Электродвигатели, генераторы и трансформаторы

Начальный

Поместите проволочную рамку между полюсами магнита и пустите по ней ток. Одну сторону рамки толкает вверх, другую вниз — рамка поворачивается. Предоставленная самой себе, рамка развернётся, выстроится вдоль магнита и остановится. Чтобы она вращалась дальше, ток в рамке нужно менять на противоположный каждые пол-оборота; это делает разрезное кольцо, которое вращается вместе с рамкой и трётся о два неподвижных контакта. Получился электродвигатель — сердце дрели, вентилятора или электромобиля.

Запустите машину «наоборот» — и она станет генератором. В анимации катушка непрерывно вращается между северным и южным полюсами магнита, как её вращала бы турбина электростанции. Её стороны проносятся через магнитное поле и гонят ток по цепи. Следите за красной стрелкой на проводе: она растёт, уменьшается и каждые пол-оборота меняет направление. Это переменный ток — такой, как в розетке, а лампа вспыхивает дважды за оборот.

Затем ток попадает в трансформатор: две катушки на одном железном кольце. Меняющийся ток в первой катушке создаёт меняющееся магнитное поле в железе, а оно гонит ток во второй катушке. Больше витков во второй катушке — выше напряжение, но мощность больше не становится: в десять раз выше напряжение — в десять раз меньше ток. Поэтому электроэнергию передают при очень высоком напряжении: малый ток в проводах гораздо меньше теряет энергии на нагрев.

Проверьте себя: у трансформатора 50 витков на входе и 500 на выходе. На вход подано 12 В переменного тока. Что на выходе? (120 В, но ток в десять раз меньше.)

Средний

Сила на проводе, момент на рамке

Магнитное поле действует на движущиеся заряды с силой, направленной поперёк их движения, а значит, и на провод с током. Для прямого провода длиной $l$ с током $I$ в однородном поле $B$ эта сила равна
$F=BIl\sin \alpha$
где $\alpha$ — угол между проводом и полем: сила наибольшая, когда провод пересекает поле под прямым углом, и равна нулю вдоль линий поля. Она перпендикулярна и проводу, и полю, а её направление даёт правило левой руки: расположите левую руку так, чтобы линии поля входили в ладонь, а четыре пальца указывали вдоль тока, — отогнутый большой палец покажет силу. Так, поле 1 Тл действует с силой 1 Н на каждый метр провода с током 1 А, перпендикулярного полю.

Согните провод в прямоугольную рамку из $N$ витков и площадью $S$, закреплённую на оси между полюсами магнита. Две её длинные стороны несут противоположные токи, и их толкает в противоположные стороны, поэтому на рамку действует момент
$M=NBIS\sin \alpha$
где $\alpha$ теперь — угол между полем и нормалью к рамке. Момент наибольший, когда плоскость рамки параллельна полю, и равен нулю, когда рамка обращена к полю (её плоскость перпендикулярна линиям поля): там рамка, предоставленная самой себе, останавливается. Двигатель постоянного тока продолжает вращаться благодаря коллектору: это разрезное кольцо на оси, которого касаются две щётки; оно меняет направление тока каждые пол-оборота, как раз когда момент готов сменить знак.

Генератор: двигатель, работающий наоборот

Уберите батарею и вращайте рамку с постоянной угловой скоростью $\omega$. Если отсчитывать угол от положения, в котором рамка обращена к полю, то поток через каждый виток равен $\Phi =BS\cos \omega t$, а закон Фарадея, $\epsilon =-Nd\Phi /dt$, даёт ЭДС и её амплитуду:

• $\epsilon =NBS\omega \sin \omega t$
• ${\epsilon }_0=NBS\omega$

Эта переменная ЭДС имеет частоту $f=\omega /2\pi$. Она наибольшая, когда плоскость рамки параллельна полю: стороны тогда пересекают линии поля поперёк, а поток, проходя через нуль, меняется быстрее всего. Она равна нулю, когда рамка обращена к полю: поток там наибольший, но в этот миг не меняется. Контактные кольца выводят ЭДС наружу, не перекручивая провода; вместо них коллектор дал бы пульсирующий постоянный ток. Приборы показывают действующее (среднеквадратичное) значение — для синусоиды это амплитуда, делённая на $\sqrt{2}$: сеть 230 В имеет амплитуду около 325 В.

Трансформатор: две катушки, один поток

У трансформатора нет движущихся частей: первичная катушка из $N_1$ витков и вторичная из $N_2$ витков надеты на один замкнутый железный сердечник. Переменный ток в первичной катушке создаёт переменный поток, который железо направляет через вторичную. Каждый виток обеих катушек охватывает один и тот же меняющийся поток и получает одну и ту же ЭДС, поэтому напряжения относятся как числа витков, а без потерь мощность на входе равна мощности на выходе:

• $\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}$
• $U_1{I}_1=U_2{I}_2$

Повышающий трансформатор ($N_2>N_1$) повышает напряжение и во столько же раз уменьшает ток, так что энергия не создаётся. Постоянный ток создаёт постоянный поток, а он ничего не индуцирует, поэтому трансформатору нужен переменный ток. Крупные трансформаторы имеют КПД выше 99 %.

