Ondas electromagnéticas

Principiante

¿De dónde sale una onda de radio? Imagina una varilla de metal conectada a una tensión alterna. Los electrones suben por la varilla, luego bajan, luego vuelven a subir, así que sus dos extremos se vuelven positivos y negativos por turnos. Alrededor de la varilla hay un campo eléctrico, que se invierte cada vez que las cargas cambian de lado. El campo viejo no desaparece: se aleja de la varilla mientras se forma uno nuevo detrás. Una onda de campo eléctrico se extiende hacia fuera. Y mientras los electrones corren por la varilla forman una corriente, que crea un campo magnético, así que también sale una onda magnética. Juntas forman una onda electromagnética.

En la animación, la carga que oscila a la izquierda hace de antena. La onda y las flechas azules muestran el campo eléctrico; la onda roja, el campo magnético. Suben y bajan a la vez, perpendiculares entre sí y a la dirección en que avanza la onda.

Lejos de allí, el campo eléctrico sacude los electrones de la antena de un coche, y la radio convierte ese temblor diminuto otra vez en sonido. Para llevar música, una emisora varía la intensidad de su onda (AM) o su frecuencia (FM). Estas ondas no necesitan aire: cruzan el espacio vacío, todas a la velocidad de la luz, unos 300 000 km por segundo.

La radio es solo un miembro de una gran familia. De ondas largas a cortas: radio, microondas, infrarrojo, luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma. La barra de colores muestra este espectro; nuestros ojos solo ven su estrecha franja de arcoíris.

Ponte a prueba: ¿qué cruza el espacio más deprisa, las ondas de radio o los rayos X? (Ninguno: todos viajan a la velocidad de la luz.)

Intermedio

Qué ondula

Una onda electromagnética (EM) es un patrón viajero de un campo eléctrico $\vec{E}$, en voltios por metro (V/m), y de un campo magnético $\vec{B}$, en teslas (T). No se mueve nada material: en cada punto los campos crecen, decrecen y se invierten, y lo que viaja es el patrón. El empuje de $\vec{E}$ sobre los electrones de una antena o de tu ojo es lo que permite detectar la onda.

Dos leyes la mantienen en marcha. Como vimos en Inducción electromagnética, un campo magnético variable produce un campo eléctrico; Maxwell vio que un campo eléctrico variable produce, igualmente, un campo magnético. Cada cambio crea el otro campo un poco más allá, de modo que la perturbación avanza por sí sola, sin cables ni medio.

La ponen en marcha las cargas aceleradas: electrones empujados arriba y abajo por una antena con una tensión alterna, o la carga dorada de la izquierda de la animación. Una carga en reposo o una corriente constante solo crean campos constantes.

Transversal, en fase y a una sola velocidad

En el vacío, toda onda EM tiene tres propiedades, visibles todas en la animación:

• Es transversal: $\vec{E}$ (azul, vertical) y $\vec{B}$ (rojo, horizontal, dibujado en perspectiva) son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, la flecha $c$.
• Los dos campos oscilan en fase: alcanzan sus máximos y pasan por cero en los mismos lugares y en los mismos instantes.
• Viaja a $c=3,00\times 10^{8}m/s$, sea cual sea su frecuencia.

La onda avanza según $\vec{E}\times \vec{B}$: gira los dedos de tu mano derecha de $\vec{E}$ hacia $\vec{B}$ y el pulgar indica el sentido. Con $\vec{E}$ hacia arriba de la página y $\vec{B}$ saliendo de ella, la onda va hacia la derecha; medio ciclo después ambos se han invertido, y sigue yendo hacia la derecha. La dirección de $\vec{E}$ es la polarización, vertical en la animación.

La velocidad se deduce de las dos leyes: $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$, donde ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$ y ${\mu }_0=1,26\times 10^{-6}H/m$ son las constantes de las fuerzas eléctricas entre cargas y de las fuerzas magnéticas entre corrientes, medidas con pilas y bobinas. Dan $3,00\times 10^{8}m/s$, la velocidad de la luz; en la década de 1860 esto convenció a Maxwell de que la luz es una onda electromagnética.

Las ecuaciones básicas

Tres relaciones hacen casi todo el trabajo en este nivel:

• $c=f\lambda$
• $E=cB$
• $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

La primera es la regla de Fundamentos de las ondas: en un periodo la onda avanza una longitud de onda. Como $c$ es fija, duplicar la frecuencia reduce a la mitad la longitud de onda: a lo largo de la barra del espectro, hacia la derecha, $\lambda$ baja y $f$ sube.

La segunda vale en cada punto y en cada instante. En teslas, $B$ parece minúsculo, 10 nT frente a 3,0 V/m, pero no se pueden comparar magnitudes de unidades distintas. Las energías sí: las densidades $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ y $B^2/(2{\mu }_0)$ son exactamente iguales, así que cada campo lleva la mitad de la energía.

