कृष्णिका विकिरण और क्वांटम

शुरुआती

किसी कैंपफ़ायर की लपटें बुझने के बाद अंगारों को देखिए: वे नारंगी चमकते हैं, और हवा से भड़का कोयला पीला होकर चमकने लगता है। कुम्हार भट्ठी के भीतर के रंग से उसकी गर्मी का अनुमान लगाता है। गर्म चीज़ें चमकती हैं, और उनका रंग बताता है कि वे कितनी गर्म हैं।

चरण 1। हर वस्तु यह ऊष्मीय विकिरण उत्सर्जित करती है, यहाँ तक कि आप और चाय का एक कप भी। रोज़मर्रा के तापमान पर यह सब अवरक्त होता है, जो हमारी आँखों को दिखाई नहीं देता; ऊष्मीय कैमरे इसे चित्रों में बदल देते हैं। केवल लगभग 800 K (लगभग 500 °C) से ऊपर ही एक मद्धम लाल चमक दिखाई देती है।

चरण 2। जैसे-जैसे कोई वस्तु गर्म होती है, दो चीज़ें बदलती हैं। वह कहीं अधिक ऊर्जा उत्सर्जित करती है: केल्विन में उसका तापमान दोगुना कर दें तो वह 16 गुना विकिरण करती है। और उसका रंग बदलता है: मद्धम लाल, नारंगी, पीला, फिर सफ़ेद। सबसे गर्म तारे नीले-सफ़ेद दिखते हैं, सबसे ठंडे लाल।

चरण 3। यह चमक कई तरंगदैर्घ्यों का मिश्रण होती है। एनिमेशन में बैंगनी वक्र दिखाता है कि प्रकाश उनमें कैसे बँटा है। जैसे-जैसे नॉब घुमाया जाता है, शिखर दृश्य प्रकाश की इंद्रधनुषी पट्टी की ओर खिसकता है, और सुनहरी किरणें तेज़ी से बढ़ती हैं। सफ़ेद-तप्त होने पर भी वक्र का अधिकांश भाग अवरक्त में ही रहता है, इसीलिए तंतु वाले बल्ब इतनी ऊर्जा ऊष्मा के रूप में बर्बाद करते थे।

चरण 4। 1900 के आसपास प्रकाश का सबसे अच्छा सिद्धांत गलत वक्र की भविष्यवाणी कर रहा था: उसके अनुसार गर्म वस्तुओं को अनंत बैंगनी और पराबैंगनी प्रकाश उत्सर्जित करना चाहिए था। मैक्स प्लांक ने एक साहसिक विचार से इसे ठीक किया: प्रकाश ऊर्जा के छोटे पैकेटों में उत्सर्जित होता है, और नीले प्रकाश का एक पैकेट लाल प्रकाश के पैकेट से अधिक ऊर्जा रखता है। गर्म वस्तु के पास बड़े नीले पैकेटों के लिए शायद ही पर्याप्त ऊर्जा होती है, इसलिए उसकी चमक नीली ओर से घटती जाती है।

स्वयं जाँचें: एक तारा नारंगी दिखता है, दूसरा नीला-सफ़ेद। कौन अधिक गर्म है? (नीला-सफ़ेद वाला।)

मध्यम

कृष्णिका क्या है

हर वस्तु केवल इसलिए विकिरण करती है क्योंकि वह गर्म है: उसके आवेशित कण ऊष्मीय गति से कंपन करते हैं, और त्वरित आवेश विद्युत-चुंबकीय तरंगें उत्सर्जित करते हैं। कमरे के तापमान के निकट यह ऊष्मीय विकिरण लगभग पूरा अवरक्त होता है, जिसकी तरंगदैर्घ्य लगभग 10 µm होती है; केवल लगभग 800 K से ऊपर ही इसका पर्याप्त भाग दृश्य बैंड तक पहुँचता है और मद्धम लाल चमक दिखाई देती है।

कृष्णिका हर तरंगदैर्घ्य पर उस पर पड़ने वाला सारा विकिरण अवशोषित करती है, इसलिए वह जो प्रकाश उत्सर्जित करती है वह केवल उसके तापमान $T$ पर निर्भर करता है, उसके पदार्थ या आकार पर नहीं। इसका सबसे अच्छा प्रयोगशाला रूप एक बंद भट्ठी में बना छोटा छेद है: उसमें प्रवेश करने वाला प्रकाश भीतर उछलने के बाद अवशोषित हो जाता है, इसलिए ठंडा होने पर छेद काला दिखता है और गर्म होने पर शुद्ध ऊष्मीय स्पेक्ट्रम के साथ चमकता है। तारे और दहकते अंगारे इसके निकट आते हैं, और एनिमेशन अपनी छड़ को एक कृष्णिका मानता है।

वास्तविक सतह समान तापमान पर कृष्णिका विकिरण का केवल एक अंश $\epsilon$ उत्सर्जित करती है, जिसे उसकी उत्सर्जकता कहते हैं। किरखोफ़ के नियम के अनुसार यह उसके द्वारा आपतित विकिरण के अवशोषित अंश के बराबर होता है: अच्छे अवशोषक अच्छे उत्सर्जक भी होते हैं। कालिख का$\epsilon \approx 0.95$ है, पॉलिश चाँदी का लगभग 0.02।

दो नियम: शिखर और कुल शक्ति

वीन का विस्थापन नियम वह तरंगदैर्घ्य देता है जिस पर स्पेक्ट्रम का शिखर होता है:
${\lambda }_{\max }T=b=2.898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$
$T$ दोगुना करें तो ${\lambda }_{\max }$ आधा हो जाता है। $b=2.898\times 10^6\mathrm{nm}\cdot \mathrm{K}$ लेने पर 310 K पर स्थित एक व्यक्ति का शिखर लगभग 9300 nm पर होता है, जो गहरे अवरक्त में है; जबकि सूर्य का स्पेक्ट्रम लगभग 500 nm पर शिखर बनाता है, इसलिए उसकी सतह का तापमान लगभग 5800 K होना चाहिए: वीन का नियम एक ऐसा तापमापी है जो किसी भी दूरी पर काम करता है।

स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान नियम उस कुल शक्ति को देता है जो क्षेत्रफल $A$ की सतह सभी तरंगदैर्घ्यों पर विकिरित करती है:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
$\sigma =5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$
$\epsilon =1$ वाली कृष्णिका प्रति वर्ग मीटर $\sigma T^4$ विकिरित करती है। $T$ दोगुना करने पर यह $2^4=16$ गुना हो जाता है, और एनिमेशन की छड़, जिसे 300 K से 3500 K तक गर्म किया गया, अंत में $(3500/300{)}^4\approx 18500$ गुना अधिक विकिरण करती है।

