se propage le long de $x$ à l'instant $t=0$ :
$E=E_0\sin (kx-\omega t),\omega =ck$
Ici $k=2\pi /\lambda$ est le nombre d'onde et $\omega$ la pulsation ; $\omega =ck$ est ce que l'équation d'onde impose à cette forme.

Sur la figure, les axes forment un trièdre direct, avec $z$ dirigé vers vous (dessiné vers le bas et la gauche de la page). Le champ électrique $\vec{E}$ (bleu) oscille selon $y$, le champ magnétique $\vec{B}$ (rouge) selon $z$. Ce sont deux sinusoïdes de même longueur d'onde $\lambda$, la distance d'une crête à la suivante, qui s'annulent et atteignent leur maximum aux mêmes endroits. Leurs amplitudes $E_0$ et $B_0$ n'ont pas les mêmes unités ; les longueurs dessinées ne peuvent donc pas être comparées.

Pourquoi $\vec{E}$ est-il perpendiculaire à la direction de propagation ? Dans une onde plane, les champs ne dépendent que de $x$ et de $t$. La loi de Gauss se réduit alors à $\nabla \cdot \vec{E}=\partial E_x/\partial x=0$, et la composante selon $x$ de la loi d'Ampère–Maxwell donne $\partial E_x/\partial t=0$, car le rotationnel d'un tel champ n'a pas de composante selon $x$. Donc $E_x$ est au plus une constante, qui ne fait pas partie de l'onde : l'onde est transversale, et l'on peut prendre $\vec{E}$ selon $y$.

Pourquoi $\vec{B}$ est-il selon $z$, et en phase avec $\vec{E}$ ? La composante selon $z$ de la loi de Faraday donne $\partial B_z/\partial t=-\partial E_y/\partial x=-k{E}_0\cos (kx-\omega t)$. En intégrant par rapport au temps, la solution oscillante est $B_z=(k/\omega )E_0\sin (kx-\omega t)$ ; la composante selon $y$ donne $\partial B_y/\partial t=0$, donc il n'y a pas de $B_y$ oscillant. Comme $\omega /k=c$,
$E=cB$

Ainsi $\vec{B}$ est perpendiculaire à $\vec{E}$ et en phase avec lui, avec $B_0=E_0/c$, et $\vec{E}\times \vec{B}$ pointe selon $+x$, la direction de propagation notée $c$ sur la figure. Pour une onde qui va vers $-x$, les mêmes étapes donnent $B_z=-E_y/c$ : inverser le sens de propagation inverse $\vec{B}$ par rapport à $\vec{E}$.

Le graphique de la vue experte de l'animation montre la même onde dans le temps plutôt que dans l'espace : $E$ au point P, une sinusoïde d'amplitude 3,0 V/m dont les deux périodes durent chacune 1,83 fs, la période d'une lumière verte de 550 nm. P se trouve à deux longueurs d'onde le long de l'onde, donc $kx=4\pi$ en ce point et la courbe est $E=E_0\sin (4\pi -\omega t)=-E_0\sin \omega t$ : elle part de zéro et plonge d'abord. C'est l'instantané lu à l'envers. L'onde va vers $+x$ ; ce qui arrive ensuite en P est donc la partie de l'onde juste à sa gauche, qui à $t=0$ est sous l'axe. L'affichage de $B$ suit la courbe, avec $E/B=c$ à chaque instant.

Énergie, intensité et quantité de mouvement

Légende

$c\Delta t$	Longueur du tube : distance dont l'onde avance pendant le temps $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$A$	Section du tube : la surface que l'énergie traverse.	${\mathrm{m}}^2$
$u$	Énergie par unité de volume emmagasinée dans le champ du tube.	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{E}$	Champ électrique de l'onde dans le tube.	$V/m$
$\vec{S}$	Puissance par unité d'aire à travers la face, selon la direction de propagation.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$c$	Vitesse de l'onde et de l'énergie qu'elle transporte.	$m/s$

Une onde emporte de l'énergie loin de sa source ; c'est ainsi que la lumière du Soleil réchauffe la Terre. Pour trouver la puissance qui traverse chaque mètre carré, la figure 3 suit l'énergie à travers une portion de surface d'aire $A$ placée en travers du trajet de l'onde.