La tercera da la intensidad $I$, la potencia media por metro cuadrado (W/m²), a partir de la amplitud $E_0$; el $\frac{1}{2}$ es el promedio de ${\sin }^2$ en un ciclo. Si duplicas $E_0$, la potencia se multiplica por cuatro.

Ejemplo resuelto: la luz verde de la animación

La animación modela luz verde con $\lambda =550\mathrm{nm}$, la distancia de cresta a cresta que marca la regla. En metros, $550\mathrm{nm}=5,50\times 10^{-7}\mathrm{m}$, así que la frecuencia y el periodo son
$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{5,50\times 10^{-7}}\approx 5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
$T=\frac{1}{f}\approx 1,83\times 10^{-15}\mathrm{s}$

Es la frecuencia que muestra el panel. Un ciclo real dura menos de dos femtosegundos y uno dibujado, 2 s, así que la imagen va unas $10^{15}$ veces más lenta que la luz.

La amplitud del campo es $E_0=3,0V/m$, así que la amplitud magnética y la intensidad son
$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{3,0}{3,00\times 10^8}=1,0\times 10^{-8}\mathrm{T}=10\mathrm{nT}$
$I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2\approx 1,2\times 10^{-2}W/{\mathrm{m}}^2$

En el punto P las lecturas oscilan entre $+3,0$ y $-3,0V/m$ y entre $+10$ y $-10\mathrm{nT}$: cuando $E$ marca 1,5 V/m, $B$ marca 5,0 nT, y los dos pasan por cero a la vez. Las flechas, una cada octavo de longitud de onda (69 nm en la onda real), crecen y decrecen a la par. Los 12 mW/m² de la vista experta corresponden a una luz tenue, unas 80 000 veces más débil que la del Sol.

Ejemplo resuelto: la radio FM y un horno de microondas

Una emisora de FM emite a 100 MHz. Primero se convierte, $100\mathrm{MHz}=1,00\times 10^8\mathrm{Hz}$; luego
$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3,00\times 10^8}{1,00\times 10^8}=3,0\mathrm{m}$

Si tomas 100 MHz como $10^7\mathrm{Hz}$ obtienes 30 m, diez veces más de la cuenta. Por eso una antena de coche de cuarto de onda mide 75 cm. A unos 30 km de un transmisor de 100 kW la amplitud es de unos 0,10 V/m, de modo que $B_0=0,10/(3,00\times 10^8)\approx 3,3\times 10^{-10}\mathrm{T}$ y la intensidad vale $I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 0,10^2\approx 1,3\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$. La señal tardó $3,0\times 10^4/(3,00\times 10^8)=1,0\times 10^{-4}\mathrm{s}$ en llegar.

Un horno de microondas a 2,45 GHz tiene $\lambda =3,00\times 10^8/(2,45\times 10^9)\approx 0,122\mathrm{m}$. Reflejadas dentro de la caja metálica, las ondas forman un patrón estacionario con puntos calientes separados media longitud de onda, unos 6,1 cm. Sin el plato giratorio, calienta unos instantes una capa de chocolate y mide la distancia entre las zonas reblandecidas: $2\cdot 0,061\cdot 2,45\times 10^9\approx 3,0\times 10^{8}m/s$, la velocidad de la luz medida en la cocina.

Cómo leer la barra del espectro

La barra inferior ordena la familia por longitud de onda, con las largas a la izquierda; la ondulación de cada banda tiene su propia longitud de onda, pero todas se mueven a la misma velocidad. Los límites son convenciones:

• Radio, de más de 1 m aproximadamente: las ondas AM rondan los 300 m y las de FM miden 3 m.
• Microondas, de 1 mm a 1 m: radar, teléfonos móviles, wifi y hornos.
• Infrarrojo, de 700 nm a 1 mm: radiación de calor, más intensa cerca de 10 µm en el caso de tu piel.
• Luz visible, solo de 400 a 700 nm: la estrecha banda de arcoíris con contorno.
• Ultravioleta, por debajo de 400 nm, y luego los rayos X y los rayos gamma, los más cortos, mucho menores que un átomo.

Hacia la derecha también sube la energía de cada fotón, $hf$ ($h=6,63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ es la constante de Planck). Esa energía, y no la intensidad, decide lo que una onda le hace a una molécula: los fotones visibles, de unos 2 eV, hacen posible la visión, y solo los de más de unos 10 eV (ultravioleta por debajo de unos 124 nm, rayos X, rayos gamma) ionizan la mayoría de los átomos.