Пример: машина из анимации

Рамка из $N=200$ витков площадью $S=0,020{\mathrm{м}}^2$ (20 см на 10 см) находится в поле $B=0,50\mathrm{Тл}$ и делает один оборот за 2 с, поэтому $\omega =2\pi /2=\pi \approx 3,14\mathrm{рад}/\mathrm{с}$. Тогда
${\Phi }_{\max }=BS=0,50\cdot 0,020=0,010\mathrm{Вб}$
${\epsilon }_0=NBS\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi \approx 6,28\mathrm{В}$

При $t=0$ рамка обращена к полю: индикатор $\Phi$ показывает 10,0 мВб, а индикатор $\epsilon$ — нуль. Через восьмую часть оборота, при $t=0,25\mathrm{с}$, поток равен $10\cos 45^{\circ }\approx 7,1\mathrm{мВб}$, а ЭДС — $6,28\sin 45^{\circ }\approx 4,44\mathrm{В}$. При $t=0,5\mathrm{с}$ плоскость рамки параллельна полю, $\Phi$ проходит через нуль, а $\epsilon$ достигает максимума 6,28 В. При $t=1\mathrm{с}$ поток равен −10,0 мВб, а ЭДС снова нулевая.

При $N_1=100$ и $N_2=200$ вторичная обмотка даёт $U_2=2\epsilon$ с амплитудой 12,57 В (около 12,6 В) на индикаторе $U_2$, в фазе с $\epsilon$. Мощность лампы растёт как $U_2^2$, поэтому она вспыхивает при обоих максимумах, положительном и отрицательном, то есть дважды за оборот.

Как читать стрелки: почему генератор сопротивляется

Синие стрелки $v$ показывают, как длинные стороны движутся по своей окружности: при $t=0$ они скользят вдоль поля $B$ и ничего не пересекают, при $t=0,5\mathrm{с}$ пересекают его под прямым углом. Заряды приводит в движение только составляющая скорости поперёк поля — отсюда и $\sin \omega t$. Фиолетовые стрелки $F$ — это «двигательный» эффект внутри генератора: поле действует на индукционный ток с силой $F=BIl$, всегда направленной против движения. Это и есть правило Ленца: если бы силы помогали движению, рамка сама раскручивалась бы и создавала энергию из ничего.

Примем лампу за резистор 25 Ом. В максимуме по нему идёт ток $12,57/25\approx 0,50\mathrm{А}$, поэтому в идеальном трансформаторе в рамке нужен вдвое больший ток, около 1,0 А. Момент тогда равен $M=NBIS=200\cdot 0,50\cdot 1,0\cdot 0,020=2,0\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$, а чтобы вращать рамку против него со скоростью $\pi \mathrm{рад}/\mathrm{с}$, нужна мощность $M\omega \approx 6,3\mathrm{Вт}$ — в точности пиковая мощность лампы, $12,57\cdot 0,50\approx 6,3\mathrm{Вт}$. Отключите лампу — и рамка будет вращаться свободно.

Пример: линии электропередачи высокого напряжения

Ветровая электростанция передаёт 20 МВт по линиям с общим сопротивлением 4,0 Ом. Они нагреваются с мощностью $I^{2}R$, а при заданной мощности ток равен $I=P/U$, поэтому
$P_{\mathrm{пот}}=I^{2}R={\left(\frac{P}{U}\right)}^{2}R$

При собственном напряжении генераторов 11 кВ ток составил бы $20\times 10^6/(11\times 10^3)\approx 1818\mathrm{А}$, а потери — $1818^2\cdot 4,0\approx 13,2\mathrm{МВт}$: две трети мощности лишь нагревали бы провода. Повышающий трансформатор с отношением чисел витков 1 : 12 поднимает напряжение до 132 кВ. Ток падает до 151,5 А, а потери — до $151,5^2\cdot 4,0\approx 92\mathrm{кВт}$, меньше половины процента: напряжение выше в двенадцать раз, потери меньше в $12^2=144$ раза. Понижающие трансформаторы возле домов затем возвращают его к 230 В.

Частые ошибки

• Трансформатор не работает на постоянном токе: батарея 12 В даёт на вторичной обмотке 0 В — лишь короткий толчок в момент включения.
• ЭДС не максимальна, когда рамка обращена к магнитам: там поток, 10 мВб в анимации, наибольший, но в этот миг не меняется, поэтому $\epsilon =0$. ЭДС достигает максимума 6,28 В при $\Phi =0$.
• Повышающий трансформатор не создаёт энергию: лампа получает вдвое большее напряжение, чем рамка, но вдвое меньший ток, 0,50 А против 1,0 А, поэтому по обе стороны в пике мощность одна и та же, 6,3 Вт.
• Два угла, обозначенные $\alpha$, различаются: в $F=BIl\sin \alpha$ это угол между проводом и полем, а в $M=NBIS\sin \alpha$ — между полем и нормалью, поэтому рамка, лежащая вдоль поля, имеет наибольший момент.

