Излучение абсолютно чёрного тела и кванты

Начальный

Посмотрите на костёр, когда пламя уже опало: угли светятся оранжевым, а раздуваемый ветром уголёк разгорается до жёлтого. Гончар судит о жаре в печи по цвету внутри неё. Горячие предметы светятся, и цвет говорит, насколько они горячи.

Шаг 1. Тепловое излучение испускает всё вокруг, даже вы и чашка чая. При обычных температурах оно целиком инфракрасное и невидимо для глаза; тепловизоры превращают его в изображение. Лишь выше примерно 800 К (около 500 °C) появляется слабое красное свечение.

Шаг 2. При нагревании меняются две вещи. Тело испускает гораздо больше энергии: удвойте температуру в кельвинах — и излучение вырастет в 16 раз. И меняется цвет: тёмно-красный, оранжевый, жёлтый, затем белый. Самые горячие звёзды кажутся бело-голубыми, самые холодные — красными.

Шаг 3. Свечение — смесь множества длин волн. В анимации фиолетовая кривая показывает, как свет распределён между ними. Когда ручку поворачивают, горб сдвигается к радужной полосе видимого света, а золотые лучи быстро растут. Даже при белом калении большая часть кривой остаётся в инфракрасной области — вот почему лампы накаливания тратили так много энергии на тепло.

Шаг 4. Около 1900 года лучшая теория света предсказывала неверную кривую: горячее тело должно было бы бесконечно изливать фиолетовый и ультрафиолетовый свет. Макс Планк исправил это смелой идеей: свет испускается маленькими порциями энергии, и порция синего света несёт больше энергии, чем порция красного. Тёплому телу редко хватает энергии на крупные синие порции, поэтому со стороны синего его свечение угасает.

Проверьте себя: одна звезда кажется оранжевой, другая — бело-голубой. Какая горячее? (Бело-голубая.)

Средний

Что такое абсолютно чёрное тело

Любое тело излучает уже потому, что оно тёплое: его заряженные частицы беспорядочно движутся, а ускоренно движущиеся заряды испускают электромагнитные волны. Вблизи комнатной температуры это тепловое излучение почти целиком инфракрасное, с длинами волн около 10 мкм; лишь выше примерно 800 К его достаточно много и в видимой области, и тело начинает слабо светиться тёмно-красным.

Абсолютно чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение на любой длине волны, поэтому испускаемый им свет зависит только от температуры $T$, а не от материала и формы. Лучшая лабораторная модель — маленькое отверстие в закрытой печи: попавший внутрь свет многократно отражается и поглощается, поэтому холодное отверстие кажется чёрным, а горячее светится чистым тепловым спектром. Звёзды и раскалённые угли близки к такому телу, а стержень в анимации мы тоже считаем абсолютно чёрным.

Реальная поверхность испускает лишь долю $\epsilon$ излучения абсолютно чёрного тела при той же температуре; эту долю называют степенью черноты. По закону Кирхгофа она равна доле падающего излучения, которую поверхность поглощает: хорошие поглотители — хорошие излучатели. У сажи $\epsilon \approx 0,95$, у полированного серебра около 0,02.

Два закона: максимум и полная мощность

Закон смещения Вина определяет длину волны, на которую приходится максимум спектра:
${\lambda }_{\max }T=b=2,898\cdot 10^{-3}\mathrm{м}\cdot \mathrm{К}$
Удвойте $T$ — и ${\lambda }_{\max }$ уменьшится вдвое. При $b=2,898\cdot 10^6\mathrm{нм}\cdot \mathrm{К}$ максимум излучения человека при 310 К приходится примерно на 9300 нм, глубоко в инфракрасной области, а Солнце, спектр которого имеет максимум около 500 нм, должно иметь температуру поверхности около 5800 К: закон Вина — термометр, работающий на любом расстоянии.

Закон Стефана — Больцмана определяет полную мощность излучения поверхности площадью $A$ на всех длинах волн:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
$\sigma =5,67\cdot 10^{-8}\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot {\mathrm{К}}^4)$
Абсолютно чёрное тело, у которого $\epsilon =1$, излучает $\sigma T^4$ с каждого квадратного метра. При удвоении $T$ эта величина возрастает в $2^4=16$ раз, а стержень в анимации, нагретый с 300 К до 3500 К, в итоге излучает в $(3500/300{)}^4\approx 18500$ раз больше.

Тело также поглощает излучение окружающих предметов; если их температура равна $T_{\mathrm{env}}$, то результирующая мощность, которую оно теряет, равна
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)$
При равных температурах обе стороны продолжают излучать, но результирующий поток равен нулю: это тепловое равновесие.