Errores frecuentes

• Las ondas EM no necesitan un medio: la luz del Sol cruza 150 millones de km de casi vacío en 8,3 minutos.
• Mayor frecuencia no es mayor velocidad: un eco de radio y un pulso láser rebotados en la Luna vuelven ambos al cabo de unos 2,6 s.
• El campo magnético no es despreciable: 10 nT junto a 3,0 V/m llevan la misma energía. Eso sí, su fuerza sobre un electrón que se mueve con rapidez $v$ es como mucho $v/c$ veces la fuerza eléctrica, así que $\vec{E}$ es el que define la polarización.
• El vidrio cambia la velocidad y la longitud de onda, no la frecuencia: con $n=1,5$, la luz verde baja a $2,0\times 10^{8}m/s$ y los 550 nm se encogen hasta unos 367 nm, mientras $f$ sigue siendo $5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$.
• «Radiación» no significa «radiactivo», y la potencia no vuelve ionizante a una onda: los fotones de un horno de 1000 W llevan $10^{-5}\mathrm{eV}$; un solo fotón de rayos X, decenas de keV.

Dónde aparece

La radio, la televisión, los teléfonos móviles, el wifi, la navegación por satélite (19 cm), el radar y los hornos de microondas usan el extremo de longitud de onda larga. Los mandos a distancia, los enlaces de fibra óptica (1,55 µm) y las cámaras térmicas usan el infrarrojo; las lámparas ultravioleta desinfectan el agua, los rayos X obtienen imágenes de huesos y cristales, y los rayos gamma tratan tumores.

Esta lección es un puente entre la electricidad y la óptica. En Polarización de la luz se sigue la dirección de $\vec{E}$; en Interferencia y superposición y en Difracción y experimento de la doble rendija se suman los campos de varias ondas; Reflexión y refracción sigue a la onda al entrar en la materia. En Radiación de cuerpo negro y cuantos y en Efecto fotoeléctrico se ve que la luz se emite y se absorbe en paquetes de energía $hf$.

Avanzado

Las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío

La luz, las ondas de radio y los rayos X son ondas de campo eléctrico y magnético. Para ver por qué existen estas ondas, y por qué todas viajan a una misma velocidad fija, partimos de las leyes del electromagnetismo en una región sin cargas ni corrientes. Allí adoptan una forma de simetría llamativa:
$\nabla \cdot \vec{E}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Aquí $\vec{E}$ es el campo eléctrico, $\vec{B}$ el campo magnético, y ${\mu }_0$ y ${\epsilon }_0$ son las constantes magnética y eléctrica del espacio vacío. Lee las leyes de una en una. Las dos primeras son las leyes de Gauss: sin cargas, en la región no nacen ni acaban líneas de campo. La tercera es la ley de Faraday: un campo magnético que cambia con el tiempo produce un campo eléctrico que gira a su alrededor. La cuarta es la ley de Ampère con la adición de Maxwell, la corriente de desplazamiento ${\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$: un campo eléctrico que cambia con el tiempo produce un campo magnético que gira a su alrededor. Las dos últimas leyes juntas permiten que cada campo mantenga al otro sin ninguna carga cerca, y eso es exactamente lo que necesita una onda.

El término de Maxwell no es una elección libre: lo exige la conservación de la carga. Donde hay cargas, la cuarta ley se escribe $\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$, con $\vec{J}$ la densidad de corriente. Toma la divergencia de ambos miembros. La del izquierdo es cero, porque la divergencia de un rotacional siempre es nula. A la derecha, la ley de Gauss $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$, con $\rho$ la densidad de carga, convierte el segundo término en ${\mu }_0\partial \rho /\partial t$. Queda $\nabla \cdot \vec{J}+\partial \rho /\partial t=0$: la carga que sale de cualquier volumen pequeño es exactamente la que se pierde en su interior. Sin el término de Maxwell, el mismo paso exigiría $\nabla \cdot \vec{J}=0$, lo cual es falso en la placa de un condensador que se está cargando, donde la corriente llega y no sale ninguna.

Por qué el frente avanza a la velocidad de la luz

Leyenda

$\sigma$	Carga por unidad de área de la lámina en movimiento.	$C/{\mathrm{m}}^2$
$v_s$	Rapidez de la lámina, hacia abajo en la página en la vista superior.	$m/s$
$v$	Velocidad del frente, el borde de la región que tiene campo.	$m/s$
$\vec{E}$	Campo eléctrico detrás del frente: hacia arriba en la vista superior, hacia fuera de la página en la inferior.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético detrás del frente: hacia fuera de la página en la vista superior, hacia abajo en la inferior.	$\mathrm{T}$
$L$	Altura de la espira, medida a lo largo del frente.	$\mathrm{m}$
$vdt$	Cuánto avanza el frente en un tiempo corto $dt$: el ancho de la franja sombreada.	$\mathrm{m}$

Antes de resolver ninguna ecuación, un experimento mental muestra cómo el cambio de un campo crea el otro y cómo la pareja se aleja unida. Usa solo las formas de circulación de la ley de Faraday y de la ley de Ampère-Maxwell, y da directamente la velocidad del frente.

