Rayonnement du corps noir et quanta

Débutant

Regardez un feu de camp quand les flammes retombent : les braises rougeoient en orange, et un charbon attisé par le vent passe au jaune. Un potier juge la chaleur de son four à la couleur qui règne à l'intérieur. Les objets chauds brillent, et leur couleur dit à quel point ils sont chauds.

Étape 1. Tout objet émet ce rayonnement thermique, même vous et une tasse de thé. Aux températures ordinaires, il est entièrement infrarouge, invisible pour nos yeux ; les caméras thermiques en font des images. Ce n'est qu'au-dessus d'environ 800 K (près de 500 °C) qu'apparaît une faible lueur rouge.

Étape 2. Quand un objet chauffe, deux choses changent. Il émet bien plus d'énergie : doublez sa température en kelvins et il rayonne 16 fois plus. Et sa couleur évolue : rouge sombre, orange, jaune, puis blanc. Les étoiles les plus chaudes paraissent blanc bleuté, les plus froides rouges.

Étape 3. La lueur est un mélange de nombreuses longueurs d'onde. Dans l'animation, la courbe violette montre comment la lumière se répartit entre elles. Quand on tourne le bouton, la bosse glisse vers la bande arc-en-ciel de la lumière visible et les rayons dorés grandissent vite. Même chauffée à blanc, l'essentiel de la courbe reste dans l'infrarouge : voilà pourquoi les ampoules à filament gaspillaient tant d'énergie en chaleur.

Étape 4. Vers 1900, la meilleure théorie de la lumière prédisait une courbe fausse : un objet chaud aurait dû déverser sans fin de la lumière violette et ultraviolette. Max Planck a tout réparé par une idée audacieuse : la lumière est émise par petits paquets d'énergie, et un paquet de lumière bleue contient plus d'énergie qu'un paquet de rouge. Un objet tiède peut rarement fournir les gros paquets bleus, si bien que sa lueur s'éteint du côté bleu.

Vérifiez : une étoile paraît orange, une autre blanc bleuté. Laquelle est la plus chaude ? (La blanc bleuté.)

Intermédiaire

Ce qu'est un corps noir

Tout corps rayonne du simple fait qu'il est chaud : ses particules chargées sont sans cesse en mouvement sous l'effet de l'agitation thermique, et des charges accélérées émettent des ondes électromagnétiques. Près de la température ambiante, ce rayonnement thermique est presque entièrement infrarouge, autour de 10 µm ; ce n'est qu'au-dessus d'environ 800 K qu'une part suffisante atteint le domaine visible pour donner une faible lueur rouge sombre.

Un corps noir absorbe tout le rayonnement qui l'atteint, à toutes les longueurs d'onde ; la lumière qu'il émet ne dépend donc que de sa température $T$, et non de sa matière ni de sa forme. La meilleure réalisation en laboratoire est un petit trou percé dans un four fermé : la lumière qui y entre est absorbée après avoir rebondi à l'intérieur, si bien que le trou paraît noir à froid et brille avec le spectre thermique pur à chaud. Les étoiles et les braises incandescentes s'en approchent, et l'animation traite sa barre comme un corps noir.

Une surface réelle n'émet qu'une fraction $\epsilon$, son émissivité, du rayonnement d'un corps noir à la même température. D'après la loi de Kirchhoff, cette fraction est aussi celle du rayonnement incident qu'elle absorbe : les bons absorbeurs sont de bons émetteurs. La suie a $\epsilon \approx 0,95$, l'argent poli environ 0,02.

Deux lois : le pic et la puissance totale

La loi du déplacement de Wien donne la longueur d'onde où le spectre culmine :
${\lambda }_{\max }T=b=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$
Doublez $T$ et ${\lambda }_{\max }$ est divisée par deux. Avec $b=2,898\times 10^6\mathrm{nm}\cdot \mathrm{K}$, une personne à 310 K culmine près de 9300 nm, en plein infrarouge, tandis que le Soleil, dont le spectre culmine près de 500 nm, doit avoir une température de surface d'environ 5800 K : la loi de Wien est un thermomètre qui fonctionne à n'importe quelle distance.

La loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance totale rayonnée, toutes longueurs d'onde confondues, par une surface d'aire $A$ :
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
$\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$
Un corps noir, avec $\epsilon =1$, rayonne $\sigma T^4$ par mètre carré. Doubler $T$ multiplie cette puissance par $2^4=16$, et la barre de l'animation, chauffée de 300 K à 3500 K, finit par rayonner $(3500/300{)}^4\approx 18500$ fois plus.

Un corps absorbe aussi le rayonnement de son environnement ; si celui-ci est à la température $T_{\mathrm{env}}$, la puissance nette qu'il perd vaut
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)$
Quand les deux températures sont égales, le corps et son environnement continuent de rayonner, mais le flux net est nul : c'est l'équilibre thermique.

