Электромагнитная индукция

Начальный

Подключите катушку провода к чувствительному амперметру. Батарейки нигде нет, поэтому стрелка стоит на нуле. Теперь вдвиньте в катушку полосовой магнит — стрелка отклонится в одну сторону. Задержите магнит неподвижно внутри — стрелка вернётся к нулю. Выдвиньте его — стрелка отклонится в другую сторону.

Это электромагнитная индукция, открытая Майклом Фарадеем в 1831 году. Правило короткое: ток идёт только пока меняется магнитное поле, пронизывающее катушку. Огромный неподвижный магнит не даёт ничего, а маленький, но быстро движущийся — даёт. Анимация показывает три этапа: магнит входит, магнит покоится, магнит выходит.

Причину вы уже знаете. Магнит толкает движущиеся заряды вбок. Протащите провод через поле магнита — заряды внутри провода движутся вместе с ним, поэтому их толкает вдоль провода: этот толчок и есть индукционный ток. Неважно, что движется — магнит или провод.

Индукционный ток всегда борется с изменением, которое его вызвало. Когда магнит приближается, катушка превращается в маленький магнит и отталкивает его; когда он уходит — пытается его удержать. Поэтому, чтобы двигать магнит, нужно совершать работу, и именно из неё берётся электрическая энергия.

Чем быстрее движение, сильнее магнит и больше витков, тем больше ток. На этом работают генераторы электростанций, велосипедные динамо-машины и беспроводные зарядки.

Проверьте себя: магнит лежит внутри катушки, подключённой к амперметру. Что показывает прибор? (Ноль: ничего не меняется.)

Средний

Магнитный поток: сколько поля пронизывает контур

Электромагнитную индукцию вызывает не само магнитное поле, а изменение того, сколько поля пронизывает контур. Эту величину называют магнитным потоком. Для плоского контура площадью $S$ в однородном поле $B$ поток равен
$\Phi =BS\cos \alpha$
где $\alpha$ — угол между направлением поля и нормалью, то есть прямой, перпендикулярной плоскости контура. Если поле направлено вдоль нормали, то $\alpha =0$ и $\Phi =BS$; если поле лежит в плоскости контура, то $\Phi =0$, потому что ни одна линия поля контур не пересекает.

Поток измеряют в веберах, $1\mathrm{Вб}=1\mathrm{Тл}\cdot {\mathrm{м}}^2$, и у него есть знак: если изменить направление поля или перевернуть контур, поток сменит знак. Катушка из $N$ витков, как в анимации (их там 200), реагирует на потокосцепление $N\Phi$, потому что через каждый виток проходит один и тот же поток.

Закон Фарадея: важно только изменение

Закон Фарадея утверждает: изменяющийся магнитный поток наводит электродвижущую силу (ЭДС) в катушке из $N$ витков:
$\epsilon =-\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}$
ЭДС измеряют в вольтах: это энергия, которую получает каждый кулон заряда, один раз обошедший цепь, а формула даёт её среднее значение за промежуток $\Delta t$. В цепи сопротивлением $R$ эта ЭДС создаёт ток $I=\epsilon /R$.

Поток $\Phi =BS\cos \alpha$ может меняться тремя способами, и каждый из них наводит ЭДС:

• Меняется поле $B$: двигают магнит или включают и выключают электромагнит.
• Меняется площадь $S$: растягивают контур или передвигают перемычку по рельсам.
• Меняется угол $\alpha$: поворачивают катушку — так работает генератор.

Значение самого потока роли не играет. Пока магнит покоится внутри катушки, с 2,6 до 4,6 с, показание $\Phi$ остаётся равным 0,20 мВб, а показание $\epsilon$ — 0 мВ.

Правило Ленца: знак «минус»

Знак «минус» — это правило Ленца: индукционный ток противодействует тому изменению потока, которое его вызвало. Когда северный полюс приближается, поток растёт, поэтому ток создаёт поле противоположного направления: торец катушки, обращённый к магниту, становится северным полюсом и отталкивает его. Когда магнит уходит, поток убывает, ток меняет направление, и этот торец становится южным полюсом, который тянет магнит назад. Направление тока подскажет правая рука: большой палец направьте вдоль поля, которое ток должен создать, а согнутые пальцы покажут, куда он течёт.

Правило Ленца — это закон сохранения энергии в ином обличье. Раз катушка сопротивляется, чтобы двигать магнит, нужно совершать работу, и эта работа превращается в электрическую энергию цепи. Если бы катушка, наоборот, помогала движению, то от лёгкого толчка магнит разгонялся бы сам: энергия появилась бы из ничего.

