Волны: основные понятия

Начальный

Вспомните «волну» на стадионе: каждый болельщик лишь встаёт и снова садится на своё место, а по трибунам бежит волна поднятых рук. Это и есть волна: возмущение, которое перемещается из одного места в другое и переносит энергию, а само вещество остаётся на месте. Лодка на озере поднимается и опускается, когда под ней проходит рябь, но рябь не уносит её к берегу.

В анимации рука трясёт конец верёвки. Жёлтые точки сидят на гребнях — самых высоких местах — и ровно бегут вправо, а красная бусина лишь поднимается и опускается вдоль своего пунктира.

Волны бывают двух видов. На верёвке каждый её кусочек движется поперёк направления распространения — это поперечная волна. В пружине внизу витки ходят туда-сюда вдоль этого направления, то сближаясь, то расходясь, — это продольная волна. Звук в воздухе именно такой.

Регулярную волну описывают четыре понятия. Длина волны — расстояние от одного гребня до следующего; амплитуда — на сколько гребень поднимается над линией покоя; частота — сколько гребней проходит мимо точки за секунду, в герцах (Гц); скорость — какое расстояние гребень проходит за секунду. Если мимо вас каждую секунду проходят 2 гребня, а между ними 3 метра, волна за секунду пробегает $2\times 3=6$ метров: скорость = частота × длина волны.

Скорость задаёт среда, а не рука. Трясите чаще — за секунду выйдет больше гребней, и им придётся встать теснее.

Проверьте себя: вы стали трясти верёвку втрое чаще. Что станет с длиной волны? (Она уменьшится в три раза, а скорость не изменится.)

Средний

Что движется и что мы измеряем

Волна — это возмущение, которое бежит по среде и переносит энергию, тогда как каждая частица среды лишь колеблется около своего положения покоя. На встряхиваемой верёвке каждый кусочек повторяет движение соседа чуть позже: движение передаётся дальше, а сама верёвка остаётся на месте. В анимации гребни бегут вправо, а красная бусина лишь поднимается и опускается вдоль своего пунктира.

На верёвке каждый её кусочек движется под прямым углом к направлению распространения — это поперечная волна. В пружине внизу витки ходят туда-сюда вдоль этого направления, то сгущаясь в сжатия, то расходясь в разрежения, — это продольная волна. Звук в воздухе продольный, потому что газ сопротивляется сжатию, но не сдвигу вбок. Свет тоже поперечный, только колеблется в нём не вещество, а электрическое и магнитное поля.

Смещение $y$ — это отклонение точки от её положения покоя (от пунктирной линии), в метрах; амплитуда $A$ — наибольшее смещение, от линии покоя до гребня. Длина волны $\lambda$ — длина одного цикла в пространстве, от гребня до гребня. Период $T$ — время одного полного колебания точки, а частота $f$ — число колебаний в секунду, в герцах (Гц).

Одна длина волны за период

Проследите за одним гребнем. Пока точка под ним совершает одно полное колебание, следующий гребень приходит туда, где только что был первый: за один период $T$ картина сдвигается ровно на одну длину волны, поэтому её скорость равна $\lambda /T$. Поскольку частота — это число периодов в секунду, две главные формулы этого урока таковы:

• $f=\frac{1}{T}$
• $v=f\lambda$

Они верны для любой периодической волны, будь то волна на верёвке, в воздухе или свет, и по любым двум из величин $v$, $f$, $\lambda$ находится третья. Но сами формулы не говорят, какая из величин задана: это определяют среда и источник.

Скорость задаёт среда

Как быстро возмущение передаётся дальше, зависит только от среды: от того, насколько сильно она возвращает частицы назад и какую массу нужно привести в движение. Для струны или верёвки с силой натяжения $F$ в ньютонах и массой единицы длины $\mu$ в килограммах на метр скорость волны равна
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Натяните сильнее — и волна побежит быстрее; более тяжёлая верёвка замедляет её, а при вчетверо большем натяжении скорость удваивается. Звук распространяется со скоростью около 343 м/с в воздухе при 20 °C, 1480 м/с в воде и 6000 м/с в стали, свет — со скоростью $3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ в вакууме.

