Radiación de cuerpo negro y cuantos

Principiante

Mira una hoguera cuando las llamas ya han bajado: las brasas brillan naranjas, y un carbón avivado por el viento se vuelve amarillo. Un alfarero calcula el calor de su horno por el color de su interior. Las cosas calientes brillan, y su color dice cuánto calor tienen.

Paso 1. Todo emite esta radiación térmica, incluso tú y una taza de té. A temperaturas cotidianas es toda infrarroja, invisible para nuestros ojos; las cámaras térmicas la convierten en imágenes. Solo por encima de unos 800 K (cerca de 500 °C) aparece un débil brillo rojo.

Paso 2. Al calentarse un objeto, cambian dos cosas. Emite mucha más energía: duplica su temperatura en kelvin y radiará 16 veces más. Y su color cambia: rojo apagado, naranja, amarillo y luego blanco. Las estrellas más calientes se ven blanco azuladas; las más frías, rojas.

Paso 3. El brillo es una mezcla de muchas longitudes de onda. En la animación, la curva violeta muestra cómo se reparte la luz entre ellas. Al girar el mando, la joroba se desliza hacia la franja arcoíris de la luz visible y los rayos dorados crecen deprisa. Incluso al rojo blanco, casi toda la curva sigue en el infrarrojo: por eso las bombillas de filamento derrochaban tanta energía en calor.

Paso 4. Hacia 1900, la mejor teoría de la luz predecía una curva equivocada: un objeto caliente debería verter sin fin luz violeta y ultravioleta. Max Planck lo arregló con una idea audaz: la luz se emite en pequeños paquetes de energía, y un paquete de luz azul lleva más energía que uno de luz roja. Un objeto tibio rara vez puede permitirse los grandes paquetes azules, así que su brillo se apaga por el lado azul.

Compruébalo: una estrella se ve naranja y otra blanco azulada. ¿Cuál está más caliente? (La blanco azulada.)

Intermedio

Qué es un cuerpo negro

Todo cuerpo radia por el simple hecho de estar caliente: sus partículas cargadas se agitan con el movimiento térmico, y las cargas aceleradas emiten ondas electromagnéticas. A temperatura ambiente esta radiación térmica es casi toda infrarroja, hacia los 10 µm; solo por encima de unos 800 K llega a la banda visible la energía suficiente para producir un tenue brillo rojo apagado.

Un cuerpo negro absorbe toda la radiación que le llega, a cualquier longitud de onda, de modo que la luz que emite depende solo de su temperatura $T$, y no de su material ni de su forma. La mejor versión de laboratorio es un pequeño orificio en un horno cerrado: la luz que entra por él se absorbe tras rebotar en el interior, así que el orificio se ve negro en frío y brilla con el espectro térmico puro en caliente. Las estrellas y las brasas incandescentes se le aproximan bastante, y la animación trata la barra como si lo fuera.

Una superficie real emite solo una fracción $\epsilon$, su emisividad, de la radiación de un cuerpo negro a la misma temperatura. Según la ley de Kirchhoff, esa fracción es igual a la parte de la radiación incidente que absorbe: los buenos absorbentes son buenos emisores. El hollín tiene $\epsilon \approx 0,95$, y la plata pulida, alrededor de 0,02.

Dos leyes: el pico y la potencia total

La ley de desplazamiento de Wien da la longitud de onda en la que el espectro alcanza su máximo:
${\lambda }_{\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}T=b=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$
Si se duplica $T$, ${\lambda }_{\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$ se reduce a la mitad. Con $b=2,898\times 10^6\mathrm{nm}\cdot \mathrm{K}$, una persona a 310 K tiene su pico cerca de 9300 nm, en pleno infrarrojo, mientras que el Sol, cuyo espectro tiene su pico hacia los 500 nm, debe de estar a unos 5800 K en su superficie: la ley de Wien es un termómetro que funciona a cualquier distancia.

La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia total radiada, en todas las longitudes de onda, por una superficie de área $A$:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
$\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$
Un cuerpo negro, con $\epsilon =1$, radia $\sigma T^4$ por metro cuadrado. Duplicar $T$ multiplica esa cantidad por $2^4=16$, y la barra de la animación, calentada de 300 K a 3500 K, acaba radiando $(3500/300{)}^4\approx 18500$ veces más.

Un cuerpo también absorbe la radiación de su entorno; si este está a $T_{\mathrm{env}}$, la potencia neta que pierde es
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)$
Cuando las dos temperaturas son iguales, ambos siguen radiando, pero el flujo neto es cero: equilibrio térmico.