Primero la fuente. Una lámina plana infinita está en el plano $yz$; la figura 1 la muestra de canto, como la línea naranja de la izquierda. Toma $x$ hacia la derecha, alejándose de la lámina, $y$ hacia arriba en la página y $z$ saliendo de ella. La lámina lleva una carga $\sigma$ por metro cuadrado y se apoya sobre una lámina fija de carga opuesta, así que en reposo no hay campo fuera. En $t=0$ la lámina cargada se pone bruscamente en movimiento hacia abajo en la página, a lo largo de $-y$, con rapidez constante $v_s$. Una lámina de carga en movimiento es una corriente, de modo que se activa de inmediato una corriente $\sigma v_s$ por metro de anchura. Junto a la lámina, la ley de Ampère da el campo de una lámina de corriente, $B={\mu }_0\sigma v_s/2$, que apunta hacia fuera de la página, a lo largo de $z$.

Más lejos, el campo no puede aparecer en todas partes a la vez. Supón entonces que llena una región detrás de un frente plano que se aleja de la lámina con una velocidad desconocida $v$ (la línea de trazos): uniforme detrás del frente, nulo delante. Las dos leyes de circulación fijarán tanto $v$ como el campo eléctrico que debe acompañar a $\vec{B}$.

La figura 1 dibuja el mismo frente desde dos direcciones, cada vez con una espira rectangular de altura $L$ colocada a través de él. En un tiempo corto $dt$ el frente avanza $vdt$, y la espira gana la franja sombreada de campo, de área $Lvdt$.

La vista superior mira a lo largo de $z$. La espira está en el plano $xy$, así que $\vec{B}$ (los puntos dentro de círculos, hacia fuera de la página) la atraviesa, y el flujo magnético a través de la espira crece en $BLvdt$, es decir, a razón de $BLv$. La ley de Faraday dice que un flujo variable necesita un campo eléctrico que circule alrededor de la espira. Los lados a lo largo de $x$ no aportan nada, porque $\vec{E}$, a lo largo de $y$, es perpendicular a ellos, y el lado situado delante del frente no tiene campo. Solo cuenta el lado de longitud $L$ detrás del frente, así que $EL=BLv$.

La vista inferior mira hacia abajo a lo largo de $y$, desde arriba. Ahora la espira está en el plano $xz$, $\vec{E}$ la atraviesa (aquí hacia fuera de la página) y $\vec{B}$ va a lo largo del lado de la espira situado detrás del frente. La misma franja añade flujo eléctrico a razón de $ELv$. Ninguna corriente atraviesa esta espira, así que la ley de Ampère-Maxwell dice que la circulación de $\vec{B}$ es ${\mu }_0{\epsilon }_0$ veces esa razón; de nuevo solo cuenta el lado detrás del frente, de modo que $BL={\mu }_0{\epsilon }_{0}ELv$. Los sentidos dibujados son los que dan a las dos leyes los signos correctos; aquí solo importan los valores.

Simplifica $L$ y las dos condiciones quedan
$E=vB,B={\mu }_0{\epsilon }_{0}vE$
Sustituye la primera en la segunda: $B={\mu }_0{\epsilon }_0{v}^{2}B$. Ambas solo pueden cumplirse a la vez si $v^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$:
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3,00\cdot 10^{8}m/s$

Nada de esto depende de $\sigma$, de $v_s$ ni de lo brusco que fuera el arranque de la lámina: por fuerte que sea el tirón, el frente tiene esta única velocidad, construida con dos constantes que se miden con cargas y corrientes. Maxwell vio que coincide con la velocidad medida de la luz y concluyó que la luz es una onda electromagnética.

Detrás del frente, $E=cB=\sigma v_s/(2{\epsilon }_{0}c)$, ya que ${\mu }_{0}c=1/({\epsilon }_{0}c)$. $\vec{E}$ apunta en contra de la velocidad de la lámina, hacia arriba en la página en la figura 1, y $\vec{E}\times \vec{B}$ apunta alejándose de la lámina, en el sentido en que avanza el frente. Fíjate en lo que registra el campo: lo rápido que se mueve la lámina, no dónde está. Así, si la lámina se detiene tras un tiempo $\tau$, un segundo frente de signo opuesto sigue al primero, y entre ambos una franja de campo de grosor $c\tau$ continúa su camino sin ninguna carga cerca. Si sacudes la lámina arriba y abajo, el campo que sale copia el historial de su velocidad, retrasado $x/c$ a una distancia $x$: una onda plana.