Кванты Планка: почему гаснет синяя сторона

Около 1900 года общепринятая теория предсказывала излучение, неограниченно растущее в сторону коротких волн: любое тёплое тело должно было бы изливать ультрафиолет. Макс Планк объяснил измеренную кривую, предположив, что вещество обменивается с излучением частоты $f$ энергией только целыми квантами:
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
где $h=6,626\cdot 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$ — постоянная Планка. При $hc\approx 1240\mathrm{эВ}\cdot \mathrm{нм}$ красный фотон с длиной волны 620 нм несёт 2,0 эВ, а фиолетовый с длиной волны 413 нм — 3,0 эВ.

Каждое колебание горячего вещества обладает тепловой энергией порядка $kT$, где $k=1,381\cdot 10^{-23}\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$ — постоянная Больцмана: при 3500 К это 0,30 эВ. Квант, намного превышающий $kT$, испускается редко: вероятность этого убывает примерно как $e^{-hf/kT}$. Поэтому длинноволновая сторона следует старой теории, а на коротковолновой кванты становятся слишком «дорогими», и кривая круто падает; максимум находится там, где $hf\approx 5kT$.

Пример: стержень из анимации

В конце анимации стержень имеет температуру $T=3500\mathrm{К}$. Два закона дают
${\lambda }_{\max }=\frac{b}{T}=\frac{2,898\cdot 10^{-3}}{3500}=8,28\cdot 10^{-7}\mathrm{м}=828\mathrm{нм}$
$\sigma T^4=5,67\cdot 10^{-8}\cdot 3500^4\approx 8,51\cdot 10^6\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

Это конечные значения на индикаторах ${\lambda }_{\max }$ и $\sigma T^4$ — 828 нм и 8509 кВт/м²: каждый квадратный сантиметр излучает около 850 Вт. Максимум лежит чуть дальше красного края видимой области (750 нм), поэтому синяя пунктирная линия оказывается сразу правее радужной полосы, и лишь около 18 % мощности приходится на видимый свет.

При 1750 К, вдвое меньшей температуре, максимум находился вдвое дальше, на 1656 нм, а мощность была в 16 раз меньше. В начале, при 300 К, максимум лежал на 9659 нм, далеко за пределами оси. Золотые лучи, длина которых растёт как $T^4$, появляются лишь при 2000 К, когда мощность составляет всего 11 % от конечной. Комната при 300 К возвращает лишь $\sigma \cdot 300^4\approx 0,46\mathrm{кВт}/{\mathrm{м}}^2$ — для раскалённого стержня это пренебрежимо мало.

Пример: Солнце и Земля

За пределами атмосферы Земли солнечный свет приносит 1361 Вт/м². Эта мощность вышла с поверхности Солнца радиусом $R=6,96\cdot 10^8\mathrm{м}$ и распределилась по сфере радиусом $d=1,496\cdot 10^{11}\mathrm{м}$, поэтому на поверхности Солнца поток был в $(d/R{)}^2\approx 46200$ раз больше:
$\sigma T^4=1361\cdot 46200\approx 6,29\cdot 10^7\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$T={\left(\frac{6,29\cdot 10^7}{5,67\cdot 10^{-8}}\right)}^{1/4}\approx 5770\mathrm{К}$
Это близко к 5800 К, которые дал закон Вина по максимуму на 500 нм: полная мощность и форма спектра согласуются.

Земля перехватывает солнечный свет своим поперечным сечением $\pi R_E^2$ и отражает около 30 % его, но излучает она всей поверхностью, $4\pi R_E^2$. При равновесии
$\sigma T_E^4=\frac{0,70\cdot 1361}{4}\approx 238\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2\Rightarrow T_E\approx 255\mathrm{К}$
то есть −18 °C, а максимум излучения лежит около $b/T_E\approx 11\mathrm{мкм}$. Измеренная средняя температура — около 288 К: разница в 33 К — это парниковый эффект, поскольку водяной пар и углекислый газ поглощают часть этого инфракрасного излучения и возвращают его вниз.

Как читать спектр и цвета

Фиолетовая кривая показывает $B_{\lambda }$ — мощность излучения на единицу длины волны — в зависимости от $\lambda$; площадь под ней равна полной мощности. Здесь её максимум всегда нарисован на одной и той же высоте (подпись «пик приведён к 1»), поэтому кривая показывает, где лежит свет, а сколько его, сообщает индикатор $\sigma T^4$. Кривая несимметрична: она круто спадает со стороны коротких волн и тянет длинный инфракрасный хвост; при любой температуре лишь четверть мощности приходится на волны короче ${\lambda }_{\max }$.