Где это встречается

Электродвигатели вращают вентиляторы, лифты, насосы и электромобили и потребляют около половины мировой электроэнергии. Двигатель электромобиля при торможении даже работает как генератор. Двухполюсный генератор электростанции, вращающийся со скоростью 3000 об/мин, даёт 50 Гц европейской сети, а трансформаторы стоят на обоих концах каждой линии электропередачи и внутри зарядных устройств для телефонов. 230 В из урока «Электрическая мощность и энергия в быту» — это действующее значение, а меняющиеся поля, лежащие в основе любого трансформатора, ведут дальше к уроку «Электромагнитные волны».

Продвинутый

Два пути к одной и той же ЭДС

Генератор — это рамка из $N$ витков, которую с постоянной угловой скоростью $\omega$ вращают в однородном магнитном поле $\vec{B}$. Правило потока Фарадея даёт её ЭДС одной строкой, но скрывает, что на самом деле гонит заряды по цепи. Поэтому сначала мы найдём ЭДС через магнитную силу, действующую на заряды в движущемся проводе, а затем проверим, что правило потока даёт тот же ответ. Пусть каждый виток — прямоугольник: две его длинные стороны длиной $L$ параллельны оси, а два коротких торца имеют длину $w$ — ширину рамки, так что её площадь равна $A=Lw$.

Обозначения

$\vec{B}$	Магнитное поле, однородное и направленное горизонтально в плоскости рисунка.	$\mathrm{Тл}$
$\omega$	Угловая скорость рамки, которая здесь вращается по часовой стрелке.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\frac{w}{2}$	Радиус окружности, по которой движется каждая длинная сторона: половина ширины $w$ рамки.	$\mathrm{м}$
$\vec{v}$	Скорость длинной стороны, направленная по касательной к её окружности, по модулю $\omega w/2$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\theta$	Угол между $\vec{v}$ и $\vec{B}$, а также между $\vec{A}$ и $\vec{B}$: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{рад}$
$\vec{A}$	Вектор площади рамки: модуль $A=Lw$, перпендикулярен рамке, поэтому параллелен $\vec{v}$ верхней стороны.	${\mathrm{м}}^2$
$\vec{F}$	Магнитная сила $q\vec{v}\times \vec{B}$ на положительный заряд $q$ в длинной стороне. Она направлена вдоль провода: из страницы на верхней стороне (точка), в страницу на нижней (крестик).	$\mathrm{Н}$

На рисунке 1 мы смотрим вдоль оси, которая направлена в страницу. Каждая длинная сторона при этом выглядит как маленький кружок, а сама рамка — как отрезок, соединяющий два кружка. Поле $\vec{B}$ направлено по странице горизонтально, а рамка вращается по часовой стрелке с угловой скоростью $\omega$.

Начнём с движения одной длинной стороны. Она находится на расстоянии $w/2$ от оси, поэтому движется по штриховой окружности радиуса $w/2$ со скоростью $v=\omega w/2$. Её скорость $\vec{v}$ направлена по касательной к этой окружности. Будем отсчитывать время от момента, когда стороны движутся вдоль линий поля, то есть $\vec{v}$ параллельна $\vec{B}$. Скорость поворачивается вместе с рамкой, поэтому к моменту $t$ она повернулась на угол $\theta =\omega t$; на рисунке он отмечен между $\vec{v}$ и штриховой горизонтальной линией у верхней стороны.

Теперь сила. На положительный заряд $q$, который сторона уносит с собой, действует магнитная сила $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$. И $\vec{v}$, и $\vec{B}$ лежат в плоскости страницы, поэтому их векторное произведение перпендикулярно странице, то есть направлено вдоль провода. На верхней стороне оно направлено из страницы (точка), а на нижней, где скорость противоположна, — в страницу (крестик). Поскольку $\theta$ — угол между $\vec{v}$ и $\vec{B}$, модуль силы равен $qvB\sin \theta =qvB\sin \omega t$.

Теперь работа. ЭДС — это работа, совершаемая над единичным зарядом при одном обходе цепи. Вдоль длинной стороны сила на единицу заряда, $vB\sin \omega t$, направлена вдоль провода на всей длине $L$, поэтому совершает работу $BLv\sin \omega t$ на единицу заряда. Короткие торцы лежат в плоскости страницы; сила, действующая на их заряды, по-прежнему направлена вдоль оси, то есть поперёк провода, и работы вдоль них не совершает.

Наконец, обойдём один виток. Вдоль верхней стороны мы идём из страницы, в ту же сторону, что и сила в этом месте. Вдоль нижней стороны мы возвращаемся в страницу, и сила там тоже направлена в страницу, поэтому она снова толкает по ходу обхода. Значит, две стороны складываются, а не вычитаются, и каждый виток даёт $2BLv\sin \omega t$. Все $N$ витков соединены последовательно, поэтому их ЭДС тоже складываются:
$\epsilon =2NBL\frac{\omega w}{2}\sin \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
где на последнем шаге использовано $A=Lw$.

