Ondas eletromagnéticas

Iniciante

De onde vem uma onda de rádio? Imagine uma haste de metal ligada a uma tensão alternada. Elétrons são empurrados para cima na haste, depois para baixo, depois para cima de novo, de modo que suas duas extremidades ficam positiva e negativa alternadamente. Em volta da haste há um campo elétrico, e toda vez que as cargas trocam de lado, o campo inverte. O campo antigo não desaparece: ele se afasta da haste enquanto um novo se forma atrás dele. Uma ondulação de campo elétrico se espalha para fora. E, enquanto os elétrons correm pela haste, formam uma corrente, que produz um campo magnético; então uma ondulação magnética também se propaga. Juntas, elas formam uma onda eletromagnética.

Na animação, a carga oscilante à esquerda faz o papel da antena. A onda azul e as setas mostram o campo elétrico; a onda vermelha, o campo magnético. Eles sobem e descem juntos, em ângulo reto entre si e com a direção de propagação.

À distância, o campo elétrico sacode os elétrons na antena de um carro, e o rádio transforma esse minúsculo tremor de volta em som. Para levar música, uma emissora varia a intensidade da onda (AM) ou sua frequência (FM). Essas ondas não precisam de ar: atravessam o espaço vazio, todas na velocidade da luz, cerca de 300.000 km por segundo.

O rádio é apenas um membro de uma grande família. Das ondas longas às curtas: rádio, micro-ondas, infravermelho, luz visível, ultravioleta, raios X e raios gama. A barra de cores mostra esse espectro; nossos olhos veem apenas sua estreita faixa de arco-íris.

Teste-se: qual atravessa o espaço mais depressa, ondas de rádio ou raios X? (Nenhuma das duas: ambas viajam na velocidade da luz.)

Intermediário

O que oscila

Uma onda eletromagnética (EM) é um padrão que se propaga de um campo elétrico $\vec{E}$, em volts por metro (V/m), e de um campo magnético $\vec{B}$, em teslas (T). Nada material se move: em cada ponto os campos crescem, diminuem e se invertem, e o padrão se desloca. O empurrão de $\vec{E}$ sobre os elétrons de uma antena ou do seu olho é como a onda é detectada.

Duas leis a mantêm. Como mostrou a indução eletromagnética, um campo magnético variável produz um campo elétrico; Maxwell percebeu que um campo elétrico variável igualmente produz um campo magnético. Cada variação cria o outro campo um pouco adiante, então a perturbação se propaga sozinha, sem fios e sem meio.

Cargas aceleradas a iniciam: elétrons empurrados para cima e para baixo em uma antena por uma tensão alternada, ou a carga dourada à esquerda da animação. Uma carga em repouso ou uma corrente constante produz apenas campos constantes.

Transversal, em fase, na mesma velocidade

No vácuo, toda onda EM tem três propriedades, todas visíveis na animação:

• Ela é transversal: $\vec{E}$ (azul, vertical) e $\vec{B}$ (vermelho, horizontal, em perspectiva) são perpendiculares entre si e à direção de propagação, a seta $c$.
• Os dois campos oscilam em fase: atingem os picos e passam por zero nos mesmos lugares e nos mesmos instantes.
• Ela viaja com $c=3,00\times 10^{8}m/s$, qualquer que seja sua frequência.

A onda se propaga ao longo de $\vec{E}\times \vec{B}$: gire os dedos da mão direita de $\vec{E}$ para $\vec{B}$, e o polegar indica a direção. Com $\vec{E}$ para cima na página e $\vec{B}$ saindo dela, a onda vai para a direita; meio ciclo depois ambos se inverteram, e ela continua indo para a direita. A direção de $\vec{E}$ é a polarização, vertical na animação.

A velocidade decorre das duas leis: $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$, em que ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$ e ${\mu }_0=1,26\times 10^{-6}H/m$ são as constantes das forças elétricas entre cargas e das forças magnéticas entre correntes, medidas com baterias e bobinas. Elas dão $3,00\times 10^{8}m/s$, a velocidade da luz; nos anos 1860, isso convenceu Maxwell de que a luz é uma onda eletromagnética.

As equações de trabalho

Três relações fazem a maior parte do trabalho neste nível:

• $c=f\lambda$
• $E=cB$
• $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

A primeira é a regra de Fundamentos das ondas: em um período, a onda avança um comprimento de onda. Como $c$ é fixo, dobrar a frequência reduz o comprimento de onda à metade: ao longo da barra do espectro, para a direita, $\lambda$ diminui e $f$ aumenta.