Цвет определяется всем видимым участком спектра, от 380 до 750 нм. При 1000 К до него доходит лишь дальний красный хвост: свечение тёмно-красное. С ростом $T$ добавляются оранжевый и жёлтый, а при 5000–6000 К этот участок почти плоский, и свет кажется белым; более горячие звёзды выглядят бело-голубыми. Абсолютно чёрное тело никогда не кажется зелёным: когда максимум приходится на зелёный цвет, кривая так широка, что смесь выглядит белой.

Частые ошибки

• «Раскалённый докрасна» — самое холодное видимое свечение, а не самое горячее: красные звёзды имеют температуру около 3000 К, Солнце — 5800 К, бело-голубые звёзды — 10 000 К и выше.
• Максимум — это не цвет: стержень при 3500 К имеет максимум в инфракрасной области, на 828 нм, но раскалён добела.
• Холодные тела тоже излучают: стена при 300 К испускает около 460 Вт с каждого квадратного метра, но примерно столько же поглощает от окружающих предметов.
• Более горячее тело ярче на любой длине волны, включая красную: при 3500 К стержень испускает на 650 нм в 4600 раз больше, чем при 1500 К, а на 450 нм — в 195 000 раз больше.
• Используйте кельвины: при нагреве электроплитки с 20 °C до 40 °C её излучение возрастает в $(313/293{)}^4\approx 1,30$ раза, то есть на 30 %, а не в 16 раз.

Где это встречается

Тепловизоры и ушные термометры регистрируют инфракрасное излучение, а астрономы определяют температуры звёзд по их цвету. Лампы накаливания при 2700–3000 К превращают в видимый свет лишь около 7–11 % мощности, поэтому их вытеснили светодиоды. Кванты Планка ведут дальше — к урокам «Фотоэффект» и «Модели атома: атом Бора».

Продвинутый

Излучение в полости: считаем моды

Любое тело светится, и цвет свечения зависит от температуры. Чтобы получить спектр из первых принципов, возьмём самый простой светящийся объект — закрытую полость, стенки которой поддерживаются при температуре $T$. Излучение внутри приходит в равновесие со стенками, и его спектр не может зависеть от того, из чего они сделаны. Иначе две полости при одной температуре, соединённые фильтром, который пропускает только один цвет, обменивались бы энергией в этом цвете, и тепло переходило бы между телами с равной температурой, что запрещено вторым началом термодинамики. Значит, излучение универсально, и можно изучать самую удобную полость: куб со стороной $L$ и отражающими стенками. В классической физике поле внутри — это сумма стоячих волн, и первая задача — пересчитать их.

Обозначения

$n_x$	Целое число полуволн стоячей волны вдоль $x$.
$n_y$	Целое число полуволн вдоль $y$.
$n_z$	Целое число полуволн вдоль $z$.
$R$	Расстояние от точки моды до начала координат, $\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$; у мод длиннее $\lambda$ выполнено $R<2L/\lambda$.
$dR$	Толщина слоя, содержащего моды с длинами волн от $\lambda$ до $\lambda +d\lambda$: $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$.

На рисунке 1 показано, как считать моды. Стоячая волна должна укладываться в куб вдоль каждой оси: вдоль $x$ в $L$ помещается ровно $n_x$ полуволн, вдоль $y$ — $n_y$, вдоль $z$ — $n_z$, и каждое из этих чисел целое и положительное. Поэтому каждая мода — это одна тройка $(n_x,n_y,n_z)$, то есть одна точка решётки с шагом 1 в пространстве осей $n_x$, $n_y$, $n_z$. На каждую точку решётки приходится единичный кубик этого пространства, так что подсчёт мод сводится к измерению объёма.

Длину волны моды определяет расстояние от её точки до начала координат. Вдоль оси $x$ волна повторяется через $2L/n_x$, и так же вдоль $y$ и $z$. Величины, обратные этим трём осевым длинам волн, складываются как компоненты вектора, откуда
$\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{4L^2}\Rightarrow \lambda =\frac{2L}{R}$
где $R=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ — это расстояние. Точки, далёкие от начала координат, соответствуют коротким волнам.