Частоту задаёт источник: рука или громкоговоритель решает, сколько циклов уходит в каждую секунду, а длина волны получается сама, $\lambda =v/f$. Каждую точку новой среды раскачивает соседняя точка прежней в том же ритме, поэтому $f$ не меняется, а $v$ и $\lambda$ меняются вместе. Переносимая энергия растёт как квадрат амплитуды: при вдвое большем $A$ за секунду переносится вчетверо больше энергии.

Пример: верёвка из анимации

Красная бусина совершает одно колебание каждые 2 с, а фиолетовая двойная стрелка охватывает одну длину волны, 2 м. Значит,
$f=1/T=1/2=0,5\mathrm{Гц}$
$v=f\lambda =0,5\cdot 2=1\mathrm{м}/\mathrm{с}$
Это значения, показанные вверху анимации. За каждый период фиолетовая стрелка смещается вместе с гребнями на 2 м вперёд, а затем перескакивает назад, в то место, где картина выглядит точно так же.

Бусина находится в 3 м от руки, поэтому движение руки доходит до неё через $3/1=3\mathrm{с}$, то есть через полтора периода: бусина сдвинута относительно руки на полцикла и колеблется в противофазе с ней. Когда рука находится в самой низкой точке, $-0,3\mathrm{м}$, бусина — в самой высокой, $+0,3\mathrm{м}$; красный индикатор качается между этими двумя значениями, а амплитуду отмечает жёлтая стрелка $A$. За каждый период бусина проходит вверх и вниз $4A=1,2\mathrm{м}$, то есть в среднем 0,6 м/с поперёк верёвки, тогда как каждый гребень за это время смещается на 2 м вдоль неё. Сжатия пружины тоже находятся на расстоянии 2 м друг от друга.

Пример: две связанные верёвки

Лёгкая верёвка массой 0,040 кг на метр привязана к тяжёлой, массой 0,160 кг на метр; каждая длиной 6 м, натяжение 36 Н. Вы трясёте лёгкую верёвку 5 раз в секунду. На каждой верёвке
$v_1=\sqrt{36/0,040}=\sqrt{900}=30\mathrm{м}/\mathrm{с},{\lambda }_1=30/5=6\mathrm{м}$
$v_2=\sqrt{36/0,160}=\sqrt{225}=15\mathrm{м}/\mathrm{с},{\lambda }_2=15/5=3\mathrm{м}$
Частота на обеих верёвках равна 5 Гц, потому что узел раскачивает тяжёлую верёвку так же часто, как раскачивают его самого. При вчетверо большей массе единицы длины скорость уменьшается вдвое, а вместе с ней и длина волны.

Импульс пересекает лёгкую верёвку за $6/30=0,2\mathrm{с}$, а тяжёлую — за $6/15=0,4\mathrm{с}$, всего за 0,6 с. Часть каждой волны отражается от узла: здесь начинается тема отражения.

Снимок волны и график колебаний

Снимок показывает $y$ в зависимости от положения $x$ в один момент времени — это сама верёвка, — и по нему видны длина волны и амплитуда. График колебаний показывает $y$ в зависимости от времени $t$ для одной точки, как график красной бусины в экспертном слое анимации, и по нему виден период. Это две синусоиды одной высоты: одна повторяется через каждые 2 м, другая — через каждые 2 с; их отношение и есть 1 м/с.

Продольную волну рисуют так же, откладывая вверх смещение вдоль пружины, поэтому кривая выглядит как поперечная. Читать её нужно внимательно: сжатие находится не там, где смещение наибольшее, а у витка, который стоит точно в своём положении покоя, тогда как оба соседних витка сдвинуты к нему. Через полдлины волны соседи, наоборот, оттянуты от такого витка — это разрежение.