A segunda vale em todo ponto e instante. Em teslas, $B$ parece minúsculo, 10 nT ao lado de 3,0 V/m, mas grandezas em unidades diferentes não se comparam. Energias se comparam: as densidades $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ e $B^2/(2{\mu }_0)$ são exatamente iguais, então cada campo carrega metade da energia.

A terceira dá a intensidade $I$, a potência média por metro quadrado (W/m²), a partir da amplitude $E_0$; o $\frac{1}{2}$ é a média de ${\sin }^2$ em um ciclo. Dobre $E_0$ e a potência quadruplica.

Exemplo resolvido: a luz verde da animação

A animação modela a luz verde com $\lambda =550\mathrm{nm}$, a distância entre cristas marcada pela régua. Em metros, $550\mathrm{nm}=5,50\times 10^{-7}\mathrm{m}$, então a frequência e o período são
$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{5,50\times 10^{-7}}\approx 5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$
$T=\frac{1}{f}\approx 1,83\times 10^{-15}\mathrm{s}$

Esta é a frequência mostrada no painel. Um ciclo real dura menos de dois femtossegundos, e um ciclo desenhado dura 2 s, então a imagem roda cerca de $10^{15}$ vezes mais devagar que a luz.

A amplitude do campo é $E_0=3,0V/m$, então a amplitude magnética e a intensidade são
$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{3,0}{3,00\times 10^8}=1,0\times 10^{-8}\mathrm{T}=10\mathrm{nT}$
$I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2\approx 1,2\times 10^{-2}W/{\mathrm{m}}^2$

No ponto P, os medidores oscilam entre $+3,0$ e $-3,0V/m$ e entre $+10$ e $-10\mathrm{nT}$: quando $E$ marca 1,5 V/m, $B$ marca 5,0 nT, e ambos cruzam zero juntos. As setas, uma a cada oitavo de comprimento de onda (69 nm na onda real), crescem e diminuem em sincronia. Os 12 mW/m² da visão avançada significam luz fraca, cerca de 80.000 vezes mais fraca que a luz do sol.

Exemplo resolvido: rádio FM e forno de micro-ondas

Uma estação FM transmite em 100 MHz. Primeiro converta: $100\mathrm{MHz}=1,00\times 10^8\mathrm{Hz}$; então
$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3,00\times 10^8}{1,00\times 10^8}=3,0\mathrm{m}$

Ler 100 MHz como $10^7\mathrm{Hz}$ daria 30 m, dez vezes maior que o correto. Uma antena de carro de um quarto de onda tem, portanto, 75 cm. A cerca de 30 km de um transmissor de 100 kW, a amplitude é aproximadamente 0,10 V/m, então $B_0=0,10/(3,00\times 10^8)\approx 3,3\times 10^{-10}\mathrm{T}$ e $I=\frac{1}{2}\cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 0,10^2\approx 1,3\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$. O sinal levou $3,0\times 10^4/(3,00\times 10^8)=1,0\times 10^{-4}\mathrm{s}$ para chegar.

Um forno de micro-ondas a 2,45 GHz usa $\lambda =3,00\times 10^8/(2,45\times 10^9)\approx 0,122\mathrm{m}$. Refletidas dentro da caixa metálica, as ondas formam um padrão estacionário com pontos quentes separados por meio comprimento de onda, cerca de 6,1 cm. Sem o prato giratório, aqueça brevemente uma camada de chocolate e meça a distância entre as manchas moles: $2\cdot 0,061\cdot 2,45\times 10^9\approx 3,0\times 10^{8}m/s$, a velocidade da luz direto da cozinha.

Lendo a barra do espectro

A barra embaixo ordena a família pelo comprimento de onda, longo à esquerda. Cada faixa tem seu próprio comprimento de onda, mas todas se movem na mesma velocidade. Os limites são convenções:

• Rádio, maior que cerca de 1 m: ondas AM perto de 300 m, ondas FM de 3 m.
• Micro-ondas, de 1 mm a 1 m: radar, celulares, Wi-Fi e fornos.
• Infravermelho, de 700 nm a 1 mm: radiação de calor, mais forte perto de 10 µm para a sua pele.
• Luz visível, apenas de 400 a 700 nm: a faixa estreita do arco-íris.
• Ultravioleta, abaixo de 400 nm, depois raios X e raios gama, os mais curtos muito menores que um átomo.

Para a direita, a energia de cada fóton, $hf$, também aumenta ($h=6,63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ é a constante de Planck). Essa energia, e não a intensidade, decide o que uma onda faz com uma molécula: fótons visíveis de cerca de 2 eV acionam a visão, e só os acima de cerca de 10 eV (ultravioleta abaixo de cerca de 124 nm, raios X, raios gama) ionizam a maioria dos átomos.