Les quanta de Planck : pourquoi le côté bleu s'éteint

Vers 1900, la théorie admise prédisait un rayonnement croissant sans limite vers les courtes longueurs d'onde : tout objet chaud aurait déversé de la lumière ultraviolette. Max Planck a expliqué la courbe mesurée en supposant que la matière n'échange de l'énergie avec un rayonnement de fréquence $f$ que par quanta entiers :
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
où $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ est la constante de Planck. Avec $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, un photon rouge de 620 nm porte 2,0 eV et un photon violet de 413 nm, 3,0 eV.

Chaque vibration de la matière chaude possède une énergie thermique de l'ordre de $kT$, où $k=1,381\times 10^{-23}J/K$ est la constante de Boltzmann : 0,30 eV à 3500 K. Un quantum très supérieur à $kT$ est rarement émis, sa probabilité décroissant à peu près comme $e^{-hf/kT}$. Du côté des grandes longueurs d'onde, on retrouve donc l'ancienne théorie, tandis que du côté des courtes, les quanta deviennent trop coûteux et la courbe s'effondre ; le pic se situe là où $hf\approx 5kT$.

Exemple résolu : la barre de l'animation

À la fin de l'animation, la barre est à $T=3500\mathrm{K}$. Les deux lois donnent
${\lambda }_{\max }=\frac{b}{T}=\frac{2,898\times 10^{-3}}{3500}=8,28\times 10^{-7}\mathrm{m}=828\mathrm{nm}$
$\sigma T^4=5,67\times 10^{-8}\cdot 3500^4\approx 8,51\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^2$

Ce sont les valeurs finales des affichages ${\lambda }_{\max }$ et $\sigma T^4$, 828 nm et 8509 kW/m² : chaque centimètre carré rayonne environ 850 W. Le pic se trouve juste au-delà de l'extrémité rouge du domaine visible, qui est à 750 nm ; la ligne bleue en tirets se place donc juste à droite de la bande arc-en-ciel, et seulement 18 % environ de la puissance est de la lumière visible.

À 1750 K, la moitié de cette température, le pic était deux fois plus loin, à 1656 nm, et la puissance 16 fois plus faible. Au départ, à 300 K, le pic se trouvait à 9659 nm, très loin hors de l'axe. Les rayons dorés, dont la longueur croît comme $T^4$, n'apparaissent qu'à 2000 K, quand la puissance vaut encore 11 % de sa valeur finale. La pièce à 300 K ne renvoie que $\sigma \cdot 300^4\approx 0,46kW/{\mathrm{m}}^2$, négligeable pour la barre incandescente.

Exemple résolu : le Soleil et la Terre

Au-dessus de l'atmosphère, la lumière du Soleil apporte 1361 W/m². Cette puissance a quitté la surface du Soleil, de rayon $R=6,96\times 10^8\mathrm{m}$, et s'est répartie sur une sphère de rayon $d=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$ ; à la surface, le flux était donc $(d/R{)}^2\approx 46200$ fois plus grand :
$\sigma T^4=1361\cdot 46200\approx 6,29\times 10^{7}W/{\mathrm{m}}^2$
$T={\left(\frac{6,29\times 10^7}{5,67\times 10^{-8}}\right)}^{1/4}\approx 5770\mathrm{K}$
valeur proche des 5800 K que la loi de Wien a donnés à partir du pic à 500 nm : la puissance totale et la forme du spectre concordent.

La Terre intercepte la lumière du Soleil sur sa section droite $\pi R_E^2$ et en réfléchit environ 30 %, mais elle rayonne par toute sa surface, $4\pi R_E^2$. À l'équilibre,
$\sigma T_E^4=\frac{0,70\cdot 1361}{4}\approx 238W/{\mathrm{m}}^2\Rightarrow T_E\approx 255\mathrm{K}$
soit −18 °C, avec un pic près de $b/T_E\approx 11\mu \mathrm{m}$. La moyenne mesurée est d'environ 288 K : les 33 K d'écart sont l'effet de serre, la vapeur d'eau et le dioxyde de carbone absorbant une partie de cet infrarouge pour le renvoyer vers le sol.

Lire le spectre et les couleurs

La courbe violette représente $B_{\lambda }$, la puissance rayonnée par unité de longueur d'onde, en fonction de $\lambda$ ; l'aire sous la courbe est la puissance totale. Ici, son pic est toujours tracé à la même hauteur (« pic ramené à 1 »), si bien que la courbe montre où se trouve la lumière, tandis que l'affichage de $\sigma T^4$ dit combien il y en a. Elle est dissymétrique, tombant brutalement du côté des courtes longueurs d'onde et traînant une longue queue infrarouge : à toute température, un quart seulement de la puissance se situe en dessous de ${\lambda }_{\max }$.

