Теплопроводность, конвекция и излучение

Начальный

Шаг 1. Теплота всегда переходит от более тёплых мест к более холодным, и путешествовать она может тремя способами. Кастрюля с водой на газовом огне показывает все три сразу.

Шаг 2. Теплопроводность: теплота проходит сквозь вещество при соприкосновении. Частицы горячего дна кастрюли сильно колеблются и толкают соседей, те начинают колебаться сильнее, и так далее вверх через металл. Перемещается только само колебание, а не вещество. Металлы передают теплоту быстро; дерево, пластик, шерсть и неподвижный воздух — медленно, их называют теплоизоляторами. Пушистая куртка греет потому, что задерживает воздух.

Шаг 3. Конвекция: теплоту переносит движущаяся жидкость или газ. Вода у горячего дна нагревается, немного расширяется и становится легче более холодной воды над ней, поэтому поднимается; холодная вода опускается на её место, и образуется кольцевой поток. Говорят «тепло поднимается», но на самом деле поднимается тёплая жидкость или газ.

Шаг 4. Излучение: теплоту переносит невидимый инфракрасный свет, которому вещество вообще не нужно. Так солнечные лучи греют лицо через пустое пространство. Тёмные матовые поверхности хорошо поглощают и испускают это излучение, а блестящие отражают его — поэтому спасательные одеяла серебристые.

В анимации золотые стрелки показывают, как теплота проходит через металлическое дно, частицы которого колеблются. Вода кружится двумя кольцами: красные (тёплые) капли поднимаются посередине, синие (холодные) опускаются у стенок. Фиолетовые волны уносят излучение от пламени.

Проверьте себя: почему у кастрюли металлический корпус, а ручка часто пластмассовая или деревянная? (Металл быстро передаёт теплоту еде, а ручка должна плохо проводить теплоту, чтобы её можно было держать.)

Средний

Тепловой поток и его причина

Теплота — это энергия, которая передаётся из-за разности температур и сама по себе всегда переходит от более тёплого тела к более холодному. Количество теплоты $Q$ измеряют в джоулях, скорость её передачи $Q/t$ (тепловой поток) — в ваттах, а поток, приходящийся на квадратный метр, — плотность теплового потока $q$ — в Вт/м². Разность $\Delta T$ одинакова в кельвинах и в градусах Цельсия; лишь излучение зависит от самих температур, и тогда их нужно брать в кельвинах.

Теплота передаётся тремя способами: теплопроводностью — от частицы к частице внутри вещества, которое остаётся на месте; конвекцией — вместе с движущейся жидкостью или газом; и излучением — электромагнитными волнами, в основном инфракрасными, которым вещество не нужно. Кастрюля в анимации показывает все три сразу.

Теплопроводность: закон Фурье

Когда температуры внутри плоского слоя площадью $A$ и толщиной $d$ установились, а его грани различаются по температуре на $\Delta T$, тепловой поток через него равен
$\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{d}$

Вдвое большая площадь даёт вдвое больше путей для теплоты, вдвое большая разность температур толкает вдвое сильнее, а вдвое большая толщина уменьшает поток вдвое. Материал входит в формулу через коэффициент теплопроводности $k$ в Вт/(м·К): около 400 у меди, 16 у нержавеющей стали, 0,7 у кирпича, 0,15 у дерева, 0,04 у минеральной ваты и 0,025 у неподвижного воздуха. Металлы лидируют благодаря свободным электронам; шерсть, пенопласт и перья изолируют, удерживая воздух в таких мелких ячейках, что он не может циркулировать.

Слои, идущие друг за другом, объединяются так же, как последовательно соединённые резисторы. У каждого квадратного метра слоя есть термическое сопротивление $R=d/k$ в м²·К/Вт, и строители складывают их и получают коэффициент теплопередачи $U$:
$\frac{Q}{t}=UA\Delta T,U=\frac{1}{\sum (d/k)}$
Чем меньше $U$, тем лучше теплоизоляция. Для одного слоя $U=k/d$, поэтому вдвое более толстый слой вдвое уменьшает потери.

Пример: кастрюля из анимации

Стальное дно имеет $k=16\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$, $A=0,03{\mathrm{м}}^2$ и $d=4\mathrm{мм}=0,004\mathrm{м}$, а пламя поддерживает его нижнюю поверхность на 15 К горячее верхней, поэтому
$\frac{Q}{t}=\frac{16\cdot 0,03\cdot 15}{0,004}=1800\mathrm{Вт}$

Чтобы нагреть 2 кг воды с $c=4180\mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}\cdot \mathrm{К})$ от 20 °С до 80 °С, нужно
$Q=mc\Delta T=2\cdot 4180\cdot 60=501600\mathrm{Дж}\approx 502\mathrm{кДж}$
поэтому без потерь на это уйдёт $t=501600/1800\approx 279\mathrm{с}$, около 4,6 минуты.