Erros comuns

• Ondas EM não precisam de meio: a luz do sol atravessa 150 milhões de km de quase vácuo em 8,3 minutos.
• Frequência maior não é mais rápida: um eco de rádio e um pulso de laser refletidos na Lua voltam ambos após cerca de 2,6 s.
• O campo magnético não é desprezível: 10 nT ao lado de 3,0 V/m carrega energia igual. Sua força sobre um elétron com velocidade $v$ é, porém, no máximo $v/c$ da força elétrica, então $\vec{E}$ define a polarização.
• O vidro muda a velocidade e o comprimento de onda, não a frequência: com $n=1,5$, a luz verde desacelera para $2,0\times 10^{8}m/s$ e 550 nm encolhe para cerca de 367 nm, enquanto $f$ permanece $5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$.
• “Radiação” não é “radioativo”, e a potência não torna uma onda ionizante: os fótons de um forno de 1000 W carregam $10^{-5}\mathrm{eV}$, um único fóton de raio X, dezenas de keV.

Onde você as encontra

Rádio, televisão, celulares, Wi-Fi, navegação por satélite (19 cm), radar e fornos de micro-ondas usam a extremidade dos comprimentos de onda longos. Controles remotos, enlaces de fibra óptica (1,55 µm) e câmeras térmicas usam infravermelho; lâmpadas UV desinfetam água, raios X fotografam ossos e cristais, e raios gama tratam tumores.

Esta lição faz a ponte entre eletricidade e óptica. Polarização da luz segue a direção de $\vec{E}$; Interferência e superposição e Difração e fenda dupla somam os campos de várias ondas; Reflexão e refração acompanha uma onda ao entrar na matéria. Radiação de corpo negro e o quantum e Efeito fotoelétrico mostram que a luz é emitida e absorvida em pacotes de energia $hf$.

Avançado

Equações de Maxwell no espaço vazio

Luz, ondas de rádio e raios X são todos ondas de campo elétrico e magnético. Para ver por que tais ondas existem e por que todas viajam com uma velocidade fixa, parta das leis do eletromagnetismo em uma região sem cargas e sem correntes. Ali elas assumem uma forma surpreendentemente simétrica:
$\nabla \cdot \vec{E}=0,\nabla \cdot \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Aqui $\vec{E}$ é o campo elétrico, $\vec{B}$ o campo magnético, e ${\mu }_0$ e ${\epsilon }_0$ são as constantes magnética e elétrica do espaço vazio. Leia as leis uma de cada vez. As duas primeiras são as leis de Gauss: sem cargas presentes, nenhuma linha de campo começa ou termina na região. A terceira é a lei de Faraday: um campo magnético que varia no tempo produz um campo elétrico que circula em torno dele. A quarta é a lei de Ampère com a adição de Maxwell, a corrente de deslocamento ${\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$: um campo elétrico que varia no tempo produz um campo magnético que circula em torno dele. As duas últimas juntas permitem que cada campo mantenha o outro, sem carga por perto, e isso é exatamente o que uma onda precisa.

O termo de Maxwell não é uma escolha livre: a conservação da carga o exige. Onde há cargas, a quarta lei fica $\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$, com $\vec{J}$ a densidade de corrente. Tome o divergente dos dois lados. O lado esquerdo é zero, porque um rotacional nunca tem divergente. No lado direito, a lei de Gauss $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$, com $\rho$ a densidade de carga, transforma o segundo termo em ${\mu }_0\partial \rho /\partial t$. Resta $\nabla \cdot \vec{J}+\partial \rho /\partial t=0$: a carga que sai de um pequeno volume é exatamente a carga perdida dentro dele. Sem o termo de Maxwell, o mesmo passo exigiria $\nabla \cdot \vec{J}=0$, o que é falso na placa de um capacitor em carga, onde a corrente chega e nenhuma sai.

Por que a frente se move na velocidade da luz

Legenda

$\sigma$	Carga por unidade de área da placa em movimento.	$C/{\mathrm{m}}^2$
$v_s$	Velocidade da placa, para baixo na vista superior.	$m/s$
$v$	Velocidade da frente, a borda da região que tem campo.	$m/s$
$\vec{E}$	Campo elétrico atrás da frente: para cima na vista superior, para fora da página na inferior.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético atrás da frente: para fora da página na vista superior, para baixo na inferior.	$\mathrm{T}$
$L$	Altura da espira, medida ao longo da frente.	$\mathrm{m}$
$vdt$	Quanto a frente avança em um tempo curto $dt$: a largura da faixa sombreada.	$\mathrm{m}$

Antes de resolver qualquer equação, um experimento mental mostra como a variação de um campo cria o outro e como o par se afasta junto. Ele usa apenas as formas em circuito da lei de Faraday e da lei de Ampère-Maxwell, e fornece diretamente a velocidade da frente.