La couleur vient de toute la tranche visible, de 380 à 750 nm. À 1000 K, seule l'extrême queue rouge l'atteint : rouge sombre. L'orange et le jaune s'y ajoutent quand $T$ monte, et vers 5000 à 6000 K la tranche est presque plate et paraît blanche ; les étoiles plus chaudes paraissent blanc bleuté. Aucun corps noir ne paraît vert : quand le pic tombe dans le vert, la courbe est si large que le mélange est blanc.

Erreurs fréquentes

• « Chauffé au rouge » est la lueur visible la plus froide, non la plus chaude : les étoiles rouges sont vers 3000 K, le Soleil à 5800 K, les étoiles blanc bleuté à 10 000 K ou plus.
• Le pic n'est pas la couleur : la barre à 3500 K culmine dans l'infrarouge, à 828 nm, et pourtant elle est chauffée à blanc.
• Les corps froids rayonnent aussi : un mur à 300 K émet environ 460 W par mètre carré, mais il absorbe à peu près autant de son environnement.
• Un corps plus chaud est plus brillant à toutes les longueurs d'onde, rouge compris : à 3500 K, la barre émet 4600 fois plus à 650 nm qu'à 1500 K, et 195 000 fois plus à 450 nm.
• Utilisez les kelvins : chauffer une plaque de 20 °C à 40 °C multiplie son rayonnement par $(313/293{)}^4\approx 1,30$, soit une hausse de 30 %, et non par 16.

Où on le rencontre

Les caméras thermiques et les thermomètres auriculaires lisent l'infrarouge, et les astronomes déduisent la température des étoiles de leur couleur. Les lampes à filament de 2700 à 3000 K ne mettent qu'environ 7 à 11 % de leur puissance dans la lumière visible, ce qui explique pourquoi les LED les ont remplacées. Les quanta de Planck mènent ensuite aux leçons Effet photoélectrique et Modèles atomiques : l'atome de Bohr.

Avancé

Le rayonnement dans une boîte : compter les modes

Tout corps rayonne, et la couleur de sa lueur dépend de sa température. Pour trouver le spectre à partir des principes premiers, prenons l'objet rayonnant le plus simple : une cavité fermée dont les parois sont maintenues à la température $T$. Le rayonnement qui s'y trouve atteint l'équilibre avec les parois, et son spectre ne peut pas dépendre de leur matière. Sinon, deux cavités à la même température, reliées par un filtre qui ne laisse passer qu'une seule couleur, échangeraient de l'énergie dans cette couleur, et la chaleur irait d'un corps à un autre à température égale, ce que le second principe interdit. Le rayonnement est donc universel, et nous pouvons étudier la cavité la plus facile : un cube de côté $L$ à parois réfléchissantes. Classiquement, le champ intérieur est une somme d'ondes stationnaires, et la première tâche est de les compter.

Légende

$n_x$	Nombre entier de demi-longueurs d'onde d'une onde stationnaire selon $x$.
$n_y$	Nombre entier de demi-longueurs d'onde selon $y$.
$n_z$	Nombre entier de demi-longueurs d'onde selon $z$.
$R$	Distance du point d'un mode à l'origine, $\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ ; les modes plus longs que $\lambda$ ont $R<2L/\lambda$.
$dR$	Épaisseur de la coque qui contient les modes entre $\lambda$ et $\lambda +d\lambda$ : $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$.

La figure 1 est l'outil de dénombrement. Une onde stationnaire doit tenir dans le cube selon chaque axe : selon $x$, exactement $n_x$ demi-longueurs d'onde entrent dans $L$, et de même $n_y$ selon $y$ et $n_z$ selon $z$, chacun étant un entier positif. Chaque mode est donc un triplet $(n_x,n_y,n_z)$, c'est-à-dire un point d'un réseau de pas 1 dans l'espace des axes $n_x$, $n_y$, $n_z$. Chaque point du réseau occupe un cube unité de cet espace, de sorte que compter les modes revient à mesurer un volume.

La longueur d'onde d'un mode est fixée par la distance de son point à l'origine. Mesurée le long de l'axe $x$, l'onde se répète tous les $2L/n_x$, et de même selon $y$ et $z$. Les inverses de ces trois longueurs d'onde axiales se composent comme les composantes d'un vecteur, ce qui donne
$\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{4L^2}\Rightarrow \lambda =\frac{2L}{R}$
où $R=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ est cette distance. Les points éloignés de l'origine sont des ondes courtes.