Los cuantos de Planck: por qué se apaga el lado azul

Hacia 1900, la teoría aceptada predecía una radiación que crecía sin límite hacia las longitudes de onda cortas: cualquier objeto caliente debería verter luz ultravioleta a raudales. Max Planck explicó la curva medida suponiendo que la materia intercambia energía con la radiación de frecuencia $f$ solo en cuantos enteros:
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
donde $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ es la constante de Planck. Con $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, un fotón rojo de 620 nm lleva 2,0 eV, y uno violeta de 413 nm, 3,0 eV.

Cada vibración del material caliente tiene una energía térmica del orden de $kT$, donde $k=1,381\times 10^{-23}J/K$ es la constante de Boltzmann: 0,30 eV a 3500 K. Un cuanto mucho mayor que $kT$ se emite rara vez, con una probabilidad que cae aproximadamente como $e^{-hf/kT}$. Así, el lado de las longitudes de onda largas sigue la teoría antigua, mientras que en el lado corto los cuantos resultan demasiado costosos y la curva se desploma; el pico está donde $hf\approx 5kT$.

Ejemplo resuelto: la barra de la animación

Al final de la animación la barra está a $T=3500\mathrm{K}$. Las dos leyes dan
${\lambda }_{\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=\frac{b}{T}=\frac{2,898\times 10^{-3}}{3500}=8,28\times 10^{-7}\mathrm{m}=828\mathrm{nm}$
$\sigma T^4=5,67\times 10^{-8}\cdot 3500^4\approx 8,51\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^2$

Son los valores finales de las lecturas de ${\lambda }_{\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$ y $\sigma T^4$, 828 nm y 8509 kW/m²: cada centímetro cuadrado radia unos 850 W. El pico queda justo más allá del extremo rojo de la banda visible, que está en 750 nm, así que la línea azul discontinua termina un poco a la derecha de la franja del arcoíris, y solo alrededor del 18 % de la potencia es luz visible.

A 1750 K, la mitad de esa temperatura, el pico estaba al doble de distancia, a 1656 nm, y la potencia era 16 veces menor. Al principio, a 300 K, el pico estaba en 9659 nm, muy fuera del eje. Los rayos dorados, cuya longitud crece como $T^4$, aparecen solo a 2000 K, cuando la potencia todavía es el 11 % de su valor final. La habitación a 300 K devuelve apenas $\sigma \cdot 300^4\approx 0,46kW/{\mathrm{m}}^2$, despreciable para la barra incandescente.

Ejemplo resuelto: el Sol y la Tierra

Por encima de la atmósfera, la luz solar aporta 1361 W/m². Esa potencia salió de la superficie del Sol, de radio $R=6,96\times 10^8\mathrm{m}$, y se ha repartido sobre una esfera de radio $d=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$, de modo que en la superficie el flujo era $(d/R{)}^2\approx 46200$ veces mayor:
$\sigma T^4=1361\cdot 46200\approx 6,29\times 10^{7}W/{\mathrm{m}}^2$
$T={\left(\frac{6,29\times 10^7}{5,67\times 10^{-8}}\right)}^{1/4}\approx 5770\mathrm{K}$
valor cercano a los 5800 K que dio la ley de Wien a partir del pico de 500 nm: la potencia total y la forma del espectro coinciden.

La Tierra intercepta la luz solar sobre su sección transversal $\pi R_E^2$ y refleja cerca del 30 % de ella, pero radia por toda su superficie, $4\pi R_E^2$. En el equilibrio,
$\sigma T_E^4=\frac{0,70\cdot 1361}{4}\approx 238W/{\mathrm{m}}^2\Rightarrow T_E\approx 255\mathrm{K}$
es decir, −18 °C, con un pico cerca de $b/T_E\approx 11\mu \mathrm{m}$. La media medida es de unos 288 K: los 33 K de diferencia son el efecto invernadero, pues el vapor de agua y el dióxido de carbono absorben parte de ese infrarrojo y lo devuelven hacia abajo.

Cómo leer el espectro y los colores

La curva morada representa $B_{\lambda }$, la potencia radiada por unidad de longitud de onda, frente a $\lambda$; el área bajo ella es la potencia total. Aquí su pico se dibuja siempre a la misma altura («pico normalizado a 1»), de modo que la curva muestra dónde está la luz y la lectura de $\sigma T^4$ indica cuánta hay. Es asimétrica: cae con fuerza por el lado de las longitudes de onda cortas y arrastra una larga cola infrarroja; a cualquier temperatura, solo una cuarta parte de la potencia queda por debajo de ${\lambda }_{\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$.