कोई वस्तु अपने परिवेश से भी विकिरण अवशोषित करती है; यदि परिवेश का तापमान $T_{\mathrm{env}}$ हो, तो उसकी शुद्ध हानि शक्ति है
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)$
जब दोनों तापमान बराबर हों, तो दोनों पक्ष विकिरण करते रहते हैं, पर शुद्ध प्रवाह शून्य होता है: ऊष्मीय साम्य।

प्लांक के क्वांटा: नीली ओर क्यों घटती है

लगभग 1900 के आसपास स्वीकृत सिद्धांत के अनुसार तरंगदैर्घ्य घटने पर विकिरण असीमित रूप से बढ़ना चाहिए था: कोई भी गर्म वस्तु पराबैंगनी प्रकाश उत्सर्जित करती। मैक्स प्लांक ने मापे गए वक्र को यह मानकर समझाया कि पदार्थ आवृत्ति $f$ के विकिरण के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान केवल पूर्ण क्वांटा में करता है:
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
जहाँ $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ प्लांक नियतांक है। $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$ लेने पर 620 nm का लाल फ़ोटॉन 2.0 eV और 413 nm का बैंगनी फ़ोटॉन 3.0 eV ले जाता है।

गर्म पदार्थ के हर कंपन में $kT$ की कोटि की ऊष्मीय ऊर्जा होती है, जहाँ $k=1.381\times 10^{-23}J/K$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है: 3500 K पर यह 0.30 eV है। $kT$ से कहीं बड़े क्वांटा कम ही उत्सर्जित होते हैं, और उनकी संभावना लगभग $e^{-hf/kT}$ के अनुसार घटती है। इसलिए लंबी तरंगदैर्घ्य की ओर पुराना सिद्धांत लागू होता है, जबकि छोटी तरंगदैर्घ्य की ओर क्वांटा बहुत “महँगे” हो जाते हैं और वक्र तेज़ी से गिरता है; शिखर वहाँ होता है जहाँ $hf\approx 5kT$।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन की छड़

एनिमेशन के अंत में छड़ का तापमान $T=3500\mathrm{K}$ है। दोनों नियम देते हैं
${\lambda }_{\max }=\frac{b}{T}=\frac{2.898\times 10^{-3}}{3500}=8.28\times 10^{-7}\mathrm{m}=828\mathrm{nm}$
$\sigma T^4=5.67\times 10^{-8}\cdot 3500^4\approx 8.51\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^2$

ये ${\lambda }_{\max }$ और $\sigma T^4$ पाठ्यांकों के अंतिम मान हैं, 828 nm और 8509 kW/m²: हर वर्ग सेंटीमीटर लगभग 850 W विकिरित करता है। शिखर दृश्य बैंड के लाल सिरे (750 nm) से ठीक आगे है, इसलिए बिंदीदार नीली रेखा इंद्रधनुषी पट्टी के ठीक दाईं ओर समाप्त होती है, और शक्ति का केवल लगभग 18% भाग दृश्य प्रकाश है।

1750 K पर, यानी आधे तापमान पर, शिखर दोगुना दूर था, 1656 nm पर, और शक्ति 16 गुना कम थी। शुरुआत में 300 K पर शिखर 9659 nm पर था, अक्ष से बहुत दूर। सुनहरी किरणें, जिनकी लंबाई $T^4$ के साथ बढ़ती है, केवल 2000 K पर दिखती हैं, तब भी शक्ति अंतिम मान की केवल 11% है। 300 K पर कमरा केवल $\sigma \cdot 300^4\approx 0.46kW/{\mathrm{m}}^2$ वापस भेजता है, जो चमकती छड़ के लिए नगण्य है।

हल किया गया उदाहरण: सूर्य और पृथ्वी

वायुमंडल के ऊपर सूर्य का प्रकाश 1361 W/m² शक्ति देता है। यह शक्ति त्रिज्या $R=6.96\times 10^8\mathrm{m}$ वाली सूर्य की सतह से निकली और त्रिज्या $d=1.496\times 10^{11}\mathrm{m}$ वाले गोले पर फैली, इसलिए सतह पर फ़्लक्स $(d/R{)}^2\approx 46200$ गुना अधिक था:
$\sigma T^4=1361\cdot 46200\approx 6.29\times 10^{7}W/{\mathrm{m}}^2$
$T={\left(\frac{6.29\times 10^7}{5.67\times 10^{-8}}\right)}^{1/4}\approx 5770\mathrm{K}$
यह 500 nm शिखर से वीन के नियम द्वारा प्राप्त 5800 K के लगभग बराबर है: कुल शक्ति और स्पेक्ट्रम का आकार एक-दूसरे से मेल खाते हैं।

पृथ्वी अपने अनुप्रस्थ काट $\pi R_E^2$ पर सूर्य का प्रकाश ग्रहण करती है और लगभग 30% परावर्तित कर देती है, परंतु वह अपनी पूरी सतह $4\pi R_E^2$ से विकिरण करती है। संतुलन में,
$\sigma T_E^4=\frac{0.70\cdot 1361}{4}\approx 238W/{\mathrm{m}}^2\Rightarrow T_E\approx 255\mathrm{K}$
अर्थात −18 °C, और शिखर लगभग $b/T_E\approx 11\mu \mathrm{m}$ पर। मापा गया औसत लगभग 288 K है: 33 K का अंतर ग्रीनहाउस प्रभाव है, क्योंकि जलवाष्प और कार्बन डाइऑक्साइड इस अवरक्त का कुछ भाग अवशोषित करके उसे नीचे वापस भेज देते हैं।

स्पेक्ट्रम और रंगों को पढ़ना

बैंगनी वक्र $B_{\lambda }$ (प्रति इकाई तरंगदैर्घ्य विकिरित शक्ति) को $\lambda$ के विरुद्ध दर्शाता है; उसके नीचे का क्षेत्रफल कुल शक्ति है। यहाँ शिखर सदैव एक ही ऊँचाई पर खींचा गया है (“शिखर को 1 पर मापा गया”), इसलिए वक्र दिखाता है कि प्रकाश कहाँ है, और $\sigma T^4$ पाठ्यांक बताता है कि कितना। यह असममित है: छोटी तरंगदैर्घ्य की ओर तेज़ी से गिरता है और एक लंबी अवरक्त पूँछ खींचता है; हर तापमान पर केवल एक चौथाई शक्ति ${\lambda }_{\max }$ से नीचे होती है।