Comptons maintenant. Les modes de longueur d'onde supérieure à $\lambda$ sont les points plus proches de l'origine que $R=2L/\lambda$. Comme les trois nombres sont positifs, ces points remplissent un huitième de boule, l'octant dessiné en bleu sur la figure 1. Son volume est $\frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3$, et chaque point représente deux modes, car la lumière est une onde transversale dont le champ électrique peut osciller dans deux directions indépendantes (deux polarisations). Le nombre de modes de longueur d'onde supérieure à $\lambda$ est donc
$N=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3=\frac{8\pi L^3}{3{\lambda }^3}$

Le spectre exige le nombre de modes dans une bande étroite de longueurs d'onde. Allonger la longueur d'onde de $\lambda$ à $\lambda +d\lambda$ réduit $R=2L/\lambda$ de $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$ ; ces modes se trouvent donc dans la coque dorée d'épaisseur $dR$, juste à l'intérieur de la surface bleue. Le volume de la coque est $\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR$ ; avec deux polarisations, elle contient $8\pi L^{3}d\lambda /{\lambda }^4$ modes. En divisant par le volume $L^3$ du cube et par $d\lambda$, on obtient le nombre de modes par unité de volume et par unité de longueur d'onde :
$n(\lambda )=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}$
La taille de la boîte a disparu, comme il se doit. La forte pente en $1/{\lambda }^4$ commande tout ce qui suit : dans un espace donné, les ondes courtes tiennent en nombre bien plus grand que les ondes longues.

Équipartition et catastrophe ultraviolette

La physique classique dit aussi quelle énergie porte chaque mode. Le champ d'une onde stationnaire oscille dans le temps exactement comme une masse au bout d'un ressort, son énergie passant du champ électrique au champ magnétique et inversement. L'équipartition de l'énergie donne à un tel oscillateur, à l'équilibre à la température $T$, l'énergie moyenne $kT$, où $k$ est la constante de Boltzmann : $\frac{1}{2}kT$ pour chacun de ses deux termes d'énergie quadratiques. L'énergie par unité de volume et par unité de longueur d'onde est alors $u_{\lambda }=n(\lambda )kT=8\pi kT/{\lambda }^4$.

Ce que reçoit un détecteur ou un œil, c'est la luminance énergétique $B_{\lambda }$ : la puissance qui quitte une surface par unité d'aire, par unité d'angle solide et par unité de longueur d'onde. Un rayonnement de densité d'énergie $u_{\lambda }$ se propage à la vitesse de la lumière $c$, réparti uniformément dans les $4\pi$ stéradians de directions, d'où $B_{\lambda }=c{u}_{\lambda }/(4\pi )$, et
$B_{\lambda }^{\mathrm{RJ}}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$
C'est la loi de Rayleigh-Jeans. Elle s'accorde avec les mesures aux grandes longueurs d'onde, mais elle croît sans limite quand $\lambda \to 0$, si bien que l'énergie totale ${\int }_0^{\infty }{u}_{\lambda }d\lambda$ est infinie. Toute cavité contiendrait une énergie infinie, entassée dans les ondes les plus courtes : c'est la catastrophe ultraviolette.

La courbe en tirets de l'animation de la vue experte est cette loi à 3500 K. Au bord droit du graphique, à 3000 nm, elle vaut déjà 2,1 fois la courbe de Planck ; au pic de 828 nm, elle est 29 fois trop haute ; elle ne s'en rapproche à 11 % près qu'au-delà d'environ 20 µm. L'échec n'est pas un détail du modèle. Le dénombrement des modes est de la géométrie solide ; c'est l'équipartition elle-même qui échoue. Le même échec se retrouve dans les capacités thermiques des gaz, où des vibrations moléculaires que l'équipartition devrait faire participer à la chaleur restent gelées à basse température.

Les oscillateurs quantifiés de Planck

En 1900, Planck a trouvé la sortie. Il a gardé le dénombrement des modes et changé une seule hypothèse : un oscillateur ne peut pas contenir n'importe quelle énergie, seulement des multiples entiers d'un pas fixe.

Légende

$E$	Énergie de l'oscillateur.	$\mathrm{J}$
$hf$	Écart entre les niveaux d'énergie : un quantum d'un oscillateur de fréquence $f$.	$\mathrm{J}$
$e^{-nx}$	Poids de Boltzmann du niveau $n$, avec $x=hf/kT$ : chaque niveau pèse $e^{-x}$ fois celui du dessous.
$f$	Fréquence de l'oscillateur, c'est-à-dire du mode.	$\mathrm{Hz}$
$kT$	Énergie moyenne d'un oscillateur selon l'équipartition classique ; la droite en tirets.	$\mathrm{J}$
$kT/h$	La fréquence pour laquelle un pas $hf$ vaut $kT$.	$\mathrm{Hz}$
$\bar{E}$	Énergie moyenne de l'oscillateur quantifié, $hf/(e^{hf/kT}-1)$.	$\mathrm{J}$

La moitié gauche de la figure 2 dessine cette règle sous forme d'échelle. Un oscillateur de fréquence $f$ ne peut avoir que les énergies $E_n=nhf$, avec $n=0,1,2,\dots$ ; les échelons sont séparés d'un pas $hf$, où $h$ est une nouvelle constante de la nature, la constante de Planck. À la température $T$, la physique statistique pondère l'échelon $n$ par son facteur de Boltzmann $e^{-E_n/kT}=e^{-nx}$, avec la notation abrégée $x=hf/kT$ : la taille d'un pas mesurée en unités de $kT$. Les barres vertes montrent ces poids pour $hf=kT$, c'est-à-dire $x=1$. Chaque barre vaut $e^{-1}\approx 0,37$ fois la précédente, de sorte que la plupart des oscillateurs occupent les échelons les plus bas.