Primeiro, a fonte. Uma placa plana infinita está no plano $yz$; a Figura 1 a mostra de perfil, como a linha laranja à esquerda. Tome $x$ para a direita, afastando-se da placa, $y$ para cima na página e $z$ saindo dela. A placa carrega uma carga $\sigma$ por metro quadrado e está apoiada sobre uma placa fixa de carga oposta, de modo que, em repouso, não há campo do lado de fora. Em $t=0$, a placa carregada é posta em movimento para baixo na página, ao longo de $-y$, com velocidade constante $v_s$. Uma placa de carga em movimento é uma corrente, então uma corrente $\sigma v_s$ por metro de largura surge de imediato. Logo ao lado da placa, a lei de Ampère dá o campo de uma folha de corrente, $B={\mu }_0\sigma v_s/2$, saindo da página, ao longo de $z$.

Mais longe, o campo não pode aparecer em toda parte no mesmo instante. Suponha, então, que ele preencha uma região atrás de uma frente plana que se afasta da placa com uma velocidade desconhecida $v$ (a linha tracejada): uniforme atrás da frente, zero à frente dela. As duas leis de circuito fixarão $v$ e o campo elétrico que deve acompanhar $\vec{B}$.

A Figura 1 desenha a mesma frente de duas direções, cada vez com uma espira retangular de altura $L$ atravessando a frente. Em um tempo curto $dt$, a frente avança $vdt$, e a espira ganha a faixa sombreada de campo, de área $Lvdt$.

A vista superior olha ao longo de $z$. A espira está no plano $xy$, então $\vec{B}$ (os círculos com ponto, saindo da página) a atravessa, e o fluxo magnético pela espira cresce de $BLvdt$, isto é, à taxa $BLv$. A lei de Faraday diz que um fluxo variável requer um campo elétrico circulando em torno da espira. Os lados ao longo de $x$ não contribuem, porque $\vec{E}$ ao longo de $y$ é perpendicular a eles, e o lado à frente da frente não tem campo. Só conta o lado de comprimento $L$ atrás da frente, então $EL=BLv$.

A vista inferior olha de cima, ao longo de $y$. Agora a espira está no plano $xz$, $\vec{E}$ a atravessa (saindo da página aqui) e $\vec{B}$ corre ao longo do lado da espira atrás da frente. A mesma faixa acrescenta fluxo elétrico à taxa $ELv$. Nenhuma corrente atravessa essa espira, então a lei de Ampère-Maxwell diz que a circulação de $\vec{B}$ é ${\mu }_0{\epsilon }_0$ vezes essa taxa; de novo só conta o lado atrás da frente, então $BL={\mu }_0{\epsilon }_{0}ELv$. As direções desenhadas são as que dão às duas leis os sinais certos; aqui só os tamanhos importam.

Cancele $L$, e as duas condições ficam
$E=vB,B={\mu }_0{\epsilon }_{0}vE$
Substituindo a primeira na segunda: $B={\mu }_0{\epsilon }_0{v}^{2}B$. As duas só podem valer se $v^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$:
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3,00\cdot 10^{8}m/s$

Nada disso depende de $\sigma$, de $v_s$ ou de quão bruscamente a placa começou: por mais forte que seja o empurrão, a frente tem essa única velocidade, construída a partir de duas constantes medidas com cargas e correntes. Maxwell percebeu que ela é igual à velocidade medida da luz e concluiu que a luz é uma onda eletromagnética.

Atrás da frente, $E=cB=\sigma v_s/(2{\epsilon }_{0}c)$, pois ${\mu }_{0}c=1/({\epsilon }_{0}c)$. $\vec{E}$ aponta contra a velocidade da placa, para cima na página da Figura 1, e $\vec{E}\times \vec{B}$ aponta para longe da placa, no sentido em que a frente se move. Observe o que o campo registra: a rapidez com que a placa se move, não onde ela está. Assim, se a placa parar após um tempo $\tau$, uma segunda frente de sinal oposto segue a primeira, e entre elas uma faixa de campo de espessura $c\tau$ continua viajando, sem carga alguma por perto. Se a placa for sacudida para cima e para baixo, o campo que sai copia seu histórico de velocidades, atrasado em $x/c$ à distância $x$: uma onda plana.