Пример: катушка из анимации

Когда магнит целиком внутри катушки, поле $B=0,20\mathrm{Тл}$ направлено вдоль оси катушки ($\alpha =0$) и пронизывает площадь $S=10\mathrm{с}{\mathrm{м}}^2=1,0\times 10^{-3}{\mathrm{м}}^2$:
$\Phi =BS=0,20\cdot 1,0\times 10^{-3}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{Вб}=0,20\mathrm{мВб}$
Индикатор $\Phi$ достигает этого значения к 2,6 с. В начале он показывает 0,00, потому что с расстояния 125 мм магнит пропускает через катушку лишь около 0,0025 мВб.

Вдвигание длится 2,0 с, с 0,6 до 2,6 с, поэтому средняя ЭДС за это время равна
$|\epsilon |=\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{200\cdot 0,20\times 10^{-3}}{2,0}=0,020\mathrm{В}$
то есть 20 мВ. Но индикатор $\epsilon$ опускается примерно до $-89\mathrm{мВ}$ около $t\approx 2,2\mathrm{с}$, потому что поток растёт неравномерно. В момент 1,7 с он всё ещё около 0,02 мВб; затем, когда северный конец магнита входит в катушку, он поднимается примерно до 0,18 мВб к моменту 2,3 с. За эти 0,6 с среднее значение равно $200\cdot 0,16\times 10^{-3}/0,6\approx 53\mathrm{мВ}$, а среднее значение по модулю никогда не превосходит пикового.

Знак подчиняется правилу Ленца: показание отрицательно, пока поток растёт, и доходит до $+89\mathrm{мВ}$, пока он убывает, когда магнит выходит.

Пример: перемычка на рельсах

Два параллельных рельса на расстоянии 25 см друг от друга соединены с одного конца резистором сопротивлением 0,50 Ом, а поперёк них лежит металлическая перемычка в однородном поле 0,40 Тл, перпендикулярном плоскости рельсов. Вы тянете перемычку вдоль рельсов с постоянной скоростью 2,0 м/с.

За время $\Delta t$ перемычка длиной $L=0,25\mathrm{м}$ между рельсами добавляет к контуру площадь $Lv\Delta t$, поэтому $\Delta \Phi =BLv\Delta t$, а закон Фарадея при $N=1$ даёт
$\epsilon =BLv$
$\epsilon =0,40\cdot 0,25\cdot 2,0=0,20\mathrm{В}$
и ток $I=\epsilon /R=0,20/0,50=0,40\mathrm{А}$.

Поскольку по перемычке течёт ток, в поле на неё действует сила Ампера $F=BIL=0,40\cdot 0,40\cdot 0,25=0,040\mathrm{Н}$, и по правилу Ленца она направлена назад, против движения. Чтобы сохранять скорость 2,0 м/с, нужна мощность $Fv=0,080\mathrm{Вт}$ — ровно те $I^{2}R=0,080\mathrm{Вт}$, которые резистор превращает в тепло: каждый джоуль получен за счёт вашего усилия.

Как читать индикаторы, стрелки и графики

Зелёный индикатор $\Phi$ растёт от 0,00 до 0,20 мВб по S-образной кривой: сначала медленно, потом быстро, потом снова медленно, пока магнит устанавливается на месте. Индикатор $\epsilon$, угол отклонения стрелки гальванометра и длина фиолетовой стрелки $I$ пропорциональны ЭДС. Буква N или S у левого торца катушки показывает полюс, который создаёт индукционный ток.

На графике $\Phi$ от $t$ ЭДС равна наклону, умноженному на $-N$: отрицательна на подъёме, равна нулю на любом горизонтальном участке, как бы высоко он ни лежал, и положительна на спаде. Самая крутая часть подъёма, около 2,2 с, имеет наклон примерно 0,45 мВб/с, и $200\cdot 0,45\approx 89\mathrm{мВ}$ — пиковое показание.