El color procede de toda la franja visible, de 380 a 750 nm. A 1000 K solo llega a ella la cola del espectro, en el extremo rojo: rojo apagado. Al subir $T$ se suman el naranja y el amarillo, y entre 5000 y 6000 K la franja es casi plana y se ve blanca; las estrellas más calientes se ven blanco azuladas. Ningún cuerpo negro se ve verde: cuando el pico cae en el verde, la curva es tan ancha que la mezcla es blanca.

Errores frecuentes

• «Al rojo vivo» es el brillo visible más frío, no el más caliente: las estrellas rojas están hacia los 3000 K, el Sol a 5800 K y las estrellas blanco azuladas a 10 000 K o más.
• El pico no es el color: la barra a 3500 K tiene su pico en el infrarrojo, a 828 nm, y sin embargo brilla al rojo blanco.
• Los objetos fríos también radian: una pared a 300 K emite unos 460 W por metro cuadrado, pero absorbe casi otro tanto de su entorno.
• Un cuerpo más caliente es más brillante en todas las longitudes de onda, el rojo incluido: a 3500 K la barra emite 4600 veces más a 650 nm que a 1500 K, y 195 000 veces más a 450 nm.
• Usa kelvin: calentar una placa de cocina de 20 °C a 40 °C multiplica su radiación por $(313/293{)}^4\approx 1,30$, es decir, la aumenta un 30 %, y no 16 veces.

Dónde aparece

Las cámaras térmicas y los termómetros de oído leen el infrarrojo, y los astrónomos deducen la temperatura de las estrellas a partir de su color. Las lámparas de filamento, a 2700-3000 K, dedican a la luz visible solo entre un 7 y un 11 % de su potencia, y por eso los LED las han sustituido. Los cuantos de Planck llevan a continuación a las lecciones Efecto fotoeléctrico y Modelos atómicos: el átomo de Bohr.

Avanzado

Radiación en una caja: contar los modos

Todo cuerpo brilla, y el color de su brillo depende de su temperatura. Para hallar el espectro a partir de primeros principios, tomemos el objeto luminoso más sencillo: una cavidad cerrada cuyas paredes se mantienen a la temperatura $T$. La radiación del interior alcanza el equilibrio con las paredes, y su espectro no puede depender del material de estas. Si dependiera, dos cavidades a la misma temperatura, unidas a través de un filtro que solo deja pasar un color, intercambiarían energía en ese color, y el calor fluiría entre cuerpos a igual temperatura, lo que la segunda ley prohíbe. Así pues, la radiación es universal, y podemos estudiar la cavidad más fácil de todas: un cubo de lado $L$ con paredes reflectantes. Clásicamente, el campo interior es una suma de ondas estacionarias, y la primera tarea es contarlas.

Leyenda

$n_x$	Número entero de semilongitudes de onda de una onda estacionaria a lo largo de $x$.
$n_y$	Número entero de semilongitudes de onda a lo largo de $y$.
$n_z$	Número entero de semilongitudes de onda a lo largo de $z$.
$R$	Distancia del punto de un modo al origen, $\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$; los modos más largos que $\lambda$ tienen $R<2L/\lambda$.
$dR$	Grosor de la capa que contiene los modos entre $\lambda$ y $\lambda +d\lambda$: $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$.

La figura 1 es el instrumento para contar. Una onda estacionaria debe encajar en el cubo a lo largo de cada eje: a lo largo de $x$ caben exactamente $n_x$ semilongitudes de onda en $L$, y del mismo modo $n_y$ a lo largo de $y$ y $n_z$ a lo largo de $z$, siendo cada una un número entero positivo. Así, cada modo es una terna $(n_x,n_y,n_z)$, es decir, un punto de una red de paso 1 en el espacio de los ejes $n_x$, $n_y$, $n_z$. Cada punto de la red posee un cubo unidad de este espacio, de modo que contar modos equivale a medir un volumen.

La longitud de onda de un modo la fija la distancia de su punto al origen. Medida a lo largo del eje $x$, la onda se repite cada $2L/n_x$, y lo mismo a lo largo de $y$ y $z$. Los inversos de estas tres longitudes de onda axiales se componen como las componentes de un vector, lo que da
$\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{4L^2}\Rightarrow \lambda =\frac{2L}{R}$
donde $R=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ es esa distancia. Los puntos lejanos al origen son ondas cortas.