L'énergie moyenne est la moyenne pondérée des échelons. Les poids forment une série géométrique de raison $e^{-x}$,
${\sum }_{n=0}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}$
et la somme pondérée par l'énergie vaut $hf$ fois l'opposé de la dérivée de cette série par rapport à $x$ :
${\sum }_{n=0}^{\infty }nhf{e}^{-nx}=\frac{hf{e}^{-x}}{(1-e^{-x}{)}^2}$
En divisant la deuxième somme par la première, on obtient l'énergie moyenne :
$\bar{E}=\frac{hf{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

La courbe violette à droite de la figure 2 est cet $\bar{E}$, tracé en fonction de la fréquence $f$ ; la droite en tirets est la valeur classique $kT$. Suivez la courbe de gauche à droite. Quand le pas est petit, $hf\ll kT$, l'approximation $e^x\approx 1+x$ donne $\bar{E}\approx kT$, donc la courbe part de la droite classique : les basses fréquences, c'est-à-dire les grandes longueurs d'onde, obéissent encore à l'équipartition. Au point repéré $f=kT/h$, un pas coûte exactement $kT$, et la courbe est déjà tombée à $kT/(e-1)\approx 0,58kT$. Quand $hf\gg kT$, $\bar{E}\approx hf{e}^{-hf/kT}$ est exponentiellement petite. Même le premier échelon est alors trop cher, presque tous les oscillateurs restent sur l'échelon 0, et les modes de courte longueur d'onde sont gelés. Leur nombre énorme ne compte plus, et la catastrophe a disparu.

En remplaçant $kT$ par $\bar{E}$, avec $f=c/\lambda$, la loi de Rayleigh-Jeans devient la loi de Planck :
$B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$
Planck l'a ajustée sur les mesures précises faites à Berlin en 1900 et a obtenu pour $h$ et $k$ des valeurs à quelques pour cent près de celles d'aujourd'hui, $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ et $k=1,381\times 10^{-23}J/K$.

Photons et coefficients d'Einstein

Planck a quantifié les oscillateurs qui émettent la lumière. En 1905, Einstein est allé plus loin et a proposé que la lumière elle-même vienne en quanta d'énergie $hf$, appelés plus tard photons. En 1917, il a retrouvé la loi de Planck à partir des seuls échanges de photons entre atomes et rayonnement, et il a découvert au passage un processus que personne n'avait soupçonné.

Légende

$N_1$	Nombre d'atomes dans le niveau inférieur.
$N_2$	Nombre d'atomes dans le niveau supérieur.
$hf$	Écart entre les niveaux, égal à l'énergie de chaque photon dessiné.	$\mathrm{J}$
$B_{12}{u}_f$	Taux auquel un atome du niveau inférieur absorbe un photon ; $u_f$ est la densité d'énergie du rayonnement par unité de fréquence.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$A_{21}$	Taux auquel un atome excité émet un photon spontanément.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$B_{21}{u}_f$	Taux auquel un atome excité est stimulé à émettre par le rayonnement.	${\mathrm{s}}^{-1}$

La figure 3 montre des atomes à deux niveaux d'énergie séparés de $hf$, baignés dans un rayonnement dont la densité spectrale d'énergie, c'est-à-dire l'énergie par unité de volume et par unité de fréquence, est $u_f$. Il y a $N_1$ atomes dans le niveau inférieur et $N_2$ dans le niveau supérieur. Chaque panneau est un processus : le point plein marque le départ de l'atome, le cercle vide son arrivée, la flèche droite son saut, et les flèches ondulées sont des photons d'énergie $hf$.

À gauche, l'absorption : un photon disparaît et l'atome saute vers le haut. Un atome du niveau inférieur le fait au taux $B_{12}{u}_f$, proportionnel à la quantité de rayonnement présent. Au milieu, l'émission spontanée : un atome excité retombe de lui-même, au taux $A_{21}$, et émet un photon dans une direction aléatoire. À droite, l'émission stimulée : un photon qui passe fait retomber un atome excité, au taux $B_{21}{u}_f$. Un photon entre et deux sortent.