Les champs emmagasinent de l'énergie avec la densité $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+B^2/(2{\mu }_0)$, en joules par mètre cube : ce sont les mêmes expressions que pour le champ d'un condensateur et d'une bobine. Toute la configuration se déplace à $c$ sans changer de forme ; pendant un temps $\Delta t$, la face $A$ est donc traversée par toute l'énergie du tube de section $A$ et de longueur $c\Delta t$ situé derrière elle, soit $uAc\Delta t$. En divisant par $A$ et par $\Delta t$, la puissance par mètre carré vaut $cu$.

Utilisons maintenant le lien de l'onde plane $B=E/c$ avec $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$. Le terme magnétique devient $B^2/(2{\mu }_0)=E^2/(2{\mu }_0{c}^2)=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ : les deux moitiés de $u$ sont donc égales, $u={\epsilon }_0{E}^2$, et la puissance par mètre carré vaut $c{\epsilon }_0{E}^2$. Le théorème de Poynting, la conservation de l'énergie pour les champs, l'écrit de façon générale avec le vecteur $\vec{S}$ de la figure :
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$

Pour l'onde plane, sa valeur est $EB/{\mu }_0=E^2/({\mu }_{0}c)=c{\epsilon }_0{E}^2$, comme trouvé plus haut, et il est dirigé selon la direction de propagation.

Le champ de la lumière visible s'inverse environ $10^{15}$ fois par seconde, bien trop vite pour qu'un détecteur le suive : ce que l'on mesure, c'est la moyenne sur de nombreuses périodes. La moyenne de ${\sin }^2$ sur une période vaut un demi, d'où l'intensité
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

Pour les 3,0 V/m de l'animation, cela donne les 12 mW/m² du panneau, avec une densité d'énergie moyenne de $4,0\times 10^{-11}J/{\mathrm{m}}^3$. La lumière du Soleil au sol, environ 1,0 kW/m², correspond à $E_0\approx 870V/m$ et à une amplitude magnétique de 2,9 µT.

Les champs transportent aussi de la quantité de mouvement, $S/c^2$ par mètre cube. Se déplaçant à $c$, cette quantité de mouvement arrive sur une surface au rythme $S/c$ par mètre carré. Une surface noire l'absorbe et subit donc une pression $I/c$ ; un miroir la renvoie et subit le double. La lumière du Soleil sur une surface noire au sol exerce 3,3 µPa ; sur un miroir au-dessus de l'atmosphère, où l'intensité est de 1361 W/m², la force est d'environ 9 N par kilomètre carré. Cette poussée infime et continue propulse les voiles solaires et chasse les queues de poussière des comètes loin du Soleil.

Le rayonnement des charges accélérées

Légende

$q$	La charge que l'on pousse.	$\mathrm{C}$
$O$	L'endroit où la charge reposait avant la poussée.
$a$	Accélération de la charge pendant la poussée.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$vt$	Distance dont la charge s'est éloignée de $O$ à l'instant $t$.	$\mathrm{m}$
$ct$	Rayon de la sphère extérieure : distance parcourue par l'information de la poussée pendant le temps $t$.	$\mathrm{m}$
$c\tau$	Épaisseur de la coquille : distance parcourue par l'information pendant la durée de la poussée, un temps $\tau$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Angle entre une ligne de champ et la direction de la poussée.	$\mathrm{rad}$
$\vec{E}$	Champ latéral dans la coquille, le champ de rayonnement : opposé à la composante latérale de l'accélération.	$V/m$
$c$	Vitesse à laquelle la coquille, et le coude qu'elle contient, s'étend vers l'extérieur.	$m/s$

Jusqu'ici, les ondes étaient simplement données. Cette section montre d'où elles viennent : de charges dont la vitesse change. Une charge au repos a son champ de Coulomb. Une charge en mouvement uniforme emporte ce champ avec elle, puisque dans son propre référentiel elle est au repos. Seule une accélération émet une onde, et la figure 4 montre pourquoi.

Une charge $q$ est au repos en $O$ jusqu'à $t=0$. On la pousse alors selon $x$ avec une accélération $a$ pendant un court instant $\tau$, puis elle poursuit sa route à la petite vitesse $v=a\tau$ ; un temps $t$ plus tard, elle est donc à la distance $vt$ de $O$. La figure exagère $v/c$ ; le raisonnement exige $v\ll c$.