Это конечные значения на индикаторах: $t$ доходит до 4,6 мин, вода — до 80 °С, а $Q$ — до 502 кДж, причём время ускорено так, что нагрев укладывается в восемь секунд. Золотые стрелки показывают установившийся поток вверх через дно; оно нарисовано намного толще 4 мм, чтобы были видны колеблющиеся атомы. Сталь — посредственный проводник, но 4 мм — такой тонкий слой, что при 15 К через него идёт 1800 Вт. Деревянное дно с $k=0,15\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$ пропускало бы примерно в сто раз меньше.

Конвекция: потоки в кастрюле

Вода, касающаяся горячего дна, немного расширяется и становится менее плотной, чем окружающая её более холодная вода (так сказано в подписи о плотности на рисунке), поэтому архимедова сила поднимает её, а более плотная вода опускается на её место. Пунктирные зелёные линии тока замыкаются в две петли с общим восходящим потоком над пламенем и нисходящими потоками вдоль стенок; каждая порция воды краснеет на пути вверх и синеет на пути вниз. Это естественная конвекция; с вентилятором или насосом она становится вынужденной.

Одной простой формулы для всего течения не существует, поэтому инженеры записывают теплообмен между поверхностью и жидкостью так:
$\frac{Q}{t}=hA\Delta T$
где $\Delta T$ — разность температур поверхности и далёкой жидкости, а $h$ — измеряемый на опыте коэффициент теплоотдачи: около 10 Вт/(м²·К) для неподвижного воздуха, порядка 100 для воздуха от вентилятора и десятки тысяч для кипящей воды. Это закон Ньютона — Рихмана (закон охлаждения Ньютона); холод на ветру объясняется тем же законом: ветер увеличивает $h$.

Излучение: четвёртая степень температуры

Излучает любая поверхность, при комнатной температуре — в основном в инфракрасном диапазоне, около 10 мкм. Закон Стефана — Больцмана даёт мощность излучения поверхности площадью $A$ при абсолютной температуре $T$:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
где $\sigma =5,67\times 10^{-8}\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot {\mathrm{К}}^4)$, а степень черноты $\epsilon$ лежит между 0 (идеальное зеркало) и 1 (абсолютно чёрное тело). Если нагреть пластину от 27 °С до 327 °С (от 300 К до 600 К), то $T$ удвоится, а $P$ вырастет в $2^4=16$ раз.

Тело также поглощает излучение окружения, причём хороший излучатель так же хорошо поглощает. Если окружение имеет температуру $T_0$, то результирующие потери равны
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$
Открытая кожа при 306 К (33 °С), со степенью черноты $\epsilon \approx 0,97$ и излучающей площадью около 1,5 м², в комнате со стенами при 293 К теряет $0,97\cdot 5,67\times 10^{-8}\cdot 1,5\cdot (306^4-293^4)\approx 115\mathrm{Вт}$ — больше, чем те 100 Вт или около того, которые вырабатывает тело в покое. Фиолетовые волны уносят энергию от пламени в стороны, куда теплопроводность и конвекция почти ничего не передают.

Пример: окно с одинарным стеклом

Окно площадью 1,5 м² с одним стеклом толщиной 4 мм ($k=1,0\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$) разделяет комнату при 20 °С и улицу при 0 °С. Только для стекла закон Фурье даёт $1,0\cdot 1,5\cdot 20/0,004=7500\mathrm{Вт}$ — мощность нескольких обогревателей. Настоящие окна теряют гораздо меньше: на каждой грани держится плёнка почти неподвижного воздуха, которая добавляет сопротивление $1/h$, где $h\approx 8\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$ в помещении (наполовину конвекция, наполовину излучение) и $h\approx 25\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$ снаружи при слабом ветре.

На квадратный метр три сопротивления складываются:
$R=\frac{1}{8}+\frac{0,004}{1,0}+\frac{1}{25}=0,125+0,004+0,040=0,169{\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К}/\mathrm{Вт}$
$\frac{Q}{t}=\frac{A\Delta T}{R}=\frac{1,5\cdot 20}{0,169}\approx 178\mathrm{Вт},U=\frac{1}{R}\approx 5,9\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$

Стекло даёт лишь около 2 % сопротивления; изолируют воздушные плёнки. Плотность потока равна $20/0,169\approx 118\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, поэтому на внутренней плёнке падает $118\cdot 0,125\approx 15\mathrm{К}$, и внутренняя поверхность стекла оказывается при температуре около 5 °С — ниже точки росы комнатного воздуха при влажности 50 %, примерно 9 °С: на одинарных стёклах выпадает конденсат. Двойное остекление с $U\approx 1,2\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$ теряло бы здесь около 36 Вт, а стена из кирпича и ваты из экспертного слоя — всего около 11 Вт.