La ecuación de onda

La lámina produjo un frente plano. La forma diferencial de las leyes muestra que un patrón de campo de cualquier forma viaja a la misma velocidad. Toma el rotacional de la ley de Faraday. A la izquierda usa la identidad $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$, cuyo primer término se anula porque $\nabla \cdot \vec{E}=0$. A la derecha, intercambia el rotacional con la derivada temporal e introduce la cuarta ley en lugar de $\nabla \times \vec{B}$. Los signos menos se compensan y queda
${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

Es la ecuación de onda de Fundamentos de las ondas con $1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ en lugar de $v^2$, así que toda solución viaja a $c$. Los mismos pasos, partiendo de la cuarta ley, dan la misma ecuación para $\vec{B}$. El signo menos de la ley de Faraday es esencial: dice que los campos inducidos se oponen al cambio que los causa. Con un signo más, las soluciones crecerían o decaerían exponencialmente en el tiempo en vez de viajar, y no habría ondas.

Una onda plana: dos campos en fase, en ángulo recto

Leyenda

$x$	Eje a lo largo de la dirección de propagación.	$\mathrm{m}$
$y$	Eje a lo largo del cual oscila $\vec{E}$.
$z$	Eje a lo largo del cual oscila $\vec{B}$; apunta hacia ti, dibujado abajo a la izquierda.
$\vec{E}$	Campo eléctrico de la onda.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético de la onda, en fase con $\vec{E}$.	$\mathrm{T}$
$E_0$	Amplitud del campo eléctrico.	$V/m$
$B_0$	Amplitud del campo magnético, igual a $E_0/c$.	$\mathrm{T}$
$\lambda$	Longitud de onda: la distancia de una cresta a la siguiente.	$\mathrm{m}$
$c$	Velocidad de la onda, a lo largo de la dirección de propagación.	$m/s$

La solución más simple, una onda plana sinusoidal, muestra cómo están dispuestos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ en toda la luz. La figura 2 congela una que viaja a lo largo de $x$ en el instante $t=0$:
$E=E_0\sin (kx-\omega t),\omega =ck$
Aquí $k=2\pi /\lambda$ es el número de onda y $\omega$ la frecuencia angular; $\omega =ck$ es lo que la ecuación de onda exige a esta forma.

En la figura los ejes forman un triedro directo, con $z$ apuntando hacia ti (dibujado abajo a la izquierda en la página). El campo eléctrico $\vec{E}$ (azul) oscila a lo largo de $y$, el campo magnético $\vec{B}$ (rojo) a lo largo de $z$. Ambos son sinusoides con la misma longitud de onda $\lambda$, la distancia de una cresta a la siguiente, y se anulan y alcanzan su máximo en los mismos lugares. Sus amplitudes $E_0$ y $B_0$ tienen unidades distintas, así que las longitudes dibujadas no se pueden comparar.

¿Por qué $\vec{E}$ es perpendicular a la dirección de propagación? En una onda plana los campos dependen solo de $x$ y de $t$. La ley de Gauss se reduce entonces a $\nabla \cdot \vec{E}=\partial E_x/\partial x=0$, y la componente $x$ de la ley de Ampère-Maxwell da $\partial E_x/\partial t=0$, porque el rotacional de un campo así no tiene componente $x$. Por tanto $E_x$ es, como mucho, una constante, que no forma parte de la onda: la onda es transversal, y podemos tomar $\vec{E}$ a lo largo de $y$.

¿Por qué $\vec{B}$ va a lo largo de $z$ y en fase con $\vec{E}$? La componente $z$ de la ley de Faraday da $\partial B_z/\partial t=-\partial E_y/\partial x=-k{E}_0\cos (kx-\omega t)$. Integrando en el tiempo, la solución oscilante es $B_z=(k/\omega )E_0\sin (kx-\omega t)$; la componente $y$ da $\partial B_y/\partial t=0$, así que no hay un $B_y$ oscilante. Como $\omega /k=c$,
$E=cB$

Así, $\vec{B}$ es perpendicular a $\vec{E}$ y está en fase con él, con $B_0=E_0/c$, y $\vec{E}\times \vec{B}$ apunta según $+x$, la dirección de propagación marcada $c$ en la figura. Para una onda que va hacia $-x$ los mismos pasos dan $B_z=-E_y/c$: invertir el sentido de propagación invierte $\vec{B}$ respecto a $\vec{E}$.