À l'équilibre, le nombre de sauts vers le haut par seconde est égal au nombre de sauts vers le bas, et les populations suivent la loi de Boltzmann, $N_2/N_1=e^{-hf/kT}$. En divisant le bilan par $N_2$ et en regroupant les termes en $u_f$, on obtient
$N_1{B}_{12}{u}_f=N_2(A_{21}+B_{21}{u}_f)\Rightarrow u_f=\frac{A_{21}}{B_{12}{e}^{hf/kT}-B_{21}}$

Comparons avec la loi de Planck écrite par unité de fréquence, $u_f=(8\pi h{f}^3/c^3)/(e^{hf/kT}-1)$. Quand $T\to \infty$, $e^{hf/kT}\to 1$ et le $u_f$ de Planck croît sans limite, donc le dénominateur ci-dessus doit s'annuler en ce point : $B_{12}=B_{21}$. Ce qui reste ne coïncide alors que si $A_{21}/B_{21}=8\pi h{f}^3/c^3$. L'absorption et l'émission stimulée sont également fortes, et elles fixent le taux d'émission spontanée.

L'émission stimulée est indispensable. Sans elle, le bilan donnerait $u_f=A_{21}/(B_{12}{e}^{hf/kT})$, la forme exponentielle de Wien, qui échoue aux grandes longueurs d'onde. Le photon stimulé est une copie exacte de celui qui l'a déclenché, avec la même fréquence, la même direction et la même phase : c'est le principe du laser.

Pourquoi, alors, un laser est-il difficile à réaliser ? Le rapport de l'émission stimulée à l'émission spontanée, $B_{21}{u}_f/A_{21}$, vaut $1/(e^{hf/kT}-1)$, le nombre moyen de photons par mode. Pour la barre incandescente de l'animation, à 3500 K et à son pic de 828 nm, il n'est que de 0,007 : presque toute la lumière d'un corps chaud est spontanée. Un laser exige donc une inversion de population, $N_2>N_1$, qu'aucun corps à l'équilibre thermique ne peut fournir. En 1924, Bose a retrouvé toute la loi en comptant les photons comme des particules indiscernables, point de départ de la statistique de Bose-Einstein.

Les lois de Wien et de Stefan déduites de Planck

Deux règles du rayonnement thermique étaient connues avant Planck : la longueur d'onde du pic diminue comme $1/T$, et la puissance totale croît comme $T^4$. Toutes deux découlent maintenant de la formule de Planck, avec des constantes construites à partir de $h$, $c$ et $k$.

D'abord le pic. Utilisons la variable sans dimension $x=hc/\lambda kT$, l'énergie du photon $hc/\lambda$ exprimée en unités de $kT$. En substituant $\lambda =hc/(xkT)$, on obtient
$B_{\lambda }=\frac{2k^5{T}^5}{h^4{c}^3}\frac{x^5}{e^x-1}$
donc, à $T$ fixée, le pic se trouve là où $x^5/(e^x-1)$ est maximal. En annulant sa dérivée, on obtient $5x^4(e^x-1)=x^5{e}^x$, soit $x=5(1-e^{-x})$. Partons de l'estimation $x=5$ et reportons-la dans le membre de droite : on trouve 4,966, et un tour de plus se stabilise sur la racine $x=4,965$. D'où

${\lambda }_{\max }T=\frac{hc}{4,965k}=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$

La constante de Wien n'est pas une nouvelle constante de la nature, mais une combinaison de $h$, $c$ et $k$.

Ensuite la puissance totale. La puissance qui quitte l'unité d'aire de la surface, $M$, vaut $\pi$ fois l'intégrale de $B_{\lambda }$ sur toutes les longueurs d'onde. Le facteur est $\pi$ et non $2\pi$ parce que la luminance est sommée sur toutes les directions de l'hémisphère, chacune pondérée par le cosinus de son angle avec la normale : une surface vue de biais paraît plus petite. Le changement de variable vers $x$, avec $d\lambda =-hcdx/(x^{2}kT)$, transforme l'intégrale en un nombre pur multiplié par $T^4$, et ${\int }_0^{\infty }{x}^3/(e^x-1)dx={\pi }^4/15$ :
$M=\pi {\int }_0^{\infty }{B}_{\lambda }d\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$
$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$
ce qui donne la constante de Stefan-Boltzmann $\sigma =5,670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$.

La puissance quatre a une lecture simple. Les modes dont $hf$ va jusqu'à quelques $kT$ sont actifs et les autres sont gelés, donc les modes actifs montent jusqu'à une fréquence proportionnelle à $T$. Leur nombre par unité de volume croît comme le cube de cette fréquence, donc comme $T^3$, et chacun porte une énergie de l'ordre de $kT$ : la densité d'énergie, et avec elle la puissance émise, croît comme $T^4$.