Частые ошибки

• Если трясти чаще, волна не побежит быстрее: на лёгкой верёвке при натяжении 36 Н волна, которую возбуждают 10 раз в секунду, по-прежнему бежит со скоростью 30 м/с; уменьшается только длина волны, с 6 м до 3 м.
• Скорость волны — не скорость самой среды: красная бусина движется в среднем со скоростью 0,6 м/с (и быстрее, если амплитуда растёт), а гребни бегут с неизменной скоростью 1 м/с.
• Амплитуду отсчитывают от линии покоя: от самой низкой до самой высокой точки верёвка занимает 0,6 м, но $A=0,3\mathrm{м}$.
• От гребня до впадины — половина длины волны, а от верхнего положения до нижнего — половина периода: точка, которой нужно 0,25 с, чтобы перейти сверху вниз, имеет $T=0,5\mathrm{с}$ и $f=2\mathrm{Гц}$.

Где это встречается

Звуку нужно около 3 с на километр, поэтому по задержке между молнией и громом можно найти расстояние до грозы. Слышимый звук, от 20 Гц до 20 кГц, имеет длины волн от 17 м до 1,7 см; медицинский ультразвук частотой 5 МГц при скорости около 1540 м/с в тканях даёт волны длиной 0,3 мм — достаточно тонкие, чтобы показать бьющееся сердце. Землетрясения посылают сквозь землю волны обоих видов, а поперечные не проходят через внешнее ядро Земли — так мы узнали, что оно жидкое.

Дальше идут уроки «Звук и эффект Доплера», «Стоячие волны», «Интерференция и суперпозиция волн», «Отражение и преломление» и «Электромагнитные волны».

Продвинутый

Форма, которая скользит

Волна — это возмущение, которое распространяется, тогда как сама среда остаётся на месте: каждая точка верёвки лишь движется вверх и вниз, а вдоль верёвки бежит форма. Чтобы работать с волнами, нужна одна функция, которая даёт смещение каждой точки в каждый момент времени, и нужно понять, какой вид принимает эта функция, когда форма движется, не меняясь.

Обозначения

$y$	Смещение верёвки от линии покоя.	$\mathrm{м}$
$x$	Координата вдоль верёвки; точка на штриховом импульсе находится в $x$.	$\mathrm{м}$
$t$	Время: сплошной импульс — верёвка при $t=0$, штриховой — спустя время $t$.	$\mathrm{с}$
$v$	Скорость волны, направленная в сторону $+x$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$vt$	Расстояние, на которое форма сместилась за время $t$.	$\mathrm{м}$
$x-vt$	Координата точки на сплошном импульсе, высота которой теперь находится в $x$.	$\mathrm{м}$

Обозначим через $y(x,t)$ поперечное смещение верёвки в точке $x$ в момент $t$. На рисунке 1 показан несимметричный импульс, левый склон которого круче правого, — так видно, что вся форма переносится без изменений. Сплошная кривая — верёвка в момент $t=0$; обозначим её форму $y=f(x)$, где $f$ пока обозначает форму, а не частоту. Штриховая кривая — та же верёвка спустя время $t$. За это время форма сместилась в сторону $+x$ со скоростью $v$, то есть на расстояние $vt$, отмеченное под осью.

Теперь посмотрите на две точки. Правая лежит на штриховой кривой в точке $x$. Левая лежит на сплошной кривой на расстояние $vt$ позади, в точке $x-vt$. Соединяющая их горизонтальная штриховая линия показывает, что они на одной высоте: движущаяся форма просто перенесла эту высоту вперёд на $vt$. То же верно для каждой точки, поэтому высота в точке $x$ в момент $t$ — это та высота, которая в нулевой момент была в точке $x-vt$:
$y(x,t)=f(x-vt)$

Всё зависит от единственной комбинации $x-vt$. Если держать её постоянной, $x-vt=x_1$, мы следим за одной деталью формы, скажем за гребнем, и эта деталь находится в точке $x=x_1+vt$: она движется вперёд со скоростью $v$, как и должно быть. Те же рассуждения показывают, что форма, движущаяся в сторону $-x$, имеет вид $g(x+vt)$.