Contemos ahora. Los modos con longitudes de onda mayores que $\lambda$ son los puntos más cercanos al origen que $R=2L/\lambda$. Como los tres números son positivos, estos puntos llenan un octavo de bola, el octante marcado en azul en la figura 1. Su volumen es $\frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3$, y cada punto vale por dos modos, porque la luz es una onda transversal cuyo campo eléctrico puede oscilar en dos direcciones independientes (dos polarizaciones). El número de modos más largos que $\lambda$ es, por tanto,
$N=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3=\frac{8\pi L^3}{3{\lambda }^3}$

El espectro necesita el número de modos en una banda estrecha de longitudes de onda. Alargar la longitud de onda de $\lambda$ a $\lambda +d\lambda$ reduce $R=2L/\lambda$ en $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$, así que estos modos están en la capa dorada de grosor $dR$, justo dentro de la superficie azul. El volumen de la capa es $\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR$; con dos polarizaciones contiene $8\pi L^{3}d\lambda /{\lambda }^4$ modos. Al dividir por el volumen $L^3$ del cubo y por $d\lambda$ se obtiene el número de modos por unidad de volumen y de longitud de onda:
$n(\lambda )=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}$
El tamaño de la caja ha desaparecido, como debe ser. La fuerte pendiente $1/{\lambda }^4$ gobierna todo lo que sigue: en un espacio dado caben muchas más ondas cortas que largas.

Equipartición y catástrofe ultravioleta

La física clásica dice también cuánta energía guarda cada modo. El campo de una onda estacionaria oscila en el tiempo exactamente como una masa en un muelle, y su energía pasa del campo eléctrico al magnético y viceversa. La equipartición de la energía da a un oscilador así, en equilibrio a la temperatura $T$, la energía media $kT$, donde $k$ es la constante de Boltzmann: $\frac{1}{2}kT$ por cada uno de sus dos términos cuadráticos de energía. La energía por unidad de volumen y de longitud de onda es entonces $u_{\lambda }=n(\lambda )kT=8\pi kT/{\lambda }^4$.

Lo que recibe un detector o un ojo es la radiancia $B_{\lambda }$: la potencia que sale de una superficie por unidad de área, de ángulo sólido y de longitud de onda. Una radiación de densidad de energía $u_{\lambda }$ viaja a la velocidad de la luz $c$, repartida por igual entre los $4\pi$ estereorradianes de direcciones, de modo que $B_{\lambda }=c{u}_{\lambda }/(4\pi )$, y
$B_{\lambda }^{\mathrm{RJ}}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$
Esta es la ley de Rayleigh-Jeans. Concuerda con las mediciones a longitudes de onda largas, pero crece sin límite cuando $\lambda \to 0$, de modo que la energía total ${\int }_0^{\infty }{u}_{\lambda }d\lambda$ es infinita. Toda cavidad contendría una energía infinita, amontonada en las ondas más cortas: la catástrofe ultravioleta.

La curva discontinua de la animación de la vista experta es esta ley a 3500 K. En el borde derecho de la gráfica, a 3000 nm, ya vale 2,1 veces la curva de Planck; en el pico de 828 nm es 29 veces demasiado alta; solo a partir de unos 20 µm la diferencia baja del 11 %. El fallo no es un detalle del modelo. El recuento de modos es geometría sólida; lo que falla es la propia equipartición. El mismo fallo aparece en los calores específicos de los gases, donde las vibraciones moleculares que la equipartición debería hacer participar en el reparto del calor siguen congeladas a baja temperatura.

Los osciladores cuantizados de Planck

En 1900 Planck encontró la salida. Mantuvo el recuento de modos y cambió una sola hipótesis: un oscilador no puede guardar cualquier energía, sino solo múltiplos enteros de un paso fijo.

Leyenda

$E$	Energía del oscilador.	$\mathrm{J}$
$hf$	Separación entre los niveles de energía: un cuanto de un oscilador de frecuencia $f$.	$\mathrm{J}$
$e^{-nx}$	Factor de Boltzmann del nivel $n$, con $x=hf/kT$: cada nivel pesa $e^{-x}$ veces lo que el de debajo.
$f$	Frecuencia del oscilador, es decir, del modo.	$\mathrm{Hz}$
$kT$	Energía media de un oscilador según la equipartición clásica; la recta discontinua.	$\mathrm{J}$
$kT/h$	La frecuencia a la que un paso $hf$ iguala a $kT$.	$\mathrm{Hz}$
$\bar{E}$	Energía media del oscilador cuantizado, $hf/(e^{hf/kT}-1)$.	$\mathrm{J}$

La mitad izquierda de la figura 2 dibuja esta regla como una escalera. Un oscilador de frecuencia $f$ solo puede tener las energías $E_n=nhf$, con $n=0,1,2,\dots$; los peldaños están separados por un paso $hf$, donde $h$ es una nueva constante de la naturaleza, la constante de Planck. A la temperatura $T$, la física estadística pondera el peldaño $n$ con su factor de Boltzmann $e^{-E_n/kT}=e^{-nx}$, con la abreviatura $x=hf/kT$: el tamaño de un paso medido en unidades de $kT$. Las barras verdes muestran estos pesos para $hf=kT$, es decir, $x=1$. Cada barra es $e^{-1}\approx 0,37$ veces la anterior, así que la mayoría de los osciladores están en los peldaños más bajos.