Частые ошибки

• «Тепло поднимается вверх» — наполовину верно: поднимается тёплая жидкость или газ, а сама теплота распространяется во все стороны теплопроводностью и излучением, поэтому потолочный обогреватель греет людей в 2 м под ним.
• Теплоизоляция не останавливает теплоту, а замедляет её. Даже 10 см минеральной ваты, у которых $U=0,04/0,1=0,4\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$, пропускают 8 Вт на квадратный метр при 20 К.
• Металл и дерево, лежащие в комнате, имеют одинаковую температуру. Сталь кажется холоднее, потому что проводит теплоту примерно в сто раз лучше (16 против 0,15 Вт/(м·К)) и поэтому быстрее забирает её у вашей руки.
• Никогда не подставляйте градусы Цельсия в $T^4$. При нагреве от 27 °С до 327 °С излучаемая мощность растёт в 16 раз (от 300 К до 600 К), а не в 12 раз и тем более не в 21 000.
• Разность $T^4-T_0^4$ — это не $(T-T_0{)}^4$. Для 306 К и 293 К первая даёт около 79 Вт на квадратный метр чёрной поверхности, а вторая — меньше 0,002 Вт.

Где это встречается

Каждый счёт за отопление — это сумма слагаемых $UA\Delta T$ по стенам, крыше и окнам. Термос побеждает все три механизма: вакуум останавливает теплопроводность и конвекцию, а серебристое покрытие — почти всё излучение. Погода — это конвекция в огромном масштабе, а температура Земли определяется равновесием между поглощённым солнечным светом и инфракрасным излучением в космос. Далее «Молекулярно-кинетическая теория газов» показывает теплопроводность молекула за молекулой, «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты» объясняет, откуда берётся $\sigma T^4$, а «Второе начало термодинамики и энтропия» объясняет, почему теплота сама собой переходит только от горячего к холодному.

Продвинутый

Плотность теплового потока и градиент температуры

Закон для плоского слоя $Q/t=kA\Delta T/d$ описывает только плоский слой, в котором температуры уже установились. Чтобы разбирать тела любой формы и температуры, меняющиеся со временем, нужен закон, справедливый в каждой точке. В этом разделе он и выводится.

В каждой точке нам понадобятся два вектора. Плотность теплового потока $\vec{q}$ направлена туда, куда течёт энергия; её модуль — это энергия, проходящая за единицу времени через единицу площади, поставленной поперёк потока, в Вт/м². Градиент температуры $\nabla T$ направлен туда, где температура растёт быстрее всего; его модуль — этот рост на метр, в К/м. Закон Фурье в локальной форме говорит, что теплота течёт строго против градиента, а скорость течения задаёт коэффициент теплопроводности $k$:
$\vec{q}=-k\nabla T$
Знак минус направляет теплоту от горячего к холодному, против градиента.

Для плоского слоя градиент равен просто $\Delta T/d$, и локальный закон снова даёт закон для плоского слоя. В кастрюле из анимации стальное дно имеет толщину 4 мм, $k=16\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$, а его нижняя поверхность на 15 К горячее верхней. Поэтому $|\nabla T|=15/0,004=3750\mathrm{К}/\mathrm{м}$ и $q=16\cdot 3750=60000\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$; на площади дна 0,03 м² это те самые 1800 Вт из закона для плоского слоя.

Этот закон имеет вид закона Ома, записанного в точке, $\vec{J}=-{\sigma }_{\mathrm{эл}}\nabla V$: температура играет роль потенциала, $\vec{q}$ — плотности тока, а $k$ — электропроводности ${\sigma }_{\mathrm{эл}}$. Как и закон Ома, это закон материала, справедливый для небольших градиентов, а не фундаментальный принцип. В волокнистых и слоистых материалах $k$ зависит от направления: дерево проводит теплоту вдоль волокон примерно вдвое лучше, чем поперёк, поэтому там $\vec{q}$ не обязательно направлена точно против градиента.

Вывод уравнения теплопроводности

Закон Фурье даёт поток в один момент времени. Чтобы предсказать, как профиль температуры меняется со временем, соединим его с законом сохранения энергии. Результат — уравнение теплопроводности — управляет всеми задачами в остальной части урока.