Самая важная форма — синусоида. Зададим ей длину волны $\lambda$ — расстояние между соседними гребнями — и период $T$ — время, за которое точка совершает полный цикл. Тогда аргумент синуса, называемый фазой, должен увеличиваться на $2\pi$ при увеличении $x$ на $\lambda$, а также при увеличении $t$ на $T$. Оба требования выполняются, если
$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$
$k=\frac{2\pi }{\lambda }$
$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$
где $A$ — амплитуда, а $f=1/T$ теперь обозначает частоту. Волновое число $k$ — это число радианов фазы на метр верёвки, а циклическая частота $\omega$ — число радианов фазы за секунду. Чтобы найти скорость, вынесем $k$ за скобки в фазе: $kx-\omega t=k(x-(\omega /k)t)$. Значит, синус зависит от $x$ и $t$ только через $x-vt$, где
$v=\frac{\omega }{k}=f\lambda$

В анимации $k=\pi \mathrm{рад}/\mathrm{м}$ и $\omega =\pi \mathrm{рад}/\mathrm{с}$, поэтому длина волны равна 2 м, период — 2 с, а скорость — 1 м/с. При отсчёте $x$ от руки верёвка описывается законом $y=0,3\sin (\pi x-\pi t)$ (в метрах и секундах). Начальная фаза $\phi$ в выражении $A\sin (kx-\omega t+\phi )$ лишь сдвигает точку цикла, с которой начинается волна.

Закон Ньютона для кусочка струны

До сих пор мы только описывали бегущую форму. Теперь спросим, почему возмущение вообще бежит по струне и что определяет его скорость. Ответ даёт второй закон Ньютона, применённый к одному крошечному кусочку струны.

Обозначения

$x$	Координата левого конца кусочка.	$\mathrm{м}$
$x+dx$	Координата правого конца кусочка.	$\mathrm{м}$
$dx$	Длина кусочка вдоль $x$.	$\mathrm{м}$
$\mu dx$	Масса кусочка; $\mu$ — масса единицы длины.	$\mathrm{кг}$
$F$	Сила натяжения: с ней остальная струна тянет кусочек вдоль струны за каждый конец.	$\mathrm{Н}$
${\theta }_1$	Угол между силой на левом конце и горизонталью.	$\mathrm{рад}$
${\theta }_2$	Угол между силой на правом конце и горизонталью.	$\mathrm{рад}$
$F_y$	Результирующая поперечная сила, действующая на кусочек: сумма поперечных составляющих двух сил.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 2 показан короткий кусочек струны между $x$ и $x+dx$ в том месте, где струна изогнута. Если $\mu$ — масса единицы длины, то масса кусочка равна $\mu dx$. Остальная часть струны тянет его за оба конца с силой натяжения $F$, всегда направленной вдоль струны, под углами ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ к горизонтали.

Разложим каждую силу на горизонтальную и поперечную составляющие; штриховые линии у каждого конца показывают это разложение. При малых углах обе горизонтальные составляющие почти точно равны $F$ и направлены противоположно, поэтому они компенсируют друг друга. Поперечная составляющая каждой силы равна $F\sin \theta$. При малом угле $\sin \theta \approx \mathrm{tg}\theta$, а $\mathrm{tg}\theta$ — это просто наклон струны, $\partial y/\partial x$. Значит, поперечная составляющая на каждом конце равна $F$, умноженной на наклон струны у этого конца.

На рисунке наклон отрицателен у левого конца и положителен у правого, поэтому обе поперечные составляющие направлены вверх и складываются. В общем случае левый конец тянут в сторону $-x$, а правый — в сторону $+x$, поэтому их поперечные составляющие входят с противоположными знаками: результирующая поперечная сила равна $F$, умноженной на наклон в точке $x+dx$, минус $F$, умноженная на наклон в точке $x$. Эта разность наклонов на длине $dx$ равна $({\partial }^{2}y/\partial x^2)dx$, поэтому
$F_y=F\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}dx$