Частые ошибки

• Сильное поле — это не большая ЭДС. Когда магнит лежит внутри катушки, через каждый виток проходит 0,20 мВб, а ЭДС равна ровно нулю.
• Индукционный ток противодействует изменению, а не полю. Когда магнит уходит, индукционное поле направлено так же, как поле самого магнита: оно поддерживает убывающий поток.
• Угол $\alpha$ отсчитывают от нормали, а не от плоскости. Если плоскость катушки составляет с полем 30°, то $\alpha =60^{\circ }$, и с числами анимации $\Phi =BS\cos 60^{\circ }=0,10\mathrm{мВб}$, а не 0,17 мВб.
• Не теряйте множитель $N$ и правильно переводите единицы: $1\mathrm{с}{\mathrm{м}}^2=10^{-4}{\mathrm{м}}^2$. Без $N$ средние 20 мВ из анимации превратятся в 0,1 мВ, а если принять 10 см² за $10^{-2}{\mathrm{м}}^2$, получится 200 мВ.
• ЭДС — не ток. На разомкнутых концах катушки действует полная ЭДС, но тока нет, поэтому нет и никакого торможения.

Где это встречается

Большую часть электроэнергии в мире вырабатывают генераторы, в которых магниты вращаются возле катушек и создают переменный ток частотой 50 или 60 Гц. Трансформаторы меняют напряжение благодаря индукции, беспроводные зарядки для телефонов передают энергию через зазор на частотах около 100–200 кГц, индукционные плиты нагревают посуду вихревыми токами, а звукосниматели электрогитар и металлоискатели откликаются на движущийся или спрятанный металл. Некоторые поезда тормозят вихревыми токами, а электромобили возвращают энергию, превращая двигатели в генераторы.

О самих машинах рассказывает урок «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы». А закон Фарадея — ещё и половина механизма света: меняющиеся магнитное и электрическое поля порождают друг друга и распространяются вместе как электромагнитные волны — этому посвящён урок «Электромагнитные волны».

Продвинутый

ЭДС и поток: точные определения

Закон Фарадея связывает две величины — ЭДС в контуре и магнитный поток через него, — поэтому обе нужно точно определить, прежде чем формулировать закон. Обойдём замкнутый контур $C$ один раз малыми шагами $d\vec{l}$. ЭДС $\epsilon$ контура — это работа, которую за этот один обход совершает над единицей заряда всё, что толкает заряд вдоль контура. Если на заряд $q$ действует сила $\vec{F}$, то
$\epsilon =\oint (\vec{F}/q)\cdot d\vec{l}$
ЭДС — не разность потенциалов. Электрическое поле неподвижных зарядов не совершает полной работы над зарядом, обошедшим замкнутый контур, потому что заряд оказывается в точке с тем же потенциалом, с какого начал: циркуляция этого поля равна нулю. Значит, если у замкнутого контура есть ЭДС, действует какая-то другая сила, и этот урок как раз о том, откуда она берётся.

Обозначения

$C$	Замкнутый контур, здесь цепь, который обходят малыми шагами.
$S$	Поверхность, краем которой служит $C$; все такие поверхности несут один и тот же поток.
$d\vec{l}$	Малый шаг вдоль $C$ в направлении, показанном стрелками.	$\mathrm{м}$
$d\vec{A}$	Малая площадка поверхности $S$ в виде вектора: его длина равна площади площадки, он перпендикулярен площадке, а сторону выбирает правило правой руки.	${\mathrm{м}}^2$
$\vec{B}$	Магнитное поле у площадки.	$\mathrm{Тл}$
$\theta$	Угол между $\vec{B}$ и $d\vec{A}$.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 1 задана геометрия. Стрелки на $C$ показывают направление обхода контура, и нарисован один шаг $d\vec{l}$. Чтобы измерить поток, нужна поверхность $S$, краем которой служит $C$; на рисунке взята плоская. Разобьём $S$ на малые площадки и опишем каждую вектором $d\vec{A}$: его длина равна площади площадки, а направлен он перпендикулярно ей. У площадки две стороны, и выбирает одну из них правило правой руки: согните пальцы правой руки вдоль $d\vec{l}$, и большой палец укажет направление $d\vec{A}$. Это правило связывает знак потока с направлением, в котором отсчитывается ЭДС.

Теперь посмотрим на саму площадку. Поле $\vec{B}$ образует с $d\vec{A}$ угол $\theta$, поэтому через площадку проходит только его составляющая $B\cos \theta$, и площадка добавляет к потоку $BdA\cos \theta =\vec{B}\cdot d\vec{A}$. Сложив все площадки, получим поток через $C$:
$\Phi =\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
Почему выбор поверхности не важен? Потому что $\nabla \cdot \vec{B}=0$: линии поля нигде не начинаются и не заканчиваются, поэтому каждая линия, пересекающая плоскую поверхность, пересекает и купол, опирающийся на тот же край. Все поверхности, ограниченные контуром $C$, несут один и тот же поток, так что $\Phi$ принадлежит самому контуру.