Обозначения

$x$	Координата вдоль стержня.	$\mathrm{м}$
$T$	Профиль температуры вдоль стержня в один момент времени; его касательные штриховые.	$\mathrm{К}$
$dx$	Толщина тонкого слоя.	$\mathrm{м}$
$q(x)$	Плотность теплового потока, входящего в слой через левую грань.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$q(x+dx)$	Плотность теплового потока, выходящего через правую грань; она меньше $q(x)$.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$\rho c$	Теплоёмкость единицы объёма: плотность, умноженная на удельную теплоёмкость.	$\mathrm{Дж}/({\mathrm{м}}^3\cdot \mathrm{К})$
$\partial T/\partial t$	Скорость нагрева слоя.	$\mathrm{К}/\mathrm{с}$

На рисунке 1 показан стержень, в котором теплота течёт только вдоль $x$, и тонкий слой этого стержня толщиной $dx$. Над стержнем изображён профиль температуры $T(x)$ в один момент времени, а на двух гранях слоя проведены штриховые касательные. Посмотрите на касательные: левая круче правой, потому что профиль выпуклый (изгибается вверх). Поток на каждой грани определяется местным наклоном, $q=-k\partial T/\partial x$, поэтому стрелка $q(x)$, входящая слева, длиннее стрелки $q(x+dx)$, выходящей справа. Входит больше теплоты, чем выходит, и избыток нагревает слой со скоростью $\partial T/\partial t$, которую показывает зелёная стрелка.

Теперь сосчитаем энергию на единицу площади сечения стержня. Каждую секунду слой получает $q(x)-q(x+dx)$. Для тонкого слоя эта разность равна изменению $q$ вдоль стержня, умноженному на толщину, то есть $-(\partial q/\partial x)dx$. Объём слоя на единицу площади равен $dx$, а $\rho c$ — теплоёмкость единицы объёма (плотность, умноженная на удельную теплоёмкость), поэтому чтобы нагревать слой со скоростью $\partial T/\partial t$, нужно $\rho cdx\partial T/\partial t$. Приравняем приход к накоплению и сократим на $dx$:
$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

Теперь подставим закон Фурье, $q=-k\partial T/\partial x$. При постоянном $k$ получаем $\partial q/\partial x=-k{\partial }^{2}T/\partial x^2$, и после деления на $\rho c$ выходит уравнение теплопроводности:
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\alpha =\frac{k}{\rho c}$

Тот же подсчёт годится для маленькой коробочки в трёх измерениях. Чистый поток теплоты наружу из неё на единицу объёма — это дивергенция $\nabla \cdot \vec{q}$, поэтому $\rho c\partial T/\partial t=-\nabla \cdot \vec{q}$, а ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ превращается в лапласиан ${\nabla }^{2}T$. Постоянная $\alpha$ — это температуропроводность, в м²/с. Она растёт с $k$, который ускоряет перенос теплоты, и убывает с $\rho c$, из-за которой на каждый кельвин нужно больше теплоты.

У уравнения есть простой смысл. Вторая производная ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ — это кривизна профиля: изменение наклона между двумя гранями слоя на рисунке 1. Там, где профиль изгибается вверх, точка холоднее среднего значения у соседей и нагревается; там, где он изгибается вниз, точка теплее соседей и остывает. Так любой бугор на профиле температуры со временем сглаживается.

Как далеко и как быстро распространяется теплота

Ещё ничего не решая, уравнение теплопроводности уже говорит о временных масштабах задачи. Инженеру часто больше ничего и не нужно.

В уравнение входит единственная постоянная $\alpha$, в м²/с. Единственная длина, которую можно составить из $\alpha$ и времени $t$, — это $\sqrt{\alpha t}$, поэтому за время $t$ возмущение распространяется на расстояние порядка $\sqrt{\alpha t}$. Если перевернуть это рассуждение, слой толщиной $d$ выходит на стационарный режим за время порядка $d^2/\alpha$. Время растёт как квадрат толщины: вдвое толще — вчетверо медленнее.

Три примера. Стальное дно кастрюли с плотностью 7900 кг/м³ и удельной теплоёмкостью 500 Дж/(кг·К) имеет $\alpha =16/(7900\cdot 500)\approx 4,1\times 10^{-6}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$ и выходит на стационарный режим примерно за $0,004^2/(4,1\times 10^{-6})\approx 4\mathrm{с}$. Это ничтожно мало по сравнению с 279 с нагрева, так что применять для кастрюли стационарный закон для плоского слоя было оправданно. Двадцать сантиметров кирпича с $\alpha \approx 4,6\times 10^{-7}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$ требуют около 24 ч. Чтобы 6,7 см воды в кастрюле прогрелись насквозь одной лишь теплопроводностью, понадобилось бы около 9 часов; конвекция справляется за минуты.

Стена на графике

Экспертный слой анимации показывает стену, которая прогревается. Если следить за ней, видно, как работает уравнение теплопроводности: теплота проникает вглубь, энергия накапливается, и в конце устанавливается стационарный режим.