La gráfica de la vista experta de la animación muestra la misma onda en el tiempo en vez de en el espacio: $E$ en el punto P, una sinusoide de amplitud 3,0 V/m cuyos dos ciclos duran 1,83 fs cada uno, un periodo de luz verde de 550 nm. P está a dos longitudes de onda a lo largo de la onda, así que allí $kx=4\pi$ y la traza es $E=E_0\sin (4\pi -\omega t)=-E_0\sin \omega t$: empieza en cero y baja primero. Es la instantánea leída al revés. La onda se mueve hacia $+x$, así que lo que llega después a P es la parte de la onda justo a su izquierda, que en $t=0$ queda por debajo del eje. La lectura de $B$ sigue a la traza, con $E/B=c$ en todo instante.

Energía, intensidad y momento lineal

Leyenda

$c\Delta t$	Longitud del tubo: lo que avanza la onda en el tiempo $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$A$	Sección del tubo: la superficie que atraviesa la energía.	${\mathrm{m}}^2$
$u$	Energía por unidad de volumen almacenada en el campo dentro del tubo.	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{E}$	Campo eléctrico de la onda dentro del tubo.	$V/m$
$\vec{S}$	Potencia por unidad de área a través de la cara, a lo largo de la dirección de propagación.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$c$	Velocidad de la onda y de la energía que transporta.	$m/s$

Una onda se lleva energía lejos de su fuente; así es como la luz del Sol calienta la Tierra. Para hallar cuánta potencia atraviesa cada metro cuadrado, la figura 3 sigue la energía a través de un trozo de superficie de área $A$ colocado en el camino de la onda.

Los campos almacenan energía con densidad $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+B^2/(2{\mu }_0)$, en julios por metro cúbico: las mismas expresiones que para el campo en un condensador y en una bobina. Todo el patrón se mueve a $c$ sin cambiar de forma, así que en un tiempo $\Delta t$ la cara $A$ es atravesada por toda la energía del tubo de sección $A$ y longitud $c\Delta t$ situado detrás de ella, que es $uAc\Delta t$. Al dividir entre $A$ y entre $\Delta t$, la potencia por metro cuadrado es $cu$.

Ahora usa el vínculo de la onda plana $B=E/c$ junto con $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$. El término magnético pasa a ser $B^2/(2{\mu }_0)=E^2/(2{\mu }_0{c}^2)=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$, de modo que las dos mitades de $u$ son iguales, $u={\epsilon }_0{E}^2$, y la potencia por metro cuadrado es $c{\epsilon }_0{E}^2$. El teorema de Poynting, la conservación de la energía para los campos, lo escribe en general como el vector $\vec{S}$ de la figura:
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$

Para la onda plana su módulo es $EB/{\mu }_0=E^2/({\mu }_{0}c)=c{\epsilon }_0{E}^2$, como se halló antes, y apunta en la dirección de propagación.

El campo de la luz visible se invierte unas $10^{15}$ veces por segundo, demasiado deprisa para que ningún detector lo siga, así que lo que se mide es el promedio sobre muchos ciclos. El promedio de ${\sin }^2$ en un ciclo es un medio, de modo que la intensidad es
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

Para los 3,0 V/m de la animación son los 12 mW/m² del panel, con una densidad de energía media de $4,0\times 10^{-11}J/{\mathrm{m}}^3$. La luz del Sol al nivel del suelo, de unos 1,0 kW/m², corresponde a $E_0\approx 870V/m$ y a una amplitud magnética de 2,9 µT.

Los campos llevan también momento lineal, $S/c^2$ por metro cúbico. Al moverse a $c$, ese momento llega a una superficie a razón de $S/c$ por metro cuadrado. Una superficie negra lo absorbe y por tanto siente una presión $I/c$; un espejo lo devuelve y siente el doble. La luz del Sol sobre una superficie negra al nivel del suelo empuja con 3,3 µPa; sobre un espejo por encima de la atmósfera, donde la intensidad es de 1361 W/m², la fuerza es de unos 9 N por kilómetro cuadrado. Este empuje diminuto e incesante impulsa las velas solares y aleja del Sol las colas de polvo de los cometas.

Radiación de las cargas aceleradas

Leyenda

$q$	La carga a la que se da el empujón.	$\mathrm{C}$
$O$	El lugar donde reposaba la carga antes del empujón.
$a$	Aceleración de la carga durante el empujón.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$vt$	Distancia que la carga se ha alejado de $O$ en el instante $t$.	$\mathrm{m}$
$ct$	Radio de la esfera exterior: lo que ha recorrido la noticia del empujón en el tiempo $t$.	$\mathrm{m}$
$c\tau$	Grosor de la capa: lo que recorre la noticia mientras dura el empujón, un tiempo $\tau$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ángulo entre una línea de campo y la línea del empujón.	$\mathrm{rad}$
$\vec{E}$	Campo lateral en la capa, el campo de radiación: opuesto a la componente lateral de la aceleración.	$V/m$
$c$	Velocidad a la que la capa, y el pliegue que contiene, se expande hacia fuera.	$m/s$

Hasta ahora las ondas se daban sin más. Esta sección muestra de dónde vienen: de cargas cuya velocidad cambia. Una carga en reposo tiene su campo de Coulomb. Una carga que se mueve con velocidad constante se lleva ese campo consigo, ya que en su propio sistema de referencia está en reposo. Solo una aceleración emite una onda, y la figura 4 muestra por qué.