Путь через поток короче. Вектор площади $\vec{A}$ имеет модуль $A$ и перпендикулярен плоскости рамки. На рисунке 1 он параллелен скорости верхней стороны, потому что эта скорость тоже перпендикулярна рамке. Значит, $\vec{A}$ поворачивается вместе с $\vec{v}$ и образует с $\vec{B}$ тот же угол $\theta =\omega t$. Поэтому поток через один виток равен $\Phi =BA\cos \omega t$ и наибольший при $t=0$, когда рамка обращена плоскостью к полю. Закон Фарадея даёт
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=-NBA\frac{d}{dt}\cos \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
то есть тот же результат.

Подставим числа из анимации. Её рамка имеет $L=0,20\mathrm{м}$ вдоль оси и $w=0,10\mathrm{м}$ поперёк, поэтому $A=0,020{\mathrm{м}}^2$; в ней $N=200$ витков, поле $B=0,50\mathrm{Тл}$, а вращается она с $\omega =\pi \mathrm{рад}/\mathrm{с}$ (один оборот за 2 с). Каждая длинная сторона движется со скоростью $v=\pi \cdot 0,05\approx 0,157\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и вносит не более $BLv=0,50\cdot 0,20\cdot 0,157\approx 15,7\mathrm{мВ}$. У 200 витков 400 длинных сторон, все они соединены последовательно, поэтому наибольшая ЭДС равна $400\cdot 15,7\mathrm{мВ}\approx 6,28\mathrm{В}$, что совпадает с $NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi$.

Оба пути приводят к одному результату, но описывают разную физику. В генераторе движется провод, и заряды гонит магнитная сила, действующая на них при движении; правило потока — компактная запись этой силы. В трансформаторе ничто не движется, поэтому силы $q\vec{v}\times \vec{B}$ нет вовсе. Вместо неё меняющийся поток создаёт электрическое поле, которое циркулирует вокруг сердечника:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$
и именно это электрическое поле гонит заряды во вторичной обмотке. То, что одно правило охватывает два столь разных механизма, подсказывает, что электрическое и магнитное поля — две стороны единого поля; точный смысл этому придаёт теория относительности.

Как читать график: поток опережает ЭДС

График в анимации показывает вместе поток и ЭДС. Прочитать его как следует — значит увидеть в законе Фарадея утверждение о наклонах; это самый быстрый способ набросать любую индуцированную ЭДС по её потоку.

Обозначения

$\Phi$	Магнитный поток через один виток, $BA\cos \omega t$, нарисованный в масштабе высоты ${\epsilon }_0$.	$\mathrm{Вб}$
$\epsilon$	ЭДС рамки, $-Nd\Phi /dt$.	$\mathrm{В}$
${\epsilon }_0$	Наибольшая ЭДС рамки, $NBA\omega$.	$\mathrm{В}$
$V_s$	Напряжение вторичной обмотки трансформатора; его максимум равен $2{\epsilon }_0$ при $N_s/N_p=2$.	$\mathrm{В}$
$t$	Время.	$\mathrm{с}$
$T$	Период: время одного оборота рамки.	$\mathrm{с}$
$\frac{T}{4}$	Четверть периода: на столько поток опережает ЭДС, то есть на $90^{\circ }$ по фазе.	$\mathrm{с}$

Рисунок 2 перерисовывает этот график за один период $T$ — время одного оборота: здесь $T=2\pi /\omega =2\mathrm{с}$. Зелёная кривая — поток $\Phi (t)$ через один виток, приведённый к высоте ЭДС, чтобы их было удобно сравнивать. Красная кривая — ЭДС $\epsilon (t)$. Золотая кривая, о которой речь пойдёт ниже, — выходное напряжение $V_s(t)$ трансформатора, питаемого генератором.

Сначала сравним, где кривые достигают максимумов. У потока $\Phi =BA\cos \omega t$ максимум при $t=0$, а у ЭДС первый максимум наступает на четверть периода позже, при $T/4=0,5\mathrm{с}$. Поток опережает ЭДС на четверть цикла, то есть на $90^{\circ }$ по фазе. Картина повторяется каждый период: поток снова достигает максимума через 2 с, через 4 с и так далее.

Теперь выясним почему. Закон Фарадея $\epsilon =-Nd\Phi /dt$ говорит, что ЭДС равна $-N$, умноженному на наклон зелёной кривой. В максимуме или минимуме $\Phi$ кривая на мгновение горизонтальна, поэтому там $\epsilon =0$, хотя сам поток как раз наибольший по модулю. Там, где $\Phi$ убывает, проходя через нуль, при $T/4$, наклон круче всего; штриховая касательная показывает этот наклон, и в этой точке $\epsilon$ достигает максимума $+{\epsilon }_0=+6,28\mathrm{В}$. Через полпериода $\Phi$ так же круто растёт, проходя через нуль, и $\epsilon =-6,28\mathrm{В}$.