Следовательно, на прямой кусочек результирующая сила не действует, а изогнутый тянется к внутренней стороне изгиба, как показывает стрелка $F_y$. Второй закон Ньютона для кусочка имеет вид $\mu dx{\partial }^{2}y/\partial t^2=F_y$; разделив на $\mu dx$, получаем
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{F}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Это волновое уравнение. Словами: каждый участок струны ускоряется пропорционально тому, насколько сильно струна изогнута в этом месте. Подчиняется ли ему скользящая форма из первого раздела, $y=f(x-vt)$, где $f$ снова обозначает форму? По правилу дифференцирования сложной функции каждая производная по $t$ даёт множитель $-v$, а каждая производная по $x$ — множитель 1, поэтому ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{f}^{\prime \prime }$ и ${\partial }^{2}y/\partial x^2=f^{\prime \prime }$, где $f^{\prime \prime }$ — вторая производная формы. Уравнение принимает вид $v^2{f}^{\prime \prime }=(F/\mu )f^{\prime \prime }$. Оно выполняется для любой формы при условии, что
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Натяжение создаёт возвращающую силу, а масса единицы длины — инерцию, точно так же как жёсткость и масса у осциллятора на пружине: по более натянутой струне волны бегут быстрее, по более тяжёлой — медленнее. В выводе скрыты два приближения. Мы считали, что горизонтальные составляющие сил, $F\cos \theta \approx F$, компенсируют друг друга, так что кусочек движется только вбок, и что натяжение везде одинаково. Оба приближения требуют малых наклонов, $|\partial y/\partial x|\ll 1$.

Звук: тот же закон в газе

Звук — тоже механика. В воздухе возвращающую силу создаёт давление, а не натяжение, и газ движется вдоль направления распространения, а не поперёк него. В этом разделе мы выведем волновое уравнение для газа, а из него — скорость звука.

Обозначения

$x$	Положение левой грани слоя в покое.	$\mathrm{м}$
$x+dx$	Положение правой грани слоя в покое.	$\mathrm{м}$
$dx$	Толщина слоя в покое.	$\mathrm{м}$
$s$	Смещение левой грани от положения покоя вдоль $x$.	$\mathrm{м}$
$s+ds$	Смещение правой грани; $ds$ — на сколько больше она сместилась, чем левая.	$\mathrm{м}$
$dx+ds$	Толщина смещённого слоя.	$\mathrm{м}$

В звуковой волне каждый тонкий слой газа движется взад и вперёд вдоль $x$, как витки пружины в анимации. Пусть $s(x,t)$ — смещение вдоль $x$ того слоя, который в покое находится в точке $x$. На рисунке 3 прослежен один слой, лежащий между $x$ и $x+dx$, пока газ покоится (верхний ряд). В нижнем ряду звуковая волна сместила газ. Левая грань слоя сместилась на $s$, а правая — на $s+ds$, то есть на другую величину, поэтому толщина слоя стала $dx+ds$. На рисунке $ds$ отрицательно: правая грань сдвинулась назад, слой сжат, и газ в нём плотнее.

От этой картинки к волновому уравнению ведут три звена.

Первое: масса сохраняется. Грани сместились на величины, которые различаются на $ds=(\partial s/\partial x)dx$, поэтому та же масса теперь занимает толщину $(1+\partial s/\partial x)dx$. Плотность обратно пропорциональна толщине, поэтому при малом $\partial s/\partial x$ она меняется на $\delta \rho \approx -{\rho }_0\partial s/\partial x$, где ${\rho }_0$ — плотность в покое.

Второе: давление зависит от плотности. При малом изменении $\delta P=(dP/d\rho {)}_0\delta \rho$, где индекс 0 означает, что производная берётся в покоящемся газе.

Третье: закон Ньютона для слоя. В расчёте на единицу площади масса слоя равна ${\rho }_{0}dx$. Давление на левую грань толкает его в сторону $+x$, а давление на правую — в сторону $-x$, поэтому результирующая сила на единицу площади равна перепаду давления на слое, $-(\partial \delta P/\partial x)dx$. Разделив на $dx$, получаем ${\rho }_0{\partial }^{2}s/\partial t^2=-\partial \delta P/\partial x$: слой выталкивается из области более высокого давления.