Теперь считаем. Моды с длиной волны больше $\lambda$ — это точки, лежащие ближе к началу координат, чем $R=2L/\lambda$. Поскольку все три числа положительны, эти точки заполняют одну восьмую шара, октант, обведённый на рисунке 1 синим. Его объём равен $\frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3$, а каждая точка отвечает двум модам, потому что свет — поперечная волна, электрическое поле которой может колебаться в двух независимых направлениях (две поляризации). Поэтому число мод длиннее $\lambda$ равно
$N=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3=\frac{8\pi L^3}{3{\lambda }^3}$

Для спектра нужно число мод в узкой полосе длин волн. Увеличение длины волны от $\lambda$ до $\lambda +d\lambda$ уменьшает $R=2L/\lambda$ на $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$, так что эти моды лежат в золотом слое толщиной $dR$ сразу под синей поверхностью. Объём слоя равен $\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR$; с учётом двух поляризаций в нём $8\pi L^{3}d\lambda /{\lambda }^4$ мод. Разделив на объём куба $L^3$ и на $d\lambda$, получаем число мод на единицу объёма и единицу длины волны:
$n(\lambda )=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}$
Размер ящика выпал из ответа, как и должно быть. Крутая зависимость $1/{\lambda }^4$ определяет всё дальнейшее: коротких волн в данном объёме умещается гораздо больше, чем длинных.

Равнораспределение и ультрафиолетовая катастрофа

Классическая физика говорит и о том, сколько энергии приходится на каждую моду. Поле одной стоячей волны колеблется во времени точно так же, как груз на пружине: энергия перетекает между электрическим и магнитным полем. Равнораспределение энергии даёт такому осциллятору в равновесии при температуре $T$ среднюю энергию $kT$, где $k$ — постоянная Больцмана: по $\frac{1}{2}kT$ на каждое из двух квадратичных слагаемых его энергии. Тогда энергия на единицу объёма и единицу длины волны равна $u_{\lambda }=n(\lambda )kT=8\pi kT/{\lambda }^4$.

Детектор или глаз принимает яркость излучения $B_{\lambda }$ — мощность, уходящую с поверхности на единицу площади, единицу телесного угла и единицу длины волны. Излучение с плотностью энергии $u_{\lambda }$ распространяется со скоростью света $c$ и равномерно распределено по всем $4\pi$ стерадианам направлений, поэтому $B_{\lambda }=c{u}_{\lambda }/(4\pi )$, и
$B_{\lambda }^{\mathrm{RJ}}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$
Это закон Рэлея — Джинса. На длинных волнах он согласуется с измерениями, но неограниченно растёт при $\lambda \to 0$, так что полная энергия ${\int }_0^{\infty }{u}_{\lambda }d\lambda$ бесконечна. Любая полость содержала бы бесконечную энергию, сосредоточенную в самых коротких волнах: это ультрафиолетовая катастрофа.

Пунктирная кривая в анимации экспертного слоя — это данный закон при 3500 К. У правого края графика, на 3000 нм, она уже в 2,1 раза выше кривой Планка; на максимуме 828 нм — в 29 раз; и лишь начиная примерно с 20 мкм отличается от неё не более чем на 11 %. Сбой не является деталью модели. Подсчёт мод — надёжная геометрия; не выдерживает само равнораспределение. Тот же сбой виден в теплоёмкостях газов, где молекулярные колебания, которые по равнораспределению должны участвовать в теплоёмкости, при низкой температуре остаются «замороженными».

Квантованные осцилляторы Планка

В 1900 году Планк нашёл выход. Он сохранил подсчёт мод и изменил одно-единственное предположение: осциллятор не может иметь произвольную энергию, а только целое кратное фиксированного шага.

Обозначения

$E$	Энергия осциллятора.	$\mathrm{Дж}$
$hf$	Расстояние между уровнями энергии: один квант осциллятора частоты $f$.	$\mathrm{Дж}$
$e^{-nx}$	Больцмановский вес уровня $n$ при $x=hf/kT$: вес каждого уровня составляет $e^{-x}$ от веса уровня под ним.
$f$	Частота осциллятора, то есть моды.	$\mathrm{Гц}$
$kT$	Средняя энергия осциллятора по классическому равнораспределению; пунктирная прямая.	$\mathrm{Дж}$
$kT/h$	Частота, при которой шаг $hf$ равен $kT$.	$\mathrm{Гц}$
$\bar{E}$	Средняя энергия квантованного осциллятора, $hf/(e^{hf/kT}-1)$.	$\mathrm{Дж}$

Левая половина рисунка 2 изображает это правило в виде лестницы. Осциллятор частоты $f$ может иметь лишь энергии $E_n=nhf$, где $n=0,1,2,\dots$; ступени отстоят друг от друга на шаг $hf$, а $h$ — новая постоянная природы, постоянная Планка. При температуре $T$ статистическая физика приписывает ступени $n$ больцмановский вес $e^{-E_n/kT}=e^{-nx}$, где для краткости $x=hf/kT$: размер одного шага в единицах $kT$. Зелёные столбики показывают эти веса при $hf=kT$, то есть при $x=1$. Каждый столбик составляет $e^{-1}\approx 0,37$ от предыдущего, так что большинство осцилляторов находится на нижних ступенях.