L'information de la poussée se propage vers l'extérieur à la vitesse $c$ ; à l'instant $t$, les lignes de champ (dessinées en coupe) se répartissent donc en trois zones. À l'extérieur de la sphère de rayon $ct$ centrée en $O$, l'information n'est pas encore arrivée : les lignes pointent toujours en s'éloignant de $O$, là où serait la charge si elle n'avait jamais bougé. À l'intérieur de la sphère de rayon $c(t-\tau )$, la charge s'est toujours déplacée uniformément, pour autant que le champ le sache, et ses lignes s'éloignent de l'endroit où elle se trouve maintenant. Dans la mince coquille d'épaisseur $c\tau$ entre les deux sphères, chaque ligne doit relier sa partie extérieure à sa partie intérieure ; comme ces deux parties sont décalées, la ligne traverse la coquille latéralement. Ce tronçon latéral est le coude.

Lisons sa taille sur la figure. Une ligne qui part sous l'angle $\theta$ par rapport à la direction de la poussée est décalée latéralement de $vt\sin \theta$, la part du décalage $vt$ perpendiculaire à la ligne, et elle effectue ce décalage dans une coquille d'épaisseur $c\tau$ seulement. Dans la coquille, le champ suit la ligne : le rapport de sa partie latérale $E_{\perp }$ à sa partie radiale $E_r$ est donc le rapport de ces deux longueurs. Avec $v=a\tau$ et $r=ct$ pour le rayon de la coquille,
$\frac{E_{\perp }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$
La partie radiale est toujours le champ de Coulomb, $E_r=q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$, car, d'après la loi de Gauss, la coquille laisse passer autant de lignes de champ qu'avant. En multipliant les deux, on obtient le champ latéral, la flèche $\vec{E}$ de la figure.

Regardons les puissances de $r$. La partie radiale décroît en $1/r^2$, mais la partie latérale ne décroît qu'en $1/r$, parce que le décalage $vt$ croît à mesure que la coquille s'étend alors que son épaisseur reste $c\tau$. Loin de la charge, le coude domine donc. C'est le champ de rayonnement, qui s'éloigne à la vitesse $c$ avec la coquille.

Pour une poussée qui varie de façon continue dans le temps, et pour des vitesses très inférieures à $c$, le même raisonnement donne le champ à la distance $r$ et sous l'angle $\theta$ par rapport à la direction de l'accélération :
$E(r,t)=\frac{qa(t-r/c)\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$
Trois choses ressortent. Le champ est transversal ; pour une charge positive, il est de sens opposé à la composante de l'accélération perpendiculaire à la direction d'observation. Il est fixé par l'accélération à l'instant antérieur $t-r/c$, quand l'information est partie. Et son intensité, proportionnelle à $E^2$, varie comme ${\sin }^2\theta /r^2$ : nulle dans la direction de l'accélération et maximale à angle droit. C'est pourquoi un mât radio vertical, dont les charges montent et descendent, émet son signal le long du sol.

La puissance totale s'obtient en additionnant l'intensité $c{\epsilon }_0{E}^2$ sur une sphère de rayon $r$. L'aire de la sphère, proportionnelle à $r^2$, compense le $1/r^2$, et ${\sin }^2\theta$ a pour moyenne deux tiers sur toutes les directions, ce qui donne la formule de Larmor :
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

La loi en $1/r$ est ce qui permet à l'énergie de s'échapper : la puissance qui traverse une sphère, proportionnelle à $E^2{r}^2$, est la même à tout rayon, alors qu'un champ décroissant en $1/r^2$ ne transporterait rien à grande distance. C'est pourquoi la lumière des étoiles nous parvient encore après de nombreuses années-lumière.

Dans l'animation, la charge dorée oscille ; son accélération $a=-{\omega }^{2}y$ est donc toujours opposée à son élongation $y$. Le champ rayonné est opposé à l'accélération, donc il suit l'élongation : l'onde bleue à côté de la charge monte et descend avec elle, et le point P, à deux longueurs d'onde, reçoit chaque mouvement deux périodes (3,7 fs) plus tard. La lumière synchrotron et les tubes à rayons X obéissent à la même règle.

Problème résolu : une lampe verte de 1 W

Une petite lampe émet $P=1,0\mathrm{W}$ de lumière verte de 550 nm, également dans toutes les directions. À quelle distance l'amplitude de son champ vaut-elle les 3,0 V/m de l'animation ? Que se passe-t-il au double de cette distance ? Quelle force s'exerce à cette distance sur une carte noire de 1,0 cm² tenue face à la lampe, et combien de photons absorbe-t-elle chaque seconde ?