Les deux lois ont été trouvées avant Planck. Stefan a lu la puissance quatre dans des mesures en 1879 ; Boltzmann l'a déduite en 1884 de la thermodynamique et de la pression de radiation $u/3$, où $u$ est la densité d'énergie ; et en 1893, Wien a montré que la thermodynamique impose la forme $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$, avec une certaine fonction $g$ de la seule variable $\lambda T$. La thermodynamique ne pouvait pas trouver $g$ ; il a fallu pour cela le quantum.

Lire la famille des courbes de Planck

La loi d'échelle $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ est ce que l'animation de la vue experte montre quand la barre chauffe. Toutes les courbes ont la même forme, comprimée horizontalement d'un facteur $1/T$ et étirée verticalement d'un facteur $T^5$. De 2000 K à 3500 K, soit un facteur 1,75 en température, le pic passe de 1449 nm à 828 nm et monte de $1,75^5\approx 16,4$ fois, tandis que l'aire sous la courbe, la puissance totale, ne croît que de $1,75^4\approx 9,4$ fois, de 907 à 8509 kW/m². La hauteur croît plus vite que l'aire parce que la courbe devient aussi plus étroite.

Quand la barre chauffe, la courbe violette monte au-dessus des courbes grises qu'elle laisse derrière elle et passe au-dessus de chacune d'elles à toutes les longueurs d'onde, parce que $1/(e^{hc/\lambda kT}-1)$ croît avec $T$ à toute longueur d'onde : un corps plus chaud est plus brillant dans toutes les couleurs. Le petit graphique est la quartique $\sigma T^4$. Elle n'atteint la moitié de sa valeur finale qu'à $3500/2^{1/4}\approx 2943\mathrm{K}$, après plus des quatre cinquièmes de l'élévation de température.

Une mise en garde sur les pics. $B_{\lambda }$ est une densité par unité de longueur d'onde. Tracé par unité de fréquence, le même rayonnement culmine là où $x=3(1-e^{-x})$, en $x=2,821$, ce qui correspond à 1457 nm à 3500 K, et non à 828 nm. Les pics diffèrent parce que des pas égaux de longueur d'onde ne sont pas des pas égaux de fréquence : $|df|=cd\lambda /{\lambda }^2$, donc passer d'une densité à l'autre la multiplie par un facteur qui dépend de $\lambda$, et le maximum se déplace. Pour le Soleil, les deux pics sont à 502 nm et 883 nm. La puissance dans une bande donnée est la même dans les deux tracés ; seule la position du maximum d'une densité dépend de la variable choisie. « Le Soleil culmine dans le vert » décrit un graphique, pas la lumière.

Problème résolu : le refroidissement d'une tige

La loi de Planck nous dit aussi à quelle vitesse un corps chaud refroidit quand seul le rayonnement évacue sa chaleur. Coupons le courant quand la barre est à $T_0=3500\mathrm{K}$. Modélisons-la par une tige de tungstène de diamètre $d=1,0\mathrm{mm}$ dans le vide, comme dans une ampoule, de sorte que le rayonnement soit la seule issue pour la chaleur. Prenons la masse volumique $\rho =19300kg/{\mathrm{m}}^3$, une capacité thermique massique moyenne $c_p=170J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ et une émissivité moyenne $\epsilon =0,30$, la fraction de la puissance du corps noir $\sigma T^4$ qu'émet la surface réelle. Combien de temps la tige met-elle pour atteindre 1750 K, où elle rayonne $2^4=16$ fois moins ?

Écrivons un bilan d'énergie pour un tronçon de longueur $\ell$, loin des extrémités. Sa chaleur varie au taux $m{c}_{p}dT/dt$, avec la masse $m=\rho \pi d^2\ell /4$, et il perd $\epsilon \sigma T^4$ par mètre carré de sa surface $\pi d\ell$. En divisant les deux par la surface, on obtient, par unité d'aire,
$\frac{\rho d{c}_p}{4}\frac{dT}{dt}=-\epsilon \sigma T^4$
La longueur a disparu ; seul compte le rapport du volume à la surface, $d/4$. Séparons les variables, $-dT/T^4=4\epsilon \sigma dt/(\rho d{c}_p)$, et intégrons à partir de $T_0$, la valeur à $t=0$. Comme l'intégrale de $-T^{-4}$ vaut $\frac{1}{3}{T}^{-3}$,
$\frac{1}{T^3}-\frac{1}{T_0^3}=\frac{12\epsilon \sigma }{\rho d{c}_p}t\Rightarrow T=\frac{T_0}{(1+t/\tau {)}^{1/3}}$
avec la constante de temps $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)\approx 0,375\mathrm{s}$.

La courbe de refroidissement

La solution a une forme qui mérite d'être retenue : un début rapide et une très longue queue.

