Schwarzkörperstrahlung und das Quant

Einsteiger

Schau in ein Lagerfeuer, nachdem die Flammen abgeflaut sind: Die Glut glüht orange, und eine Kohle, die der Wind anfacht, wird gelb. Ein Töpfer beurteilt die Hitze eines Brennofens an der Farbe im Inneren. Heiße Dinge glühen, und ihre Farbe verrät, wie heiß sie sind.

Schritt 1. Alles gibt diese Wärmestrahlung ab, sogar du und eine Tasse Tee. Bei Alltagstemperaturen ist sie ganz Infrarot, für unsere Augen unsichtbar; Wärmebildkameras machen sie sichtbar. Erst oberhalb von etwa 800 K (ungefähr 500 °C) erscheint ein schwaches rotes Glühen.

Schritt 2. Wenn sich ein Körper erwärmt, ändern sich zwei Dinge. Er gibt weit mehr Energie ab: Verdoppelt man seine Temperatur in Kelvin, strahlt er 16-mal so viel aus. Und seine Farbe wechselt: matt rot, orange, gelb, dann weiß. Die heißesten Sterne wirken blauweiß, die kältesten rot.

Schritt 3. Das Glühen ist eine Mischung vieler Wellenlängen. In der Animation zeigt die lila Kurve, wie das Licht darauf verteilt ist. Wird der Regler aufgedreht, wandert der Buckel zum Regenbogenband des sichtbaren Lichts, und die goldenen Strahlen nehmen schnell zu. Selbst bei Weißglut liegt der größte Teil der Kurve im Infrarot; deshalb verschwendeten Glühlampen so viel Energie als Wärme.

Schritt 4. Um 1900 sagte die beste Lichttheorie die falsche Kurve voraus: Heiße Körper sollten endlos violettes und ultraviolettes Licht abgeben. Max Planck behob das mit einer kühnen Idee: Licht wird in kleinen Energiepaketen abgegeben, und ein Paket blauen Lichts trägt mehr Energie als ein Paket roten. Ein warmer Körper kann selten genug Energie für die großen blauen Pakete abgeben, daher verblasst sein Glühen auf der blauen Seite.

Kontrollfrage: Ein Stern wirkt orange, ein anderer blauweiß. Welcher ist heißer? (Der blauweiße.)

Mittelstufe

Was ein Schwarzkörper ist

Alles strahlt einfach deshalb, weil es warm ist: Seine geladenen Teilchen führen thermische Bewegungen aus, und beschleunigte Ladungen senden elektromagnetische Wellen aus. Nahe Raumtemperatur ist diese Wärmestrahlung fast ganz Infrarot, um 10 µm; erst oberhalb von etwa 800 K gelangt genug davon in den sichtbaren Bereich, um ein mattes rotes Glühen zu zeigen.

Ein Schwarzkörper absorbiert die gesamte auf ihn fallende Strahlung bei jeder Wellenlänge, daher hängt das Licht, das er abgibt, nur von seiner Temperatur $T$ ab, nicht von Material oder Form. Die beste Laborversion ist eine kleine Öffnung in einem geschlossenen Ofen: Licht, das hineingelangt, wird nach mehrfachen Reflexionen im Inneren absorbiert, daher wirkt die Öffnung im kalten Zustand schwarz und glüht im heißen Zustand mit dem reinen thermischen Spektrum. Sterne und glühende Kohlen kommen dem nahe, und die Animation behandelt ihren Stab als einen solchen.

Eine reale Oberfläche gibt nur einen Bruchteil $\epsilon$ ab, ihren Emissionsgrad, der Strahlung eines Schwarzkörpers bei gleicher Temperatur. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz ist das gleich dem Anteil der einfallenden Strahlung, den sie absorbiert: Gute Absorber sind gute Strahler. Ruß hat $\epsilon \approx 0,95$, poliertes Silber etwa 0,02.

Zwei Gesetze: das Maximum und die Gesamtleistung

Wiens Verschiebungsgesetz gibt die Wellenlänge an, bei der das Spektrum sein Maximum hat:
${\lambda }_{\max }T=b=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$
Verdoppelt man $T$, halbiert sich ${\lambda }_{\max }$. Mit $b=2,898\times 10^6\mathrm{nm}\cdot \mathrm{K}$ hat ein Mensch bei 310 K ein Maximum nahe 9300 nm, tief im Infrarot, während die Sonne, deren Spektrum nahe 500 nm sein Maximum hat, an ihrer Oberfläche etwa 5800 K haben muss: Wiens Gesetz ist ein Thermometer, das in jeder Entfernung funktioniert.

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt die gesamte Leistung an, die über alle Wellenlängen von einer Fläche $A$ abgestrahlt wird:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
$\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$
Ein Schwarzkörper mit $\epsilon =1$ strahlt $\sigma T^4$ pro Quadratmeter ab. Verdoppelt man $T$, wird dies mit $2^4=16$ multipliziert, und der Stab der Animation, von 300 K auf 3500 K erhitzt, strahlt am Ende $(3500/300{)}^4\approx 18500$-mal mehr ab.

Ein Körper absorbiert auch Strahlung aus seiner Umgebung; haben diese die Temperatur $T_{\mathrm{env}}$, ist der Nettoverlust an Leistung
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)$
Sind beide Temperaturen gleich, strahlen beide Seiten weiter, doch der Nettofluss ist null: thermisches Gleichgewicht.