रंग पूरे दृश्य खंड, 380 से 750 nm, से आता है। 1000 K पर केवल दूर का लाल सिरा उस तक पहुँचता है: मद्धम लाल। जैसे-जैसे $T$ बढ़ता है, नारंगी और पीला जुड़ते जाते हैं, और 5000 से 6000 K पर वह खंड लगभग समतल हो जाता है और सफ़ेद दिखता है; उससे भी गर्म तारे नीले-सफ़ेद दिखते हैं। कोई कृष्णिका हरी नहीं दिखती: जब शिखर हरे में होता है, तो वक्र इतना चौड़ा होता है कि मिश्रण सफ़ेद हो जाता है।

आम गलतियाँ

• “लाल-तप्त” सबसे ठंडी दृश्य चमक है, सबसे गर्म नहीं: लाल तारे लगभग 3000 K पर हैं, सूर्य 5800 K पर, नीले-सफ़ेद तारे 10 000 K या उससे अधिक पर।
• शिखर रंग नहीं है: 3500 K की छड़ का शिखर अवरक्त में, 828 nm पर है, फिर भी वह सफ़ेद-तप्त चमकती है।
• ठंडी वस्तुएँ भी विकिरण करती हैं: 300 K की दीवार लगभग 460 W प्रति वर्ग मीटर उत्सर्जित करती है, परंतु उतना ही लगभग अपने परिवेश से अवशोषित भी करती है।
• गर्म वस्तु हर तरंगदैर्घ्य पर अधिक चमकीली होती है, लाल सहित: 3500 K की छड़ 650 nm पर 1500 K की तुलना में 4600 गुना और 450 nm पर 195 000 गुना अधिक उत्सर्जित करती है।
• केल्विन का प्रयोग करें: किसी हॉटप्लेट को 20 °C से 40 °C तक गर्म करने पर उसका विकिरण $(313/293{)}^4\approx 1.30$ गुना होता है, यानी 30% की वृद्धि, न कि 16 गुना।

यह कहाँ मिलता है

ऊष्मीय कैमरे और कान के तापमापी अवरक्त पढ़ते हैं, और खगोलशास्त्री तारों के रंगों से उनके तापमान पढ़ते हैं। 2700 से 3000 K पर तंतु वाले लैंप अपनी शक्ति का केवल लगभग 7% से 11% भाग दृश्य प्रकाश में बदलते हैं, इसीलिए उनकी जगह एलईडी आ गए। प्लांक के क्वांटा आगे “प्रकाश-विद्युत प्रभाव” और “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” तक ले जाते हैं।

उन्नत

बक्स में विकिरण: विधाओं की गिनती

हर पिंड चमकता है, और चमक का रंग उसके तापमान पर निर्भर करता है। प्रथम सिद्धांतों से स्पेक्ट्रम पाने के लिए सबसे सरल चमकने वाली वस्तु लीजिए: एक बंद गुहा जिसकी दीवारें तापमान $T$ पर रखी गई हैं। भीतर का विकिरण दीवारों के साथ साम्य में आ जाता है, और उसका स्पेक्ट्रम इस पर निर्भर नहीं कर सकता कि दीवारें किस पदार्थ से बनी हैं। यदि वह निर्भर होता, तो समान तापमान की दो गुहाएँ, जो केवल एक रंग पारित करने वाले फ़िल्टर से जुड़ी हों, उस रंग पर ऊर्जा का आदान-प्रदान करतीं, और समान तापमान वाले पिंडों के बीच ऊष्मा बहती, जो ऊष्मागतिकी के द्वितीय नियम के विरुद्ध है। अतः विकिरण सार्वत्रिक है, और हम सबसे सरल गुहा का अध्ययन कर सकते हैं: परावर्तक दीवारों वाला भुजा $L$ का घन। शास्त्रीय रूप से घन के भीतर का क्षेत्र अप्रगामी तरंगों का योग है, और पहला काम उन्हें गिनना है।

संकेत-सूची

$n_x$	$x$ के अनुदिश अप्रगामी तरंग की अर्ध-तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या।
$n_y$	$y$ के अनुदिश अर्ध-तरंगदैर्घ्यों की संख्या।
$n_z$	$z$ के अनुदिश अर्ध-तरंगदैर्घ्यों की संख्या।
$R$	विधा के बिंदु की मूल बिंदु से दूरी, $\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$; $\lambda$ से लंबी तरंगदैर्घ्य वाली विधाओं के लिए $R<2L/\lambda$ होता है।
$dR$	उस परत की मोटाई जिसमें $\lambda$ और $\lambda +d\lambda$ के बीच की विधाएँ हैं: $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$।

चित्र 1 गिनने का उपकरण है। एक अप्रगामी तरंग को घन में हर अक्ष के अनुदिश ठीक-ठीक समाना होना चाहिए: $x$ के अनुदिश ठीक $n_x$ अर्ध-तरंगदैर्घ्य $L$ में समाते हैं, और इसी प्रकार $y$ के अनुदिश $n_y$ तथा $z$ के अनुदिश $n_z$, जिनमें से हर एक धनात्मक पूर्णांक है। अतः हर विधा एक त्रिक $(n_x,n_y,n_z)$ है, यानी $n_x$, $n_y$, $n_z$ अक्षों से बने अवकाश में एक जालक-बिंदु, जिसका अंतराल 1 है। हर जालक-बिंदु उस अवकाश में एक एकक घन का स्वामी है, इसलिए विधाएँ गिनना आयतन मापने के बराबर है।

किसी विधा की तरंगदैर्घ्य उसके बिंदु की मूल बिंदु से दूरी से तय होती है। $x$ अक्ष के अनुदिश मापने पर तरंग हर $2L/n_x$ पर दोहराती है, और $y$ तथा $z$ के अनुदिश भी इसी प्रकार। इन तीनों अक्षीय तरंगदैर्घ्यों के व्युत्क्रम सदिश के घटकों की तरह जुड़ते हैं, जिससे
$\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{4L^2}\Rightarrow \lambda =\frac{2L}{R}$
मिलता है, जहाँ $R=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ वह दूरी है। मूल बिंदु से दूर के बिंदु छोटी तरंगें हैं।