Числа это подтверждают. Амплитуда потока через один виток равна $BA=0,50\cdot 0,020=10\mathrm{мВб}$, поэтому потокосцепление $N\Phi$ имеет амплитуду $200\cdot 10\mathrm{мВб}=2,0\mathrm{Вб}$. У косинуса с амплитудой $a$ и угловой частотой $\omega$ наибольший наклон равен $a\omega$, здесь $2,0\cdot \pi \approx 6,28\mathrm{Вб}/\mathrm{с}$. Так как $1\mathrm{Вб}/\mathrm{с}=1\mathrm{В}$, это и есть наибольшая ЭДС ${\epsilon }_0$.

У золотой кривой $V_s(t)$ те же нули и максимумы, что у $\epsilon (t)$, но она вдвое выше: её максимум равен $2{\epsilon }_0$. Идеальный трансформатор копирует форму сигнала, умножает её на отношение чисел витков, здесь $N_s/N_p=2$, и не вносит сдвига фаз; почему, показывает рисунок 4.

Наконец, какое одно число называть для такого напряжения. Резистор $R$, подключённый к ${\epsilon }_0\sin \omega t$, получает мощность $({\epsilon }_0^2/R){\sin }^2\omega t$. За цикл ${\sin }^2\omega t$ в среднем равен $\frac{1}{2}$, потому что у ${\sin }^2$ и ${\cos }^2$ одно и то же среднее, а в сумме они дают 1. Значит, средняя мощность вдвое меньше пиковой — столько же даёт постоянное напряжение ${\epsilon }_0/\sqrt{2}$. Это действующее значение, здесь $6,28/\sqrt{2}\approx 4,44\mathrm{В}$.

Баланс энергии: генератор платит моментом

Генератор превращает механическую работу в электрическую энергию, поэтому что-то должно сопротивляться вращению, иначе рамка отдавала бы мощность даром. Это «что-то» — магнитная сила, действующая на тот самый ток, который отдаёт рамка.

Пусть рамка отдаёт ток $I$ в фазе со своей ЭДС, как это бывает при нагрузке резистором. В каждом витке длинная сторона несёт ток $I$ вдоль длины $L$ под прямым углом к $\vec{B}$, поэтому на неё действует сила $BIL$, перпендикулярная $\vec{B}$ и лежащая в плоскости рисунка 1. Рамку поворачивает только та часть силы, которая направлена вдоль скорости $\vec{v}$ стороны. Так как $\vec{v}$ образует с $\vec{B}$ угол $\omega t$, эта часть равна $BIL\sin \omega t$, и по правилу Ленца она направлена против $\vec{v}$ и действует на плече $w/2$. Две стороны в каждом витке и $N$ витков дают тормозящий момент
$\tau =2N(BIL\sin \omega t)\frac{w}{2}=NBIA\sin \omega t$
Чтобы рамка вращалась с постоянной $\omega$, тот, кто её вращает, должен создавать этот момент, поэтому подводимая механическая мощность равна
$\tau \omega =(NBIA\sin \omega t)\omega =(NBA\omega \sin \omega t)I=\epsilon I$
то есть в точности отдаваемой электрической мощности в каждый момент времени.

Какая сила совершает работу? Не магнитная: она всегда перпендикулярна полной скорости каждого заряда — сумме движения рамки и дрейфа заряда вдоль провода, — поэтому не совершает никакой работы. Она лишь перенаправляет работу. Часть силы, обусловленная движением рамки, толкает заряды вдоль провода и поддерживает ток; часть, обусловленная их дрейфом вдоль провода, давит на провод вбок и сопротивляется вращению. Эти две работы равны и противоположны, поэтому вся электрическая энергия берётся у того, кто вращает вал.

Двигатель: противо-ЭДС и прямая момента

Запустите ту же машину как двигатель, и связь сработает в обратную сторону. Источник создаёт ток, сила, действующая на этот ток, вращает рамку, а вращающаяся рамка, будучи ещё и генератором, создаёт ЭДС, направленную против источника. Эта противо-ЭДС определяет ток и скорость двигателя и решает, какой момент он может развить при каждой скорости.

Обозначения

$\omega$	Скорость вала двигателя.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\tau$	Момент, который развивает двигатель; он линейно падает с ростом $\omega$.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
${\tau }_0$	Пусковой момент, $kV/R$: момент при удерживаемом вале, $\omega =0$.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
${\omega }_0$	Скорость холостого хода, $V/k$: противо-ЭДС равна напряжению источника, ток не течёт, момент равен нулю.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\frac{{\omega }_0}{2}$	Половина скорости холостого хода, при которой механическая мощность наибольшая.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\frac{{\tau }_0}{2}$	Половина пускового момента: момент при ${\omega }_0/2$.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
$P$	Механическая мощность $\tau \omega$, площадь закрашенного прямоугольника; при ${\omega }_0/2$ она наибольшая и равна $V^2/(4R)$.	$\mathrm{Вт}$

Рисунок 3 показывает зависимость момента $\tau$, который развивает двигатель, от скорости $\omega$ его вала при неизменном напряжении источника $V$, приложенном через сопротивление $R$ обмотки. Чтобы понять, почему график — прямая, построим модель двигателя. При многих рамках на роторе и коллекторе, который подключает каждую из них в нужный момент, противо-ЭДС ${\epsilon }_b$ почти постоянна и пропорциональна скорости. Тогда двигатель описывают три уравнения:
$V={\epsilon }_b+IR,{\epsilon }_b=k\omega ,\tau =kI$
Первое — уравнение цепи: напряжение источника делится между противо-ЭДС и падением напряжения на обмотке. Во втором и третьем стоит одна и та же постоянная $k$, и так и должно быть: приведённый выше баланс энергии, ${\epsilon }_{b}I=\tau \omega$, выполняется, только если постоянная, связывающая ${\epsilon }_b$ с $\omega$, равна постоянной, связывающей $\tau$ с $I$.