Обозначения

$x$	Расстояние от внутренней поверхности (со стороны комнаты).	$\mathrm{м}$
$T$	Температура в стене через шесть часов после начала.	$\mathrm{К}$
$k_1$	Коэффициент теплопроводности кирпича, внутреннего слоя.	$\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$
$k_2$	Коэффициент теплопроводности минеральной ваты, наружного слоя.	$\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$
$\sqrt{\alpha t}$	На какую глубину проник в кирпич нагрев за время $t$; там профиль составляет около половины своего значения на поверхности.	$\mathrm{м}$
$E$	Энергия, запасённая в кирпиче на единицу площади стены: $\rho c$, умноженное на закрашенную площадь.	$\mathrm{Дж}/{\mathrm{м}}^2$
$T_{\infty }$	Стационарный профиль, к которому приближается стена; внутри каждого слоя он прямолинеен.	$\mathrm{К}$

На рисунке 2 показана стена через шесть часов после начала. Со стороны комнаты у неё 20 см кирпича ($k_1=0,7\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$), снаружи — 10 см минеральной ваты ($k_2=0,04\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$); они нарисованы полосами под осью $x$ в одном масштабе. Всё было при 0 °С, пока внутреннюю поверхность в точке $x=0$ не стали поддерживать при 20 °С; наружная поверхность остаётся при 0 °С.

Читайте красный профиль $T(x)$ слева направо. Он круто падает у внутренней поверхности и едва добрался до ваты: нагрев проник в кирпич лишь примерно на $\sqrt{\alpha t}$ — это расстояние отмечено под осью. За $t=6\mathrm{ч}=21600\mathrm{с}$ получаем $\sqrt{4,6\times 10^{-7}\cdot 21600}\approx 0,10\mathrm{м}$. На этой глубине, отмеченной точкой, профиль равен примерно 10 °С — около половины значения у поверхности.

Закрашенная площадь между профилем и исходной линией 0 °С измеряет запасённую энергию: умноженная на $\rho c$, она равна теплоте $E$, поглощённой кирпичом на каждый квадратный метр стены. Доля ваты ничтожна, потому что её $\rho c$ в 60 раз меньше, чем у кирпича. Вся эта энергия вошла через внутреннюю поверхность и не вышла через наружную, поэтому $E$ очень близко к интегралу по времени от $q(0)-q(d)$: потока на внутренней поверхности минус потока на наружной, где $x=d$.

Эти два потока показывают индикаторы анимации. Внутренний поток $q(0)$ сначала огромен и убывает примерно как $1/\sqrt{t}$, подобно потоку в очень толстый блок кирпича, $\Delta T\sqrt{k\rho c/(\pi t)}$, — около 190 Вт/м² через час. Наружный поток $q(d)$ остаётся нулевым, пока до него не дойдёт нагрев. Через шесть часов, как на рисунке 2, они равны примерно 76 и 2,3 Вт/м²: большая часть входящего потока всё ещё запасается в кирпиче. Оба приближаются к 7,2 Вт/м², а различаются они меньше чем на 10 % через 48 часов и меньше чем на 1 % через 72.

Серая штриховая линия $T_{\infty }$ — это стационарный режим, к которому приходит стена. В нём $\partial T/\partial t=0$, поэтому уравнение теплопроводности даёт ${\partial }^{2}T/\partial x^2=0$: профиль прямолинеен внутри каждого слоя. В стационарном режиме энергия нигде не накапливается, поэтому через оба слоя проходит один и тот же поток $q$. Значит, наклон каждого слоя равен $q/k$, наклоны относятся обратно коэффициентам теплопроводности, и линия в вате круче в $k_1/k_2=17,5$ раза. Поток находится сложением сопротивлений $d/k$ двух слоёв на квадратный метр при $d_1=0,20\mathrm{м}$ кирпича и $d_2=0,10\mathrm{м}$ ваты:
$q=\frac{\Delta T}{d_1/k_1+d_2/k_2}=\frac{20}{0,286+2,5}\approx 7,2\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2,U\approx 0,36\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$
Перепад температуры на каждом слое равен $q$, умноженному на его сопротивление. Сопротивление ваты примерно в девять раз больше, чем у кирпича, поэтому на неё приходится 17,9 К из 20 К, а на кирпич — только 2,1 К.

Моды затухания

Как быстро стена забывает начальное состояние и выходит на $T_{\infty }$? Ответ получается, если разложить профиль на простые формы, каждая из которых затухает со своей скоростью.