Средняя энергия — это взвешенное среднее по ступеням. Веса образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $e^{-x}$,
${\sum }_{n=0}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}$
а сумма, взвешенная по энергии, равна $hf$, умноженному на производную этой суммы по $x$ со знаком минус:
${\sum }_{n=0}^{\infty }nhf{e}^{-nx}=\frac{hf{e}^{-x}}{(1-e^{-x}{)}^2}$
Разделив вторую сумму на первую, получаем среднюю энергию:
$\bar{E}=\frac{hf{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

Фиолетовая кривая справа на рисунке 2 — это $\bar{E}$ как функция частоты $f$; пунктирная прямая — классическое значение $kT$. Проследите за кривой слева направо. Когда шаг мал, $hf\ll kT$, приближение $e^x\approx 1+x$ даёт $\bar{E}\approx kT$, поэтому кривая начинается на классической прямой: низкие частоты, то есть длинные волны, по-прежнему подчиняются равнораспределению. В отмеченной точке $f=kT/h$ один шаг стоит ровно $kT$, и кривая уже упала до $kT/(e-1)\approx 0,58kT$. При $hf\gg kT$ величина $\bar{E}\approx hf{e}^{-hf/kT}$ экспоненциально мала. Тогда уже первая ступень слишком дорога, почти все осцилляторы остаются на ступени 0, и коротковолновые моды «вымораживаются». Их огромное число больше не играет роли, и катастрофа исчезает.

Если заменить $kT$ на $\bar{E}$, положив $f=c/\lambda$, закон Рэлея — Джинса превратится в закон Планка:
$B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$
Планк подогнал его под точные измерения, выполненные в Берлине в 1900 году, и получил значения $h$ и $k$, лишь на несколько процентов отличающиеся от современных, $h=6,626\cdot 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$ и $k=1,381\cdot 10^{-23}\mathrm{Дж}/\mathrm{К}$.

Фотоны и коэффициенты Эйнштейна

Планк проквантовал осцилляторы, которые излучают свет. В 1905 году Эйнштейн пошёл дальше и предположил, что сам свет состоит из квантов энергии $hf$, позднее названных фотонами. В 1917 году он вывел закон Планка ещё раз, исходя только из обмена фотонами между атомами и излучением, и обнаружил при этом процесс, о котором никто не подозревал.

Обозначения

$N_1$	Число атомов на нижнем уровне.
$N_2$	Число атомов на верхнем уровне.
$hf$	Расстояние между уровнями, равное энергии каждого изображённого фотона.	$\mathrm{Дж}$
$B_{12}{u}_f$	Скорость, с которой один атом нижнего уровня поглощает фотон; $u_f$ — плотность энергии излучения на единицу частоты.	${\mathrm{с}}^{-1}$
$A_{21}$	Скорость, с которой один возбуждённый атом спонтанно испускает фотон.	${\mathrm{с}}^{-1}$
$B_{21}{u}_f$	Скорость, с которой излучение вынуждает один возбуждённый атом испустить фотон.	${\mathrm{с}}^{-1}$

На рисунке 3 показаны атомы с двумя уровнями энергии, разделёнными интервалом $hf$, в излучении, спектральная плотность энергии которого — энергия на единицу объёма и единицу частоты — равна $u_f$. На нижнем уровне $N_1$ атомов, на верхнем — $N_2$. Каждая панель — один процесс: закрашенная точка отмечает, где атом начинает, пустой кружок — где заканчивает, прямая стрелка — его скачок, а волнистые стрелки — фотоны с энергией $hf$.

Слева — поглощение: фотон исчезает, атом перескакивает вверх. Атом на нижнем уровне делает это со скоростью $B_{12}{u}_f$, пропорциональной количеству излучения. В середине — спонтанное излучение: возбуждённый атом сам падает вниз со скоростью $A_{21}$ и испускает фотон в случайном направлении. Справа — вынужденное излучение: пролетающий фотон заставляет возбуждённый атом упасть вниз со скоростью $B_{21}{u}_f$. Один фотон входит, два выходят.