अब गिनिए। $\lambda$ से लंबी तरंगदैर्घ्य वाली विधाएँ वे बिंदु हैं जो मूल बिंदु से $R=2L/\lambda$ से कम दूरी पर हैं। चूँकि तीनों संख्याएँ धनात्मक हैं, ये बिंदु एक गोले के आठवें भाग को भरते हैं, यानी चित्र 1 में नीले रंग से रेखांकित अष्टांश। उसका आयतन $\frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3$ है; और हर बिंदु दो विधाओं का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि प्रकाश एक अनुप्रस्थ तरंग है जिसका विद्युत क्षेत्र दो स्वतंत्र दिशाओं में दोलन कर सकता है (दो ध्रुवण)। अतः $\lambda$ से लंबी तरंगदैर्घ्य वाली विधाओं की संख्या है
$N=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3=\frac{8\pi L^3}{3{\lambda }^3}$

स्पेक्ट्रम के लिए तरंगदैर्घ्य के एक संकीर्ण अंतराल में विधाओं की संख्या चाहिए। तरंगदैर्घ्य को $\lambda$ से $\lambda +d\lambda$ तक बढ़ाने पर $R=2L/\lambda$ घटकर $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$ हो जाता है, इसलिए ये विधाएँ नीली सतह के ठीक भीतर मोटाई $dR$ वाली सुनहरी परत में पड़ती हैं। उस परत का आयतन $\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR$ है; दो ध्रुवणों के साथ उसमें $8\pi L^{3}d\lambda /{\lambda }^4$ विधाएँ आती हैं। इसे घन के आयतन $L^3$ और $d\lambda$ से भाग देने पर प्रति इकाई आयतन और प्रति इकाई तरंगदैर्घ्य विधाओं की संख्या मिलती है:
$n(\lambda )=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}$
बक्स का आकार हट गया है, जैसा होना ही चाहिए। तीव्र $1/{\lambda }^4$ आगे की सारी बात तय करता है: किसी दिए गए स्थान में छोटी तरंगें लंबी तरंगों से कहीं अधिक संख्या में समाती हैं।

ऊर्जा-समविभाजन और पराबैंगनी आपदा

शास्त्रीय भौतिकी यह भी बताती है कि हर विधा में कितनी ऊर्जा है। एक अप्रगामी तरंग का क्षेत्र समय में ठीक किसी स्प्रिंग पर लटके द्रव्यमान की तरह आगे-पीछे डोलता है, और उसकी ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच आती-जाती रहती है। ऊर्जा-समविभाजन के अनुसार तापमान $T$ पर साम्य में ऐसे दोलित्र की औसत ऊर्जा $kT$ होती है, जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है: उसके हर द्विघात ऊर्जा-पद के लिए $\frac{1}{2}kT$। तब प्रति इकाई आयतन और प्रति इकाई तरंगदैर्घ्य ऊर्जा $u_{\lambda }=n(\lambda )kT=8\pi kT/{\lambda }^4$ होती है।

डिटेक्टर या आँख जो प्राप्त करती है वह दीप्ति $B_{\lambda }$ है: प्रति इकाई सतह क्षेत्रफल, प्रति इकाई ठोस कोण और प्रति इकाई तरंगदैर्घ्य सतह से निकलने वाली शक्ति। ऊर्जा-घनत्व $u_{\lambda }$ का विकिरण प्रकाश-गति $c$ से चलता है और दिशाओं के सभी $4\pi$ स्टेरेडियन पर समान रूप से फैलता है, इसलिए $B_{\lambda }=c{u}_{\lambda }/(4\pi )$, और
$B_{\lambda }^{\mathrm{RJ}}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$
यह रेले–जींस नियम है। यह लंबी तरंगदैर्घ्यों पर मापन से मेल खाता है, पर $\lambda \to 0$ होने पर यह असीमित रूप से बढ़ जाता है, इसलिए कुल ऊर्जा ${\int }_0^{\infty }{u}_{\lambda }d\lambda$ अनंत है। हर गुहा में अनंत ऊर्जा होगी, जो सबसे छोटी तरंगों में जमा होती जाएगी: यही पराबैंगनी आपदा है।

इस स्तर के एनिमेशन में बिंदीदार वक्र 3500 K पर इसी नियम का है। ग्राफ़ के दाएँ किनारे, 3000 nm पर, यह प्लांक वक्र का पहले ही 2.1 गुना है; 828 nm के शिखर पर यह 29 गुना ऊँचा है; यह केवल लगभग 20 µm से परे ही 11% के भीतर आता है। यह विफलता मॉडल का कोई छोटा ब्योरा नहीं है। विधा-गणना एक सही ज्यामिति है; जो विफल होता है वह स्वयं ऊर्जा-समविभाजन है। यही विफलता गैसों की विशिष्ट ऊष्माओं में भी दिखती है, जहाँ अणुओं के कंपन, जिन्हें समविभाजन के अनुसार ऊष्मा साझा करनी चाहिए थी, निम्न तापमान पर “जमे” रहते हैं।

प्लांक के क्वांटीकृत दोलित्र

1900 में प्लांक ने इससे निकलने का रास्ता खोजा। उन्होंने विधाओं की गिनती रखी और केवल एक धारणा बदली: दोलित्र कोई भी ऊर्जा नहीं रख सकता, केवल एक निश्चित सोपान के पूर्ण गुणक।

संकेत-सूची

$E$	दोलित्र की ऊर्जा।	$\mathrm{J}$
$hf$	ऊर्जा-स्तरों का अंतर: आवृत्ति $f$ के दोलित्र का एक क्वांटम।	$\mathrm{J}$
$e^{-nx}$	स्तर $n$ का बोल्ट्ज़मान भार, जहाँ $x=hf/kT$: हर स्तर का भार उसके नीचे वाले स्तर का $e^{-x}$ गुना है।
$f$	दोलित्र की आवृत्ति, यानी विधा की आवृत्ति।	$\mathrm{Hz}$
$kT$	शास्त्रीय ऊर्जा-समविभाजन के अनुसार दोलित्र की औसत ऊर्जा; बिंदीदार रेखा।	$\mathrm{J}$
$kT/h$	वह आवृत्ति जिस पर एक सोपान $hf$ बराबर $kT$ है।	$\mathrm{Hz}$
$\bar{E}$	क्वांटीकृत दोलित्र की औसत ऊर्जा, $hf/(e^{hf/kT}-1)$।	$\mathrm{J}$