Соединим три звена: подставим $\delta \rho$ в $\delta P$, а $\delta P$ — в закон Ньютона, и разделим на ${\rho }_0$:
$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2},c^2={\left(\frac{dP}{d\rho }\right)}_0$

Это то же волновое уравнение, что и для струны, а $c$ — скорость звука. Какую производную $dP/d\rho$ взять, зависит от того, что происходит с температурой, пока газ сжимается. Ньютон считал её постоянной, так что $P\propto \rho$; это даёт $c=\sqrt{P_0/{\rho }_0}\approx 290\mathrm{м}/\mathrm{с}$ для воздуха при 20 °C, примерно на 15 % меньше измеренных 343 м/с. Ошибку нашёл Лаплас: тепло не успевает перетечь от сжатий, которые нагреваются, к разрежениям, которые охлаждаются. При частоте 1 кГц тепло диффундирует примерно на 0,1 мм за полпериода, тогда как сжатие и следующее за ним разрежение отстоят друг от друга на 17 см. Поэтому каждый слой сжимается без теплообмена — это адиабатический процесс, при котором $P\propto {\rho }^{\gamma }$, где для воздуха $\gamma =1,40$. Тогда $dP/d\rho =\gamma P/\rho$ и
$c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma k_{B}T}{m}}$

Вторая запись получена из уравнения состояния идеального газа, $P_0={\rho }_0{k}_{B}T/m$. Здесь $T$ — абсолютная температура, а не период, $m$ — масса одной молекулы, $k_B$ — постоянная Больцмана. Давление сокращается, потому что при неизменной температуре более высокое давление означает пропорционально более высокую плотность. Скорость звука зависит только от газа и его температуры: 331 м/с при 0 °C и 343 м/с при 20 °C. Сравните с самими молекулами: их средняя квадратичная скорость, $\sqrt{3k_{B}T/m}$ (см. урок «Молекулярно-кинетическая теория газов»), при 20 °C равна 502 м/с, так что $c$ составляет $\sqrt{\gamma /3}\approx 0,68$ от неё. Сигнал давления, который передаётся от молекулы к молекуле при столкновениях, распространяется чуть медленнее, чем несущие его молекулы.

Снимок, колебание точки и график

Волна зависит от двух переменных, поэтому её можно изобразить двумя способами: вся верёвка в один момент времени или одна точка верёвки с течением времени. В этом разделе показано, что для бегущей волны оба графика — одна и та же кривая, и что из этого следует для движения каждой точки.

Обозначения

$y$	Смещение верёвки от линии покоя.	$\mathrm{м}$
$x$	Координата вдоль верёвки, отсчитанная от руки.	$\mathrm{м}$
$t$	Время.	$\mathrm{с}$
$x_0$	Положение красной бусины.	$\mathrm{м}$
$v$	Скорость волны, направленная в сторону $+x$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\partial y/\partial x$	Наклон верёвки у бусины на снимке: верхняя касательная.
$\partial y/\partial t$	Скорость бусины: наклон её временного графика, нижняя касательная.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Представьте $y(x,t)$ как поверхность над плоскостью $(x,t)$; на рисунке 4 она рассечена двумя способами. Верхняя кривая — снимок, сечение в один момент: верёвка при $t=0$, $y=0,3\sin (\pi x)$. Нижняя кривая — временной график, сечение в одном месте: красная бусина в точке $x_0=3\mathrm{м}$, то есть график экспертного слоя. Поскольку $\sin (3\pi -a)=\sin a$, бусина движется по закону $y=0,3\sin (3\pi -\pi t)=0,3\sin (\pi t)$: это синусоида с периодом 2 с, которая начинается с нуля и поднимается. Рука в точке $x=0$ движется по закону $-0,3\sin (\pi t)$ — это та же кривая, перевёрнутая вверх ногами. Штриховая линия соединяет два изображения бусины в момент $t=0$.

Почему два сечения связаны? Поскольку $y$ зависит от $x$ и $t$ только через $x-vt$, правило дифференцирования сложной функции даёт $\partial y/\partial x=f^{\prime }$ и $\partial y/\partial t=-v{f}^{\prime }$. Следовательно,
$\frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}$

Скорость точки верёвки равна произведению скорости волны на местный наклон, взятому со знаком минус. Это понятно: там, где верёвка понижается в сторону $+x$, к точке подходит более высокая часть, лежащая позади, и точка поднимается. На рисунке 4 оси $x$ и $t$ имеют одинаковый масштаб, а $v=1\mathrm{м}/\mathrm{с}$, поэтому нижняя кривая — это верхняя, отражённая слева направо, то есть её зеркальное изображение относительно штриховой линии. Посмотрите на две касательные у бусины: снимок идёт вниз, $\partial y/\partial x=-kA$, а временной график — вверх, $\partial y/\partial t=+\omega A$.