À la distance $r$, le watt se répartit sur une sphère d'aire $4\pi r^2$, donc $I=P/(4\pi r^2)$. Égalons-le à $\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ et résolvons pour $r$ :
$r=\sqrt{\frac{P}{2\pi c{\epsilon }_0{E}_0^2}}=\sqrt{\frac{1,0}{2\pi \cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2}}\approx 2,6\mathrm{m}$

À 5,2 m, le même watt traverse une sphère quatre fois plus grande, de sorte que l'intensité est divisée par quatre, à 3,0 mW/m². L'amplitude varie comme la racine carrée de l'intensité : elle est seulement divisée par deux, à 1,5 V/m, comme l'exige la loi en $1/r$.

De retour à 2,6 m, l'intensité est de 12 mW/m² ; la carte absorbe donc $1,2\times 10^{-2}\cdot 1,0\times 10^{-4}=1,2\times 10^{-6}\mathrm{W}$. Un absorbeur subit la pression $I/c$ ; la force est donc la puissance absorbée divisée par $c$ : $F=1,2\times 10^{-6}/(3,00\times 10^8)=4,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$. La pression, $4,0\times 10^{-11}\mathrm{Pa}$, est égale à la densité d'énergie moyenne du faisceau, comme pour tout absorbeur, puisque les deux valent $I/c$.

La fréquence de la lumière est $f=c/\lambda =5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, et chaque photon transporte l'énergie $hf$, où $h$ est la constante de Planck : $hf=6,63\times 10^{-34}\cdot 5,45\times 10^{14}\approx 3,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$, soit environ 2,3 eV. La carte absorbe donc $1,2\times 10^{-6}/(3,6\times 10^{-19})\approx 3,3\times 10^{12}$ photons par seconde. C'est beaucoup trop pour que leur caractère granulaire se voie ; l'onde classique, continue, en donne donc une excellente description.

Limites de validité

La théorie classique rend compte de la propagation, des interférences, de la diffraction et de la polarisation à toutes les fréquences. Elle échoue là où la matière échange de l'énergie avec le champ, parce que cet échange se fait par quanta $hf$ : 2,3 eV pour la lumière verte, $4\times 10^{-7}\mathrm{eV}$ pour la radio FM, des dizaines de keV pour les rayons X médicaux. La plupart des atomes ont besoin d'environ 10 eV pour perdre un électron ; seules les longueurs d'onde inférieures à 124 nm environ ionisent donc, si faible que soit le faisceau. Quand les photons sont peu nombreux, l'onde ne donne que la probabilité d'en détecter un.

Elle échoue aussi à l'intérieur des atomes. Un électron qui tournerait comme dans un atome d'hydrogène classique, avec $a\approx 9,0\times 10^{22}m/{\mathrm{s}}^2$, rayonnerait $4,7\times 10^{-8}\mathrm{W}$ selon la formule de Larmor et tomberait en spirale sur le noyau en 16 ps environ. Or les atomes sont stables ; l'explication commence dans la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr.

Dans la matière, l'onde ralentit à $c/n$, l'indice $n$ dépendant de la fréquence ; les conducteurs l'absorbent, l'eau de mer atténuant une onde de 10 kHz d'un facteur $e$ tous les 2,5 m environ, ce qui explique que les sous-marins utilisent des fréquences très basses. Dans le vide, les équations sont linéaires et des faisceaux se croisent sans se perturber. Enfin, $c$ est exacte : depuis 1983, le mètre est défini de façon que $c=299792458m/s$.

Ce qui vient ensuite

Les équations de Maxwell fixent une vitesse $c$ sans dire par rapport à quoi ; la leçon Relativité restreinte la rend identique pour tout observateur inertiel et mélange $\vec{E}$ et $\vec{B}$ quand on change de référentiel. La leçon Polarisation de la lumière suit la direction de $\vec{E}$ ; Interférences et superposition, puis Diffraction et fentes de Young, additionnent les champs ; Prismes, dispersion et couleurs attribue la vitesse plus faible dans le verre à des électrons qui rayonnent à nouveau, comme la nappe étudiée plus haut. Rayonnement du corps noir et quanta, Effet photoélectrique et Dualité onde-corpuscule reprennent les quanta $hf$ ; Particules et forces : le modèle standard fait du photon le porteur de la force électromagnétique. Les ondes gravitationnelles (La gravitation, courbure de l'espace-temps) se propagent aussi à la vitesse $c$ : en 2017, celles d'une fusion d'étoiles à neutrons sont arrivées à moins de 2 s de ses rayons gamma.