Plancks Quanten: warum die blaue Seite verblasst

Um 1900 sagte die anerkannte Theorie eine ins Unendliche wachsende Strahlung zu kurzen Wellenlängen voraus: Jeder warme Körper würde ultraviolettes Licht abgeben. Max Planck erklärte die gemessene Kurve mit der Annahme, dass Materie Energie mit Strahlung der Frequenz $f$ nur in ganzen Quanten austauscht:
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
wobei $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ das plancksche Wirkungsquantum ist. Mit $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$ trägt ein rotes Photon bei 620 nm 2,0 eV und ein violettes bei 413 nm 3,0 eV.

Jede Schwingung des heißen Materials hat eine thermische Energie in der Größenordnung von $kT$, wobei $k=1,381\times 10^{-23}J/K$ die Boltzmann-Konstante ist: bei 3500 K etwa 0,30 eV. Ein Quant, das viel größer als $kT$ ist, wird selten emittiert; seine Wahrscheinlichkeit fällt etwa wie $e^{-hf/kT}$. Daher folgt die langwellige Seite der alten Theorie, während auf der kurzen Seite die Quanten zu teuer werden und die Kurve abstürzt; das Maximum liegt dort, wo $hf\approx 5kT$ ist.

Rechenbeispiel: der Stab der Animation

Am Ende der Animation hat der Stab $T=3500\mathrm{K}$. Die beiden Gesetze ergeben
${\lambda }_{\max }=\frac{b}{T}=\frac{2,898\times 10^{-3}}{3500}=8,28\times 10^{-7}\mathrm{m}=828\mathrm{nm}$
$\sigma T^4=5,67\times 10^{-8}\cdot 3500^4\approx 8,51\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^2$

Dies sind die Endwerte an den Anzeigen ${\lambda }_{\max }$ und $\sigma T^4$, 828 nm und 8509 kW/m²: Jeder Quadratzentimeter strahlt etwa 850 W ab. Das Maximum liegt knapp hinter dem roten Ende des sichtbaren Bereichs, das bei 750 nm liegt; daher endet die gestrichelte blaue Linie knapp rechts vom Regenbogenstreifen, und nur etwa 18 % der Leistung ist sichtbares Licht.

Bei 1750 K, der halben Temperatur, lag das Maximum doppelt so weit draußen, bei 1656 nm, und die Leistung war 16-mal kleiner. Am Anfang, bei 300 K, lag das Maximum bei 9659 nm, weit außerhalb der Achse. Die goldenen Strahlen, deren Länge mit $T^4$ wächst, erscheinen erst bei 2000 K, wenn die Leistung noch 11 % ihres Endwerts beträgt. Der Raum mit 300 K sendet nur $\sigma \cdot 300^4\approx 0,46kW/{\mathrm{m}}^2$ zurück, für den glühenden Stab vernachlässigbar.

Rechenbeispiel: Sonne und Erde

Oberhalb der Atmosphäre liefert das Sonnenlicht 1361 W/m². Diese Leistung verließ die Sonnenoberfläche, deren Radius $R=6,96\times 10^8\mathrm{m}$ beträgt, und hat sich über eine Kugel mit dem Radius $d=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$ verteilt. An der Oberfläche war die Flussdichte also $(d/R{)}^2\approx 46200$-mal größer:
$\sigma T^4=1361\cdot 46200\approx 6,29\times 10^{7}W/{\mathrm{m}}^2$
$T={\left(\frac{6,29\times 10^7}{5,67\times 10^{-8}}\right)}^{1/4}\approx 5770\mathrm{K}$
nahe den 5800 K, die Wiens Gesetz aus dem Maximum bei 500 nm ergab: Gesamtleistung und Form des Spektrums stimmen überein.

Die Erde fängt das Sonnenlicht auf ihrem Querschnitt $\pi R_E^2$ ab und reflektiert etwa 30 % davon, strahlt aber von ihrer ganzen Oberfläche $4\pi R_E^2$ ab. Im Gleichgewicht gilt
$\sigma T_E^4=\frac{0,70\cdot 1361}{4}\approx 238W/{\mathrm{m}}^2\Rightarrow T_E\approx 255\mathrm{K}$
Das sind −18 °C, mit einem Maximum nahe $b/T_E\approx 11\mu \mathrm{m}$. Der gemessene Mittelwert liegt bei etwa 288 K: Die Differenz von 33 K ist der Treibhauseffekt, weil Wasserdampf und Kohlendioxid einen Teil dieses Infrarots absorbieren und zurücksenden.

Spektrum und Farben lesen

Die lila Kurve trägt $B_{\lambda }$, die pro Wellenlängenintervall abgestrahlte Leistung, gegen $\lambda$ auf; die Fläche darunter ist die Gesamtleistung. Hier ist ihr Maximum stets auf gleicher Höhe gezeichnet („Maximum auf 1 skaliert“), sodass die Kurve zeigt, wo das Licht liegt, und die Anzeige $\sigma T^4$ sagt, wie viel es ist. Sie ist unsymmetrisch: steil abfallend auf der Seite kurzer Wellenlängen und mit einem langen Infrarot-Ausläufer; bei jeder Temperatur liegt nur ein Viertel der Leistung unterhalb von ${\lambda }_{\max }$.