चित्र 2 का बायाँ भाग इस नियम को एक सीढ़ी के रूप में दिखाता है। आवृत्ति $f$ का दोलित्र केवल $E_n=nhf$ ऊर्जाएँ रख सकता है, जहाँ $n=0,1,2,\dots$; पायदान $hf$ के अंतर पर हैं, जहाँ $h$ प्रकृति का एक नया नियतांक है, प्लांक नियतांक। तापमान $T$ पर सांख्यिकीय भौतिकी स्तर $n$ को उसके बोल्ट्ज़मान गुणांक $e^{-E_n/kT}=e^{-nx}$ से भारित करती है, जहाँ संक्षेप में $x=hf/kT$ लिखा गया है: एक सोपान का आकार $kT$ की इकाइयों में। हरे स्तंभ $hf=kT$, यानी $x=1$, के लिए भार दिखाते हैं। हर स्तंभ अपने नीचे वाले का $e^{-1}\approx 0.37$ गुना है, इसलिए अधिकांश दोलित्र निम्नतम स्तरों पर होते हैं।

औसत ऊर्जा स्तरों की भारित औसत है। भार $e^{-x}$ अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं,
${\sum }_{n=0}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}$
और ऊर्जा-भारित योग $hf$ गुना उस श्रेणी के $x$ के सापेक्ष ऋणात्मक अवकलज के बराबर है:
${\sum }_{n=0}^{\infty }nhf{e}^{-nx}=\frac{hf{e}^{-x}}{(1-e^{-x}{)}^2}$
दूसरे योग को पहले से भाग देने पर औसत ऊर्जा मिलती है:
$\bar{E}=\frac{hf{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

चित्र 2 के दाएँ भाग का बैंगनी वक्र यही $\bar{E}$ है, जिसे आवृत्ति $f$ के विरुद्ध खींचा गया है; बिंदीदार रेखा शास्त्रीय $kT$ है। वक्र को बाएँ से दाएँ देखिए: जब सोपान छोटा है, $hf\ll kT$, तो सन्निकटन $e^x\approx 1+x$ से $\bar{E}\approx kT$ मिलता है, इसलिए वक्र शास्त्रीय रेखा से शुरू होता है: निम्न आवृत्तियाँ, यानी लंबी तरंगदैर्घ्य, अब भी समविभाजन मानती हैं। चिह्नित बिंदु $f=kT/h$ पर एक सोपान की कीमत ठीक $kT$ है, और वक्र पहले ही $kT/(e-1)\approx 0.58kT$ तक गिर चुका है। जब $hf\gg kT$ होता है, तो $\bar{E}\approx hf{e}^{-hf/kT}$ घातांकीय रूप से छोटा होता है। तब पहला स्तर भी इतना “महँगा” होता है कि लगभग हर दोलित्र स्तर 0 पर ही रहता है, और छोटी-तरंगदैर्घ्य विधाएँ जम जाती हैं। उनकी विशाल संख्या अब मायने नहीं रखती, और पराबैंगनी आपदा समाप्त हो जाती है।

$kT$ के स्थान पर $\bar{E}$ रखने पर, और $f=c/\lambda$ लेने पर, रेले–जींस नियम प्लांक नियम में बदल जाता है:
$B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$
प्लांक ने इसे 1900 में बर्लिन में किए गए सटीक मापों पर फिट किया और $h$ तथा $k$ के ऐसे मान प्राप्त किए जो आज के मानों से कुछ प्रतिशत के भीतर थे: $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ और $k=1.381\times 10^{-23}J/K$।

फ़ोटॉन और आइंस्टाइन के गुणांक

प्लांक ने प्रकाश उत्सर्जित करने वाले दोलित्रों को क्वांटीकृत किया। 1905 में आइंस्टाइन और आगे गए और प्रस्ताव रखा कि प्रकाश स्वयं ऊर्जा $hf$ के क्वांटा में आता है, जिन्हें बाद में फ़ोटॉन कहा गया। 1917 में उन्होंने केवल इस बात से कि परमाणु विकिरण के साथ फ़ोटॉनों का आदान-प्रदान करते हैं, प्लांक नियम को फिर से व्युत्पन्न किया, और ऐसा करते हुए एक ऐसी प्रक्रिया पाई जिस पर किसी ने शक नहीं किया था।

संकेत-सूची

$N_1$	निचले स्तर पर परमाणुओं की संख्या।
$N_2$	ऊपरी स्तर पर परमाणुओं की संख्या।
$hf$	स्तरों के बीच का अंतर, जो बनाए गए हर फ़ोटॉन की ऊर्जा के बराबर है।	$\mathrm{J}$
$B_{12}{u}_f$	निचले स्तर का एक परमाणु जिस दर से फ़ोटॉन अवशोषित करता है; $u_f$ प्रति इकाई आवृत्ति विकिरण का ऊर्जा-घनत्व है।	${\mathrm{s}}^{-1}$
$A_{21}$	एक उत्तेजित परमाणु जिस दर से स्वतः फ़ोटॉन उत्सर्जित करता है।	${\mathrm{s}}^{-1}$
$B_{21}{u}_f$	एक उत्तेजित परमाणु जिस दर से विकिरण द्वारा उत्तेजित होकर उत्सर्जन करता है।	${\mathrm{s}}^{-1}$

चित्र 3 में ऐसे परमाणु दिखाए गए हैं जिनके दो ऊर्जा स्तर $hf$ के अंतर पर हैं, और जो ऐसे विकिरण में डूबे हैं जिसका स्पेक्ट्रमी ऊर्जा-घनत्व, यानी प्रति इकाई आयतन और प्रति इकाई आवृत्ति ऊर्जा, $u_f$ है। निचले स्तर पर $N_1$ परमाणु हैं और ऊपरी स्तर पर $N_2$। हर पैनल एक प्रक्रिया है: भरा हुआ बिंदु बताता है कि परमाणु कहाँ से शुरू करता है, खुला वृत्त कहाँ समाप्त करता है, सीधा तीर उसकी छलांग है, और लहरदार तीर ऊर्जा $hf$ के फ़ोटॉन हैं।