Una carga $q$ está en reposo en $O$ hasta $t=0$. Entonces se la empuja a lo largo de $x$ con aceleración $a$ durante un tiempo corto $\tau$, y después sigue a la pequeña velocidad $v=a\tau$, de modo que un tiempo $t$ más tarde está a una distancia $vt$ de $O$. La figura exagera $v/c$; el razonamiento necesita $v\ll c$.

La noticia del empujón se propaga hacia fuera a $c$, así que en el instante $t$ las líneas de campo (dibujadas en sección) se reparten en tres zonas. Fuera de la esfera de radio $ct$ alrededor de $O$ la noticia aún no ha llegado: las líneas siguen apuntando alejándose de $O$, donde estaría la carga si nunca se hubiera movido. Dentro de la esfera de radio $c(t-\tau )$ la carga, por lo que el campo sabe, se ha movido uniformemente todo el tiempo, y sus líneas se alejan del lugar donde está ahora. En la fina capa de grosor $c\tau$ entre las dos esferas cada línea debe unir su parte exterior con su parte interior, y como las dos partes están desplazadas, la línea atraviesa la capa en sentido lateral. Este tramo lateral es el pliegue.

Lee su tamaño en la figura. Una línea que sale con el ángulo $\theta$ respecto a la línea del empujón queda desplazada lateralmente $vt\sin \theta$, la parte del desplazamiento $vt$ perpendicular a la línea, y hace este desplazamiento dentro de una capa de solo $c\tau$ de grosor. Dentro de la capa el campo sigue la línea, así que el cociente entre su parte lateral $E_{\perp }$ y su parte radial $E_r$ es el cociente de esas dos longitudes. Con $v=a\tau$ y $r=ct$ para el radio de la capa,
$\frac{E_{\perp }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$
La parte radial sigue siendo el campo de Coulomb, $E_r=q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$, porque por la ley de Gauss la capa deja pasar tantas líneas de campo como antes. Al multiplicar ambas se obtiene el campo lateral, la flecha $\vec{E}$ de la figura.

Fíjate en las potencias de $r$. La parte radial decae como $1/r^2$, pero la lateral solo como $1/r$, porque el desplazamiento $vt$ crece a medida que la capa se expande mientras su grosor sigue siendo $c\tau$. Lejos de la carga, por tanto, domina el pliegue. Es el campo de radiación, y se aleja a $c$ con la capa.

Para un empujón que varía suavemente en el tiempo, y para velocidades muy inferiores a $c$, el mismo razonamiento da el campo a una distancia $r$ y a un ángulo $\theta$ de la línea de la aceleración:
$E(r,t)=\frac{qa(t-r/c)\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$
Destacan tres cosas. El campo es transversal, opuesto a la componente lateral de la aceleración para una carga positiva. Lo fija la aceleración en el instante anterior $t-r/c$, cuando salió la noticia. Y su intensidad, proporcional a $E^2$, va como ${\sin }^2\theta /r^2$: nula a lo largo de la línea de la aceleración y máxima en ángulo recto con ella. Por eso un mástil de radio vertical, cuyas cargas suben y bajan, emite su señal a lo largo del suelo.

La potencia total sale de sumar la intensidad $c{\epsilon }_0{E}^2$ sobre una esfera de radio $r$. El área de la esfera, proporcional a $r^2$, cancela el $1/r^2$, y ${\sin }^2\theta$ promedia dos tercios sobre todas las direcciones, lo que da la fórmula de Larmor:
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

La ley $1/r$ es lo que deja escapar la energía: la potencia que atraviesa una esfera, proporcional a $E^2{r}^2$, es la misma a cualquier radio, mientras que un campo que decayera como $1/r^2$ no llevaría nada a grandes distancias. Por eso la luz de las estrellas sigue llegando tras muchos años luz.

En la animación la carga dorada oscila, de modo que su aceleración $a=-{\omega }^{2}y$ es siempre opuesta a su desplazamiento $y$. El campo radiado es opuesto a la aceleración, así que sigue al desplazamiento: la onda azul junto a la carga sube y baja con ella, y el punto P, a dos longitudes de onda, recibe cada movimiento dos periodos (3,7 fs) más tarde. La radiación sincrotrón y los tubos de rayos X obedecen la misma regla.