Определив обе величины, можно сформулировать закон Фарадея: ЭДС равна скорости изменения потока, взятой со знаком «минус». Для неподвижного контура единственная сила — электрическое поле, и закон имеет вид
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
Катушка из $N$ витков — это $N$ таких контуров, соединённых последовательно, и через каждый проходит один и тот же поток, поэтому её ЭДС равна
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}$
Знак «минус» — это правило Ленца. Положительная ЭДС гонит ток вдоль $d\vec{l}$, и по правилу правой руки поле этого тока пронизывает $S$ вдоль $d\vec{A}$, добавляя положительный поток. Поэтому растущему потоку достаётся отрицательная ЭДС, ток которой убирает поток и тем самым противодействует его росту.

Теорема Стокса превращает циркуляцию $\vec{E}$ по $C$ в поток $\nabla \times \vec{E}$ через $S$. Поскольку закон верен для любого контура, сколь угодно малого, он верен в каждой точке:
$\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$
Меняющееся магнитное поле окружено вихревым электрическим полем независимо от того, есть ли провод, который его ощутит.

ЭДС движения: контур в неизменном поле

Поток через контур может меняться по двум совершенно разным причинам: контур движется в поле, которое остаётся на месте, или поле меняется, а контур неподвижен. Закон Фарадея описывает оба случая одной формулой, но физика за ними разная. Начнём с движущегося контура, потому что там закон выводится из уже знакомой вам силы.

Обозначения

$\vec{B}$	Магнитное поле, направленное в плоскость рисунка (крестики).	$\mathrm{Тл}$
$\vec{v}$	Скорость перемычки, направленная вправо.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$L$	Длина перемычки между рельсами.	$\mathrm{м}$
$\vec{v}dt$	Расстояние, на которое перемычка смещается за короткое время $dt$.	$\mathrm{м}$
$d\vec{l}$	Малый элемент перемычки, направленный по ходу обхода контура: по часовой стрелке, то есть вниз вдоль перемычки.	$\mathrm{м}$
$d\vec{A}$	Полоска, заметаемая элементом $d\vec{l}$ за время $dt$, в виде вектора площади $\vec{v}dt\times d\vec{l}$; он направлен в плоскость рисунка.	${\mathrm{м}}^2$
$\vec{F}$	Магнитная сила $q\vec{v}\times \vec{B}$ на положительный заряд $q$, движущийся вместе с перемычкой; она направлена вверх вдоль перемычки.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 2 показан простейший движущийся контур. Перемычка длиной $L$ лежит поперёк двух рельсов, соединённых слева, и скользит вправо со скоростью $\vec{v}$. Поле $\vec{B}$ везде направлено в плоскость рисунка (крестики). Заряды в перемычке движутся вместе с ней, поэтому на каждый действует магнитная сила $q\vec{v}\times \vec{B}$; для положительного заряда это сила $\vec{F}$, направленная вверх вдоль перемычки. ЭДС — это работа этой силы над единицей заряда по контуру:
$\epsilon =\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
Движется только перемычка, поэтому вклад даёт только она. Вдоль неё $\vec{v}\times \vec{B}$ по модулю равно $vB$ и направлено вдоль перемычки, поэтому модуль ЭДС равен $BLv$.

Теперь свяжем это с потоком. За короткое время $dt$ элемент $d\vec{l}$ смещается на $\vec{v}dt$ и заметает закрашенную полоску, вектор площади которой $d\vec{A}=\vec{v}dt\times d\vec{l}$; вся перемычка заметает площадь $Lvdt$. Поскольку $\nabla \cdot \vec{B}=0$, поток через контур возрастает ровно на поток через эти заметённые полоски. Разделив на $dt$, получаем:
$\frac{d\Phi }{dt}=\oint \vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=-\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
Второй шаг использует циклическую перестановку в смешанном произведении, $\vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=d\vec{l}\cdot (\vec{B}\times \vec{v})$, и равенство $\vec{B}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{B}$. Правая часть — это ЭДС со знаком «минус», так что $\epsilon =-d\Phi /dt$. Для контура, движущегося в неизменном поле, правило потока — не новый закон, а следствие магнитной силы, действующей на движущиеся заряды.

Знаки на рисунке 2 это подтверждают. Элемент $d\vec{l}$ направлен вниз вдоль перемычки, по ходу обхода контура, то есть по часовой стрелке. По правилу правой руки $d\vec{A}$ тогда направлен в плоскость рисунка, вдоль $\vec{B}$, так что поток положителен и растёт. Сила $\vec{F}$ направлена вверх вдоль перемычки, против $d\vec{l}$, поэтому ЭДС отрицательна: поток растёт, а ЭДС отрицательна, как и требует правило Ленца.