Légende

$T$	Température de la tige.	$\mathrm{K}$
$t$	Temps écoulé depuis la coupure du courant.	$\mathrm{s}$
$T_0$	Température initiale.	$\mathrm{K}$
$T_0/2$	La moitié de la température initiale.	$\mathrm{K}$
$T_0/4$	Le quart de la température initiale.	$\mathrm{K}$
$\tau$	Constante de temps de la tige, $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)$.	$\mathrm{s}$

La figure 4 trace cette solution, la température $T$ en fonction du temps $t$. La courbe quitte $T_0$ presque à la verticale, puis s'aplatit en une longue queue. Les points marquent les deux divisions par deux de la température. $T=T_0/2$ quand $(1+t/\tau {)}^{1/3}=2$, donc $1+t/\tau =8$ et $t=7\tau$ ; $T=T_0/4$ quand $1+t/\tau =64$, à $t=63\tau$. Les barres dorées sous l'axe du temps montrent les deux intervalles : $7\tau$ pour la première division et $63\tau -7\tau =56\tau$ pour la seconde, huit fois plus long.

Passons aux chiffres. La dérivée de $T$ en $t=0$ donne la vitesse de refroidissement initiale $T_0/(3\tau )\approx 3100K/s$, le début abrupt de la courbe. La première division par deux, $7\tau \approx 2,6\mathrm{s}$, fait passer la barre du blanc incandescent à une lueur jaune-orangé à 1750 K. La suivante, jusqu'à 875 K, où le rouge sombre a presque disparu, dure huit fois plus, environ 21 s. La raison : à chaque étape de la seconde division, la barre est à la moitié de la température de l'étape correspondante de la première, donc elle rayonne $2^4=16$ fois plus lentement, alors qu'elle n'a que la moitié de la chaleur à perdre, 875 K de refroidissement au lieu de 1750 K ; et $16/2=8$. Le rayonnement qu'elle reçoit d'une pièce à 300 K vaut $(300/875{)}^4\approx 1,4\%$ de ce qu'elle émet, même à 875 K : l'ignorer est légitime.

En réalité, l'émissivité du tungstène tombe à environ 0,1 vers 1000 K, de sorte que la phase rouge dure encore plus longtemps. Un filament de lampe de quelques centièmes de millimètre d'épaisseur a un $\tau$ plusieurs dizaines de fois plus court, puisque $\tau$ est proportionnel à $d$, et s'éteint en une fraction de seconde.

Limites de validité

La loi de Planck décrit un rayonnement en équilibre thermique avec la matière à une seule température. Les surfaces réelles émettent moins, $\epsilon (\lambda )B_{\lambda }$, avec une émissivité comprise entre 0 et 1 qui dépend de la longueur d'onde. Celle du tungstène est plus élevée dans le visible que dans l'infrarouge, si bien que sa lumière paraît un peu plus chaude que le métal ne l'est. Un gaz peu dense n'émet et n'absorbe que des raies spectrales étroites, et le spectre du Soleil est celui d'un quasi-corps noir traversé de raies d'absorption sombres. Les lasers, les LED et les lampes au sodium ne sont pas du tout des sources thermiques.

Les lois classiques survivent comme limites : l'exponentielle de Wien pour $hf\gg kT$, et Rayleigh-Jeans pour $hf\ll kT$. La radioastronomie vit dans la seconde : un signal de 1 GHz a $hf/kT\approx 0,016$ même à 3 K. La loi suppose aussi des corps et des écarts beaucoup plus grands que la longueur d'onde thermique, la longueur d'onde voisine du pic d'émission, d'environ 10 µm à température ambiante. Un grain de poussière bien plus petit rayonne moins que $\sigma T^4$ par unité d'aire, tandis que deux surfaces séparées par une fraction de micromètre peuvent échanger de la chaleur bien des fois plus vite que deux corps noirs, grâce à des ondes évanescentes qui franchissent l'écart par effet tunnel.

Dans son domaine, la loi est extraordinairement exacte. Le fond diffus cosmologique, lueur résiduelle de l'Univers primordial chaud, suit une courbe de Planck à 2,725 K, avec un pic près de 1,06 mm, à environ 50 millionièmes de la valeur du pic près.

Ce qui vient ensuite

Planck a vu la quantification comme une propriété des émetteurs ; les quanta de lumière d'Einstein l'ont prise au pied de la lettre, et c'est dans la leçon Effet photoélectrique que vous les rencontrerez ensuite. Les niveaux d'énergie discrets et leurs raies spectrales sont l'objet de la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr, et la double nature du photon revient dans Dualité onde-corpuscule. La lumière produite sans chaleur, à travers une bande interdite, apparaît dans Semi-conducteurs, diodes et LED. L'échec de l'équipartition renvoie à la leçon Théorie cinétique des gaz, et l'entropie du rayonnement, qui a guidé Planck en 1900, à la leçon Le second principe de la thermodynamique et l'entropie.