Уравнение теплопроводности линейно: сумма двух решений снова является решением. Поэтому любое отклонение от стационарного режима можно записать как сумму синусоидальных мод, и каждая из них затухает сама по себе, сохраняя форму. Подставим в уравнение теплопроводности моду $\sin (2\pi x/\lambda )$ с длиной волны $\lambda$: две производные по $x$ умножают её на $-(2\pi /\lambda {)}^2$, поэтому её амплитуда должна убывать как $e^{-t/\tau }$, где
$\tau =\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2\alpha }$
Поскольку время затухания пропорционально ${\lambda }^2$, мелкие неровности исчезают почти мгновенно, и остаётся только самая широкая мода. Жозеф Фурье разработал свои ряды — суммы синусов — именно для этой задачи, в своей теории тепла 1822 года.

В стене самая медленная мода должна вписываться в две поверхности кирпича. На внутренней поверхности температура задана, поэтому отклонение от стационарного режима там равно нулю. На наружной вата почти останавливает поток, поэтому наклон отклонения там почти нулевой. Самая широкая синусоида с нулём на одном конце и плоской вершиной на другом — это четверть волны, $\lambda =4d$, что даёт $\tau =4d^2/({\pi }^2\alpha )\approx 9,7\mathrm{ч}$. Вата всё же немного пропускает теплоту, так что реальное затухание чуть быстрее: разность двух показаний уменьшается в $e$ раз примерно каждые 9 часов, от менее 10 % через 48 ч до менее 1 % через 72 ч.

Температурные волны

Когда температура поверхности растёт и падает каждые сутки или каждый год, уравнение теплопроводности превращает эти колебания в волну, которая слабеет по мере продвижения вглубь. Поэтому толстые стены и глубокие подвалы сохраняют почти постоянную температуру.

Обозначения

$t$	Время.	$\mathrm{с}$
$T$	Температура, отсчитанная от её среднего значения.	$\mathrm{К}$
$T_0$	Температура поверхности, колеблющаяся с циклической частотой $\omega$.	$\mathrm{К}$
$T_x$	Температура на глубине $x$ под поверхностью (здесь 20 см).	$\mathrm{К}$
$A$	Амплитуда колебаний температуры поверхности около среднего значения.	$\mathrm{К}$
$A_x$	Амплитуда на глубине $x$: $A{e}^{-x/\delta }$, где $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.	$\mathrm{К}$
$\Delta t$	Насколько позже максимум приходит на глубину $x$, чем на поверхность: $x/(\delta \omega )$.	$\mathrm{с}$

На рисунке 3 построены две температуры в зависимости от времени $t$, каждая отсчитана от своего среднего значения. Большая кривая $T_0$ — это поверхность, температура которой колеблется с циклической частотой $\omega$ и амплитудой $A$. Маленькая кривая $T_x$ — температура на глубине $x$ внутри. Обратите внимание на две вещи: $T_x$ колеблется гораздо слабее, лишь с амплитудой $A_x$, а её максимумы приходят позже, с запаздыванием $\Delta t$.

Оба эффекта следуют из одного решения уравнения теплопроводности — затухающей волны, бегущей вглубь:
$T(x,t)-T_{\mathrm{ср}}=A{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta ),\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$
Чтобы понять, откуда берётся такое $\delta$, запишем волну как действительную часть выражения $A{e}^{i\omega t}{e}^{-(1+i)x/\delta }$. Производная по времени умножает его на $i\omega$; две производные по координате умножают его на $(1+i{)}^2/{\delta }^2=2i/{\delta }^2$. Уравнение теплопроводности тогда требует $i\omega =2i\alpha /{\delta }^2$, то есть $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.

Разберём решение по частям. Амплитуда убывает в $e$ раз на каждом отрезке длиной $\delta$, поэтому на глубине $x$ амплитуда колебаний равна $A_x=A{e}^{-x/\delta }$. Фаза $x/\delta$, вычитаемая из $\omega t$, означает, что каждый максимум приходит позже, чем на поверхности, на $\Delta t=x/(\delta \omega )$. Медленные циклы проникают глубже, потому что $\delta$ растёт как $1/\sqrt{\omega }$.

Для кирпича и суточного цикла, $\omega =2\pi /(24\mathrm{ч})$, глубина $\delta$ составляет около 11 см. Рисунок построен для $x=20\mathrm{см}$, где $x/\delta \approx 1,8$: на глубине 20 см в толстой кирпичной кладке размах колебаний уменьшается примерно до одной шестой, $e^{-1,8}\approx 0,17$, и запаздывает почти на 7 часов. В почве с $\alpha \approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$ у годовой волны $\delta \approx 2,2\mathrm{м}$: в подвале на глубине 3 м размах колебаний составляет четверть от поверхностного и запаздывает примерно на два с половиной месяца.