La energía media es el promedio ponderado de los peldaños. Los pesos forman una serie geométrica de razón $e^{-x}$,
${\sum }_{n=0}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}$
y la suma ponderada por la energía es $hf$ por la derivada de esta serie respecto de $x$, cambiada de signo:
${\sum }_{n=0}^{\infty }nhf{e}^{-nx}=\frac{hf{e}^{-x}}{(1-e^{-x}{)}^2}$
Al dividir la segunda suma por la primera se obtiene la energía media:
$\bar{E}=\frac{hf{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

La curva morada de la derecha de la figura 2 es este $\bar{E}$, representado frente a la frecuencia $f$; la recta discontinua es el $kT$ clásico. Sigue la curva de izquierda a derecha. Cuando el paso es pequeño, $hf\ll kT$, la aproximación $e^x\approx 1+x$ da $\bar{E}\approx kT$, así que la curva parte de la recta clásica: las frecuencias bajas, es decir, las longitudes de onda largas, todavía obedecen la equipartición. En el punto marcado $f=kT/h$ un paso cuesta exactamente $kT$, y la curva ya ha caído hasta $kT/(e-1)\approx 0,58kT$. Cuando $hf\gg kT$, $\bar{E}\approx hf{e}^{-hf/kT}$ es exponencialmente pequeña. Entonces incluso el primer peldaño resulta demasiado caro, casi todos los osciladores se quedan en el peldaño 0, y los modos de longitud de onda corta quedan congelados. Su enorme número ya no importa, y la catástrofe ha desaparecido.

Al sustituir $kT$ por $\bar{E}$, con $f=c/\lambda$, la ley de Rayleigh-Jeans se convierte en la ley de Planck:
$B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$
Planck la ajustó a las precisas mediciones hechas en Berlín en 1900 y obtuvo valores de $h$ y $k$ a unos pocos por ciento de los actuales, $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ y $k=1,381\times 10^{-23}J/K$.

Fotones y coeficientes de Einstein

Planck cuantizó los osciladores que emiten la luz. En 1905 Einstein fue más lejos y propuso que la propia luz viene en cuantos de energía $hf$, llamados más tarde fotones. En 1917 dedujo la ley de Planck otra vez, a partir únicamente de átomos que intercambian fotones con la radiación, y al hacerlo descubrió un proceso que nadie había sospechado.

Leyenda

$N_1$	Número de átomos en el nivel inferior.
$N_2$	Número de átomos en el nivel superior.
$hf$	Separación entre los niveles, igual a la energía de cada fotón dibujado.	$\mathrm{J}$
$B_{12}{u}_f$	Ritmo al que un átomo del nivel inferior absorbe un fotón; $u_f$ es la densidad de energía de la radiación por unidad de frecuencia.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$A_{21}$	Ritmo al que un átomo excitado emite un fotón espontáneamente.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$B_{21}{u}_f$	Ritmo al que la radiación estimula a un átomo excitado a emitir.	${\mathrm{s}}^{-1}$

La figura 3 muestra átomos con dos niveles de energía separados por $hf$, inmersos en una radiación cuya densidad de energía espectral, la energía por unidad de volumen y de frecuencia, es $u_f$. Hay $N_1$ átomos en el nivel inferior y $N_2$ en el superior. Cada panel es un proceso: el punto lleno marca dónde empieza el átomo, el círculo vacío dónde termina, la flecha recta es su salto, y las flechas onduladas son fotones de energía $hf$.

A la izquierda está la absorción: un fotón desaparece y el átomo salta hacia arriba. Un átomo del nivel inferior lo hace al ritmo $B_{12}{u}_f$, proporcional a la cantidad de radiación presente. En el centro está la emisión espontánea: un átomo excitado cae por sí solo, al ritmo $A_{21}$, y emite un fotón en una dirección al azar. A la derecha está la emisión estimulada: un fotón que pasa hace caer a un átomo excitado, al ritmo $B_{21}{u}_f$. Entra un fotón y salen dos.