Die Farbe kommt vom gesamten sichtbaren Abschnitt, 380 bis 750 nm. Bei 1000 K erreicht ihn nur der ferne rote Ausläufer: mattes Rot. Orange und Gelb kommen hinzu, wenn $T$ steigt, und bei 5000 bis 6000 K ist der Abschnitt nahezu flach und wirkt weiß; heißere Sterne wirken blauweiß. Kein Schwarzkörper wirkt grün: Liegt das Maximum im Grünen, ist die Kurve so breit, dass die Mischung weiß wirkt.

Häufige Fehler

• „Rotglut“ ist das kühlste sichtbare Glühen, nicht das heißeste: Rote Sterne liegen bei etwa 3000 K, die Sonne bei 5800 K, blauweiße Sterne bei 10 000 K oder mehr.
• Das Maximum ist nicht die Farbe: Der Stab bei 3500 K hat sein Maximum im Infrarot, bei 828 nm, und glüht trotzdem weiß.
• Auch kalte Körper strahlen: Eine Wand bei 300 K gibt etwa 460 W pro Quadratmeter ab, nimmt aber aus ihrer Umgebung etwa ebenso viel auf.
• Ein heißerer Körper ist bei jeder Wellenlänge heller, auch bei Rot: Bei 3500 K emittiert der Stab bei 650 nm 4600-mal mehr als bei 1500 K und bei 450 nm 195 000-mal mehr.
• Mit Kelvin rechnen: Erwärmt man eine Heizplatte von 20 °C auf 40 °C, multipliziert sich ihre Strahlung mit $(313/293{)}^4\approx 1,30$, also ein Anstieg um 30 %, nicht um das 16-Fache.

Wo es uns begegnet

Wärmebildkameras und Ohrthermometer messen Infrarot, und Astronomen lesen Sterntemperaturen an ihren Farben ab. Glühlampen mit Glühfaden bei 2700 bis 3000 K stecken nur etwa 7 bis 11 % ihrer Leistung in sichtbares Licht, weshalb sie durch LEDs ersetzt wurden. Plancks Quanten führen weiter zu „Der photoelektrische Effekt“ und zu „Atommodelle: das bohrsche Atom“.

Fortgeschritten

Strahlung im Kasten: das Zählen der Moden

Jeder Körper glüht, und die Farbe des Glühens hängt von seiner Temperatur ab. Um das Spektrum aus den Grundprinzipien abzuleiten, nehmen wir das einfachste glühende Objekt: einen geschlossenen Hohlraum, dessen Wände auf der Temperatur $T$ gehalten werden. Die Strahlung im Inneren stellt sich mit den Wänden ins Gleichgewicht, und ihr Spektrum kann nicht davon abhängen, woraus die Wände bestehen. Wäre es anders, würden zwei Hohlräume gleicher Temperatur, durch einen Filter verbunden, der nur eine Farbe durchlässt, bei dieser Farbe Energie austauschen, und Wärme würde zwischen Körpern gleicher Temperatur fließen, was der zweite Hauptsatz verbietet. Die Strahlung ist also universell, und wir dürfen den einfachsten aller Hohlräume untersuchen: einen Würfel der Kantenlänge $L$ mit reflektierenden Wänden. Klassisch ist das Feld im Inneren eine Summe stehender Wellen, und die erste Aufgabe ist, sie zu zählen.

Legende

$n_x$	Ganzzahlige Anzahl halber Wellenlängen einer stehenden Welle entlang $x$.
$n_y$	Ganzzahlige Anzahl halber Wellenlängen entlang $y$.
$n_z$	Ganzzahlige Anzahl halber Wellenlängen entlang $z$.
$R$	Abstand des Punktes einer Mode vom Ursprung, $\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$; Moden länger als $\lambda$ haben $R<2L/\lambda$.
$dR$	Dicke der Schale mit den Moden zwischen $\lambda$ und $\lambda +d\lambda$: $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$.

Abbildung 1 ist das Zählgerät. Eine stehende Welle muss entlang jeder Achse in den Würfel passen: Entlang $x$ passen genau $n_x$ halbe Wellenlängen in $L$, ebenso $n_y$ entlang $y$ und $n_z$ entlang $z$, jeweils eine positive ganze Zahl. Jede Mode ist also ein Tripel $(n_x,n_y,n_z)$, das heißt ein Punkt eines Gitters mit Abstand 1 im Raum, der von den Achsen $n_x$, $n_y$, $n_z$ aufgespannt wird. Jeder Gitterpunkt besitzt einen Einheitswürfel dieses Raums, sodass das Zählen der Moden darauf hinausläuft, Volumen zu messen.

Die Wellenlänge einer Mode wird durch den Abstand ihres Punktes vom Ursprung bestimmt. Entlang der $x$-Achse gemessen wiederholt sich die Welle nach $2L/n_x$, ebenso entlang $y$ und $z$. Die Kehrwerte dieser drei Achsenwellenlängen addieren sich wie die Komponenten eines Vektors, was ergibt
$\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{4L^2}\Rightarrow \lambda =\frac{2L}{R}$
wobei $R=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ der Abstand dieses Punktes ist. Punkte weit vom Ursprung sind kurze Wellen.