A equação de onda

A placa produziu uma frente plana. A forma diferencial das leis mostra que um padrão de campo de qualquer forma viaja com a mesma velocidade. Tome o rotacional da lei de Faraday. À esquerda, use a identidade $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$, cujo primeiro termo se anula porque $\nabla \cdot \vec{E}=0$. À direita, troque o rotacional pela derivada no tempo e insira a quarta lei para $\nabla \times \vec{B}$. Os sinais de menos se cancelam, restando
${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

Esta é a equação de onda de Fundamentos das ondas com $1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ no lugar de $v^2$, então toda solução viaja com $c$. Os mesmos passos, partindo da quarta lei, dão a mesma equação para $\vec{B}$. O sinal de menos na lei de Faraday é essencial: ele diz que os campos induzidos se opõem à variação que os causa. Com sinal de mais, as soluções cresceriam ou morreriam exponencialmente no tempo em vez de viajar, e não haveria ondas.

Uma onda plana: dois campos em fase, em ângulo reto

Legenda

$x$	Eixo na direção de propagação.	$\mathrm{m}$
$y$	Eixo ao longo do qual $\vec{E}$ oscila.
$z$	Eixo ao longo do qual $\vec{B}$ oscila; aponta para você, desenhado para baixo e à esquerda.
$\vec{E}$	Campo elétrico da onda.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético da onda, em fase com $\vec{E}$.	$\mathrm{T}$
$E_0$	Amplitude do campo elétrico.	$V/m$
$B_0$	Amplitude do campo magnético, igual a $E_0/c$.	$\mathrm{T}$
$\lambda$	Comprimento de onda: a distância de uma crista à seguinte.	$\mathrm{m}$
$c$	Velocidade da onda, na direção de propagação.	$m/s$

A solução mais simples, uma onda plana senoidal, mostra como $\vec{E}$ e $\vec{B}$ estão dispostos em toda luz. A Figura 2 congela uma onda que viaja ao longo de $x$ no instante $t=0$:
$E=E_0\sin (kx-\omega t),\omega =ck$
Aqui $k=2\pi /\lambda$ é o número de onda e $\omega$ a frequência angular; $\omega =ck$ é o que a equação de onda exige dessa forma.

Na figura, os eixos são destrógiros, com $z$ apontando para você (desenhado para baixo e à esquerda na página). O campo elétrico $\vec{E}$ (azul) oscila ao longo de $y$, o campo magnético $\vec{B}$ (vermelho) ao longo de $z$. Ambos são senoides com o mesmo comprimento de onda $\lambda$, a distância de uma crista à seguinte, e cruzam zero e atingem o pico nos mesmos lugares. Suas amplitudes $E_0$ e $B_0$ têm unidades diferentes, então os comprimentos desenhados para elas não podem ser comparados.

Por que $\vec{E}$ está transversal à direção de propagação? Em uma onda plana, os campos dependem apenas de $x$ e $t$. A lei de Gauss então se reduz a $\nabla \cdot \vec{E}=\partial E_x/\partial x=0$, e a componente $x$ da lei de Ampère-Maxwell dá $\partial E_x/\partial t=0$, porque o rotacional de tal campo não tem componente $x$. Logo, $E_x$ é no máximo uma constante, que não faz parte da onda: a onda é transversal, e podemos tomar $\vec{E}$ ao longo de $y$.

Por que $\vec{B}$ está ao longo de $z$ e em fase com $\vec{E}$? A componente $z$ da lei de Faraday dá $\partial B_z/\partial t=-\partial E_y/\partial x=-k{E}_0\cos (kx-\omega t)$. Integrando no tempo, a solução oscilante é $B_z=(k/\omega )E_0\sin (kx-\omega t)$; a componente $y$ dá $\partial B_y/\partial t=0$, então não há $B_y$ oscilante. Como $\omega /k=c$,
$E=cB$

Portanto $\vec{B}$ é perpendicular a $\vec{E}$ e está em fase com ele, com $B_0=E_0/c$, e $\vec{E}\times \vec{B}$ aponta ao longo de $+x$, a direção de propagação marcada $c$ na figura. Para uma onda que se move em direção a $-x$, os mesmos passos dão $B_z=-E_y/c$: inverter a direção de propagação inverte $\vec{B}$ em relação a $\vec{E}$.

O gráfico do nível avançado da animação mostra a mesma onda no tempo, e não no espaço: $E$ no ponto P, uma senoide de amplitude 3,0 V/m em que cada um dos dois ciclos dura 1,83 fs, o período da luz verde de 550 nm. P está a dois comprimentos de onda ao longo da onda, então lá $kx=4\pi$ e o traço é $E=E_0\sin (4\pi -\omega t)=-E_0\sin \omega t$: começa em zero e desce primeiro. Esta é a imagem instantânea lida de trás para frente. A onda avança em direção a $+x$, então o que chega a P a seguir é a parte da onda à sua esquerda, que em $t=0$ estava abaixo do eixo. A leitura de $B$ acompanha o traço, com $E/B=c$ em todo instante.