Меняющееся поле: наведённое электрическое поле

Теперь оставим контур неподвижным и изменим поле, например двигая магнит, а не катушку. Покоящиеся заряды не чувствуют магнитной силы, значит, толкает их не она. Толчок даёт по-настоящему новое электрическое поле, ротор которого не равен нулю: $\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$. Из закона магнитной силы оно не следует. Это отдельный закон природы, найденный из опыта.

И всё же оба механизма всегда дают одну и ту же ЭДС, поэтому значение имеет лишь относительное движение магнита и катушки. Именно с этого примера начинается работа Эйнштейна 1905 года по теории относительности. В системе отсчёта магнита заряды катушки движутся и ощущают силу $q\vec{v}\times \vec{B}$; в системе отсчёта катушки они покоятся и ощущают силу $q\vec{E}$. Теория относительности показывает, что это одно поле, увиденное из двух систем отсчёта: как оно делится на электрическую и магнитную части, зависит от наблюдателя.

Импульс ЭДС: его высота и площадь

Когда магнит из анимации вдвигают в катушку, ЭДС возникает в виде одного импульса. Физику несут два свойства импульса: его высота определяется тем, как быстро меняется поток, а площадь — тем, насколько поток изменился в сумме.

Обозначения

$t$	Время.	$\mathrm{с}$
$\Phi$	Поток через один виток катушки.	$\mathrm{Вб}$
${\Phi }_{\max }$	Наибольший поток, достигаемый, когда магнит покоится внутри катушки.	$\mathrm{Вб}$
$\Delta \Phi$	Полный рост потока за время вдвигания.	$\mathrm{Вб}$
$dt$	Короткий промежуток времени: горизонтальный катет треугольника наклона.	$\mathrm{с}$
$d\Phi$	Изменение $\Phi$ вдоль касательной за время $dt$: вертикальный катет.	$\mathrm{Вб}$
$\epsilon$	ЭДС, наведённая во всей катушке из $N$ витков.	$\mathrm{В}$
${\epsilon }_{\max }$	Глубина импульса под самой крутой точкой графика $\Phi$; сама ЭДС там отрицательна.	$\mathrm{В}$
$N\Delta \Phi$	Величина закрашенной площади под импульсом: $N$ витков, умноженное на рост $\Delta \Phi$.	$\mathrm{В}\cdot \mathrm{с}$

График на рисунке 3 построен по той же модели, что и анимация. Верхний график — поток $\Phi (t)$ через один виток, пока магнит вдвигают: он растёт на $\Delta \Phi$ до значения ${\Phi }_{\max }$ и затем остаётся постоянным. Нижний график — ЭДС $\epsilon (t)$, которая по закону Фарадея равна наклону верхнего графика, умноженному на $-N$. Посмотрите на точку на кривой потока: там касательная круче всего, а её треугольник наклона имеет катеты $dt$ и $d\Phi$. Проведите пунктирную линию строго вниз — и ЭДС окажется на дне своего импульса, глубина которого равна ${\epsilon }_{\max }$. Там, где $\Phi$ постоянен — до приближения магнита и после того, как он остановился внутри, — ЭДС равна нулю, каким бы большим ни был поток.

Начнём с высоты. В модели поток через виток зависит от расстояния $s$ между центрами магнита и катушки так:
$\Phi (s)={\Phi }_{\max }[1+(s/a{)}^2{]}^{-3/2}$
где ${\Phi }_{\max }=0,20\mathrm{мВб}$ и $a=30\mathrm{мм}$. Поток зависит от времени только через $s$, поэтому по правилу дифференцирования сложной функции ЭДС распадается на множитель, который задаётся формой поля, и множитель, который задаётся скоростью:
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{ds}\frac{ds}{dt}$
Наклон $d\Phi /ds$ пропорционален $(s/a)[1+(s/a{)}^2{]}^{-5/2}$. Приравняв нулю производную этого выражения, получим $1+(s/a{)}^2=5(s/a{)}^2$, значит, наклон наибольший при $s=\pm a/2$, где его модуль равен $0,86{\Phi }_{\max }/a$. Входя, магнит движется с постоянной скоростью 78 мм/с и проходит $s=-15\mathrm{мм}$ в момент $t\approx 2,2\mathrm{с}$. Поэтому глубина импульса равна
${\epsilon }_{\max }=200\cdot 0,86\cdot (0,20\times 10^{-3}/0,030)\cdot 0,078\approx 0,089\mathrm{В}$
— это впадина $-89\mathrm{мВ}$ на графике. Импульс острый: глубже половины этого значения он бывает лишь 0,37 с из двух секунд вдвигания.