Jetzt zählen. Die Moden mit Wellenlängen länger als $\lambda$ sind die Punkte, die näher am Ursprung liegen als $R=2L/\lambda$. Da alle drei Zahlen positiv sind, füllen diese Punkte ein Achtel einer Kugel, den in Abbildung 1 blau umrandeten Oktanten. Sein Volumen ist $\frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3$, und jeder Punkt steht für zwei Moden, weil Licht eine Transversalwelle ist, deren elektrisches Feld in zwei unabhängigen Richtungen schwingen kann (zwei Polarisationen). Die Anzahl der Moden länger als $\lambda$ ist also
$N=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3=\frac{8\pi L^3}{3{\lambda }^3}$

Das Spektrum braucht die Anzahl der Moden in einem schmalen Wellenlängenband. Verlängert man die Wellenlänge von $\lambda$ auf $\lambda +d\lambda$, schrumpft $R=2L/\lambda$ um $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$; diese Moden liegen also in der goldenen Schale der Dicke $dR$ direkt innerhalb der blauen Oberfläche. Das Volumen der Schale ist $\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR$; mit zwei Polarisationen enthält sie $8\pi L^{3}d\lambda /{\lambda }^4$ Moden. Teilt man durch das Volumen $L^3$ des Würfels und durch $d\lambda$, erhält man die Anzahl der Moden pro Volumeneinheit und Wellenlängeneinheit:
$n(\lambda )=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}$
Die Größe des Kastens fällt heraus, wie es sein muss. Das steile $1/{\lambda }^4$ bestimmt alles Weitere: Kurze Wellen passen in einen gegebenen Raum in weit größerer Zahl als lange.

Gleichverteilung und die Ultraviolettkatastrophe

Die klassische Physik sagt auch, wie viel Energie jede Mode enthält. Das Feld einer stehenden Welle schwingt in der Zeit genau wie eine Masse an einer Feder, wobei ihre Energie zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld wechselt. Die Gleichverteilung der Energie gibt einem solchen Oszillator im Gleichgewicht bei der Temperatur $T$ die mittlere Energie $kT$, wobei $k$ die Boltzmann-Konstante ist: $\frac{1}{2}kT$ für jeden seiner beiden quadratischen Energieterme. Die Energie pro Volumen- und Wellenlängeneinheit ist dann $u_{\lambda }=n(\lambda )kT=8\pi kT/{\lambda }^4$.

Was ein Detektor oder ein Auge empfängt, ist die Strahldichte $B_{\lambda }$: die von einer Fläche pro Flächeneinheit, pro Raumwinkeleinheit und pro Wellenlängeneinheit abgegebene Leistung. Strahlung mit der Energiedichte $u_{\lambda }$ breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit $c$ aus, gleichmäßig verteilt über alle $4\pi$ Steradiant der Richtungen, also $B_{\lambda }=c{u}_{\lambda }/(4\pi )$, und
$B_{\lambda }^{\mathrm{RJ}}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$
Dies ist das Rayleigh-Jeans-Gesetz. Es stimmt mit Messungen bei langen Wellenlängen überein, wächst aber ohne Grenze für $\lambda \to 0$, sodass die Gesamtenergie ${\int }_0^{\infty }{u}_{\lambda }d\lambda$ unendlich ist. Jeder Hohlraum enthielte unendlich viel Energie, aufgehäuft in den kürzesten Wellen: die Ultraviolettkatastrophe.

Die gestrichelte Kurve in der Animation dieser Stufe ist dieses Gesetz bei 3500 K. Am rechten Rand des Diagramms, bei 3000 nm, ist sie bereits 2,1-mal so hoch wie Plancks Kurve; beim Maximum von 828 nm ist sie 29-mal zu hoch; erst jenseits von etwa 20 µm kommt sie auf 11 % heran. Das Versagen ist kein Detail des Modells. Die Modenzählung ist saubere Geometrie; versagt hat die Gleichverteilung selbst. Dasselbe Versagen zeigt sich bei den spezifischen Wärmen von Gasen, wo Molekülschwingungen, die nach der Gleichverteilung die Wärme teilen sollten, bei niedriger Temperatur eingefroren bleiben.

Plancks gequantelte Oszillatoren

1900 fand Planck den Ausweg. Er behielt die Modenzählung und änderte eine einzige Annahme: Ein Oszillator kann nicht jede beliebige Energie besitzen, sondern nur ganzzahlige Vielfache eines festen Schritts.

Legende

$E$	Energie des Oszillators.	$\mathrm{J}$
$hf$	Abstand der Energieniveaus: ein Quant eines Oszillators der Frequenz $f$.	$\mathrm{J}$
$e^{-nx}$	Boltzmann-Gewicht des Niveaus $n$, mit $x=hf/kT$: Jedes Niveau wiegt $e^{-x}$-mal so viel wie das darunterliegende.
$f$	Frequenz des Oszillators, also der Mode.	$\mathrm{Hz}$
$kT$	Mittlere Energie eines Oszillators nach der klassischen Gleichverteilung; die gestrichelte Linie.	$\mathrm{J}$
$kT/h$	Die Frequenz, bei der ein Schritt $hf$ gleich $kT$ ist.	$\mathrm{Hz}$
$\bar{E}$	Mittlere Energie des gequantelten Oszillators, $hf/(e^{hf/kT}-1)$.	$\mathrm{J}$

Die linke Hälfte von Abbildung 2 zeichnet diese Regel als Leiter. Ein Oszillator der Frequenz $f$ darf nur die Energien $E_n=nhf$ annehmen, mit $n=0,1,2,\dots$; die Sprossen liegen im Abstand $hf$, wobei $h$ eine neue Naturkonstante ist, das plancksche Wirkungsquantum. Bei der Temperatur $T$ gewichtet die statistische Physik die Sprosse $n$ mit ihrem Boltzmann-Faktor $e^{-E_n/kT}=e^{-nx}$, mit der Abkürzung $x=hf/kT$: der Größe eines Schritts in Einheiten von $kT$. Die grünen Balken zeigen diese Gewichte für $hf=kT$, also $x=1$. Jeder Balken ist $e^{-1}\approx 0,37$-mal so hoch wie der darunter, sodass die meisten Oszillatoren auf den untersten Sprossen sitzen.