Energia, intensidade e quantidade de movimento

Legenda

$c\Delta t$	Comprimento do tubo: quanto a onda avança no tempo $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$A$	Seção transversal do tubo: a área que a energia atravessa.	${\mathrm{m}}^2$
$u$	Energia por unidade de volume armazenada no campo dentro do tubo.	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\vec{E}$	Campo elétrico da onda dentro do tubo.	$V/m$
$\vec{S}$	Potência por unidade de área através da face, na direção de propagação.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$c$	Velocidade da onda e da energia que ela carrega.	$m/s$

Uma onda leva energia para longe da fonte; é assim que a luz do sol aquece a Terra. Para descobrir quanta potência cruza cada metro quadrado, a Figura 3 segue a energia através de uma área $A$ mantida atravessada ao caminho da onda.

Os campos armazenam energia com densidade $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+B^2/(2{\mu }_0)$, joules por metro cúbico: as mesmas expressões do campo em um capacitor e em uma bobina. Todo o padrão se move com $c$ sem mudar de forma, então, em um tempo $\Delta t$, a face $A$ é atravessada por toda a energia do tubo de seção $A$ e comprimento $c\Delta t$ atrás dela, que é $uAc\Delta t$. Dividindo por $A$ e por $\Delta t$, a potência por metro quadrado é $cu$.

Agora use a relação da onda plana $B=E/c$ junto com $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$. O termo magnético torna-se $B^2/(2{\mu }_0)=E^2/(2{\mu }_0{c}^2)=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$, de modo que as duas metades de $u$ são iguais, $u={\epsilon }_0{E}^2$, e a potência por metro quadrado é $c{\epsilon }_0{E}^2$. O teorema de Poynting, a conservação de energia para campos, escreve isso em geral como o vetor $\vec{S}$ da figura:
$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{{\mu }_0}$

Para a onda plana, seu módulo é $EB/{\mu }_0=E^2/({\mu }_{0}c)=c{\epsilon }_0{E}^2$, como encontrado acima, e ele aponta na direção de propagação.

O campo da luz visível inverte-se cerca de $10^{15}$ vezes por segundo, rápido demais para qualquer detector acompanhar, então o que se mede é a média sobre muitos ciclos. A média de ${\sin }^2$ em um ciclo é metade, então a intensidade é
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$

Para os 3,0 V/m da animação, isso dá os 12 mW/m² do painel, com densidade média de energia de $4,0\times 10^{-11}J/{\mathrm{m}}^3$. A luz do sol no chão, cerca de 1,0 kW/m², corresponde a $E_0\approx 870V/m$ e a uma amplitude magnética de 2,9 µT.

Os campos também carregam quantidade de movimento, $S/c^2$ por metro cúbico. Movendo-se com $c$, essa quantidade de movimento chega a uma superfície à taxa $S/c$ por metro quadrado. Uma superfície preta o absorve e, portanto, sente uma pressão $I/c$; um espelho o devolve e sente o dobro. A luz do sol sobre uma superfície preta no chão empurra com 3,3 µPa; sobre um espelho acima da atmosfera, onde a intensidade é 1361 W/m², a força é de cerca de 9 N por quilômetro quadrado. Esse empurrão minúsculo e incessante move velas solares e empurra para longe do Sol as caudas de poeira dos cometas.

Radiação de cargas aceleradas

Legenda

$q$	A carga empurrada.	$\mathrm{C}$
$O$	Onde a carga estava em repouso antes do empurrão.
$a$	Aceleração da carga durante o empurrão.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$vt$	Distância percorrida pela carga a partir de $O$ até o instante $t$.	$\mathrm{m}$
$ct$	Raio da esfera externa: até onde a notícia do empurrão viajou no tempo $t$.	$\mathrm{m}$
$c\tau$	Espessura da casca: até onde a notícia viaja enquanto o empurrão dura, um tempo $\tau$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ângulo entre uma linha de campo e a direção do empurrão.	$\mathrm{rad}$
$\vec{E}$	Campo lateral na casca, o campo de radiação: oposto à parte lateral da aceleração.	$V/m$
$c$	Velocidade com que a casca, e a dobra nela, se espalha para fora.	$m/s$

Até aqui as ondas eram simplesmente dadas. Esta seção mostra de onde elas vêm: de cargas cuja velocidade muda. Uma carga em repouso tem seu campo de Coulomb. Uma carga com velocidade constante carrega esse campo consigo, já que, em seu próprio referencial, está em repouso. Só uma aceleração emite uma onda, e a Figura 4 mostra por quê.