Теперь площадь. Проинтегрировав закон Фарадея по всему импульсу, получим
$\int \epsilon dt=-N\int d\Phi =-N\Delta \Phi$
Площадь зависит только от полного изменения потока, а не от того, как быстро оно произошло. Здесь поток растёт от 0,0025 мВб, когда магнит находится на расстоянии 125 мм, до 0,20 мВб, поэтому площадь равна $-200\cdot (0,20-0,0025)\mathrm{мВб}\approx -39,5\mathrm{мВ}\cdot \mathrm{с}$ (вольт-секунда — это вебер). Выдвигание магнита даёт импульс той же площади и противоположного знака. Вдвое более быстрое вдвигание даёт импульс вдвое выше и вдвое уже при той же площади.

У площади есть практическое применение. Через цепь сопротивлением $R$ протекает заряд $Q=\int \epsilon dt/R$, то есть $Q=N|\Delta \Phi |/R$: около 2,0 мКл на импульс при 20 Ом. Это остаётся точным, даже когда существенна индуктивность самой катушки, потому что до импульса и после него ток равен нулю, а ЭДС самоиндукции в интеграле даёт нуль. Поэтому пробная катушка, подключённая к измерителю заряда, позволяет измерить поле, как бы быстро ни двигала её рука.

Вращающаяся катушка: генератор

Генератор меняет поток вращением: катушка равномерно поворачивается в неизменном поле. Пусть она вращается с угловой скоростью $\omega$ в однородном поле $B$, так что угол $\theta$ с рисунка 1, между $\vec{B}$ и вектором площади катушки, растёт как $\theta =\omega t$. Тогда через каждый виток площадью $A$ проходит поток $\Phi =BA\cos \omega t$, и закон Фарадея даёт
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=NBA\omega \sin \omega t$
ЭДС равна нулю, когда плоскость катушки перпендикулярна полю и поток наибольший, потому что косинус на вершине пологий. Наибольшей ЭДС становится через четверть оборота, когда плоскость катушки параллельна полю, а поток проходит через нуль, меняясь быстрее всего. Поток и ЭДС сдвинуты на четверть периода, как положение и скорость при гармонических колебаниях.

Раскрутим катушку из анимации, у которой $N=200$ и $A=1,0\times 10^{-3}{\mathrm{м}}^2$, в её поле 0,20 Тл до 50 оборотов в секунду, так что $\omega =2\pi \cdot 50\approx 314\mathrm{рад}/\mathrm{с}$. Пиковая ЭДС равна
$NBA\omega =200\cdot 0,20\cdot 1,0\times 10^{-3}\cdot 314\approx 12,6\mathrm{В}$
Проверим это по средней форме закона. За каждые пол-оборота поток меняется от $+0,20$ до $-0,20\mathrm{мВб}$ за 0,010 с, поэтому средняя ЭДС равна $200\cdot 0,40\times 10^{-3}/0,010=8,0\mathrm{В}$. Это $2/\pi$ от пика — среднее значение полуволны синусоиды, как и должно быть. Пик в 140 раз больше, чем 89 мВ у магнита, который двигали рукой, по двум причинам: теперь поток полностью меняет знак, а не просто появляется, и делает это сто раз в секунду.

Индукционные токи тормозят движение

Как только наведённая ЭДС создаёт ток, этот ток оказывается в магнитном поле, и на него действует сила. По правилу Ленца эта сила всегда противодействует движению, которое её вызвало, поэтому индукция работает как тормоз. Количественно это показывает перемычка на рельсах.

Толкните перемычку и отпустите. При скорости $v$ ЭДС $BLv$ создаёт в цепи сопротивлением $R$ ток $I=BLv/R$, и поле толкает перемычку назад с силой $BIL=B^2{L}^{2}v/R$. Второй закон Ньютона для перемычки массой $m$ тогда имеет вид
$m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2{L}^2}{R}v$
Тормозящая сила пропорциональна скорости, поэтому скорость убывает экспоненциально, $v=v_0{e}^{-t/\tau }$, с постоянной времени $\tau =mR/(B^2{L}^2)$. Возьмём рельсы из примера среднего уровня, где $B=0,40\mathrm{Тл}$, $L=0,25\mathrm{м}$ и $R=0,50\mathrm{Ом}$, и перемычку массой 20 г: $\tau =0,020\cdot 0,50/(0,40^2\cdot 0,25^2)=1,0\mathrm{с}$. Запущенная со скоростью 2,0 м/с, перемычка пройдёт по инерции расстояние $v_0\tau =2,0\mathrm{м}$ (интеграл от $v$ по всему времени), а вся её кинетическая энергия 0,040 Дж перейдёт в тепло в резисторе.