Первое уравнение даёт ток, $I=(V-k\omega )/R$, а третье превращает его в момент:
$\tau =\frac{k(V-k\omega )}{R}$
Это нисходящая прямая на рисунке. На её левом конце вал удерживают неподвижным, $\omega =0$, поэтому противо-ЭДС нет, ток ограничивает только обмотка, он равен $V/R$, а момент — это пусковой момент (при заторможенном роторе) ${\tau }_0=kV/R$. С ростом скорости растёт противо-ЭДС, поэтому ток падает, а вместе с ним и момент. На правом конце, при скорости холостого хода ${\omega }_0=V/k$, противо-ЭДС поднялась до напряжения источника, ток исчез, и момент равен нулю.

Механическая мощность равна $P=\tau \omega$. На графике это площадь прямоугольника, один угол которого в начале координат, а противоположный лежит на прямой, как у закрашенного. Записав прямую в виде $\tau ={\tau }_0(1-\omega /{\omega }_0)$, получим
$P={\tau }_0\omega \left(1-\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$
что равно нулю на обоих концах прямой. Это парабола по $\omega$, симметричная относительно середины между её двумя нулями, поэтому наибольшее значение достигается при $\omega ={\omega }_0/2$, где момент равен ${\tau }_0/2$. Значит, наибольшая мощность равна $({\tau }_0/2)({\omega }_0/2)=V^2/(4R)$.

Какая часть потребляемой энергии превращается в работу? Двигатель потребляет электрическую мощность $VI$ и превращает ${\epsilon }_{b}I$ из неё в механическую, поэтому его КПД без учёта трения равен ${\epsilon }_b/V=\omega /{\omega }_0$. При скорости наибольшей мощности ${\epsilon }_b=V/2$: лишь половина потребляемой мощности становится механической, а другая половина нагревает обмотку. Вблизи скорости холостого хода, где прямоугольник широкий, но низкий, КПД высок.

Возьмём двигатель на 12 В с $R=0,50\mathrm{Ом}$. При пуске $\omega =0$, противо-ЭДС нет, и $I=12/0,50=24\mathrm{А}$. При вращении со скоростью 3000 об/мин, то есть $\omega =3000\cdot 2\pi /60\approx 314\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, его противо-ЭДС равна ${\epsilon }_b=11\mathrm{В}$, и он потребляет лишь $(12-11)/0,50=2,0\mathrm{А}$. Из потребляемых 24 Вт механической работой становятся ${\epsilon }_{b}I=22\mathrm{Вт}$, а $I^{2}R=2\mathrm{Вт}$ нагревают обмотку, КПД 92 %.

Рабочая точка даёт и постоянную двигателя: $k={\epsilon }_b/\omega =11/314\approx 0,035\mathrm{В}\cdot \mathrm{с}/\mathrm{рад}$, поэтому момент равен $\tau =kI=0,035\cdot 2,0=0,070\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$; для проверки, $\tau \omega =0,070\cdot 314\approx 22\mathrm{Вт}$. Теперь отметим этот двигатель на рисунке 3. Его пусковой момент равен ${\tau }_0=kV/R=0,035\cdot 12/0,50\approx 0,84\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$, а скорость холостого хода ${\omega }_0=V/k\approx 343\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, около 3270 об/мин. Значит, 3000 об/мин лежат близко к правому концу прямой, где момент мал, а КПД $\omega /{\omega }_0$ высок. Момент линейно падает со скоростью от 0,84 Н·м до нуля, а механическая мощность максимальна на половине скорости холостого хода, около 1640 об/мин, и равна $V^2/(4R)=72\mathrm{Вт}$. При этом двигатель потребляет $(12-6)/0,50=12\mathrm{А}$, то есть 144 Вт, и лишь 50 % из них становятся работой.

Внутри трансформатора

Трансформатор меняет величину переменного напряжения без движущихся частей, поэтому энергосистемы работают на переменном токе. Всё его поведение следует из одного факта: железный сердечник обеспечивает один и тот же поток через каждый виток обеих обмоток.