बाईं ओर अवशोषण है: एक फ़ोटॉन लुप्त होता है और परमाणु ऊपर कूद जाता है। निचले स्तर का परमाणु यह $B_{12}{u}_f$ दर से करता है, जो मौजूद विकिरण की मात्रा के अनुपात में है। बीच में स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन है: एक उत्तेजित परमाणु अपने आप नीचे गिरता है, दर $A_{21}$ से, और एक फ़ोटॉन यादृच्छिक दिशा में भेजता है। दाईं ओर उत्तेजित उत्सर्जन है: एक गुज़रता फ़ोटॉन उत्तेजित परमाणु को नीचे गिराता है, दर $B_{21}{u}_f$ से। एक फ़ोटॉन भीतर जाता है, और दो बाहर आते हैं।

साम्य में प्रति सेकंड ऊपर की छलांगों की संख्या नीचे की छलांगों की संख्या के बराबर होती है, और जनसंख्याएँ बोल्ट्ज़मान नियम $N_2/N_1=e^{-hf/kT}$ का पालन करती हैं। संतुलन को $N_2$ से भाग देने और $u_f$ वाले पदों को एकत्र करने पर
$N_1{B}_{12}{u}_f=N_2(A_{21}+B_{21}{u}_f)\Rightarrow u_f=\frac{A_{21}}{B_{12}{e}^{hf/kT}-B_{21}}$
मिलता है।

इसकी तुलना प्रति इकाई आवृत्ति लिखे प्लांक नियम $u_f=(8\pi h{f}^3/c^3)/(e^{hf/kT}-1)$ से कीजिए। जब $T\to \infty$, तो $e^{hf/kT}\to 1$ होता है और प्लांक का $u_f$ असीमित बढ़ता है, इसलिए ऊपर के हर का वहाँ शून्य होना आवश्यक है: $B_{12}=B_{21}$। इसके बाद केवल तभी मेल होता है जब $A_{21}/B_{21}=8\pi h{f}^3/c^3$ हो। अवशोषण और उत्तेजित उत्सर्जन समान रूप से प्रबल हैं, और वे स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन की दर तय करते हैं।

उत्तेजित उत्सर्जन अनिवार्य है। उसके बिना संतुलन $u_f=A_{21}/(B_{12}{e}^{hf/kT})$ देता, यानी वीन का घातांकीय रूप, जो लंबी तरंगदैर्घ्य पर विफल होता है। उत्तेजित फ़ोटॉन उस फ़ोटॉन की ठीक प्रतिलिपि है जिसने उसे प्रेरित किया, जिसकी आवृत्ति, दिशा और कला समान हैं: यही लेज़र का सिद्धांत है।

तो लेज़र बनाना कठिन क्यों है? उत्तेजित और स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन का अनुपात $B_{21}{u}_f/A_{21}$ निकलता है $1/(e^{hf/kT}-1)$, यानी हर विधा में औसत फ़ोटॉन संख्या। एनिमेशन की दहकती छड़ के लिए, 3500 K पर और उसके 828 nm शिखर पर, यह केवल 0.007 है: एक गर्म पिंड का लगभग सारा प्रकाश स्वतःस्फूर्त है। इसलिए लेज़र को जनसंख्या-उलटाव $N_2>N_1$ चाहिए, जिसे कोई भी ऊष्मीय साम्य में स्थित पिंड नहीं दे सकता। 1924 में बोस ने फ़ोटॉनों को अप्रभेद्य कणों के रूप में गिनकर पूरा नियम व्युत्पन्न किया, जो बोस–आइंस्टाइन सांख्यिकी की शुरुआत थी।

वीन और स्टीफ़न के नियम प्लांक नियम से

प्लांक से पहले ऊष्मीय विकिरण के दो नियम ज्ञात थे: शिखर तरंगदैर्घ्य $1/T$ के साथ घटती है, और कुल शक्ति $T^4$ के साथ बढ़ती है। अब दोनों को प्लांक सूत्र से निकाला जा सकता है, और उनके स्थिरांक $h$, $c$ और $k$ से बनते हैं।

पहले शिखर। विमाहीन चर $x=hc/\lambda kT$ लीजिए, यानी $kT$ की इकाइयों में फ़ोटॉन ऊर्जा $hc/\lambda$। $\lambda =hc/(xkT)$ रखने पर मिलता है
$B_{\lambda }=\frac{2k^5{T}^5}{h^4{c}^3}\frac{x^5}{e^x-1}$
अतः नियत $T$ पर शिखर वहाँ है जहाँ $x^5/(e^x-1)$ सबसे बड़ा है। उसका अवकलज शून्य रखने पर $5x^4(e^x-1)=x^5{e}^x$ मिलता है, यानी $x=5(1-e^{-x})$। अनुमान $x=5$ को दाएँ पक्ष में रखने पर 4.966 आता है, और एक और चरण में मूल $x=4.965$ पर स्थिर हो जाता है। अतः

${\lambda }_{\max }T=\frac{hc}{4.965k}=2.898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$

वीन स्थिरांक प्रकृति का कोई नया नियतांक नहीं है, बल्कि $h$, $c$ और $k$ का संयोजन है।

अब कुल शक्ति। इकाई क्षेत्रफल की सतह से निकली शक्ति $M$, $B_{\lambda }$ के सभी तरंगदैर्घ्यों पर समाकलन का $\pi$ गुना है। गुणक $2\pi$ नहीं, $\pi$ है, क्योंकि दीप्ति अर्ध-गोले की सभी दिशाओं पर जुड़ती है, और हर दिशा अभिलंब से अपने कोण की कोज्या से भारित होती है: तिरछी देखी गई सतह छोटी दिखती है। $x$ चर में, $d\lambda =-hcdx/(x^{2}kT)$, समाकलन $T^4$ के गुणक वाली एक शुद्ध संख्या बन जाता है, और ${\int }_0^{\infty }{x}^3/(e^x-1)dx={\pi }^4/15$:
$M=\pi {\int }_0^{\infty }{B}_{\lambda }d\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$
$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$
इससे स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान स्थिरांक $\sigma =5.670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ प्राप्त होता है।

चौथी घात की एक सरल व्याख्या है। $hf$ के कुछ $kT$ तक की विधाएँ सक्रिय हैं और बाकी जमी हुई हैं, इसलिए सक्रिय विधाओं की आवृत्ति-सीमा $T$ के समानुपाती है। उनकी प्रति इकाई आयतन संख्या उस आवृत्ति के घन के साथ बढ़ती है, यानी $T^3$ के साथ, और हर एक में $kT$ की कोटि की ऊर्जा होती है: ऊर्जा-घनत्व, और उसके साथ विकिरित शक्ति, $T^4$ के साथ बढ़ती है।