В сплошном металле нет провода, который направлял бы ток: наведённое электрическое поле гонит вихревые токи (токи Фуко) по замкнутым петлям внутри самого металла. Они нагревают посуду на индукционной плите, без износа тормозят поезда и заставляют магнит медленно опускаться в медной трубке. Сердечники трансформаторов собирают из тонких изолированных пластин, которые разрывают эти петли и уменьшают потери. Катушка противодействует и изменениям собственного тока, потому что поток этого тока пронизывает её саму. Эта самоиндукция — причина того, что при размыкании тока в большой катушке может проскочить искра.

Задача: магнит, падающий сквозь катушку

Отпустим магнит из анимации без начальной скорости: ось вертикальна, центр магнита на 20 см выше центра катушки, и он падает точно сквозь неё. Сначала оставим катушку разомкнутой: ток не течёт, поэтому ничто не тормозит падение. Как соотносятся импульсы входа и выхода? Затем замкнём катушку на сопротивление 20 Ом: насколько сильное торможение это добавит?

Высота пиков. Каждый импульс глубже всего там, где наклон $d\Phi /ds$ наибольший, то есть при $s=\pm 15\mathrm{мм}$, поэтому
$|{\epsilon }_{\max }|\approx N\cdot 0,86({\Phi }_{\max }/a)v=200\cdot 0,86\cdot (0,20\times 10^{-3}/0,030)v\approx 1,15v$
в вольтах при $v$ в м/с. Центр магнита проходит $s=-15\mathrm{мм}$ после падения на 0,185 м, со скоростью $v=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 0,185}\approx 1,91\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а $s=+15\mathrm{мм}$ — после 0,215 м, при скорости около 2,05 м/с. Поэтому импульс входа достигает пика около $-2,2\mathrm{В}$, а импульс выхода — около $+2,35\mathrm{В}$, всего через 15 мс.

Ширина. Площадь каждого импульса равна $N{\Phi }_{\max }\approx 40\mathrm{мВ}\cdot \mathrm{с}$, потому что поток вырастает почти с нуля до ${\Phi }_{\max }$, а затем снова падает. При равных площадях более высокий импульс выхода должен быть уже: площадь, делённая на высоту, даёт около 18 мс для импульса входа и 17 мс для импульса выхода. Оба импульса примерно в 25 раз выше и во столько же раз уже, чем в анимации, — таково отношение скоростей.

Торможение. Теперь замкнём катушку на 20 Ом. Мощность, переходящая в тепло, равна ${\epsilon }^2/R$, а её интеграл $\int {\epsilon }^{2}dt/R$, вычисленный численно по обоим импульсам, составляет около 5,8 мДж. Магнит массой 50 г приходит с кинетической энергией $mgh=0,050\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 0,098\mathrm{Дж}$, поэтому он теряет около 6 % энергии. Скорость пропорциональна квадратному корню из энергии, так что она падает всего примерно на 3 %: не учитывать торможение в первой части было вполне законно. В медной трубке сопротивление ничтожно, токи велики, и торможение достаточно сильно, чтобы удерживать магнит на малой предельной скорости.

Границы применимости: когда правило потока неверно

Правило потока работает, когда путь тока движется вместе с веществом, которое несёт этот ток, как у перемычки на рельсах. Вращающийся диск показывает, что происходит, когда это не так, и чем тогда пользоваться.