Обозначения

$V_p$	Напряжение источника на первичной обмотке.	$\mathrm{В}$
$I_p$	Ток в первичной обмотке.	$\mathrm{А}$
$N_p$	Число витков первичной обмотки.
$\Phi$	Магнитный поток в железном сердечнике, один и тот же через каждый виток обеих обмоток.	$\mathrm{Вб}$
$N_s$	Число витков вторичной обмотки.
$I_s$	Ток во вторичной обмотке и в нагрузке.	$\mathrm{А}$
$V_s$	Напряжение на вторичной обмотке и на нагрузке.	$\mathrm{В}$
$R$	Сопротивление нагрузки во вторичной цепи.	$\mathrm{Ом}$

На рисунке 4 показан трансформатор с нагрузкой. Источник прикладывает напряжение $V_p$ к $N_p$ виткам первичной обмотки и гонит через них ток $I_p$. Железный сердечник проводит поток $\Phi$ по замкнутому контуру вдоль зелёных стрелок, так что один и тот же $\Phi$ пронизывает все $N_s$ витков вторичной обмотки. Вторичная обмотка прикладывает напряжение $V_s$ к нагрузке $R$ и гонит через неё ток $I_s$.

Поскольку каждый виток любой из обмоток охватывает один и тот же поток, в каждом витке одна и та же ЭДС, по модулю $d\Phi /dt$. Витки, соединённые последовательно, складываются, а при пренебрежимо малом сопротивлении обмоток напряжение на зажимах каждой обмотки равно её ЭДС, поэтому по модулю
$V_p=N_p\frac{d\Phi }{dt},V_s=N_s\frac{d\Phi }{dt}$
При делении одного на другое $d\Phi /dt$ сокращается, и остаётся отношение чисел витков, $V_s/V_p=N_s/N_p$. Оба напряжения следуют за одной и той же $d\Phi /dt$, поэтому они и растут, и убывают вместе, без сдвига фаз, как показывал рисунок 2.

Теперь прочтём первое уравнение в обратную сторону: напряжение на первичной обмотке задаёт поток, какой бы ни была нагрузка. Для синусоидального напряжения с амплитудой $V_0$ поток тоже синусоидален, с амплитудой ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, потому что при дифференцировании синусоиды её амплитуда умножается на $\omega$. У первичной обмотки на 230 В, 50 Гц из 1000 витков $V_0\approx 325\mathrm{В}$ и $\omega \approx 314\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, поэтому ${\Phi }_0\approx 1,04\mathrm{мВб}$. Чтобы индукция в железе не превышала примерно 1,2 Тл, сердечнику нужно сечение ${\Phi }_0/B\approx 8,6\times 10^{-4}{\mathrm{м}}^2$, то есть около 8,6 см². Нужная площадь убывает как $1/\omega$: на 400 Гц, которые применяют на самолётах, хватило бы восьмой части, а зарядные устройства, переключающиеся на десятках килогерц, используют крошечные ферритовые сердечники.

Почему ток первичной обмотки растёт, когда подключают нагрузку? Ток нагрузки $I_s$ течёт по виткам вторичной обмотки и сам по себе намагничивал бы сердечник в сторону, противоположную $I_p$; на рисунке 4 два тока обходят сердечник в противоположных направлениях. Но поток задан напряжением $V_p$. Поэтому первичная обмотка должна взять дополнительный ток, намагничивающее действие которого — ток, умноженный на число витков, — гасит действие вторичной: $N_p{I}_p=N_s{I}_s$, если не считать малого намагничивающего тока, который создаёт сам поток. Умножив на отношение напряжений, получим $V_p{I}_p=V_s{I}_s$: мощность на входе равна мощности на выходе.

Поэтому трансформатор меняет и сопротивления. Со стороны первичной обмотки нагрузка равна $V_p/I_p$. Подставив $V_p=(N_p/N_s)V_s$ и $I_p=(N_s/N_p)I_s$, получим
$\frac{V_p}{I_p}={\left(\frac{N_p}{N_s}\right)}^{2}R$
именно так трансформатор согласует громкоговоритель с усилителем.

Картину дополняют два предельных случая. При разомкнутой вторичной обмотке ток $I_s$ не течёт, и напряжение вторичной обмотки определяется одним лишь током первичной: по модулю $V_s=Md{I}_p/dt$, где $M$ — взаимная индуктивность двух катушек. На постоянном токе $d\Phi /dt=0$: ни в одной из обмоток ничего не индуцируется, во вторичную ничего не передаётся, и ток первичной обмотки ограничивает лишь небольшое сопротивление меди.

Задача: нагружаем генератор

Подключите лампу 25 Ом, считая её простым резистором, ко вторичной обмотке трансформатора из анимации ($N_p=100$, $N_s=200$), первичная обмотка которого питается от генератора, и пренебрегите сопротивлением обмоток. Какой ток идёт по рамке генератора, с каким моментом её надо вращать и что изменилось бы без трансформатора?

Сначала нагрузка, какой её видит рамка. Со стороны первичной обмотки лампа выглядит как $(N_p/N_s{)}^{2}R=(100/200{)}^2\cdot 25=6,25\mathrm{Ом}$. Рамка отдаёт свою ЭДС с амплитудой 6,28 В в это сопротивление, поэтому ток рамки — синусоида в фазе с ЭДС, с амплитудой $6,28/6,25\approx 1,01\mathrm{А}$. Вторичная обмотка удваивает напряжение и вдвое уменьшает ток, поэтому через лампу идёт ток с амплитудой около 0,50 А при амплитуде напряжения 12,57 В.