Problema resuelto: una lámpara verde de 1 W

Una lámpara pequeña emite $P=1,0\mathrm{W}$ de luz verde de 550 nm por igual en todas las direcciones. ¿A qué distancia vale su amplitud de campo los 3,0 V/m de la animación? ¿Qué cambia al doble de esa distancia? ¿Qué fuerza actúa allí sobre una cartulina negra de 1,0 cm² colocada de frente a la lámpara, y cuántos fotones absorbe cada segundo?

A una distancia $r$ el vatio se reparte sobre una esfera de área $4\pi r^2$, así que $I=P/(4\pi r^2)$. Iguálalo a $\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ y despeja $r$:
$r=\sqrt{\frac{P}{2\pi c{\epsilon }_0{E}_0^2}}=\sqrt{\frac{1,0}{2\pi \cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2}}\approx 2,6\mathrm{m}$

A 5,2 m el mismo vatio atraviesa una esfera cuatro veces mayor, así que la intensidad baja a la cuarta parte, a 3,0 mW/m². La amplitud va como la raíz cuadrada de la intensidad, así que solo se reduce a la mitad, a 1,5 V/m, como exige la ley $1/r$.

De vuelta a 2,6 m, la intensidad es de 12 mW/m², así que la cartulina absorbe $1,2\times 10^{-2}\cdot 1,0\times 10^{-4}=1,2\times 10^{-6}\mathrm{W}$. Un absorbente siente la presión $I/c$, así que la fuerza es la potencia absorbida dividida entre $c$: $F=1,2\times 10^{-6}/(3,00\times 10^8)=4,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$. La presión, $4,0\times 10^{-11}\mathrm{Pa}$, es igual a la densidad de energía media del haz, como para cualquier absorbente, ya que ambas valen $I/c$.

La frecuencia de la luz es $f=c/\lambda =5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, y cada fotón lleva la energía $hf$, con $h$ la constante de Planck: $hf=6,63\times 10^{-34}\cdot 5,45\times 10^{14}\approx 3,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$, unos 2,3 eV. La cartulina absorbe, por tanto, $1,2\times 10^{-6}/(3,6\times 10^{-19})\approx 3,3\times 10^{12}$ fotones por segundo. Son demasiados para que se aprecie su granularidad, así que la onda clásica y continua es una descripción excelente en este caso.

Límites de validez

La teoría clásica describe la propagación, la interferencia, la difracción y la polarización a cualquier frecuencia. Falla donde la materia intercambia energía con el campo, porque eso ocurre en cuantos $hf$: 2,3 eV para la luz verde, $4\times 10^{-7}\mathrm{eV}$ para la radio FM, decenas de keV para los rayos X médicos. La mayoría de los átomos necesitan unos 10 eV para perder un electrón, así que solo ionizan las longitudes de onda inferiores a unos 124 nm, por débil que sea el haz. Cuando los fotones son pocos, la onda solo da la probabilidad de detectar uno.

También falla dentro de los átomos. Un electrón que girara como en un átomo de hidrógeno clásico, con $a\approx 9,0\times 10^{22}m/{\mathrm{s}}^2$, radiaría $4,7\times 10^{-8}\mathrm{W}$ según la fórmula de Larmor y caería en espiral hacia el núcleo en unos 16 ps. Los átomos son estables; la explicación empieza en Modelos atómicos: el átomo de Bohr.

En la materia la onda se frena a $c/n$, con un $n$ que depende de la frecuencia; los conductores la absorben, y el agua de mar reduce una onda de 10 kHz en un factor $e$ cada 2,5 m más o menos, por lo que los submarinos usan frecuencias muy bajas. En el vacío las ecuaciones son lineales, y los haces se cruzan sin perturbarse. Por último, $c$ es exacta: desde 1983 el metro se define de modo que $c=299792458m/s$.

Lo que viene después

Las ecuaciones de Maxwell fijan una velocidad $c$ sin decir respecto a qué: en Relatividad especial pasa a ser la misma para todo observador inercial, y $\vec{E}$ y $\vec{B}$ se mezclan al cambiar de sistema de referencia. En Polarización de la luz se sigue la dirección de $\vec{E}$; en Interferencia y superposición y en Difracción y experimento de la doble rendija se suman campos; en Prismas, dispersión y color, la menor velocidad de la luz en el vidrio se atribuye a electrones que reemiten como la lámina de antes. En Radiación de cuerpo negro y cuantos, en Efecto fotoeléctrico y en Dualidad onda-corpúsculo se estudian los cuantos $hf$; en Partículas y fuerzas: el modelo estándar, el fotón es el portador de la fuerza electromagnética. Las ondas gravitacionales (La gravedad como curvatura del espacio-tiempo) también viajan a $c$: en 2017, las de la fusión de dos estrellas de neutrones llegaron con menos de 2 s de diferencia respecto a sus rayos gamma.