Стационарные режимы и уравнение Лапласа

Когда во времени ничего не меняется, течение теплоты превращается в ту же математическую задачу, что и электростатика, и любое найденное там решение можно использовать снова.

В стационарном режиме $\partial T/\partial t=0$, и уравнение теплопроводности сводится к ${\nabla }^{2}T=0$. Это уравнение Лапласа, которому подчиняется электростатический потенциал в пустом пространстве. Значит, каждое электростатическое решение описывает и течение теплоты: температура играет роль потенциала, а плотность потока $\vec{q}$ — роль напряжённости поля.

Возьмём небольшой источник мощностью $W$ глубоко внутри большого массива. В стационарном режиме вся мощность $W$ проходит через каждую сферу радиуса $r$ вокруг него, поэтому $q=W/(4\pi r^2)$, точно как у поля точечного заряда. С учётом $q=-kdT/dr$ интегрирование от далёких точек, где массив не возмущён, даёт повышение температуры $W/(4\pi kr)$. Если глубоко в почве с $k=1\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$ выделяется 10 Вт, то почва на расстоянии 0,5 м теплее на $10/(4\pi \cdot 1\cdot 0,5)\approx 1,6\mathrm{К}$.

Задача: утеплитель внутри или снаружи?

Важно ли, с какой стороны стены ставить утеплитель? Стационарные потери говорят, что нет; запасённая теплота и время прогрева говорят, что да, и очень.

Обозначения

$x$	Расстояние от поверхности со стороны комнаты.	$\mathrm{м}$
$T$	Температура в стене в стационарном режиме.	$\mathrm{К}$
$k_1$	Коэффициент теплопроводности кирпича.	$\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$
$k_2$	Коэффициент теплопроводности минеральной ваты.	$\mathrm{Вт}/(\mathrm{м}\cdot \mathrm{К})$
$T_m$	Температура на границе между двумя слоями.	$\mathrm{К}$
$\Delta T$	Полный перепад температуры на стене; на обоих графиках он одинаков.	$\mathrm{К}$
$E$	Энергия, запасённая в кирпиче на единицу площади стены: $\rho c$, умноженное на закрашенную площадь.	$\mathrm{Дж}/{\mathrm{м}}^2$

На рисунке 4 сравниваются два варианта в стационарном режиме: комната слева, в точке $x=0$, и один и тот же полный перепад $\Delta T=20\mathrm{К}$ на стене. Верхний график — стена из анимации: кирпич ($k_1$) со стороны комнаты, вата ($k_2$) снаружи. На нижнем слои поменяны местами: вата со стороны комнаты, кирпич снаружи. Сравните, где оказывается температура границы слоёв $T_m$ и насколько велика закрашенная площадь под профилем кирпича.

Шаг 1, стационарные потери. Последовательные сопротивления складываются в любом порядке, поэтому сумма по-прежнему равна $0,286+2,5=2,786{\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К}/\mathrm{Вт}$, а потери остаются $q=7,2\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$.

Шаг 2, профиль. Перепад на каждом слое равен $qd/k$, поэтому он перемещается вместе со слоем. Когда вата снаружи (верхний график), кирпич охватывает температуры от 20 °С до $T_m\approx 17,9{}^{\circ }\mathrm{С}$. Когда вата внутри (нижний график), вата сначала забирает свои 17,9 К, поэтому $T_m=20-7,18\cdot 2,5\approx 2,1{}^{\circ }\mathrm{С}$, а кирпич занимает лишь интервал от 2,1 °С до 0 °С.

Шаг 3, запасённая теплота. На квадратный метр кирпич запасает $\rho cd$, умноженное на среднее повышение температуры над 0 °С, где $\rho c=1,51\times 10^6\mathrm{Дж}/({\mathrm{м}}^3\cdot \mathrm{К})$; это энергия $E$, равная $\rho c$, умноженному на закрашенную площадь на рисунке 4. Когда вата снаружи, кирпич в среднем нагрет до 19,0 °С и хранит $1,51\times 10^6\cdot 0,20\cdot 19,0\approx 5,7\mathrm{МДж}$; когда вата внутри, он нагрет в среднем примерно до 1 °С и хранит всего 0,31 МДж. С прибавкой нескольких сотых мегаджоуля от ваты общие запасы составляют 5,8 и 0,34 МДж на квадратный метр — различие в 17 раз. Когда вата снаружи, комната должна отдать эти 5,8 МДж, пока стена прогревается, сверх того, что уходит через наружную поверхность: столько, сколько уносят стационарные потери за 9 суток.