ये दोनों नियम प्लांक से पहले खोजे गए थे। स्टीफ़न ने 1879 में मापों से चौथी घात पढ़ी; बोल्ट्ज़मान ने 1884 में ऊष्मागतिकी और विकिरण-दाब $u/3$ से इसे व्युत्पन्न किया, जहाँ $u$ ऊर्जा-घनत्व है; और 1893 में वीन ने दिखाया कि ऊष्मागतिकी $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ रूप माँगती है, जहाँ $g$ एक चर $\lambda T$ का कोई फलन है। ऊष्मागतिकी $g$ नहीं ढूँढ सकी; उसके लिए क्वांटम चाहिए था।

प्लांक वक्रों के परिवार को पढ़ना

स्केलन-संबंध $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ वही है जो इस स्तर का एनिमेशन छड़ के गर्म होने पर दिखाता है। हर वक्र का आकार एक-सा है, बस क्षैतिज रूप से $1/T$ गुणक से सिकुड़ा हुआ और ऊर्ध्वाधर रूप से $T^5$ से फैला हुआ। 2000 K से 3500 K तक, यानी तापमान-अनुपात 1.75, शिखर 1449 nm से 828 nm तक खिसकता है और $1.75^5\approx 16.4$ गुना ऊँचा हो जाता है; जबकि वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, यानी कुल शक्ति, केवल $1.75^4\approx 9.4$ गुना बढ़ती है, 907 से 8509 kW/m² तक। ऊँचाई क्षेत्रफल से तेज़ बढ़ती है, क्योंकि वक्र साथ-साथ सँकरा भी होता जाता है।

जैसे-जैसे छड़ गर्म होती है, बैंगनी वक्र उन धूसर वक्रों के ऊपर उठता है जिन्हें वह पीछे छोड़ आया है, और हर तरंगदैर्घ्य पर उनसे ऊपर रहता है, क्योंकि $1/(e^{hc/\lambda kT}-1)$ हर $\lambda$ पर $T$ के साथ बढ़ता है: अधिक गर्म पिंड हर रंग में अधिक चमकीला होता है। छोटा ग्राफ़ चतुर्घात $\sigma T^4$ है। यह अपने अंतिम मान का आधा केवल $3500/2^{1/4}\approx 2943\mathrm{K}$ पर पहुँचता है, यानी तापमान-वृद्धि के चार-पाँचवें से अधिक हिस्से के बाद।

शिखरों के बारे में एक सावधानी। $B_{\lambda }$ प्रति इकाई तरंगदैर्घ्य घनत्व है। यदि प्रति इकाई आवृत्ति खींचें, तो वही विकिरण $x=3(1-e^{-x})$ पर शिखर बनाता है, यानी $x=2.821$ पर, जो 3500 K पर 828 nm नहीं बल्कि 1457 nm से मेल खाता है। शिखर अलग इसलिए हैं क्योंकि तरंगदैर्घ्य में समान अंतराल आवृत्ति में समान अंतराल नहीं होते: $|df|=cd\lambda /{\lambda }^2$, अतः एक घनत्व को दूसरे में बदलने पर $\lambda$ पर निर्भर गुणक लगता है, और अधिकतम का स्थान खिसक जाता है। सूर्य के लिए दोनों शिखर 502 nm और 883 nm पर हैं। किसी भी बैंड में शक्ति दोनों आलेखों में समान है; केवल किसी घनत्व के अधिकतम का स्थान चुने गए चर पर निर्भर करता है। “सूर्य का शिखर हरे में है” एक आलेख का वर्णन है, प्रकाश का नहीं।

हल किया गया प्रश्न: दहकती छड़ का ठंडा होना

प्लांक नियम यह भी बताता है कि जब केवल विकिरण ऊष्मा हरता है, तो गर्म पिंड कितनी तेज़ी से ठंडा होता है। $T_0=3500\mathrm{K}$ पर धारा बंद कीजिए। इसे निर्वात में एक टंगस्टन छड़ मानिए, व्यास $d=1.0\mathrm{mm}$, जैसे बल्ब के भीतर, ताकि विकिरण ही ऊष्मा के बाहर जाने का एकमात्र रास्ता हो। घनत्व $\rho =19300kg/{\mathrm{m}}^3$, औसत विशिष्ट ऊष्मा $c_p=170J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ और औसत उत्सर्जकता $\epsilon =0.30$ लीजिए, यानी कृष्णिका शक्ति $\sigma T^4$ का वह अंश जो वास्तविक सतह उत्सर्जित करती है। छड़ को 1750 K तक पहुँचने में कितना समय लगेगा, जहाँ वह $2^4=16$ गुना कम विकिरण करती है?

सिरों से दूर लंबाई $\ell$ के एक टुकड़े के लिए ऊर्जा-संतुलन लिखिए। उसकी ऊष्मा-मात्रा $m{c}_{p}dT/dt$ की दर से बदलती है, जहाँ द्रव्यमान $m=\rho \pi d^2\ell /4$ है, और वह अपने सतह-क्षेत्र $\pi d\ell$ के प्रति वर्ग मीटर से $\epsilon \sigma T^4$ खोती है। दोनों पक्षों को सतह से भाग देने पर प्रति इकाई क्षेत्रफल
$\frac{\rho d{c}_p}{4}\frac{dT}{dt}=-\epsilon \sigma T^4$
मिलता है। लंबाई हट गई; केवल आयतन और सतह का अनुपात $d/4$ मायने रखता है। चरों को अलग करें, $-dT/T^4=4\epsilon \sigma dt/(\rho d{c}_p)$, और $t=0$ पर $T_0$ से समाकलित करें। चूँकि $-T^{-4}$ का समाकल $\frac{1}{3}{T}^{-3}$ है,
$\frac{1}{T^3}-\frac{1}{T_0^3}=\frac{12\epsilon \sigma }{\rho d{c}_p}t\Rightarrow T=\frac{T_0}{(1+t/\tau {)}^{1/3}}$
जहाँ समय-स्थिरांक $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)\approx 0.375\mathrm{s}$ है।

ठंडा होने का वक्र

इस हल का एक आकार याद रखने योग्य है: शुरू में तेज़, फिर बहुत लंबी पूँछ।

संकेत-सूची

$T$	छड़ का तापमान।	$\mathrm{K}$
$t$	धारा बंद होने के बाद बीता समय।	$\mathrm{s}$
$T_0$	प्रारंभिक तापमान।	$\mathrm{K}$
$T_0/2$	प्रारंभिक तापमान का आधा।	$\mathrm{K}$
$T_0/4$	प्रारंभिक तापमान का एक चौथाई।	$\mathrm{K}$
$\tau$	छड़ का समय-स्थिरांक, $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)$।	$\mathrm{s}$