Die mittlere Energie ist der gewichtete Mittelwert der Sprossen. Die Gewichte bilden eine geometrische Reihe mit dem Verhältnis $e^{-x}$,
${\sum }_{n=0}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}$
und die energiegewichtete Summe ist $hf$ mal die negative Ableitung dieser Reihe nach $x$:
${\sum }_{n=0}^{\infty }nhf{e}^{-nx}=\frac{hf{e}^{-x}}{(1-e^{-x}{)}^2}$
Teilt man die zweite Summe durch die erste, erhält man die mittlere Energie:
$\bar{E}=\frac{hf{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

Die lila Kurve rechts in Abbildung 2 ist dieses $\bar{E}$, aufgetragen gegen die Frequenz $f$; die gestrichelte Linie ist das klassische $kT$. Verfolge die Kurve von links nach rechts. Ist der Schritt klein, $hf\ll kT$, liefert die Näherung $e^x\approx 1+x$ den Wert $\bar{E}\approx kT$, die Kurve beginnt also auf der klassischen Linie: Bei niedrigen Frequenzen, also langen Wellenlängen, gilt die Gleichverteilung noch. Am markierten Punkt $f=kT/h$ kostet ein Schritt genau $kT$, und die Kurve ist bereits auf $kT/(e-1)\approx 0,58kT$ gefallen. Ist $hf\gg kT$, ist $\bar{E}\approx hf{e}^{-hf/kT}$ exponentiell klein. Selbst die erste Sprosse ist dann zu teuer, fast jeder Oszillator bleibt auf Sprosse 0, und die kurzwelligen Moden sind eingefroren. Ihre riesige Anzahl spielt keine Rolle mehr, und die Katastrophe ist verschwunden.

Ersetzt man $kT$ durch $\bar{E}$ und setzt $f=c/\lambda$, wird das Rayleigh-Jeans-Gesetz zu Plancks Gesetz:
$B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$
Planck passte es an die genauen Messungen an, die 1900 in Berlin gemacht wurden, und erhielt Werte für $h$ und $k$, die innerhalb weniger Prozent den heutigen entsprechen: $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ und $k=1,381\times 10^{-23}J/K$.

Photonen und Einsteins Koeffizienten

Planck quantelte die Oszillatoren, die das Licht aussenden. 1905 ging Einstein weiter und schlug vor, dass Licht selbst in Energiequanten $hf$ kommt, später Photonen genannt. 1917 leitete er Plancks Gesetz noch einmal ab, allein aus dem Austausch von Photonen zwischen Atomen und Strahlung, und fand dabei einen Prozess, den niemand vermutet hatte.

Legende

$N_1$	Anzahl der Atome im unteren Niveau.
$N_2$	Anzahl der Atome im oberen Niveau.
$hf$	Abstand zwischen den Niveaus, gleich der Energie jedes gezeichneten Photons.	$\mathrm{J}$
$B_{12}{u}_f$	Rate, mit der ein Atom im unteren Niveau ein Photon absorbiert; $u_f$ ist die Energiedichte der Strahlung pro Frequenzeinheit.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$A_{21}$	Rate, mit der ein angeregtes Atom spontan ein Photon emittiert.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$B_{21}{u}_f$	Rate, mit der ein angeregtes Atom durch die Strahlung zur Emission veranlasst wird.	${\mathrm{s}}^{-1}$

Abbildung 3 zeigt Atome mit zwei Energieniveaus im Abstand $hf$, umgeben von Strahlung, deren spektrale Energiedichte, die Energie pro Volumen- und Frequenzeinheit, $u_f$ ist. $N_1$ Atome befinden sich im unteren Niveau und $N_2$ im oberen. Jede Teilabbildung zeigt einen Prozess: Der ausgefüllte Punkt markiert den Anfangszustand des Atoms, der offene Kreis den Endzustand, der gerade Pfeil ist der Sprung, und die Wellenpfeile sind Photonen der Energie $hf$.

Links steht die Absorption: Ein Photon verschwindet, und das Atom springt nach oben. Ein Atom im unteren Niveau tut dies mit der Rate $B_{12}{u}_f$, die proportional zur vorhandenen Strahlung ist. In der Mitte steht die spontane Emission: Ein angeregtes Atom fällt von selbst mit der Rate $A_{21}$ zurück und sendet ein Photon in eine zufällige Richtung aus. Rechts steht die induzierte Emission: Ein vorbeikommendes Photon lässt ein angeregtes Atom nach unten springen, mit der Rate $B_{21}{u}_f$. Ein Photon geht hinein, zwei kommen heraus.