Обозначения

$\vec{B}$	Магнитное поле вдоль оси, направленное из плоскости рисунка (точки).	$\mathrm{Тл}$
$\omega$	Угловая скорость диска.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$r$	Радиус диска: расстояние от оси до обода.	$\mathrm{м}$
$d\rho$	Короткий отрезок радиуса на расстоянии $\rho$ от оси.	$\mathrm{м}$
$\vec{v}$	Скорость металла в точке радиуса, по модулю равная $\omega \rho$: она растёт пропорционально расстоянию от оси.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{F}$	Магнитная сила $q\vec{v}\times \vec{B}$ на положительный заряд в металле: вдоль радиуса, от оси.	$\mathrm{Н}$
$\epsilon$	ЭДС между контактами, которую показывает прибор.	$\mathrm{В}$

На рисунке 4 показан медный диск радиусом $r$, который вращается с угловой скоростью $\omega$ в поле $\vec{B}$, направленном вдоль его оси из плоскости рисунка (точки). Один скользящий контакт касается оси, другой — обода, и провода от обоих идут к прибору, показывающему ЭДС $\epsilon$. Ток идёт по проводам, прибору и одному радиусу диска между контактами. Этот путь остаётся на месте, пока диск вращается, поэтому поток через него никогда не меняется, и правило потока не предсказывает никакой ЭДС. Но прибор её показывает.

Показания объясняет закон силы. Металл диска движется, поэтому на заряды в нём действует сила $q\vec{v}\times \vec{B}$. На расстоянии $\rho$ от оси металл движется со скоростью $\omega \rho$, поэтому на рисунке 4 стрелки $\vec{v}$ вдоль радиуса растут пропорционально $\rho$, а их концы лежат на пунктирной прямой, проходящей через центр. Сила $\vec{F}$ на положительный заряд направлена вдоль радиуса от оси (она нарисована на левом радиусе). Короткий отрезок радиуса $d\rho$ поэтому добавляет к ЭДС $B\omega \rho d\rho$, а сумма от оси до обода — это площадь под этой прямой, то есть треугольник:
$\epsilon ={\int }_0^{r}B\omega \rho d\rho =\frac{1}{2}B\omega r^2$
Для диска радиусом 10 см, вращающегося 50 раз в секунду в поле 0,50 Тл, это составляет 0,79 В. Правило, которое никогда не подводит, — сам закон силы, где сила на единицу заряда интегрируется вдоль настоящего пути зарядов:
$\epsilon =\oint (\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$

У картины с контуром есть и собственные границы. Она предполагает, что ЭДС возникает сразу по всему контуру, а для этого контур должен быть много меньше длины волны $c/f$ меняющегося поля: 6000 км при 50 Гц, но всего 30 см при 1 ГГц, где провода начинают излучать, как антенны. Мы пренебрегали и собственным полем катушки. Для катушки из анимации длиной $\ell =60\mathrm{мм}$ оценка её индуктивности для длинного соленоида, ${\mu }_0{N}^{2}A/\ell$, даёт меньше 1 мГн, а при 20 Ом — постоянную времени около 40 мкс: по сравнению с импульсом в 0,4 с это ничтожно, но на высоких частотах становится главным.

То, как толчок делится между $\vec{E}$ и $\vec{v}\times \vec{B}$, зависит от системы отсчёта. При малых скоростях система отсчёта, движущаяся со скоростью $\vec{v}$, видит электрическое поле ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}$; при скорости 78 мм/с, как в анимации, это правило ошибается лишь примерно на $(v/c{)}^2\approx 7\times 10^{-20}$.

Другой крайний случай — сверхпроводящее кольцо. По контуру с нулевым сопротивлением полная ЭДС должна быть равна нулю, иначе ток рос бы без предела, поэтому поток через кольцо, включая поток его собственного тока, вообще не может меняться. Этот поток к тому же принимает только значения, кратные кванту потока $h/2e\approx 2,07\times 10^{-15}\mathrm{Вб}$. Поток катушки, 0,20 мВб, — это около $10^{11}$ квантов; СКВИДы — сверхпроводящие квантовые интерферометры — различают малую долю одного кванта, чего достаточно, чтобы регистрировать магнитные поля мозга.

Что дальше

Урок «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» дал одну половину этой темы — слагаемое $\vec{v}\times \vec{B}$. Урок «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы» применяет закон на практике: трансформатор — это две катушки с одним общим меняющимся потоком, а двигатель — генератор, запущенный в обратную сторону, с противо-ЭДС, которую предсказывает правило Ленца. Куда эта энергия идёт дальше, до розетки, прослеживает урок «Электрическая мощность и энергия в быту», а вихретоковый тормоз возвращается в виде линейного демпфера в уроке «Затухание и резонанс».

Добавьте поправку Максвелла — меняющееся электрическое поле тоже порождает магнитное, — и два поля начнут воспроизводить друг друга в пустом пространстве, распространяясь со скоростью $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$: об этом урок «Электромагнитные волны». А поскольку значение имеет лишь относительное движение магнита и катушки, дорога ведёт дальше — к уроку «Специальная теория относительности».