En el equilibrio, el número de saltos hacia arriba por segundo es igual al de saltos hacia abajo, y las poblaciones siguen la ley de Boltzmann, $N_2/N_1=e^{-hf/kT}$. Al dividir el balance por $N_2$ y agrupar los términos en $u_f$ se obtiene
$N_1{B}_{12}{u}_f=N_2(A_{21}+B_{21}{u}_f)\Rightarrow u_f=\frac{A_{21}}{B_{12}{e}^{hf/kT}-B_{21}}$

Compáralo con la ley de Planck escrita por unidad de frecuencia, $u_f=(8\pi h{f}^3/c^3)/(e^{hf/kT}-1)$. Cuando $T\to \infty$, $e^{hf/kT}\to 1$ y el $u_f$ de Planck crece sin límite, así que el denominador de arriba debe anularse ahí: $B_{12}=B_{21}$. Lo que queda solo coincide si $A_{21}/B_{21}=8\pi h{f}^3/c^3$. La absorción y la emisión estimulada son igual de intensas, y fijan el ritmo de la emisión espontánea.

La emisión estimulada es imprescindible. Sin ella el balance daría $u_f=A_{21}/(B_{12}{e}^{hf/kT})$, la forma exponencial de Wien, que falla a longitudes de onda largas. El fotón estimulado es una copia exacta del que lo provocó, con la misma frecuencia, dirección y fase: ese es el principio del láser.

¿Por qué, entonces, es difícil fabricar un láser? El cociente entre la emisión estimulada y la espontánea, $B_{21}{u}_f/A_{21}$, resulta ser $1/(e^{hf/kT}-1)$, el número medio de fotones por modo. Para la barra incandescente de la animación, a 3500 K y en su pico de 828 nm, es solo 0,007: casi toda la luz de un cuerpo caliente es espontánea. Un láser necesita, pues, una inversión de población, $N_2>N_1$, que ningún cuerpo en equilibrio térmico puede dar. En 1924 Bose dedujo toda la ley contando los fotones como partículas indistinguibles, el comienzo de la estadística de Bose-Einstein.

Las leyes de Wien y de Stefan a partir de Planck

Dos reglas de la radiación térmica se conocían antes de Planck: la longitud de onda del pico disminuye como $1/T$, y la potencia total crece como $T^4$. Ambas se deducen ahora de la fórmula de Planck, con constantes construidas con $h$, $c$ y $k$.

Primero el pico. Usemos la variable adimensional $x=hc/\lambda kT$, la energía del fotón $hc/\lambda$ en unidades de $kT$. Al sustituir $\lambda =hc/(xkT)$ resulta
$B_{\lambda }=\frac{2k^5{T}^5}{h^4{c}^3}\frac{x^5}{e^x-1}$
así que, a $T$ fija, el pico está donde $x^5/(e^x-1)$ es máxima. Al igualar su derivada a cero se obtiene $5x^4(e^x-1)=x^5{e}^x$, es decir, $x=5(1-e^{-x})$. Partamos de la estimación $x=5$ y llevémosla al miembro de la derecha: devuelve 4,966, y una vuelta más se estabiliza en la raíz $x=4,965$. Por tanto,

${\lambda }_{\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}T=\frac{hc}{4,965k}=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$

La constante de Wien no es una constante nueva de la naturaleza, sino una combinación de $h$, $c$ y $k$.

Ahora la potencia total. La potencia que sale por unidad de área de la superficie, $M$, es $\pi$ veces la integral de $B_{\lambda }$ sobre todas las longitudes de onda. El factor es $\pi$ y no $2\pi$ porque la radiancia se suma sobre todas las direcciones del hemisferio, cada una ponderada por el coseno de su ángulo con la normal: una superficie vista de soslayo parece más pequeña. Al cambiar la variable a $x$, con $d\lambda =-hcdx/(x^{2}kT)$, la integral se convierte en un número puro por $T^4$, y ${\int }_0^{\infty }{x}^3/(e^x-1)dx={\pi }^4/15$:
$M=\pi {\int }_0^{\infty }{B}_{\lambda }d\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$
$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$
lo que da la constante de Stefan-Boltzmann $\sigma =5,670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$.

La cuarta potencia tiene una lectura sencilla. Los modos con $hf$ hasta unos pocos $kT$ están activos y el resto están congelados, así que los modos activos llegan hasta una frecuencia proporcional a $T$. Su número por unidad de volumen crece como el cubo de esa frecuencia, o sea como $T^3$, y cada uno guarda una energía del orden de $kT$: la densidad de energía, y con ella la potencia emitida, crece como $T^4$.

Ambas leyes se encontraron antes que la de Planck. Stefan leyó la cuarta potencia en mediciones en 1879; Boltzmann la dedujo en 1884 de la termodinámica y de la presión de radiación $u/3$, donde $u$ es la densidad de energía; y en 1893 Wien demostró que la termodinámica obliga a la forma $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$, con cierta función $g$ de la única variable $\lambda T$. La termodinámica no podía hallar $g$; para eso hizo falta el cuanto.