В равновесии число переходов вверх за секунду равно числу переходов вниз, а населённости подчиняются закону Больцмана, $N_2/N_1=e^{-hf/kT}$. Разделив баланс на $N_2$ и собрав члены с $u_f$, получаем
$N_1{B}_{12}{u}_f=N_2(A_{21}+B_{21}{u}_f)\Rightarrow u_f=\frac{A_{21}}{B_{12}{e}^{hf/kT}-B_{21}}$

Сравним это с законом Планка, записанным на единицу частоты: $u_f=(8\pi h{f}^3/c^3)/(e^{hf/kT}-1)$. При $T\to \infty$ имеем $e^{hf/kT}\to 1$, и планковское $u_f$ неограниченно растёт, так что приведённый выше знаменатель должен там обращаться в нуль: $B_{12}=B_{21}$. Остаток совпадает лишь при $A_{21}/B_{21}=8\pi h{f}^3/c^3$. Поглощение и вынужденное излучение одинаково сильны, и они определяют скорость спонтанного излучения.

Вынужденное излучение необходимо. Без него баланс дал бы $u_f=A_{21}/(B_{12}{e}^{hf/kT})$ — экспоненциальную форму Вина, которая не работает на длинных волнах. Вынужденный фотон — точная копия вызвавшего его: у него та же частота, то же направление и та же фаза. На этом основан принцип лазера.

Почему же тогда лазер так трудно сделать? Отношение вынужденного излучения к спонтанному, $B_{21}{u}_f/A_{21}$, равно $1/(e^{hf/kT}-1)$ — среднему числу фотонов в моде. Для раскалённого стержня из анимации, при 3500 К и на его максимуме 828 нм, оно составляет всего 0,007: почти весь свет горячего тела спонтанный. Поэтому лазеру нужна инверсия населённостей, $N_2>N_1$, которую не может создать ни одно тело в тепловом равновесии. В 1924 году Бозе вывел весь закон, считая фотоны неразличимыми частицами, — так началась статистика Бозе — Эйнштейна.

Законы Вина и Стефана из закона Планка

Два правила теплового излучения были известны до Планка: длина волны максимума убывает как $1/T$, а полная мощность растёт как $T^4$. Оба теперь следуют из формулы Планка, а их постоянные строятся из $h$, $c$ и $k$.

Сначала максимум. Введём безразмерную переменную $x=hc/\lambda kT$ — энергию фотона $hc/\lambda$ в единицах $kT$. Подстановка $\lambda =hc/(xkT)$ даёт
$B_{\lambda }=\frac{2k^5{T}^5}{h^4{c}^3}\frac{x^5}{e^x-1}$
поэтому при фиксированной $T$ максимум находится там, где $x^5/(e^x-1)$ наибольшее. Приравняв производную нулю, получаем $5x^4(e^x-1)=x^5{e}^x$, то есть $x=5(1-e^{-x})$. Возьмём начальное приближение $x=5$ и подставим его в правую часть: получится 4,966, а ещё один шаг приводит к корню $x=4,965$. Следовательно,

${\lambda }_{\max }T=\frac{hc}{4,965k}=2,898\cdot 10^{-3}\mathrm{м}\cdot \mathrm{К}$

Постоянная Вина — не новая постоянная природы, а комбинация $h$, $c$ и $k$.

Теперь полная мощность. Мощность, уходящая с единицы площади поверхности, $M$, равна $\pi$, умноженному на интеграл от $B_{\lambda }$ по всем длинам волн. Множитель равен $\pi$, а не $2\pi$, потому что яркость суммируется по всем направлениям полусферы, каждое с весом, равным косинусу угла с нормалью: поверхность, видимая под наклоном, кажется меньше. Замена переменной на $x$, где $d\lambda =-hcdx/(x^{2}kT)$, превращает интеграл в чистое число, умноженное на $T^4$, а ${\int }_0^{\infty }{x}^3/(e^x-1)dx={\pi }^4/15$:
$M=\pi {\int }_0^{\infty }{B}_{\lambda }d\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$
$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$
что даёт постоянную Стефана — Больцмана $\sigma =5,670\cdot 10^{-8}\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot {\mathrm{К}}^4)$.

У четвёртой степени есть простое объяснение. Активны моды с $hf$ до нескольких $kT$, остальные «заморожены», поэтому активные моды простираются до частоты, пропорциональной $T$. Их число в единице объёма растёт как куб этой частоты, то есть как $T^3$, а каждая несёт энергию порядка $kT$: плотность энергии, а с ней и излучаемая мощность растут как $T^4$.