Uma carga $q$ repousa em $O$ até $t=0$. Então é empurrada ao longo de $x$ com aceleração $a$ por um tempo curto $\tau$, e depois segue à deriva na velocidade pequena $v=a\tau$, de modo que um tempo $t$ depois ela está a uma distância $vt$ de $O$. A figura exagera $v/c$; o argumento exige $v\ll c$.

A notícia do empurrão se espalha para fora a $c$, então no instante $t$ as linhas de campo (desenhadas em corte) se dividem em três zonas. Fora da esfera de raio $ct$ centrada em $O$, a notícia ainda não chegou: as linhas ainda apontam para longe de $O$, onde a carga estaria se nunca tivesse se movido. Dentro da esfera de raio $c(t-\tau )$, a carga esteve se movendo de forma constante o tempo todo, no que diz respeito ao campo, e suas linhas apontam para longe de onde ela está agora. Na casca fina de espessura $c\tau$ entre as duas esferas, cada linha deve unir sua parte externa à sua parte interna, e como as duas partes estão deslocadas, a linha corre lateralmente através da casca. Esse trecho lateral é o dobramento.

Leia seu tamanho na figura. Uma linha que sai com o ângulo $\theta$ em relação à direção do empurrão é deslocada lateralmente por $vt\sin \theta$, a parte do deslocamento $vt$ perpendicular à linha, e faz esse deslocamento dentro de uma casca de espessura apenas $c\tau$. Dentro da casca, o campo segue a linha, então a razão entre sua parte lateral $E_{\perp }$ e sua parte radial $E_r$ é a razão entre esses dois comprimentos. Usando $v=a\tau$ e $r=ct$ para o raio da casca,
$\frac{E_{\perp }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$
A parte radial ainda é o campo de Coulomb, $E_r=q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$, porque pela lei de Gauss a casca deixa passar tantas linhas de campo quanto antes. Multiplicando as duas, obtém-se o campo lateral, a seta $\vec{E}$ da figura.

Observe as potências de $r$. A parte radial cai com $1/r^2$, mas a parte lateral cai apenas com $1/r$, porque o deslocamento $vt$ cresce à medida que a casca se expande, enquanto sua espessura continua $c\tau$. Longe da carga, o dobramento domina. É o campo de radiação, e ele se move para fora a $c$ junto com a casca.

Para um empurrão que varia suavemente no tempo, e para velocidades bem abaixo de $c$, o mesmo argumento dá o campo a uma distância $r$ e um ângulo $\theta$ em relação à direção da aceleração:
$E(r,t)=\frac{qa(t-r/c)\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$
Três coisas se destacam. O campo é transversal, oposto à parte lateral da aceleração para uma carga positiva. Ele é determinado pela aceleração no instante anterior $t-r/c$, quando a notícia partiu. E sua intensidade, proporcional a $E^2$, varia com ${\sin }^2\theta /r^2$: nula ao longo da linha da aceleração e máxima em ângulo reto com ela. Por isso um mastro de rádio vertical, cujas cargas sobem e descem, lança seu sinal ao longo do chão.

A potência total vem de somar a intensidade $c{\epsilon }_0{E}^2$ sobre uma esfera de raio $r$. A área da esfera, proporcional a $r^2$, cancela o $1/r^2$, e ${\sin }^2\theta$ tem média dois terços sobre todas as direções, o que dá a fórmula de Larmor:
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

A lei $1/r$ é o que permite que a energia escape: a potência através de uma esfera, proporcional a $E^2{r}^2$, é a mesma em todos os raios, enquanto um campo que caísse com $1/r^2$ não levaria nada a grandes distâncias. É por isso que a luz das estrelas ainda chega após muitos anos-luz.

Na animação, a carga dourada oscila, então sua aceleração $a=-{\omega }^{2}y$ é sempre oposta ao seu deslocamento $y$. O campo irradiado é oposto à aceleração, portanto segue o deslocamento: a onda azul ao lado da carga sobe e desce com ela, e o ponto P, a dois comprimentos de onda de distância, recebe cada movimento dois períodos depois (3,7 fs). A luz síncrotron e os tubos de raios X obedecem à mesma regra.