Im Gleichgewicht ist die Zahl der Aufwärtssprünge pro Sekunde gleich der Zahl der Abwärtssprünge, und die Besetzungen folgen dem Boltzmann-Gesetz, $N_2/N_1=e^{-hf/kT}$. Teilt man die Bilanz durch $N_2$ und sammelt die Terme in $u_f$, folgt
$N_1{B}_{12}{u}_f=N_2(A_{21}+B_{21}{u}_f)\Rightarrow u_f=\frac{A_{21}}{B_{12}{e}^{hf/kT}-B_{21}}$

Vergleiche dies mit Plancks Gesetz, pro Frequenzeinheit geschrieben, $u_f=(8\pi h{f}^3/c^3)/(e^{hf/kT}-1)$. Für $T\to \infty$ geht $e^{hf/kT}\to 1$, und Plancks $u_f$ wächst ohne Grenze; also muss der Nenner oben dort verschwinden: $B_{12}=B_{21}$. Was übrig bleibt, passt nur, wenn $A_{21}/B_{21}=8\pi h{f}^3/c^3$ ist. Absorption und induzierte Emission sind gleich stark, und sie legen die Rate der spontanen Emission fest.

Die induzierte Emission ist unverzichtbar. Ohne sie ergäbe die Bilanz $u_f=A_{21}/(B_{12}{e}^{hf/kT})$, Wiens exponentielle Form, die bei langen Wellenlängen versagt. Das induzierte Photon ist eine exakte Kopie desjenigen, das es ausgelöst hat, mit gleicher Frequenz, Richtung und Phase: Das ist das Prinzip des Lasers.

Warum ist ein Laser dann schwer zu bauen? Das Verhältnis von induzierter zu spontaner Emission, $B_{21}{u}_f/A_{21}$, ergibt $1/(e^{hf/kT}-1)$, die mittlere Photonenzahl pro Mode. Für den glühenden Stab der Animation, bei 3500 K und seinem Maximum bei 828 nm, beträgt es nur 0,007: Fast das gesamte Licht eines heißen Körpers ist spontan. Ein Laser braucht daher eine Besetzungsinversion, $N_2>N_1$, die kein Körper im thermischen Gleichgewicht liefern kann. 1924 leitete Bose das ganze Gesetz ab, indem er Photonen als ununterscheidbare Teilchen zählte: der Beginn der Bose-Einstein-Statistik.

Wiens und Stefan-Boltzmanns Gesetze aus Plancks Gesetz

Zwei Regeln der Wärmestrahlung waren vor Planck bekannt: Die Wellenlänge des Maximums fällt wie $1/T$, und die Gesamtleistung steigt wie $T^4$. Beide folgen heute aus Plancks Formel, wobei ihre Konstanten aus $h$, $c$ und $k$ aufgebaut sind.

Zuerst das Maximum. Verwende die dimensionslose Variable $x=hc/\lambda kT$, die Photonenenergie $hc/\lambda$ in Einheiten von $kT$. Einsetzen von $\lambda =hc/(xkT)$ ergibt
$B_{\lambda }=\frac{2k^5{T}^5}{h^4{c}^3}\frac{x^5}{e^x-1}$
Bei festem $T$ liegt das Maximum also dort, wo $x^5/(e^x-1)$ am größten ist. Setzt man seine Ableitung null, folgt $5x^4(e^x-1)=x^5{e}^x$, also $x=5(1-e^{-x})$. Starte mit der Schätzung $x=5$ und setze sie in die rechte Seite ein: Man erhält 4,966, und ein weiterer Durchgang führt zur Wurzel $x=4,965$. Daraus folgt

${\lambda }_{\max }T=\frac{hc}{4,965k}=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$

Wiens Konstante ist keine neue Naturkonstante, sondern eine Kombination aus $h$, $c$ und $k$.

Nun die Gesamtleistung. Die von der Flächeneinheit der Oberfläche abgegebene Leistung $M$ ist $\pi$ mal das Integral von $B_{\lambda }$ über alle Wellenlängen. Der Faktor ist $\pi$ statt $2\pi$, weil die Strahldichte über alle Richtungen der Halbkugel addiert wird, jede gewichtet mit dem Kosinus ihres Winkels zur Normalen: Eine schräg gesehene Fläche wirkt kleiner. Mit der Substitution $x$, $d\lambda =-hcdx/(x^{2}kT)$, wird das Integral zu einer reinen Zahl mal $T^4$, und ${\int }_0^{\infty }{x}^3/(e^x-1)dx={\pi }^4/15$:
$M=\pi {\int }_0^{\infty }{B}_{\lambda }d\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$
$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$
was die Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma =5,670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ ergibt.

Die vierte Potenz hat eine einfache Deutung. Moden mit $hf$ bis zu einigen $kT$ sind aktiv, die übrigen sind eingefroren; die aktiven Moden reichen also bis zu einer Frequenz, die proportional zu $T$ ist. Ihre Anzahl pro Volumeneinheit wächst mit der dritten Potenz dieser Frequenz, also wie $T^3$, und jede trägt eine Energie der Größenordnung $kT$: Die Energiedichte und damit die abgestrahlte Leistung wächst wie $T^4$.