Там, где верёвка пересекает линию покоя, как у бусины, её наклон наибольший по модулю, $kA$, и скорость точки тоже, $vkA=\omega A$; на гребне оба равны нулю. В анимации $kA=0,3\pi \approx 0,94$, поэтому наибольшая скорость бусины — 0,94 м/с, почти скорость волны, и её график начинается именно с такого наклона.

Если применить это правило дважды, снова получится волновое уравнение, ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$: ускорение точки равно $v^2$, умноженному на кривизну верёвки в этом месте. Гребень — самое изогнутое место — ускоряется вниз сильнее всего, с ускорением ${\omega }^{2}A=0,3{\pi }^2\approx 2,96\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Для синусоиды ${\partial }^{2}y/\partial x^2=-k^{2}y$, поэтому каждая точка подчиняется уравнению ${\partial }^{2}y/\partial t^2=-{\omega }^{2}y$. Волна — это ряд гармонических осцилляторов, таких же как в уроке «Гармонические колебания», каждый из которых немного отстаёт от соседа.

Суперпозиция: сложение волн

Волновое уравнение линейно: $y$ и его производные входят в него только в первой степени. Поэтому если две функции ему удовлетворяют, то удовлетворяет и их сумма. Два импульса, бегущие навстречу друг другу, складываются там, где перекрываются, и расходятся, сохранив свою форму, а общее решение для длинной струны — $f(x-vt)+g(x+vt)$, где $f$ и $g$ — любые две формы, как показал Даламбер в 1747 году. Интерференция, биения и стоячие волны — всё это суперпозиции.

Линейность работает и в обратную сторону: любую форму можно составить из синусоид. Каждая синусоида бежит со своей скоростью $\omega /k$; для идеальной струны это одна и та же скорость $v$ для всех, поэтому сумма, а с ней и форма, бежит без изменений. Свет подчиняется тому же уравнению, только выводится оно из уравнений Максвелла, а не из закона Ньютона.

Энергия, переносимая волной

Энергия движется вместе с формой. На каждый метр струны приходится кинетическая энергия $\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Кроме того, есть потенциальная энергия $\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$: наклонный кусочек длиннее $dx$ примерно на $\frac{1}{2}(\partial y/\partial x{)}^{2}dx$, и сила натяжения совершила работу, растягивая его. Для бегущей волны равенства $\partial y/\partial t=-v\partial y/\partial x$ и $F=\mu v^2$ делают обе энергии одинаковыми в каждой точке.

Для синусоиды кинетическая энергия на метр равна $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2{\cos }^2(kx-\omega t)$, а её среднее значение за цикл — $\frac{1}{4}\mu {\omega }^2{A}^2$. Удвоив его с учётом равной ему потенциальной энергии, получаем полную энергию $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$ на метр. Эта энергия движется со скоростью $v$, поэтому средняя мощность, проходящая через любую точку, равна
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$

Она растёт как $A^2$ и как ${\omega }^2$. Там, где встречаются две верёвки, скачок произведения $\mu v$ отправляет часть волны обратно. Для верёвок из примера среднего уровня $\mu v$ удваивается, с 1,2 до 2,4 кг/с; амплитуда отражённой волны составляет $(1,2-2,4)/(1,2+2,4)=-1/3$ от амплитуды падающей. Значит, треть амплитуды возвращается перевёрнутой, а поскольку мощность пропорциональна квадрату амплитуды, отражается девятая часть мощности.

Задача: какая мощность нужна верёвке

Пусть верёвка из анимации с $A=0,3\mathrm{м}$, $\omega =\pi \mathrm{рад}/\mathrm{с}$ и $v=1\mathrm{м}/\mathrm{с}$ имеет $\mu =0,2\mathrm{кг}/\mathrm{м}$ и лежит на гладком полу, а раскачивают её вбок, так что сила тяжести не играет роли. Какое натяжение ей нужно, какую мощность должна развивать рука и что изменится, если рука будет трясти вдвое чаще?