Оба закона были найдены до Планка. Стефан вывел четвёртую степень из измерений в 1879 году; Больцман получил её в 1884 году из термодинамики и давления излучения $u/3$, где $u$ — плотность энергии; а в 1893 году Вин показал, что термодинамика требует вида $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ с некоторой функцией $g$ единственной переменной $\lambda T$. Саму $g$ термодинамика найти не могла; для этого потребовался квант.

Как читать семейство кривых Планка

Масштабирование $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ — это то, что показывает анимация экспертного слоя, пока стержень нагревается. У всех кривых одна форма, сжатая по горизонтали в $T$ раз и растянутая по вертикали в $T^5$ раз. При переходе от 2000 К к 3500 К, то есть при росте температуры в 1,75 раза, максимум смещается с 1449 нм на 828 нм и поднимается в $1,75^5\approx 16,4$ раза, а площадь под кривой, полная мощность, растёт лишь в $1,75^4\approx 9,4$ раза — с 907 до 8509 кВт/м². Высота растёт быстрее площади, потому что кривая при этом ещё и сужается.

По мере нагрева стержня фиолетовая кривая поднимается над серыми кривыми, которые остаются позади, и лежит выше каждой из них на любой длине волны, потому что $1/(e^{hc/\lambda kT}-1)$ растёт с $T$ при любой $\lambda$: более горячее тело ярче во всех цветах. Маленький график — это четвёртая степень $\sigma T^4$. Половины своего конечного значения она достигает лишь при $3500/2^{1/4}\approx 2943\mathrm{К}$, то есть после более чем четырёх пятых всего роста температуры.

Предостережение о максимумах. $B_{\lambda }$ — плотность на единицу длины волны. Если построить то же излучение на единицу частоты, максимум окажется там, где $x=3(1-e^{-x})$, при $x=2,821$, что при 3500 К соответствует 1457 нм, а не 828 нм. Максимумы различаются, потому что равные шаги по длине волны — не равные шаги по частоте: $|df|=cd\lambda /{\lambda }^2$, поэтому переход от одной плотности к другой умножает её на множитель, зависящий от $\lambda$, и максимум смещается. Для Солнца два максимума лежат на 502 нм и 883 нм. Мощность в любой полосе на обоих графиках одна и та же; от выбора переменной зависит лишь положение максимума плотности. «Максимум излучения Солнца приходится на зелёный цвет» — это описание графика, а не света.

Задача: остывание раскалённого стержня

Закон Планка говорит и о том, как быстро остывает горячее тело, если тепло уносит только излучение. Выключим ток, когда стержень имеет температуру $T_0=3500\mathrm{К}$. Представим его вольфрамовым стержнем диаметром $d=1,0\mathrm{мм}$ в вакууме, как внутри колбы лампы, так что излучение — единственный путь для ухода тепла. Возьмём плотность $\rho =19300\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$, среднюю удельную теплоёмкость $c_p=170\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot \mathrm{К})$ и среднюю степень черноты $\epsilon =0,30$ — долю мощности абсолютно чёрного тела $\sigma T^4$, которую излучает реальная поверхность. За какое время стержень остынет до 1750 К, где он излучает в $2^4=16$ раз меньше?

Запишем баланс энергии для участка длиной $\ell$ вдали от концов. Его теплосодержание меняется со скоростью $m{c}_{p}dT/dt$, где масса $m=\rho \pi d^2\ell /4$, а теряет он $\epsilon \sigma T^4$ с каждого квадратного метра своей поверхности $\pi d\ell$. Разделив обе части на площадь поверхности, получаем на единицу площади
$\frac{\rho d{c}_p}{4}\frac{dT}{dt}=-\epsilon \sigma T^4$
Длина выпала; важно лишь отношение объёма к поверхности, $d/4$. Разделим переменные, $-dT/T^4=4\epsilon \sigma dt/(\rho d{c}_p)$, и проинтегрируем от $T_0$ при $t=0$. Поскольку интеграл от $-T^{-4}$ равен $\frac{1}{3}{T}^{-3}$,
$\frac{1}{T^3}-\frac{1}{T_0^3}=\frac{12\epsilon \sigma }{\rho d{c}_p}t\Rightarrow T=\frac{T_0}{(1+t/\tau {)}^{1/3}}$
где постоянная времени $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)\approx 0,375\mathrm{с}$.

Кривая остывания

У решения запоминающаяся форма: быстрое начало и очень длинный хвост.