चित्र 4 इस हल को दर्शाता है, यानी तापमान $T$ समय $t$ के विरुद्ध। वक्र $T_0$ से लगभग खड़ा उठता है और फिर एक लंबी पूँछ में समतल हो जाता है। बिंदु तापमान के दो बार आधा होने के स्थान बताते हैं। $T=T_0/2$ तब होता है जब $(1+t/\tau {)}^{1/3}=2$, अतः $1+t/\tau =8$ और $t=7\tau$; $T=T_0/4$ तब होता है जब $1+t/\tau =64$, यानी $t=63\tau$। समय-अक्ष के नीचे के सुनहरे पट्टे दोनों अंतराल दिखाते हैं: पहले आधे होने में $7\tau$, और दूसरे में $63\tau -7\tau =56\tau$, जो पहले से आठ गुना है।

अब संख्याएँ। $t=0$ पर $T$ का अवकलज लेने से प्रारंभिक ठंडा होने की दर $T_0/(3\tau )\approx 3100K/s$ मिलती है, जो वक्र की तीखी शुरुआत है। पहला आधा होना, $7\tau \approx 2.6\mathrm{s}$, छड़ को सफ़ेद-तप्त अवस्था से 1750 K की पीली-नारंगी चमक तक ले जाता है। अगला आधा होना, 875 K तक, जहाँ मद्धम लाल लगभग समाप्त हो जाता है, आठ गुना समय लेता है, लगभग 21 s। कारण यह है: दूसरे आधे होने के हर चरण पर छड़ का तापमान पहले के संगत चरण का आधा है, इसलिए वह $2^4=16$ गुना धीमे विकिरण करती है, जबकि उसे केवल आधी ऊष्मा खोनी है, यानी 1750 K के बजाय 875 K का ठंडा होना; और $16/2=8$। 875 K पर छड़ को 300 K के कमरे से जितना विकिरण मिलता है, वह उसके उत्सर्जित विकिरण का केवल $(300/875{)}^4\approx 1.4\%$ है, इसलिए उसे नज़रअंदाज़ करना उचित है।

वास्तव में टंगस्टन की उत्सर्जकता लगभग 1000 K के आसपास लगभग 0.1 तक गिर जाती है, इसलिए लाल चरण और लंबा चलता है। कुछ सौवें मिलीमीटर मोटे किसी लैंप के तंतु का $\tau$ दर्जनों गुना छोटा होता है, क्योंकि $\tau$, $d$ के समानुपाती है, और वह एक सेकंड से भी कम में बुझ जाता है।

वैधता की सीमाएँ

प्लांक नियम उस विकिरण का वर्णन करता है जो एक ही तापमान पर पदार्थ के साथ ऊष्मीय साम्य में है। वास्तविक सतहें कम उत्सर्जित करती हैं, $\epsilon (\lambda )B_{\lambda }$, जहाँ उत्सर्जकता 0 और 1 के बीच है और तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करती है। टंगस्टन की उत्सर्जकता दृश्य में अवरक्त से अधिक है, इसलिए उसका प्रकाश धातु के वास्तविक तापमान से कुछ अधिक गर्म दिखता है। विरल गैस केवल संकीर्ण वर्णक्रम-रेखाएँ उत्सर्जित और अवशोषित करती है, और सूर्य का स्पेक्ट्रम लगभग कृष्णिका जैसा सतत है जिस पर गहरी अवशोषण-रेखाएँ हैं। लेज़र, एलईडी और सोडियम लैंप बिल्कुल भी ऊष्मीय स्रोत नहीं हैं।

शास्त्रीय नियम सीमाओं के रूप में बचे रहते हैं: $hf\gg kT$ के लिए वीन का घातांकीय रूप, और $hf\ll kT$ के लिए रेले–जींस। रेडियो खगोलशास्त्र दूसरी सीमा में रहता है: 3 K पर भी 1 GHz संकेत का $hf/kT\approx 0.016$ है। यह नियम यह भी मानता है कि पिंड और अंतराल ऊष्मीय तरंगदैर्घ्य से कहीं बड़े हों, यानी उस तरंगदैर्घ्य से जो शिखर के पास है, और कमरे के तापमान पर यह लगभग 10 µm है। उससे कहीं छोटा धूल-कण $\sigma T^4$ से कम प्रति इकाई क्षेत्र विकिरण करता है, जबकि एक माइक्रोमीटर के अंश जितनी दूरी पर स्थित दो सतहें दो कृष्णिकाओं की तुलना में कहीं तेज़ी से ऊष्मा का आदान-प्रदान कर सकती हैं, उस अंतराल को लाँघने वाली क्षीण तरंगों के माध्यम से।

अपनी वैधता के भीतर यह नियम असाधारण रूप से सटीक है। ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि, जो गर्म आरंभिक ब्रह्मांड की बची हुई चमक है, 2.725 K के प्लांक वक्र का अनुसरण करती है, जिसका शिखर लगभग 1.06 mm पर है, और यह मेल अपने शिखर के लगभग 50 ppm के भीतर तक है।

इसके बाद क्या आता है

प्लांक ने क्वांटीकरण को उत्सर्जकों का गुण माना; आइंस्टाइन के प्रकाश-क्वांटा ने इसे प्रकाश का अपना गुण मान लिया, और प्रकाश-विद्युत प्रभाव वह जगह है जहाँ आप इन्हें आगे मिलेंगे। असतत ऊर्जा-स्तर और उनकी वर्णक्रम-रेखाएँ परमाणु मॉडल: बोर परमाणु का विषय हैं, और फ़ोटॉन की द्वैत प्रकृति तरंग-कण द्वैतता में फिर लौटती है। बिना ऊष्मा के, अर्धचालक के बैंड-गैप को पार करके उत्पन्न होने वाला प्रकाश अर्धचालक, डायोड और एलईडी में आता है। ऊर्जा-समविभाजन की विफलता गैसों के अणुगति सिद्धांत से जुड़ती है, और विकिरण की वह एन्ट्रॉपी, जिसने 1900 में प्लांक का मार्गदर्शन किया, ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी से जुड़ती है।