Beide Gesetze waren schon vor Planck bekannt. Stefan las die vierte Potenz 1879 aus Messungen ab; Boltzmann leitete sie 1884 aus der Thermodynamik und dem Strahlungsdruck $u/3$ ab, wobei $u$ die Energiedichte ist; und 1893 zeigte Wien, dass die Thermodynamik die Form $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ erzwingt, mit einer Funktion $g$ der einzigen Variablen $\lambda T$. Die Thermodynamik konnte $g$ nicht finden; das gelang erst mit dem Quant.

Die Schar der Planck-Kurven lesen

Die Skalierung $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ zeigt die Animation dieser Stufe, während der Stab sich erwärmt. Jede Kurve hat dieselbe Form, horizontal gestaucht um den Faktor $1/T$ und vertikal gestreckt um $T^5$. Von 2000 K auf 3500 K, ein Faktor von 1,75 in der Temperatur, wandert das Maximum von 1449 nm auf 828 nm und steigt um $1,75^5\approx 16,4$; die Fläche unter der Kurve, also die Gesamtleistung, wächst nur um $1,75^4\approx 9,4$, von 907 auf 8509 kW/m². Die Höhe wächst stärker als die Fläche, weil die Kurve zugleich schmaler wird.

Während der Stab sich erwärmt, steigt die lila Kurve über die grauen Kurven, die sie hinter sich lässt, und liegt bei jeder Wellenlänge über jeder von ihnen, weil $1/(e^{hc/\lambda kT}-1)$ bei jedem $\lambda$ mit $T$ wächst: Ein heißerer Körper ist in jeder Farbe heller. Das kleine Diagramm zeigt die Potenzfunktion $\sigma T^4$. Sie erreicht die Hälfte ihres Endwerts erst bei $3500/2^{1/4}\approx 2943\mathrm{K}$, nach mehr als vier Fünfteln des Temperaturanstiegs.

Eine Warnung zu den Maxima. $B_{\lambda }$ ist eine Dichte pro Wellenlängeneinheit. Pro Frequenzeinheit aufgetragen, hat dieselbe Strahlung ein Maximum dort, wo $x=3(1-e^{-x})$ gilt, bei $x=2,821$, was bei 3500 K 1457 nm entspricht, nicht 828 nm. Die Maxima unterscheiden sich, weil gleiche Schritte in der Wellenlänge nicht gleiche Schritte in der Frequenz sind: $|df|=cd\lambda /{\lambda }^2$. Die Umrechnung einer Dichte in die andere multipliziert sie also mit einem von $\lambda$ abhängigen Faktor, und das Maximum wandert. Für die Sonne liegen die beiden Maxima bei 502 nm und 883 nm. Die Leistung in jedem Band ist in beiden Darstellungen gleich; nur die Lage des Maximums einer Dichte hängt von der gewählten Variablen ab. „Die Sonne hat ihr Maximum im Grünen“ beschreibt einen Graphen, nicht das Licht.

Rechenbeispiel: ein glühender Stab kühlt ab

Plancks Gesetz sagt auch, wie schnell ein heißer Körper abkühlt, wenn allein die Strahlung die Wärme abführt. Schalte den Strom ab, wenn der Stab $T_0=3500\mathrm{K}$ hat. Modelliere ihn als Wolframstab mit dem Durchmesser $d=1,0\mathrm{mm}$ im Vakuum, wie im Inneren eines Lampenkolbens, sodass Strahlung der einzige Weg für die Wärme nach außen ist. Nimm die Dichte $\rho =19300kg/{\mathrm{m}}^3$, eine mittlere spezifische Wärme $c_p=170J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ und einen mittleren Emissionsgrad $\epsilon =0,30$, den Anteil der Schwarzkörperleistung $\sigma T^4$, den die reale Oberfläche abgibt. Wie lange braucht der Stab, um 1750 K zu erreichen, wo er $2^4=16$-mal weniger abstrahlt?

Stelle eine Energiebilanz für ein Stück der Länge $\ell$ abseits der Enden auf. Sein Wärmeinhalt ändert sich mit der Rate $m{c}_{p}dT/dt$, mit der Masse $m=\rho \pi d^2\ell /4$, und er verliert $\epsilon \sigma T^4$ durch jeden Quadratmeter seiner Oberfläche $\pi d\ell$. Teilt man beides durch die Oberfläche, erhält man pro Flächeneinheit
$\frac{\rho d{c}_p}{4}\frac{dT}{dt}=-\epsilon \sigma T^4$
Die Länge ist herausgefallen; nur das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche, $d/4$, zählt. Trenne die Variablen, $-dT/T^4=4\epsilon \sigma dt/(\rho d{c}_p)$, und integriere von $T_0$ bei $t=0$. Da das Integral von $-T^{-4}$ gleich $\frac{1}{3}{T}^{-3}$ ist,
$\frac{1}{T^3}-\frac{1}{T_0^3}=\frac{12\epsilon \sigma }{\rho d{c}_p}t\Rightarrow T=\frac{T_0}{(1+t/\tau {)}^{1/3}}$
mit der Zeitkonstante $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)\approx 0,375\mathrm{s}$.

Die Abkühlkurve

Die Lösung hat eine Form, die man sich merken sollte: ein schneller Start und ein sehr langer Ausläufer.