Problema resolvido: uma lâmpada verde de 1 W

Uma pequena lâmpada emite $P=1,0\mathrm{W}$ de luz verde de 550 nm igualmente em todas as direções. A que distância sua amplitude de campo é os 3,0 V/m da animação? O que muda ao dobrar essa distância? Que força atua sobre um cartão preto de 1,0 cm², voltado de frente para a lâmpada nessa posição, e quantos fótons ele absorve por segundo?

A uma distância $r$, o watt se espalha sobre uma esfera de área $4\pi r^2$, então $I=P/(4\pi r^2)$. Iguale isso a $\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ e resolva para $r$:
$r=\sqrt{\frac{P}{2\pi c{\epsilon }_0{E}_0^2}}=\sqrt{\frac{1,0}{2\pi \cdot 3,00\times 10^8\cdot 8,85\times 10^{-12}\cdot 3,0^2}}\approx 2,6\mathrm{m}$

A 5,2 m, o mesmo watt atravessa uma esfera quatro vezes maior, então a intensidade cai quatro vezes, para 3,0 mW/m². A amplitude varia com a raiz quadrada da intensidade, então ela apenas cai pela metade, para 1,5 V/m, como exige a lei $1/r$.

A 2,6 m, a intensidade é 12 mW/m², então o cartão absorve $1,2\times 10^{-2}\cdot 1,0\times 10^{-4}=1,2\times 10^{-6}\mathrm{W}$. Um absorvedor sente a pressão $I/c$, então a força é a potência absorvida dividida por $c$: $F=1,2\times 10^{-6}/(3,00\times 10^8)=4,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$. A pressão, $4,0\times 10^{-11}\mathrm{Pa}$, é igual à densidade média de energia do feixe, como ocorre para qualquer absorvedor, já que ambas são $I/c$.

A frequência da luz é $f=c/\lambda =5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, e cada fóton carrega a energia $hf$, com $h$ a constante de Planck: $hf=6,63\times 10^{-34}\cdot 5,45\times 10^{14}\approx 3,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$, cerca de 2,3 eV. O cartão absorve, portanto, $1,2\times 10^{-6}/(3,6\times 10^{-19})\approx 3,3\times 10^{12}$ fótons por segundo. São fótons demais para que sua natureza granular apareça, então a onda clássica contínua é uma excelente descrição aqui.

Limites de validade

A teoria clássica trata a propagação, a interferência, a difração e a polarização em todas as frequências. Ela falha onde a matéria troca energia com o campo, porque isso acontece em quanta $hf$: 2,3 eV para luz verde, $4\times 10^{-7}\mathrm{eV}$ para rádio FM, dezenas de keV para raios X médicos. A maioria dos átomos precisa de cerca de 10 eV para perder um elétron, então apenas comprimentos de onda abaixo de cerca de 124 nm ionizam, não importa quão fraco seja o feixe. Quando há poucos fótons, a onda fornece apenas a probabilidade de detectar um.

Ela também falha dentro dos átomos. Um elétron em órbita circular como no átomo de hidrogênio clássico, com $a\approx 9,0\times 10^{22}m/{\mathrm{s}}^2$, irradiaria $4,7\times 10^{-8}\mathrm{W}$ pela fórmula de Larmor e cairia em espiral no núcleo em cerca de 16 ps. Os átomos são estáveis; explicar por quê começa em Modelos atômicos: o átomo de Bohr.

Na matéria, a onda desacelera para $c/n$, onde o índice de refração $n$ depende da frequência. Condutores a absorvem: a água do mar reduz uma onda de 10 kHz por um fator $e$ a cada 2,5 m, mais ou menos, e por isso os submarinos usam frequências muito baixas. No vácuo, as equações são lineares, então feixes se cruzam sem perturbar um ao outro. Por fim, $c$ é exato: desde 1983 o metro é definido de modo que $c=299792458m/s$.

Para onde isso leva

As equações de Maxwell fixam uma velocidade $c$ sem dizer em relação a quê; a Relatividade restrita a torna a mesma para todo observador inercial e mistura $\vec{E}$ e $\vec{B}$ quando o referencial muda. Polarização da luz segue a direção de $\vec{E}$; Interferência e superposição e Difração e fenda dupla somam campos; Prismas, dispersão e cor rastreia a velocidade menor no vidro até elétrons reirradiando como a placa acima. Radiação de corpo negro e o quantum, Efeito fotoelétrico e Dualidade onda-partícula tratam dos quanta $hf$; Partículas e forças: o Modelo Padrão faz do fóton o portador da força eletromagnética. Ondas gravitacionais (A gravidade como espaço-tempo curvo) também viajam a $c$: em 2017, as da fusão de duas estrelas de nêutrons chegaram a menos de 2 s de seus raios gama.