Теперь момент. Баланс энергии дал тормозящий момент $NBAI\sin \omega t$, где $I$ теперь — ток первичной обмотки $I_p$, сам пропорциональный $\sin \omega t$. При $NBA=200\cdot 0,50\cdot 0,020=2,0\mathrm{Вб}$ и $1\mathrm{Вб}\cdot \mathrm{А}=1\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
$\tau =NBA{I}_p\sin \omega t\approx 2,0{\sin }^2\omega t\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
Он достигает 2,0 Н·м, когда плоскость рамки параллельна полю, где ЭДС и ток наибольшие, а в среднем равен половине этого, 1,0 Н·м. Для проверки: средняя механическая мощность $\bar{\tau }\omega =1,005\cdot \pi \approx 3,16\mathrm{Вт}$ равна средней мощности лампы — половине произведения амплитуды её напряжения на амплитуду тока: $\frac{1}{2}\cdot 12,57\cdot 0,503\approx 3,16\mathrm{Вт}$.

Без трансформатора лампа была бы подключена прямо к контактным кольцам, и нагрузка была бы 25 Ом вместо 6,25 Ом. Она потребляла бы лишь ${\epsilon }_0^2/(2R)=6,28^2/50\approx 0,79\mathrm{Вт}$, вчетверо меньше, и рамку было бы вчетверо легче вращать. Трансформатор не создаёт энергию: делая сопротивление лампы вчетверо меньше, он позволяет рамке при той же ЭДС отдавать вчетверо больший ток, а значит, вчетверо большую мощность, и вся она поставляется тем, кто вращает рамку.

Заметим, наконец, что момент меняется как ${\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}(1-\cos 2\omega t)$: он пульсирует с удвоенной частотой вращения и трясёт однофазную машину. Электростанции избегают этого, используя три набора катушек под углом $120^{\circ }$ друг к другу. Слагаемые с $\cos 2\omega t$ в их трёх моментах тогда сдвинуты на треть цикла и гасят друг друга, поскольку
${\sin }^2\theta +{\sin }^2(\theta -120^{\circ })+{\sin }^2(\theta +120^{\circ })=\frac{3}{2}$
поэтому сбалансированный трёхфазный генератор даёт совершенно постоянные момент и мощность.

Границы применимости

Идеальный трансформатор предполагает три вещи: весь поток охватывает обе катушки, у обмоток нет сопротивления, а железо намагничивается без затрат и потерь. Реальные сердечники теряют энергию двумя способами. Гистерезис отнимает фиксированную порцию энергии при каждом перемагничивании железа, поэтому потери растут примерно пропорционально частоте. Вихревые токи — это токи, индуцируемые в самом железе; они растут как квадрат и частоты, и толщины листов, поэтому сердечники собирают из изолированных пластин толщиной около 0,3 мм. Крупные трансформаторы достигают КПД 99,5 %, но тогда блок на 500 МВ·А выделяет 2,5 МВт тепла — отсюда его масляный бак и радиаторы. Кремнистая сталь насыщается около 1,5–2 Тл: дальше больший ток почти не добавляет потока. Поскольку поток задан формулой ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, трансформатор, работающий на частоте ниже расчётной или при напряжении выше расчётного, уходит в насыщение и потребляет огромные токи.

Описание к тому же квазистатическое: поля считаются действующими везде одновременно. При 50 Гц длина волны равна $c/f=6000\mathrm{км}$, и любая машина по сравнению с ней крошечная, но линия длиной 1000 км составляет шестую часть длины волны и должна рассматриваться как длинная линия. Правило потока требует осторожности и тогда, когда проводящий материал скользит мимо неподвижного контакта, как в униполярном генераторе с вращающимся диском: там неясно, через какой контур считать поток. Надёжным ориентиром остаётся сила $q\vec{v}\times \vec{B}$.

Переменный ток — не всегда лучший выбор. Длинный кабель обладает большой ёмкостью, которую переменный ток должен всё время заряжать и разряжать. Для подводного кабеля длиннее примерно 50–100 км или воздушной линии длиной в несколько сотен километров выигрывает постоянный ток высокого напряжения с электронными преобразователями. Изоляция и коронный разряд в воздухе вокруг проводов ограничивают наибольшие напряжения передачи уровнем около 1 МВ.

Что дальше

Сила, действующая на токи («Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд»), и правило потока («Электромагнитная индукция») — вся физика, нужная энергосистеме. Индуцированное электрическое поле каждого трансформатора вместе с его партнёром — магнитным полем, которое создаёт меняющееся электрическое поле, — порождает самоподдерживающиеся волны, которым посвящён урок «Электромагнитные волны». В системе отсчёта, движущейся вместе со стороной рамки, магнитный толчок генератора превращается в электрическое поле: это первый шаг к уроку «Специальная теория относительности». Действующие значения и коэффициент мощности источников переменного тока разбирались в уроке «Электрическая мощность и энергия в быту», а выпрямители и инверторы, на которых построены бесщёточные двигатели и линии постоянного тока высокого напряжения, — в уроке «Полупроводники, диоды и светодиоды».