Натяжение следует из $v=\sqrt{F/\mu }$, а мощность — из формулы выше:
$F=\mu v^2=0,2\cdot 1^2=0,2\mathrm{Н}$
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot {\pi }^2\cdot 0,3^2\cdot 1\approx 0,089\mathrm{Вт}$

Проверим мощность, подсчитав энергию. На метр верёвки приходится $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2\approx 0,089\mathrm{Дж}$, так что одна длина волны, 2 м верёвки, содержит около 0,18 Дж. За каждый период в 2 с рука передаёт $0,089\cdot 2\approx 0,18\mathrm{Дж}$ — ровно столько же: каждый период рука заполняет энергией ещё одну длину волны верёвки.

Теперь трясите с частотой 1 Гц при той же амплитуде. Скорость определяется только $F$ и $\mu$, поэтому она по-прежнему 1 м/с, а длина волны становится $\lambda =v/f=1\mathrm{м}$. Мощность растёт как ${\omega }^2$, то есть вчетверо, до примерно 0,36 Вт. Чтобы сохранить 89 мВт, произведение $\omega A$ должно остаться прежним, поэтому амплитуду нужно уменьшить вдвое, до 0,15 м. Наибольший наклон $kA$ при этом остаётся равным 0,94, как и наибольшая скорость бусины $\omega A$. В данной среде мощность определяется наибольшей скоростью движущихся точек, $\omega A$, а не одной лишь амплитудой.

Границы применимости

По ходу вывода мы сделали три предположения: наклоны малы, среда сплошная, без зернистой структуры, а скорость одинакова для всех частот.

Малые наклоны. На каждом шаге использовались $\sin \theta \approx \mathrm{tg}\theta$ и $\cos \theta \approx 1$. При наклоне 0,1 отброшенные слагаемые составляют около половины процента; при наклоне 0,94 в анимации, нарисованной крупно, чтобы её было видно, они достигали бы десятков процентов. У настоящей гитарной струны с амплитудой 1 мм и длиной волны 1,3 м $kA\approx 0,005$. Для звука то же условие записывается как $\delta P\ll P_0$: даже болезненно громкий звук в 120 дБ имеет амплитуду давления всего около 28 Па, то есть $3\times 10^{-4}$ атмосферного давления. При взрыве условие нарушается: сжатые, нагретые участки волны движутся быстрее и догоняют те, что лежат впереди, и фронт становится всё круче, превращаясь в ударную волну.

Сплошная среда. Чтобы считать газ сплошным, длины волн должны быть много больше длины свободного пробега — среднего расстояния, которое молекула пролетает между столкновениями, — около 70 нм в воздухе. Слышимый звук с длинами волн от 1,7 см до 17 м этому условию удовлетворяет, а вот ультразвук частотой около 1 ГГц с $\lambda \approx 0,34\mathrm{мкм}$ поглощается на небольшом расстоянии.

Одна скорость для всех частот. Форма сохраняется лишь тогда, когда $v$ не зависит от частоты. У волн на глубокой воде $v=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$: 1,8 м/с при длине волны 2 м и 3,5 м/с при 8 м; а свет в стекле для синего цвета медленнее, чем для красного. О таких волнах говорят, что у них есть дисперсия: импульс по мере распространения расплывается, а его энергия движется с групповой скоростью $d\omega /dk$, которая для глубокой воды вдвое меньше скорости гребней.

Что дальше

Урок «Звук и эффект Доплера» рассматривает движущиеся источники и наблюдателей; «Громкость, интенсивность звука и децибелы» переводит $\bar{P}\propto A^2$ в децибелы; «Стоячие волны» и «Интерференция и суперпозиция волн» применяют линейность; «Отражение и преломление» и «Призмы, дисперсия и цвет» занимаются скоростями, которые меняются при переходе между средами или с частотой. «Электромагнитные волны» выводят скорость света из того же уравнения. В уроке «Корпускулярно-волновой дуализм» частота становится пропорциональной энергии, а волновое число — импульсу. «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» описывает волны, дисперсия которых заложена в самой их природе.