Cómo leer la familia de curvas de Planck

El escalado $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ es lo que muestra la animación de la vista experta cuando la barra se calienta. Todas las curvas tienen la misma forma, comprimida horizontalmente en un factor $1/T$ y estirada verticalmente en un factor $T^5$. De 2000 K a 3500 K, un factor 1,75 en la temperatura, el pico pasa de 1449 nm a 828 nm y sube $1,75^5\approx 16,4$ veces, mientras que el área bajo la curva, la potencia total, crece solo $1,75^4\approx 9,4$ veces, de 907 a 8509 kW/m². La altura crece más que el área porque la curva se vuelve además más estrecha.

A medida que la barra se calienta, la curva morada sube por encima de las curvas grises que va dejando atrás y queda por encima de cada una de ellas a todas las longitudes de onda, porque $1/(e^{hc/\lambda kT}-1)$ aumenta con $T$ a toda $\lambda$: un cuerpo más caliente brilla más en todos los colores. La pequeña gráfica es la cuártica $\sigma T^4$. Solo alcanza la mitad de su valor final a $3500/2^{1/4}\approx 2943\mathrm{K}$, tras más de cuatro quintas partes del aumento de temperatura.

Una advertencia sobre los picos. $B_{\lambda }$ es una densidad por unidad de longitud de onda. Representada por unidad de frecuencia, la misma radiación tiene su pico donde $x=3(1-e^{-x})$, en $x=2,821$, que a 3500 K corresponde a 1457 nm, no a 828 nm. Los picos difieren porque pasos iguales de longitud de onda no son pasos iguales de frecuencia: $|df|=cd\lambda /{\lambda }^2$, de modo que convertir una densidad en la otra la multiplica por un factor que depende de $\lambda$, y el máximo se desplaza. Para el Sol, los dos picos están en 502 nm y 883 nm. La potencia en cualquier banda es la misma en ambas gráficas; solo la posición del máximo de una densidad depende de la variable elegida. «El Sol tiene su pico en el verde» describe una gráfica, no la luz.

Problema resuelto: una varilla incandescente se enfría

La ley de Planck nos dice también con qué rapidez se enfría un cuerpo caliente cuando solo la radiación se lleva su calor. Desconecta la corriente cuando la barra está a $T_0=3500\mathrm{K}$. Modelízala como una varilla de wolframio de diámetro $d=1,0\mathrm{mm}$ en el vacío, como dentro de una bombilla, de modo que la radiación sea la única salida del calor. Toma la densidad $\rho =19300kg/{\mathrm{m}}^3$, un calor específico medio $c_p=170J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ y una emisividad media $\epsilon =0,30$, la fracción de la potencia de cuerpo negro $\sigma T^4$ que emite la superficie real. ¿Cuánto tarda la varilla en llegar a 1750 K, donde radia $2^4=16$ veces menos?

Plantea un balance de energía para un trozo de longitud $\ell$ lejos de los extremos. Su contenido de calor cambia al ritmo $m{c}_{p}dT/dt$, con la masa $m=\rho \pi d^2\ell /4$, y pierde $\epsilon \sigma T^4$ por cada metro cuadrado de su superficie $\pi d\ell$. Al dividir ambos por la superficie resulta, por unidad de área,
$\frac{\rho d{c}_p}{4}\frac{dT}{dt}=-\epsilon \sigma T^4$
La longitud ha desaparecido; solo importa el cociente entre el volumen y la superficie, $d/4$. Separa las variables, $-dT/T^4=4\epsilon \sigma dt/(\rho d{c}_p)$, e integra desde $T_0$ en $t=0$. Como la integral de $-T^{-4}$ es $\frac{1}{3}{T}^{-3}$,
$\frac{1}{T^3}-\frac{1}{T_0^3}=\frac{12\epsilon \sigma }{\rho d{c}_p}t\Rightarrow T=\frac{T_0}{(1+t/\tau {)}^{1/3}}$
con la constante de tiempo $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)\approx 0,375\mathrm{s}$.

La curva de enfriamiento

La solución tiene una forma que conviene recordar: un comienzo rápido y una cola muy larga.