Обозначения

$T$	Температура стержня.	$\mathrm{К}$
$t$	Время с момента отключения тока.	$\mathrm{с}$
$T_0$	Начальная температура.	$\mathrm{К}$
$T_0/2$	Половина начальной температуры.	$\mathrm{К}$
$T_0/4$	Четверть начальной температуры.	$\mathrm{К}$
$\tau$	Постоянная времени стержня, $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)$.	$\mathrm{с}$

На рисунке 4 построено это решение — температура $T$ как функция времени $t$. Кривая уходит из $T_0$ почти вертикально, а затем выравнивается в длинный хвост. Точки отмечают два уменьшения температуры вдвое. $T=T_0/2$, когда $(1+t/\tau {)}^{1/3}=2$, то есть $1+t/\tau =8$ и $t=7\tau$; $T=T_0/4$, когда $1+t/\tau =64$, при $t=63\tau$. Золотые полоски под осью времени показывают два интервала: $7\tau$ для первого уменьшения вдвое и $63\tau -7\tau =56\tau$ для второго — в восемь раз дольше.

Теперь числа. Дифференцирование $T$ при $t=0$ даёт начальную скорость остывания $T_0/(3\tau )\approx 3100\mathrm{К}/\mathrm{с}$ — крутое начало кривой. Первое уменьшение вдвое, $7\tau \approx 2,6\mathrm{с}$, переводит стержень от белого каления к жёлто-оранжевому свечению при 1750 К. Следующее, до 875 К, когда тёмно-красное свечение почти исчезло, занимает в восемь раз больше — около 21 с. Причина: на каждом этапе второго уменьшения вдвое стержень имеет вдвое меньшую температуру, чем на соответствующем этапе первого, поэтому излучает в $2^4=16$ раз медленнее, а тепла ему остаётся отдать вдвое меньше — остывание на 875 К вместо 1750 К; и $16/2=8$. Излучение, которое стержень получает от комнаты при 300 К, составляет $(300/875{)}^4\approx 1,4\%$ от излучаемого им даже при 875 К, так что пренебречь им вполне можно.

На самом деле степень черноты вольфрама около 1000 К падает до 0,1, поэтому красная стадия длится ещё дольше. У нити лампы толщиной в несколько сотых долей миллиметра $\tau$ в десятки раз короче, так как $\tau$ пропорционально $d$, и она гаснет за доли секунды.

Границы применимости

Закон Планка описывает излучение, находящееся в тепловом равновесии с веществом при одной температуре. Реальные поверхности излучают меньше, $\epsilon (\lambda )B_{\lambda }$, где степень черноты лежит между 0 и 1 и зависит от длины волны. У вольфрама она выше в видимой области, чем в инфракрасной, поэтому его свет выглядит чуть более «горячим», чем сам металл. Разреженный газ излучает и поглощает только в узких спектральных линиях, а спектр Солнца — это почти спектр абсолютно чёрного тела, пересечённый тёмными линиями поглощения. Лазеры, светодиоды и натриевые лампы вообще не являются тепловыми источниками.

Классические законы сохраняются как предельные случаи: экспонента Вина при $hf\gg kT$ и закон Рэлея — Джинса при $hf\ll kT$. Радиоастрономия живёт во втором: у сигнала 1 ГГц даже при 3 К отношение $hf/kT\approx 0,016$. Закон предполагает также, что тела и промежутки между ними намного больше тепловой длины волны — длины волны вблизи максимума излучения, около 10 мкм при комнатной температуре. Пылинка, гораздо меньшая этого размера, излучает с единицы площади меньше, чем $\sigma T^4$, а две поверхности, разделённые долями микрометра, могут обмениваться теплом во много раз быстрее, чем два абсолютно чёрных тела, — через затухающие волны, которые туннелируют сквозь зазор.

В своей области закон исключительно точен. Реликтовое микроволновое излучение — послесвечение горячей ранней Вселенной — следует кривой Планка при 2,725 К с максимумом около 1,06 мм, отклоняясь от неё не более чем на 50 миллионных долей от высоты максимума.

Что дальше

Планк считал квантование свойством излучателей; Эйнштейн принял световые кванты буквально, и с ними вы встретитесь дальше, в уроке «Фотоэффект». Дискретные уровни энергии и их спектральные линии — тема урока «Модели атома: атом Бора», а двойственная природа фотона возвращается в уроке «Корпускулярно-волновой дуализм». Свет, который возникает без нагрева при переходах через запрещённую зону, вы встретите в уроке «Полупроводники, диоды и светодиоды». Неудача равнораспределения возвращает нас к уроку «Молекулярно-кинетическая теория газов», а энтропия излучения, направлявшая Планка в 1900 году, — к уроку «Второе начало термодинамики и энтропия».