Шаг 4, время. Когда вата внутри, слой, обращённый к комнате, лёгкий, с $\alpha \approx 1,6\times 10^{-6}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$, и выходит на стационарный режим примерно за $d^2/\alpha =0,10^2/(1,6\times 10^{-6})\approx 1,75\mathrm{ч}$. Через два часа комнатная сторона теряет 7,8 Вт/м² — это в пределах 10 % от конечного значения. Когда вата снаружи, $q(0)$ подходит к нему так близко только за двое суток.

Вердикт. Утепление изнутри подходит для комнат, которые отапливают время от времени и которые тогда прогреваются за несколько часов. Наружное утепление превращает кирпич в тёплый накопитель, сглаживающий суточные колебания. Оно же сохраняет кирпич тёплым: за внутренним утеплителем кирпич остаётся при температуре от 0 до 2 °С, где влага из комнаты может конденсироваться в стене, если её не остановит пароизоляция.

Откуда берутся коэффициенты

До сих пор коэффициент теплопроводности $k$, коэффициент конвективного теплообмена и радиационный обмен принимались как данность. Простые модели объясняют их величину.

Газы. Кинетическая теория даёт $k\approx \frac{1}{3}n\bar{v}\ell c_1$: в единице объёма $n$ молекул, движущихся со средней скоростью $\bar{v}$, и каждая переносит теплоёмкость $c_1$ на длину свободного пробега $\ell$, пока не столкнётся. Поскольку $\ell \propto 1/n$, плотность сокращается: газ проводит теплоту так же хорошо при вдвое меньшем давлении. Это верно, пока $\ell$ не станет сравнимой с размерами сосуда. В воздухе при 1 атм $\ell \approx 70\mathrm{нм}$, поэтому в термосе давление должно упасть ниже примерно 1 Па, чтобы $\ell$ превысила зазор между стенками в несколько миллиметров и теплопроводность резко упала.

Металлы. Свободные электроны переносят и теплоту, и заряд, поэтому хорошие проводники электричества хорошо проводят и теплоту.

Конвекция. Слой жидкости толщиной $d$, подогреваемый снизу, начинает циркулировать, когда его число Рэлея $g\beta \Delta T{d}^3/(\nu \alpha )$ превышает критическое значение: около 1700 между двумя твёрдыми пластинами и около 1100, когда верх — свободная поверхность, как в кастрюле. Здесь $g$ — ускорение свободного падения, $\beta$ — коэффициент теплового расширения жидкости, $\nu$ — её кинематическая вязкость. Это число сравнивает архимедову силу, которая поддерживает течение, с вязкостью и теплопроводностью, которые его гасят. Для 6,7 см воды в кастрюле достаточно перепада меньше тысячной доли кельвина на толщине слоя.

Излучение. При малых разностях $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, поэтому излучение тоже ведёт себя как коэффициент: почти чёрная поверхность при комнатной температуре обменивается теплотой с коэффициентом около $4\sigma T_0^3\approx 6\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$ — столько же, сколько даёт естественная конвекция в воздухе.

Границы применимости

Закон Фурье предполагает, что носители теплоты (молекулы, колебания решётки или электроны) много раз сталкиваются на интересующих нас расстояниях и за интересующие нас времена. Он нарушается в структурах, размеры которых сравнимы с длиной свободного пробега, — для колебаний решётки в кремнии при комнатной температуре это несколько сотен нанометров. В транзисторах размером в десятки нанометров теплота течёт частично баллистически, без столкновений, и эффективная теплопроводность $k$ оказывается намного ниже, чем у массивного образца. Уравнение теплопроводности также позволяет внезапному нагреву сразу ощущаться везде, пусть и очень слабо; на временах порядка пикосекунд, пока носители ещё не успели столкнуться, это неверно.

Теплопроводность зависит от температуры, и в широких диапазонах это делает уравнение нелинейным. Закон Стефана — Больцмана предполагает серые поверхности, размеры которых намного больше тепловой длины волны (около 10 мкм при комнатной температуре). Через гораздо более узкие зазоры излучение ближнего поля может во много раз превышать предел абсолютно чёрного тела.

Что дальше

Молекулярная диффузия подчиняется тому же уравнению, что и теплота; урок «Электрический ток и сопротивление» — электрический двойник теплопроводности, а стационарный поток теплоты повторяет урок «Электрическое поле и потенциал». Урок «Молекулярно-кинетическая теория газов» даёт длину свободного пробега, стоящую за $k$, а «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты» выводит $\sigma$ из закона Планка. «Второе начало термодинамики и энтропия» показывает, что теплота, текущая вниз по разности температур, порождает энтропию — в стене около $7,2(1/273-1/293)\approx 1,8\times 10^{-3}\mathrm{Вт}/({\mathrm{м}}^2\cdot \mathrm{К})$, а «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект» встречает уравнение диффузии с мнимым коэффициентом.