Leyenda

$T$	Temperatura de la varilla.	$\mathrm{K}$
$t$	Tiempo transcurrido desde que se cortó la corriente.	$\mathrm{s}$
$T_0$	Temperatura inicial.	$\mathrm{K}$
$T_0/2$	La mitad de la temperatura inicial.	$\mathrm{K}$
$T_0/4$	Un cuarto de la temperatura inicial.	$\mathrm{K}$
$\tau$	Constante de tiempo de la varilla, $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)$.	$\mathrm{s}$

La figura 4 representa esta solución, la temperatura $T$ frente al tiempo $t$. La curva sale de $T_0$ casi en vertical y luego se aplana en una larga cola. Los puntos marcan las dos reducciones a la mitad de la temperatura. $T=T_0/2$ cuando $(1+t/\tau {)}^{1/3}=2$, es decir, $1+t/\tau =8$ y $t=7\tau$; $T=T_0/4$ cuando $1+t/\tau =64$, en $t=63\tau$. Las barras doradas bajo el eje del tiempo muestran los dos intervalos: $7\tau$ para la primera reducción y $63\tau -7\tau =56\tau$ para la segunda, ocho veces más.

Ahora los números. Al derivar $T$ en $t=0$ se obtiene la velocidad de enfriamiento inicial $T_0/(3\tau )\approx 3100K/s$, el arranque empinado de la curva. La primera reducción a la mitad, $7\tau \approx 2,6\mathrm{s}$, lleva la barra del rojo blanco a un brillo amarillo anaranjado a 1750 K. La siguiente, hasta 875 K, donde el rojo apagado casi ha desaparecido, tarda ocho veces más, unos 21 s. La razón: en cada etapa de la segunda reducción la barra está a la mitad de la temperatura que en la etapa correspondiente de la primera, así que radia $2^4=16$ veces más despacio, mientras que solo tiene la mitad del calor que perder, 875 K de enfriamiento en lugar de 1750 K; y $16/2=8$. La radiación que recibe de una habitación a 300 K es $(300/875{)}^4\approx 1,4\%$ de la que emite incluso a 875 K, así que ignorarla es razonable.

En la realidad, la emisividad del wolframio baja hasta cerca de 0,1 hacia los 1000 K, así que la fase roja dura todavía más. El filamento de una lámpara, de unas pocas centésimas de milímetro de grosor, tiene un $\tau$ docenas de veces más corto, puesto que $\tau$ es proporcional a $d$, y se apaga en una fracción de segundo.

Límites de validez

La ley de Planck describe la radiación en equilibrio térmico con la materia a una sola temperatura. Las superficies reales emiten menos, $\epsilon (\lambda )B_{\lambda }$, con una emisividad entre 0 y 1 que depende de la longitud de onda. La del wolframio es mayor en el visible que en el infrarrojo, de modo que su luz parece un poco más caliente de lo que está realmente el metal. Un gas tenue solo emite y absorbe en líneas espectrales estrechas, y el espectro del Sol es el de un cuerpo casi negro cruzado por oscuras líneas de absorción. Los láseres, los LED y las lámparas de sodio no son fuentes térmicas en absoluto.

Las leyes clásicas sobreviven como límites: la forma exponencial de Wien para $hf\gg kT$ y la de Rayleigh-Jeans para $hf\ll kT$. La radioastronomía vive en la segunda: una señal de 1 GHz tiene $hf/kT\approx 0,016$ incluso a 3 K. La ley supone además cuerpos y separaciones mucho mayores que la longitud de onda térmica, la longitud de onda cercana al pico de emisión, de unos 10 µm a temperatura ambiente. Un grano de polvo mucho menor que eso radia menos que $\sigma T^4$ por unidad de área, mientras que dos superficies separadas por una fracción de micrómetro pueden intercambiar calor muchas veces más deprisa que dos cuerpos negros, mediante ondas evanescentes que atraviesan el hueco por efecto túnel.

Dentro de su dominio, la ley es extraordinariamente exacta. El fondo cósmico de microondas, el resplandor residual del universo primitivo y caliente, sigue una curva de Planck a 2,725 K, con su pico cerca de 1,06 mm, con desviaciones de, como mucho, unas 50 partes por millón de la altura del pico.

Lo que viene después

Planck trató la cuantización como una propiedad de los emisores; los cuantos de luz de Einstein la tomaron al pie de la letra, y la lección Efecto fotoeléctrico es donde los encontrarás a continuación. Los niveles de energía discretos y sus líneas espectrales son el tema de Modelos atómicos: el átomo de Bohr, y la doble naturaleza del fotón vuelve en Dualidad onda-corpúsculo. La luz producida sin calor, a través de una banda prohibida, aparece en Semiconductores, diodos y LED. El fallo de la equipartición enlaza con Teoría cinética de los gases, y la entropía de la radiación, que guio a Planck en 1900, con La segunda ley de la termodinámica y la entropía.