Legende

$T$	Temperatur des Stabs.	$\mathrm{K}$
$t$	Zeit seit dem Abschalten des Stroms.	$\mathrm{s}$
$T_0$	Anfangstemperatur.	$\mathrm{K}$
$T_0/2$	Die halbe Anfangstemperatur.	$\mathrm{K}$
$T_0/4$	Ein Viertel der Anfangstemperatur.	$\mathrm{K}$
$\tau$	Zeitkonstante des Stabs, $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)$.	$\mathrm{s}$

Abbildung 4 zeigt diese Lösung, die Temperatur $T$ gegen die Zeit $t$. Die Kurve verlässt $T_0$ fast senkrecht und flacht dann zu einem langen Ausläufer ab. Die Punkte markieren die beiden Halbierungen der Temperatur. $T=T_0/2$ gilt, wenn $(1+t/\tau {)}^{1/3}=2$, also $1+t/\tau =8$ und $t=7\tau$; $T=T_0/4$ bei $1+t/\tau =64$, also bei $t=63\tau$. Die goldenen Balken unter der Zeitachse zeigen die beiden Intervalle: $7\tau$ für die erste Halbierung und $63\tau -7\tau =56\tau$ für die zweite, achtmal so lang.

Nun die Zahlen. Die Ableitung von $T$ bei $t=0$ ergibt die anfängliche Abkühlrate $T_0/(3\tau )\approx 3100K/s$, den steilen Anfang der Kurve. Die erste Halbierung, $7\tau \approx 2,6\mathrm{s}$, bringt den Stab von Weißglut zu einem gelborangen Glühen bei 1750 K. Die nächste Halbierung, auf 875 K, wo das matte Rot fast verschwunden ist, dauert achtmal so lang, etwa 21 s. Der Grund: In jeder Phase der zweiten Halbierung hat der Stab die halbe Temperatur der entsprechenden Phase der ersten; er strahlt daher $2^4=16$-mal langsamer ab, während er nur halb so viel Wärme verlieren muss, 875 K Abkühlung statt 1750 K; und $16/2=8$. Die Strahlung, die der Stab aus einem Raum mit 300 K empfängt, beträgt $(300/875{)}^4\approx 1,4\%$ dessen, was er selbst noch bei 875 K abgibt; daher ist es vertretbar, sie zu vernachlässigen.

In Wirklichkeit fällt der Emissionsgrad von Wolfram nahe 1000 K auf etwa 0,1, sodass die rote Phase noch länger dauert. Ein Lampenfaden von einigen hundertstel Millimetern Dicke hat ein $\tau$, das dutzendfach kürzer ist, da $\tau$ proportional zu $d$ ist, und kühlt in einem Bruchteil einer Sekunde ab.

Gültigkeitsgrenzen

Plancks Gesetz beschreibt Strahlung im thermischen Gleichgewicht mit Materie bei einer einzigen Temperatur. Reale Oberflächen strahlen weniger, $\epsilon (\lambda )B_{\lambda }$, mit einem Emissionsgrad zwischen 0 und 1, der von der Wellenlänge abhängt. Der von Wolfram ist im Sichtbaren höher als im Infraroten, sodass sein Licht etwas heißer aussieht, als das Metall tatsächlich ist. Ein dünnes Gas sendet und absorbiert nur schmale Spektrallinien aus, und das Sonnenspektrum ähnelt dem eines Schwarzkörpers, durchzogen von dunklen Absorptionslinien. Laser, LEDs und Natriumdampflampen sind überhaupt keine thermischen Quellen.

Die klassischen Gesetze bleiben als Grenzfälle bestehen: Wiens Exponentialgesetz für $hf\gg kT$ und Rayleigh–Jeans für $hf\ll kT$. Die Radioastronomie lebt im zweiten Fall: Ein Signal von 1 GHz hat $hf/kT\approx 0,016$ selbst bei 3 K. Das Gesetz setzt auch voraus, dass Körper und Zwischenräume viel größer sind als die thermische Wellenlänge, also die Wellenlänge nahe dem Emissionsmaximum, bei Raumtemperatur etwa 10 µm. Ein Staubkorn, das viel kleiner ist, strahlt pro Flächeneinheit weniger als $\sigma T^4$ ab, während zwei Oberflächen, die nur einen Bruchteil eines Mikrometers voneinander entfernt sind, Wärme viel schneller austauschen können als zwei Schwarzkörper, durch evaneszente Wellen, die über den Spalt tunneln.

Innerhalb seines Gültigkeitsbereichs ist das Gesetz außerordentlich genau. Die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung, das Nachleuchten des heißen frühen Universums, folgt einer Planck-Kurve bei 2,725 K mit einem Maximum nahe 1,06 mm, auf etwa 50 Millionstel ihres Maximalwerts genau.

Wohin das führt

Planck behandelte die Quantisierung als Eigenschaft der Strahler; Einsteins Lichtquanten nahmen sie wörtlich, und als nächstes begegnet man ihnen im Thema „Der photoelektrische Effekt“. Diskrete Energieniveaus und ihre Spektrallinien sind das Thema von „Atommodelle: das bohrsche Atom“, und der doppelte Charakter des Photons kehrt in „Welle-Teilchen-Dualismus“ zurück. Licht, das ohne Hitze über eine Bandlücke entsteht, erscheint in „Halbleiter, Dioden und LEDs“. Das Versagen der Gleichverteilung knüpft an „Kinetische Gastheorie“ an, und die Entropie der Strahlung, die Planck 1900 leitete, an „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie“.